Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego

Transkrypt

1 Ćwczee M- Tablca Galta. Mechaczy mdel rzładu rmaleg I. Cel ćwczea: zapzae sę z charaterystyą prawdłwścą zdarzeń statystyczych a pdstawe dśwadczea. II. Przyrządy: tablca Galta, stalwe ul, pzmca. III. Lteratura: [] J. L. Kacpers, I Pracwa fzycza ; [] J. L. Kacpers, K. Nedźwedzu; I Pracwa fzycza, [3] J. L. Kacpers Opracwae daych pmarwych, [4] K. Małuszyńsa, M. Przytuła Labratrum fzy ądrwe, [5] M. Kaczmarczy Ćwczee statystycze. Stablzaca względych częstśc rzład względych częstśc zdarzeń (struca pracwaa, [6] H. Hfml, A. Zawadz, Labratrum fzycze ; [7] H. Szydłws Pracwa fzycza, [8] M.Fsz Rachue prawdpdbeństwa statystya matematycza. IV. Rzład rmaly Zbór wszystch mżlwych d trzymaa wyów pmarów pewe welśc merze azywamy ppulacą geeralą. Ppulaca geerala słada sę z esńczee welu wyów. W pratyce wyue sę pewą sńczą lczbę pmarów zwaą próbą. Załada sę, że est t próba lswa dbrze reprezetuąca całą ppulace. Przy pmarach welśc fzyczych trzymae wy pmarów zależą d welu czyów, eedy ezależych d prwadząceg pmary. Dzałae ch pwdue pawee sę błędów pmarwych. Ne esteśmy w stae przewdzeć wyów pmarów wyaych w daych waruach. Wy est welścą zmeaącą sę przypadw w pewych gracach, eedy esńczych. Tę welść azywamy zmeą lswą, charateryzwaą przez pewe rzład, tóry będze szerszy (w przypadu gdy wystąp wele czyów załócaących lub węższy (gdy czyów będze ewele. W przypadu edy wyem pmaru mgą być tyl etóre wartśc z dstępeg przedzału mówmy, że est t zmea lswa swa (dysreta. Kedy wyem pmaru mże być dwla wartść, mówmy zmee lswe cągłe. Wyamy serę pmarów pewe welśc x. Nech trzymae wy pmaru x, x, x 3, x przymuą wartśc z reśleg przedzału raz ech lczba pmarów speła warue >> 0 (est t lść wystarczaąca d uzysaa w pratyce przyblżea rzładu rmaleg. Wy te mża przedstawć grafcze a tzw. hstgrame (rys.. Dae dśwadczale są dzele a przedzały (lasy lewstre dmęte przedzały lczbwe rówe szerśc x. Szerść przedzału pwa wysć w gracach σ ze względu a przerzystść hstgramu, gdze σ est dchyleem stadardwym 4 6 (patrz dale. Ilść przedzałów mus być lczbą całwtą. Na s rzędych dładamy lść pmarów lub lczebść względą / dpwadaących -temu przedzałw, a a s dcętych przedzałów szerśc x. Zachdz czywśce. Zatem hstgram est zbrem prstątów pdstawe rówe szerśc przedzału lasweg wysśc rówe lczebśc -te lasy. = =

2 Ćwczee M- Rys. Hstgram dśwadczaly pewe welśc x Otrzymae wartśc aczęśce są zgrupwae w bszarze zaduącym sę w śrdwe częśc hstgramu. Im dale d teg bszaru tym me bserwue sę przypadów, stąd częstść występwaa tae wartśc malee. Częstść występwaa merzymy stsuem lczby pmarów w daym przedzale d całwte lczby pmarów czyl P = ( W przypadu, gdy lczba pmarów wzrasta, a szerść x malee, rzład wyów dśwadczalych w przypadu graczym dae rzywą cągłą, tóra zwaa est rzywą Gaussa lub rzywą gęstśc rzładu rmaleg psaą rówaem ( µ x σ p(x = e ( σ π Krzywą tą charateryzuą dwa parametry: wartść czewaa µ dchylee stadardwe σ. Wartść czewaa reśla płżee masmum rzywe, a dchylee stadardwe e szerść, czyl dchylee wyów d wartśc µ. Welść p(x est gęstścą prawdpdbeństwa wyów pmaru. Parametry blcze z próby zwae są estymatram. Estymatry daą mżlwść wswaa wartśc parametrów ppulac geerale. Wartść średa (średa arytmetycza x z próby est estymatrem wartśc czewae µ, czyl średe w ppulac. Odchylee stadardwe z próby est estymatrem dchylea stadardweg w ppulac. Dla wartśc średe mamy węc x = x = µ= (3 Dla próby pdzele a przedzały laswe wartść średa wyraża sę wzrem X x = x = (4 x

3 Ćwczee M- gdze x = x + x est śrdem -teg przedzału, lczbą przedzałów laswych raz = = ( + / Dla próby e laswe (e dzele a przedzały laswe estymatr dchylea stadardweg σ est dchyleem stadardwym z próby est rówy (5 σ s = (x x = (6 gdze s est średm błędem wadratwym pedyczeg pmaru. Dla próby pdzele a przedzały laswe, gdze przedstawe est wzrem (5 dchylee stadardwe wyraże est wzrem σ s = (x x = (7 Dla próby duże lub bardz duże edyę w mawu we wzrach (6 (7 mża pmąć. Dla dcętych rówych µ σ µ + σ rzywa Gaussa psada puty przegęca (rys.. p(x µ-σ µ µ+σ Ilczy p(x dx staw prawdpdbeństw zalezea wartśc x w przedzale (x dx/, x + dx/, ym słwy est t prawdpdbeństw przyęca przez zmeą lswą wartśc z przedzału (x dx/, x + dx/ ( zaceme ple a rys.. Fuca p(x est symetrycza względem µ tz. względem wartśc rzeczywste welśc merze. Wartść średa x est blsa wartśc rzeczywste µ. W pratyce dla próby zaweraące bardz dużą lczbę pmarów przymuemy, że µ x raz σ s Prawdpdbeństw teg, że wy przyme edą z wartśc d mus esńczśc d plus esńczśc wys dx Rys. Fuca gęstśc prawdpdbeństwa x 3

4 Ćwczee M- + P(- <x< = p ( x dx= (8 c dpwada pewśc. Grafcze est t ple pwerzch pd rzywą rówe edśc. Kedy flutuace statystycze są duż węsze d błędów wyaących z dzałaa aparatury, dchylee stadardwe σ zależy d wartśc średe (przypade rzładu Pssa zachdz relaca σ = x. x µ W przypadu pdstawea u = σ rzywa z rówaa ( ulega przesuęcu w lew dce µ, a dcęte są wyraże w edstach σ. W wyu w/w zma trzymuemy tzw. rzywą zrmalzwaą parametrach µ = 0, σ =. Rówae ( przymue pstać p(u = π u e (9 Wartśc fuc p(u w zależśc d u są zameszcze w tabel, tóra z reguły zadue sę w Uzupełeach pdręczów (patrz pzyce lteratury [] [3], [6]. Peważ prawdpdbeństw teg, że wy pmaru leży w przedzale [x, x + wys P = p( x p( u x, a p( x =, t wówczas wyrzystuąc rówae ( p ewelm σ przeształceu dla przedzału szerśc x trzymamy teretyczą lczbę pmarów w daym przedzale x p(u = (0 σ Dla przedzału szerśc edstwe x = (ta est w przypadu des Galta mamy p(u = ( σ p(x P(s put przegęca α ½α ½α x 3s x s x x+s x+3s Rys.3. Iterpretaca grafcza pzmu ufśc w rzładze rmalym 4

5 Ćwczee M- Prawdpdbeństw P(ms, że wy pmaru meśc sę w przedzale ( x ms, x + ms gdze m =,, 3, rówe pwerzch pd rzywą gracze wartścam dcęte x ms, x + ms zacza sę przez α azywa sę współczyem ufśc. Przymue sę, że całwte ple gracze rzywą są x est rówe. Prawdpdbeństw zalezea sę pza tym przedzałem est rówe α dpwada pzstałe ezareśle pwerzch pd rzywą. Parametr α s azwę pzmu sttśc. Na rys.3 pazae est prawdpdbeństw P(s dla przedzału ( x s, x + s. V. Test zgdśc ( ch-wadrat Rzład dśwadczaly reśle welśc fzycze mża prówać z rzładem teretyczym. Jeśl e esteśmy pew, że zbór daych dśwadczalych pdlega załżemu rzładw, wyuemy tzw. test zgdśc (test Pearsa. Nech wartśc trzymae w wyu pmaru wyszą x, x.x. Pdzelmy cały przedzał wartśc trzymaych wyów a przedzałów (las ażdy szerśc x [x, x +, gdze =,,.. Nech P zacza prawdpdbeństw, że zmea lswa x rzładze p(x przymue wartśc z przedzału [x, x +, ech zacza dśwadczalą lczbę pmarów dpwadaącą przedzałw [x, x +, a = =. Spdzewaą teretyczą lczbę bserwac w -tym przedzale pdae wzór (0 a dla tablcy Galta wzór (. Wówczas a ryterum zgdśc rzładu, z rzładem rmalym przymuemy welść: ( = ( = tórą azywamy zmeą ch- wadrat stpach swbdy. Ilść stp swbdy blczamy z relac = r (3 gdze est t lczba przedzałów, a r lczba parametrów rzładu teretyczeg dla rzładu rmaleg r = Optymala lczba przedzałów est blsa perwastw z lczby przypadów: =. W przypadu stswaa testu pwy być spełe astępuące waru: lczba przedzałów > 6 8, lczba stp swbdy 4, lść pmarów w ażdym przedzale > 5 (w przecwym wypadu ależy płączyć w ede przedzał la sraych przedzałów. Testwae rzładu będze plegał a blczeu wartśc zgde ze wzrem ( p- rówau e z wartścam rzładu,α dla lczby stp swbdy załżeg pzmu sttśc α (zwyle α = 0,05 w dpwedch tablcach. Hptezę zgdśc rzładu esperymetaleg teretyczeg przymuemy, gdy speła est erówść (4, w Uzupeł- gdze α est przyętym pzmem sttśc. Węce a temat rzładu testu eu str. 9 raz w [] [3]. α 5

6 Ćwczee M- VI. Aparatura pmarwa Rys.4 Tablca Galta Tablca Galta staw tablcę z cem prętam metalwym. Nad prętam zadue sę szczela, przez tórą wrzucae są ul stalwe. Na dle tablcy zaduą sę detycze przegród z wysuwaym deam. W przypadu, gdy średce ule są tyl ezacze węsze d dległśc mędzy sąsedm prętam, zderzee ul z prętem ma charater człwy. W zwązu z tym szase dchylea w lew lub w praw są edawe. Kula wrzuca d szczely dba sę welrte d prętów, aż w ńcu wpada d aeś przegród. Istee szereg mżlwych dróg dśca d ażde przegrdy. VII. Pmary Prześce ul przez rzędy prętów dpwada pedyczemu pmarw. Każde zderzee z prętem symblzue błąd elemetary. Płżee przegrdy, d tóre wpada ula t wy pmaru. Wartść dładą welśc merze symblzue płżee szczely, d tóre wrzuca sę ul. Prawdpdbeństw trafea ul d przegrdy cetrale, płże pd szczelą est awęsze, c pwdue, że w cetrale przegrdze będze awęce ule. W ćwczeu ależy wrzucć d szczely laset ule (ażdą ulę wrzucamy pedycz. Jeśl lczba pzmych rzędów prętów dąży d esńczśc, a średce ule, dległśc mędzy prętam wymary przegród dążą d zera, t fuca, tóra wąże lść ule w przegrdze z e dległścą d śrda tablcy dąży d rzładu rmaleg. VIII. Opracwae wyów. Zapsz wy pmarów w lume tab. ( x est umerem przegrdy.. Oblcz wartść średą x ze wzru (4 dchylee stadardwe σ s ze wzru (7 wyrzystuąc blczea z tab.. 6

7 Ćwczee M- 3. Narysu hstgram dśwadczaly rzystaąc z lumy. tab.. Wartść zmee x zacza śrde przedzału (pdstawy słupa hstgramu. Np. dla x = lewy prawy raec przedzału są rówe dpwed 0,5,5. Tabela x x ( x x ( x x u = ( x x p (u = s M p(u s 4. Oblcz u raz teretyczą wartść ze wzru (. Odczyta z właścwe tablcy (patrz pz. lt. [] [3], [6] wartśc gęstśc prawdpdbeństwa p(u. 5. Na hstgrame dśwadczalym umeść puty teretycze z lumy 9 tabel płącz e lą cągłą. 6. Sprawdź rmalść hstgramu przy pmcy testu. Przy blczeach wartśc ależy sprawdzć, czy zstały spełe wszyste rytera dla przeprwadzea w/w testu, czyl czy lczebśc przedzałów są węsze d m = 5. Jeśl te warue e est speły, ależy płączyć dpwedą lczbę sąsaduących przedzałów (a w tabel. Tabela x p(u = s ( ( } } M M M } - - } = W przypadu grupwaa przedzałów ależy pamętać, że ch lczba ulega zmeszeu lczbę tych zsypaych. Zmeszy sę też dpwed lczba tzw. stp swbdy. Ilść stp swbdy blczamy z relac (patrz wzór (3: = r 7

8 Ćwczee M- gdze est t lczba przedzałów, a r lczba parametrów rzładu teretyczeg dla rzładu rmaleg r =. Węce patrz [] str Wyrzystuąc tabelę blcz wartść. 8. Dla pzmu sttśc α = 0,05 zae lczby stp swbdy z właścwe tabel dczyta, (pz. lt. [] [3], [6]. α Jeśl zachdz relaca, α hptezę zgdśc rzładu esperymetaleg teretyczeg przymuemy. Jeśl est dwrte hptezę drzucamy. 9. Przeprwadzć dysusę wyaeg dśwadczea trzymaych wyów. 8

9 Ćwczee M- IX. Uzupełee IX. Rzład ( ch-wadrat Jeśl u, u,..., u są zmeym lswym pdlegaącym rzładw rmalemu wartśc średe rówe 0 dchyleu stadardwemu σ = (rzład N(0,, t wyrażee = u (4 = reśla wą zmeą lswą (ch-wadrat stpach swbdy. Pdlega a rzładw, tóreg gęstść prawdpdbeństwa psaa est fucą p(. Pstać aaltycza fuc est dść złża e zameszcz e w struc (mża ą zaleźć w [3], [4]. Jedyym parametrem teg rzładu est lczba stp swbdy. Lczba stp swbdy est rówa: = r ( lczba sładów sumy (4, r lczba parametrów załżeg rz- ładu. Przebeg fuc gęstśc prawdpdbeństwa p( dla peweg przedstawa rysue 5. p( Ple = α Obszar przyęca hptezy Obszar drzucea hptezy Ple ceme = α Rys.5 Wyres gęstśc prawdpdbeństwa p( dla daeg ( > 6. Prawdpdbeństw teg, że zmea,α wys 9 przyme wartść węszą d pewe wartśc ( > = p(, α P d =α (5 Parametr α s azwę pzmu sttśc est rówy ceme pwerzch a rysuu 5 (ta est, eśl mamy d czyea z rzładem urmwaym całwta pwerzcha pd rzywą est rówa. Dla fuca gęstśc prawdpdbeństwa est fucą mtcze maleącą. W marę wzrstu pczątwa asymetra zaa dla > 30 rzład rmaly dae dbre przyblżee rzładu. IX. Test zgdśc ( ch-wadrat Bardz częst stswaym testem zgdśc rzładu dśwadczaleg z załżym rzładem mdelwym est test (ch-wadrat. Rzpatrzmy przypade próby ezależych bserwacach zmee lswe X: x, x, x 3,.x.. Obserwace te dzelmy a las ażda szerśc x ( x x/, x + x/,, α, α

10 Ćwczee M- gdze x est śrdem teg przedzału (lasy, =,,, raz = =. D te lasy zalczamy te wartśc, tóre ależą d przedzału ( x x/, x + x/. Nech y = będze dśwadczalą lczbą pmarów dpwadaącą te lase ( =,,. są t umery leych las, a f(x = ech będze lczebścą zalezą w parcu załży rzład. D cey zgdśc rzładu dśwadczaleg z załżym rzładem mdelwym wprwadza sę welść ( y f(x ( = X = (6 f(x = Mża wyazać, że wyrażee (6 przy pewych załżeach defue zmeą lswą, tóra ma rzład. Dlateg prawą strę wyrażea (6 mża zaczyć symblem, w tórym des dly zawera frmacę lczbe stp swbdy rzładu czyl ( = = = (6a Prawdpdbeństwa P, tórych zamść est stta w welu zagadeach statystyczych są zebrae w frme tablc (p. w [3], [6],. Isteą dwa rdzae tablc. Jede pdaą dla różych wartśc prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyme wartść węszą d reśle lczby,α. Drug rdza tablc pdae dla różych wartśc parametru tae lczby rzeczywste,α, że prawdpdbeństw przybraa przez zmeą lswą wartśc węsze d dae lczby est rówe z góry dae lczbe α. Przyętą hptezę (p., że rzład dśwadczaly est rzładem rmalym sprawdzamy rzystaąc z własśc rzładu. Naperw dla ptrzeb testu blczamy wartść dla asze ser pmarów (wg wzru ( lub (6a te struc. Ozaczamy tę wartść przez Następe z pwdu stea dwóch rdzaów tablc stsuemy sę d ede z psaych że prcedur.. Krzystaąc z dpwede tablcy [] zaduemy prawdpdbeństw teg, że zmea przyme wartść węszą d α = P = P( > (wartść ta dpwada zaczeu d, α. d a rys. 5 czyl d dla dpwede lczby stp swbdy dla rete wartśc d. Jeżel dczytaa wartść prawdpdbeństwa P est zawarta w przedzale 0, < P < 0,9, t hptezę przymuemy za prawdzwą. Gdy α < 0,0 lub α > 0,98 hpteza est mał prawdpdba ależy ą drzucć. Jeśl α > 0,98, t stee pderzee, że aeś ddatwe czy p. zamść przewdywae welśc, sprwwała zarąglae wartśc pmarwe, aby dstać masymalą zgdść z terą.. Krzystaąc z dpwede tablcy [], dla reśle lczby stp swbdy załżeg pzmu sttśc α (czyl reśleg prawdpdbeństwa P zaduemy wartść. Jeśl zachdz relaca,α < dwrte hptezę drzucamy. d, t hptezę przymuemy za prawdzwą. Jeśl est,α Bardze szczegółwe frmace a temat rachuu statystyczeg mża zaleźć w lteraturze pdae a pczątu struc. 0