Interpolacja wielomianowa i splajnowa
|
|
- Eleonora Karpińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdziaª 5 Interpolacja wielomianowa i splajnowa 5.1 Wielomiany w octavie W octavie istnieje caªa gamma funkcji zwi zanych z wielomianami: polyval( ) - funkcja pozwalaj ca oblicza warto± wielomianu zadanego w bazie pot gowej dla danej warto±ci x, czy caªej macierzy warto±ci polyt( ) - funkcja znajduj ca wspóªczynniki wielomianu zadanego stopnia najlepiej dopasowanego do zadanej tabelki punktów. polyinteg( ) - zwraca wspóªczynniki wielomianu b d cego caªk nieoznaczon z danego wielomianu polyderiv( ) - zwraca wspóªczynniki wielomianu b d cego pochodn z danego wielomianu roots( ) - zwraca zera wielomianu conv(a,b) - zwraca wspóªczynniki wielomianu b d cego iloczynem wielomianów o wspóªczynnikach odpowiednio z wektorów a, b B dziemy korzystali przede wszystkim z dwóch pierwszych funkcji. We wszystkich tych funkcjach przyjmowane jest,»e rozpatrujemy wspóªczynniki wielomianu w bazie pot gowej, ale w nast puj cej kolejno±ci: (x n, x n 1,..., 1). 45
2 Wspóªczynniki indeksowane s od jedynki, tzn. wielomian stopnia nie wi kszego od n: n+1 w(x) = a k x n+1 k k=1 jest reprezentowany przez wektor wspóªczynników: (a 1,..., a n+1 ). Je±li chcemy policzy warto± w w danym punkcie x, czy ewentualnie dla tablicy punktów umieszczonych w macierzy X, wywoªujemy polyval(a,x) lub polyval(a,x). Tak wi c, aby narysowa wykres funkcji x 3 2x + 1 na [ 3, 4] mo»na wykona nast puj c sekwencj komend : a =[1,0, 2,1]; #d e f i n i u j e m y wsp. x=linspace ( 3,4);#s i a t k a wx=polyval ( a, x ) ; #wartosc w na plot ( x, wx ) ; #wykres s i a t c e 5.2 Interpolacja wielomianowa Interpolacja wielomianowa polega na tym,»e szukamy funkcji p z pewnej przestrzeni wielomianów (zazwyczaj wielomianów stopnia nie wi kszego od n), które w tych punktach speªniaj odpowiednie warunki interpolacyjne, tzn. p oraz jej pochodne maj w tych punktach zadane warto±ci Interpolacja Lagrange'a W interpolacji wielomianowej Lagrange'a dla zadanych n+1 ró»nych punktów x k i warto±ci y k = f(x k ) szukamy wielomianu p(x) stopnia co najwy»ej n takiego,»e speªnione s nast puj ce warunki interpolacyjne: f(x k ) = p(x k ) = y k k = 1,..., n + 1. Funkcja polyt(x,y,n) znajduje wspóªczynniki wielomianu p w bazie pot gowej dla wektorów x, y dªugo±ci n + 1. Wa»ne aby warto±ci w x byªy ró»ne. Przetestujmy t funkcj dla nast puj cych danych: x = ( 1, 0, 2, 4), y = (1, 1, 2, 1): x =[ 1,0,2,4]; y =[1,1,2, 1]; a=polyfit ( x, y, 3 ) ; s=linspace ( 2,5); plot ( s, polyval ( a, s ), x, y, " r +;war i n t e r p ; " ) 46
3 Rysunek 5.1: Wykres wielomianu interpolacyjnego. Czerwone plusy - warunki interpolacyjne Wida na rysunku 5.1,»e wielomian speªnia warunki interpolacyjne. Mo»emy to sprawdzi te» obliczeniowo: max(abs ( y polyval ( a, x ) ) ) Otrzymali±my wynik: bª d w w zªach jest równy prawie zero. Przetestujmy polyt(x,y,n) dla du»ych n dla w zªów równoodlegªych na [0, 1] i losowe warto±ci y z [ 1, 1], nast pnie policzmy bª d w w zªach w zale»no±ci od N: N=100; er=zeros (N+1,1); for k= 0 :N, x=linspace ( 0, 1, k+1); y=2 (rand ( size ( x )) 0.5); a=polyfit ( x, y, k ) ; er ( k+1)=max(abs ( y polyval ( a, x ) ) ) ; endfor 47
