Część V: Analiza danych wielowymiarowych

Transkrypt

1 . nalza podobeństwa Metody regresyjne, tae ja metoda Free-Wlsona lub metoda Hanscha, znalazły szeroe zastosowane w przypadu tach danych, dla tórych spełnone są założena teoretyczne tych metod: jednorodność ser zwązów: wspólny szelet chemczny, do tórego przyłączone są podstawn ten sam mechanzm dzałana jeden lub co najwyżej la testów bologcznych z atywnoścą wyrażoną w sposób loścowy. Zdarza sę jedna często, że badane zwąz ne spełnają tych wymagań. Pommo to stawamy sobe za zadane doonane jaejś, w marę obetywnej, analzy tych zwązów pod ątem zależnośc strutura - atywność. Jednym z coraz częścej spotyanych problemów jest sytuacja, gdy właścwośc obetów naszych badań (w QSR zwązów) opsane są przez wele, w pewnym stopnu podobnych, testów bologcznych lub parametrów fzyochemcznych. Lczba cech jest ta duża, że bezpośredna, "ręczna", analza tabel danych przeracza możlwośc analtyczne mózgu ludzego. Rozważmy sytuację (E..Coats et al., QSR,99-9(9)), gdy atywność pochodnych -amnodfenylosulfonu (patrz strutura ponżej Przyład V-.) wyznaczona została w testach bezomórowych testach omórowych, łączne na szczepach bater. Przyład V-. NH O S O Wartośc atywnośc bologcznej pochodnych -amnodfenylosulfonu, oznaczonych symbolam od CO- do CO-, wyznaczonych w 9 testach bologcznych opsanych symbolam od do 9 przedstawa ponższa tabela: X Zwąz Testy bologczne MLR MLS MSR MSS MLER MLES ECR ECSM MSSM CO- -, -, -, -,9,,3 -, -,9 -,3 CO- -,9 -, -,9 -, -, -, -, -, -, CO-3 -, -,9 -, -, -, -,9 -,3 -, -,9 CP- -, -, -,99 -, -, -, -, -, -,3 CO- -, -, -,,,, -, -, -,3 CO- -, -, -, -, -,3 -, -, -,3 -, C- -, -, -,9 -, -, -, -,9 -,33 -,3 C- -, -,99 -,9 -,9 -,3 -, -,3 -,3 -, CO-9 -,3 -, -, -,,, -, -,3 -, CO- -, -, -,3 -,, -, -, -, -, C- -, -,9 -, -,9 -,3 -, -,93 -, -, C- -,3 -, -, -,9,3, -, -,3 -, C-3 -, -, -, -, -,3 -, -,3 -,9 -,3 C- -, -, -, -, -, -,3 -, -,9 -, CO- -,9 -, -, -, -, -, -, -, -,3 CO- -, -,3 -,3 -,9,3 -,3 -,9 -,9 -, CO-,9,,3,3,,3 -, -, -,9 Symbol 3 9 Bezpośredna analza danych zawartych w taej tabel wymaga dużego naładu pracy ze względu na formę prezentacj ne gwarantuje wyryca zależnośc strutura - atywność o le tae stneją. =========================================== Przed właścwą analzą SR lub QSR należy w taej sytuacj odpowedzeć pytane, a właścwe dwa różne pytana: ) czy zastosowane testy w ta sam sposób "reagują" na zmany strutury chemcznej? ) czy badane zwąz "rozróżnają" pomędzy używanym testam? Pytana te można równeż sformułować naczej: ) na le stosowane testy bologczne są do sebe podobne ze względu na badaną grupę zwązów? B) na le badane zwąz są do sebe podobne ze względu na stosowane testy? Ta postawone pytana prowadzą w obszar tzw. analzy podobeń stwa. Można jednaże spojrzeć na problem naczej: czy trzeba aż 9 testów bologcznych dla uzysana tej samej nformacj? Jeśl testy są w pewnym stopnu do sebe podobne, to być może wystarczy mnejsza ch lczba. Być może wystarczy lub nawet tylo 3? Jeśl wystarczy mnej, to tóre możemy opuścć? Te wszyste pytana prowadzą w erunu r e ducj wymarowoś c zadana. Badane przez nas zwąz opsywać można równeż podając ch właścwośc fzyochemczne. I wtedy równeż oazuje sę, że pewne właścwośc opsać można weloma weloścam esperymentalnym lub teoretycznym. Dotyczy to na przyład lpoflowośc, tórą merzyć można w welu różnych uładach chromatografcznych, lub właścwośc eletronowych, gdy dla opsu rozładu gęstośc eletronowej należy wyznaczyć gęstość eletronową w welu puntach przestrzen. W taej sytuacj należy równeż stosować analzę podobeństwa reducję wymarowośc zadana. Ja poazano powyżej do analzy podobeństwa prowadzą różne pytana. Ma to daleo dące onsewencje. W zasadze ta dwostość towarzyszyć będze wszystm dzałanom analzy podobeństwa. Z jednej strony nteresować nas będze tzw. przestrzeń t e s t ó w lub przestrzeń p a r a m e t r ó w (cech), a z drugej strony przestrzeń zwą zów lub puntów. Podstawowym problemem jest oreślene, co rozumemy pod pojęcem "podobeń stwo". W życu codzennym potrafmy zwyle rozpoznać wele rodzajów podobeństwa, np. podobeństwo twarzy, charateru psma, brzmena muzy tp. węc człoweow dana jest zdolność znajdywana podobeństw. Próbowano znaleźć obetywny sposób opsu podobeństwa. Stwerdzono, że podobeństwo przejawa sę zwyle w welu cechach jednocześne, choć w żadnej z nch całowce. Tym samym pomar podobeństwa pownen operać sę na welu cechach. Nasuwa to sojarzene z przestrzeną. Równeż w przestrzen punty mogą być blso sebe, chocaż żadna ch współrzędna brana oddzelne ne jest taa sama. węc podobeństwo ma jaś zwąze z

2 odległoścą w przestrzen, a właścwe z braem odległośc: z blsoścą. Pojawa sę jedna problem mary odległośc w welowymarowej przestrzen cech. Jest wsza oczywste, że naczej będzemy musel defnować odległość w przestrzen testów, a naczej w przestrzen puntów... Podobeństwo w przestrzen testów W przypadu analzy przestrzen testów nasuwającą sę marą podobeństwa jest współczynn orelacj pomędzy param testów. Jego wartość ne zależy od wyboru jednoste. Przyjmuje wartośc od - do, a co ceawsze ma równeż nterpretację geometryczną. Dowodz sę, że współczynn orelacj lnowej, r, jest równy osnusow ąta pomędzy wetoram testów w n-wymarowej przestrzen. Wraczamy tu na grunt abstracj matematycznej. Ważne jest ne tyle bardzo ścsłe dowodzene poszczególnych twerdzeń le wyrobene sobe poprawnych, ntucyjnych nawyów nterpretowana tych twerdzeń. Wróćmy węc do Przyładu V.. Było tam zwązów opsanych 9 testam bologcznym. Te 9 testów tworzy 9-wymarową przestrzeń. Każdy z testów defnuje jeden z wymarów przestrzen. W odróżnenu jedna od lasycznej przestrzen artezjańsej poszczególne wymary (ose uładu współrzędnych) ne muszą być do sebe prostopadłe. I właśne współczynn orelacj lnowej r j jest osnusem ąta mędzy osam O Oj. Przyład V-. Macerz współczynnów orelacj dla 9 testów przedstawonych w Przyładze V- prezentuje ponższa tabela:,,93, 3,9,9,,99,9,99,,9,9,9,93,,9,9,9,9,99,,9,9,,,,9,,9,9,9,,,99,3, 9,,3,,,,,33,9, 3 9 Jednaże współczynn orelacj ne jest an dobrą marą podobeństwa, an tym bardzej odległośc pomędzy testam. Może jedna stanowć stanow dobry punt startu do oblczena tych welośc. Ja teraz przejść od współczynna orelacj do odległośc pomędzy testam? Należy zacząć od zdefnowana odległośc w sense matematycznym. Wyazano, że jao mara odległośc może być stosowana ażda funcja d rs oreślona na dwóch jednowymarowych macerzach (zestawach współrzędnych) x r x s spełnająca 3 warun: ) d rr = ) d rs = d sr ) d rs d rl + d ls Warune ) oznacza, że odległość puntu od samego sebe równa jest zawsze zero. Warune ) wymaga, aby odległość puntu r od puntu s była równa odległośc s od r, czyl ne zależała od olejnośc puntów. Warune ) zwany regułą trójąta narzuca na funcję wymóg, aby odległość r od s była ne węsza nż suma odległośc r od dowolnego puntu l l od s. Współczynn orelacj ne spełna warunu ): współczynn orelacj testu z samym sobą wynos, a ne. Zaproponowano węc szereg mar odległośc pomędzy testam opartych na ta przeształconym współczynnu orelacj, aby spełnone były wszyste trzy warun. Najszersze zastosowane znalazły dwa z nch: ) wartość bezwzględna z tangensa ąta pomędzy wetoram testów: T r T d = dla d.. + ) j j r ) odległość pomędzy ońcam znormalzowanych wetorów testów: d W j = r dla d W j.. Każda z tych mar ma swoje wady zalety. Mara tangensowa, d T, oparta jest na zasobe nformacj wspólnej nesonej przez analzowane testy. Wetory równoległe (r = ) ja antyrównoległe (r = -) nosą taą samą nformację, a węc ch podobeństwo jest najwęsze, równe. Wetory ortogonalne mają zerowe podobeństwo, gdyż ażdy z nch zawera całowce różną nformację. Wetory o współczynnach orelacj różnych od ± zawerają w częśc nformację specyfczną, a w częśc nformację wspólną. Zawartość tej wspólnej nformacj jest marą ch podobeństwa. Tangensowa mara odległośc ma obecne najszersze zastosowane w analze podobeństwa. Mara wetorowej, d W, oparta jest całowce na nterpretacj geometrycznej. Najbardzej odległe (d W = ) są w nej wetory antyrównoległe, a wetory ortogonalne mają d W =. Przyład V-3. Macerz odległośc d T testów bologcznych z Przyładu V-.:,,33, 3,39,3,,33,3,,,9,33,3,3,,,3,9,,,,,3,,,,,,,9,, 3, 3,9,3, 9,3,3,3,9,39,,,9, 3 9 Ta węc po wybranu mary odległośc pomędzy testam, najczęścej jao d T, oblczamy tablcę odległośc pomędzy testam. Jest to perwszy etap analzy podobeństwa testów. W następnym etape (lub etapach) poddaje sę tą tablcę odpowednej obróbce w celu znalezena podobeństw

3 różnc. Ponżej omówone zostaną typowe sposoby analzy tablcy odległośc testów.... Metoda grafczna Czeanowsego. Pełną, wadratową, macerz odległośc testów zaopatrujemy w dodatowy wersz olumnę zawerające dentyfatory (numery, nazwy) testów. Wyberamy następne la (zwyle lub 3) wartośc progowe odległośc, np.,;,,, elementom macerzy odległośc przypsujemy odpowedne symbole grafczne, np.: # dla d, + dla, d, : dla, d, dla d >, Powstaje w ten sposób tzw. neuporządowany dagram Czeanowsego. Przestawając odpowedno wersze olumny dagramu (synchronczne!) dążymy do tego, aby zna # znalazły sę ja najblżej głównej przeątnej. Gdy dalsze przestawane ne prowadz już do poprawy uporządowana uznajemy, że otrzymalśmy dagram uporządowany. Przy oazj nejao doonalśmy lnowego uszeregowana testów pogrupowalśmy je w blo (wadraty woół głównej przeątnej) o dużym podobeństwe w ramach blou. Symbole + : dostarczają dodatowych nformacj ułatwających porządowane nformujących o tworzenu sę ewentualnych "archpelagów" (łańcuchów) bloów lub też sugerujących nelnowe uporządowane. Przyład V-.: Dagram Czeanowsego dla atywnośc bologcznej dfenylosulfonów Z analzy tablcy odległośc z Przyładu 9-II. wyna, że wsazane jest użyce znaów grafcznych: jednego (#) dla odległośc mnejszych nż, drugego (+) dla odległośc z przedzału <,..,). Odległośc węsze nż, oznaczać będzemy pustym polam. Przy przyjęcu tach założeń powstaje dagram neuporządowany przedstawony ponżej po strone lewej. 39 ####### ####### 3######+ ######+ ######+ ######+ ##++++# #+ 9 +# 39 3######+ ######+ ######+ ######+ ####### ####### ++++### #+ 9 +# Już z analzy dagramu neuporządowanego wdać wyraÿne, że zastosowane testy dzelą sę na dwe wyraÿne grupy: testy od do tworzą jedną grupę, a testy 9 drugą. Duża grupa ne jest jedna uporządowana: odległość od jest wyraÿne mnejsza nż nnych testów. Sugeruje to, że testy pownny na dagrame znaleÿć sę obo testu. Oznacza to potrzebę przestawena olumn werszy zawerających testy pomędzy olumny/wersze zawerające testy. Ta też zrobono. Uzysany, uporządowany dagram znajduje sę powyżej po prawej. Wdać teraz dodatowe elementy: testy 3 do stanową stosunowo zwartą grupę bardzo podobnych testów testy stanową swego rodzaju pomost pomędzy testam od 3 do a testem testy 9 tworzą oddzelną grupę ne wyazującą węszego podobeństwa do żadnego nnego testu Dagram Czeanowsego ne jest obetywnym sposobem analzy podobeństwa. Otrzymany rezultat zależy w dużym stopnu od wyboru wartośc progowych. W dagramach przedstawonych powyżej przyjęto wartośc progowe:,,. Uzysany obraz jest jedna bardzo zgrubny: węszość obetów należy do jednego supena tórego strutury wewnętrznej ne daje sę oreślć. Można jedna zmenć wartośc progowe, np. w ta sposób, że: # oznacza odległośc mnejsze od,3 + oznacza odległośc z przedzału od,3 do, : oznacza odległośc z przedzału od, do, Dagram otrzymany przy zastosowanu tach symbol (bez dodatowego przestawana werszy olumn) przedstawa schemat obo. Wdać, że przypadowo udało sę w tym uładze prawdłowo odtworzyć olejność lnowego uporządowana testów: po zastosowanu nowych symbol ne wymaga ponownego uporządowana. Wdać równeż, że testy od 3 do tworzą badrzo zwarte supene. Testy (ale ne 3 ) wyazują duże podobeństwo do testu (ale ne ). Testy ne wyazują dużego podobeństwa (d ne mnejsze nż,3) do żadnego testu, ale można ustalć ch olejność przez porównane z testem 3 ( jest dalej nż ). 39 3####++: ####+++ #####++ #####++ ++### #+ :+++++# #+ 9 +# Testy 9 tworzą oddzelne, nezbyt slne zwązane, supene. Są one ta odległe od nnych testów, że problem do tórego jest m najblżej ne ma już stotnego znaczena.... nalza wązowa (Cluster nalyss). Jest to metoda, tóra w forme odpowednego dagramu (drzewa) przedstawa herarchczne grupowane zboru obetów (np. testów). Oś pozoma dagramu analzy wązowej jest całowce umowna ne ma charateru os lczbowej. Na os ponowej zaznacza sę odległość lub podobeństwo przy tórym dane dwa obety tworzą supene. Przy onstrucj dagramu orzysta sę z tablcy odległośc powtarzając cylczne ponższy cąg operacj:. znajdujemy tae dwa obety oraz j (testy lub ch supena) dla tórych odległość jest najmnejsza. Tworzą one nowy obet. Jednocześne notujemy sład obetu podobeństwo przy tórym nastąpło powstane nowego obetu. zmnejszamy rozmar tablcy odległośc o tworząc wersz olumnę odpowadającą nowemu obetow usuwając wersze olumny oraz j. Operacje ) ) powtarzamy ta długo, aż wszyste obety utworzą jedno wspólne supene. Zanotowane odległośc przy tórych doszło do powstana nowego supena odładamy na os ponowej, a na os pozomej zaznaczamy numery lub symbole obetów ulegających połączenu. Jeżel obety mają tendencję do grupowana sę, to otrzymamy wąz (clusters) wyraÿne wdoczne na dagrame. 3

4 Przy tworzenu nowego wersza/olumny pojawa sę problem oreślena odległośc nowego supena od pozostałych obetów /lub supeń. W pratyce stosuje sę trzy odmenne podejśca: odległość najblższego sąsada: przyjmujemy jao odległość obetu l od nowego obetu mnejszą z dwóch odległośc d l lub d jl : d l = mn(d l ;d j ) odległość centrodową: przyjmujemy jao odległość obetu l od nowego obetu średną z dwóch odległośc d l lub d jl : d l = (d l +d j )/ odległość najdalszego sąsada: przyjmujemy jao odległość obetu l od nowego obetu węszą z dwóch odległośc d l lub d jl : d l = mn(d l ;d j ) Każde z podejść prowadz do neco odmennego dagramu. Najpowszechnejsze zastosowane znajduje przy tym odległość najblższego sąsada jao najbardzej naturalna. Jednaże w przypadu gdy zależy nam na podreślenu nawet newelch różnc pomędzy obetam cenne usług oddaje zastosowane odległośc najdalszego sąsada. Przyład V-: nalza wązowa atywnośc amnodfenylosulfonów W oparcu o tablcę odległośc testów (Przyład V-3) poszuujemy najmnejszej odległośc pomędzy testam. Stwerdzamy, że wynos ona, dotyczy testów. Tworzymy z nch nowy obet wyznaczamy jego odległość od pozostałych obetów stosując zasadę najblższego sąsada:,,33, 3,39,3,,33,3,,,,3,3,3,,,3,,,,,,9,, 3,9,3, 9,3,3,3,9,39,,9, 3 9 Poszuujemy następnej najmnejszej odległośc. Wynos ona, dotyczy testów 3 : tworzymy z nch nowy obet B wyznaczamy jego odległość od pozostałych obetów:,,33, B,39,3,,,3,3,,,3,,,,,9, 3,9,3, 9,3,3,3,39,,9, B 9 Następna najmnejszej odległość wynos ona,3 dotyczy obetów B: tworzymy z nch nowy obet C wyznaczamy jego odległość od pozostałych obetów:,,33, C,,3,,,3,,,,9 3,9,3, 9,3,3,39,,9, C 9 Następna najmnejsza odległość wynos ona, dotyczy obetów C: tworzymy z nch supene D D,,3,,,3, 3,9,9,3, 9,39,3,,9, D 9 Następna najmnejsza odległość wynos ona,3 dotyczy obetów D: tworzymy z nch supene E E,,, 3,9,3, 9,39,,9, E 9 Następna najmnejsza odległość wynos ona, dotyczy obetów E: tworzymy z nch supene F F,,3, 9,39,9, F 9 Poszuujemy następnej najmnejszej odległośc. Wynos ona,9 dotyczy testów 9: tworzymy z nch nowy obet G wyznaczamy jego odległość od pozostałych obetów: F, G,39, F G

5 Odległość obetów F G wynos,39 powyżej tej odległośc mamy już tylo jeden obet. Doonalśmy w ten sposób herarchcznego pogrupowana testów w obety od do G możemy teraz wyonać graf otrzymanego grupowana:. Odleg³oœæ Na podstawe otrzymanego grafu (rysune powyżej) można stwerdzć, że analzowane testy dzelą sę na dwe wyraźne wąz: do jednej należą testy od do, a do drugej testy 9. W ramach perwszej z wąze można ponadto wydzelć dwa bardzo do sebe podobne testy:.. Odleg³oœæ.. Dendryt stanow stosunowo efetywny sposób przedstawena wzajemnych podobeństw pomędzy testam, nawet w przypadu bardzo somplowanej strutury wewnętrznej zboru. Wadą dendrytu jest pewna dowolność w onstruowanu ońcowego grafu. Należy unać sytuacj, gdy węzły odległe o la wązadeł znajdą sę blso sebe, gdyż sugeruje to ch podobeństwo. Przy nterpretacj dendrytu pamętać należy, że zawera on tylo nformację o odległoścach przedstawonych w postac wązadeł. Ewentualne podobeństwo węzłów ne połączonych bezpośredno wyna jedyne z przeonana, że jeżel jest blso B C jest blso B, to jest blso C. Ewentualnych mylnych sugest dotyczących zbytnego podobeństwa węzłów można unnąć rysując graf w masymalne "rozcągnętej" postac ustawając najdłuższy cąg wązadeł wzdłuż jednej prostej, a "gałęze boczne" rysując prostopadle do tego "pna" naprzemenne po jednej drugej strone. Przyład V-.: Dendryt testów bologcznych. nalzując olejne wersze/olumny tablcy odległośc testów (Przyład V-3) otrzymujemy następujące wyn: Test najblższy sąsad odległość,,3 3, 3,,,, 9,9 9,9 Daje to 3 supena perwotne:. 3 9 Zastosowane zasady najdalszego sąsada do tych samych danych prowadz do odmennego grafu (rysune powyżej). Najstotnejsza różnca polega na wyraźne lepszym podzale obetów na dwe główne wąz. Dlatego też odległość najdalszego sąsada stosuje sę raczej przy poszuwanu różnc nż podobeństw obetów...3. Dendryt. Dendryt, czyl graf najmnejszych odległośc, uzysujemy poprzez teracyjne, sewencyjne przeszuwane tablcy odległośc w trace tórego tworzymy supena testów, a późnej supena supeń, czyl supena wyższych rzędów. Supena perwotne uzysuje sę przez olejne poszuwane w ażdym werszu (olumne) tablcy odległośc elementu najmnejszego. Supena -tego rzę d u otrzymuje sę poprzez poszuwane najmnejszych odległośc pomędzy testam należącym do różnych supeń nższego rzędu. nalzę ończy sę z chwlą, gdy wszyste testy znajdą sę w jednym supenu. W oparcu o uzysane długośc najmnejszych odległośc rysuje sę graf najmnejszych odległośc, czyl dendryt, przyjmując, że długośc połączeń pomędzy węzłam grafu (testam) są proporcjonalne do rzeczywstych odległośc pomędzy testam. 3 9 Poszuując supeń II. rzędu stwerdzamy, że pomędzy testam 3 występuje najmnejsza (wynosząca,3) odległość pomędzy testam należącym do różnych supeń. Otrzymujemy w ten sposób supena II. rzędu: 3 9 Najmnejsza odległość pomędzy supenam II. rzędu wynos,39 występuje pomędzy testam 9. W ten sposób wszyste testy znalazły sę w jednym supenu, a my wyznaczylśmy najmnejsze odległośc pomędzy nm: można teraz przystąpć do onstrucj grafu. Jeden z możlwych sposobów narysowana taego grafu (tzw. graf rozcągnęty) przedstawa ponższy rysune. 9 3 Na uwagę zasługuje duże podobeństwo wynów uzysanych różnym metodam analzy. Dotyczy to szczególne dagramu Czeanowsego, analzy wązowej dendrytu. Na podstawe publacj Coatsa wsp. można stwerdzć, że testy o numerach od do są testam w uładze bezomórowym. Jedyne testy 9 dotyczą badań prowadzonych na całych omórach, odpowedno E.col M.stgmats. Zadzwające jest ja przy pomocy ser zwązów bylśmy w stane zdentyfować tą podstawową różncę w naturze zastosowanych testów bologcznych.

6 . nalza podobeństwa w przestrzen zwązów nalza przestrzen testów to zaledwe część pełnej analzy podobeństwa. Drugą, neodłączną jej częścą jest analza przestrzen zwązów, czyl poszuwane podobeństw pomędzy zwązam ze względu na stosowane testy. W przypadu badań QSR jest to zwyle pomost łączący wyn badań bologcznych (z natury lczbowych) z elementam strutury chemcznej, tórą cągle jeszcze tratuje sę raczej jao przynależność do oreślonej lasy strutur to pommo spetaularnych sucesów metod regresyjnych tach ja np. metoda Hanscha. Przy ażdej analze podobeństwa luczowym problemem jest defncja odległośc, w tym przypadu odległośc zwązów w K-wymarowej przestrzen testów. W zdecydowanej węszośc prac stosuje sę euldesową marę odległośc d j pomędzy zwązam oraz j: d j = K ( z z ) j = gdze: K - lość testów, z tym, że ne stosuje sę bezpośredno wartośc testów x, lecz tzw. z m e n n e normalzowane z. Normalzacja ma na celu zapewnene jednaowego wpływu ażdego z testów na odległość nezależne od stosowanych w ażdym ndywdualnym teśce jednoste mar. Wartośc normalzowane zmennej oblcz sę ze wzoru: x x gdze: z = x oznacza średną s wartość testu, a s jego odchylene standardowe. Dzę standaryzacj otrzymane transformowane zmenne mają wartość średną równą jednaową warancję równą. Przyład V-: Wartośc standaryzowane testów atywnośc W oparcu o wartośc 9 testów atywnośc bologcznej pochodnych amnodfenylosulfonu (Przyład V-) przygotowano zmenne standaryzowane: Zwąz Testy bologczne MLR MLS MSR MSS MLER MLES ECR ECSM MSSM CO-,,3,3,,3,3,3,3, CO- B -, -, -, -,3 -, -, -,3, -, CO-3 C -, -, -,9 -, -, -, -,3,39 -,3 CP- D -, -,3 -, -, -,3 -, -,3, -,9 CO- E,,,,3,33,3,3,39, CO- F -,3 -,39 -, -,3 -, -, -, -, -,9 C- G, -,9,,,,,9,, C- H -,33 -, -,,, -, -,3 -,9 -, CO-9 I,,3,,,,9,,, CO- J,,,3,,9,9,,9, C- K -,3 -,3 -, -,9 -, -,9,, -, CO- L,,,3,,9,,9,3 C-3 M -, -, -, -, -, -, -,9 -,, C- N,9,,,,,9, -,9 -, CO- O -, -,33 -, -,99 -, -, -,,, CO- P,3,,,,, -,,3,99 CO- Q,3,39,39,3,33,93,3 -,3 -, Znormalzowane wartośc testów służą następne do wyznaczena tablcy odległośc zwązów:, B, C,3 D, E, F, G, H, I, 3 J, K, L, M,3 9 N, O,3 P,,,, 3,,,,,,,,9,,,,,,9,3 3,,,9,9,9,,,3,,,,,,,,,,,3 3,,,9 9,,,,,,,, 3, 3,,3,,3,,,9,,3,,,3,,,, 3,,9 9,,,,,,9, 9,3,,3,, 9,3,,,,,,,,,,9 9,,3 9,,,3 9,,9,9,3,,9,,,3,,, 3,9,,3,,,3 9,,,,,,,

7 Q,9,3,3,,,,,,9,9,,,,,,9, B C D E F G H I J K L M N O P Q ============================================================================================ Oblczona tablca odległośc służy następne do analzy podobeństwa zwązów. Wzualna analza tablcy odległośc jest w przypadu przestrzen zwązów jeszcze trudnejsza nż w przypadu przestrzen testów, m.n. na węszy rozmar tablcy. Dlatego równeż tutaj stosuje sę wele metod zwęszających efetywność analzy. Przy analze przestrzen zwązów można stosować te same techn, co w przypadu przestrzen testów: dagram Czeanowsego, dagram odległośc, analzę wązową, dendryt. B C D E F G H I J K L M N O P Q # # B # # - + C # D + # E # # F - - # # - - G - # H - - # # - - I # J # + + K # # + L # + M - # + N # O # P # Q # Przyład V-: nalza podobeństwa amnodfenylosulfonów. Oblczoną w Przyładze -I tablcę odległośc zwązów wyorzystamy teraz do analzy podobeństwa badanych zwązów. Jao perwszą technę omówmy zastosowane dagramu Czeanowsego. Przy sporządzanu ponższych dagramów zastosowano następujące symbole: # dla odległośc mnejszej nż, + dla odległośc z przedzału od, do, - dla odległośc z przedzału od, do, bra symbolu dla odległośc węszych nż,. Ponżej przedstawono perwotny, neuporządowany dagram (po lewej) oraz jedną z wersj otrzymanych po przestawenu netórych werszy olumn (po prawej). C F H D B K O M G L P J I E N Q C # F # # H # # D - - # B # # K # # + - O # + M - + # G - - # L - # P + + # + + J # I # - - E # # # # N # Q # Na dagrame uporządowanym wdać wyraźne la charaterystycznych cech analzowanego zestawu zwązów: zwąz C, N Q ne są podobne do żadnych nnych tworząc tzw. punty odosobnone. Ich położene w stosunu do nnych zwązów ne daje sę jednoznaczne oreślć (zamana mejscam np. C Q ne zmena charateru dagramu). pozostałe zwąz tworzą mnej lub bardzej zwarte grupy uładające sę ja oral nanzane na przeątną dagramu szczególne duże podobeństwo występuje pomędzy zwązam: F H, B K oraz E. Ta sama tablca odległośc może być wyorzystana do analzy wązowej. Wyn taej analzy przedstawa ponższy schemat: H C F D B K G P J I O M Q N L E I tu równeż stwerdzamy te same, co z zastosowanem poprzednch techn, elementy podobeństwa. =============================================== HF D BK O M E J I G P L N Q C Uzysano obraz bardzo podobny do otrzymanego dzę dagramow Czeanowsego. Dla porównana przeanalzujmy jeszcze dendryt zwązów utworzony w oparcu o tą samą tablcę odległośc: Oprócz poznanych dotychczas techn analzy podobeństwa bazujących na tablcy odległośc, w przypadu analzy przestrzen zwązów zastosować można czasam (zwyle gdy lość testów wynos ) grafczne metody bezpośredne. Zdecydowana węszość z nch opera sę na wyorzystanu zdolnośc mózgu do efetywnego znajdywana podobeństw obetów grafcznych. Badana psychologczne wyazują, że węszość ludz to wzroowcy, czyl osoby najefetywnej przyjmujące analzujące nformację wzualną. Ponżej omówone zostane la techn analzy podobeństwa wyorzystujących oo mózg człowea do rozpoznawana podobeństwa ształtów. Cechą charaterystyczną tych techn jest bezpośredne wyorzystywana normalzowanych wartośc testów bez onecznośc oblczana tablcy podobeństwa.

8 Jedną z perwszych techn tego typu były tzw. dagramy słupowe. Polegają one na tym, że w oreślonej olejnośc rysujemy słup o długośc proporcjonalnej do normalzowanych wartośc testów. Dagram ta wyonać należy oddzelne dla ażdego zwązu. Poszuwane podobeństw zwązów opera sę na wzualnej analze rozładu słupów. Przyład V-9: nalza podobeństwa amnodfenylosulfonów z wyorzystanem dagramów słupowych. W oparcu o znormalzowane wartośc testów atywnośc (Przyład -I) wyonano wyresów słupowych odpowadających poszczególnym zwązom. Kolejność testów ja w tabel z Przyładu.

9 B C D E F G H I J K L M N O P Q Na podstawe otrzymanych wyresów można ne tylo poszuwać podobeństwa zwązów, ale równeż łatwo ocenć ch względną atywność w ser. Jest to możlwe dzę normalzacj testów. Zwąz, tórych wyresy słupowe mają nedużą wysoość charateryzują sę atywnoścam zblżonym do średnej (np. zwąz B, G K). W przypadu zwązów dużo atywnejszych nż średna ch wyresy słupowe charateryzować sę będą dużą wysooścą (np. E). I odwrotne, zwąz o bardzo nsej atywnośc będą mały długe słup serowane w dół (np. C H). Zwąz odznaczające sę zróżncowaną atywnoścą w różnych testach będą mały długe słup serowane zarówno w górę ja w dół (np. zwąze Q). ======================== Ewolucja wyształcła w nas raczej zdolność do rozpoznawana pewnych ształtów naturalnych: owadów, watów, lśc tp. Podobeństwo dagramów słupowych, tworów, tórych sztuczność ne ulega dla nogo wątplwośc, ne są w tej sytuacj zbyt dobrym obetam analzy wzualnej. Dlatego też zaproponowano równeż nne sposoby grafcznego przedstawana wartośc welu zmennych. Dwa z nch omówone zostaną ponżej. Kwaty motyle. W matematyce znane są funcje, tórych wyresy w odpowednm uładze współrzędnych dają ceawe, charaterystyczne urozmacone ształty. Do grupy tach funcj należą np. szereg trygonometryczne we współrzędnych begunowych. Jeśl zależność promena wodzącego, r, od ąta α przedstawmy jao szereg trygonometryczny w postac: n rα = a sn α + r ( ) ( ) 9

