0.7 Zapisz wymyślone przez Ciebie 200 wyników, jakie można uzyskać rzucając monetą. Następnie wykonaj 200 rzutów i porównaj otrzymane wyniki.
|
|
- Sylwester Świderski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 0 Zadania wstępne 0.1 Klasa F = { X Ω : #X < #Ω\X < } zbiorów przeliczalnych lub mających przeliczalne dopełnienia jest σ-ciałem. Dodatkowo, jeśli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to F jest istotnie mniejsze od Ω. 0. Niech { } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T 0.3 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum). 0.4 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie (wzór włączeń i wyłączeń) Wykaż, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C zachodzi równość P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). Sformułuj analogiczny wzór dla n zdarzeń. 0.6 Niech napis A oznacza zachodzi zdarzenie A. Za pomocą oznaczeń teorii mnogości zapisz zdania: Spośród zdarzeń A, B, C: (a) zachodzi tylko A, (b) zachodzą tylko A i B, (c) zachodzi co najmniej jedno z nich, (d) zachodzą wszystkie trzy, (e) zachodzi dokładnie jedno z nich, (f) zachodzą co najwyżej dwa z nich, (g) zachodzą dokładnie dwa z nich, (h) żadne nie zachodzi. 0.7 Zapisz wymyślone przez Ciebie 00 wyników, jakie można uzyskać rzucając monetą. Następnie wykonaj 00 rzutów i porównaj otrzymane wyniki. 0.8 Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych z zadania (a) Rzucamy monetą aż do uzyskania orła. (b) Rzucamy monetą aż do uzyskania drugiego orła. (c) Rzucamy monetą aż do uzyskania dwóch orłów pod rząd. Opisz σ-ciała zdarzeń elementarnych w powyższych doświadczeniach losowych Wybieramy losowo rzeczywisty trójmian kwadratowy. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Zakładając rozsądną miarę probabilistyczną, odpowiedz na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania trójmianu o pierwiastkach różnych znaków Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? 0.1 (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu 1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość będzie większa niż 3? Podaj co najmniej dwa poprawne rozwiązania, dające różne (!) odpowiedzi Z przystanku przy uczelni w kierunku domu Jacka kursują dwie linie autobusowe, 139 i 159, każda z nich co 15 minut. Po zakończeniu zajęć na uczelni Jacek przychodzi na przystanek (zakładamy, że chwila ta jest losowa, bo np. pogada chwilkę z kolegami) i wsiada do pierwszego pasującego autobusu. Jacek ze zdziwieniem zauważył, że w czasie 100 dni zajęć w semestrze, około 90 razy wracał 139-ką i tylko około 10 razy 159-ką. Czy ta obserwacja przeczy założeniu, że Jacek przychodzi w momencie losowym? A może przeczy całemu rachunkowi prawdopodobieństwa? 0.14 Zbadaj, czy w Twojej grupie ćwiczeniowej są osoby obchodzące urodziny tego samego dnia. Nie wykonując żadnych rachunków podaj, ile według Ciebie osób powinna liczyć losowo dobrana grupa, aby prawdopodobieństwo tego, że znajdą się w niej dwie osoby o jednakowym dniu urodzin, było większe niż 1. Fakt: Jak podaje Ian Stewart w swojej książce Co za traf!, średnia z uzyskanych odpowiedzi na to pytanie zadane studentom amerykańskim wyniosła 385. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta wykaż, że 385 to czysty absurd. Ile co najmniej osób powinna liczyć grupa, aby to prawdopodobieństwo było równe 1? τ T 1
2 1 σ-algebry, przestrzenie mierzalne Def: Zbiorem nieistotnym nazywać będziemy podzbiór A R o tej własności, że dla każdego ε > 0 istnieje rodzina przedziałów {I k } (niekoniecznie skończona i niekoniecznie rozłączna) taka, że A I k k oraz k I k < ε. 1.1 Pokazać następujące fakty: (a) Zbiory dyskretne są zbiorami nieistotnymi. (b) Podzbiór liczb wymiernych zawartych w odcinku [0, 1] jest nieistotny. (c) Zbiór liczb wymiernych jest nieistotny. (d) Każdy zbiór przeliczalny jest nieistotny. Podać przykład nieprzeliczalnego zbioru nieistotnego. 1. Niech { } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T 1.3 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum). 1.4 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie Opisz σ-algebrę generowaną przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe zbioru liczb naturalnych N; (b) wszystkie półproste dodatnie (n, + ) dla n Z, wśród rodziny podzbiorów prostej R, (c) wszystkie zbiory jednopunktowe prostej rzeczywistej R. 1.6 Opisać σ-algebrę σ(r) generowaną przez rodziny R R : (a) R a = {(n, n + 1) : n Z}; (b) R b = {[n, n + 1] : n Z}; (c) R c = {(n, n + 1] : n Z}; (d) R d = {[ n, n] : n Z}; (e) R f = {A : A Z}; (f) R g = {A : A Q}; Pokazać dodatkowo, że R a, R c R b. Czy R b σ(r a, R c )? τ T Def: Dany jest ciąg {A n } podzbiorów przestrzeni X. Granicę górną A i granicę dolną A tego ciągu można zdefiniować np. korzystając z funkcji charakterystycznej zbioru 1l (tzn. 1l B (x) = 1 x B): 1l A (x) = lim sup 1l An (x) oraz 1l A (x) = lim inf 1l A n (x) 1.7 Korzystając z powyższej definicji wyprowadź bezpośredni wzór na granicę górną A = lim sup n A n i granicę dolną A = lim inf n A n (tzn. nie korzystający z funkcji charakterystycznej). 1.8 Niech {A n } będzie ciągiem podzbiorów pewnej przestrzeni X. Pokazać, że lim inf A n lim sup A n. Podać przykład takiego ciągu {A n }, że lim inf A n lim sup A n. 1.9 Niech A będzie σ-algebrą zbiorów, a {A n } ciągiem pewnych jej elementów. Pokazać, że granica górna lim sup A n i granica dolna lim inf A n należą do σ-algebry A. Uwaga: przy pomocy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu zbiorów {A n } możemy wprowadzić pojęcie granicy ciągu zbiorów. Mianowicie, jeśli lim inf A n = lim sup A n, to mówimy, że ciąg {A n } jest zbieżny.
3 Funkcje σ-addytywne, funkcje mierzalne.1 Sprawdzić, które z poniższych funkcji są σ-addytywne (a) X jest nieskończony, A jest generowana przez podzbiory skończone. Dla A A kładziemy 0, gdy A jest skończony λ(a) = 1, gdy X \ A jest skończony (b) X i A dowolne. Ustalamy x X. Kładziemy λ(a) = 1l A (x) 1 (c) X = N, A dowolna. Kładziemy λ(a) = lim sup n n #(A {1,..., n}). Niech λ będzie funkcją addytywną określoną na algebrze A. Pokazać, że λ( ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A A, dla którego λ(a) jest skończone..3 Pokazać, że jeżeli λ na A jest addytywna i dla każdego ciągu zstępującego {B n }, B n A (tzn. takiego że... B n B n+1...), dla którego B n =, zachodzi lim λ(b n) = 0, to λ jest σ-addytywna. n N.4 Niech {A n } będzie ciągiem wstępującym algebr na pewnym zbiorze X (A n A n+1 ) i niech dla każdego n dana będzie σ-addytywna funkcja λ n : A n R, przy czym funkcje te spełniają następujący warunek zgodności: λ n (A) = λ n+1 (A), dla każdego A A n. Pokazać, że ciąg ten wyznacza jednoznacznie addytywną funkcję λ na algebrze A = n A n spełniającą warunek λ (A) = λ n (A) dla każdego A A n. Pokazać dodatkowo, że λ nie musi być σ-addytywna. Def: Niech S będzie pewną σ-algebrą na przestrzeni X. Funkcję rzeczywistą f : X R nazywamy mierzalną (względem S), jeśli s,t R f 1( (s, t) ) S Uwaga: Funkcję f : R R, mierzalną względem σ-algebry zbiorów borelowskich, nazywamy borelowską..5 Pokazać, że warunek w powyższej definicji można zastąpić jednym z poniższych warunków: (a) p,q Q f 1( (p, q) ) S, (b) s R f 1( (, s) ) S, (c) t R f 1( (, t] ) S Def: σ-algebrą σ(f) generowaną przez funkcję f nazywamy najmniejszą σ-algebrę, względem której f jest mierzalna..6 Opisać σ-algebrę generowaną przez funkcję: (a) a(x) = [x], (b) b(x) = [x], (c) c(x) = {x}, (d) d(x) = [ x ], (e) e(x) = sgn(x), (f) f(x, y) = x, (g) g(x, y) = x + y, (h) h(x, y) = {x}[y]..7 Sprawdź, czy dla poniższych funkcji zachodzą inkluzje σ(f) σ(g) i σ(g) σ(f): (a) f(x) = n1l [n,n+) (x), g(x) = 1l [n,+ ) (x), (b) f(x) = n=0 n=0 [ ] 1 sin(πx), g(x) = sgn ( sin(πx) ). Zad. dod. Pokazać, że każdy podzbiór otwarty prostej rzeczywistej R jest sumą co najwyżej przeliczalnej liczby przedziałów otwartych (i rozłącznych). 3
4 3 Miara i całka Lebesgue a 3.1 (Transport miary) Niech będą dane dwie przestrzenie X i Y, σ-algebra S Y, oraz funkcja φ : X Y. Pokazać, że rodzina R = { φ 1 (B) : B S } jest σ-algebrą. Niech ponadto na σ-algebrze S będzie dana miara µ. Pokazać, że wzór ν = µ φ, tzn. ν(a) = µ ( φ(a) ) definiuje miarę na σ-algebrze R. 3. Pokaż, że miara licząca na Z (tzn. µ(a) = #A) jest niezmiennicza na przesunięcia (tzn. µ(n+a) = µ(a)). Czy jest to jedyna taka miara na Z? W poniższych zadaniach m oznacza miarę Lebesgue a na prostej rzeczywistej R. 3.3 Niech C oznacza zbiór Cantora. Pokazać, że C jest równoliczny z R, ale m(c) = Skonstruować całkowicie niespójny (tj. niezawierający podzbiorów spójnych złożonych z więcej niż jednego elementu) zbiór zwarty K R taki, że m(k) > Skonstruować zbiór borelowski E R taki, że dla każdego niepustego przedziału I R zachodzi 0 < m(e I) < m(i). 3.6 Niech będzie dany ciąg funkcji f n : R R mierzalnych w sensie Lebesgue a. Czy: (a) funkcja lim sup f n jest mierzalna? (b) zbiór punktów zbieżności ciągu {f n } jest mierzalny? 3.7 Niech będzie dana funkcja f : R R mierzalna w sensie Lebesgue a. Czy: (a) funkcja ˆf(x) = lim sup f(t) jest mierzalna? Czy założenie mierzalności f jest istotne? t x (b) zbiór punktów ciągłości funkcji f jest mierzalny? 3.8 Niech będzie dany malejący ciąg funkcji nieujemnych f n : X R mierzalnych względem miary µ (tj. f 1 f... 0), zbieżnych punktowo do funkcji f. Udowodnić, że jeżeli f 1 L 1 (µ), to lim f n dµ = X f dµ. Pokazać dodatkowo, że założenie o całkowalności f 1 jest istotne. X 3.9 Niech będzie dany ciąg ograniczonych funkcji f n : X R mierzalnych względem miary µ, zbieżnych jednostajnie na X do funkcji f. Udowodnić, że jeżeli µ(x ) <, to lim f n dµ = f dµ. Pokazać X X dodatkowo, że założenie o ograniczoności miary µ jest istotne Skonstruować ciąg funkcji f n ciągłych na [0, 1] spełniających 0 f n 1 i lim jest zbieżny dla żadnego x [0, 1] Niech f L 1 (µ). Udowodnić, że ε>0 δ>0 E B µ(e) < δ f dµ < ε. E 0 1 f n (x) dx = 0, który nie 3.1 Mówimy, że zbiór E ma miarę σ-skończoną, jeśli E = E i i i µ(e i ) < 0. Miara µ nazywa się σ- skończoną, jeśli cała przestrzeń ma miarę σ-skończoną. Udowodnij, że jeżeli µ jest dowolną miarą dodatnią na X, to (a) jeśli f L 1 (µ), to {x : f(x) 0} ma miarę σ-skończoną; (b) jeśli istnieje f > 0 taka, że f L 1 (µ), to µ jest σ-skończona. i N 4