4 max( er ) Widzimy,»e mo»emy otrzyma niepoprawny wynik dla du»ych N. Wynika to ze zªych wªasno±ci algorytmu stosowanego przez octave'a ze wzgl du na zaburzenia powodowane przez niedokªadne obliczenia w arytmetyce zmiennopozycyjnej. Zbadajmy bª d pomi dzy funkcj, a jej wielomianem interpolacyjnym. Na pocz tek rozpatrzmy analityczn funkcj f(x) = sin(x) i w zªy równoodlegªe, oraz norm supremum na odcinku [ 4, 6]. Norm supremum: g,[a,b] := g(t) t [a,b] przybli»ymy poprzez dyskretn norm na siatce N równomiernie rozªo»onych punktów na tym odcinku [a, b], czyli z h = (b a)/n: f h,,[a,b] = max f(a + k h) k x =[ 1,0,2,4]; y =[1,1,2, 1]; a=polyfit ( x, y, 3 ) ; s=linspace ( 2,5); plot ( s, polyval ( a, s ), x, y, " r +;war i n t e r p ; " ) Interpolacja Hermite'a Rozpatrzmy teraz zadanie interpolacji Hermite'a. W interpolacji wielomianowej Hermite'a dla zadanych n + 1 ró»nych punktów x k i naturalnych krotno±ci w zªów p k szukamy wielomianu w(x) stopnia co najwy»ej N dla N = n k=0 p k 1 takiego,»e speªnione s nast puj ce warunki interpolacyjne: w (j) (x k ) = y k,j k = 1,..., n + 1, j = 0,..., p k 1. Tutaj y k,j to N + 1 zadanych warto±ci. W octavie nie ma funkcji realizuj cej interpolacje Hermite'a. Ale czy w szczególnych przypadkach nie mo»emy ªatwo rozwi za tego problemu korzystaj c z odpowiednich funkcji octave'a? Rozpatrzmy przypadek w zªów tej samej krotno±ci; np. n ró»nych dwukrotnych w zªów. 48
5 Rysunek 5.2: Interpolacja Hermite'a sin(3x) - dwa dwukrotne w zªy 1, 1 Chcemy znale¹ wspóªczynniki wielomianu N k=1 a kx k dla N = 2(n + 1) takie,»e w(x k ) = f(x k ), w (x k ) = f (x k ). Czyli rozwi zanie speªnia nast puj cy ukªad równa«liniowych: N k=1 N a k x k j = f(x k ) k=0 j = 0,..., n ka k x k 1 j = f (x k ) j = 0,..., n. Utwórzmy macierz tego ukªadu z pomoc funkcji vander(x), która tworzy macierz Vandermonde'a dla w zªów podanych w wektorze x: function [ a,c, f ]= interpolyh ( x, y, dy ) #tworzy w s p o l c z y n n i k i wielomianu Hermite ' a d l a #wezlow dwukrotnych z x #y= w a r t o s c i w wezlach x ( wektor pionowy ) 49
6 #w a r t o s c i pochodnej w wezlach x ( wektor pionowy ) #output : w s p o l c z y n n i k i wielomainu w b a z i e potegowej # ( Zgodne z p o l y v a l ( ) ) #C opcja macierz n=length ( x ) ; N=2 n 1; A=vander ( x,n+1); D=diag (N: 1 : 0 ) ; B=zeros ( size (A) ) ; B ( :, 1 :N)=A( :, 2 :N+1); B=B D; C=[A;B ] ; f =[y ; dy ] ; a=c\ [ y ; dy ] ; endfunction ukladu Rysunek 5.3: Interpolacja Hermite'a sin(3x) - trzy dwukrotne w zªy 1, 0, 1 Na pocz tku przetestujmy t funkcj dla w zªów 1, 1 dwukrotnych i funkcji sin(3 x). 50
7 x =[ 1;1]; x ) sin (3 x ) ; df=@( x ) 3 cos (3 x ) ; y=f ( x ) ; dy=df ( x ) ; a=interpolyh ( x, y, dy ) ; z=linspace ( 1. 1, 1. 1 ) ; plot ( z, polyval ( a, z ), " ; w i e l H; ", z, f ( z ), " ; f ; ", x, y, " r+" ) ; Z wykresu funkcji i wielomianu widzimy,»e wielomian przecina wykres i jest styczny w punktach 1, 1, por. rysunek 5.2. Zobaczmy co si stanie w przypadku trzech w zªów. Testujemy funkcj dla w zªów 2, 0, 2 dwukrotnych i sin(3 x). x =[ 1;0;1]; f=@( x ) sin (3 x ) ; df=@( x ) 3 cos (3 x ) ; y=f ( x ) ; dy=df ( x ) ; a=interpolyh ( x, y, dy ) ; z=linspace ( 1. 