Metody matematyczne dla fizyków II Równania różniczkowe
|
|
- Anatol Makowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody matematyczne dla fizyków II Równania różniczkowe Krzysztof Golec Biernat Instytut Fizyki Jadrowej PAN w Krakowie Instytut Fizyki Uniwerstytetu Rzeszowskiego (19 lutego 211) Wersja robocza nie do dystrybucji Kraków/Rzeszów 26-7
2 Spis treści 15 Równania różniczkowe zwyczajne Równania zwyczajne drugiego rzȩdu Klasyfikacja punktów osobliwych Punkt w nieskończoności Równanie niejednorodne Rozwia zania równań różniczkowych Rozwi azania wokół punktów regularnych Przykład Drugie rozwi azanie Rozwi azania wokół RPO Równanie Bessela Przykład dla ν 2 = 1/ Inne funkcje Bessela Równanie hipergeometryczne Gaussa Równanie konfluentne Gaussa
3 19 Równanie Legendre a Wielomiany Legendre a Stowarzyszone wielomiany Legendre a Teoria Sturma Liouville a Problem własny Iloczyn skalarny Operatory samosprzȩżone Własności operatorów samosprzȩżonych Zupełność funkcji własnych Wielomiany ortogonalne Konstrukcja wielomianów ortogonalnych Wielomiany Hermite a Wielomiany Lageurre a Wielomiany Jacobiego Wielomiany Gegenbauera Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Legendre a Podsumowanie Szeregi Fouriera Problem własny Ortogonalność funkcji własnych Szereg Fouriera Zbieżność szeregu Fouriera Przykłady rozwiniȩć Równość Parsevala Obliczanie sum szeregów
4 23 Transformaty całkowe I Zespolona postać szeregu Fouriera Transformata Fouriera Splot funkcji Delta Diraca Transformaty całkowe II Transformata Fouriera Wzory konwolucyjne Transformata Laplace a Wzory konwolucyjne Pewne transformaty Laplace a Transformata Mellina Wzory konwolucyjne Całki Mellina-Barnesa Transformata Borela Równania różniczkowe cza stkowe Równanie falowe Równanie dyfuzji
5 Wykład 15 Równania różniczkowe zwyczajne 15.1 Równania zwyczajne drugiego rzȩdu Wiele równań fizyki ma forme liniowych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rze du, postaci α(z)w (z) + β(z)w (z) + γ(z)w(z) = (15.1) gdzie w(z) jest poszukiwana funkcja zmiennej zespolonej z, natomiast funkcje α(z),β(z),γ(z) sa znane. Primy oznaczaja różniczkowanie po z. Dziela c przez α(z) otrzymamy gdzie w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) =, (15.2) p(z) = β(z) α(z), γ(z) q(z) = α(z). (15.3) Ze wzgle du na zero wyste puja ce po prawej stronie (15.1), rozważamy równania jednorodne. Równania jednorodne maja zawsze dwa liniowo niezależne rozwia zania szczególne w 1 (z) i w 2 (z). Rozwia zanie ogólne w(z) to ich kombinacja liniowa gdzie c 1,c 2 sa dowolnymi liczbami zespolonymi. w(z) = c 1 w 1 (z) + c 2 w 2 (z) (15.4) 5
6 Definicja Dwie funkcje w 1 (z) i w 2 (z) sa liniowo niezależne jeżeli spełniony jest warunek a 1 w 1 (z) + a 2 w 2 (z) = <=> a 1 = a 2 =. (15.5) Jeśli warunek ten nie jest spełniony to wtedy jedna z funkcji wyraża sie przez drugia, na przykład w 1 (z) = a 2 w 2 (z)/a 1. Twierdzenie Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym liniowej niezależności rozwia zań jest by istniał punkt z, w którym wyznacznik Wronskiego (wronskian) W, zdefiniowany poniżej, jest różny od zera: W(z ) = w 1 (z ) w 2 (z ) w 1 (z ) w 2 (z ). (15.6) Rozważmy bowiem kombinacje liniowa po lewej stronie relacji (15.5). Różniczkuja c po z dostaniemy układ równań na współczynniki a 1 i a 2 a 1 w 1 (z) + a 2 w 2 (z) = a 1 w 1(z) + a 2 w 2(z) = (15.7) Jeśli istnieje z takie, że W(z ) to jedynym rozwia zaniem jest a 1 = a 2 = i funkcje sa liniowo niezależne. Natomiast warunek liniowej niezależności rozwia zań implikuje różny od zera wronskian w każdym punkcie. Stałe c 1 i c 2 w rozwia zaniu ogólnym (15.4) można wyznaczyć znaja c wartości w(z ) i w (z ) w dowolnym punkcie z, poprzez rozwia zanie układu równań c 1 w 1 (z ) + c 2 w 2 (z ) = w(z ) c 1 w 1(z ) + c 2 w 2(z ) = w (z ). (15.8) Niezerowe rozwia zanie istnieje, gdyż W(z ). 6
7 15.2 Klasyfikacja punktów osobliwych Be dziemy poszukiwali rozwia zań równania jednorodnego poprzez rozwijanie funkcji w(z) w szereg pote gowy wokół wybranego punktu z. W zwia zku z tym wprowadźmy naste puja ce definicje. Punkt z jest punktem regularnym równania (15.2) jeśli p(z) i q(z) sa analityczne w tym punkcie. Można je wtedy rozwina ć w szereg Taylora w pewnym otoczeniu tego punktu p(z) = p m (z z ) m q(z) = m= m= q m (z z ) m. (15.9) Jeśli p(z) lub q(z) nie sa analityczne w punkcie z to jest on punktem osobliwym równania (15.2). Dla takich punktów istnieje bardziej szczegółowy podział. Jeżeli w punkcie osobliwym z funkcja p(z) ma co najwyżej biegun 1. rze du, natomiast q(z) ma co najwyżej biegun 2 rze du to jest on regularnym punktem osobliwym. Wtedy w pewnym otoczeniu pierścieniowym z p(z) = p m (z z ) m 1 q(z) = m= m= q m (z z ) m 2. (15.1) Jeżeli powyższe warunki nie sa spełnione to z jest nieregularnym punktem osobliwym. Twierdzenie Fuchsa Dla punktu regularnego lub regularnie osobliwego można zawsze znaleźć przynajmniej jedno rozwia zanie szczególne równania (15.2) poprzez rozwinie cie wokół tego punktu w szereg postaci w(z) = a n (z z ) n+c, (15.11) n= gdzie c jest liczba zespolona do wyznaczenia. Promień zbieżności tego szeregu jest określony przez odległości do najbliższego punktu osobliwego równania (15.2). 7
8 15.3 Punkt w nieskończoności Punkt z = badamy wykonuja c transformacje t = 1/z, przy pomocy której nieskończoność została odwzorowana w punkt t =. Zapiszmy równanie (15.2) przy pomocy zmiennej t. Różniczkuja c, znajdujemy dw dz = dw dt dt dz = 1 dw x 2 dt Dla drugiej pochodnej otrzymujemy d 2 w dz 2 = d dt Sta d otrzymujemy ( ) dw dt dz dz = d ( t2 dt t 2 dw dt = t2 dw dt ) = t 4 d2 w dw + 2t3 dt2 dt d 2 w dw + p(z) dz2 dz + q(z)w = t4 d2 w { dt 2 + 2t 3 p(t)t 2} dw dt + q(t)w i ostateczne równanie w nowej zmiennej ma postać gdzie d 2 w dw + P(t) + Q(t)w =, (15.12) dt2 dt P(t) = 2t p(t) t 2, Q(t) = q(t) t 4 (15.13) Jeżeli dla t (z ) zachodzi p(t) = 2t + p 2 t => p(z) = 2 z + p 2 z q(t) = q 4 t 4 + q 5 t => q(z) = q 4 z 4 + q (15.14) z5 to z = jest punktem regularnym. Natomiast, gdy w tej samej granicy mamy p(t) = p 1 t + p 2 t => p(z) = p 1 z + p 2 z q(t) = q 2 t 2 + q 3 t => q(z) = q 2 z 2 + q (15.15) z3 to z = jest regularnym punktem osobliwym. 8
