ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ

Transkrypt

1 Ćwczee M-8 ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ I. Cel ćwczea: zapzae studeta z charakterystykam prawdłwścam zdarzeń statystyczych a przykładze prstych dśwadczeń. Przeprwadzee ćwczea statystyczeg ma zlustrwać w spsób przekujący ses wprwadzea ektórych pjęć wykazać, że zjawskam maswym rządzą kreśle prawdłwśc, które częst mża przewdzeć teretycze w parcu dść prste załżea. II. Przyrządy: III. Lteratura: przyrząd ruletka, stper.. Z. Hellwg, Elemety rachuku prawdpdbeństwa statystyk matematyczej, W-wa 978, PWN.. Z. Pawłwsk, Wstęp d statystyk matematyczej, W-wa 966, PWN. 3. J.L. Kacpersk, I pracwa fzycza, UŁ R. Zelńsk, Tablce statystycze, W-wa 97, PWN. Wele zjawsk, e tylk fzyczych, ma charakter przypadkwy, tz. wyk zjawska e mże być przewdzay przed jeg zakńczeem ze względu a emżść uwzględea zbyt welu warukujących g czyków lub wręcz ch ezajmść. Jakklwek e mża przewdzeć wyku pjedyczeg zdarzea, t jedak welkrte pwtarzae prób wywłaa teg zdarzea pzwala dla przecętych wyków trzymać pewe prawdłwśc zwae statystyczym. IV. Stablzacja częstśc zdarzeń pjęce prawdpdbeństwa. Elemetarym pjęcem w dzedze zjawsk statystyczych jest zdarzee. Zdarzeem jest p. wyrzucee rła w przypadkwym rzuce metą lub wyrzucee trójk w przypadkwym rzuce kstką d gry. Zdarzeem jest także trzymae wyku pmaru zawerająceg sę w z góry kreślym przedzale wartśc. Rzut metą, kstką lub przeprwadzee pmaru azywa sę próbą. Najprstszą klasyfkacją dla zdarzeń jest stwerdzee, czy w wyku próby kreśle zdarzee astąpł czy też e. Jeżel zdarzee astąpł, t mówmy sukcese takemu zdarzeu przyprządkwujemy lczbę, jeśl zaś e astąpł, t mówmy epwdzeu przyprządkwujemy mu lczbę 0. Nech lczba wszystkch prób w dśwadczeu będze rówa, zaś lczbę sukcesów dla kreśleg rdzaju zdarzeń zaczmy przez m. Stsuek m/ będzemy azywal częstścą względą" występwaa teresująceg as zjawska. Na gół dśwadczee ptwerdza przypuszczee, że częstść względa w marę wzrstu lczby prób, mm pewych wahań, wykazuje wyraźą tedecję zdążaa d kreślej dla daeg zdarzea gracy zwaej jeg prawdpdbeństwem, c zapsujemy m lm = P. () Ozacza t, że różca mędzy częstścą względą m/ a prawdpdbeństwem P mm lkalych wahań staje sę craz mejsza przy wzrśce. Ta prawdłwść s azwę stablzacj

2 Ćwczee M-8 względej częstśc zdarzeń. Zdarzee, dla któreg P = 0, azywać będzemy emżlwym, a take dla któreg P =, pewym. IV. Prawdpdbeństw zdarzea, wyzaczae jeg wartśc rzkład względych częstśc Z pprzedeg wyka, że prawdpdbeństw jest welkścą charakteryzującą pewą prawdłwść statystyczą zjawska przypadkweg. Z sesu jak adaje prawdpdbeństwu wzór () ależy wskwać, że wartść prawdpdbeństwa zawera sę w gracach 0 P peważ 0 m (tj. lczba sukcesów e mże być wększa d lczby prób) raz e mże przyjmwać wartśc ujemych. Jede ze spsbów zajdwaa przyblżej wartśc P pdaje wzór () p wykau dużej lczby prób. Słabą strą teg spsbu jest t, że praktycze e mża przeprwadzć eskńczej lczby prób, a w zwązku z tym ależy przyjąć P m/, c daje wartść przyblżą a padt wartść prawdpdbeństwa mże być wyzacza p przeprwadzeu dśwadczea (ser prób) e mże być zaa przed jeg wykaem tj. a prr. Nekedy steje mżlwść wyzaczea prawdpdbeństwa a prr. Kecze jest wówczas, by teresujące as zdarzee stawł rówprawą część spśród ych waratów zdarzeń. Np. przy rzucau metą mamy dwe mżlwśc: wyrzucea rła wyrzucea resztk, zaś przy rzucau kstką d gry sześć waratów zdarzeń: wyrzucee jedyk, dwójk td. aż d szóstk. Jeśl meta kstka są symetrycze względem śrdka cężkśc, t każdy z mżlwych wyków jest rówprawy. W perwszym przypadku zarów wyrzucee rła jak resztk stawą / część wszystkch waratów, a w przypadku kstk wyrzucee wybraej lczby czek (w gracach 6) staw /6 część wszystkch mżlwych zdarzeń. Wartśc stawące dwrtść lczby wszystkch rówprawych waratów zdarzeń rówe są prawdpdbeństwu zastea jedeg waratu. IV.3 Zdarzea ezależe, wykluczające sę, przecwstawe, lczy, suma zdarzeń ch prawdpdbeństwa. O dwóch zdarzeach A A pwemy, że są ezależe wtedy, gdy zajśce lub ezastee jedeg z ch e zmea prawdpdbeństwa realzacj drugeg zdarzea. Np. zdarzee plegające a wylswau kul kreślej barwy z ury zawerającej p. dwa rdzaje kul w sytuacj, gdy w pprzedm lswau dka zmay składu A A Rys. ury w spsób umwy zależe d wyku teg lswaa, jest zdarzeem zależym d rezultatu pprzedeg cągea. Jeżel w cągu zdarzeń A, A,...A żade dwa spśród ch e mgą zasteć łącze, t zdarzea te azywamy wzajeme wykluczającym sę. Iterpretując zdarzee lswe jak zbór utwrzy z elemetów zbru zawerająceg wszystke mżlwe zdarzea (elemety), zdarzeach wykluczających sę pwemy, że ch zbry są rzłącze (czyl e zawerają elemetów wspólych). Sytuację tą lustruje rys.. A A Rys. Peważ zdarzee plegające a łączym zasteu zdarzeń A A azywa sę lczyem zdarzeń, t prawdpdbeństw lczyu zdarzeń wykluczających sę jest rówe zeru. Ilczy zdarzeń lustruje rys.. Prawdpdbeństw lczyu zdarzeń ewykluczających sę jest rówe

3 P ( A A ) = P( A ) P( ) A Ćwczee M-8, () gdze P(A ) P(A ) są bezwzględym prawdpdbeństwam dpwedch zdarzeń A A. Jak przykład lczyu dwóch zdarzeń mża pdać zdarzee plegające a wycągęcu dwóch kul bałych przy dwóch cągeach z tej samej ury lub z różych ur. Sumą zdarzeń A, A,... A jest zdarzee plegające a zrealzwau sę przyajmej jedeg z tych zdarzeń. Np. jeśl A jest zdarzeem plegającym a wyrzuceu rła w rzuce metą, atmast A jest zdarzeem plegającym a wycągęcu lsu pusteg, t suma zdarzeń A + A zacza zdarzee, w którym alb wykem rzutu metą będze rzeł, alb zstae wycągęty ls pusty, alb że zstae wycągęty ls pusty w cągeu z ury wykem rzutu metą będze wyrzucee rła. Zauważmy, że sumą zdarzeń będze róweż zdarzee plegające a wyrzuceu parzystej lczby czek przy rzuce kstką. Zdarzee t zrealzuje sę zawsze wtedy, gdy wykem rzutu będze alb dwójka, alb czwórka, alb szóstka. Jeżel zdarzea param wykluczają sę, t prawdpdbeństw sumy zdarzeń jest rówe sume prawdpdbeństw realzacj każdeg z tych zdarzeń, c zapsujemy ( A A ) = P( A ) P( ) P + +. (3) A Jeżel atmast zdarzea e wykluczają sę tz. pza alteratywym zasteem bu zdarzeń e jest wyklucze łącze ch zajśce, wówczas prawdpdbeństw sumy tych zdarzeń będze pmejsze w stsuku d (3) prawdpdbeństw ch lczyu P ( A A ) = P( A ) + P( A ) P( A ) +. (4) A Np. wyk rzutu jedą metą są ezależe wykluczają sę. Natmast wyk dśwadczea plegająceg a rzuce dwema metam są ezależe ale kreśly wyk dla jedej mety e wyklucza detyczeg wyku dla drugej. Zdarzee lswe plegające a ewystąpeu zdarzea lsweg A azywamy zdarzeem przecwstawym d A. Jeżel prawdpdbeństw realzacj zdarzea A jest P(A) a zdarzee przecwstawe zaczymy przez A, t prawdpdbeństw teg, że A e wystąp jest rówe P( A) = P( A), (5) tz. że prawdpdbeństw zdarzea lsweg prawdpdbeństw zdarzea przecwstaweg uzupełają sę d jedśc. IV.4 Zmea lswa Zmeą przyjmującą w spsób lswy (przypadkwy) wartśc z kreśleg przedzału azywamy zmeą lswą. W przypadku dśwadczea plegająceg a rzutach kstką d gry pwemy, że dzedza zmeej lswej jest skńcza tz. zmea ta przyjmuje wartśc,,... 6 z kreślym prawdpdbeństwam rówym dpwed prawdpdbeństwu wyrzucea jedyk, dwójk td. Zmeą lswą, której zbór mżlwych wartśc jest skńczy lub c ajwyżej przelczaly azywamy zmeą lswą dyskretą. Jeżel atmast zmea lswa mże przyjąć każdą wartść rzeczywstą z peweg przedzału skńczeg lub eskńczeg, t taką zmeą azwemy zmeą lswą cągłą. 3

4 Ćwczee M-8 P k f(x) IV.5 Fukcje rzkładu zmeych lswych. Zależść wążąca wartśc, jake mże przyjmwać zmea lswa dyskreta z prawdpdbeństwem ch występwaa, azywa sę fukcją prawdpdbeństwa (rys.3). W przypad- x k x x Rys.3 Rys.4 ku cągłej zmeej lswej mówmy fukcj gęstśc prawdpdbeństwa f(x) (rys.4). Prawdpdbeństw przyjęca przez zmeą lswą cągłą wartśc z przedzału (x x/, x + x/) szerkśc x a tyle małej, by mża przyjąć, że w m f(x) = cst., jest rówe P ( x x < x < x + x ) = f ( x) x. (6) Dla x 0 szukae elemetare prawdpdbeństw wys dp = f ( x)dx. (7) W przypadku, gdy przedzał x jest a tyle rzcągły, że f(x) e pzstaje w m stała, blczee prawdpdbeństwa wymaga plczea całk x + x ( x x < x < x + x ) = f ( x) P dx. (8) x x Należy zauważyć, że e każda fukcja zmeej lswej mże być fukcją rzkładu prawdpdbeństwa. Mus a spełać tzw. waruek rmalzacyjy. Dla zmeej cągłej jest astępujący: a dla zmeej dyskretej: = ( x) f dx =, (9) P =. (0) Czasem zachdz ptrzeba scharakteryzwaa rzkładu zmeej lswej za pmcą jedej lub paru lczb wyrażających ajsttejsze własśc rzkładu. D takch charakterystyk rzkładu zalcza sę adzeję matematyczą, aczej wartść czekwaą zmeej lswej warację. Nadzeja matematycza frmuje tym, jak jest przecęty pzm wartśc przyberaych przez zmeą lswą. Dla zmeej lswej dyskretej adzeję matematyczą kreśla sę jak sumę lczyów pszczególych wartśc jake zmea mże przyjąć przez dpwadające m prawdpdbeństwa ( x) = x P( x ) E k = x k () Sumwae rzcąga sę a wszystke mżlwe wartśc zmeej lswej. k 4

5 Ćwczee M-8 Jeżel zmea lswa jest cągła przybera wartśc jedye z przedzału [a, b], t jej adzeja matematycza wyraża sę całką E b ( x) = x f ( x) a dx. () Warację defuje sę jak adzeję matematyczą kwadratów dchyleń zmeej lswej x d jej wartśc czekwaej. Zgde z pdaym kreśleem zapszemy D ( x) E[ x E( x) ] =. (3) W blczeach ma zastswae a pstać wzru (3), a mawce ( ) E( x ) E ( x) D x =. (4) Na gół wększe zaczee praktycze ma perwastek kwadratwy z waracj, który kreśla sę maem dchylea stadardweg zmeej lswej. Ozaczając dchylee stadardwe przez σ mamy [ x E( x) ] σ = E. (5) IV.6 Rzkłady zmeych lswych IV.6. Rzkład dwupuktwy Rzkład, w którym dyskreta zmea lswa mże przyjmwać tylk dwe wartśc x x z prawdpdbeństwem dpwed p q (p + q = ) azywamy rzkładem dwupuktwym. Zmeą lswą rzkładze dwupuktwym terpretuje sę jak lczbę przypsaą realzacj kreśleg zdarzea w pjedyczym dśwadczeu. Na gół realzacj zdarzea lsweg przypsuje sę lczbę, a e zasteu teg zdarzea - lczbę 0. Praw rzkładu dwupuktweg ma pstać P( x = ) = p P( x = 0) = q = p Nadzeja matematycza zmeej takm rzkładze wys E ( x) = p, (6) atmast waracja ma wartść D( x) = p q. (7) IV.6.. Rzkład dwumawy Rzkład dwumawy jest rzkładem zmeej lswej dyskretej zdefwaej jak lczba realzacj kreśleg wyku w ezależych próbach, gdy w każdej z ch prawdpdbeństw pjawea sę teg wyku jest p. Praw rzkładu zmeej lswej rzkładze dwumawym ma pstać m m P( x = m) = p ( p), (8) m! gdze =. (9) m m! ( m)! Nadzeja matematycza dla teg rzkładu wys E ( x) p =, (0) 5

6 Ćwczee M-8 a waracja D( x) = p q. () Dla przypadku p = q rzkład dwumawy jest symetryczy względem m = /. IV.6.3. Rzkład Pssa Przy spełeu waruku, że prawdpdbeństw trzymaa teresująceg wyku w pjedyczej próbe jest bardz małe raz lczba prób dąży d eskńczśc przy czym jedcześe zachdz p = λ = cst ( ezbyt duże ), () rzkład dwumawy dąży d rzkładu Pssa: m λ λ P( x = m) = e, (3) m! λ jest średą lczbą realzacj wyróżeg zdarzea w ser dśwadczeń. Dla rzkładu Pssa adzeja matematycza waracja są sbe rówe ( x) = D( x) = λ E. (4) IV.6.4. Rzkład prstkąty Najprstszym rzkładem cągłym jest rzkład prstkąty, kedy t zmea lswa z jedakwym prawdpdbeństwem mże przyjmwać każdą wartść z przedzału [a, b]. Gęstść prawdpdbeństwa tej zmeej lswej w przedzale [a, b] jest stała ( x) c cst Uwzględając waruek rmalzacyjy (9) zajdzemy, że f = =. (5) c =. (6) b a Zatem fukcję rzkładu prstkąteg zapszemy astępując Nadzeja matematycza E( x) Waracja D( x) f ( x) = ( b a ) 0 0 x < a a x b. (7) x > b b + a =. (8) ( b + a) =. (9) IV.6.5 Rzkład rmaly Szczególe ważą rlę w statystyce matematyczej peł rzkład rmaly gęstśc prawdpdbeństwa ( ) ( x µ ) f x exp, σ π σ (30) µ, σ są parametram rzkładu. Nadzeja matematycza E ( x) = µ. (3) Waracja ( ) D x = σ. (3) 6

7 Ćwczee M-8 W zastswaach rzkładu rmaleg wykrzystuje sę zmeą lswą u zwązaą ze zmeą x astępującą zależścą: f(u) 0 Rys.5 Fukcja gęstśc prawdpdbeństwa rzkładu rmaleg N(0,) u u = x µ, (33) σ Mża wykazać, że zmea lswa u ma rzkład rmaly parametrach µ = 0 σ = [N(0,)]. Fukcję gęstśc teg rzkładu kreśla frmuła f u ( u) = exp π. (34) Gęstść prawdpdbeństwa dla rzkładu rmaleg z µ = 0 σ = zstały ze względów praktyczych stabelaryzwae. Stabelaryzwa róweż dystrybuatę teg rzkładu czyl fukcję kreślającą prawdpdbeństw przyjęca przez zmeą lswą rmalą wartśc mejszej d górej gracy całkwaa x ( x) = f ( x) F dx. (35) IV.6.6 Rzkład χ (ch-kwadrat ) Jeśl x, x,..., x j jest cągem ezależych zmeych lswych rzkładze rmalym z µ = 0 σ =, t zmeą lswą: χ = x + x + L + x j (36) azywamy zmeą rzkładze χ z k stpam swbdy(k jest lczbą ezależych składków w wyrażeu (36) ). Fukcja gęstśc prawdpdbeństwa zmeej lswej rzkładze χ k stpach swbdy daa jest wzrem k χ ( ) ( ) f χ = χ exp. (37) k k Γ Nadzeja matematycza E( χ ) = k, (38) Waracja D( χ ) = k. (39) f(χ ) k = 3 k = k = 6 Rys.6 Przebeg fukcj prawdpdbeństwa zmeej lswej χ z lczbą stp swbdy dpwed: k =, k = 3, k = 6. χ χ Fukcja χ zstała stabelaryzwaa ze względu m.. a jej zaczee w ter weryfkacj hptez statystyczych. Isteją dwa rdzaje tablc. Jede pdaje dla różych wartśc parametru 7

8 Ćwczee M-8 k (a węc dla różych rzkładów χ ) prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyjmuje wartść wększą d kreślej lczby χ ( χ > χ ) P = = P. (40) Drug rdzaj tablc pdaje dla różych wartśc parametru k take lczby rzeczywste χ, że prawdpdbeństw przybraa przez zmeą lswą wartśc wększej d daej lczby jest rówe z góry daej lczbe = P χ > χ. (4) ( ) Parametr azywamy pzmem sttśc. Jest rówy plu pwerzch mędzy daą krzywą a są χ w zakreskwaym bszarze a rysuku 6. IV.7 Test χ ( ch-kwadrat ) Test χ ma zastswae przy sprawdzau hptezy, że rzkład bserwwaej zmeej lswej ma kreślą pstać aaltyczą. Załóżmy, że przedmtem bserwacj jest pewa zmea lswa x że ależy sprawdzć hptezę, ż zmea ta ma kreśly typ rzkładu. Pdzelmy bszar zmeśc x a j drębych klas (przedzałów). Ozaczmy przez lczbę zabserwwaych w próbe elemetów, dla których zmea x przyjęła wartść ależącą d klasy. Nech prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyjme wartść ależącą d tej klasy (wykające z załżej hptezy H ) wys P. Jeżel przez zaczymy lczbę bserwacj w próbe, t lczy = P azwemy lczebścą teretyczą -tej klasy. Jest t czekwaa lczba bserwacj w -tej klase blcza przy załżeu, że prawdzwa jest hpteza sprawdzaa H. Różca mędzy lczbam raz mże być pdstawą d zbudwaa sprawdzau hptezy, że bserwwaa zmea lswa ma kreśly typ rzkładu. Gdy różce są małe, będzemy skł przyjąć hptezę, atmast przy dużych rzbeżścach mędzy rzeczywstym a teretyczym lczebścam hptezę drzucamy. Jak sprawdza hptezy przyjmujemy (za K. Pearsem ) wyrażee χ ( ) =. (4) Mża wykazać, że przy wyrażee p prawej stre wzru (4) ma rzkład χ, stąd zaczee lewej stry pwyższej zależśc tym symblem. Rzkład te ma k = j r stp swbdy, przy czym r zacza tu lczbę parametrów rzkładu załżej pstac fukcyjej, które ależał wstępe szacwać z próby, by astępe blczyć prawdpdbeństwa P lczebśc teretycze = P. Z testu teg mża skrzystać tylk wtedy, gdy wszystke lczby są rówe przyajmej 5, a jest przyajmej rówe 50. Tak węc testwae rzkładu będze plegał a blczeu wartśc χ zgde ze wzrem (4) prówau jej ze stabelaryzwaą zmeą χ (patrz p. dpweda tabela I pracwa fzycza J. L. Kacpersk ). Hptezę zgdśc rzkładu eksperymetaleg teretyczeg przyjmujemy wówczas, gdy speła jest erówść: k, χ χk,, (43) 8

9 Ćwczee M-8 gdze jest przyjętym pzmem sttśc p. = 0,05, k lczbą stp swbdy. V. Wykae pmarów. Wykae pmarów statystyczych sprwadza sę d przeprwadzea k. 00 ruchów ruletką zatwaa pższych daych:. welkśc kąta sektra β j, a którym zatrzymała sę strzałka (p. dla β = 0, 40, 60, 80, 60 ).. płżee wskazówk a skal kątwej ( kąt β ). 3. czas "t" trwaa ruchu strzałk d mmetu wprawea jej w ruch d chwl zatrzymaa. Dae te ajwygdej jest zapsać w tabel: Lp β β t VI. Opracwae wyków. W pracwau trzymaych daych statystyczych ależy: a. Dla wybraeg sektra welkśc β wykreślć zależść stsuku m / d dla wartśc wzrastających p. 5 ( m zacza lść przypadków zatrzymaa sę strzałk w wybraym sektrze w ser prób ). Przeaalzwać przebeg krzywej łączącej kleje pukty wykresu z puktu wdzea stablzacj względych częstśc. b. Wykać rzkład częstśc zatrzymaa sę strzałk m razy w ser p. = 9 ezależych prób w wybraym sektrze β = 60, gdze m =,, 3,.... Prówać trzymay rzkład zmeej dyskretej z rzkładem dwumawym, dla któreg prawdpdbeństw zajśca wyróżeg zdarzea wys P = 60/360 = 0,66. a. Wykać rzkład częstśc dla welkśc kąta β (zmeej lswej cągłej ), wskazywaeg przez strzałkę. Zbudwać hstgram dśwadczaly dzeląc cały zakres zmeśc kąta [ 0, 360 ] a klasy (przedzały ) ustalej szerkśc x = δβ. β δβ Szerkść δβ ależy przyjąć jak rówą w przyblżeu /4 dchylea stadardweg σ pstulwaeg rzkładu (w tym przypadku prstkąteg). Peważ teretycza wartść σ dla teg kkreteg rzkładu prstkąteg wys k.04 (patrz wzór (9) (5)), t prpwaa szerkść przedzału wys δβ (/4)04 = 6. Z uwag a t, że lść prze j = = 9

10 Ćwczee M-8 dzałów mus być lczbą całkwtą, statecze berzemy δβ = 4 wówczas lść przedzałów jest rówa j = 360 /4 = 5. Na s Y dłżyć lczebśc zatrzymań strzałk w pszczególych klasach. Oblczyć: wartść średą śred błąd kwadratwy β = β =, ( β β) sβ =. b. Sprawdzć hptezę, ż rzkład (β) jest rzkładem prstkątym. Prawdpdbeństw teg, że zmea lswa czyl kąt β przyjme wartść ależącą d - teg przedzału wys δβ P = δβ =, b a 360 δβ a lczebść teretycza = P =. 360 Na tle rzkładu dśwadczaleg aryswać rzkład teretyczy zazaczyć parametry rzkładu µ σ (patrz wzór (8) raz (9) (5)). Ze wzru (4) zajdujemy χ. Oblczea zebrać w tabel: Nr przedzału δβ = 360 ( ) χ = Pamętajmy, by w przedzałach były wększe d 5. W przecwym raze przedzały ależy płączyć, by 5. Lczba stp swbdy jest rówa lczbe słupków hstgramu p płączeu (jeśl t był kecze) mus (dla rzkładu prstkąteg r = ). Przy przyjętym pzme sttśc dla blczej lczby stp swbdy k dczytać z tablc (p. I pracwa fzycza J. L. Kacpersk) wartść χ. Prówać tę wartść z trzymaą ustsukwać sę d pstawej hptezy. 3. Wykać rzkład dśwadczaly dla czasu t trwaa ruchu strzałk raz wylczyć rzkład teretyczy zakładając kreślą fukcję rzkładu prawdpdbeństwa p. rzkładu rmaleg. Zakładając rzkład rmaly ależy blczyć: wartść średą k, 0

11 Ćwczee M-8 śred błąd kwadratwy t = t =, ( t t) st = Przedstawć wyk dśwadczale w frme grafczej w pstac hstgramu dśwadczaleg, dzeląc przedzał zmeśc zmeej lswej t a j klas szerkśc t każda (wg pdbych zasad jak w przypadku hstgramu prstkąteg). =. Wyk dśwadczale będące pdstawą hstgramu zapsać w tabel Nr przedzału Śrdek przedz. t Lczba przypadków t t j Rzkład dśwadczaly rmalzujemy za pmcą pdstawea u t t = (wa zmea st lswa). Z tablc stadaryzwaeg rzkładu rmaleg dczytujemy gęstść prawdpdbeństwa dla u czyl p(u ). Wyrażee a P = p( u ) u = p( u ) st jest przyblżą wartścą prawdpdbeństwa trzymaa wyku w -tym przedzale szerkśc u, gdze a = t jest szerkścą słupka hstgramu dla zmeej t. Precyzja przyblżea zależy d szerkśc t słupka hstgramu. Na tym samym wykrese c hstgram dśwadczaly zazaczyć pukty rzkładu teretyczeg łącząc je ze sbą lą cągłą (wykrzystać czwartą klumę w tabel pżej ). Zazaczyć parametry teg rzkładu tz. pukty: t = t, t = t ± s wraz z rzędym. Oblczyć wartść χ w spsób pdby jak w pukce b ceć czy załżee rmalśc rzkładu był słusze. Wyk mża zebrać w tabel: Nr przedzału u t t t = p(u ) = p( u ) st st t ( ) j χ =

12 Ćwczee M-8 Czwarta kluma w tabel pdaje wartśc czekwae w -tym przedzale. UWAGA Obszerejszy zarys ter zagadeń przedstawych w tej strukcj mża zaleźć w tekśce strukcj pd takm samym tytułem zaczej jak M-8BIS dstępej w bbltece Fzyk.