2, 1. 2 ) ; plot ( z, polyval ( a, z ), " ; w i e l H; ", z, f ( z ), " ; f ; ", x, y, " r+" ) ; Z rysunku 5.3 wida,»e funkcja dziaªa poprawnie równie» w tym przypadku. 5.3 Interpolacja zespolona. Algorytm FFT W tym rozdziale omówimy krótko interpolacj zespolon, ale tylko w przypadku okre±lonych w zªów zespolonych równomiernie rozmieszczonych na sferze jednostkowej. Chcemy znale¹ wspóªczynniki zespolone a k C, k = 0,..., N takie,»e N a k zj k = b k k=0 j = 0,..., N dla danych zespolonych b k i z j = exp ( ) 2π i j N+1 dla j = 0,..., N, czyli pierwiastków z jedynki stopnia N + 1. Równowa»nie mo»emy to zadanie sformuªowa jako zadanie znalezienia a k takich,»e N ( ) 2π i j k a k exp = b k j = 0,..., N. N + 1 k=0 51
8 Okazuje si,»e rozwi zanie mo»emy wyrazi poprzez operator dyskretnej transformaty Fouriera, czy równowa»nie jako mno»enie przez macierz F N+1 = 1 N+1 (ωk l N+1 )N k,l=0 : a = F N+1 b gdzie a = (a k ) N k=0, b = (b k ) N k=0, a ω N+1 = exp ( ) 2π i N+1. Mno»enie przez macierz F N+1 mo»na szybko wykona z wykorzystaniem algorytmu szybkiej transformacji Fouriera, czyli FFT (Fast Fourier Transform). Odpowiednia wersja algorytmu FFT sªu»y te» szybkiemu mno»eniu przez macierz odwrotn do F N+1 : F 1 N+1 = (N + 1)F N+1 = (ω k l N+1) N k,l=0. Obliczaj c warto± wielomianu k a kz k w punktach z j, czy równowa»nie warto±ci wielomianu trygonometrycznego N k=0 a k exp (i k x) w punktach x j = 2π j, to przyjmuj c b N+1 j = k a kzj k otrzymujemy: b = F 1 N+1 a. Warto doda,»e cz sto macierz DFT deniuje si bez czynnika 1 N+1, oczywi±cie wtedy macierz odwrotna te» musi by odpowiednio przeskalowana. Funkcja f f t ( ) sªu»y w octave'ie mno»eniu przez macierz F N+1. Jej najprostsze wywoªanie to a=f f t (b) Sprawd¹my, czy funkcja t () oblicza warto± DFT zgodnie z nasz denicj. Policzmy F 4 (4, 0, 0, 0) T, powinni±my otrzyma wektor samych jedynek: a=f f t ( [ 4 ; 0 ; 0 ; 0 ] ) a otrzymali±my: a = i i i 4 0 i To oznacza,»e funkcja t () oblicza warto± mno»enia przez (N + 1) F N+1. Z kolei funkcja it () powinna oblicza mno»enie przez macierz odwrotn do (N + 1) F N+1. Sprawd¹my, jak to dziaªa: 52
9 x =[1, 3, 4, 5 ] ; a=f f t ( x ) ; xx=i f f t ( a ) ; x xx norm( x xx, 2 ) Powtórzmy to dla wi kszego N: x=rand ( ) ; a=f f t ( x ) ; xx=i f f t ( a ) ; norm( x xx, 2 ) Stwórzmy macierz (N +1) F N+1 i porównajmy szybko± mno»enia przez t macierz wykonan za pomoc standardowego operatora octave'a, czyli operatora, z szybko±ci dziaªania funkcji t (). Stwórzmy najpierw funkcj tworz c macierz (N + 1) F N+1 : function F=DFTmac(N=3) om=exp(( 2 pi i ( 0 :N) ) / (N+1)); F=zeros (N+1,N+1); for k=0:n, F( k+1,:)=om.^ k ; endfor endfunction Przetestujmy j na pocz tek dla N = 3: F=DFTmac( 3 ) F F' a=rand ( 4 ) ; norm( f f t ( a) F a, 2 ) W tym przypadku wyniki si pokrywaj. Zgodnie z teori, por. np. [8], koszt obliczenia DFT przy zastosowaniu algorytmu FFT to O(n log 2 (n)), a standardowe mno»enia przez macierz F n kosztuje O(n 2 ). A teraz testujemy szybko± : n=4 512 F=DFTmac(n 1); x=rand (n ) ; tic ; y=f x ; t1=toc tic ; yy=f f t ( x ) ; t2=toc t1 / t2 53
10 Na moim komputerze FFT byªo ponad 63 razy szybsze dla n = Policzmy jeszcze wykres realnego kosztu wzgl dem n: n=t1=t2=zeros ( 1 0 0, 1 ) ; n (1)=100; for k =1:100, F=DFTmac(n( k ) 1); x=rand (n( k ) ) ; tic ; y=f x ; t1 ( k)=toc ; tic ; yy=f f t ( x ) ; t2 ( k)=toc ; n( k+1)=n( k )+10; endfor n=n ( 1 : ) ; plot (n, t1, " ; mnozenie przez macierz ; ",n, t2, " ; f f t ; " ) Na wynik chwil musimy poczeka, ale potwierdza on teori,»e FFT jest wyra¹nie szybszym algorytmem. 5.4 Interpolacja splajnowa W przypadku interpolacji splajnowej rozpatrujemy dane w zªy: a = x 0,..., x N = b na odcinku [a, b], oraz funkcje splajnowe (splajny), czyli funkcje, które s odpowiedniej klasy gªadko±ci (czyli s w C k ([a, b]), oraz obci te do dowolnego pododcinka [x k, x k+1 ] dla k = 0,..., N 1, s wielomianami co najwy»ej ustalonego stopnia. W przypadku splajnów kubicznych rozwa»amy funkcje, które s klasy C 2 na [a, b], oraz s wielomianami kubicznymi na ka»dym pododcinku. Zadanie interpolacji splajnowej kubicznej polega na znalezieniu splajnu kubicznego s takiego,»e s(x k ) = y k k = 0,..., N dla zadanych y k, oraz speªniaj cego odpowiednie warunki brzegowe. Np. w przypadku splajnu hermitowskiego s musi speªni warunki brzegowe hermitowskie: s (a) = dy a s (b) = dy b dla zadanych dodatkowych dwóch warto±ci dy a, dy b. W przypadku splajnu naturalnego warunki brzegowe to s (a) = s (b) = 0. 54
11 Rysunek 5.4: Wykres prostego splajnu typu not-a-knot. oznaczaj punkty interpolacji Czerwone plusy Rozpatruje si równie» splajny typu not-a-knot. W tym przypadku, zamiast warunków brzegowych, dodaje si sztucznie dwa warunki ci gªo±ci trzeciej pochodnej w w zªach x 1 i x N 1. Z kolei splajny okresowe speªniaj nast puj ce warunki brzegowe okresowe: s (j) (a) = s (j) (b) j = 0, 1, 2. W ka»dym z tych czterech przypadków splajn interpolacyjny jest wyznaczony jednoznacznie, por. np. [11]. W octave'ie istnieje kilka funkcji zwi zanych z interpolacj splajnami kubicznymi, czy ogólnie - z funkcjami wielomianowymi na pododcinkach: spline() - funkcja sªu» ca znalezieniu splajnu interpolacyjnego hermitowskiego, czy typu not-a-knot ppval() - funkcja sªu» ca obliczeniu warto±ci splajnu zadanego w formacie octave'a 55
12 Rysunek 5.5: Wykresy prostych splajnów typu not-a-knot i hermitowskiego (z zerowymi pochodnymi w ko«cach) z tymi samymi warunkami interpolacyjnymi. Czerwone plusy oznaczaj punkty interpolacji mkpp() - tworzy funkcj wielomianow na pod-odcinkach (szczegóªy help mkpp()) unmkpp() - ze struktury splajnu w octave'ie zwraca wspóªczynniki wielomianów na pod-odcinkach (szczegóªy help unmkpp()) Podstawow funkcj sªu» c znalezieniu splajnu interpolacyjnego hermitowskiego, czy typu not-a-knot jest funkcja spline(). Jej najprostsze wywo- ªanie to p=spline ( x, y ) gdzie x to wektor wymiaru N z w zªami interpolacji splajnowej, a wektor y ma t sam dªugo± co x i zawiera warto±ci jakie ma przyj splajn w tych w zªach. Druga mo»liwo± to - przy takim samym wektorze w zªów x, podanie wektora y o dªugo±ci N + 2. Wtedy pierwsza i ostatnia warto± wektora y to warto±ci pochodnych splajnu w ko«cowych w zªach x. Pozostaªe 56
13 warto±ci y tzn. y k dla k = 2,..., N +1 zawieraj warto±ci splajnu w w zªach z x, czyli s takie same jak w pierwszym przypadku. Funkcja zwraca struktur typu pp, czyli w odpowiednim formacie octave'a splajnu kubicznego typu not-a-knot w pierwszym przypadku, a w drugim - splajnu hermitowskiego. Nast pnie, korzystaj c z funkcji ppval() mo»na obliczy warto± tego splajnu w punkcie, czy tablicy punktów. Policzmy splajn który w w zªach 2, 1, 0, 1, 2 przyjmie warto±ci 1, 0, 0, 0, 1 i narysujmy jego wykres, por. rysunek 5.4: x= 2:2; y = [ 1, 0, 0, 0, 1 ] ; pp=spline ( x, y ) ; z=linspace ( 2,2); plot ( z, ppval ( pp, z ), " ; s p l a j n n a k ; ", x, y, " r+" ) ; Korzystaj c z tej samej funkcji, stwórzmy splajn hermitowski przyjmuj c,»e jego pochodne w ko«cach wynosz zero. Nast pnie narysujmy wykresy obu splajnów na odcinku [ 2, 2], por. rysunek 5.5, oraz blisko lewego ko«ca, por. rysunek 5.6: x= 2:2; y = [ 1, 0, 0, 0, 1 ] ; pp=spline ( x, y ) ; yh =[0,y, 0 ] ; ph=spline ( x, yh ) ; z=linspace ( 2,2); plot ( z, ppval ( ph, z ), " ; s p l a j n hermitowski ; ",... z, ppval ( pp, z ), " ; s p l a j n n a k ; ", x, y, " r+" ) ; pause ( 2 ) ; z=linspace ( 2, 2+0.1); plot ( z, ppval ( ph, z ), " ; s p l a j n hermitowski ; ",... z, ppval ( pp, z ), " ; s p l a j n n a k ; ", 2,1.3); Wida,»e splajny s ró»ne, oraz»e splajn hermitowski ma pochodn równ zero w lewym i prawym ko«cu. Czy w octave'ie mo»na wyznaczy w prosty sposób inne splajny, np. naturalny lub okresowy? Okazuje si,»e tak, ale trzeba wykorzysta funkcj z rozszerzenia octave'a, czyli octave-forge'a: csape(). Jej wywoªanie to pp=csape ( x, y, cond, v a l z ) gdzie x, y to wektory dªugo±ci N z w zªami i warto±ciami splajnu w w zªach, a cond przyjmuje warto±ci: 57
14 Rysunek 5.6: Wykresy prostych splajnów typu not-a-knot i hermitowskiego (z zerowymi pochodnymi w ko«cach) blisko lewego ko«ca. 'variational' w przypadku splajnu interpolacyjnego kubicznego naturalnego 'complete' w przypadku splajnu interpolacyjnego kubicznego hermitowskiego, warto±ci pochodnych w ko«cach s podane w parametrze valc 'not-a-knot' w przypadku splajnu interpolacyjnego kubicznego typu not-a-knot 'periodic' w przypadku splajnu interpolacyjnego kubicznego okresowego 'second' w przypadku splajnu interpolacyjnego kubicznego z ustalonymi warto±ciami drugiej pochodnej w ko«cach, zgodnymi z tym, co podano w parametrze valc Funkcja zwraca struktur typu pp, czyli dane splajnu kubicznego w formacie octave'a. 58
15 Porównajmy wyniki tej funkcji z wynikiem funkcji spline() dla danych z naszego prostego przykªadu i splajnu typu not-a-knot. Policzymy dyskretn norm maksimum (na siatce równomiernej 300 punktów na [ 2, 2] z wyników obu funkcji: x= 2:2; y = [ 1, 0, 0, 0, 1 ] ; pp=spline ( x, y ) ; pp1=csape ( x, y, ' not a knot ' ) ; z=linspace ( 2,2,300); norm( ppval (pp, z) ppval ( pp1, z ), ' i n f ' ) Otrzymali±my zero. Na jednym wykresie narysujmy wykresy trzech splajnów interpolacyjnych dla N = 6 z tymi samymi warunkami interpolacyjnymi, ale z ró»nymi warunkami brzegowymi: hermitowskim, not-a-knot i naturalnym. N=4; x= 2:2; y = [ 1, 0, 0, 0, 1 ] ; pp=spline ( x, y ) ; ppn=csape ( x, y, ' v a r i a t i o n a l ' ) ; yh =[0,y, 0 ] ; pph=spline ( x, yh ) ; z=linspace ( 2,2); plot ( z, ppval ( pph, z ), " ; s p l. hermit. ; ",... z, ppval ( pp, z ), " ; s p l. n a k ; ",... z, ppval ( ppn, z ), " ; s p l. natur. ; ", x, y, " r+" ) ; Wszystkie trzy splajny s ró»ne w tym przypadku, por. rysunek 5.7. Oczywi±cie obie funkcje umo»liwiaj dowolny wybór w zªów, np. we¹my w zªy [ 2, 1, 2, 3, 4] z tymi samymi warto±ciami i stwórzmy splajny obu typów, por. rysunek 5.8: x =[ 3,2,3,4]; y = [ 1, 0, 0, 0, 1 ] ; pp=spline ( x, y ) ; yh =[0,y, 0 ] ; ph=spline ( x, yh ) ; z=linspace ( 3,4); plot ( z, ppval ( ph, z ), " ; s p l a j n hermitowski ; ",... z, ppval ( pp, z ), " ; s p l a j n n a k ; ", x, y, " r+" ) ; Popatrzmy na bª dy aproksymacji w normie supremum. Ustalmy,»e interpolujemy splajnami kubicznymi znan funkcj gªadk f(x) na czterech 59
16 Rysunek 5.7: Wykresy trzech ró»nych splajnów speªniaj cych te same warunki interpolacyjne. Splajn hermitowski posiada pochodne równe zero w ko«cach odcinka. w zªach równoodlegªych na odcinku [a, b]. Je±li pp to struktura typu pp opisuj ca splajn interpoluj cy f, to dyskretn norm maksimum ró»nicy mi dzy f, a splajnem s, np. na siatce o tysi cu punktach, mo»emy obliczy komend : z=linspace ( a, b, ) ; y=f ( z ) ; s=ppval (pp, z ) ; errmax=norm( s y, ' i n f ' ) Zaªo»yli±my,»e funkcja f jest zaimplementowana wektorowo, tzn.»e wywo- ªanie w octave'ie f(z) dla z wektora zwróci wektor (f(z(k))). W przeciwnym razie nale»aªoby u»y p tli do wyznaczenia wektora y: z=linspace ( a, b, ) ; for k=1:length ( z ), y ( k)= f ( z ( k ) ) ; endfor 60
17 Rysunek 5.8: Wykresy prostych splajnów typu not-a-knot i hermitowskiego z w zªami nierównoodlegªymi z tymi samymi warunkami interpolacyjnymi. Czerwone plusy oznaczaj punkty interpolacji. Splajn hermitowski posiada pochodne równe zero w ko«cach odcinka. s=ppval (pp, z ) ; errmax=norm( s y, ' i n f ' ) W poni»szym kodzie obliczymy przybli»on norm maksimum na odcinku [ 1, 2] pomi dzy f(x) = sin(x), a jej dwoma splajnami interpolacyjnymi kubicznymi: naturalnym i typu not-a-knot na czterech w zªach równoodlegªych: a= 1; b=2; f=@sin ; N=4; x=linspace ( a, b, 4 ) ; y=f ( x ) ; pp=spline ( x, y ) ; ppn=csape ( x, y, ' v a r i a t i o n a l ' ) ; z=linspace ( a, b, ) ; 61
18 Rysunek 5.9: Wykresy ró»nicy pomi dzy funkcj sin(x), a jej dwoma splajnami interpolacyjnymi - naturalnym i typu not-a-knot. Czerwone plusy oznaczaj cztery równoodlegªe punkty interpolacji na [ 1, 2]. f z=f ( z ) ; pz=ppval (pp, z ) ; pn=ppval ( ppn, z ) ; e r r=norm( fz pz, ' i n f ' ) errn=norm( fz pn, ' i n f ' ) Bª d dla splajnu naturalnego byª wi kszy: errn = , ni» dla splajnu typu not-a -knot: err = , co wida te» na rysunku 5.9. Jako zadanie pozostawiamy policzenie bª dów dla innych funkcji, w zªów i typów splajnów kubicznych interpolacyjnych. 62
Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoArytmetyka zmiennopozycyjna
Rozdziaª 4 Arytmetyka zmiennopozycyjna Wszystkie obliczenia w octavie s wykonywane w arytmetyce zmiennopozycyjnej (inaczej - arytmetyce ) podwójnej precyzji (double) - cho w najnowszych wersjach octave'a
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoRozdziaª 13. Przykªadowe projekty zaliczeniowe
Rozdziaª 13 Przykªadowe projekty zaliczeniowe W tej cz ±ci skryptu przedstawimy przykªady projektów na zaliczenia zaj z laboratorium komputerowego z matematyki obliczeniowej. Projekty mo»na potraktowa
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Bardziej szczegółowoLZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
Bardziej szczegółowoNumeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoZadania i scenariusze zaj z laboratorium komputerowego do wykªadu z Matematyki Obliczeniowej. Leszek Marcinkowski
Zadania i scenariusze zaj z laboratorium komputerowego do wykªadu z Matematyki Obliczeniowej Leszek Marcinkowski 12 grudnia 2011 Streszczenie W skrypcie przedstawimy zestawy zada«do odbywaj cego si co
Bardziej szczegółowoLaboratorium z Matematyki Obliczeniowej z wykorzystaniem pakietu octave. Leszek Marcinkowski
Laboratorium z Matematyki Obliczeniowej z wykorzystaniem pakietu octave Leszek Marcinkowski 12 grudnia 2011 Streszczenie W tym skrypcie omówimy wykorzystanie pakietu obliczeniowego octave do implementacji
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdziaª 7. Rozwi zywanie równa«nieliniowych. 7.1 Funkcja octave'a fzero()
Rozdziaª 7 Rozwi zywanie równa«nieliniowych W tym rozdziale zajmiemy si metodami rozwi zywania równa«nieliniowych skalarnych. Interesuje nas znalezienie zera nieliniowej funkcji f : [a, b] R: Przetestujemy
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoSzybkie mno»enie wielomianów i macierzy
Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy Šukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 1 / 30 Szybka Transformata Fouriera Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 2 / 30
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoCaªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania PWSZ Gªogów, 2009 Iloczyn skalarny Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (, ) R iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoObliczanie całek. Instytut Fizyki Akademia Pomorska w Słupsku
Obliczanie całek. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobami i możliwościami przybliżonego obliczania całek w środowisku GNU octave. Wprowadzenie Kwadratury Zajmijmy się przybliżonym
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoLekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoLekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoMathematica - podstawy
Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 4 PLAN WYKŁADU. Sieci neuronowe: Algorytmy uczenia & Dalsze zastosowania. Metody uczenia sieci: Zastosowania
WYKŁAD 4 Sieci neuronowe: Algorytmy uczenia & Dalsze zastosowania PLAN WYKŁADU Metody uczenia sieci: Uczenie perceptronu Propagacja wsteczna Zastosowania Sterowanie (powtórzenie) Kompresja obrazu Rozpoznawanie
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoLiczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoWektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).
Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany
Bardziej szczegółowoPrzykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowo