UZĘBIENIE EWOLWENTOWE KÓŁ TROCHOIDALNYCH

Transkrypt

1 KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 26 nr 2 Archiwum Technologii Maszn i Automatzacji 2006 HIERONIM KORZENIEWSKI * UZĘBIENIE EWOLWENTOWE KÓŁ TROCHOIDALNYCH W artkule przedstawiono sposób obliczania parametrów rodzin nieokrągłch kół zębatch z uzębieniem o zarsie ewolwentowm. Przkładową metodę postępowania omówiono dla kół o centroidach eliptcznch. Metoda ta może bć stosowana z powodzeniem do kół z centroidami o innej postaci krzwch trochoidalnch. Wniki obliczeń posłużł do wkonania uzębień kół na elektrodrążarce drutowej ze sterowaniem CNC. Słowa kluczowe: koła trochoidalne, uzębienie ewolwentowe, elektrodrążarka drutowa 1. WSTĘP Wczesne wersje nieokrągłch kół zębatch są przedstawione na szkicach Leonarda da Vinci. Nieokrągłe koła zębate znalazł zastosowanie praktczne w mechanizmach teatralnch i różnorodnch urządzeniach automatcznch na przełomie XVII i XVIII wieku. Znane są modele kół nieokrągłch użwanch w badaniach kinematki przekładni, które wkonano na początku XX wieku. W połowie XX wieku nieokrągłe koła zębate bł użwane w przekładniach elektromechanicznch do kontroli napędu i sterowania nieliniowmi potencjometrami. Znalazł zastosowanie w przemśle okrętowm, a także w masznach włókienniczch oraz różnego rodzaju pompach zębatch. Więcej informacji o zastosowaniu kół nieokrągłch można znaleźć w pracach [3, 6, 7]. W monografii Litwina [7] niewielki rozdział jest poświęcon temu zagadnieniu. Podane metod obliczeniowe i technologie są anachroniczne [6, 8], aczkolwiek poruszono istotne problem konstrukcjne i wtwórcze kół nieokrągłch. W odpowiednich rozdziałach publikacji [5] autor zamieszcza ważne założenia i prowadzi rozważania teoretczne. W artkułach [2, 9, 10] wskazano tendencje w zakresie komputerowego wspomagania prac na etapie projektowania i wdrażania produkcji. Podstaw metrologiczne sprawdzania kół nieokrągłch podano w prac [4]. * Dr inż. Insttut Obrabiarek i Technologii Budow Maszn Politechniki Łódzkiej.

2 150 H. Korzeniewski Przkładowe kształt nieokrągłch kół zębatch z uzębieniem ewolwentowm pokazano na rs. 1. Współpracujące koła o centroidach ckloidalnch z uzębieniem ewolwentowm znajdują się z lewej stron rsunku. Inn układ współpracującch kół nieokrągłch jest przedstawion po stronie prawej. W obu przpadkach istotnm problemem jest jednoznaczne określenie ewolwentowch zarsów zębów ustuowanch na obwodzie centroid o zmiennej krzwiźnie. Rs. 1. Modele przekładni o centroidach nieokrągłch z uzębieniem ewolwentowm Fig. 1. The models of gear train b non circular centrodes with involute teeth 2. SPOSÓB WYZNACZENIA UZĘBIENIA EWOLWENTOWEGO TROCHOIDALNYCH KÓŁ ZĘBATYCH W artkule przedstawiono analitczno-wkreślną metodę wznaczenia zarsu ewolwentowego kół trochoidalnch. Smulację obwiedniowego kształtowania uzębienia wkonano dla koła eliptcznego. Koła tego rodzaju wstępują bardzo często w pompach zębatch i licznikach objętości z zachowaniem stałej odległości osi (rs. 2).

3 Uzębienie ewolwentowe kół trochoidalnch 151 kierunek przepłwu Rs. 2. Przekładnia zębata z kołami eliptcznmi w pompie o stałej odległości osi Fig. 2. Elliptical gear train in pump with constant ais distance Równanie ogólne epitrochoid w postaci parametrcznej ma postać [1]: = = ( R + r) ( R + r) R + r cos λr cos r R + r sin λr sin r gdzie: R promień okręgu stałego, r promień okręgu ruchomego prz λ = 1, λ r = O 1 A 1 (rs. 3). Jeżeli λ > 1, powstaje epickloida wdłużona, a gd λ < 1, epickloida skrócona. Kształt krzwej zależ od stosunku R/r = m. Jeżeli m jest liczbą naturalną, to krzwa jest zamknięta i składa się ze skończonej liczb łuków (rs. 3) o wartościach: minimalnch: A 1, A 2,..., A m gdzie k = 0, 1,..., m 1; 2kπ ρ = R; = m (1)

4 152 H. Korzeniewski maksmalnch: B1, 2 B,..., Bm 2π 1 ρ = R + 2r; = k + m 2 Ab otrzmać hipotrochoidę, należ w równaniu parametrcznm epitrochoid (1) wartość r zastąpić r. B2 B1 A2 O 1 A1 A3 R O A1 O1 okrąg odtaczania r okrąg zasadnicz A4 B3 B4 epickloida Rs. 3. Epickloida przechodząca przez punkt A m B m prz R/r = 4 oraz λ = 1 Fig. 3.The epiccloids of grade through points A m B m b R/r = 4 and λ = 1 Po podstawieniu R = 2r do wzoru (1) i zastąpieniu r przez r równanie przjmie postać: Krzwa staje się elipsą (rs. 5) o osiach: = r( 1+ λ) cos, = r( 1 λ) sin (2) Po podstawieniu wzorów (3) do wzorów (2): a = r( 1+ λ), b = r( 1 λ) (3) = a cos, = bsin (4) wznacza się elipsę podziałową 2 (rs. 5). Zars poszczególnch zębów zależą od ich umiejscowienia na krzwej, a w szczególności od jej krzwizn K w rozpatrwanm przedziale ewolut.

5 Uzębienie ewolwentowe kół trochoidalnch 153 Zgodnie z definicją [1], krzwizna K krzwej w punkcie A 0 jest graniczną wartością stosunku kąta δ zawartego międz dodatnimi kierunkami stcznch w punktach A 0 i A (rs. 4) do łuku A 0 A, gd A A 0 : 0 K = lim δ (5) A0 A 0 A A 0 Y dα = δ A A 0 ds α α+dα O X Rs. 4. Geometrczna interpretacja krzwizn Fig. 4. Geometrical interpretation of curvature Pamiętając, że promień krzwizn R w punkcie A 0 krzwej jest odwrotnością krzwizn R=1/K oraz oznaczając δ = dα i A 0 A = ds (patrz rs. 4), otrzmuje się dα K =, ds ds R = (6) dα Dla krzwej zapisanej w postaci parametrcznej (4) K i R oblicza się ze wzorów: K 2 2 ( + ) =, R = ( + ) (7) Współrzędne środka krzwizn c, c 2 2 ( ), + c = wznacza się ze wzorów: 2 2 ( ) + c + = (8)

6 154 H. Korzeniewski Znając osie a, b obliczone z równań (3), wznacza się ekstremalne wartości promieni elips (rs. 5) ze wzorów (9): 2 2 b rmin = a, a rma = b (9) 4 T 1 L b rma 2 3 E P ρ P ρ L P 0 a E L rmin T Rs. 5. Podstawowe parametr elips i zasada kształtowania uzębienia ewolwentowego Fig. 5. Basic parameters of ellipse and principle of generating involute teeth W kołach z centroidą eliptczną krzwizna K (wzor 7) zmienia się w sposób ciągł, a wraz z nią promień krzwizn R, prz czm R r min ; rma. Ewolwentow zars lewej stron zęba zakreśla punkt L prostej odtaczanej bez poślizgu po ewolucie 3, a dla prawej stron zęba odpowiednio punkt P. Zmienia się kształt lewej i prawej stron tego samego zęba (rs. 5), o czm świadczą różne promienie ρ P oraz ρ L. Zgodnie z teorią zazębienia stczna LE L lub PE P do ewolut 3 (elipsa zasadnicza) jest jednocześnie prostopadłą do ewolwent kształtowanego zarsu boku zęba. Linia podziałowa TT zębatki odniesienia narzędzia 1 odtacza się bez poślizgu po elipsie podziałowej 2 (rs. 5). Elipsa zewnętrzna 4 jest ekwidstantą elips podziałowej, która jest odsunięta od niej o wsokość głow zęba. Kształt ewolwent i zars poszczególnch zębów wznaczono metodą smulacji obróbki obwiedniowej narzędziem w postaci zębatki (rs. 6). Istotnm problemem jest dobór modułu uzębienia. W kołach eliptcznch wartość modułu nie jest zgodna z modułami znormalizowanmi. W układzie współpracującch kół eliptcznch (rs. 2) liczba zębów jest liczbą parzstą, prz czm dwa wręb koła leżą na osi poziomej, a dwa zęb na osi pionowej.

7 Uzębienie ewolwentowe kół trochoidalnch 155 Koła nieokrągłe z uzębieniem ewolwentowm można wkonać na specjalnie przstosowanch obrabiarkach obwiedniowch [8] lub na obrabiarkach CNC. Uzębienie o małej dokładności nacina się metodą kształtową. W tm przpadku centroidę eliptczną zastępuje owal o promieniach obliczonch ze wzorów (9). Zars zębów przjmują kształt ewolwent odpowiadając promieniowi r min lub r ma, co nie zapewnia właściwej współprac. Największe odchłki kinematczne wstąpią w miejscu stku łuków o promieniach ekstremalnch. b a Rs. 6. Model matematczn kształtowania zębatką zębów koła eliptcznego Fig. 6. Mathematical model of elliptical gears generated with rack cutter Koła eliptczne wkonane na obrabiarkach CNC muszą mieć zars opisan w formie cfrowej. Zars wznaczon metodą smulacji obarczon jest błędami obliczeniowmi, które uwidoczniają się w odchłce grubości poszczególnch zębów na elipsie podziałowej (rs. 7). Na rsunku 7 pokazano wznaczone numercznie odchłki grubości poszczególnch zębów koła jako długości cięciw elips podziałowej. Odchłka jest różnicą międz obliczoną grubością zęba a nominalną wartością dla zębatki odniesienia. Ze względu na zróżnicowaną krzwiznę elips graniczne odchłki grubości zębów to ± (56 80 μm) dla zakresu promieni: 18, mm. Wartości odnoszą się do dziesiątej klas dokładności kół o module m n 1,6 4 mm według ISO. Zaznaczć należ, że dla kół nieokrągłch nie ma zaleceń normalizacjnch co do klas dokładności uzębienia.

8 156 H. Korzeniewski Odchlka grubosci zeba S [μm] [m] Nr kolejn zęba Rs. 7. Odchłka grubości zębów koła eliptcznego Fig. 7. The teeth thickness deviation of elliptical gear Odchłkę kinematczną do współprac obustronnej kół ilustruje rs. 8. Odchłkę tę wznaczono na podstawie analiz komputerowej, zakładając stałą odległość osi o wartości nominalnej. Z rsunku 8 wnika, że fragment uzębienia spełniają warunek wstępowania luzu, niezbędnego do prawidłowej współprac przekładni. Istnieją również takie skojarzenia współpracującch zębów, dla którch wstępuje zjawisko interferencji. Korekta polegająca na zmniejszeniu grubości wszstkich zębów jest najprostszm rozwiązaniem, które zapewni gwarantowan luz międz zębami. Podobn skutek można uzskać przez powiększenie rozstawu osi kół. Odchłka współprac Frr F [μm] [ m] Nr zazębienia Rs. 8. Odchłka kinematczna uzębienia współpracującch kół eliptcznch Fig. 8. Kinematics deviation of teeth in mating elliptical gears

9 Uzębienie ewolwentowe kół trochoidalnch 157 W kołach wkonwanch metodą wpalania na elektrodrążarkach drutowch sterowanch numercznie można korgować błęd współprac zębów na etapie przgotowania programu sterującego obrabiarką CNC. Warunkiem niezbędnm do wprowadzenia właściwej korekt jest przeprowadzenie smulacji współprac uzębienia. LITERATURA [1] Bronsztejn I.N., Siemiendiajew K.A., Matematka. Poradnik encklopedczn, Warszawa, PWN [2] Korzeniewski H., Grochocki R., Analiza poprawności konstrukcji narzędzi obwiedniowch, Przegląd Mechaniczn, 1978, nr 3. [3] Kowalczk L., Urbanek S., Ewolwentowe uzębienie w przekładni o zmiennm przełożeniu, Politechnika Śląska, Insttut Transportu, 2000, z. 1. [4] Laczik B., Szaniszlo Z., Measuring of Gears with General (Non-Circular) Pitch Curve, in: Proc. INES 2001, Helsinki. [5] Litwin F.L., Gear Geometr and Applied Theor, New York, Prentice Hall [6] Litvin F.L., Nekrugle zubčate kolesa, MAŠGIZ, Moskva Leningrad [7] Litvin F.L., Teoriâ zubčath zaceplenij, Moskva, Nauka [8] Litvin F.L., Zubonarezne stanki dlâ narezaniâ nekruglh kolës, Dom Naučno-Tehničeskoj Propagand [9] Shinn-Liang Chang, Chung Biau Tsa, Long-Iong Wu, Mathematical model and undercutting analsis of elliptical gears are generated b rack cutters, Mechanical Machining Theor, 1996, vol. 31, no. 7. [10] Smith W.C., The Math of Noncircular Gearing, Gear Technolog, Praca wpłnęła do Redakcji Recenzent: prof. dr hab. inż. Rszard Grajdek INVOLUTE TEETH OF TROCHOID GEARS S u m m a r A method of calculation the parameters in famil of noncircular gears with involute tooth profile has been presented in the paper. This procedure can be also applied for gears with different shape of trochoid curves. Calculation results enabled to make the gears on CNC wire erosion machine. Ke words: trochoid gear, involute teeth, wire erosion machine