5 4 Model urnowy; drzewo zdarzeń 4.1 (szalona sekretarka) Sekretarka ma n różnych listów i n kopert zaadresowanych do n różnych osób. Wkłada je losowo do kopert i wysyła. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jeden list trafi do właściwej osoby. 4. (rozkład geometryczny) Rzucamy symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza szóstka pojawi się w n-tym rzucie. Uogólnij zadanie na przypadek, gdy szóstka pojawia się z prawdopodobieństwem p. 4.3 (zadanie o loterii czyli rozkład hipergeometryczny) Spośród N losów na loterii M wygrywa. Kupiliśmy k losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie r naszych losów wygra? 4.4 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? 4.5 Odcinek [0, 1] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część znów łamiemy na dwie części. Punkty złamania mają rozkład jednostajny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z tak otrzymanych trzech odcinków da się zbudować trójkąt. 4.6 zadane Buffona) Na płaszczyźnie narysowane są równoległe proste, przy czym odległość dwóch sąsiednich jest równa L (Cała płaszczyzna jest poliniowana w ten sposób). Na tę płaszczyznę rzucamy losowo igłę długości l, przy czym l <L. (a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie którąkolwiek z prostych. (b) Przeprowadź eksperyment i oszacuj na jego podstawie liczbę π. 4.7 (zadanie Banacha o zapałkach) Pewien matematyk nosi w kieszeniach dwa pudełka zapałek jedno w prawej kieszeni, drugie w lewej. Gdy potrzebuje zapałki, wybiera losowo jedną kieszeń, tak że kolejne próby stanowią ciąg prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p = 1. Załóżmy, że początkowo każde pudełko zawiera n zapałek i rozpatrzmy chwilę, gdy po raz pierwszy matematyk wyciągnie puste pudełko. W tym momencie drugie pudełko może zawierać k = 0, 1,,..., n zapałek. Oznaczmy odpowiednie prawdopodobieństwo przez p k. Oblicz p k. 4.8 W urnie są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest n, przegrywających m, jest też k losów graj dalej. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej? (b) Jak zmieni się prawdopodobieństwo wygranej, jeśli po wyciągnięciu losu graj dalej wrzucamy go do urny przed ponownym losowaniem? 4.9 (zagadnienie ruiny gracza) Ania i Bartek grają w orła i reszkę symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to Ania płaci Bartkowi 1 zł, a gdy reszka to Bartek płaci Ani. Na początku gry Ania ma 6 zł, a Bartek 4 zł. Gra kończy się, gdy którekolwiek z nich zostanie bez pieniędzy. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra nigdy się nie skończy? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra Ania? (c) Jak brzmią odpowiedzi na (a) i (b), gdy orzeł wypada z prawdopodobieństwem p (0, 1)? 4.10 Ania i Bartek znudzeni grą z poprzedniego zadania postanowili zagrać w inną: jedno z nich (uczciwie!) rzuca monetą dotąd, aż wypadnie jedna z kombinacji OOR albo ORR. Ania wygrywa, gdy jako pierwsze wypadnie OOR, Bartek natomiast, gdy jako pierwsze wypadnie ORR. Jakie są szanse wygranej Ani, a jakie Bartka? (Wskazówka dla ułatwienia (utrudnienia?): prawidłową odpowiedzią NIE JEST 1.) 5
6 5 Prawdopodobieństwo warunkowe (def. klasyczna); wzór Bayesa 5.1 Niech P (A 1... A n ) > 0. Wykaż, że zachodzi równość: P (A 1... A n ) = P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 3 A 1 A ) P (A n A 1... A n 1 ). 5. Niech A, B, C będą takimi zdarzeniami, że C A B oraz B A. Pokazać, że wtedy P (C A) > P (C A B). Powyższa własność prawdopodobieństw warunkowych nie jest zupełnie oczywista. Na przykład przy grze w brydża, prawdopodobieństwo, że gracz N ma cztery asy, jeśli wiemy, że ma asa pik jest większe od prawdopodobieństwa, że N ma cztery asy, gdy wiemy, że ma co najmniej jednego asa. 5.3 Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których możemy się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje nimi otworzyć drzwi. Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trafi na właściwy klucz za k-tym razem. 5.4 W sakiewce jest 100 monet, z których 99 normalnych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy losowo jedną monetę i rzuciliśmy nią 5 razy otrzymując 5 orłów. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy dodatkowo rzucimy 15 razy tą monetą, to otrzymamy 15 orłów? 5.5 Pewien gen obecny jest u jednej osoby na Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak czasami myli się wykrywa rzeczywistą obecność genu w 98 przypadkach na 100, a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na 100. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można w tym przypadku udzielić wynalazcy tego testu? 5.6 (schemat urnowy Pólya) W urnie jest b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia: (a) kuli białej za drugim razem? (b) kuli czarnej za trzecim razem? (c) k kul czarnych w n losowaniach? 5.7 (problem Serbelloni 1 ) Spośród trzech więźniów A, B, C jeden ma być skazany, a dwaj zwolnieni. Więzień A, znający strażnika, korzystając z okazji spytał go: Spośród B i C jeden będzie zwolniony. Jeśli wiesz, kto będzie zwolniony, podaj mi jedno nazwisko. Strażnik namyślał się chwilę i nie widząc przeciwwskazań powiedział, że C będzie zwolniony. Czy można twierdzić, że prawdopodobieństwo zwolnienia A zmalało z 3 do 1? 5.8 (problem Monty Halla) Teleturniej 3 polega na wyborze jednej z trzech bram, przy czym nagroda jest tylko za jedną z nich. Prowadzący oczywiście wie, za którą bramą jest nagroda. Kiedy uczestnik teleturnieju wybrał już jedną bramę (nie otwierając jej!), prowadzący otwiera jedną z dwóch pozostałych tę, za którą nic nie ma. Po otwarciu tej bramy prowadzący pyta, czy gracz chce zmienić swój wybór i wybrać trzecią z bram. Co powinien teraz zrobić gracz: pozostać przy początkowym wyborze, czy zmienić go na trzecią bramę? 5.9 Zapewne każdy zaobserwował następującą sytuację: Przychodzę do sklepu (dziekanatu, urzędu itp) i ustawiam się w długiej kolejce. Załatwiam sprawę i wtedy zauważam, że gdybym przyszedł teraz to albo w ogóle bym nie czekał, albo czekałbym krótko, bo kolejka bardzo zmalała. Ponieważ powtarza się to dość często, zastanawiam się czy jestem aż takim pechowcem? A może właśnie tak zbudowany jest świat? 1 kłótnia o jego rozwiązanie omal nie doprowadziła do zerwania pewnej konferencji z zastosowań matematyki w willi Serbelloni we Włoszech w 1966 roku W pierwotnej wersji zadania jeden z więźniów miał być po prostu ścięty. 3 prowadzony przez Monty Halla, stąd nazwa zadania 6
7 6 Zmienne losowe 6.1 Dana jest funkcja prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X: Wyznacz: i x i p i 0, 1 0, 0, 1 0, C 0, 1 (a) stałą C, (b) wykres funkcji prawdopodobieństwa, (c) dystrybuantę zmiennej X, (d) prawdopodobieństwa: P (X =1), P (X =), P (X <3), P (X ), P (X >0), P ( X <3). 6. Dana jest dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej X: Znajdź x (, ) [, 0) [0, 1) [1, 3) [3, + ) F (x) 0 0, 0, 5 0, 8 1 (a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X, (b) prawdopodobieństwa: P (X =1), P (X 3), P (X <), P (X >0), P ( <X <3). ( 6.3 Czas bezawaryjnej pracy licznika opisuje zmienna losowa T o funkcji gęstości f(t) = 1 τ exp t τ t>0 godz. (a) Przyjmując τ = oblicz prawdopodobieństwo, że licznik zepsuje się pomiędzy t 1 =5 a t =10. (b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej T. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy wyniesie co najmniej dwie godziny. (d) Oblicz medianę 4 oraz górny i dolny kwartyl Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: 1 (x + y)e (x+y), dla x, y 0 f(x, y) = 0, dla pozostałych (x, y) Wyznacz (a) dystrybuantę tej zmiennej, (b) P (X <1 Y >1), (c) P (0<X Y <1), (d) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (e) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej X +Y. 6.5 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: cx, dla 0 x y x 1, f(x, y) = 0, w pozostałych przypadkach. Wyznacz (a) wartość parametru c, (b) dystrybuantę tej zmiennej, (c) P (X < 1 Y > 1 ), (d) P (0<X Y <1), (e) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (f) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej U = X Y. ), dla 6.6 Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a f X jej gęstością (o ile istnieje). Wyznacz dystrybuanty i gęstości następujących zmiennych losowych: (a) ax + b, a 0, (b) X, (c) X, (d) ln X, przy założeniu P (X 0) = 0 (e) X, przy założeniu P (X <0) = 0, (f) sin X. 4 Mediana to taka wartość m R, że P (T m) = 1 5 Kwartyle dolny i górny to odpowiednio takie liczby rzeczywiste q 5%, q 75% R, że P (T q 5% ) = 1 4 oraz P (T q 75%) =
8 7 Funkcje zmiennych losowych 7.1 Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y = F X (X) (przy założeniu, że istnieje funkcja odwrotna do F X ). 7. Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady dyskretne, przy czym rozkład zmiennej X skupiony jest w n punktach, a zmiennej Y w k punktach. (a) Wykaż, że rozkład zmiennej X + Y też jest dyskretny. (b) Rozkład zmiennej X +Y skupiony jest w N punktach, przy czym n+k 1 < N < nk. (c) Wskaż dwa przykłady: jeden, w którym N = n+k 1 i drugi, w którym N = nk. 7.3 Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie niejednopunktowym. Znajdź zmienną Y, monotoniczną na R (np. nierosnącą, tj. spełniającą), o takim samym rozkładzie jak X, tj. X d = Y (podaj przepis na konstrukcję Y ). 7.4 Wykaż, że jeżeli zmienne X oraz Y są niezależne i mają jednakowy rozkład, to dla t > 0 zachodzą nierówności a) P ( X Y > t) < P ( X > t/), b) jeżeli a > 0 jest tak wybrane, aby P (X < a) > p, P (X > a) > p, to P ( X Y > t) > p P ( X > t + a), c) jeśli więc a = 0 jest medianą rozkładu X, to P ( X Y > t) > 1 P ( X > t). Wskazówka: Feller tom II, rozdział V, par Niech X będzie zmienną losową, a µ X jej rozkładem. Określmy funkcję tworzącą momenty 6 zmiennej X wzorem + M X (t) = E(e t X) = e tx dµ X x. Funkcja jest określona dla tych t, dla których całka po prawej stronie jest skończona. Oblicz funkcje tworzące momenty zmiennych (a) o rozkładzie normalnym N(0, 1), (b) o rozkładzie wykładniczym E(λ) z parametrem λ, (c) o rozkładzie Poissona P(λ) z parametrem λ. 7.6 Znajdź rozkład zmiennej losowej X, której momenty są określone wzorem: (a) m n (X) = n n+1 dla n = 1,,... (b) m k (X) = k 1 dla k = 1,, Niech funkcja tworząca momenty zmiennej X będzie określona dla t ( t 0, t 0 ), gdzie t 0 > 0. Wykaż, że wówczas (a) zmienna X ma wszystkie momenty skończone, tzn. E ( X n) < + dla n = 1,, 3,... (b) M X (t) = + k=0 t k m k(x) k! (c) k-ta pochodna M (k) X (0) = m k(x). 7.8 Znając funkcję tworzącą momenty rozkładu normalnego N(0, 1) (z zad. 5), wykorzystaj zad. 7c do obliczenia momentów zmiennej o rozkładzie N(0, 1). 7.9 Wykaż, że jeśli funkcje tworzące momenty zmiennych X i Y są równe na przedziale ( t 0, t 0 ) dla pewnego t 0 > 0, to zmienne te mają jednakowy rozkład (przykład dwóch różnych rozkładów o jednakowych momentach) Niech f(x) = 1 π 1 (ln x) x e 1l (0,+ ) (x) i określmy g(x) = f(x) ( 1 + sin(π ln x) ). Wykaż, że obie funkcje są gęstościami (różnymi), ale mają jednakowe momenty rzędu k = 1,, 3,... 6 k-tym momentem zmiennej X nazywamy liczbę m k,x = E(X k ) = R x k dµ X (x). 8
9 8 Zadania różne 8.1 Zmienna losowa X ma rozkłąd wykładniczy E(λ). Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X p dla każdego p > 0. Co można powiedzieć o przypadku p < 0 (p = 0)? 8. Urządzenie skłąda się z dwóch elementów pracujących niezależnie od siebie. Każdy z nich ulega awarii po czasie T (w godzinach), który jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = 0, 1 e 0,1 x dla x > 0 (poza tym f(x) = 0). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że urządzenie będzie działało bez awarii przez co najmniej 0 godzin 8.3 Egzamin składa się z dziesięciu pytań, na które wybiera się jedną z pięciu odpowiedzi. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo udzielenia poprawnej odpowiedzi na co najmniej połowę pytań, jeśli wybiera się odpowiedzi na chybił trafił? (b) Jaka jest wartość oczekiwana liczby punktów uzyskanych przy odpowiedzi metodą chybił trafił, jeśli za udzielenie poprawnej odpowiedzi otrzymuje się 3 punkty, a za złą odejmuje się punkty? (c) Jaka jest odpowiedź w punkcie (b), jeśli udziela się odpowiedzi jedynie na k = 0, 1,... pytań? Zadania z egzaminu aktuarialnego z działu: Prawdopodobieństwo i Statystyka (nr w nawiasie oznacza zad./egz.) 8.4 (/LXVI) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = e x dla x > 0 i niech Z oznacza część całkowitą zmiennej X (Z = [X]), a U część ułamkową (U = {X}). Wtedy wartość oczekiwana E ( ZU ) jest równa: (A) 1 (e 1), (B) e e(e 1), (C) e (e 1), (D) e e 1, (E) e(e ) (e 1). 8.5 (4/LXVI) W urnie znajduje się r = 5 kul, z których m = 15 jest białych i r m = 10 czarnych. Losujemy bez zwracania najpierw n 1 = 6 kul, a następnie spośród kul pozostałych w urnie, losujemy bez zwracania n = 9 kul. Niech S 1 oznacza liczbę białych kul wybranych w pierwszym losowaniu, S oznacza liczbę białych kul wybranych w obu losowaniach. Oblicz Cov(S 1, S). (A) 1,14, (B) 0,54, (C) 0,60, (D) 0,90, (E) 0, (6/LXVI) Załóżmy, że X 1, X,..., X n,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1], zaś N jest zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem P ( N = n ) ( ) n+ = p 3 (1 p) n dla n = 0, 1,,..., niezależną od zmiennych X 1, X,..., X n,... n { min(x1, X Niech M n =,..., X N ), gdy N > 0 0, gdy N = 0 Wtedy E(M N) jest równa: (A) p p3, (B) p + p, (C) 1 + p p, (D) p + p p 3, (E) p + p p (4/LXV) Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości f(x, y) = e x, gdy 0 < y < x < +, oraz f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Niech U = Y X i V = Y + X. Wtedy E ( V U = ) jest równa (A) 5, (B) 1, (C) 3, (D) 4, (E). 8.8 (5/LXV) Niech Z 1, Z,..., Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości danej wzorem f(x) = (1 + x) 3, gdy x > 0. Wtedy E( Z 1 +Z + +Z n min(z 1, Z,..., Z n ) = t ), gdzie t jest ustaloną liczbą dodatnią, jest równa (A) n + t 1, (B) (n 1)t + n 1, (C) nt + n 1, (D) (n 1)t + n 1, (E) (n + 1)t + n 1. 9
10 8.9 (7/LXV) Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskano mniej niż 6 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek. 48 (A) 1001, (B) , (C) , (D) , (E) UWAGA: Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu aaabbbaabbbba jest 5 serii (3 serie elementów a i serie elementów b) (4/LXIV) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1. Niech U = ln X Y. Wtedy: (a) zmienne U i Y są niezależne (b) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = (c) P ( U > 0 ) = 1 3 (d) E ( Y U =1 ) = e e + 1 (e) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = e u (1 + e u dla u R ) e u (1 + e u dla u>0 ) 8.11 (10/LXIV) Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi, na których nie wypadły jedynki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadły jedynki. Oblicz prawdopodobieństwo, że po co najwyżej trzech rundach na wszystkich kostkach będą jedynki (wybierz najbliższą wartość) (A) 0,01, (B) 0,050, (C) 0,06, (D) 0,017, (E) 0, (7/LXIII) Zmienna losowa (X, Y, Z) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = 0, EY = EZ = i macierzą kowariancji 1 4. Obliczyć Var ( X(Y + Z) ) 0 4 (A) 1, (B) 13, (C) 16, (D) 17, (E) (10/LXIII) Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem ( ) ( ) n 3 1 P (N = n) = (n + 1) dla n = 0, 1,,..., zaś X 1, X,..., X n,... zmiennymi losowymi niezależnymi od N i od siebie nawzajem. Zakładamy, że każda ze zmiennych X i ma rozkład Benoulli ego 4 4 P (X i =1) = p i P (X i =0) = q, gdzie p+q = 1, 0<p<1. Niech N 1 = N X i gdy N >0, oraz 0 gdy N =0, ( ) i=1 N1 i niech N 0 = N N 1. Wtedy E jest równa N ( (A) 7p 16q, (B) p q, (C) p ( ) ) ( 3 1, (D) p ( ) ) 3 p 1, (E) q 4 q q 4 p 3(q + 1) (6/LXIII) Niech X 1 będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1), X zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X 1 ), X 3 zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X ) itd. Niech N oznacza zmienną losową taką, że P (N = n) = n! (e λ gdy n = 1,, 3,..., gdzie λ > 0 jest 1) ustaloną liczbą. Zmienna N jest niezależna od zmiennych X 1, X, X 3,... Wtedy E ( X 1 X X N N! ) jest równa (A) eλ 1 λ λ(e λ 1), (B) eλ + 1, (C) λ(eλ 1 λ) e λ, (D) 1, (E) eλ (1 + λ) 1 λ(e λ 1) (6/LXII) Z urny, w której są dwie kule białe i trzy czarne, wylosowano jedną kulę, a następnie wrzucono ją z powrotem dorzucając kulę w tym samym kolorze, co wylosowana. Następnie z urny wylosowano dwie kule i wrzucono je z powrotem dorzucając dwie kule identyczne z wylosowanymi. Następnie wylosowano trzy kule. Okazało się, że są to trzy kule białe. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu wylosowano kule różnych kolorów. (A) 16 44, (B) 9 81, (C) 4 7, (D) 3 17, (E) λ n 10
1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń
Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń. (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość będzie większa
Zadania. 1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń
Zadania 1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń 1.1 (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu 1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Jednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
rachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Rozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
rachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Seria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom tak, aby każde
Przykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej