Prawo indukcji elektromagnetycznej (prawo Faradaya). Reguła Lenza

Transkrypt

1 5. Magnetostatyka. Cewk ndukcyjne Wykład XII. INDUKCJA EEKTROMAGNETYCZNA Prawo ndukcj elektromagnetycnej (prawo Faraday. Reguła ena W obwode (woju) obejmującym menający sę w case strumeń magnetycny powstaje napęce ndukowane (sła elektromotorycna ndukowana e nd ) o wartośc v N bewględnej proporcjonalnej do man strumena w case /, neależnej od sposobu wywoływana man strumena obejmującego uwojene, np. popre ruch uwojena w polu magnetycnym nemennym w b) (t) case (rys., cy popre many prądu w umesconym obok, neruchomym uwojenu (rys. b). (t) Wory defncyjne, nadające różne nak napęcukowanemu sem ndukowanej e nd, mają następujące postac: =, e nd =. (5.7a, b) Aby określć wrot lub e nd, korysta sę reguły ena (naywanej prawem prekory), w myśl której: skutek wynkający prebegu jawska stara sę precwdałać prycyne wywołującej to jawsko. Dla ułatwena można posłużyć sę hpotetycnym prądem ena, który wytwara strumeń precwstawający sę manom strumena podstawowego (rys. a b ). a ) b ) >, > + = const. + v e nd u nd e nd > 3 Cewka ndukcyjna Cewka ndukcyjna (nacej: wojnca, solenod, nduktor) jest uwojenem o określonej lcbe wojów, wra otocenem stanowącym środowsko wytwaranego pola magnetycnego. Pre strumeń magnetycny cewk (obejmowany pre cewkę) roume sę strumeń obejmowany pre jej woje. Zwoje cewk są rołożone w prestren, węc ogólne każdy nch może obejmować nny strumeń (nną cęść strumena cewk). Strumeń obejmowany pre wój cewk naywa sę strumenem skojaronym tym wojem lub skojarenem magnetycnym tego woju. Cewka predstawona na rys. obok składa sę e wojów o numerach:,,...,, obejmujących strumene:,,...,. Napęce ndukowane w cewce jest sumą napęć ndukowanych w jej wojach (pre strumene nm skojarone): u nd = k= k d( ) d = =. (5.8) Welkość, tn. suma strumen skojaronych e wojam cewk = = k k=.... (5.8 naywa sę strumenem skojaronym cewką lub skojarenem magnetycnym cewk.

2 Wykład XII Jeśl skojarena magnetycne poscególnych wojów cewk są jednakowe, równe strumenow obejmowanemu pre cewkę = = =... =, (5.9 to skojarene magnetycne cewk wynos =, (5.9b) a napęce ndukowane w nej - =. (5.9c) Indukcyjność własna Zjawsko ndukowana sę napęca w cewce lub pojedyncym woju (obwode elektrycnym), wskutek man prądu płynącego w tej cewce lub tym woju, naywa sę ndukcją własną lub samondukcją. Take cewk lub woje, występujące jako elementy obwodu, nosą mano ndukcyjnośc. Marą dolnośc cewk (woju, obwodu) prądem, do wytworena własnego strumena skojaronego, jest ndukcyjność własna wyrażona worem =. (5.) Jednostką ndukcyjnośc własnej jest wymenony już wceśnej henr (T) cyl omosekunda (Ω s). Ogólne, na wartość stosunku do może wpływać wartość ora charakter mennośc lub. Zależność () jest węc w ogólnym prypadku nelnowa (rys.. Jeśl uwojene cewk jest osadone na rdenu ferromagnetycnym, który stanow magnetowód, to wykres (), podobne jak (H), predstawa pętlę hsterey (rys. b). Cewk (ndukcyjnośc) o charakterystykach nelnowych be hsterey hstereą naywa sę nelnowym. b) c) Operowane pojęcem ma sens, jeśl stosunek do ma stałą wartość, cyl ależność () jest lnowa (rys. c). Taka cewka (ndukcyjność) nos nawę lnowej. Cechę lnowośc mają cewk uwojenam umesconym w środowsku o stałej wartośc prenkalnośc magnetycnej µ. W praktyce a lnowe uważa sę cewk berdenowe (powetrne) ora w ogranconym akrese cewk o rdenach stalowych e scelną powetrną cewk o rdenach wykonanych e specjalnych materałów (permnvar, operm). Pry równych strumenach skojaronych poscególnym wojam cewk (rys.): Θ = U µ = R µ = = =... =, (5. =, (5.b) = = = = Λµ, (5.) Θ R d =. (5.) Napęce ndukowane w cewce pre płynący pre ną prąd naywa sę napęcem samondukcj. µ

3 5. Magnetostatyka. Cewk ndukcyjne 3 Indukcyjność wajemna Zjawsko ndukowana sę napęca w cewce lub pojedyncym woju (obwode elektrycnym), wskutek man prądu płynącego w nnej cewce lub nnym woju, naywa sę ndukcją wajemną. Take cewk lub woje (sprężone magnetycne) nosą mano ndukcyjnośc sprężonych. Zostaną predstawone ależnośc dotycące dwóch cewek sprężonych (jeśl w układe jest węcej takch cewek, to każde e sprężeń jest opsywane osobno użycem tej samej formuły). s g g Sprężene cewek ne jest ngdy dealne: cęść strumena wytwaranego pre prąd jednej cewk ne jest obejmowana pre drugą, na odwrót. Strumene własne, wytwarane pre prądy, delą sę na strumene główne (wajemne) g g, strumene roprosena s s (rys. obok): = g +, (5.3 s = g +. (5.3b) s Całkowte skojarena magnetycne cewek są wąane e strumenam własnym wajemnym (głównym): g ; g. Pryjęto, że strumene składowe (własne ora wajemne) obejmują wsystke woje jednej lub drugej cewk, albo obu cewek. Zakładając lnowość ndukcyjnośc, tn. proporcjonalność wsystkch roważanych strumen do wywołujących je prądów (co sprowada sę do warunku nemennośc µ ), defnuje sę welkośc stałe (parametry cewek): - ndukcyjnośc własne =, =, (5.4a, b) - ndukcyjnośc wajemne - ndukcyjnośc główne - ndukcyjnośc roprosena g s g =, g =, s =, Jednostką ww. ndukcyjnośc jest henr (H) cyl omosekunda (Ω s). g s g =, (5.5a, b) g =, (5.6a, b) s =. (5.7a, b) Wykauje sę, że jeśl strumene g g prebegają w tym samym, jednorodnym środowsku (µ = const.), to jest jedna ndukcyjność wajemna = = M. (5.8) Z podanych wyżej worów wynka, że: = g + s, = g + s, (5.8a, b) ora s =, g =, cyl g g M = =, M węc M = g = g = g g. (5.8c) g

4 4 Wykład XII Wprowadając współcynnk sprężena magnetycnego: - cewk. wględem - cewk. wględem. - cewek. k k g g = = = g g = = = s s, (5.9, (5.9b) M k = k k =, (5.9c) otrymuje sę wór M = k. (5.9d) Cewk sprężone magnetycne pownny meć onacone gwadkam lub kropkam acsk jednomenne (nna nawa: jednakomenne). Pry prądach dopływających do acsków jednomennych tej samej strony w obu cewkach, np. ewnątr (rys. obok), mów sę o sprężenu dodatnm, a pry prądach dopływających precwnych stron o sprężenu ujemnym. Gdy sprężene jest dodatne, strumene główne cewek mają ten sam wrot, a gdy ujemne precwny. Strumene główne cewek tworą łącne strumeń główny całkowty g, aś strumeń główny strumene roprosena strumene obejmowane pre cewk : g = g g, g + s ± =, = g + s. (5.3a, b, c) Znak ± we wore (5.3 w dalsych, nżej amesconych ależnoścach, onaca pry sprężenu dodatnm +, a pry sprężenu ujemnym. Cewk sprężone predstawa sę symbolcne, używając pojęć ndukcyjnośc własnych wajemnej (na rys. a sprężene dodatne). Skojarena magnetycne napęca ndukowane cewek sprężonych magnetycne wyrażają sę następująco: b) M.. + M M + M M =, (5.3 + = ± M =, (5.3b) + = ± M d d = ± M, (5.3. d d = ± M, (5.3b). gde (rys. b): =, = ±M =, = ±M. g s s g, (5.33a, b). (5.33c, d) W lterature spotyka sę też nne asady ndeksowana podanych wyżej welkośc. Można np. spotkać onacena g = g =, prowadące w konsekwencj do onaceń, w mejscu pryjętych tu..

5 5. Magnetostatyka. Cewk ndukcyjne 5 Energa pola magnetycnego cewk b) d Energa wytworona w polu magnetycnym cewk, w case, równa sę pracy prądu w jej obwode elektrycnym (rys. : albo dwµ = und = d, (5.34 d dwµ = = Θ. (5.34b) Całkowta energa pola magnetycnego cewk wynos W ( ) ( Θ ) µ = d = Θ. (5.34c) Zwąk (5.34a, b, c) predstawono poglądowo na rys. b. Jeśl wartośc lub rosną, to pole obraujące W µ węksa sę, cyl energa jest poberana obwodu elektrycnego gromadona w polu magnetycnym, jeśl natomast lub maleją, to W µ mnejsa sę, cyl energa pola jest wracana do obwodu. Idealna (bereystancyjn cewka jest węc elementem bestratnym (konserwatywnym). a ) b ) Z ależnośc: (5.6 (5.), dotycących obwodów pokaanych na rys. a, ora (5.34c), wynkają następujące wory dla cewk lnowej: W µ Θ = Rµ = Θ =. (5.35 R Wµ = = =, (5.35b) Zwąk powyżse predstawono poglądowo na rys. b. Energa pola magnetycnego cewek sprężonych Energa pola magnetycnego wytwarana pre prądy w uwojenach dwóch cewek sprężonych pry manach skojareń magnetycnych d d wynos dw Ze worów (5.3 (5.3b) wynka, że: a atem: stąd: Θ = R µ W µ dw µ W µ Θ = Θ R µ µ d + d =. (5.36) d = d + d = d ± M d, (5.36 d = d + d = d ± M d, (5.36b) dw Θ Θ W µ dw µ = W µ Θ µ d + d + d + d = d ± M d + d ) + =, (5.37 dwµ ( d, (5.37b) W µ = + + +, (5.38 Wµ = ± M +. (5.38b) µ

6 6 Wykład XII Uwględnając możlwość różnych naków Θ = g + s, wględem Θ = g + s (godnych pry sprężenu dodatnm, precwnych pry sprężenu ujemnym), predstawa sę ależność (5.38 w postac wąanej welkoścam obwodu magnetycnego (rys. sprężene dodatne): Θ ( ) ( ) Θ ± g ± Θ g ( ± Θ ) ( ± ) Wµ = = s Θ R µ.s Θ ( Θ Θ ) ( ) ± s g ± g Θ s = + + = (5.38c) R µ. s Θ s Θ Θ s = + +, Θ gde: Θ = Θ ± Θ, = g ± g. (5.38d, e) Gęstość energ pola magnetycnego Ogólne, natężene pola magnetycnego ndukcja magnetycna są funkcjam położena, lec ograncając roważana do elementarnej rurk magnetycnej (rys. pryjmuje sę, że pole magnetycne w tak małym fragmence prestren jest równomerne, atem energa pola rokłada sę w nm równomerne. Dla welkośc elementarnych, wory (5.3c), (5.3d) (5.34b) pryjmują postac: b) c) R µ.s U µ l, H H ρ Wµ ρ Wµ H H S = S, U µ = H l, d( W ) = U ( ), µ = µ µ µ d stąd U d( ) = l S H W d. Ilocyn l S jest objętoścą rurk, węc objętoścowa (prestrenn gęstość energ magnetycnej wyraża sę worem ( H ) ρ Wµ = H d. (5.39 Dla środowska o stałej wartośc µ ależność (5.39 pryjmuje postac: ρ W µ = = µ H = H. (5.39b) µ Objętoścowej gęstośc energ magnetycnej odpowada pole powerchn mędy osą rędnych charakterystyką magnesowana w układe współrędnych, H rys. b (prenkalność µ menn, rys. c (prenkalność µ stał. Transformator bestratny Transformator jest urądenem umożlwającym prenosene energ jednego obwodu elektrycnego do drugego obwodu elektrycnego, na drode magnetycnej. Idealne (bestratne) cewk sprężone są prototypem transformatora bestratnego. H ( ) ( ) M.. W transformatore (rys. obok) wyróżna sę stronę perwotną stronę wtórną; odpowedno do tego: napęce perwotne u, prąd perwotny, napęce wtórne u prąd wtórny. Strałkowane napęca prądu transformatora po strone perwotnej jest typu odbornkowego, a po strone wtórnej generatorowego. Onacene acsków dla prądów odpowada sprężenu ujemnemu, tn. Θ = Θ Θ, = g g.

7 5. Magnetostatyka. Cewk ndukcyjne 7 Napęca po obu stronach transformatora bestratnego są napęcam ndukowanym: d d d d. = M,. = + M. (5.4a, b) Wykorystując ależnośc (5.8a, b, c): = g + s, = g + s, M = g = g, apsuje sę równana (5.4a, b) w następującej postac: d d d und. s = g g, (5.4 d d d und. + s = g g. (5.4b) Po onacenu wyraów predstawających napęca na ndukcyjnoścach roprosena: d d us = s, us = s, (5.4a, b) ora onacenu prekstałcenu wyrażeń po prawych stronach równań (5.4a, b): d d u g = g, (5.43 d d d d u g = g = g, (5.43b) otrymuje sę równana:. us = ug,. + us = ug, (5.44a, b) którym odpowada dwuobwodowy schemat astępcy transformatora bestratnego (rys. ponżej). s ϑ : s u s g. u g u g. g Wynkem delena stronam równań (5.43 (5.43b) jest welkość naywana prekładną transformatora: u g ϑ = =. (5.45) u Zależność (5.8c) pryjmuje węc formę: g M = = ϑ g ϑ, (5.45 aś wory (5.43a, b) po dodatkowym, obustronnym pomnożenu drugego nch pre ϑ apsuje sę następująco: d d u g = g, ϑ (5.46 d d u g = ϑ u g = ϑ g. ϑ (5.46b) s s u s u s. u u nd. µ µ u s g Na podstawe tych ależnośc predstawa sę jednoobwodowy schemat astępcy transformatora bestratnego (rys. obok), na którym występują welkośc prelcone e strony wtórnej na stronę perwotną: u = u = ϑ u = u, (5.47 u' g g ' g nd. = ϑ und., u' s us = ϑ, (5.47b, c)

8 8 Wykład XII ' =, µ = g = ϑ g, ' s = ϑ s. ϑ (5.47d, e, f) Ostatecne otrymuje sę równana: u u + u u = u' + u, (5.48a, b) nd. = s, s ' nd. d d' us = s, u' s = ' s, (5.48c, d) d u = µ µ, = µ + '. (5.48e, f) Uwaga. Stosując prekładnę /ϑ amast ϑ, prelca sę welkośc e strony perwotnej na wtórną. W energetyce defnuje sę prekładne transformatora (napęcowe lub wojowe) jako stosunk welkośc górnych dolnych, tn. dotycących stron wyżsego nżsego napęca. Wartość tak określonej prekładn ne może być mnejsa od. Powyżse roważana dotycą węc transformatora energetycnego aslanego od strony górnej (jeśl jest nacej, to a ϑ wstawa sę wsęde /ϑ ). Transformator dealny a transformator bestratny Transformator dealny jest elementem o dwóch parach acsków, defnowanym pre równana (rys. : ϑ : u = ϑ u, =. (5.49a, b) u u ϑ Realacja fycna transformatora dealnego (pod różnym nawam) może dotycyć arówno prądu mennego, jak stałego. Pod pewnym warunkam, pry prąde b) s ϑ : s mennym, transformator bestratny spełna u dość dokładne równana transformatora s µ u s dealnego. Aby określć te warunk, predstawono dwuobwodowy schemat astępcy. µ u g u g. transformatora bestratnego transformatorem dealnym (rys. b). Jak wdać, sprężene pownno być dealne ( s =, s =, węc k =, M = ) jak najwękse ( µ =, węc µ = g = ϑ M ). Wtedy: und. ϑ und., ϑ. Transformator recywsty W uwojenach recywstego transformatora występują straty Joule a, którym prypsane są reystancje. Dołąca sę je seregowo (po strone perwotnej wtórnej) do transformatora bestratnego. Reystancję uwojena wtórnego R prelca sę na stronę perwotną wg woru: R' = ϑ R. Strumeń główny recywstego transformatora prebega wyłącne w powetru lub w rdenu ferromagnetycnym, albo cęścowo rdenu cęścowo w powetru (w scelne powetrnej). W rdenu występują jawska hsterey prądów wrowych, którym wąane są straty energ, którym prypsana jest reystancja R Fe. Straty w ferromagnetyku ależą nelnowo od ndukcj magnetycnej cęstośc premagnesowywana rdena, ale pry stałej wartośc skutecnej cęstotlwośc napęca traktuje sę reystancję R Fe jako stałą. Dołąca sę ją równolegle do ndukcyjnośc głównej (magnesującej) µ transformatora bestratnego. Na rys. obok pokaany jest jednoobwodowy schemat astępcy transformatora rdenem ferromagnetycnym, skonstruowany godne powyżsym objaśnenam. R s s R Fe µ u R Fe u µ u