Metoda wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy

Transkrypt

1 DOMAŃSKI Janusz 1 BAJKOWSKI Marcin 2 Metoda wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy WSTĘP Współczesne środki transportu wykorzystują wiele różnorodnych przekładni. Jednym z ważnych problemów, jakie pojawiają się w procesach konstruowania obiektów specjalnych jest konieczność redukcji obciążeń uderzeniowych. Jednym z zespołów, który może być źródłem tego rodzaju obciążeń jest przekładnia zębata złożona z zębnika obiegającego listwę zębatą składającą się z dwóch odcinków prostych i dwóch półokręgów. Ideą prezentowanego rozwiązania jest propozycja takiej przekładni zębatej, która zapewnia liniowy przyrost przyśpieszenia dośrodkowego, w trakcie zmiany kierunku ruchu osi zębnika eliminując źródło powstawania obciążeń uderzeniowych. Jej schemat, w postaci fragmentu pewnego mechanizmu, w którym zębnik obiega listwę zębatą składającą się z dwóch odcinków prostych oraz dwóch półokręgów zilustrowano na rysunku 1. Zębnik przekładni jest prowadzony, w niepokazanych na rysunku prowadnicach, w ten sposób, że jego oś przecina trajektorię wskazaną na rysunku. Krzywa, po której odtacza się zębnik jest nazywana w dalszej części artykułu krzywą toczną. Jej fragment jest łukiem klotoidy; w dalszej części nazywany jest także łukiem tocznym klotoidy. Rys. 1. Schemat mechanizmu zębatkowego pozwalający na zmianę kierunku ruchu zębnika poprzez obieganie przez zębnik listwy zębatej, której krzywa toczna składa się z dwóch odcinków prostych i dwóch półokręgów W mechanizmie pokazanym na rysunku 1, oprócz fazy rozruchu i zatrzymania, w ustalonych warunkach pracy urządzenia zębnik porusza się ze stałą prędkością liniową (i kątową). Negatywną cechą tego mechanizmu jest powstawanie znacznych sił dynamicznych na skutek występowania 1 Dr inż. J. Domański, adiunkt, Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Mechaniki i Poligrafii. Tel jdomanski@wip.pw.edu.pl 2 Dr inż. M. Bajkowski, adiunkt, Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Mechaniki i Poligrafii. Tel granada@pompy.pl 3165

2 nagłego przyrostu przyśpieszenia dośrodkowego, a co za tym idzie i sił bezwładności, w chwili przejścia osi zębnika z prostoliniowego odcinka trajektorii ruchu na fragment trajektorii w postaci półokręgu. Aby uniknąć zjawiska nagłego wzrostu sił bezwładności związanych ze zmianą kierunku ruchu zębnika opracowano nowy mechanizm zębatkowy (rys. 2), w którym pomiędzy odcinkiem prostym krzywej tocznej listwy i łukiem kołowym wprowadzono tzw. krzywą przejściową ( rys. 2). Jako krzywą przejściową wybrano klotoidę (rys. 3) [1], której krzywizna wzrasta wprost proporcjonalnie do długości łuku mierzonej od jej punktu początkowego. Zgodnie z rysunku 2, w punkcie K klotoida łączy się stycznie z łukiem okręgu ( ), o promieniu R, równym promieniowi krzywizny łuku klotoidy w jej punkcie końcowym K. Wymiary x k,y k określają współrzędne końca klotoidy punktu K, zaś wymiary x s, y s współrzędne środka łuku okręgu S (układ współrzędnych znajduje się w początku łuku klotoidy). Rys. 2. Fragment listwy zębatej o uzębieniu wewnętrznym składającej się z krzywej tocznej zawierającej odcinek prosty, fragment (łuk) klotoidy oraz łuk okręgu Rys. 3. Klotoida w prostokątnym układzie współrzędnych [1] 3166

3 Naturalne równanie klotoidy [1](spirala Cornu) ma postać: (1) gdzie: l bieżąca długość łuku klotoidy, mierzona od punktu stałego do rozpatrywanego punktu P (rys. 3), k krzywizna, r promień krzywizny, a współczynnik jednokładności. Powyższe wielkości oraz kąt zwrotu stycznej do klotoidy u wiążą zależności [1]: (2a) (2b) Położenie punktów klotoidy we współrzędnych prostokątnych z dokładnością do czterech wyrazów rozwinięcia funkcji sin u i cos u w szeregi w zależności od kąta zwrotu stycznej do klotoidy określają wzory: (2c) (3a) Geometrię uzębienia listwy zębatej na odcinkach prostych i łukach okręgów krzywej tocznej można wyznaczyć wg ogólnych metod opisu kształtu zarysów zębów kół zębatych podanych w literaturze [2, 3, 4]. Poniżej przedstawiono sposób zapisu kształtu zarysów zębów na łuku tocznym klotoidy za pomocą wzorów dostosowanych do ich stosowania w programach komputerowo wspomaganego projektowania (CAD). Przedstawiony opis dotyczy zarysów nieprzesuniętych oraz uzębienia bez luzu obwodowego. 1 DOBÓR LICZBY ZĘBÓW ZĘBNIKA z, PARAMETRU α KLOTOIDY I MODUŁU m Kształt uzębienia listwy zębatej zależy m.in. od parametrów L i w, podanych na rysunku 1. W wymaganiach projektowych przyjęto minimalną wartość parametru w; dopuszczalne jest nieznaczne, rzędu kilku procent, jego zwiększenie. W rozpatrywanym przypadku odpowiednio duży stosunek L do w sprawił, że parametr L nie miał wpływu na kształt zębów rozmieszczonych na fragmencie klotoidy i łuku okręgu. Wartość w zależna jest od liczby zębów zębnika z, modułu m, parametru a klotoidy, przyjętego stosunku długości łuku klotoidy do długości łuku okręgu, liczby zębów listwy zębatej (która musi być liczbą dodatnią całkowitą) oraz od sposobu rozmieszczenia zębów na poszczególnych fragmentach linii tocznej listwy. Uwzględniając zależności pomiędzy parametrami podanymi powyżej określono parametry geometryczne łuku klotoidy i łuku okręgu z rysunku 2. 2 WYKONANIE SYMULACJI ODTACZANIA ZĘBATKI ODNIESIENIA PO ŁUKU TOCZNYM KLOTOIDY Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU CAD Do wyznaczenia kształtu boków zębów na łuku klotoidy zastosowano metodę polegającą na wirtualnym odzwierciedleniu odtaczania się, bez poślizgu, zębatki odniesienia jej linią toczną po klotoidzie. Wyznaczenia zarysów boków dokonano dwoma sposobami: (3b) 3167

4 metodą wykreślną. W programie CAD wykonano symulację zmiany położeń zębatki odniesienia [2] podczas jej odtaczania dla przyjętego przyrostu kąta rys 4. Szkicując obwiednie wokół kolejnych położeń zębów zębatki można (z ograniczoną dokładnością rysunkową) wykreślić kształt zarysów boków zębów listwy na łuku klotoidy. metodą analityczną, w której kształt zarysów boków zębów opisano za pomocą wzorów matematycznych. Wykreślna metoda tworzenia zarysu boków zębów jest przydatna do oceny metody analitycznej. Porównanie wyników otrzymanych obiema metodami polega na ocenie dopasowania zarysu krzywej wykreślonej na podstawie równań matematycznych ze zbiorem położeń zębatki podczas symulacji jej odtaczania. Rys. 4. Symulacja tworzenia zarysu boków zębów poprzez odtaczanie bez poślizgu zębatki odniesienia po krzywej tocznej klotoidzie (rysunek uproszczony do jednego niezaokrąglonego zarysu zęba zębatki) 3 OPRACOWANIE OPISU MATEMATYCZNEGO ZARYSÓW BOKÓW ZĘBÓW NA ŁUKU KLOTOIDY Kształt zarysów boków zębów wyznaczono odwzorowując odtaczanie bez poślizgu tzw. zębatki odniesienia [5] jej linią toczną po okręgu tocznym koła zębatego. Teoretycznie, przy przyroście kąta odtaczania dążącym do zera tylko jeden punkt zarysu boku zęba zębatki odniesienia, w przypadku jednego boku zęba, uczestniczy w tworzeniu zarysu zęba koła zębatego. Wystarcza zatem wyznaczyć współrzędne kolejnych takich punktów podczas odtaczania zębatki, aby uzyskać matematyczny opis zarysu boku zęba koła w funkcji kąta odtaczania. Na rysunku 5 punkty przecięcia łuku tocznego klotoidy z zarysami boków lewych i zarysami boków prawych zębów oznaczono odpowiednio literami A i B z indeksami. Położenia tych punktów na klotoidzie w funkcji długości łuku klotoidy są następujące: boki lewe:, boki prawe:. 3168

5 Rys. 5. Oznaczenie boków zębów za pomocą punktów A i B z odpowiednimi indeksami Opracowana zasada wyznaczania zarysów boków zębów została ujęta w matematyczny opis w postaci zestawu równań właściwie instrukcji programowych, podanych w tab. 1. Zastosowanie równań z tab. 1 do użycia w konkretnym programie CAD może wymagać ich przekształcenia (dostosowania) do specyfiki używanego programu CAD. Tab. 1. Przykładowy zapis kształtu zarysu boku zęba za pomocą równań (patrz rys. 6). Opis zmiennych pojawiających się jako nowe Nr Wzór w zestawie równań oraz komentarze długości łuków z rysunku 6. Może być 1 wymagane określenie różnych ich długości dla różnych zębów. i. t zmienna sterująca z zakresu [0,1] p 1 zmienna pomocnicza. Jej wartość określa położenie punktu N w stosunku do 2 odpowiedniego dla danego zęba punktu A n w przykładzie jest to punkt rys. 5. p 1 może przybierać także wartości ujemne. długość łuku klotoidy od jej początku do 3 punktu p 2 zmienna pomocnicza, wyrażająca długość łuku klotoidy od jej początku do punktu N p 3 zmienna pomocnicza wyrażająca długość 4 odcinka Przyjmuje wartości 0. 5 u kąt zwrotu stycznej do klotoidy w punkcie N obliczony wg wzoru (2a) 6 x N, y N współrzędne punktu N 7 długość odcinka kąt zarysu odniesienia koła walcowego 3169

6 8 Jeżeli p 1 0, to = u P w przeciwnym przypadku = u P + kąt skierowany nachylenia odcinka do osi x układu współrzędnych. Instrukcje warunkowe odpowiadające tab x,y współrzędne punktu Q Tab. 1 zawiera objaśnienia wybranych wielkości z rysunku 6. Poniżej podano dodatkowe interpretacje kolejnych oznaczeń oraz niektórych zależności.1 krzywa toczna listwy klotoida; 2 linia toczna zębatki odniesienia; 3 bok zęba zębatki odniesienia; 4 odcinek prostopadły do klotoidy 1 oraz prostopadły do linii tocznej zębatki 2, przechodzący przez chwilowy punkt odtaczania N; 5 odcinek równoległy do odcinka 4, przechodzący przez punkt A leżący na linii 2 (przy czym ). Punkt A to punkt odpowiadający kolejnym punktom A n z rysunku 5. (Dla boków prawych w miejsce punktów A n podstawiane są punkty B n ). Odcinek jest prostopadły do odcinka 3. Dla danego punktu N, tj. chwilowego styku linii tocznej zębatki i klotoidy, punkt Q wyznacza chwilowy punkt zarysu boku zęba. Odcinek może zajmować różne położenia w stosunku do osi x układu współrzędnych, w zależności od rodzaju boku (lewy albo prawy) oraz zakresu średnic, w którym znajduje się chwilowo punkt Q patrz tab. 2. Rys. 6. Rysunek pomocniczy do opracowanej metody wyznaczania matematycznego opisu kształtu boków zębów rozłożonych na łuku klotoidy 3170

7 Tab. 2. Wartości kąta nachylenia odcinka z rysunku 6. do poziomu. Bok Zakres Wartość kąta Lewy [d f, d] (d, d a ] Prawy [d f, d] (d, d a ] 4 WYZNACZENIE ZARYSÓW ZĘBÓW, DLA KTÓRYCH KRZYWA ODTACZANIA PRZEKRACZA ZAKRES DŁUGOŚCI UŻYTEGO FRAGMENTU KLOTOIDY Opisaną metodą można wyznaczyć jedynie zarysy boków zębów (lub ich fragmenty), dla których linia toczna zębatki odniesienia odtacza się po łuku klotoidy (rys. 7.) Dla zębów położonych w pobliżu początku klotoidy pozostała część zarysu boku zęba jest odcinkiem prostym nachylonym do osi y układu współrzędnych pod kątem. Dla zębów położonych przy końcu klotoidy pozostała niewyznaczona przedstawioną metodą część zarysu boku zęba jest fragmentem ewolwenty odtaczanej z okręgu zasadniczego o środku S (rys. 2) i promieniu. Rys. 7. Części zarysów zębów położonych przy początku i końcu łuku klotoidy wyznaczone przez odtaczanie zębatki odniesienia po łuku klotoidy Pozostałe fragmenty zarysów muszą być wyznaczone w inny sposób. 5 SYMULACJE ODTACZANIA ZĘBNIKA PO LISTWIE ZĘBATEJ ORAZ WYKRESY PRZYŚPIESZENIA DOŚRODKOWEGO DZIAŁAJĄCEGO NA ZĘBNIK Na podstawie symulacji ruchu zębnika, wykonanych w programie CAD dla dwóch mechanizmów: z rysunku 1 oraz rysunku 2, utworzono wykresy przyspieszenia dośrodkowego działającego na zębnik. W obu przypadkach przyjęto jednakową wartość parametru w (rys. 1) oraz jednakową prędkość liniową v obu zębników. Porównując wykresy z rysunków 8 i 9 zauważa się, że w przypadku, zilustrowanym na rysunku 8, występują gwałtowne skoki wartości przyspieszenia, co jest stwierdzeniem oczywistym i przewidywalnym. Na wykresie pokazanym na rysunku 9, widoczne są dwa nachylone, wklęsłe fragmenty tego wykresu odpowiadające ruchowi zębnika po łuku klotoidy. Wklęsłość jest wynikiem tworzenia trajektorii ruchu osi zębnika poprzez odsunięcie klotoidy o wartość mz/2 (patrz rys. 2). Wskutek tego odsunięcia fragment trajektorii ruchu osi zębnika odpowiadający łukowi tocznemu klotoidy nie jest już fragmentem klotoidy, jednak zapewnia uniknięcie gwałtownego przyrostu przyspieszenia dośrodkowego. 3171

8 Przyspieszenie [mm/s^2] Przyspieszenie [mm/s^2] Przyśpieszenie dośrodkowe zębnika odtaczającego się po krzywej tocznej NIE zawierającej łuków klotoidy Czas [s] Rys. 8. Wykres przyśpieszenia dośrodkowego działającego na zębnik podczas jego ruchu ze stałą prędkością liniową po rozważanym fragmencie toru osi zębnika mechanizm z rysunku 1 Przyśpieszenie dośrodkowe zębnika odtaczającego się po krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy Czas [s] Rys. 9. Wykres przyśpieszenia dośrodkowego działającego na zębnik podczas jego ruchu ze stałą prędkością liniową po rozważanym fragmencie toru osi zębnika mechanizm z rysunku 2 6 WYKONANIE MODELU MECHANIZMU W PROGRAMIE CAD Po wykreśleniu zarysów boków zębów dokonano ostatecznych operacji modelowania listwy z użyciem programu CAD Pro/ENGINEER, tworząc model bryłowy listwy zębatej. Wykonano również pozostałe elementy mechanizmu, jak np. elementy napędu i prowadzenia osi zębnika po właściwej trajektorii ruchu. Kolejne prace związane będą z przygotowaniem procesu technologicznego wykonania listwy zębatej. Streszczenie W artykule przedstawiono mechanizm zębatkowy, w którym zębnik odtacza się po krzywej zamkniętej (nazywanej tu krzywą toczną ) składającej się z odcinków prostych, łuków okręgu oraz fragmentów klotoidy. Podano opisy matematyczne krzywych definiujących zarysy boków zębów na fragmencie uzębienia, którego krzywa toczna jest łukiem klotoidy. Zastosowanie klotoidy wynika z dążenia do wykonania takiego kształtu uzębienia, który pozwala na uzyskanie liniowego przyrostu przyśpieszenia dośrodkowego w trakcie zmiany 3172

9 kierunku ruchu osi zębnika przy stałej prędkości liniowej osi zębnika. Celem jest zredukowanie wartości przeciążeń udarowych podczas pracy urządzenia. A method of determining the shape of the gear teeth with pitch curve containing a fragment of a clothoid Abstract In the paper, a gear mechanism wherein a pinion rolls on a closed curve (here named 'pitch curve') composed of straight sections, circular arcs and fragments of the clothoid (Cornu spiral) is presented. A mathematical description of curves defining a teeth outline based on the clothoid is given. The application of the clothoid stems from the desire to achieve such a shape of teeth which allows a linear increase of centripetal acceleration during the change of motion direction of the pinion axis while the pinion moves at a constant linear velocity. The aim is to reduce the impact of overload while the mechanism is in operation. BIBLIOGRAFIA 1. Grabowski R.J.: Kształtowanie geometryczne krzywych przejściowych w drogach kołowych, kolejowych i trasach wodnych, Wydawnictwa Politechniki Białostockiej, Białystok Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. Projektowanie, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, Müller L.: Przekładnie zębate: projektowanie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, Ochęduszko K.: Koła zębate tom 1. Konstrukcja, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, PN-78/M