Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego"

Transkrypt

1 Ćwczee M- Tablca Galta. Mechaczy mdel rzładu rmaleg I. Cel ćwczea: zapzae sę z charaterystyą prawdłwścą zdarzeń statystyczych a pdstawe dśwadczea. II. Przyrządy: tablca Galta, stalwe ul, pzmca. III. Lteratura: [] J. L. Kacpers, I Pracwa fzycza ; [] J. L. Kacpers, K. Nedźwedzu; I Pracwa fzycza, [3] J. L. Kacpers Opracwae daych pmarwych, [4] K. Małuszyńsa, M. Przytuła Labratrum fzy ądrwe, [5] M. Kaczmarczy Ćwczee statystycze. Stablzaca względych częstśc rzład względych częstśc zdarzeń (struca pracwaa, [6] H. Hfml, A. Zawadz, Labratrum fzycze ; [7] H. Szydłws Pracwa fzycza, [8] M.Fsz Rachue prawdpdbeństwa statystya matematycza. IV. Rzład rmaly Zbór wszystch mżlwych d trzymaa wyów pmarów pewe welśc merze azywamy ppulacą geeralą. Ppulaca geerala słada sę z esńczee welu wyów. W pratyce wyue sę pewą sńczą lczbę pmarów zwaą próbą. Załada sę, że est t próba lswa dbrze reprezetuąca całą ppulace. Przy pmarach welśc fzyczych trzymae wy pmarów zależą d welu czyów, eedy ezależych d prwadząceg pmary. Dzałae ch pwdue pawee sę błędów pmarwych. Ne esteśmy w stae przewdzeć wyów pmarów wyaych w daych waruach. Wy est welścą zmeaącą sę przypadw w pewych gracach, eedy esńczych. Tę welść azywamy zmeą lswą, charateryzwaą przez pewe rzład, tóry będze szerszy (w przypadu gdy wystąp wele czyów załócaących lub węższy (gdy czyów będze ewele. W przypadu edy wyem pmaru mgą być tyl etóre wartśc z dstępeg przedzału mówmy, że est t zmea lswa swa (dysreta. Kedy wyem pmaru mże być dwla wartść, mówmy zmee lswe cągłe. Wyamy serę pmarów pewe welśc x. Nech trzymae wy pmaru x, x, x 3, x przymuą wartśc z reśleg przedzału raz ech lczba pmarów speła warue >> 0 (est t lść wystarczaąca d uzysaa w pratyce przyblżea rzładu rmaleg. Wy te mża przedstawć grafcze a tzw. hstgrame (rys.. Dae dśwadczale są dzele a przedzały (lasy lewstre dmęte przedzały lczbwe rówe szerśc x. Szerść przedzału pwa wysć w gracach σ ze względu a przerzystść hstgramu, gdze σ est dchyleem stadardwym 4 6 (patrz dale. Ilść przedzałów mus być lczbą całwtą. Na s rzędych dładamy lść pmarów lub lczebść względą / dpwadaących -temu przedzałw, a a s dcętych przedzałów szerśc x. Zachdz czywśce. Zatem hstgram est zbrem prstątów pdstawe rówe szerśc przedzału lasweg wysśc rówe lczebśc -te lasy. = =

2 Ćwczee M- Rys. Hstgram dśwadczaly pewe welśc x Otrzymae wartśc aczęśce są zgrupwae w bszarze zaduącym sę w śrdwe częśc hstgramu. Im dale d teg bszaru tym me bserwue sę przypadów, stąd częstść występwaa tae wartśc malee. Częstść występwaa merzymy stsuem lczby pmarów w daym przedzale d całwte lczby pmarów czyl P = ( W przypadu, gdy lczba pmarów wzrasta, a szerść x malee, rzład wyów dśwadczalych w przypadu graczym dae rzywą cągłą, tóra zwaa est rzywą Gaussa lub rzywą gęstśc rzładu rmaleg psaą rówaem ( µ x σ p(x = e ( σ π Krzywą tą charateryzuą dwa parametry: wartść czewaa µ dchylee stadardwe σ. Wartść czewaa reśla płżee masmum rzywe, a dchylee stadardwe e szerść, czyl dchylee wyów d wartśc µ. Welść p(x est gęstścą prawdpdbeństwa wyów pmaru. Parametry blcze z próby zwae są estymatram. Estymatry daą mżlwść wswaa wartśc parametrów ppulac geerale. Wartść średa (średa arytmetycza x z próby est estymatrem wartśc czewae µ, czyl średe w ppulac. Odchylee stadardwe z próby est estymatrem dchylea stadardweg w ppulac. Dla wartśc średe mamy węc x = x = µ= (3 Dla próby pdzele a przedzały laswe wartść średa wyraża sę wzrem X x = x = (4 x

3 Ćwczee M- gdze x = x + x est śrdem -teg przedzału, lczbą przedzałów laswych raz = = ( + / Dla próby e laswe (e dzele a przedzały laswe estymatr dchylea stadardweg σ est dchyleem stadardwym z próby est rówy (5 σ s = (x x = (6 gdze s est średm błędem wadratwym pedyczeg pmaru. Dla próby pdzele a przedzały laswe, gdze przedstawe est wzrem (5 dchylee stadardwe wyraże est wzrem σ s = (x x = (7 Dla próby duże lub bardz duże edyę w mawu we wzrach (6 (7 mża pmąć. Dla dcętych rówych µ σ µ + σ rzywa Gaussa psada puty przegęca (rys.. p(x µ-σ µ µ+σ Ilczy p(x dx staw prawdpdbeństw zalezea wartśc x w przedzale (x dx/, x + dx/, ym słwy est t prawdpdbeństw przyęca przez zmeą lswą wartśc z przedzału (x dx/, x + dx/ ( zaceme ple a rys.. Fuca p(x est symetrycza względem µ tz. względem wartśc rzeczywste welśc merze. Wartść średa x est blsa wartśc rzeczywste µ. W pratyce dla próby zaweraące bardz dużą lczbę pmarów przymuemy, że µ x raz σ s Prawdpdbeństw teg, że wy przyme edą z wartśc d mus esńczśc d plus esńczśc wys dx Rys. Fuca gęstśc prawdpdbeństwa x 3

4 Ćwczee M- + P(- <x< = p ( x dx= (8 c dpwada pewśc. Grafcze est t ple pwerzch pd rzywą rówe edśc. Kedy flutuace statystycze są duż węsze d błędów wyaących z dzałaa aparatury, dchylee stadardwe σ zależy d wartśc średe (przypade rzładu Pssa zachdz relaca σ = x. x µ W przypadu pdstawea u = σ rzywa z rówaa ( ulega przesuęcu w lew dce µ, a dcęte są wyraże w edstach σ. W wyu w/w zma trzymuemy tzw. rzywą zrmalzwaą parametrach µ = 0, σ =. Rówae ( przymue pstać p(u = π u e (9 Wartśc fuc p(u w zależśc d u są zameszcze w tabel, tóra z reguły zadue sę w Uzupełeach pdręczów (patrz pzyce lteratury [] [3], [6]. Peważ prawdpdbeństw teg, że wy pmaru leży w przedzale [x, x + wys P = p( x p( u x, a p( x =, t wówczas wyrzystuąc rówae ( p ewelm σ przeształceu dla przedzału szerśc x trzymamy teretyczą lczbę pmarów w daym przedzale x p(u = (0 σ Dla przedzału szerśc edstwe x = (ta est w przypadu des Galta mamy p(u = ( σ p(x P(s put przegęca α ½α ½α x 3s x s x x+s x+3s Rys.3. Iterpretaca grafcza pzmu ufśc w rzładze rmalym 4

5 Ćwczee M- Prawdpdbeństw P(ms, że wy pmaru meśc sę w przedzale ( x ms, x + ms gdze m =,, 3, rówe pwerzch pd rzywą gracze wartścam dcęte x ms, x + ms zacza sę przez α azywa sę współczyem ufśc. Przymue sę, że całwte ple gracze rzywą są x est rówe. Prawdpdbeństw zalezea sę pza tym przedzałem est rówe α dpwada pzstałe ezareśle pwerzch pd rzywą. Parametr α s azwę pzmu sttśc. Na rys.3 pazae est prawdpdbeństw P(s dla przedzału ( x s, x + s. V. Test zgdśc ( ch-wadrat Rzład dśwadczaly reśle welśc fzycze mża prówać z rzładem teretyczym. Jeśl e esteśmy pew, że zbór daych dśwadczalych pdlega załżemu rzładw, wyuemy tzw. test zgdśc (test Pearsa. Nech wartśc trzymae w wyu pmaru wyszą x, x.x. Pdzelmy cały przedzał wartśc trzymaych wyów a przedzałów (las ażdy szerśc x [x, x +, gdze =,,.. Nech P zacza prawdpdbeństw, że zmea lswa x rzładze p(x przymue wartśc z przedzału [x, x +, ech zacza dśwadczalą lczbę pmarów dpwadaącą przedzałw [x, x +, a = =. Spdzewaą teretyczą lczbę bserwac w -tym przedzale pdae wzór (0 a dla tablcy Galta wzór (. Wówczas a ryterum zgdśc rzładu, z rzładem rmalym przymuemy welść: ( = ( = tórą azywamy zmeą ch- wadrat stpach swbdy. Ilść stp swbdy blczamy z relac = r (3 gdze est t lczba przedzałów, a r lczba parametrów rzładu teretyczeg dla rzładu rmaleg r = Optymala lczba przedzałów est blsa perwastw z lczby przypadów: =. W przypadu stswaa testu pwy być spełe astępuące waru: lczba przedzałów > 6 8, lczba stp swbdy 4, lść pmarów w ażdym przedzale > 5 (w przecwym wypadu ależy płączyć w ede przedzał la sraych przedzałów. Testwae rzładu będze plegał a blczeu wartśc zgde ze wzrem ( p- rówau e z wartścam rzładu,α dla lczby stp swbdy załżeg pzmu sttśc α (zwyle α = 0,05 w dpwedch tablcach. Hptezę zgdśc rzładu esperymetaleg teretyczeg przymuemy, gdy speła est erówść (4, w Uzupeł- gdze α est przyętym pzmem sttśc. Węce a temat rzładu testu eu str. 9 raz w [] [3]. α 5

6 Ćwczee M- VI. Aparatura pmarwa Rys.4 Tablca Galta Tablca Galta staw tablcę z cem prętam metalwym. Nad prętam zadue sę szczela, przez tórą wrzucae są ul stalwe. Na dle tablcy zaduą sę detycze przegród z wysuwaym deam. W przypadu, gdy średce ule są tyl ezacze węsze d dległśc mędzy sąsedm prętam, zderzee ul z prętem ma charater człwy. W zwązu z tym szase dchylea w lew lub w praw są edawe. Kula wrzuca d szczely dba sę welrte d prętów, aż w ńcu wpada d aeś przegród. Istee szereg mżlwych dróg dśca d ażde przegrdy. VII. Pmary Prześce ul przez rzędy prętów dpwada pedyczemu pmarw. Każde zderzee z prętem symblzue błąd elemetary. Płżee przegrdy, d tóre wpada ula t wy pmaru. Wartść dładą welśc merze symblzue płżee szczely, d tóre wrzuca sę ul. Prawdpdbeństw trafea ul d przegrdy cetrale, płże pd szczelą est awęsze, c pwdue, że w cetrale przegrdze będze awęce ule. W ćwczeu ależy wrzucć d szczely laset ule (ażdą ulę wrzucamy pedycz. Jeśl lczba pzmych rzędów prętów dąży d esńczśc, a średce ule, dległśc mędzy prętam wymary przegród dążą d zera, t fuca, tóra wąże lść ule w przegrdze z e dległścą d śrda tablcy dąży d rzładu rmaleg. VIII. Opracwae wyów. Zapsz wy pmarów w lume tab. ( x est umerem przegrdy.. Oblcz wartść średą x ze wzru (4 dchylee stadardwe σ s ze wzru (7 wyrzystuąc blczea z tab.. 6

7 Ćwczee M- 3. Narysu hstgram dśwadczaly rzystaąc z lumy. tab.. Wartść zmee x zacza śrde przedzału (pdstawy słupa hstgramu. Np. dla x = lewy prawy raec przedzału są rówe dpwed 0,5,5. Tabela x x ( x x ( x x u = ( x x p (u = s M p(u s 4. Oblcz u raz teretyczą wartść ze wzru (. Odczyta z właścwe tablcy (patrz pz. lt. [] [3], [6] wartśc gęstśc prawdpdbeństwa p(u. 5. Na hstgrame dśwadczalym umeść puty teretycze z lumy 9 tabel płącz e lą cągłą. 6. Sprawdź rmalść hstgramu przy pmcy testu. Przy blczeach wartśc ależy sprawdzć, czy zstały spełe wszyste rytera dla przeprwadzea w/w testu, czyl czy lczebśc przedzałów są węsze d m = 5. Jeśl te warue e est speły, ależy płączyć dpwedą lczbę sąsaduących przedzałów (a w tabel. Tabela x p(u = s ( ( } } M M M } - - } = W przypadu grupwaa przedzałów ależy pamętać, że ch lczba ulega zmeszeu lczbę tych zsypaych. Zmeszy sę też dpwed lczba tzw. stp swbdy. Ilść stp swbdy blczamy z relac (patrz wzór (3: = r 7

8 Ćwczee M- gdze est t lczba przedzałów, a r lczba parametrów rzładu teretyczeg dla rzładu rmaleg r =. Węce patrz [] str Wyrzystuąc tabelę blcz wartść. 8. Dla pzmu sttśc α = 0,05 zae lczby stp swbdy z właścwe tabel dczyta, (pz. lt. [] [3], [6]. α Jeśl zachdz relaca, α hptezę zgdśc rzładu esperymetaleg teretyczeg przymuemy. Jeśl est dwrte hptezę drzucamy. 9. Przeprwadzć dysusę wyaeg dśwadczea trzymaych wyów. 8

9 Ćwczee M- IX. Uzupełee IX. Rzład ( ch-wadrat Jeśl u, u,..., u są zmeym lswym pdlegaącym rzładw rmalemu wartśc średe rówe 0 dchyleu stadardwemu σ = (rzład N(0,, t wyrażee = u (4 = reśla wą zmeą lswą (ch-wadrat stpach swbdy. Pdlega a rzładw, tóreg gęstść prawdpdbeństwa psaa est fucą p(. Pstać aaltycza fuc est dść złża e zameszcz e w struc (mża ą zaleźć w [3], [4]. Jedyym parametrem teg rzładu est lczba stp swbdy. Lczba stp swbdy est rówa: = r ( lczba sładów sumy (4, r lczba parametrów załżeg rz- ładu. Przebeg fuc gęstśc prawdpdbeństwa p( dla peweg przedstawa rysue 5. p( Ple = α Obszar przyęca hptezy Obszar drzucea hptezy Ple ceme = α Rys.5 Wyres gęstśc prawdpdbeństwa p( dla daeg ( > 6. Prawdpdbeństw teg, że zmea,α wys 9 przyme wartść węszą d pewe wartśc ( > = p(, α P d =α (5 Parametr α s azwę pzmu sttśc est rówy ceme pwerzch a rysuu 5 (ta est, eśl mamy d czyea z rzładem urmwaym całwta pwerzcha pd rzywą est rówa. Dla fuca gęstśc prawdpdbeństwa est fucą mtcze maleącą. W marę wzrstu pczątwa asymetra zaa dla > 30 rzład rmaly dae dbre przyblżee rzładu. IX. Test zgdśc ( ch-wadrat Bardz częst stswaym testem zgdśc rzładu dśwadczaleg z załżym rzładem mdelwym est test (ch-wadrat. Rzpatrzmy przypade próby ezależych bserwacach zmee lswe X: x, x, x 3,.x.. Obserwace te dzelmy a las ażda szerśc x ( x x/, x + x/,, α, α

10 Ćwczee M- gdze x est śrdem teg przedzału (lasy, =,,, raz = =. D te lasy zalczamy te wartśc, tóre ależą d przedzału ( x x/, x + x/. Nech y = będze dśwadczalą lczbą pmarów dpwadaącą te lase ( =,,. są t umery leych las, a f(x = ech będze lczebścą zalezą w parcu załży rzład. D cey zgdśc rzładu dśwadczaleg z załżym rzładem mdelwym wprwadza sę welść ( y f(x ( = X = (6 f(x = Mża wyazać, że wyrażee (6 przy pewych załżeach defue zmeą lswą, tóra ma rzład. Dlateg prawą strę wyrażea (6 mża zaczyć symblem, w tórym des dly zawera frmacę lczbe stp swbdy rzładu czyl ( = = = (6a Prawdpdbeństwa P, tórych zamść est stta w welu zagadeach statystyczych są zebrae w frme tablc (p. w [3], [6],. Isteą dwa rdzae tablc. Jede pdaą dla różych wartśc prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyme wartść węszą d reśle lczby,α. Drug rdza tablc pdae dla różych wartśc parametru tae lczby rzeczywste,α, że prawdpdbeństw przybraa przez zmeą lswą wartśc węsze d dae lczby est rówe z góry dae lczbe α. Przyętą hptezę (p., że rzład dśwadczaly est rzładem rmalym sprawdzamy rzystaąc z własśc rzładu. Naperw dla ptrzeb testu blczamy wartść dla asze ser pmarów (wg wzru ( lub (6a te struc. Ozaczamy tę wartść przez Następe z pwdu stea dwóch rdzaów tablc stsuemy sę d ede z psaych że prcedur.. Krzystaąc z dpwede tablcy [] zaduemy prawdpdbeństw teg, że zmea przyme wartść węszą d α = P = P( > (wartść ta dpwada zaczeu d, α. d a rys. 5 czyl d dla dpwede lczby stp swbdy dla rete wartśc d. Jeżel dczytaa wartść prawdpdbeństwa P est zawarta w przedzale 0, < P < 0,9, t hptezę przymuemy za prawdzwą. Gdy α < 0,0 lub α > 0,98 hpteza est mał prawdpdba ależy ą drzucć. Jeśl α > 0,98, t stee pderzee, że aeś ddatwe czy p. zamść przewdywae welśc, sprwwała zarąglae wartśc pmarwe, aby dstać masymalą zgdść z terą.. Krzystaąc z dpwede tablcy [], dla reśle lczby stp swbdy załżeg pzmu sttśc α (czyl reśleg prawdpdbeństwa P zaduemy wartść. Jeśl zachdz relaca,α < dwrte hptezę drzucamy. d, t hptezę przymuemy za prawdzwą. Jeśl est,α Bardze szczegółwe frmace a temat rachuu statystyczeg mża zaleźć w lteraturze pdae a pczątu struc. 0

[6] H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboratorium fizyczne.

[6] H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboratorium fizyczne. Ćwczee M-5A ROZKŁAD OPORNOŚCI OPORNIKÓW. EKSPERYMENT STATYSTYCZNY I. Cel ćwczea: Pzae charaterysty prawdłwśc zdarzeń statystyczych a pdstawe dśwadczea. II. Przyrządy: III. Lteratura: Multmetr, przewdy

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk Statstka pwtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rdzae mar statstczch mar płżea - wzaczaą przecęta wartść cech statstcze mar zróżcwaa (lub zmeśc, rzprszea, dspers) - wzaczaą słę zróżcwaa

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ

ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ Ćwczee M-8 ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ I. Cel ćwczea: zapzae studeta z charakterystykam prawdłwścam zdarzeń statystyczych a przykładze

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3 35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(

Bardziej szczegółowo

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2 Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów. Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer

Bardziej szczegółowo

Równania rekurencyjne

Równania rekurencyjne Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,

Bardziej szczegółowo

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą. Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Parametry zmiennej losowej

Parametry zmiennej losowej Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby

Bardziej szczegółowo

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki: Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; } Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego). TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 2 _AW&D) [1] Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego (ogólnie)

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 2 _AW&D) [1] Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego (ogólnie) D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [] Pstać kacza lweg mdelu decyzyjeg (góle) Zajdź wartść ajwększą (ajmejszą) fukcj celu f c c c ma(m) przy warukach a a a 2 m 2 2 a a a

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego

Bardziej szczegółowo

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).

Bardziej szczegółowo

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12 Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

5. Obiegi wielostopniowe (kaskadowe). Metoda obliczania obiegów kaskadowych.

5. Obiegi wielostopniowe (kaskadowe). Metoda obliczania obiegów kaskadowych. . Chrw, Pdtawy Krge, wyład 8.. Obeg weltwe (aadwe). etda blczaa begów aadwych. W ażdym, dwle mlwaym begu rgeczym mża wyróżć te, w tórych wytwarzaa jet mc chłdcza rzez realzację jedyczeg rceu termdyamczeg.

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona: Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t

Bardziej szczegółowo

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa

Bardziej szczegółowo

Matematyczny opis ryzyka

Matematyczny opis ryzyka Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania

Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania ermdyamka układów rzeczywstych 2.7.1. Pwwactw chemcze 2.7.2. Defcja raz ses tecjału chemczeg aktywść 2.7.3. ermdyamcze fukcje meszaa 2.7.4. Klasyfkacja rztwrów Waruk ztermcz-zchrycze ) ( V F F j V V d

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0

Bardziej szczegółowo

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową cet psty Gdy zay aptał pczątwy stpę pcetwą F = + I aptał ńcwy, pczątwy, dset I = I = stpa pcetwa (w stsuu czy) F = ( + ) aledaze dsetwe 360/360, 365/365, 360/365, 365/360 es wyaży w latach (dla óżych esów

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystyczne) MIARY POŁOśENIA

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystyczne) MIARY POŁOśENIA D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [] CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystycze) PARAMETRY STATYSTYCZNE - lczby słuŝące do sytetyczego opsu strutury

Bardziej szczegółowo

= n ESTYMACJA PUNKTOWA. 1. Estymacja punktowa dla wartości średniej - określanie błędu standardowego s s sˆ n

= n ESTYMACJA PUNKTOWA. 1. Estymacja punktowa dla wartości średniej - określanie błędu standardowego s s sˆ n ESTYMACJA PUNKTOWA 1. Estymacja puktwa dla wartści średiej - kreślaie błędu stadardweg s s sˆ s( x) = = 1 k k 1 s( p*) = = p * q * Zad. 1. Oblicz średi błąd szacwaia s raz przecięty błąd względy v dla

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce. Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E bedze zborem zdarzen elementarnych danego doswadczena. Funcje X(e) przyporzadowujaca azdemu zdarzenu elementarnemu e E jedna tylo jedna lczbe X(e)x nazywamy ZMIENNA

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE METODY KLASYFIKACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE METODY KLASYFIKACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska. SYSEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE MEODY KLASYFIKACJI Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dude Wydzał Eletryczny Poltechna Częstochowsa FUNKCJE FISHEROWSKA DYSKRYMINACYJNE DYSKRYMINACJA I MASZYNA LINIOWA

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84 Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i= ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej

Bardziej szczegółowo

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji. Botatytyka, 018/019 dla Fzyk Medyczej, tuda magterke etymacja etymacja średej puktowa przedzał ufośc średej rozkładu ormalego etymacja puktowa przedzałowa waracj rozkładu ormalego etymacja parametrów rozkładu

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe. INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym. Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version  WIII/1 Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12. Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e

Bardziej szczegółowo

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej --8 Wstęp do probablsty statysty Wyład. Zmee losowe ch rozłady dr hab.ż. Katarzya Zarzewsa, prof.agh, Katedra Eletro, WIET AGH Wstęp do probablsty statysty. wyład Pla: Pojęce zmeej losowej Iloścowy ops

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład

STATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)

Badania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym) Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL)

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo