Zbiory rozmyte. logika rozmyta

Transkrypt

1 Ziory rozmyte logik rozmyt

2 Rozwiąznie Fuzzy Set Theory L. Zdeh (965) Logik rozmyt i reguły rozmyte Informj którą przetwrzją ludzie zęsto (zwsze) jest niepreyzyjn, mimo to potrfimy poprwnie wnioskowć! Np. Jeśli przeszkod jest lisko to przyhmuj Co to znzy lisko, jką to m wrtość? Co to znzy przyhmuj jk rdzo mm nisnąć n hmule? Gdzie kuhrek sześć tm nie m o jeść - Ilu ekspertów tyle pomysłów n rozwiąznie prolemu

3 Przykłd. Przy jkiej temperturze mmy gorązkę?

4 Reguł rozmyt

5 Podstwy + histori 965 rok prof. Lotofil Zdeh pulikuje Fuzzy sets Ziory rozmyte próują nśldowć sposó rozumieni i postrzegni ludzi np. jehć szyko, duże drzewo (informj niepreyzyjn) prolemy w implementji w mszynh yfrowyh Rozwiąznie - wprowdzenie funkji opisująej stopień przynleżnośi elementu do zioru (trdyyjny rhunek ziorów zkłd dwuwrtośiowy stopień przynleżnośi: 0-nie nleży; -przynleży do zioru) Główne zstosownie: sterownie, wnioskownie orz systemy wspomgjąe podejmownie deyzji Rozwinięie teorii ziorów rozmytyh -> logik rozmyt rozwinięie logiki (L N ) Łuksiewiz

6 Podstwowe pojęi Zmienn lingwistyzn wielkość wejśiow, wyjśiow, zmienn stnu. Nzw zmiennej przyjmują wrtośi lingwistyzne. Przykłdy: prędkość, iśnienie, wiek Wrtość lingwistyzn jest to słowny opis wrtośi jkie przyjmuje zmienn lingwistyzn. Przykłd: szyko, wolno, duże, młe, stry, młody Przestrzeń numeryzn zmiennej ziór wrtośi numeryznyh, jki może przyjąć dn zmienn lingwistyzn Funkj przynleżnośi funkj opisują prmetr, stopień w jkim dny punkt nleży do dnego zioru

7 MF [-] Wrtość lingwistyzn, przestrzeń numeryzn zmiennej i funkj przynleżnośi Mł Wolno Brdzo szyko B. duż Szyko Średni Duż Szyiej szykos [km/h]

8 Definije Ziór rozmyty ziór w niepustej przestrzeni X definiowny przez pry: (, ( )) : X Gdzie funkj przynleżnośi definiown jko: Funkj przynleżnośi przyporządkowuje kżdemu elementowi ze zioru wrtość z przedziłu [0,], określjąą stopień przynleżnośi tego elementu do zioru. W odróżnieniu od klsyznego podejśi do teorii ziorów, gdzie mówiliśmy o funkji opisująej przyjmująej dwie wrtośi {0,}, w ziorh rozmytyh wyróżnimy trzy przypdki: ()= pełn przynleżność do zioru rozmytego, ()=0 rk przynleżnośi elementu do zioru rozmytego, 0< ()< zęśiow przynleżność elementu do zioru rozmytego : [0],

9 Metody zpisu Ziór w przestrzeni X o skońzonej lizie n elementów przedstwi się nstępująo: i` przy zym znk oznz sumę mnogośiową, opertor dzieleni nleży trktowć jko przyporządkownie elementowi i odpowidjąej mu wrtośi funkji przynleżnośi W przestrzeni o nieskońzonej lizie elementów powyższy zpis przyjmuje postć: Inną zęsto spotykną formą zpisu zioru rozmytego jest zpis skróony n ( i μ ( )/ : X i )

10 Podstwowe ziory przynleżnośi dowolny ksztłt trójkątn funkj przynleżnośi: Gussowsk funkj przynleżnośi: s 0,,, 0, ),, ; ( ep ), ; ( 0 2 >2

11 trpezow funkj przynleżnośi: sigmoidln funkj przynleżnośi: funkj przynleżnośi klsy S: d d d d d 0,,,, 0, ),,, ; ( 0 d )) ( ep( ), ; ( >2>0 >2> ;,, 2, 2 0, ),, ; ( 2 2 gdzie

12 funkj przynleżnośi klsy Z: Singleton (wrtość ostr): ;,, 2, 2 0, ),, ; ( 2 2 gdzie 0 ' 0, ', ') ; (

13 Pojęi.d. Nośnik zioru jest to ziór elementów przestrzeni X, dl któryh funkj przynleżnośi przyjmuje wrtośi dodtnie. Wysokość zioru definiown jko mksymln wrtość funkji () supp Jeśli h()=, mówimy wówzs o ziorze normlnym - w przeiwnym przypdku ziór rozmyty możemy poddć normlizji w posti: ( ) h( ) ( ) 0 Ziór pusty to tki ziór dl którego X Równość ziorów rozmytyh Ziór rozmyty równy jest ziorowi rozmytemu B, =B gdy spełnion jest zleżność X : h( ) sup ( ) ( ) ( ) X B ( ) 0

14 Zwiernie się ziorów rozmytyh Ziór rozmyty zwier się w ziorze rozmytym B, B gdy ( ) B ( ) Przeięie ziorów rozmytyh W literturze istnieje wiele definiji przeięi (ilozynu) ziorów rozmytyh. Noszą one wspólną nzwę T-norm. Ilozyn logizny ziorów rozmytyh oznz się T B. Njprostszą i njzęśiej stosowną definiją przeięi ziorów i B X jest: X B B X ( ) ( ) ( ) min ( ), ( ) B B min(,) 0

15 Sum ziorów rozmytyh Podonie jk ilozyn tk i sum ziorów rozmytyh (S-norm) i B X zostł zdefiniown n różne sposoy. Sumę ziorów rozmytyh oznzmy jko S B, njprostszym jej przedstwiielem jest operj mksimum: ) ( ), ( m ) ( ) ( ) ( B B B X m(,) 0

16 T normy T-norm powinn spełnić wrunki:. T(,)=; T(,0)=0 (Tożsmość jedynki, zerownie) 2. T(,y)=T(y,) (Przemienność) 3. u T(,y) T(u,y) (monotonizność) y r T(,y) T(,r) 4. T(,T(y,z))=T(T(,y),z) (Łązność) Przykłdy njzęśiej stosownyh T-norm: Zdeh: min(,y) lgerizn: *y Łuksiewiz: m(+y-,0) Fodor: Drstyzn: Einstin: min(, y), 0, y y min(, y), m(, y) 0, m(, y) y 2 ( y y)

17 S - normy T-norm powinn spełnić wrunki:. S(,)=; S(,0)= 2. S(,y)=S(y,) 3. u S(,y) S(u,y) y r S(,y) S(,r) 4. S(,S(y,z))=S(S(,y),z) Przykłdy njzęśiej stosownyh S-norm: Zdeh: m(,y) lgerizn: +y-*y Łuksiewiz: min(+y,) Fodor: Drstyzn: Einstin m(, y), y, y m(, y), min(, y), min(, y) 0 y y 0

18 Wnioskownie i reguły rozmyte

19 Systemy rozmyte Czysty system rozmyty: wejśie Ziór rozmyty Blok wnioskowni wyjśie Ziór rozmyty System rozmyty z lokmi rozmywni i wyostrzni We Blok rozmywni (Fzyfikj) Blok wnioskowni Blok wyostrzni (Defuzzyfikj) Wy y Bz reguł

20 Reguł rozmyt Jeżeli X jest to Y jest B Jeżeli zmienn lingwistyzn X przyjmuje wrtość lingwistyzn to zmienn lingwistyzn Y przyjmuje wrtość B Np. Jeżeli szykość jest duż to opór jest duży. Implikj rozmyt -> min(, B ) jeżeli jest Jeżeli jest to we B

21 Metody wnioskowni Reguł odrywni (modus ponendo ponens) Modus sposó Pono twierdzenie (wnioskownie stwierdzjąe przez stwierdzenie) Ponens stwierdzenie Jeżeli prwdziwe jest zdnie p i implikj p q to prwdziwe jest zdnie q [p^(p q)] q Wnioskownie stwierdzjąe przez zprzezenie (modus tollendo ponens) Tollendo usunąć p=nie p [ p^( p q)] q Wnioskownie zprzezjąe przez stwierdzenie (modus ponendo tollens) [p^(p q)] q Modus tollendo tollens Jeżeli prwdziwe s zdni q i implikj p q to prwdziwe jest zdnie p [ q^(p q)] p [ q^( q p)] p Zsd rozkłdu p q p r r q lu q r

22 Implikje rozmyte Jeżeli jest to y jest B Implikj Mmdniego: u ->B =u ()^u B (y)=min(u (), u B (y)) Implikj Lrsen u ->B =u ()u B (y) Implikj Luksiewiz u ->B =min(,-u ()+u B (y)) Implikj Kleene-Dienes u ->B =m(-u (),u B (y)) Implikj Zdeh u ->B =m(min(u (),u B (y)),-u ()) Implikj proilistyzn u ->B =min(,-u ()+u ()u B (y)) Implikj Goguen u ->B =min(, u B (y) / u ())

23 Ogóln postć reguł jeżeli to dl system MIMO R : jeżeli ( jest ) i ( 2 jest 2 ) i i ( 3 jest n ) to (y jest B ) i (y 2 jest B 2 ) i i (y m jest B p ) R i : jeżeli ( jest i ) i ( 2 jest 2i ) i i ( 3 jest ni ) to (y jest B i ) i (y 2 jest B 2i ) i i (y m jest B pi ) 2 R (i) R (i) y y 2 N R (i) y p

24 Knonizn postć reguł Postć ogóln reguły z MISO Postć knonizn R: jeżeli (( jest ) i ( 2 jest 2 )) lu (( jest 2 ) i ( 2 jest 22 )) to (y jest B ) R : jeżeli ( jest ) i ( 2 jest 2 ) to (y jest B ) R 2 : jeżeli ( jest 2 ) i ( 2 jest 22 ) to (y jest B )

25 Reguł 2 Reguł we przesłnki Konkluzj reguł 2 2 T S 2 2 T Przykłd dziłni reguł rozmytyh gregj konkluzji i defzyfikj

26 Metody defzyfikji metod środków mksimum metod pierwszego mksimum metod osttniego mksimum metod środków iężkośi y C y wyn wyn y y dy dy

27 Metod środk mksimum Pierwsze mksimum Osttnie mksimum Metod środk iężkośi

28 Modele rozmyte

29 Rodzje modeli rozmytyh Model Mmdniego JEŻELI ( około ) TO (y około B) Model Tkgi-Sugeno JEŻELI ( około ) TO y=f() Modele relyjne inne wykorzystują rozmyty rhunek relji

30 Przykłd modelu Mmdniego

31 Przykłd modelu Tkgi-Sugeno

32 Uzenie modeli rozmytyh Ręznie korzystją z wiedzy ekspert Prolem -> Trnsformj wiedzy ekspert n odpowiednie funkje przynleżnośi Uzenie n podstwie dnyh Systemy neurorozmyte -> trnsformj (interpretj) reguł systemu rozmytego do posti neuronowej Grdientowe metody uzeni (jk RBF) lgorytmy genetyzne i ewoluyjne (doór opertorów) Uzenie w opriu o lgorytm smoorgnizji Klsteryzję lgorytm RTMP

33 Struktur wrstwow systemy neurorozmyte We Wej. MF Reguł Wyj. Mf Wyostrz

34 Klsyfiktory Rozmyte Brk spójnej interpretji (L. Kunhew) fuzzy lssifier is ny lssifier whih uses fuzzy sets either during its trining or during its opertion fuzzy or possiilisti lssifier, is ny possiilisti lssifier for whih i fuzzy lssifier is fuzzy if-then inferene system ( fuzzy rules sed system) whih yields lss lel (risp or soft) for i

35 Po o rozmywć? Jedni wolą logikę (nwet rozmytą) inni rozkłdy prwdopodoieństw Sterownie w wrunkh niepewnyh nliz i przetwrznie język nturlnego Możliwość udowy reguł w opriu o lingwistyzną wiedzę ekspert Większ elstyzność reguł rozmytyh Niedokłdność dnyh ziory rozmyte drugiego rzędu

36 Logik rozmyt zy klsyzn?

37 Logik rozmyt zy klsyzn?

38 Logik rozmyt zy klsyzn? If <- then B elseif 2> then R elseif <0 then B elseif 2>0 then R elseif < then B elseif 2>- then R elseif <2 B else R

39 Przykłd if ( około -) & (2 około -) then rzej B if ( około ) & (2 około ) then rzej R

40 Ziory rozmyte II rodzju Rozmywnie ziorów rozmytyh

41 Prezentj - Mtl

42 Litertur. Piegt. Modelownie i sterownie rozmyte, OW Eit, Wrszw Łhw. Rozmyty świt ziorów, liz, relji, fktów, reguł i deyzji. OW Eit, Wrszw Ossowski S. Siei neuronowe w ujęiu lgorytmiznym, WNT Wrszw Kunhev L. Fuzzy Clssifier Design, Studies in Fuzziness nd Soft Computing, Physi-Verlg, Nuk D., Klwonn F., Kruse R. Foundtions on Neuro- Fuzzy Systems. Wiley, Chihester, 997.

43 Pytni?