Analiza ryzyka kosztowego robót remontowo-budowlanych w warunkach niepełnej informacji

Transkrypt

1 Analza ryzyka kosztowego robót remontowo-budowlanych w warunkach nepełne nformac Mgr nż. Mchał Bętkowsk, dr nż. Andrze Pownuk Wydzał Budownctwa Poltechnka Śląska w Glwcach Mchal.Betkowsk@polsl.pl, Andrze.Pownuk@polsl.pl Streszczene Ryzyko est nerozłączne zwązane z każdym przedsęwzęcem budowlanym. Szczególne wysok pozom towarzyszy prowadzenu prac remontowych z uwag na trudny do określena zakres robót w chwl planowana. W artykule autorzy przedstawl próbę rozwązana tego problemu z zastosowanem autorske koncepc zmenne losowe o parametrach rozmytych [3] oraz specalstyczne narzędze pozwalaące uwzględnć nepewny charakter danych [4]. Słowa kluczowe: Ryzyko, algebra rozmyta, nepewność danych. Rsk s an mmanent part of all cvl engneerng proects. Partcularly one of the hghest levels of rsk accompanes repar work. In ths case t s very dffcult to predct a range of dfferent tasks at the stage of plannng. In ths paper the authors try to resolve above descrbed problems usng a new concept of random varable wth fuzzy parameters. [3] as well as a computer program whch s able to take advantage of data uncertanty and new theoretcal results [4]. eywords: rsk, fuzzy algebra, data uncertanty. Wstęp Prowadzene prac remontowych wąże sę ze szczególne dużym ryzykem. Z uwag na trudny do przewdzena zakres [], stosunkowo rzadko mamy do czynena z umowam ryczałtowym na ogół ceny ednostkowe maą charakter stały natomast rozlczene wartośc prac następue na podstawe obmarów robót kosztorysu powykonawczego sporządzanego przez wykonanu robót. Dlatego stotną kwestą est poszukwane narzędz umożlwaących określene przewdywane ceny kosztorysowe robót ryzyka z tym zwązanego. N Z edne strony mamy stałe ceny ednostkowe wynkaące z umowy z druge trudną do przewdzena na etape planowana, lość faktyczne ()

2 wykonach ednostek. Można to zawsko potraktować ako w pewne merze problem losowy błąd szacowana welkośc pomaru. Typowym rozkładem charakterystycznym dla tego typu zawsk est rozkład normalny ednak stykamy sę tu z problemem braku warygodnego materału statystycznego pozwalaącego na oszacowane parametrów charakterystycznych. Rozwązanem tego problemu może być sęgnece po autorską koncepcę zmenne losowe o parametrach rozmytych [3] - pozwala ona połączyć zalety zmenne losowe oraz zmenne rozmyte elmnuąc w duże merze ogranczena obu tych podeść (zmenna losowa wymaga zboru danych pozwalaących na oszacowane e parametrów zmenna rozmyta est mało odporna na propagacę błędu). Matematyczny ops ryzyka Z ryzykem mamy do czynena wtedy, gdy ponesone koszty realzac proektu będą wększe od założonego pozomu ceny kosztorysowe Z. > Z Z, brak ryzyka, ryzyko (2) W przypadku, gdy dysponuemy odpowedno dużą lczbą nformac, to możemy statystyczne opsać ponesone koszty realzac przy pomocy zmenne losowe. ( ω) : Ω ω R (3) Teraz można zdefnować ryzyko ako prawdopodobeństwo przekroczena założonego pozomu cen. ( ) ω: ( ω) { } R P > (4) Z Z Jak wdać ryzyko est funkcą założonego pozomu ceny kosztorysowe Z. Jeśl znamy dystrybuantę zmenne losowe, Z { } ( ) ( ) ω: ( ω) Φ P < f x dx (5) Z Z to ryzyko może zostać określone następuąco

3 { ω: ω } { ω: ( ω) } ( ) ( ) ( ) R P > P Φ (6) Z Z Z Z Przedzałowe charakterystyk ryzyka W przypadku robót remontowych rozlczanych według obmarów pommo zryczałtowanych cen ednostkowych trudno przewdzeć końcową cenę kosztorysową na etape planowana. Rozrzut lośc planowanych ednostek, a rzeczywśce wykonanych może być powodowany nepewnoścam ake należy uwzględnć w tym procese. Nepewnośc można ogólne podzelć na trzy grupy: - nepewnośc przypadkowe wynkaące z losowego charakteru welu zawsk, - nepewnośc systematyczne wynkaą z braku warygodnego źródła nformac, - błędy grube zwykle są to różnego rodzau pomyłk. W przypadku, gdy mamy wystarczaącą lość danych nepewnośc przypadkowe można opsywać przy pomocy teor prawdopodobeństwa. W takm przypadku zakładamy, że dysponuemy pewnym zborem pomarów dane lośc ednostek przedmarowych :,,2,...,,, (7) N czby (7) można uznać za realzace pewne zmenne losowe. W takm przypadku można konstruować probablstyczne charakterystyk (statystk) opsuące zmenną losową : Ω ω ( ω) N. Naczęśce oblczamy wartość średną /lub warancę: N N, N 2, s ( ),, N 2 (8) Przy pomocy oblczonych statystyk możemy dokonywać dalsze obróbk statystyczne otrzymanych danych. Należy ednak podkreślć, że każdy pomar,,,2,...,, N obarczony est równeż błędam systematycznym, a czasem równeż grubym. Zatem zamast punktowe wartośc pomaru, należy rozważyć cały możlwych wartośc, które może przymować: + przedzał [, ] + [ ], (9)

4 Górną dolną grance przedzału można zwykle oszacować na podstawe ogólne wedzy o danym koszce. Dowolna statystyka h (np. wartość średna, waranca tp.) zmenne losowe est funkcą danych pomarowych (, ) h h,,2,...,, N Zatem eśl nformace będą przedzałam też będze przedzałem (0),,,2,...,, N, to statystyka h (,,..., ) { h(,,..., ): } h h (),,2, N,,2, N,, Przykładowo przedzałową wartość średną można określć następuąco: N N, N N, :,, (2) To samo dotyczy dowolnych nnych probablstycznych charakterystyk takch ak np. funkc gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa f ( x). W tym przypadku otrzymuemy przedzałową funkcę gęstośc rozkładu x. f prawdopodobeństwa ( ) f gdze ( x ) ( x) { f ( x,,..., ): } (3),, N,, f,,,...,, N est empryczną funkcą gęstośc otrzymaną na podstawe pomarów,,...,, N. Ryzyko może zostać oszacowane est na podstawe zboru pewnych nformac dotyczących lośc ednostek przedmarowych,,...,, N. Zbór ten można przedstawć ako macerz o zmenne lczbe elementów w każdym werszu.,,...,, N..., M,,..., M, N M,,...,, N... (4) M,,..., M, N M

5 Węc ryzyko est funkcą zboru danych oraz założonego pozomu kosztów. (, ) R R (5) gdze Z est założonym pozomem kosztów oraz ryzyko określone est przy pomocy wzoru (4). Zatem przedzałową wartość ryzyka R ( Z ) otrzymuemy następuąco: Z { : } ( ) R(, ) R (6) Z Z Rozmyte charakterystyk ryzyka Przedzałowe charakterystyk ryzyka daą nabardze pesymstyczne oszacowane wartośc ryzyka. Ponadto oszacowane ne uwzględna zależnośc pomędzy różnym wartoścam,. Przykładowo błędy systematyczne zwykle, aczkolwek ne zawsze, maą podobny wpływ na część pomarów ne trzeba uwzględnać całego zakresu zmennośc + + przedzału, ]. Ponadto przedzały, ] są czasem zbyt [,, [,, szeroke. zęścowym rozwązanem tych problemu est koncepca zborów rozmytych [7]. W tym uęcu zbór danych ne składa sę tylko z przedzałów. Składa sę z zagneżdżone rodzny danych przedzałowych przekroów). α α... 0 α N α (tzw. α - (7) Zakładamy przy tym, że przedzałowe dane pewnym pozome stotnośc α, czyl { ( R \,α )} α W tym przypadku dla każdego przedzałowe ryzyko. α zostały utworzone na P (8) ( ) R(, ) α -przekrou możemy oblczyć { : } R (9) α Z Z α

6 Teraz można zbudować funkcę przynależnośc rozmytego ryzyka R. F ( ) Z { } ( )( ) sup α : α ( ) μ x x R (20) R F Z Z Zmenne losowe z rozmytym parametram W dotychczasowych rozważanach ne uwzględnalśmy nformac na temat charakteru rozkładu prawdopodobeństwa. Jednak w pewnych zastosowanach ne trzeba rozważać wszystkch możlwych funkc gęstośc można sę ogranczyć do pewne klasy funkc. Typowym rozkładem charakterystycznym dla błędów pomarów (oszacowana pewnych welkośc) est rozkład normalny. W takm przypadku znamy rozkład prawdopodobeństwa, a ne znamy ego parametrów. Parametry rozkładu normalnego określamy na podstawe wartośc średne z próby, oraz waranc z próby. Poprzez uwzględnene dodatkowe nformac o charakterze rozkładu prawdopodobeństwa uzyskuemy zwykle węższe oszacowane nż w przypadku zastosowana metody opsane w poprzednm punkce. Jeśl mamy dany rozkład prawdopodobeństwa f ( x, h ) zależny od wektora parametrów h, który charakteryzue rozkład kosztu całkowtego nwestyc budowlane, to ryzyko (zależne od parametru h) można oblczyć następuąco (, ) (, ) R Z h f x h dx (2) Z Teraz można oblczyć ryzyko ako lczbę rozmytą określoną przy pomocy wzoru (2) oraz metody α -przekroów. { Z, : α } sup { α : α } ( ) ( ) R R h h h (22) α Z μ x x R (23) R ( )( ) ( ) F Z Z Tak określone rozmyte ryzyko ( ) RF Z może zostać oblczone np. przy wykorzystanu zmodyfkowane metody Monte arlo [2]. Dane potrzebne do określena przedzałowe (rozmyte) charakterystyk parametrów rozkładu prawdopodobeństwa można zberać przy pomocy formularzy takch ak tabela (patrz tabela ). Można e wykorzystać do

7 zdefnowana lczb rozmytych reprezentuących oceny dokładnośc oszacowanych lośc ednostek przedmarowych. Tabela Tabela oceny dokładnośc oszacowana lośc ednostek: Nazwa procesu: koszt : osoba: Dokładność +/- % Przykładowe wynk oblczeń przedstawone są na rysunku. Oblczena wykonano przy pomocy autorskego programu [8] bazuącego na zmodyfkowane metodze Monte arlo [2, 6] oraz ęzyku BPFPRA [4]. Rys. Zaprezentowana bryła obrazue pozom ryzyka przy zakładanym pozome kosztów maksymalnych w aspekce pozomu zaufana do danych. Podsumowane Wprowadzane nadmerne dokładnośc tam, gdze ne mamy dostateczne lośc danych, ne przekłada sę na warygodność wynków. Prezentowana metoda pozwala, z edne strony maksymalne wykorzystać dostępne nformace, a z druge dae obraz nepewnośc danych. Przy pomocy nepewnych nformac można w prosty sposób zdefnować rozkłady zmennych losowych z rozmytym parametram, które następne można w efektywny sposób wykorzystać w oblczenach rozmytego ryzyka.

8 teratura [] Akntola, A.: Analyss of factors nuencng proect cost estmatng practce. onstructon Management and Economcs, 8() [2] Bętkowsk, M, Pownuk, A., alculatng Rsk of ost Usng Monte arlo Smulaton wth Fuzzy Parameters n vl Engneerng, NSF workshop on Relable Engneerng omputng, September 5-7, 2004, Savannah, Georga, USA. [3] Bętkowsk M, Pownuk A., oncepca zmenne losowe o parametrach rozmytych ako narzędza do szacowana ryzyka procesów budowlanych w warunkach ogranczone lośc danych. onferenca naukowo-technczna pt. BUDOWNITWO POSIE W RO PO WSTAPIENIU DO UNII EUROPEJSIEJ Gdańsk 9 - czerwca 2005 [4] Bętkowsk M., Pownuk A.,.: BPFPRA ver..8.2 User manual, Glwce, Poland, [5] Neumaer A., louds, fuzzy sets and probablty ntervals, Relable omputng 0: [6] Zelńskm R. Metody Monte arlo, WNT Warszawa 970 [7] Zadeh.A., 968, Probablty measure of fuzzy events. Journal of Mathematcal Analyss and Applcatons, Vol.23, s [8]