10 to w zależnośc od wartośc a r o otrzymuje sę dużą rozmatość funcj o orese π, tóre w uładze begunowym tworzą rzywe zamnęte o bardzo urozmaconych ształtach zblżonych do ształtów dzwnych watów lub owadów. Jeśl jao współczynn a przyjmemy znormalzowane wartośc testów, to ażdy zwąze można przedstawć jao jedną rzywą tego typu. nalza podobeństwa ształtu tach rzywych jest dla węszośc ludz łatwejsza nż abstracyjnych wyresów słupowych. Przyład V-: nalza podobeństwa amnodfenylosulfonów z wyorzystanem szeregów trygonometrycznych. Przyjmując w szeregach trygonometrycznych r o = a równe znormalzowanym wartoścom testów bologcznych otrzymujemy w uładze begunowym bardzo charaterystyczne rzywe zblżone do fantastycznych watów lub owadów. Zastosowane tach rzywych do analzowanego dotychczas zestawu amnodfenylosulfonów przedstawa ponższy zestaw: B C D E F G H I J K L M N O P Q Podobne ja w przypadu wyresów słupowych, równeż w przypadu "motylów" można poszuwać ne tylo podobeństwa właścwośc w przestrzen zwązów, ale równeż w pewnym stopnu zależnośc strutura-atywność. Im węszy owad tym bardzej atywność odbega od średnej. W przypadu atywnośc powyżej średnej najdłuższe "srzydeła" są wygęte u górze (np. CO-, CO-, CO-), a w przypadu atywnośc ponżej średnej są wygęte u dołow (np. CO-3 lub CO-). ============================================ Twarze. Z badań psychologcznych wyna, że węszość ludz posada wrodzoną zdolność rozpoznawana rysów twarzy łatwego znajdywana mędzy nm podobeństw. Dlatego też zaproponowano, aby do wzualnej analzy podobeństwa wyorzystać tą wrodzoną zdolność. W/g orygnalnej propozycj Chernoffa pewnym elementom twarzy (np. rozstaw oczu, długość nosa, położene brw źrenc) przypsać można znormalzowane wartośc testów. W pewnych badanach lncznych wyorzystano tą technę do zobrazowana stężeń we rw pacjentów pozomów substancj ważnych z lncznego puntu wdzena (np. cholesterolu, moczna, reatynny, gluozy nnych). Badana te wyazały, że techna ta może być z powodzenem wyorzystana jao pomoc przy stawanu dagnozy przez learza nternstę. Twarze Chernoffa wyorzystać można równeż do przedstawena podobeństwa potencjalnych leów. Przyład V-: nalza podobeństwa amnodfenylosulfonów z wyorzystanem twarzy Chernoffa Zastosowane tach przedstaweń grafcznych do analzowanego dotychczas zestawu amnodfenylosulfonów przedstawa ponższy zestaw:

11 B C D E F G H pochodnych, a w przypadu zwązu N równeż na właścwośc eletronowe. Stwerdzlśmy ponadto występowane supeń zwązów. Perwsze supene tworzyły zwąz: H, F, D, B, K, O M. Wdzmy teraz, że są to pochodne zawerające podstawn o podobnym efece eletronowym raczej nepolarne. Druge supene zawera zwąz: G, P, L, J, I, E oraz. Do supena tego należą z ole przede wszystm zwąz z podstawnem amnowym lub amdowym oraz grupą OH. ======================================= I J K L M N O P Q LEGEND: face/w = MLR, ear/lev = MLS, halfface/h = MSR, upface/ecc = MSS, loface/ecc = MLER, nose/l = MLES, mouth/cent = ECR, mouth/curv = ECSM, mouth/l = MSSM, ========================================= Po przeprowadzenu analzy podobeństwa zwązów pownnśmy zwyle nałożyć na uzysany schemat podobeństwa nformację o budowe chemcznej analzowanych zwązów. Istotne jest przy tym aby wyonać to dopero p o z a o ń czenu analzy podobeństwa. Taa olejność pozwala na unnęce subetywnego udzału osoby przeprowadzającej analzę. Ma to szczególne stotne znaczene gdy podstawą analzy podobeństwa są testy bologczne. Przyład V-: Porównane wynów uzysanych z analzy podobeństwa amnodfenylosulfonów z ch budową chemczną. NH O S O Ponższa tabela zawera nformację o budowe chemcznej pochodnych amnodfenylosulfonów tórych analzę podobeństwa ze względu na 9 testów bologcznych przeprowadzalśmy w powyższych Przyładach. Symbol zw¹zu Podstawn X NH B OCH 3 C NO D H E OH F Cl G NHCOCH 3 H Br I NHCH 3 J NHC H K CH 3 L N(CH 3 ) M COOCH 3 N COOH O CONHNH P NHCH COOCH 3 Q NHCH COOH nalzę oprzemy na wynach uzysanych w Przyładze -VIII. Stwerdzlśmy tam występowane 3 zwązów tworzących punty odosobnone. Były to zwąz C, N oraz Q. W oparcu o powyższą tabelę możemy teraz stwerdzć, że zwąze C jest pochodną ntrową tórej właścwośc eletronowe są unalne w badanej ser zwązów. Z ole zwąz N Q posadają zdolną do dysocjacj grupę arbosylową. Wpływa ona w stotny sposób na lpoflowość X.3 Reducja wymarowośc przestrzen testów lub parametrów. Wyryce podobeństwa pomędzy przynajmnej netórym testam lub parametram fzyochemcznym (wyso stopeń orelacj) prowadz do problemu ja wyelmnować z opsu grupy zwązów testy powtarzające ops zawarty w nnych testach. Taa elmnacja przynosłaby dwe orzyśc: ) zmnejszene lczby zmennych, czyl welośc macerzy danych ) poprawę właścwośc numerycznych danych do oblczeń, co prowadz do precyzyjnejszych wynów poprzez zmnejszene przedzałów ufnośc. Pozostaje do ustalena sposób elmnacj. Pownen on, pommo zmnejszena lczby testów/parametrów, zapewnć prawdłowy ops obetów/zwązów. Jednocześne zespół testów tóry pozostane, tzw. z e s p ó ł testów dagnostycznych, pownen być możlwe lczny. Podane powyżej wymagana są spełnone wtedy, gdy testy dagnostyczne wyazują następujące właścwośc: nesorelowane lub co najwyżej słabo sorelowane pomędzy sobą slne sorelowane z testam ne wchodzącym do zespołu dagnostycznego. by spełnć powyższe wymagana należy najperw, w oparcu o metody analzy podobeństwa, podzelć zespół testów na grupy. Następne w ażdej grupe należy wybrać reprezentanta. W zależnośc od sposobu wyboru reprezentantów stneje wele techn reducj wymarowośc problemu. Najwęsze zastosowane znajdują dwe z nch: metoda środa cężośc metoda potencjałów..3. Metoda środa cężośc. Postępowane w tej metodze zależy od lczebnośc poszczególnych grup. Dla grup jednoelementowych, czyl tzw. testów odosobnonych przyjmujemy po prostu te testy. W grupach o lczebnośc powyżej dwóch oblcza sę dla ażdego elementu (testu) sumę odległośc od pozostałych elementów grupy: d = d = j j j gdze: d j - odległość testu od testu j d - suma odległośc dla testu - lość elementów w grupe (>) Jao reprezentanta grupy wyberamy ta element m, dla tórego d m = mn(d ). Na ońcu wyberamy reprezentantów grup dwuelementowych. W tym celu dla ażdego elementu grupy dwuelementowej oblczamy jego odległość od już wybranych reprezentantów (elementów odosobnonych reprezentantów grup weloelementowych): gdze: p d = d p j p -lość dotychczas wybranych reprezentantów = lub

12 Jao reprezentanta danej grupy wyberamy ten element (test, parametr) n, tórego odległość od dotychczas wybranych reprezentantów jest najwęsza: d n = max(d ). Wybran w ten sposób reprezentanc grup weloelementowych znajdują sę blso "środa cężośc" danej grupy (stąd nazwa metody), a reprezentanc grup dwuelementowych są ja najmnej podobn do wybranych wcześnej reprezentantów. Przyład V-3: Wybór reprezentantów testów atywnośc bologcznej zestawu amnodfenylosulfonów metodą środa cężośc. nalza podobeństwa (np. dagram Czeanowsego {Przyład V-} lub analza wązowa {Przyład V-}) sugeruje możlwość podzału zboru testów bologcznych na dwe lub trzy grupy. Jeśl przyjmemy podzał na dwe grupy to testy od do znajdą sę w jednej grupe, a 9 w drugej. Przy podzale na trzy grupy 9 utworzą elementy odosobnone. Dlatego też w tym przyładze zajmemy sę podzałem na dwe grupy, czyl wyborem dwóch reprezentantów. Wybór reprezentantów rozpocznemy od grupy -elementowej. Sumy odległośc w tej grupe wynoszą (patrz tabela w Przyładze -III): d =, d =,3 d 3 =, d =,3 d =, d =, d = 3, Najmnejszą sumą odległośc charateryzuje sę test dlatego zostaje on reprezentantem tej grupy. W celu wyznaczena reprezentanta grupy dwuelementowej oblczamy odległośc testów 9 od testu (patrz tabela w Przyładze -III): d(,) = 3, d(9,) =,. Zgodne z podanym powyżej toem postępowana reprezentantem tej grupy zostaje test. Ta węc ostateczne reprezentantam zestawu 9 testów bologcznych zostają, zgodne z metodą środa cężośc, testy. ==============================================.3. Metoda potencjałów Postępowane w tej metodze podobne jest do budowy dendrytu: tworzymy równeż supena I. rzędu, ale tzw. supena zorentowane. Różną sę one od zwyłych supeń tym, że wązadła są strzałam, tórych zwrot poazuje erune wyboru. Np., jeśl dla elementu najblższym sąsadem jest j to zapsujemy to jao j. Z ole dla elementu j jego najblższym sąsadem może być element. Zapsujemy to wtedy jao: j. Może jedna zastneć równeż sytuacja, że najblższym sąsadem j będze. Zapsujemy to wtedy jao: j. Po wyznaczenu zorentowanych supeń I. rzędu wyznaczamy tzw. potencjał węzła, czyl lość serowanych do danego węzła strzałe. W ażdym supenu jest co najmnej element o najwęszym potencjale. Jeśl jest ch węcej, to wybera sę ten, tórego odległość od pozostałych elementów supena jest najmnejsza. W przypadu supeń dwuelementowych wyberamy element najbardzej odległy od dotychczas wybranych reprezentantów. Przyład V-: Wybór reprezentantów testów atywnośc bologcznej zestawu amnodfenylosulfonów metodą potencjałów. W oparcu o tablcę odległośc testów (Przyład -III) tworzymy zorentowane supena I. rzędu. Otrzymujemy trzy tae supena: 3 9 W supenu. węzłem o najwyższym potencjale jest test. Jego potencjał wynos 3. W dwuelementowym supenu. wyberamy test 3, bo jego odległość od reprezentanta jest węsza. Z tych samych powodów reprezentantem 3. supena zostaje test. Ostateczne otrzymujemy węc trójelementowy zestaw dagnostyczny: testy 3,. Proszę zwrócć uwagę, że gdybyśmy w metodze środa cężośc zdecydowal sę na zestaw dagnostyczny o tej samej lczebnośc testów, to otrzymalbyśmy nny zestaw:, 9. Różnca ta wyna z fatu, że naczej tworzone są w obu metodach początowe grupy, z tórych wyberamy reprezentantów. ==============================================. nalza czynnów Głównym zadanem analzy czynnów (ang. Factor nalyss) jest wyodrębnene najstotnejszych czynnów z ogółu zmennych charateryzujących analzowany problem. Zamerzony cel osąga sę za pomocą zastąpena zmennych perwotnych mnej lcznym zestawem znormalzowanych ortogonalnych c z y n n ó w. Powązana mędzy zmennym perwotnym X j a oblczonym czynnam F można przedstawć w forme uładu równań: X= af+ af+... a F+... a mfm + au M X j= aj F+ aj F+... ajf +... ajmfm + au j j M X = a F+ a F+... a F+... a F + au gdze: m <= n X j - zmenna perwotna F - czynn wspólny U j - czynn swosty (specyfczny) a j,a j - ładun czynnowe. Pojedyncze równane tego uładu ma postać: n n n n nm m n n xj f f f u m j x j f f f u m + j = a a... a a M j M j M jm M j M x wj f w f w f wm u wj Welośc X j, F U j są zmennym, przy czym znane są jedyne wartośc zmennych perwotnych X j zestawone w tablcy obserwacj X. Rozwązane problemu analzy czynnów polega zatem na oblczenu ładunów czynnowych, a następne wartośc olejnych czynnów. Ta postawone zadane (znalezene wzajemne ortogonalnych czynnów spełnających powyższe równana) ne ma jednoznacznego rozwązana może zostać zrealzowane na wele różnych sposobów. Z puntu wdzena analzy podobeństwa reducj wymarowośc problemu najwęsze zastosowane znajduje tzw. a n a l z a g ł ównych sł adowych (ang. Prncpal Component nalyss, PC). W dalszych rozważanach ogranczymy sę węc tylo do nej.. nalza głównych sładowych Otrzymywane w tej metodze czynn noszące nazwę gł ównych sł adowych są wyznaczane przy przyjęcu dodatowego założena, że perwszy z nch wyjaśna masmum warancj zmennych perwotnych, drug masmum zmennośc newyjaśnonej przez czynn perwszy, trzec masmum zmennośc newyjaśnonej przez czynn perwszy drug ta dalej. Proces ten można ontynuować aż do całowtego wyczerpana zmennośc zmennych perwotnych (lczba sładowych jest wtedy równa lczbe zmennych perwotnych). W pratyce jedna proces ończy sę po wyznaczenu lczby sładowych mnejszej nż lczba zmennych. Uzysujemy tym samym reducję wymarowośc problemu. Ze względu na dodatowe

13 wymagana stawane przy metodze głównych sładowych (masymalne wyjaśnane zmennośc) uzysana reducja wymarowośc jest najlepszą z możlwych przy zastosowanu zmennych będących lnową ombnacją zmennych perwotnych. nalza głównych sładowych doonuje równeż analzy rozładu puntów w w-wymarowej przestrzen testów. Bardzo rzado rozład puntów (zwązów) jest jednaowy we wszystch w erunach. Zwyle jest ta, że testy tórym opsujemy nasze zwąz są ze sobą mnej lub bardzej sorelowane. Co to oznacza w sense geometrycznym? Rozważymy to dla jasnośc w zwyłej, 3-wymarowej przestrzen. Jeśl wszyste 3 testy opsujące cechy zwązów są od sebe nezależne, a rozłady puntów w przedzałach zmennośc poszczególnych testów zblżone do normalnych, to punty w trójwymarowej przestrzen utworzą sferyczną "chmurę". Wystąpene orelacj pomędzy testam przejawa sę zmaną ształtu chmury puntów: staje sę ona mnej sferyczna. Przy slnej orelacj dwóch testów sfera "rozpłaszcza sę" przyjmując ształt elptycznego "placa, tórego jeden z wymarów (grubość) jest dużo mnejszy nż dwa pozostałe. Przy slnej orelacj wszystch trzech testów nasza chmura przybera ształt cygara: dwa wymary są dużo mnejsze od trzecego. Wszyste te nformacje zawarte są w macerzy współczynnów orelacj lnowej, R, analza głównych sładowych potraf je wyesponować. Podstawą do wyznaczana głównych sładowych jest macerz orelacj lnowych, R, pomędzy testam (zmennym perwotnym). Poneważ przyjmuje sę zwyle, że testy poddaje sę wstępne normalzacj, węc współczynn orelacj lnowej oblczyć można z zależnośc: w r = l z z l w gdze: = w - lczba testów z, z l - znormalzowane wartośc testów Główne sładowe są wetoram własnym, a odpowadające m udzały w ogólnej warancj wartoścam własnym macerzy orelacj. Procedury numeryczne pozwalające na wyznaczene wetorów wartośc własnych macerzy wadratowych są dostępne w lteraturze ne będą przedmotem naszych rozważań. Główne sładowe są wetoram oreślającym erun os bezwładnośc chmury puntów. Odpowadające m wartośc własne są proporcjonalne do długośc os elpsody (hperelpsody w przypadu węcej nż 3 wymarów) jednocześne są marą zmennośc (warancj) zawartej w danej sładowej. W metodze głównych sładowych olejne sładowe charateryzują sę coraz mnejszym wartoścam własnym tym samym zawerają w sobe coraz mnej nformacj (zmennośc). Dzę taemu uporządowanu sładowych pojawa sę możlwość optymalnego zreduowana wymarowośc problemu: odrzucene ostatnch sładowych powoduje najmnejszą z możlwych stratę nformacj przy przejścu od problemu n-wymarowego do (n-)-wymarowego. Pod względem lośc zachowanej nformacj jest to metoda dużo lepsza nż wybór reprezentantów.. Oreślene lośc stotnych sładowych. Charaterystyczną cechą metody głównych sładowych jest możlwość oblczena % zmennośc (warancj) wyjaśnanego przez poszczególne sładowe. W przypadu, gdy lczba sładowych równa jest lczbe testów (m = n) suma wartośc własnych równa jest lczbe testów. Na tej podstawe można wyznaczyć % zmennośc wyjaśnany przez ażdą ze sładowych: p = ww /w % gdze: ww - -ta wartość własna macerzy orelacj w - lczba testów oraz tzw. sumulowany % zmennośc wyjaśnanej przez K perwszych wartośc własnych: K = ww sp = % K w Jednym z podstawowych problemów pojawających sę przy stosowanu metody głównych sładowych jest oreślene lczby sładowych, jae należy użyć w onretnym przypadu. Stosowane zbyt dużej lczby sładowych prowadz do uwzględnena ne tylo rzeczywstej zmennośc testów, ale równeż błędów pomarowych popełnonych przy ch wyznaczanu. Z ole użyce zbyt małej lczby sładowych prowadzć może do wyelmnowana z analzy pewnych szczególnych cech netórych testów. Problem ten ne ma prostego, jednoznacznego rozwązana należy brać pod uwagę zarówno cel analzy ja właścwośc wewnętrzne zadana (struturę macerzy orelacj). W pratyce stosuje sę najczęścej jedno z ponższych ryterów: jao stotne uznaje sę tylo te sładowe, tórych wartośc wł asne są węsze od. Kryterum to opera sę na face, że w przypadu ortogonalnych zmennych perwotnych ażdej z nch odpowada jej własny wetor własny o wartośc własnej równej. Ta węc sładowe o wartoścach własnych mnejszych nż nosą mnej nformacj nż pojedyncza nezależna zmenna. w analze uwzględna sę taą lczbę sładowych, K, aby odpowadający jej procent sumulowany sp był ne mnejszy od pewnej zadanej wartośc np. 9%. Tym samym możemy oreślć z góry, ja procent zmennośc ma być w naszej analze uwzględnony. Kryterum to zawera jedna w sobe stotny element subetywny, a manowce wybór wartośc rytycznej. lczbę sładowych wyznacza sę grafczne z zależnośc wartośc w ł asnych od ch numeru (Przyład -I). Kryterum to opera sę na założenu, że błędy pomarowe mają warancję stotne mnejszą nż zmenność wartośc testów (warune stosowalnośc normalzacj testów). W tam przypadu po tórejś wartośc własnej obserwuje sę gwałtowny spade wartośc pozostałych wartośc własnych. Przyład V-: Główne sładowe atywnośc bologcznej amnodfenylosulfonów. Korzystając z macerzy orelacj pomędzy testam atywnośc bologcznej -amnodfenylosulfonów (Przyład V-) można wyznaczyć główne sładowe tej atywnośc. Wartośc własne olejnych sładowych, wyjaśnany przez ne % zmennośc procent sumulowany zawera ponższa tabela: Numer wartośc wł. Wartość lczbowa % zmennośc % sumulowany resztowe odchylene standardowe,9,,.,, 93,,9 3,, 9,3,33,3, 99,,,3,3 99,,9 Wdać z nej wyraźne, że węszość zmennośc (ponad %) wyjaśna perwsza sładowa. Druga wyjaśna o. %, a trzeca 3

14 ponad %. Pąta następne sładowe wyjaśnają łączne mnej nż % ogólnej zmennośc Przy oreślenu lu sładowych należy użyć w dalszej analze możemy zastosować omówone powyżej rytera. Wartośc własne węsze nż, posadają tylo dwe perwsze sładowe. Wyjaśnają one łączne 93,% zmennośc. W zależnośc od przyjętej wartośc rytycznej (9 lub 9%) należy węc zastosować lub 3 sładowe. Trzece ryterum, grafczne, wymaga wyonana wyresu. Wdać z nego, że gwałtowny spade wartośc własnych następuje pomędzy.. wartoścą własną. Tym samym, w/g tego ryterum w analze pownno sę stosować tylo dwe sładowe. Jest to zgodne z wynem zastosowana. ryterum. Przyjmując, że dla prawdłowego opsu atywnośc bologcznej badanej ser amnodfenylosulfonów wystarczą dwe główne sładowe możemy następne napsać w postac jawnej, jam ombnacjam zmennych perwotnych (testów) są nasze sładowe: S =,99MLR +,99MLS +,9MSR +,9MSS +,9MLER +,9MLES +,9ECR +,ECSM +,9MSSM S =,MLR -,MLS -,3MSR -,3MSS +,MLER +,MLES +,9ECR +,93ECSM +,MSSM =========================================.3 Zastosowane metody głównych sładowych Metoda głównych sładowych znajduje podwójne zastosowane w analze przestrzen testów. Po perwsze główne sładowe potratowane mogą być jao nowe, uogólnone testy atywnośc. Ich cechą charaterystyczną jest przy tym, że są od sebe nezależne (ortogonalne) zawerają nformacje pochodzące z wszystch testów sładowych. Podejśce tae jest szczególne cenne o le można sładowym przypsać jaś, choćby przyblżony, sens bologczny. Druge podejśce znajduje zastosowane przy analze podobeństwa testów. Dwe lub trzy perwsze sładowe wyorzystać można jao ose nowego uładu współrzędnych. Sładowe wetorów własnych odpowadające danemu testow oreślają wtedy współrzędne ońca wetora reprezentującego ten test w nowym uładze współrzędnych. Począt wszystch wetorów znajdują sę w początu uładu. Otrzymuje sę w ten sposób pę wetorów reprezentujących testy. Odległość ątowa pomędzy testam jest marą ch podobeństwa..3. Podobeństwo testów w przestrzen głównych sładowych. W węszośc przypadów testy ne są od sebe nezależne (ortogonalne). Wdać to wyraźne w macerzy orelacj. Ja już wspomnano współczynn orelacj lnowej można nterpretować geometryczne jao cosnusy ątów pomędzy wetoram testów. Istneje wszaże problem uładu współrzędnych, w tórym można te wetory narysować. Oazuje sę, że artezjańs uład współrzędnych, tórego osam są główne sładowe może bardzo dobrze spełnć taą funcję. Należy pamętać, że: główne sładowe są wzajemne ortogonalne zwyle już la perwszych sładowych wyjaśna prawe całą zmenność uładu testów współczynn ombnacj lnowej tworzącej daną sładową są rzutam wetorów testów na daną sładową. Ta węc w uładze głównych sładowych można efetywne przedstawć testy jao wetory. Przedstawene tae zawera w sobe la cennych nformacj: orentacja wzajemna testów (odległość ątowa) jest marą podobeństwa testów: m bardzej podobne są testy tym ch wetory będą leżały blżej sebe długość wetora nese w sobe nformację o stopnu, w jam zastosowana lczba sładowych wyjaśna zmenność wnoszoną przez onretny test tym samym mamy dodatowy, jaoścowy wsaźn pozwalający na weryfację poprawnośc wyboru lczby sładowych. Wyresy wetorów testów wyonuje sę zwyle w uładze dwuwymarowym (na płaszczyźne). Jeśl dla prawdłowego opsu uładu wymagana jest węsza lczba głównych sładowych to wyresy rob sę dla par sładowych (np. dla 3 sładowych na płaszczyznach S-S, S-S3 S-S3). Przyład V-: Podobeństwo atywnośc -amnodfenylosulfonów w przestrzen głównych sładowych. Z Przyładu V-3 wyna, że dla prawdłowego opsu 9 testów atywnośc bologcznej -amnodfenylosulfonów wystarczają główne sładowe. Mają one postać: S =,99MLR +,99MLS +,9MSR +,9MSS +,9MLER +,9MLES +,9ECR +,ECSM +,9MSSM S =,MLR -,MLS -,3MSR -,3MSS +,MLER +,MLES +,9ECR +,93ECSM +,MSSM S W oparcu o współczynn przy odpowednch testach można wyonać wyres wetorowy w płaszczyźne dwóch perwszych sładowych. Ma on postać przedstawoną na rysunu powyżej. Wdać wyraźne, że testy od do tworzą wązę wetorów serowanych w przyblżenu zgodne z erunem perwszej sładowej (S). Jedyne testy 9 odbegają od tego erunu charateryzując sę stosunowo dużym rzutam na drugą sładową (S). Małe wartośc ątów pomędzy testam od do wsazują na ch duże podobeństwo. ============================================== Dowodz sę na grunce rachunu macerzowego, że ońce wetorów (testów) leżą na powerzchn n-wymarowej hpersfery. Gdy w analze orzystamy tylo z (n)-perwszych sładowych (reducja wymarowośc problemu) to wetory testów mają długośc zróżncowane mnejsze nż. Można jedna wyznaczyć na powerzchn (n-)-wymarowej hpersfery punty jej przebca ne przez wetory, lecz erun wetorów. Postępowane tae możemy zastosować nawet w sytuacj, gdy n- wynos lub 3. Powstają w ten sposób tzw. l n o w e m a p y testów. Należy przy tym pamętać, że wymar mapy ( jao powerzchn hpersfery) jest o mnejszy nż wymar hpersfery. Tym samym dla n- = mapa lnowa reduuje sę S

15 do jednego wymaru (os lczbowej), a dopero w przypadu n- = 3 powstaje typowa, dwuwymarowa mapa. Oczywśce musmy pamętać, że mapa lnowa jest jedyne przyblżenem to z dwóch powodów: ) wetory testów powstały przez rzutowane n-wymarowej przestrzen na przestrzeń - lub 3-wymarową ) mapa lnowa poazuje ne same rzutowane wetory a jedyne ch erun Tym samym mapa lnowa zawera jedyne część nformacj o wzajemnych relacjach pomędzy testam. Rodz sę w tam raze pytane, jaą część. nalza głównych sładowych dostarcza gotowej odpowedz. Jest ną sumulowany procent zmennośc zawarty odpowedno w dwóch lub trzech perwszych sładowych. Przyład V-: Mapa lnowa testów. Rzuty erunów testów atywnośc bologcznej -amnodfenylosulfonów na powerzchnę sfery w uładze 3 perwszych wartośc własnych przedstawa ponższy rysune: 3 Zna + symbolzuje erune perwszej sładowej, druga trzeca sładowa tworzą odpowedno oś pozomą ponową. Podobeństwo pomędzy testam jest na taej mape równeż wyraźne wdoczne. Uzysana w ten sposób lnowa mapa testów zawera w sobe o. 9% nformacj o podobeństwe testów (patrz procent sumulowany w Przyładze -III). ======================================= Przedstawony powyżej przyład jest o tyle netypowy, że lnowa mapa testów charateryzuje sę bardzo dużym zasobem nformacj (o. 9%). W typowych przypadach, przy węszej różnorodnośc testów mapy tae zawerają zwyle od do % zasobu nformacj. Można je jedna udosonalć przyjmując nelnowe przeształcena jej powerzchn (loalne rozcągane ścsane powerzchn mapy) w ta sposób, aby odległośc pomędzy testam na mape były możlwe blse rzeczywstym odległoścom pomędzy testam w przestrzen n-wymarowej. Uzysane Nelnowe mapy testów charateryzują sę dużo węszą wernoścą odtworzena relacj podobeństwa pomędzy testam. Przyład V-: Nelnowa mapa testów. Uzysaną w Przyładze V- lnową mapę testów można poddać transformacj nelnowej, aby uzysana nelnowa mapa testów możlwe werne (na le to możlwe na płaszczyźne) odtwarzała rzeczywste odległośc w 9-wymarowej przestrzen testów. Uzysaną nelnową mapę przedstawa ponższy rysune: 3 W uzysaną mapę wpsano jeszcze dodatowo dendryt testów (patrz Przyład V-). Przy omawanu dendrytu wspomnano, że jest to forma prezentacj, przy tórej znaczene mają jedyne odległośc bezpośredno połączonych ze sobą węzłów. Ceawe węc może być porównane dendrytu rozplanowanego teoretyczne (patrz Przyład) z jego rozmeszczene na 9 9 najlepszym znanym przedstawenu, mape nelnowej. Pommo zastosowana mapy nelnowej wdać jej nedomog: test ne jest w rzeczywstośc ta blso testu ja to wyna z mapy; test ne jest ta blso testu tp. Jednaże ne daje sę doładnej przedstawć na płaszczyźne wzajemnych relacj występujących w 9-wymarowej przestrzen. =============================================.3. Główne sładowe jao atywnośc uogólnone Ja już poazano na początu tego rozdzału, czynn (w naszym przypadu główne sładowe) są ombnacjam lnowym testów. Współczynn tej ombnacj są marą udzału danego testu w onretnej sładowej. W tej sytuacj pojawa sę pytane o sens bologczny sładowych. Czy są to tylo abstracyjne twory matematyczne, czy też można m przypsać jaeś znaczene bologczne? Odpowedź na to pytane zależy ażdorazowo od wedzy dośwadczena prowadzącego analzę. Przyjmuje sę, że w zasadze dentyfacja sładowych z pewnym rodzajam atywnośc bologcznej jest możlwa, o le znamy naturę stosowanych testów bologcznych. Identyfacja taa opera sę główne na analze wyresów wetorowych testów w przestrzen (płaszczyźne) wybranych sładowych. Znacznym ułatwenem jest zastosowane dodatowej operacj rotacj głównych sładowych w ta sposób, aby zmasymalzować rzuty testów na jedna sładowe z jednoczesną mnmalzacją rzutów na pozostałe. Procedura ta znana pod nazwą VRIMX stosowana była we wszystch przyładach prezentowanych w tym opracowanu. Przyład V-9: Identyfacja wartośc własnych. nalzując wyres wetorów testów (po procedurze VRIMX) przedstawony w Przyładze -IV wdzmy, że testów grupuje sę wyraźne woół perwszej sładowej. Szczegółowe zapoznane sę z pracą, z tórej zaczerpnęto te dane wsazuje, że testy od do to testy bezomórowe wyonywane na homogenatach omórowych lub nawet wstępne oczyszczonych enzymach. W tej sytuacj. sładową nterpretować można jao "atywność nhbcyjną" lub "atywność w stosunu do celu moleularnego". Z ole testy 9 to jedyne w tej pracy dwa prawdzwe testy mrobologczne: na całych omórach. W tej sytuacj. sładową nterpretować można jao "atywność mrobologczną". Wadomo, że w prawe wszystch testach omórowych stotne znaczene mają zdolnośc transportowe zwązu, czyl łatwość, z jaą potraf on przenać poprzez błony bologczne. Mając to na uwadze można. sładową nterpretować jao właścwośc transportowe zwązów. ============================================== Stosowane głównych sładowych jao nowych form atywnośc bologcznej ma tą ogromną zaletę, że są to welośc w znacznym stopnu uśrednone. Oznacza to np., że optymalzując struturę pochodnej ze względu na sładową, tórej przypsać można sens "uogólnonej atywnośc bologcznej" otrzymamy prawdopodobne pochodną o wysoej atywnośc we wszystch testach, a ne zwąze "wycelowany" swoją atywnoścą tylo w jeden rodzaj testu..3.3 nalza przestrzen zwązów Główne sładowe są ombnacjam lnowym testów. węc znając wartośc testów dla danego zwązu możemy oblczyć jego współrzędne w przestrzen sładowych. Uzysujemy w ten sposób l n o w ą mapę zwą z ó w. Przy danej lczbe sładowych m mapa taa jest najlepszą lnową reprezentacją wzajemnych odległośc pomędzy zwązam. Przyład V-: Lnowa mapa zwązów. Dla danych Coatsa wsp. (patrz Przyład -III) dwe perwsze sładowe wyjaśnają o. 93% zmennośc. Ta węc