9 RÓWNANIE RPO NPO Oscylatora harmonicznego w + ω 2 w = brak Hermite a - kwantowy oscylator harmoniczny w 2z w + 2αw = brak Laguerre a - atom wodoru z w + (1 z)w + aw = Bessela z 2 w + z w + (z 2 ν 2 )w = Konfluentne z w + (γ z)w αw = Czebyszewa (1 z 2 )w z w + n 2 w = 1,1, brak Legendre a - kwantowy kre t orbitalny (1 z 2 )w 2z w + [l(l +1) ]w m2 = 1 z 2 1,1, brak Gaussa (hipergeometryczne) z(z 1)w + [(1+α+β)z γ]w + αβ w =,1, brak W obu przypadkach możemy szukać rozwia zania w postaci szeregu Frobeniusa wokół nieskończoności ( ) 1 n+c w = a n t n+c = a n. (15.16) z n= n= W tabelce obok podajemy przykłady jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rze du wraz z regularnymi (RPO) i nieregularnymi (NPO) punktami osobliwymi Równanie niejednorodne Niejednorodne równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rze du ma postać w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) = f(z), (15.17) gdzie f(z) jest znana funkcja. Rozwia zanie ogólne to w(z) = c 1 w 1 (z) + c 2 w 2 (z) + u(z), (15.18) 9
10 gdzie w 1 i w 2 to liniowo niezależne rozwia zania równania jednorodnego, natomiast u to rozwia zanie szczególne równania niejednorodnego. Można je zbudować z rozwia zań w 1 i w 2 w naste puja cy sposób. Rozważmy rozwia zanie ogólne równania jednorodnego (15.4), w którym uzmienniliśmy stałe c 1 i c 2 u(z) = c 1 (z)w 1 (z) + c 2 (z)w 2 (z). (15.19) Dobierzemy je tak by u(z) było rozwia zaniem szczególnym równania niejednorodnego. Różniczkuja c po z dostaniemy u = { c 1 w 1 +c 2 w 2} + {c 1 w 1 +c 2 w 2 } }{{} c 3 (15.2) Zaża dajmy by c 3 =. Wtedy różniczkuja c raz jeszcze, znajdujemy u = { c 1 w 1 +c 2 w 2} + { c 1 w 1 +c 2 w 2}. (15.21) Po podstawieniu obu pochodnych do (15.17) i wykorzystaniu faktu, że w 1 i w 2 sa rozwia zaniami równania jednorodnego, otrzymujemy { c 1 w 1 +c 2 w 2 } = f. (15.22) Sta d naste puja cy układ równań na pochodne c 1 i c 2 c 3 c 1 w 1 +c 2 w 2 = c 1 w 1 +c 2 w 2 = f. (15.23) Dla rozwia zań liniowo niezależnych wronskian W jest różny od zera, wiec c 1 = 1 w 2 W f w 2 = w 2f W, c 2 = 1 w 1 W w 2 f = w 1f W. Ostatecznie, rozwia zania z c 1 (z) = z z w 2 (ζ) W(ζ) f(ζ)dζ, c 2(z) = z w 1 (ζ) f(ζ)dζ. (15.24) W(ζ) Podstawiaja c do (15.19), otrzymujemy rozwia zanie szczególne równania niejednorodnego u(z) = z z z { w1 (ζ)w 2 (z) w 2 (ζ)w 1 (z) W(ζ) } f(ζ)dζ z G(z,ζ)f(ζ)dζ, (15.25) 1
11 gdzie G(z,ζ) jest funkcja Greena zbudowana z rozwia zań równania jednorodnego. Ostatecznie, rozwiazanie ogólne równania (15.17) to z u(z) = c 1 w 1 (z) + c 2 w 2 (z) + z G(z,ζ)f(ζ)dζ (15.26) 11
12 Wykład 16 Rozwia zania równań różniczkowych 16.1 Rozwia zania wokół punktów regularnych Niech z be dzie punktem regularnym równania co oznacza, że słuszne sa wzory (1.9): w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) =, (16.1) p(z) = p m (z z ) m m= q(z) = q m (z z ) m. (16.2) m= Poszukajmy rozwia zania w postaci w(z) = a n (z z ) n (16.3) n= w pewnym otoczeniu z z < R. Promień zbieżności R jest określony przez odległość z do najbliższegu punktu osobliwego równania (16.1). Policzmy w (z) = a n n(z z ) n 1 (16.4) n=1 w (z) = a n n(n 1)(z z ) n 2. n=2 12
13 Wygodnie jest zmienić wskaźniki sumowania tak by zaczynały sie od n = w (z) = w (z) = a n+1 (n+1)(z z ) n n= a n+2 (n+2)(n+1)(z z ) n. (16.5) n= Podstawiamy powyższe szeregi wraz z (16.2) do równania (16.1): a n+2 (n+2)(n+1)(z z ) n n= { }{ } + p m (z z ) m a l+1 (l +1)(z z ) l m= l= { }{ } + q m (z z ) m a l (z z ) l =. (16.6) m= l= Skorzystamy naste pnie ze wzoru na mnożenie dwóch szeregów ( )( ) ( n ) A m B l = A n l B l. (16.7) m= l= n= l= Oznaczaja c dla szeregów w drugiej linijce (16.6) A m = p m (z z ) m, B l = a l+1 (l +1)(z z ) l oraz podobnie dla szeregów w trzeciej linijce, otrzymujemy + + a n+2 (n+2)(n+1)(z z ) n n= { n } p n l a l+1 (l +1) (z z ) n n= l= { n q n l a l }(z z ) n =. (16.8) n= l= Wyrazy przy każdej pote dze (z z ) n musza znikać, sta d warunek n a n+2 (n+2)(n+1) + [p n l a l+1 (l +1) + q n l a l ] =. (16.9) l= 13
14 Otrzymaliśmy zatem rekurencje wia żaca a n+2 z wyrazami a l dla l (n+1). Przykładowo, dla n =,1 otrzymamy 2a 2 +p a 1 +q a = => a 2 = a 2 (a,a 1 ) 6a 3 +(2p a 2 +p 1 a 1 )+(q a 1 +q 1 a ) = => a 3 = a 3 (a,a 1 ). W ten sposób znajdujemy współczynniki szeregu (16.3) jako funkcje dwóch pierwszych współczynników: a n = a n (a,a 1 ), n 2 (16.1) i wtedy w(z) = a + a 1 (z z ) + a n (z z ) n. (16.11) n=2 Postać (16.11) rozwia zania pozwala znaleźć dwa liniowo niezależne rozwia zania poprzez odpowiedni dobór współczynników a i a 1. Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym liniowej niezależności rozwia zń jest istnienie punktu, w którym wronskian W był różny od zera. Dobieraja c zatem dwie pary współczynników (a,a 1 ) oraz (b,b 1 ) dla rozwia zań (16.11) tak by dla z = z zachodziło W(z ) = a b a 1 b 1 = a b 1 b a 1 (16.12) to otrzymamy dwa liniowo niezależne rozwia zania. Poniższy przykład ilustruje te metode Przykład Poszukajmy rozwia zania równania w (z) + w(z) =. (16.13) Funkcje p(z) = i q(z) = 1, sta d punkt z = jest punktem regularnym równania. Podstawiaja c rozwia zanie w postaci w(z) = a n z n, (16.14) n= 14
15 dla którego w (z) = a n+2 (n+2)(n+1)z n, (16.15) n= dostajemy [a n+2 (n+2)(n+1) + a n ]z n =. (16.16) n= Sta d zwia zek a n a n+2 = (n+2)(n+1). (16.17) Dla parzystych wskaźników znajdujemy a 2 = a 1 2 = a ( 1)1 2! a 4 = a = a ( 1)2 4! a 6 = a = a ( 1)3 6!. Sta d ogólna postać współczynników dla k 1: a 2k 2 a 2k = (2k 1)(2k) = a ( 1)k (2k)!. (16.18) W ten sposób otrzymaliśmy rozwia zanie ( ) w 1 (z) = a 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +... = a cosz. (16.19) Podobnie, dla nieparzystych wskaźników znajdziemy a 3 = a = a ( 1)1 1 3! a 5 = a = a ( 1)2 1 5! a 7 = a = a ( 1)3 1 7!, co prowadzi do drugiego, liniowo niezależnego rozwia zania ( ) w 2 (z) = a 1 z z3 3! + z5 5! z7 7! +... = a 1 sinz. (16.2) Rozwia zanie ogólne to w(z) = a cosz + a 1 sinz. (16.21) 15
16 16.2 Drugie rozwia zanie Przedstawiona powyżej metoda znajdowania drugiego, liniowo niezależnego rozwia zania stosuje sie tylko do rozwia zań wokół punktów regularnych. W ogólności, drugie rowia zanie można znaleźć przy pomocy pierwszego za pomoca wzoru, który wyprowadzimy. Założmy, że w 1 i w 2 sa liniowo niezależnymi rozwia zaniami równania (1.1). Traktuja c wronskian W(z) jako znana funkcje podzielmy obie strony równania w 1 w 2 w 2 w 1 = W (16.22) przez w1 2, otrzymuja c 1 dw 2 w 1 dz w 2 dw 1 w1 2 dz = d dz Sta d rozwia zanie ostatniego równania ( ) w2 w 1 = W w1 2. (16.23) { z } W(ξ) w 2 (z) = w 1 (z) exp w1 2 dξ (ξ) (16.24) Wzór ten może służyć do znalezienia drugiego rozwia zania pod warunkiem, że funkcja W jest znana. W tym celu policzmy pochodna wronskianu W = (w 1 w 2 w 2 w 1) = w 1 w 2 w 2 w 1 = w 1 ( pw 2 qw 2 ) w 2 ( pw 1 qw 1 ) = p(w 1 w 2 w 2 w 1). (16.25) Sta d równanie W = pw (16.26) i jego rozwia zanie dane wzorem { ξ } W(ξ) = exp p(ζ) dζ (16.27) Dolne granice całkowania (stałe całkowania) należy wybrać tak by otrzymać najprostsze wzory. 16
17 Przykład Jeżeli pierwsze rozwia zanie równania oscylatora harmonicznego (16.13) to w 1 (z) = cosz to drugie, liniowo niezależno ma postać w 2 (z) = cosz z dζ cos 2 ζ 16.3 Rozwia zania wokół RPO = cosz tgz = sinz. (16.28) Niech z be dzie regularnym punktem osobliwym (RPO) równania w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) =, (16.29) co oznacza, że słuszne sa wzory (1.1): p(z) = p m (z z ) m 1 m= q(z) = q m (z z ) m 2. (16.3) m= Poszukajmy rozwia zania równania (16.29) w postaci szeregu Frobeniusa w(z) = a n (z z ) n+c, (16.31) n= gdzie c jest liczba do wyznaczenia. Różniczkuja c, otrzymamy w (z) = a n (n+c)(z z ) n+c 1 n= w (z) = a n (n+c)(n+c 1)(z z ) n+c 2. (16.32) n= Podstawiaja c do równania (16.29), znajdujemy a n (n+c)(n+c 1)(z z ) n+c 2 n= { }{ } + p m (z z ) m 1 a l (l +c)(z z ) l+c 1 + m= l= { }{ q m (z z ) m 2 m= 17 l= a l (z z ) l+c } =. (16.33)
18 Korzystaja c ze wzoru ( )( ) ( n A m B l = m= l= n= l= przy mnożeniu dwóch szeregów, znajdujemy A n l B l ). + + a n (n+c)(n+c 1)(z z ) n+c 2 n= { n } p n l a l (l +c) (z z ) n+c 2 n= l= { n q n l a l }(z z ) n+c 2 =. (16.34) n= l= Sta d warunek znikania współczynników przy każdej pote dze (z z ) n+c 2 : n } a n (n+c)(n+c 1) + {p n l a l (l +c) + q n l a l =. Wyciagaja c wyrazy proporcjonalne do a n z sumy dostajemy l= a n { (n+c)(n+c 1)+(n+c)p +q } + Dla n = mamy tylko jeden wyraz n 1 l= a { c(c 1) + cp + q } =. {... } =. (16.35) Zakładaja c, że a otrzymujemy równanie charakterystyczne F(c) c 2 + (p 1)c + q = (16.36) Pozwala ono znaleźć wartość stałej c. Dla n 1 znajdujemy rekurencje n 1 a n F(n+c) + {(l +c)p n l a l + q n l a l } =. (16.37) l= Rekurencja ta jest użyteczna o ile F(n+c). Niech c 1,c 2 be da pierwiastkami równania charakterystycznego (16.36). W zależności od relacji mie dzy tymi liczbami otrzymujemy nastepuja ce wyniki. 18
19 Jeżeli c 1 c 2 i nie jest liczba całkowita to istnieja dwa liniowo niezależne rozwia zania w postaci szeregów Frobeniusa. Jeżeli c 1 c 2 = m > jest liczba całkowita to na ogól otrzymujemy tylko jedno rozwia zanie w postaci szeregu Frobeniusa z c = c 1. Dla c = c 2 natomiast zachodzi F(m+c 2 ) = F(c 1 ) =. Konstrukcja z szeregiem Forbeniusa prowadzi wtedy (chociaż nie zawsze) do rozwia zania liniowo zależnego od poprzedniego. Aby znaleźć drugie rozwia zanien należy wykorzystać wzór (11.21). W wyniku tego otrzymamy w obszarze < z z < R drugie rozwia zanie postaci w 2 (z) = w 1 (z) ln(z z ) + b k (z z ) k+c 2. (16.38) Jest ono osobliwe dla z = z ze wzgle du na wyste puja cy logarytm, a także ze wzgle du na drugi szereg jeśli c 2 jest liczba zespolona lub liczba całkowita mniejsza od zera.. Dla c 1 = c 2 drugie rozwia zanie ma postać (16.38) z c 2 c k= 19
20 Wykład 17 Równanie Bessela Rozwia żmy równanie Bessela z parametrem m =,1,2,... Wtedy z 2 w (z) + z w (z) + (z 2 m 2 )w(z) = (17.1) p(z) = 1 z, q(z) = m2 +1. (17.2) z2 Punkt z = jest regularnym punktem osobliwym, natomiast z = jest NPO. Sta d poszukiwana forma rozwia zania w postaci szeregu pote gowego Frobeniusa wokół z = : w(z) = a n z n+c. (17.3) n= Jedynie niezerowe współczynniki rozwinie cia p(z) i q(z) wokół zera to p = 1, q = m 2, q 2 = 1. (17.4) Sta d równanie charakterystyczne z pierwiastkami c 1 = m i c 2 = m. F(c) = c 2 m 2 = (17.5) Poszukamy rozwia znia dla wie kszego pierwiastka c 1 = m. Wtedy F(n+m) = (n+m) 2 m 2 = n(n+2m) (17.6) 2
21 dla każdego n > i relacja (16.37) przyjmuje naste puja ca postać dla n 2 n(n+2m)a n + a n 2 =. (17.7) Dla n = 1 mamy a 1 =, sta d wszystkie współczynniki z nieparzystymi wskaźnikami znikaja. Natomiast dla parzystych n = 2k, gdzie k = 1,2,..., otrzymujemy a 2k 2 a 2k = (2k)(2k +2m) = a 2k k (k +m). (17.8) Kolejne współczynniki to a a 2 = (1+m) a 2 a 4 = (2+m) = a ( 1)2 2 4 (1 2)(1+m)(2+m) a 2k = ( 1) k a 2 2k k! (1+m)...(k +m) = ( 1)k m! 2 2k k!(k +m)! i sta d rozwia zanie w(z) = a 2 m m! k= a ( 1) k ( ) z 2k+m. (17.9) k! (k +m)! 2 Pomijaja c nieistotne stałe czynniki przed suma, otrzymujemy funkcje Bessela m-tego rze du J m (z) = k= ( 1) k ( ) z 2k+m (17.1) k! (k +m)! 2 Szereg jest bezwzgle dnie zbieżny w całej płaszczyźnie zespolonej. Wzór (17.1) można rozszerzyć na zespolone wartości parametru m ν C, zaste puja c w mianowniku Wtedy funkcja Bessela (k +m)! = Γ(k +m+1) Γ(k +ν +1). J ν (z) = k= ( 1) k ( ) z 2k+ν (17.11) k! Γ(k +ν +1) 2 21
22 jest rozwia zaniem równaniem Bessela z parametrem m = µ C. Jeżeli tylko pierwistki równania charakterystycznego spełniaja warunek, że c 1 c 2 = 2ν nie jest liczba całkowita to J ν (z) i J ν (z) sa liniowo niezależnymi rozwia zaniami, a rozwia zanie ogólne to ich kombinacja liniowa. Dla m Z, drugie rozwia zanie jest liniowo zależne od pierwszego. Kłada c bowiem ν = m we wzorze (17.11), otrzymamy ( 1) k ( ) z 2k m J m (z) =. (17.12) k! Γ(k m+1) 2 Zauważmy, że 1 Γ(k m+1) k= = dla k =,1...(m 1), sta d sumowanie w powyższym wzorze rozpoczyna sie od k = m. Zmieniaja c naste pnie wskaźnik sumowania na k = k m, znajdujemy wzór dla dodatnich całkowitych m ( 1) k ( ) z 2k m J m (z) = k! Γ(k m+1) 2 = k=m k = ( 1) k +m ( ) z 2k +m (k +m)! Γ(k +1) 2 = ( 1) m J m (z). (17.13) Aby znaleźć drugie rozwia zanie liniowo niezależne od J m zauważmy, że dla niecałkowitego ν kombinacja liniowa Y ν (z) = J ν(z)cosνπ J ν (z) sinνπ (17.14) jest rozwia zaniem równania Bessela liniowo niezależnym od J ν. Przechodza c naste pnie do granicy J ν (z)cosνπ J ν (z) Y m (z) = lim, (17.15) ν m sinνπ otrzymujemy poszukiwane drugie rozwia zanie dla całkowitych m. Podsumowuja c, dla dowolnych wartości parametru m = ν C w równaniu Bessela rozwia zaniem ogólnym jest kombinacja liniowa w(z) = c 1 J ν (z) + c 2 Y ν (z). (17.16) 22
23 Asymptotyka obu rozwia zań dla z to J ν (z) Y ν (z) ( ) 1 z ν (17.17) Γ(ν +1) 2 2 π lnz dla ν = ( ) Γ(ν) ν 2 π z dla ν. (17.18) Tak wie c dla całkowitego dotatniego m, J m (z) jest nieosobliwe w zerze w przeciwieństwie do Y m (z). Dla rzeczywistych x mamy J ν (x) Y ν (x) 2 πx cos ( x 2 πx sin ( x ) 2ν +1 π 4 (17.19) ) 2ν +1 π. (17.2) 4 Obie funkcje zachowuja sie jak funkcje trygonometryczne z zanikaja ca amplituda proporcjonalna do 1/ x Przykład dla ν 2 = 1/4 Rozwia zać równanie Bessela dla ν 2 = 1/4 z 2 w (z) + z w (z) + Korzystaja c ze wzorów (9.14) i (9.15), otrzymamy ( z 2 1 ) w(z) = (17.21) 4 J 1 2 (z) = = = k= k= 2 πz ( 1) k ( ) 1 z 2k+ 2 k! Γ(k ) 2 ( 1) k ( ) (2k +1)! 1 ( z 2k+1 ( z π k! 2 2k+1 k! 2) 2 k= ) 1/2 ( 1) k z 2k+1 2 (2k +1)! = sinz. (17.22) πz 23
24 Podobnie, dla ν = 1 2, znajdujemy J 1 (z) = 2 = = = = k= ( 1) k ( ) 1 z 2k 2 k! Γ(k ) 2 2 πz + k=1 2 πz + k=1 2 πz + 2 πz ( 1) k ( ) 1 z 2k 2 k! Γ(k ) 2 ( 1) k k! ( 1) k k! k=1 ( 1 + ( 1) k k=1 k + 1 ( ) 1 2 z 2k 2 Γ(k ) 2 ( 2k +1 (2k +1)! 2 ) z2k (2k)! 2 2k+1 k! π ) 1 ( z 2 = ) 2k cosz. (17.23) πz Sta d ogólne rozwia zanie równania Bessela z ν 2 = 1/4 wyraża sie poprzez funkcje elementarne sinz cosz w(z) = c 1 + c 2. (17.24) z z 17.2 Inne funkcje Bessela Cze sto użyteczne sa funkcje skonstruowane z funkcji Bessela J ν i Y ν. Tak zwane funkcje Hankela pierwszego i drugiego rodzaju to H (1) ν (z) = J ν (z) + iy ν (z) (17.25) H (2) (z) = J ν (z) iy ν (z). (17.26) Ich postać asymptotyczna dla rzeczywistych x to [ ( 2 H ν (1,2) (x) = πx exp ±i x )] 2ν +1 π. (17.27) 4 Natomiast dla z mamy zachowanie osobliwe takie jak Y ν. 24
25 Zmodyfikowane lub hiperboliczne funkcje Bessela sa zdefiniowane jako I ν (z) = i ν J ν (iz) (17.28) K ν (z) = π 2 iν+1 H (1) ν (iz). (17.29) Sa one dwoma liniowo niezależnymi rozwia zaniami równania z 2 w + z w (z 2 +ν 2 )w =. (17.3) Ich zachowanie asymptotyczne dla rzeczywistych x to I ν (x) K ν (x) 1 2πx e x (17.31) π 2x e x. (17.32) Dla zespolonego z funkcja I ν jest regularna tak jak J ν, natomiast K ν jest osobliwa tak jak Y ν. 25
26 Wykład 18 Równanie hipergeometryczne Gaussa Równanie hipergeometryczne Gaussa z(z 1) d2 w dw + [(1+α+β)z γ] + αβ w = (18.1) dz2 dz ma trzy regularne punkty osobliwe w z =,1,. Łatwo pokazać bezpośrednim rachunkiem, że równanie Gaussa można zapisać w równoważnej postaci d (z d ) dz dz +γ 1 w = (z d )(z dz +α d ) dz +β w (18.2) Udowodnimy, że w obszarze z < 1 rozwia zanie wokół z = ma postać szeregu hipergeometrycznego: w(z) = n= (α) n (β) n (γ) n z n n! (18.3) gdzie symbol Pochhammera to (α) n = α(α +1)...(α +n 1) = Γ(α +n). (18.4) Γ(α) 26
27 Działaja c poniższymi operatorami różniczkowymi, otrzymujemy (z d dz +β ) w = (z d dz +α )(z d dz +β ) w = n= n= a także d (z d ) dz dz +γ 1 w = d ( dz = = = = n=1 n= n= n= n= (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (α) n+1 (β) n+1 (γ) n+1 (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (n+β) zn n! (n+α)(n+β) zn n!, (18.5) ) (n+γ 1) zn n! n(n+γ 1) zn 1 n! (n+γ) zn n! (α +n)(β +n) (n+γ) zn (γ +n) n! (n+α)(n+β) zn n!, (18.6) Porównuja c prawe strony równości (18.5) i (18.6) otrzymujemy równanie Gaussa w formie (18.2). W ogólności, jednym z rozwia zań szczególnych równania (18.1) jest funkcja hipergeometryczna w(z) = 2 F 1 (α, β, γ; z), (18.7) reprezentowana w obszarze z < 1 przez szereg hipergeometryczny (18.3). Wiele funkcji specjalnych można zapisać przy pomocy funkcji hipergeometrycznej z odpowiednimi wartościami parametrów α, β, γ Równanie konfluentne Gaussa Zamieńmy zmienna z = x/β w równaniu hipergeometrycznym Gaussa. Wtedy d dz = dx d dz dx = β d dx, d 2 d2 = β2 dz2 dx 2 27
28 i sta d równanie Gaussa przyjmuje postać β 2 x β ( ) x d 2 [ β 1 w dx 2 + β (1+α+β) x ] dw β γ + αβ w =. (18.8) dx Dziela c obie strony przez β, a naste pnie przechodza c do granicy β, dostajemy x d2 w dw + (x γ) + αw =. (18.9) dx2 dx Kłada c na powrót x = z otrzymujemy konfluentne równanie Gaussa z d2 w dw + (γ z) αw = (18.1) dz2 dz W rezultacie tej procedury dwa regularne punkty osobliwe (RPO) równania Gaussa zlewaja sie w jeden, 1, tworza c nieregularny punkt osobliwy (NPO) równania konfluentnego w z =. Punkt z = pozostaje RPO tego równania. Równanie konfluentne można zapisać w równoważnej postaci d (z d ) dz dz +γ 1 w = (z d ) dz +α w (18.11) Podstawiaja c w równaniu (18.3) wyrażenie z = x/β, dostajemy w(x) = n= (α) n (β) n (γ) n β n x n n! = n= (α) n (γ) n ( 1+ 1 ) (... β 1+ n 1 β ) x n n!. Przechodza c do granicy β oraz kłada c x = z, otrzymujemy poszukiwane rozwia zanie równania (18.1) w(z) = n= (α) n z n (γ) n n! (18.12) Reprezentuje on w obszarze z < 1 konfluentna funkcje hipergeometryczna w(x) = 1 F 1 (α, γ; x). (18.13) Wiele funkcji specjalnych można wyrazić przy pomocy funkcji konfluentnej. 28
29 Wykład 19 Równanie Legendre a Rozważmy równanie Legendre a dla dowolnej wartości parametru µ C (1 z 2 ) d2 w dw 2z + µ(µ+1)w = (19.1) dz2 dz Ma ono trzy regularne punkty osobliwe w z = ±1,. Można je zatem sprowadzić do równania hipergeometrycznego Gaussa y(y 1) d2 w dw + [(1+α+β)y γ] + αβ w =, (19.2) dy2 dy wykonaja c transformacje y = 1 2 (1 z), (19.3) przeprowadzaja ca punkty z = ±1 w punkty osobliwe y =,1 równania hipergeometrycznego. Otrzymujemy wtedy oraz d dz = d dy dy dz = 1 2 d dy, d 2 dz 2 = 1 4 dy 2 (1 z 2 ) = 4y(1 y), z = 1 2y. Po podstawieniu do (19.1) otrzymujemy równanie hipergeometryczne y(y 1) d2 w dw + (2y 1) µ(µ+1)w = (19.4) dy2 dy d 2 29
30 z parametrami spełniaja cymi zwia zki γ = 1, α +β = µ, αβ = µ(µ+1). (19.5) Dwa ostatnie równania prowadza do α = µ oraz β = µ+1. Jedno z rozwia zań równania hipergeometrycznego (19.2) jest funkcja hipergeometryczna 2F 1 (α, β, γ ; y), która w przypadku równania (19.4) przyjmuje postać w(y) = 2 F 1 ( µ, µ+1, 1; y). (19.6) Dla y < 1 jest ona reprezentowana przez szereg hipergeometryczny 2F 1 ( µ, µ+1, 1; y) = gdzie symbol Pochhammera n= ( µ) n (µ+1) n y n (1) n n!, (19.7) ( µ) n = ( µ)( µ+1)...( µ+n 1) (19.8) i podobnie dla pozostałych wielkości. Zauważmy przy tym, że (1) n = n!. (19.9) Podstawiaja c relacje (19.3) do (19.7), otrzymamy w obszarze z 1 < 2 rozwia zanie rówanie Legendre a w postaci w(z) = n= ( µ) n (µ+1) n (n!) 2 ( ) 1 z n. (19.1) Wielomiany Legendre a Równanie Legendre a pojawia sie w fizyce w problemach o symetrii sferycznej, opisywanych równaniami różniczkowymi z operatorem Laplace a, gdy zmienna z = cos θ. Wtedy szereg (19.1) powinien być zbieżny na granicy obszaru zbieżności dla z = 1 (θ = π). Tak nie jest i jedynym rozwia zaniem problemu jest założenie, że dopuszczalne sa tylko całkowite wartości µ: µ = l =,1,2,... (19.11) Wtedy dla wszystkich n (l +1) zachodzi dla ( µ) n we wzorze (19.1) ( l) n = ( l)( l +1)...( l +l)...( l +n 1) = (19.12) 3
31 i nieskończony szereg (19.1) staje sie wielomianem Legendre a stopnia l: P l (z) = l n= Kilka pierwszych wielomianów to P (z) = 1 P 1 (z) = z W ogólności słuszna jest własność ( l) n (l +1) n (n!) 2 P 2 (z) = 1 2 (3z2 1) ( ) 1 z n (19.13) 2 P 3 (z) = 1 2 (5z3 3z). (19.14) P l ( z) = ( 1) l P l (z). (19.15) Parzystość wielomianów jest wie c określona przez parzystość l. Ograniczaja c argument do liczb rzeczywistych z przedziału 1 x 1, otrzymujemy warunek ortogonalności dla wielomianów Legendre a 1 P l (x)p l (x)dx = dla l l. (19.16) 1 Ponadto sa one unormowane tak, że 1 Pl 2 (x)dx = 2 2l +1. (19.17) Stowarzyszone wielomiany Legendre a Zdefiniujmy na koniec stowarzyszone wielomiany Legendre a gdzie l =,1,... oraz m =,1,...l. P (m) l (z) = (1 z 2 m/2 dm ) dz m P l(z) (19.18) Sa one rozwia zaniem stowarzyszonego równania Legendre a [ ] (1 z 2 )w 2z w + l(l +1) m2 1 z 2 w =. (19.19) Pojawia sie ono w opisie kwantowego kre tu orbitalnego dla orbitalnej liczby kwantowej l oraz magnetycznej liczby kwantowej m. 31
32 Wykład 2 Teoria Sturma Liouville a Rozważmy równanie Legendre a (19.1) dla rzeczywistych z = x [ 1,1] oraz całkowitych dodatnich wartości µ = l. Można je wtedy zapisać w postaci równania własnego { (1 x 2 ) d2 dx 2 2x d dx } P l (x) = l(l +1)P l (x). (2.1) Liczba λ l = l(l +1) jest wartościa własna operatora różniczkowego w równaniu Legendre a, natomiast P l (x) jest funkcja własna odwpwiadaja ca wartości własnej λ l. 2.1 Problem własny W ogólności równanie własne ma postać gdzie ˆLf λ (x) = λf λ (x), (2.2) ˆL = α(x) d2 dx 2 + β(x) d + γ(x), α(x) (2.3) dx jest operatorem różniczkowym działaja ceym na funkcje zespolone f(x) o argumencie rzeczywistym x [a, b]. Funkcja α(x) może być równa zeru tylko na końcach tego przedziału. ˆL jest operatorem liniowym, tzn. dla dowolnych funkcji f,g oraz liczb a,b C zachodzi ˆL{af(x)+bg(x)} = a ˆLf(x) + b ˆLg(x). (2.4) 32
33 Zagadnienie Sturma Liouville a polega na rozwia zaniu równania własnego (2.2) dla operatora ˆL spełniaja cego warunek samosprze żoności (dyskutowany w naste pnym rozdziale). Liczba λ nazywa sie wartościa własna, natomiast f λ to funkcja własna do wartości własnej λ. Zbiór wszystkich wartości własnych nazywa sie widmem operatora ˆL. Operator (2.3) można zapisać w innej postaci mnożac go przez funkcje w(x) spełniaja ca równanie Wtedy zachodzi gdzie funkcje [w(x)α(x)] = w(x)β(x). (2.5) wα d2 dx 2 +[wα] d dx +wγ = d dx ( p(x) dg ) +q(x), (2.6) dx p(x) = w(x)α(x), q(x) = w(x)γ(x). (2.7) Równanie własne (2.2) przyjmuje wiec równoważna postać { ( d p(x) d ) } +q(x) f(x) = λw(x)f(x) (2.8) dx dx Funkcje w(x) można znaleźć dziela c obie strony równania (2.5) przez w(x)α(x). W wyniku otrzymujemy rówanie Sta d zawsze nieujemne rozwia zanie d β(x) ln(w(x)α(x)) = dx α(x). (2.9) w(x) = 1 { x } β(y) α(x) exp α(y) dy. (2.1) Przykład Dla operatora w równaniu Legendre a (2.1) funkcja w(x) = 1, gdyż α (x) = (1 x 2 ) = 2x = β(x). Nie ma wie c konieczności szukania w i operator ˆL w tym przypadku to ˆL = d ( (1 x 2 ) d ). (2.11) dx dx 33
34 2.2 Iloczyn skalarny Funkcja w(x), nazywana waga, służy do określenia iloczynu skalarnego w przestrzeni funkcji, na które działa operator ˆL f g = b Iloczyn skalarny ma naste puja ce własności a f (x)g(x)w(x)dx (2.12) f g = g f (2.13) f λg = λ f g, λ C (2.14) f g 1 +g 2 = f g 1 + f g 2 (2.15) f f, (2.16) przy czym f f = <=> f. (2.17) Drugi i trzeci warunek wyraża własność liniowości iloczynu skalarnego wzgle - dem drugiego argumentu. Z własności (2.13) wynika warunek antyliniowości dla pierwszego argumentu. λf g = λ f g f 1 +f 2 g = f 1 g + f 2 g (2.18) Z własności (2.13) wynika także to, że f f jest liczba rzeczywista, co umożliwia nałożenie warunku (2.16). Wprowadźmy na koniec naste puja ca definicje. Dwie niezerowe funkcje sa ortogonalne jeśli f 1 f 2 =. (2.19) 2.3 Operatory samosprzȩżone Warunek samosprze żoności lub hermitowskości operator liniowego jest określony wzgle dem iloczynu skalarnego w przestrzeni, w której on działa. 34
35 Definicja Operator liniowy ˆL jest samosprze żony jeżeli dla dowolnych funkcji f i g z przestrzeni, w której dziaa la L, zachodzi f ˆLg = ˆLf g (2.2) Znajdziemy warunek jaki musi spełniać operator różniczkowy (2.3) by był on samosprze żony. Rozważmy b f ˆLg = f (x)w(x) {α(x) d2 dx 2 +β(x) d } dx +γ(x) g(x) dx = a b a { ( d f (x) dx p(x) dg dx ) } +q(x)g(x) dx. W ostatniej linijce wykorzystaliśmy wzór (2.6). Całkuja c dwukrotnie przez cze ści, dostajemy f ˆLg [ = p(x) f (x) dg dx df ] b dx g(x) + b { d a dx Wyrażenie w drugiej linijce to słuszny jest naste puja cy warunek ( p(x) df dx a ) +q(x)f(x)} g(x)dx. ˆLf g. Tak wie c ˆL jest samosprze żony, gdy [ p(x) f (x) dg dx df ] b dx g(x) = (2.21) Zauważmy, że warunek ten nakłada ograniczenie zarówno na operator ˆL (poprzez funkcje p) jaki i na przestrzeń funkcji, w której on działa. Przykład Operator (2.11) jest samosprze żony wzgle dem iloczynu skalarnego f g = 1 1 a f (x)g(x)dx, (2.22) określonego dla funkcji posiadaja cych skończona wartość w x = ±1. Funkcja p(x) = 1 x 2 znika w x = ±1 i warunek (2.21) jest spełniony. 35
36 2.4 Własności operatorów samosprzȩżonych Operatory samosprze żone pełnia bardzo ważna role w mechanice kwantowej, gdyż słuszne sa naste puja ce twierdzenia. Twierdzenie Wartości własne operatorów samosprze żonych sa rzeczywiste. Udowodnimy to korzystaja c z równania własnego: ˆLf λ = λf λ. Wtedy f λ ˆLf λ = λ f λ f λ = ˆLfλ f λ = λ f λ f λ, gdzie skorzystaliśmy z samosprze żoności oraz własności iloczynu skalarnego. Ponieważ f λ f λ >, sta d λ = λ jest liczba rzeczywista. Twierdzenie Funkcje własne operatorów samosprze żonych do różnych wartości własnych sa ortogonalne. Aby udowodnić to twierdzenie, rozważmy dwie funkcje własne f λ1,f λ2 odpowiadaja ce różnym wartościom własnym: f λ1 ˆLf λ2 = λ 2 f λ1 f λ2 = ˆLfλ1 f λ2 = λ 1 f λ1 f λ2. Ponieważ λ 1 λ 2 to f λ1 f λ2 = i funkcje własne sa ortogonalne. Twierdzenia to wyjaśnia dlaczego wartości własne operatora w równaniu Legendre a sa rzeczywiste, a wielomiany Legendre a, sa ortogonalne. 2.5 Zupełność funkcji własnych Zbiór funkcji własnych operatorów samosprze żonych tworzy układ zupełny. Oznacza to, że dowolna funkcje zespolona f(x), całkowalna z kwadratem b f f = f(x) 2 w(x)dx <, (2.23) a 36
37 regularne p(x) > w(x) > osobliwe p(x) w(x) okresowe p(a) = p(b) w(x) > Tablica 2.1: Rodzaje zagadnień Sturma-Liouville a. Liczby a i b to granice całkowania w iloczynie skalarnym (2.12). można zapisać przy pomocy funkcji własnych. W przypadku, gdy istnieja tylko dyskretne wartości własne {λ n } n=1, f(x) = a n f n (x), (2.24) n=1 gdzie a n C to współczynniki rozwinie cia. Szereg po prawej stronie jest zbieżny do f(x) w całym przedziale [a,b] w sensie wartości średniej b lim N a N 2 f(x) a n f n (x) w(x)dx =. (2.25) n=1 Pozostaje odpowiedzieć na pytanie kiedy spektrum wartości własnych w zagadnieniu Sturma-Liouville a jest tylko dyskretne. Jest to zwia zane z podziałem zagadnień Sturma-Liouville a określonym w powyższej tabelce. Dla regularnych zagadnień Sturma Liouville a istnieja tylko dyskretne wartości własnych. Sa one niezdegenerowane co oznacza, że każdej wartości własnej odpowiada tylko jedna funkcja własna (z dokładknokścia do przemnożenia przez stała ). Szereg (2.24) jest wtedy zbieżny punktowo do f(x) w każdym punkcie cia głości funkcji lub do średniej w każdym punkcie niecia głości. 1 2 [f(x+) + f(x )] (2.26) Zagadnienia osobliwe nie musza mieć tylko dyskretnych wartości własnych. W ogólności ich zbiór ich wartości własnych, nazywany widmem, może być dyskretny, cia gły lub mieszany. Funkcje własne do dyskretnych wartości własnych moga, ale nie musza tworzyć układu zupełnego. Podobnie dla zadania okresowego. 37
38 Wykład 21 Wielomiany ortogonalne 21.1 Konstrukcja wielomianów ortogonalnych Naszym celem jest rozwia zanie równania własnego dla samosprze żonych operatorów (2.3), {α(x) d2 dx 2 + β(x) d dx + γ(x) } W n (x) = λ n W n (x), (21.1) w klasie funkcji be da cych wielomianami rzeczywistymi stopnia n W n (x) = n w k x k. (21.2) k= W wyniku otrzymamy zbiór wielomianów ortogonalnych, numerowanych stopniem wielomianu n =,1,2,... i tworza cych w wie kszości przypadków układ zupełny, przy pomocy którego można rozwijać funkcje w szereg. Aby obie strony równania (21.1) były wielomianem stopnia n, funkcja α(x) musi być co najwyżej wielomianem drugiego stopnia, β(x) wielomianem pierwszego stopnia, a γ(x) stała α(x) = α +α 1 x+α 2 x 2 β(x) = β +β 1 x γ(x) = γ. (21.3) 38
39 Bez straty ogólności możemy położyć γ =, gdyż współczynnik ten przesuwa tylko wartości własne: λ n λ n +γ. Oprócz tego możemy zawsze wykonać transformacje liniowa x = ax +b, (21.4) która pozwala w wygodny sposo ustalić dwa spośród pie ciu pozostałych współczynników. Można jeszcze ustalić jeden współczynnik, przeskalowuja c wielomian W n(x) = cw n (x). (21.5) Pozostajemy wie c z dwoma niezależnymi współczynnikami. Wykorzystuja c te uwagi skonstruujemy pełna klase wielomianów ortogonalnych wyznaczaja c funkcje (21.3) oraz wage w(x) tak, by operator L był samosprze żony. Wartości własne λ n otrzymujemy podstawiaja c (21.3) do (21.1): (α +α 1 x+α 2 x 2 )W n + (β +β 1 x)w n = λ n W n. (21.6) Podstawiaja c postać (21.2) rozwia zania, (α +α 1 x+α 2 x 2 )(n(n 1)w n x n ) + (β +β 1 x)(nw n x n ) = λ n (w n x n +...). (21.7) a naste pnie porównuja c współczynniki przy pote dze x n, znajdujemy λ n = n(n 1)α 2 + nβ 1 (21.8) Samosprze żoność operatora L oznacza, że waga jest dana wzorem (2.1): natomiast warunek (2.21) przyjmuje postać { x } β(y) w(x)α(x) = exp α(y) dy, (21.9) w(x)α(x) [ W n(x)w m(x) W n (x)w m (x) ] b a =. (21.1) Ponieważ nie nakładamy żadnych ograniczeń na przestrzeń wielomianów, warunek ten może być spełniony tylko dla w(a)α(a) = w(b)α(b) =. (21.11) 39
40 Jeśli a,b = ± to w(x)α(x) znika szybciej niz dowolna ujemna pote ga x. Tak wie c, funkcja β(x) nie może być równa zeru, gdyż wtedy z (21.9) wynika, że w(x)α(x) 1. Zachowamy wie c β(x) w ogólnej formie, natomiast rozważymy trzy przypadki, gdy funkcja α(x) jest 1. funkcja stała : α(x) = α 2. funkcja liniowa : α(x) = α +α 1 x 3. funkcja kwadratowa : α(x) = α +α 1 x+α 2 x Wielomiany Hermite a Zakładamy, że α(x) jest stała. Oznacza to, że możemy przyja c, iż dwa istotne parametry to α 1 = α 2 =. Pozostałe trzy parametry α,β,β 1 można wybrać już dowolnie, korzystaja c z istnieja cej swobody parametryzacji. Zapiszmy { x } β +β 1 y w(x)α(x) = exp dy = exp α { β1 2α (x+β /β 1 ) 2 Wybieraja c α = 1 oraz β = i β 1 = 2, dostajemy funkcje }. (21.12) α(x) = 1, β(x) = 2x (21.13) oraz wage zapewniaja ca spełnienie warunku samosprze żoności (21.1): w(x) = e x2 < x <. (21.14) Wadze tej odpowiadaja wielomiany Hermite a W n (x) = H n (x), (21.15) spełniaja ce warunek ortogonalności dla n m H n (x)h m (x)e x2 dx =. (21.16) Tworza one układ zupełny. Obliczaja c z warunku (21.8): λ n = 2n, otrzymujemy równanie Hermite a dla wielomianów H n : H n 2xH n + 2nH n = (21.17) 4
41 21.3 Wielomiany Lageurre a Zakładamy, że α(x) jest funkcja liniowa i wtedy jeden z istotnych parametrów to α 2 =. Wybieraja c α = oraz α 1 = 1 otrzymujemy α(x) = x. (21.18) Po ustaleniu trzech parametrów pozostaje wcia ż jeden istotny i jeden swobodny parametr. Rozważmy { x } β +β 1 y w(x)α(x) = exp dy = x β e β1x. y Wybieraja c β 1 = 1 oraz parametryzuja c β = s+1, dostajemy Sta d waga zapewniaja ca warunek smosprze żoności, β(x) = s+1 x. (21.19) w(x) = x s e x x, (21.2) dla stowarzyszonych wielomianów Lageurre a W n (x) = L (s) n (x). (21.21) Sa one ortogonalne dla s > 1, tzn. dla n m zachodzi L (s) n (x)l (s) m (x)e x x s dx =. (21.22) Wielomiany Lageurre a nie tworza układu zupełnego. Wyliczaja c λ n = n, otrzymujemy stowarzyszone równanie Lageurre a xl (s) n + (s+1 x)l (s) n + nl (s) n =. (21.23) Dla s = otrzymujemy zwykłe wielomiany Lageurre a L n (x) spełniaja ce powyższe równanie z s = xl n + (1 x)l n + nl n =. (21.24) Dla całkowitch s > sa one zwia zane ze stowarzyszonymi wielomianami Lageurre a wzorem L (s) n (x) = ( 1) s ds dx s L n+s(x). (21.25) 41
42 21.4 Wielomiany Jacobiego Zakładamy, że α(x) jest funkcja kwadratowa. Wykorzystuja c swobode parametryzacji kładziemy: a = 1, a 1 = oraz a 2 = 1. Wtedy α(x) = 1 x 2. (21.26) Dwa parametry funkcji β sa wie c istotnymi parametrami. Wprowadzaja c nowe oznaczenia β(x) = (q p) (p+q +2)x, (21.27) otrzymamy Wtedy β(x) (q p) (p+q +2)x = α(x) 1 x 2 = q +1 1+x p+1 1 x. { x } β(y) w(x)α(x) = exp α(y) dy = (1 x) p+1 (1+x) q+1 i sta d naste puja ca postać wagi dla p,q > 1: w(x) = (1 x) p (1+x) q, x 1. (21.28) Wadze tej odpowiadaja wielomiany Jacobiego spełniaja ce warunek ortogonalności dla n m 1 1 W n (x) = J (p,q) n (x), (21.29) J n (p,q) (x)j m (p,q) (x)(1 x) p+1 (1+x) q+1 dx =. (21.3) Wielomiany Jacobiego tworza układ zupełny. Wyliczaja c, λ n = n(n+p+q +1), stwierdzamy, że spełnione jest naste - puja ce równanie Jacobiego (1 x 2 )J (p,q) n + [q p (p+q +2)x]J (p,q) n + J (p,q) n n(n+p+q +1) = (21.31) Przedstawiona analiza wyczerpuje liste wszystkich możliwych wielomianów ortogonalnych w zagadnieniu Sturma Liouville a. Rozważmy jeszcze szczególne przypadki wielomianów Jacobiego. 42
43 Wielomiany Gegenbauera Dla p = q = (m 1/2) > 1 otrzymujemy wielomiany Gegenbauera spełniaja ce równanie G (m) n (x) = J n (m 1/2,m 1/2) (x). (21.32) (1 x 2 )G (m) n (2m+1)xG (m) n + n(n+2m)g (m) n = (21.33) Sa one ortogonalne wzge dem naste puja cego iloczynu skalarnego 1 G (m) n (x)g (m) k (x)(1 x 2 ) m 1/2 dx = C n δ nk. (21.34) Wielomiany Czebyszewa Dla m = mamy wielomiany Czebyszewa spełniaja ce równanie T n (x) = J ( 1/2, 1/2) n (x). (21.35) oraz relacje ortogonalności 1 T n (x)t k (x) (1 x 2 )T n xt n + n 2 T n = (21.36) Wielomiany Legendre a dx = C 1 x 2 nδ nk. (21.37) W końcu, dla p = q = dostajemy wielomiany Legendre a które spełniaja równanie P n (x) = J (,) n (x), (21.38) (1 x 2 )P n 2xP n + n(n+1)p n = (21.39) a także relacje ortogonalności 1 P n (x)p k (x)dx = C n δ nk. (21.4) 1 Współczynniki normalizacyjne C n sa podane w Tablicy
44 Wielomiany W n α(x) β(x) λ n Hermite a H n 1 2x 2n Laguerre a L (s) n x s+1 x n Jacobiego J n (p,q) 1 x 2 (q p) (p+q +2)x n(n+p+q +1) Gegenbauera G (m) n 1 x 2 (2m+1)x n(n+2m) Czebyszewa T n 1 x 2 x n 2 Legendre a P n 1 x 2 2x n(n+1) Tablica 21.1: Funkcje i wartości własne w równaniu różniczkowym (21.41). Parametry wielomianów: p,q > 1, m > 1/2 i s > Podsumowanie Podsumowaniem sa dwie tabelki. W pierwszej z nich podajemy funkcje α(x) i β(x) oraz wartości własne λ n dla równania, które spełniaja wielomiany α(x)w n + β(x)w n +λ n W n =. (21.41) W drugiej tabelce specyfikujemy wage w(x), przedział całkowania [a,b] oraz współczynnik normalizacyjny C n w relacji ortogonalności W n W m = b a W n (x)w m (x)w(x)dx = C n δ nm. (21.42) Przedstawione zagadnienia Sturma Liouville a sa osobliwe i wielomiany nie musza tworzyć układów zupełnych. Tak jest dla wielomianów Lageurre a, natomiast reszta wielomianów tworzy układy zupełne. Wtedy dla dowolnej funkcji rzeczywistej f(x), określonej na przedziale [a, b] i całkowalnej z kwadratem, zachodzi f(x) = a n W n (x), (21.43) n= gdzie równość należy rozumieć w sensie wartości średniej b lim N a N 2 f(x) a n W n (x) w(x)dx =. (21.44) n= 44
45 Współczynniki rozwinie cia obliczymy wykorzystuja c warunek ortogonalności wielomianów a n = 1 C n Z warunku ortogonalności wynika równość Parsevala f(x)w n (x)w(x)dx. (21.45) b f 2 (x)w(x)dx = C n a 2 n. (21.46) a n= Wielomiany W n w(x) [a,b] C n Hermite a H n e x2 [, ] π 2 n n! Laguerre a n x s e x [, ] Γ(s+n+1)/n! Jacobiego J n (p,q) (1 x) p (1+x) q [ 1,1] Gegenbauera G (m) n ( 1 x 2 ) m 1/2 [ 1, 1] Czebyszewa T n ( 1 x 2 ) 1/2 [ 1,1] π/2(1+δ n ) Legendre a P n 1 [ 1,1] 2/(2n+1) L (s) 2 p+q+1 Γ(n+p+1)Γ(n+q+1) n!(2n+p+q+1)γ(n+p+q+1) 2 2m 1 Γ 2 (n+m+1/2) n!(n+m)γ(n+2m) Tablica 21.2: Funkcje wagowe, granice całkowanie oraz współczynnik normalizacyjny w iloczynie skalarnym (21.42). 45
46 Wykład 22 Szeregi Fouriera 22.1 Problem własny Zilustrujemy rozwia zywanie zagadnienia Sturma-Liouville a na przykładzie operatora ˆL = d 2 /dx 2, d 2 f(x) dx 2 = λf(x), (22.1) działaja cego w przestrzeni funkcji rzeczywistych, określonych dla x [ L,L] i spełniaja cych warunki brzegowe f( L) = f(l), f ( L) = f (L). (22.2) Dla tego operatora mamy p(x) = w(x) = 1. Sta d iloczyn skalarny jest zadany przez f g = L L f(x)g(x)dx. (22.3) Warunek samosprze żoności (13.39) jest spełniony na mocy warunków brzegowych [ f(x)g (x) f (x)g(x) ] L =. (22.4) Operator ˆL jest wie c samosprze żony L L f ˆLg = L f(x)g (x)dx = L L f (x)g(x)dx = ˆLf g (22.5) 46
47 i wartości własne λ w równaniu (22.1) sa rzeczywiste. Rozpatrzmy trzy przypadki. 1. Dla λ =, otrzymujemy jako rozwia zanie ogólne Warunki brzegowe (22.2) prowadza do równania f(x) = c 1 +c 2 x. (22.6) c 1 c 2 L = c 1 +c 2 L (22.7) przy dowolnym współczynniku c 1. Sta d c 2 = i naste puja ca funkcja własna f (x) = c 1 = 1. (22.8) 2. Dla λ = µ 2 >, rozwia zanie ogólne równania (22.1) to f(x) = c 1 e µx + c 2 e µx. (22.9) Nakładaja c warunki brzegowe otrzymamy układ równań który prowadzi do c 1 e µl + c 2 e µl = c 1 e µl + c 2 e µl c 1 e µl c 2 e µl = c 1 e µl c 2 e µl, (22.1) (e µl e µl )(c 1 c 2 ) = (e µl e µl )(c 1 +c 2 ) =. (22.11) Ponieważ µ możemy podzielić oba równania przez (e µl e µl ) otrzymuja c jako rozwia zanie c 1 = c 2 =. Nie istnieje wie c niezerowa funkcja własna dla dodatnich wartości własnych. 3. Pozostaje przypadek λ = µ 2 <. Rozwia zaniem ogólnym jest wtedy f(x) = c 1 sin(µx)+c 2 cos(µx). (22.12) Warunki brzegowe (22.2) prowadza do układu równań z którego wynika c 1 sin(µl)+c 2 cos(µl) = c 1 sin(µl)+c 2 cos(µl) c 1 cos(µl)+c 2 sin(µl) = c 1 cos(µl) c 2 sin(µl), (22.13) c 1 sin(µl) =, c 2 sin(µl) =. (22.14) 47
48 Sta d niezerowe rozwia zanie dla gdzie n 1 jest liczba całkowita. Otrzymaliśmy wie c wartości własne µ = nπ/l, (22.15) λ n = n2 π 2 L 2. (22.16) Odpowiadaja ce im liniowo niezależne funkcje własne to f n (x) = cos nπx L, f n(x) = sin nπx L. (22.17) Wartości własne dla n 1 sa dwukrotnie zdegenerowane. Powyższe wzory obejmuja przypadek n =, gdyż wtedy pierwsza funkcja wynosi f (x) = 1. Równanie (22.1) z wartościami własnymi (22.16), d 2 f n (x) dx 2 + n2 π 2 L 2 f n(x) =, (22.18) jest równaniem klasycznego oscylatora harmonicznego z cze stościami własnymi k n = n π L, (22.19) be da cymi całkowita wielokrotnościa cze stości podstawowej π/l. Funkcje własne (22.17) opisuja drgania harmoniczne z cze stościami własnymi. Okresem drgań jest 2L. Jeżeli x jest zmienna przestrzenna to 2L = λ jest długościa fali, natomiast gdy x jest czasem to 2L = T jest okresem drgań Ortogonalność funkcji własnych Na podstawie własności operatorów samosprze żonych, układ funkcji własnych jest ortogonalny dla n m f n f m = L L f n (x)f m (x)dx = C n δ nm (22.2) 48
49 Ortogonalne sa także funkcje własne do tej samej wartości własnej λ n, L L sin nπx L Wykorzystuja c wzory nπx cos L dx = 1 2 L L sin 2nπx dx =. (22.21) L sin 2 α = 1 2 (1 cosα), cos2 α = 1 2 (1+cosα) (22.22) łatwo pokazać, że współczynniki normalizacyjne C n dla n 1 to natomiast dla n = znajdujemy C n = f n f n = L, (22.23) L C = f f = dx = 2L. (22.24) L 22.3 Szereg Fouriera Rozważmy funkcje okresowa o okresie 2L: f(x+2l) = f(x). (22.25) Wtedy f( L) = f(l) i w przedziale [ L,L] możemy rozwina ć f(x) w szereg Fouriera funkcji własnych (22.17): f(x) = a 2 + n=1 ( a n cos nπx L + b n sin nπx ) L (22.26) Wzór ten można rozszerzyć na cała oś rzeczywista, na podstawie warunku okresowości. Całkuja c obie stronu równości (22.26) w granicach ±L znajdujemy wartość wspólczynnika a : a = 1 L L L f(x)dx. (22.27) 49
50 Wspólczynniki dla n 1 znajdziemy mnoża c obie strony przez cos(nπx/l) oraz sin(nπx/l), a naste pnie całkuja c w tych samych granicach i wykorzystuja c warunek ortogonalności (22.2). Sta d a n = 1 L b n = 1 L L L L L f(x) cos nπx dx (22.28) L f(x) sin nπx dx. (22.29) L Szereg Fouriera dostarcza rozkładu funkcji okresowej na sume drgań harmonicznych. Współczynniki szeregu sa wyrażone przez całki z funkcji f(x). Powoduje to, że istnienie zbieżnego szeregu Fouriera wymaga dużo słabszych założeń co do funkcji f(x) niż w przypadku szeregu Taylora, gdy ża damy by istniały pochodne dowolnie wysokiego rze du. Zauważmy, że dla funkcji parzystych, spełniaja cych f( x) = f(x), każdy współczynnik b n = i wtedy f(x) = a 2 + n=1 a n cos nπx L (22.3) ze współczynnikami L a = 2 f(x)dx, L a n = 2 L L f(x) cos nπx dx. (22.31) L Podobnie dla funkcji nieparzystych, dla których f( x) = f(x), wszystkie współczynniki a n = i wtedy f(x) = n=1 b n sin nπx L (22.32) ze współczynnikami b n = 2 L L f(x) sin nπx dx. (22.33) L 5
51 22.4 Zbieżność szeregu Fouriera Wyjaśnienia wymaga problem zbieżność szeregu Fouriera. Odpowiedzia jest Twierdzenie Dirichleta Jeżeli funkcja okresowa f(x+2l) = f(x) ma w przedziale [ L,L] skończona liczbe ekstremów i punktów niecia głości x i, w których istnieja granice jednostrone f(x i +) i f(x i ) oraz funkcja jest kawałkami gładka w przedziałach (x i,x i+1 ) to szereg Fouriera jest zbieżny punktowo do wartości f(x) w punktach cia głości, natomiast w punktach niecia głości jest zbieżny do średniej 1 2 [f(x i+)+f(x i )]. (22.34) Warunki Dirichleta sa wystarczaja ce, ale nie konieczne do zbieżności szeregu. Istnieja funkcje, które ich nie spełniaja, a mimo to szereg Fouriera jest zbieżny. Przy założeniach Dirichleta, szereg Fouriera można całkować wyraz po wyrazie, a w przedziałach otwartych (x i,x i+1 ) można go podobnie różniczkować. Własność ta jest konsekwencja tego, że szereg Fouriera jest jednostajnie zbieżny w każdym podprzedziale domknie tym przedziału (x i,x i+1 ), natomiast w przedziale [ L, L] jest zbieżny w sensie wartości średniej Przykłady rozwiniȩć 1. Znajdźmy rozwinie cie Fouriera funkcji okresowej f(x + 2) = f(x) zadana w przedziale ( 1, 1] wzorem f(x) = { 1 1 < x 1 < x 1 (22.35) Funkcja jest nieparzysta i niezerowe współczynniki to 1 b n = 2 sin(nπx)dx = 2 nπ siny dy nπ = 2 nπ ( cosy) nπ = 2 nπ (1 ( 1)n ) (22.36) 51
52 Pozostaja tylko nieparzyste współczynniki b 2k+1 = dla k =,1,2,... i sta d rozwinie cie f(x) = k= 4 (2k +1)π (22.37) 4 sin(2k +1)πx. (22.38) (2k +1)π Zgodnie ze wzorem (22.34) w punktach niecia głości funkcji w x =,±1 szereg Fouriera jest zbieżny do wartości Różniczkuja c szereg (22.38) otrzymamy ( 1+1) =. (22.39) cos(2k +1)πx =. (22.4) k= Szereg ten jest zbieżny do zera w każdym podprzedziale nie zawieraja cym punktów niecia głości funkcji f(x). W punktach tych szereg jest rozbieżny. 2. Rozważmy funkcje okresowa f(x+2) = f(x) zadana w przedziale ( 1,1] wzorem f(x) = x 1 < x 1 (22.41) Funkcja jest nieparzysta wie c otrzymujemy rozwinie cie w szereg sinusów ze współczynnikami 1 b n = 2 x sin(nπx)dx = 2 nπ (nπ) 2 y siny dy Sta d dla x ( 1,1) zachodzi = 2 ( y cosy +siny) nπ (nπ) 2 = ( 1) n+1 2 nπ (22.42) x = ( 1) n+1 2 sin(nπx). (22.43) nπ n=1 W punktach niecia głości funkcji f(x) szereg Fouriera daje średnia z granic prawo- i lewostronnej równa zeru. Różniczkuja c szereg wyraz po wyrazie dla x ( 1,1) znajdujemy 2 ( 1) n+1 cos(nπx) = 1. (22.44) n=1 52
53 22.6 Równość Parsevala Rozważmy ogólnie rozwinie cie f(x) = a n f n (x), (22.45) n gdzie funkcje bazowe f n spełniaja warunek ortogonalności f n f m = C n δ nm, C n R. (22.46) Zbieżność szeregu w (22.45) do funkcji f(x) w sensie wartości średniej oznacza, że dla cia gu sum cze sciowych S N (x) = N a n f n (x), (22.47) n zachodzi Policzmy naste pnie lim f S N f S N =. (22.48) N f S N f S N = f f f S N S N f + S N S N. (22.49) Korzystaja c z własności ortogonalności (22.46), znajdujemy f S N = N C n a n 2 = S N f = S N S N. (22.5) n Sta d po podstawieniu do (22.49) otrzymujemy nierówność Bessela f f N C n a n 2. (22.51) n Warunek zbieżności w sensie wartości średniej (22.48) prowadzi w granicy N do równości Parsevala f f = C n a n 2 (22.52) n 53
Operatory samosprzężone
Operatory samosprzężone grudzień 2013 Operatory samosprzężone Operatory hermitowskie (3.29) (g, Lf) = (Lg, f) albo (3.30) g (x){l(x)f(x)}w(x)dx = {L(x)g(x)} f(x)w(x)dx. (Użyliśmy nawiasu klamrowego jako
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Ortonormalne
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia
Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia 1 Metoda ι Grama Schmidta zortogonalizować uk lad funkcji {x n } n= a) na odcinku 1; 1 z waga ι ρx) = 1, b) na prostej ; ) z waga ι ρx)
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowox = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać
3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowo2 Wielomiany ortogonalne
Wielomiany ortogonalne 2 1 2 Wielomiany ortogonalne Niech będzie przedziałem otwartym a, b) niewykluczone, że nieograniczonym). Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu 2.1) px)u
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoO geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowo