GODZINOWY MODEL 6R1C DYNAMIKI CIEPLNEJ BUDYNKU

Transkrypt

1 Buildig Physics i Theory ad Practise, IN GODZINOWY MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BUDYNKU Piotr NAROWKI *, Jerzy OWA **, Maciej MIJAKOWKI *** Politechika Warszawska, Wydział Iżyierii Środowiska, Zakład Klimatyzacji i Ogrzewictwa ul. Nowowiejska 0, Warszawa * piotr.arowski@is.pw.edu.pl ** jerzy.sowa@is.pw.edu.pl *** maciej.mijakowski@is.pw.edu.pl treszczeie: W artykule przedstawioo uproszczoą metodę wyzaczaia ilości ciepła do ogrzewaia i chłodzeia budyku, zbudowaą a podstawie aalogii elektryczej modelu skupioej pojemości cieplej. Podstawą modelu ieustaloego procesu wymiay ciepła po-między budykiem a jego otoczeiem jest układ 6R, którego zachowaie się opisuje rówaie różiczkowe zwyczaje. W pracy przedstawioo metodę rozwiązaia rówaia tego modelu przy zmieych warukach brzegowych zmodyfikowaą metodą Eulera, która wraz z metodą superpozycji układu liiowego w pojedyczej chwili czasu prowadzi do rówań uproszczoej godziowej metody dyamiki cieplej budyku. W modelu 6R rozdzieloo strumieie powietrza wetylującego budyek a dwie składowe kotroloway strumień powietrza wetylacyje-go dostarczay przez system wetylacji budyku i iekotroloway strumień powietrza ifiltrującego do wętrza budyku przez jego ieszczelości. W modelu założoo, że temperatura i wilgotość względa powietrza wetylacyjego jest kotrolowaa i przygotowywaa przez cetralę klimatyzacyją, atomiast temperatura powietrza ifiltrującego do pomieszczeia jest rówa temperaturze zewętrzej. łowa kluczowe: dyamika ciepla budyku, symulacje eergetycze, model 6R, system wetylacji i klimatyzacji.. WPROWADZENIE Główym celem aalizy procesów wymiay ciepła w staach ieustaloych jest wyzaczeie zależości pozwalających a określeie rozkładu temperatury wewątrz rozpatrywaego ciała w jego bezpośredim otoczeiu w dowolej chwili czasu. harakter tych zależości wyika wyłączie z atury zjawiska i założeń, jakie będą przyjęte do jego opisu. Jeżeli przyjmiemy, że ie iteresuje as rozkład przestrzey temperatury wewątrz przegrody, przez którą przeika ciepło, wówczas opis zjawiska zakomicie się upraszcza i prowadzi do metody skupioej pojemości cieplej. Pozwala o a wyzaczeie zmieej w czasie średiej temperatury wewątrz przegrody, w warukach ieustaloej wymiay ciepła z otoczeiem. Należy pamiętać o przyjętym założeiu i stosować tę metodę tylko wtedy, gdy współczyik przewodości cieplej wewątrz ciała jest duży w porówaiu ze współczyikiem przejmowaia ciepła a jego powierzchi. Przedstawioe założeia moża przyjąć w stosuku do większości budyków, przy czym, warstwy izolacji cieplej ie zalicza się do części kostrukcyjej o dużej pojemości cieplej. Przyjmuje się, że współczyik przejmowaia ciepła a ich powierzchi przegród jest mały w porówaiu ze współczyikiem przewodości cieplej materiałów kostrukcyjych, co prowadzi do modelu skupioej pojemości cieplej całego budyku. Model te ma swój aalog elektryczy w postaci układu połączoych ze sobą sześciu rezystorów i jedego kodesatora - 6R, w którym apięcia elektrycze odpowiadają temperaturze, a prądy elektrycze strumieiom ciepła. Rozwiązaie zagadieia ieustaloego przepływu prądu w takim układzie elektryczym umożliwia wyzaczeie rówań uproszczoej metody godziowej, która służy do obliczaia godziowych wartości eergii iezbędej do ogrzewaia albo chłodzeia budyku. Metoda ta jest jedym z ajprostszych sposobów rozwiązaia zagadieia zapotrzebowaia a eergię budyku, z uwzględieiem jego dyamiki cieplej.. METODA KUPIONEJ POJEMNOŚI IEPL- NEJ I JEJ ANALOGIA ELEKTRYZNA W celu przypomieia metody skupioej pojemości cieplej rozważa się prosty przypadek, w którym ciało dozaje agłej zmiay parametrów cieplych otoczia. Przykładem, może być jak a rysuku, ogrzay kamień troa z 0

2 Narowski P., owa J., Mijakowski M. GODZINOWY MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BUDYNKU wrzucoy do wody lub przegroda budyku poddaa zmiaie temperatury powietrza zewętrzego. Zakładając dużą wartość współczyika prze-wodzeia ciepła wewątrz ciała oraz małą wartość współczyika przejmowaia ciepła a jego powierzchi, moża założyć, że zmiaa temperatury we wętrzu ciała jest iewielka. Przyjmuje się, że temperatura początkowa ciała T0 jest jedakowa w całej objętości ciała i jest większa iż temperatura otoczeia, w którym to ciało się zalazło T < T0 w początkowej chwili czasu t 0. iało będzie stygło w czasie t > 0 do mometu, aż osiągie temperaturę swojego otoczeia T. Zmiaa temperatury wewątrz ciała jest spowodowaa wymiaą ciepła między powierzchią zewętrzą ciała a jego otoczeiem. T 0 t < 0 T T 0 Zgodie z pierwszą zasadą termodyamiki ilość eergii Q dostarczoej do ciała o masie m i cieple właściwym przy stałej objętości c v, które ie wykouje pracy zewętrzej, rówa jest zmiaie w czasie t jego eergii wewętrzej U: Q du d [ mc ( T T ] v mc v dt. ( Ilość ciepła przejmowaa a powierzchi ciała rówa jest iloczyowi współczyika przejmowaia ciepła h, pola powierzchi ciała A s oraz różicy temperatury T pomiędzy wętrzem ciała i jego otoczeiem T : Q ( T ha T s s. (3 Wstawiając rówaia ( i (3 do rówaia bilasu eergii ( otrzymuje się zależość: T < T 0 Q T (t Q s t 0 T T ( t mc dt ( T ha T v s. (4 Rys.. Przykład agłej zmiay parametrów otoczeia ciała. Fig.. Example of sudde chage of eviromet parameters. Z prawa Fouriera wyika, że przy braku różicy temperatury przewodość ciepla materiału dąży do ieskończoości, co w rzeczywistości igdy ie ma miejsca. Jedak właśie to założeie przy małych wartościach współczyika przejmowaia ciepła a powierzchi ciała jest istotą metody skupioej pojemości cieplej. łowo skupioa jest tu a miejscu, gdyż ozacza, że cała masa ciała skupioa jest w jedym pukcie. Zika zmiea przestrzea, a więc zika gradiet temperatury wewątrz ciała. Po przyjęciu powyższych założeń, ie jest koiecze rozważaie zjawiska przewodzeia ciepła wewątrz ciała, a zjawisko wymiay ciepła między ciałem a jego otoczeiem w staie ieustaloym sprowadza się do bilasu eergii a jego powierzchi. W rozważaym przypadku zmiaa eergii wewętrzej stygącego ciała rówa jest ciepłu przejmowaemu a jego powierzchi, co moża zapisać w postaci rówaia: Q Q s. ( Po wprowadzeiu pojęcia potecjału temperatury jako różicy pomiędzy temperaturą ciała a temperaturą odiesieia (może to być a przykład pukt zero dowolej skali termometryczej lub temperatura otoczeia ciała: i zauważeiu, że T T (5 d dt moża zapisać: d ρ Vcv has, (6 gdzie V jest objętością ciała, a ρ jego gęstością. Iloczy gęstości, objętości i ciepła właściwego jest pojemością cieplą ciała, atomiast iloczy współczyika przejmowaia ciepła h i pola powierzchi zewętrzej jest przewodością (koduktacją cieplą azywaą także współczyikiem strat ciepła. Odwrotość przewodości cieplej to oporość ciepla R. W związku z tym rówaie (6 moża zapisać w postaci: d, (7 troa z 0

3 d. R (8 Istieje aalogia rówaia (6 w teorii obwodów elektryczych. Odpowiedikiem procesu wymiay ciepła między ciałem a jego otoczeiem, w metodzie skupioej pojemości cieplej, jest przepływ prądu elektryczego w układzie złożoym z rezystora i kodesatora przedstawioy a rysuku. Układ taki azywa się czwórikiem R i jest to filtr doloprzepustowy, który tłumi wymuszeia okresowe o częstotliwościach większych iż częstotliwość graicza f c. πr I R R V V U U I Rys.. zwórik R. Fig.. Low-pass R filter. V gd Zgodie z prawem Ohma spadek apięcia elektryczego U R U - U a oporze rówy jest iloczyowi oporu elektryczego R i atężeia prądu elektryczego I, który płyie przez te opór. W przypadku apięcia zmieego prawo Ohma moża zapisać: U I ( t I ( t R (9 R R padek apięcia a oporze R moża wyrazić w postaci różicy potecjałów V względem potecjału ziemi V gd 0 a jego zaciskach: U R( t U ( t U( t ( V Vgd ( t ( V Vgd ( t V ( t V ( t. (0 Rówaie (9 moża zapisać w postaci: V ( R R t V ( t I ( t. ( Z defiicji pojemości elektryczej wyika, że ładuek elektryczy Q zgromadzoy w kodesatorze o pojemości elektryczej jest rówy iloczyowi jego pojemości i apięcia elektryczego U a jego zaciskach. W wypadku apięcia zmieego a zaciskach kodesatora moża zmiey ładuek elektryczy zgromadzoy w kodesatorze zapisać w postaci rówaia: Q( t U ( t. ( Po zapisaiu apięcia U a kodesatorze w postaci różicy potecjałów a jego okładkach rówaie ( przyjmuje postać: Q t ( V ( t V. (3 ( gd Korzystając z defiicji prądu elektryczego zmieego w czasie dq I ( t prąd elektryczy ładowaia i rozładowaia kodesatora będzie wyosił: I dv ( t [ ( V ( t V ]. dq( t d t gd (4 ( Z pierwszego prawa Kirchoffa o obwodach elektryczych wyika, że algebraicza suma prądów w węźle układu jest rówa zero. uma prądów dopływających do węzła, w którym połączoy jest rezystor i kodesator wyosi: I R ( t I ( t I ( t 0. (5 Po wstawieiu do powyższego rówaia wyrażeń opisujących prądy płyące przez rezystor i kodesator otrzymuje się rówaie różiczkowe: V ( t V ( t dv ( t I( t 0. R (6 Przyjmując, że prąd I (t w dowolej chwili czasu jest rówy zero, co ozacza brak połączeia zacisku z jakimkolwiek iym elemetem, oraz przyjmując, że potecjał V (t V gd, (zwarcie do zera otrzymuje się rówaie: dv ( t V ( t. (7 R troa 3 z 0

4 Narowski P., owa J., Mijakowski M. GODZINOWY MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BUDYNKU Rówaie (7 jest aalogicze do rówaia (8 i opisuje proces rozładowywaia kodesatora o pojemości aładowaego do apięcia początkowego V(0 V 0 przez rezystor o oporze R. Idetyczy związek ilościowy opisuje proces stygięcia rozgrzaego ciała o skupioej pojemości cieplej w otoczeiu o temperaturze iższej iż temperatura ciała. 3. JEDNOWĘZŁOWY MODEL KUPIONEJ PO- JEMNOŚI IEPLNEJ BUDYNKU W jedowęzłowym modelu cieplym budyku zakłada się, że cały budyek staowi jedo ciało o skupioej pojemości cieplej. Przyjęcie tego założeia powoduje, że wymiaa ciepła budyku z otoczeiem jest aalogicza do stygącego ciała przedstawioego w poprzediej części i opisywaa jest tymi samymi rówaiami. W ajprostszym wypadku wszystkie części budyku staowią jedą zwartą całość, którą przedstawia się w postaci skupioej pojemości cieplej. Opór przeikaia ciepła R przez powłokę zewętrzą budyku jest odpowiedikiem rezystacji w obwodzie elektryczym. chemat jedowęzłowego modelu cieplego budyku przedstawioo a rysuku 3. ymbolami θ ozaczoo temperaturę w poszczególych puktach atomiast symbolem strumieie ciepła. > R R R Rys. 3. Jedowęzłowy model R budyku. Fig. 3. Oe ode R buildig model. > R Niezaa, zmiea w czasie temperatura θ zależy od zmieych w czasie wartości temperatury θ θ (t i θ θ (t oraz strumieia ciepła dostarczaego lub odbieraego w węźle (t oraz od oporów cieplych R, R i pojemości cieplej kostrukcji budyku. Zgodie z I prawem Kirchoffa w węźle schematu ależy dodać do siebie wszystkie strumieie ciepła i otrzymaą sumę przyrówać do zera: R 0. R (8 Wstawiając do rówaia (3 wyrażeia opisujące strumieie ciepła przepływające przez poszczególe gałęzie schematu uzyskuje się rówaie: R d R 0. (9 Jeżeli zamiast oporów cieplych w rówaiu (8 wstawi się przewodości cieple (współczyiki strat ciepła /R odpowiedio je przekształci, wówczas moża zapisać: d ( (. (0 Rówaie to opisuje zmiaę średiej temperatury kostrukcji budyku przy zmieych wartościach temperatury powietrza po obu jej stroach i przy zmieym strumieiu ciepła dostarczaym do wętrza kostrukcji. Jeżeli przyjmiemy, że θ jest tożsama z temperaturą powietrza zewętrzego θ e, atomiast θ jest tożsama z temperaturą powietrza wewętrzego θ i oraz strumień ciepła dostarczaego do wętrza kostrukcji budyku 0 wówczas otrzymuje się rówaie różiczkowe zwyczaje opisujące zmiaę temperatury wętrza kostrukcji θ w zależości od zmiay temperatury powietrza a zewątrz i wewątrz budyku: d ( (. ( e i Jeżeli w rówaiu (0 przyjmiemy, że θ θ θ e, czyli temperatury po obu stroach kostrukcji będą rówe temperaturze powietrza zewętrzego, co ozacza odpływ ciepła przez obie powierzchie przegrody do przestrzei zewętrzej, wówczas rówaie modelu moża zapisać zgodie z rówaiem (7 w postaci: d (. ( Jedowęzłowy model skupioej pojemości cieplej budyku zależy tylko od temperatury powietrza zewętrzego i strumieia ciepła dostarczaego do wętrza kostrukcji opisay rówaiem ( został przedstawioy a rysuku 4. Jest o szczególie przydaty, gdy ie jest zaa temperatura powietrza wewętrzego, atomiast zae są strumieie ciepła dostarczae do wętrza kostrukcji budyku. Rówaie to opisuje także wymiaę troa 4 z 0

5 ciepła ciała z wydrążoym wętrzem, połączoym z otaczającą to ciało przestrzeią. Rozwiięcie tego modelu do postaci 6R pozwala a wyzaczaie temperatury powierzchi wewętrzych przegród zewętrzych budyku oraz temperatury powietrza wewętrzego. gdzie y jest fukcją czasu t, jest metoda Eulera, która jest zaliczaa do grupy metod jawych. W metodzie tej zastępuje się pochodą fukcji ilorazem różicowym a rówaie różiczkowe (3 moża zapisać w postaci: dy y t y t f ( y, t. (4 e e > e R R Największym problemem w stosowaiu metody Eulera jest arastający błąd obliczeiowy oraz koieczość dobieraia bardzo małego przyrostu zmieej iezależej w celu zapewieia stabilości rozwiązaia. Prosta modyfikacja metody prowadzi do zwiększeia dokładości obliczeń i poprawieia stabilości algorytmu. Polega oa a przyjęciu założeia, że aproksymuje się wartość pochodej fukcji y w połowie długości przedziału τ zmieej iezależej. Wyika z tego, że wartość pochodej fukcji y jest średią arytmetyczą wartości fukcji f obliczoych dla dwóch kolejych wartości zmieej iezależej t odległych od siebie o τ: Rys. 4. Model R budyku wymieiającego ciepło z otoczeiem. Fig. 4. Buildig R heat exchage model. Zależość przedstawioa wzorem ( jest rówaiem różiczkowym zwyczajym opisującym wychładzaie lub ogrzewaie kostrukcji budyku o skupioej pojemości cieplej. Rówaie to ie zależy od potecjału θ e, co ozacza, że szybkość zmiay temperatury kostrukcji budyku zależy jedyie od jej chwilowej temperatury oraz od pojemości cieplej i przewodości cieplych i. 4. ROZWIĄZANIE NUMERYZNE JEDNOWĘ- ZŁOWEGO MODELU BUDYNKU O KUPIO- NEJ POJEMNOŚI IEPLNEJ Istieje wiele metod rozwiązywaia rówań różiczkowych zwyczajych. Jedym z ajbardziej ogólych sposobów klasyfikacji tych metod jest podział a metody aalitycze i metody umerycze. Najprostszą metodą umeryczą pozwalającą a rozwiązaie rówia różiczkowego zwyczajego typu: dy ( y t, t, y( t 0 y, f (3 ( 0 dy y y t t [ f ( y, t f ( y, t ]. (5 Do rozwiązaia rówaia różiczkowego ( jedowęzłowego modelu budyku o skupioej pojemości cieplej zastosowaa będzie zmodyfikowaa metoda Eulera. Wykorzystując rówaie (5 moża zapisać: τ [( ( ( ( ]. Po przekształceiu powyższego rówaia otrzymuje się: τ [( ( ]. (6 (7 W rówaiu (7 symbol θ ozacza iewiadomą wartość temperatury kostrukcji budyku w chwili astępej, atomiast θ jest zaą wartością tej temperatury w chwili bieżącej. Wyzaczeie wartości θ możliwe jest po przekształceiu rówaia (7, co prowadzi do zależości: ( τ. (8 ( τ troa 5 z 0

6 Narowski P., owa J., Mijakowski M. GODZINOWY MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BUDYNKU Przyjmując do obliczeń przyrost czasu τ rówy jedej godziie, czyli 3600 s, co w przypadku dyamiki cieplej budyków jest wartością stadardową, otrzymuje się rówaie umożliwiające określeie temperatury kostrukcji budyku w kolejych godziach, a podstawie temperatury kostrukcji w chwili poprzediej: ( / ,5( / ,5(. (9 Model 6R budyku o skupioej pojemości cieplej przedstawioy a rysuku 5 zbudoway jest a podstawie modelu R przedstawioy w poprzediej pracy. W modelu tym, opór cieply R zastępuje się pięcioma oporami cieplymi, które pozwalają a wyzaczeie dodatkowych wartości temperatury oraz doprowadzeie strumiei ciepła do przestrzei wewętrzej budyku. W opisywaym modelu 6R wszystkie wartości potecjałów, prądów elektryczych i rezystacji ozaczoo symbolami używaymi w wymiaie ciepła i fizyce budyków. Wartości potecjałów węzłowych θ ozaczają: θ e temperatura powietrza zewętrzego, θ v temperatura powietrza wetylacyjego, θ m temperatura kostrukcji budyku w modelu skupioej pojemości cieplej, θ s temperatura powierzchi wewętrzej kostrukcji budyku i θ i temperatura powietrza wewętrzego. Rezystacje R obwodu odpowiadają oporom cieplym: R Tr opór przeikaia ciepła przez kostrukcję budyku po stroie zewętrzej, R Tr opór przeikaia ciepła przez kostrukcję budyku po stroie wewętrzej, R opór przejmowaia ciepła do powietrza wewętrzego do powierzchi wewętrzej budyku, R W opór przeikaia ciepła przez oka i drzwi w powłoce zewętrzej budyku, R opór cieply powietrza wetylacyjego oraz R opór cieply powietrza ifiltrującego do wętrza budyku. Zwiększeie dokładości i stabilości rozwiązaia za pomocą rówaia (9 uzyskuje za pomocą metody raka-nicholsoa przyjmując do dalszych obliczeń wartość temperatury w chwili, jako średią arytmetyczą z wyzaczoej wartości temperatury w chwili oraz z poprzediego kroku obliczeiowego. Po wyzaczeiu temperatury θ ze wzoru (9 wyzacza się ową bieżącą wartość temperatury według zależości: R R R W e W < < e < < < m v s i i (, (30 którą przyjmuje się rówą θ w kolejym kroku obliczeń. Zależości (9 i (30 staowią jądro obliczeiowe jedowęzłowej metody skupioej pojemości cieplej budyku. Modyfikując schemat tej metody przedstawioy a rysuku 4 moża uzyskać zależości między temperaturą kostrukcji budyku, temperaturą powierzchi wewętrzych przegród i temperaturą powietrza w jego wętrzu. 5. MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BU- DYNKU v Gm R Tr R Tr e m Tr Tr E s R Gs i Gi Rys. 5. Model 6R budyku wymieiającego ciepło z otoczeiem. Fig. 5. Buildig 6R heat exchage model. Prądy elektrycze przedstawioe a schemacie modelu odpowiadają: Tr strumieiowi ciepła przepływającemu przez powierzchię zewętrzą ieprzezroczystych przegród zewętrzych, Tr strumieiowi ciepła przepływającego przez powierzchię wewętrzą ieprzezroczystych przegród zewętrzych, strumieiowi ciepła akumulowaego lub oddawaego przez kostrukcję budyku, strumieiowi ciepła przejmowaego a powierzchi wewętrzej kostrukcji budyku, W strumieiowi ciepła przeikającego przez oka i drzwi powłoki zewętrzej budyku, strumieiowi ciepła powietrza wetylacyjego, strumieiowi ciepła powietrza ifiltrującego do wętrza budyku. Na schemacie przedstawioo cztery ideale źródła prądu odpowiadające strumieiom ciepła dostarczaych do poszczególych węzłów oraz dwa ideale źródła apięcia odpowiadające temperaturze powietrza zewętrzego θ e oraz temperaturze powietrza wetylacyjego θ v. troa 6 z 0

7 Źródło prądu o wartości odpowiada strumieiowi ciepła lub chłodu dostarczaego do wętrza budyku, źródło prądu Gi odpowiada strumieiowi zysków ciepła promieiowaia słoeczego i wewętrzych zysków ciepła budyku wchodzących w skład bilasu eergii powietrza wewętrzego, źródło prądu Gs odpowiada strumieiowi zysków ciepła promieiowaia słoeczego i wewętrzych zysków ciepła budyku wchodzących w skład bilasu eergii a powierzchi wewętrzej kostrukcji, atomiast prąd źródłowy Gm jest odpowiedikiem strumieia eergii promieiowaia słoeczego i wewętrzych zysków ciepła akumulowaych przez przegrody ieprzezroczyste budyku. Temperatura powietrza zewętrzego θ e modelowaa jest za pomocą idealego źródła apięcia o tym potecjale, atomiast temperatura powietrza wetylacyjego modelowaa jest źródłem apięcia o potecjale θ v. R każde z tych wymuszeń z osoba. Zastosowaie tej zasady umożliwia wyzaczeie prądów gałęziowych w układzie zasilaym, iezależie z każdego źródła prądu albo źródła apięcia. Algebraicza suma prądów w każdej gałęzi układu, wymuszoych działaiem pojedyczych źródeł, jest prądem gałęziowym w układzie zasilaym wszystkimi źródłami jedocześie. Wyzaczając schematy zastępcze układu z pojedyczym źródłem eergii, wszystkie pozostałe źródła prądu zastępuje się przerwą, a źródła apięcia zwarciem. Kodesator układu moża traktować w pojedyczym kroku czasowym jak ideale źródło apięcia θ m. Korzystając z zasady superpozycji, wyzacza się zastępczy schemat układu 6R dla źródła apięcia, jakim jest kodesator, odciając wszystkie źródła prądowe od układu i zwierając do zera pozostałe źródła apięciowe. Układ z pojedyczym źródłem apięcia w postaci aładowaego kodesatora przedstawioo a rysuku 6. R R W W Prąd mtot dopływający do węzła o potecjale θ m jest sumą prądów dopływających do tego węzła wywołaymi wszystkimi pozostałymi źródłami prądowymi i apięciowymi. Redukcja układu 6R do układu R sprowadza się do wyzaczaia zastępczej przewodości i określeia zastępczego źródła prądu mtot (rysuek 4. W mtot R Tr m R Tr Tr Tr R Tr Rys. 6. Model 6R z pojedyczym źródłem apięciowym w postaci kodesatora. Fig. 6. Model 6R with electric capacitor as sigle voltage source. Wszystkie prądy w opisywaym układzie, zarówo źródłowe, jak i przepływające w poszczególych gałęziach układu, są zmiee w czasie. Przyjęty umeryczy sposób rozwiązaia układu dyamiczego pozwala traktować go w pojedyczym kroku czasowym τ, jak układ liiowy o stałych potecjałach we wszystkich jego węzłach oraz o stałych atężeiach prądów gałęziowych i źródłowych. Zasada superpozycji liiowych obwodów elektryczych mówi, że odpowiedź obwodu a jedoczese działaie kilku wymuszeń rówa jest sumie odpowiedzi a Rys. 7. chemat połączeń oporów po stroie wewętrzej modelu budyku. Fig. 6. Electrical circuit of resistors represetig iteral heat paths i buildig. Po przekształceiu układu otrzymuje się odpowiedik przewodości układu R, w postaci układu pięciu rezystorów, których schemat połączeń został przedstawioy a rysuku 7. Zastępczą przewodość tego układu wyzacza się a podstawie wzorów dla oporów połączoych rówolegle i szeregowo. Wprowadzając przewodości zastępcze: Z Z, (3, (3 troa 7 z 0

8 Narowski P., owa J., Mijakowski M. GODZINOWY MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BUDYNKU oraz (33 Z3 Z Z Z 4 Z3 W, (34 moża wyzaczyć przewodość zastępczą układu oporików przedstawioych a rysuku 7 w postaci wyrażeia: Z5 Tr Z4, (35 Tr Z4 Przewodość zastępcza Z5 jest odpowiedikiem współczyika strat ciepła po stroie wewętrzej w modelu budyku R przedstawioego a rysuku 4, co moża zapisać Z5. Wyzaczeie zastępczego źródła prądu mtot płyącego do węzła o potecjale θ dla schematu R polega a obliczeiu sumy prądów wpływających do węzła o potecjale θ m w układzie 6R zasilaych czterema źródłami prądowymi, Gi, Gs, Gm oraz dwoma źródłami apięciowymi o potecjale θ v i θ e przy zwartym do zera źródle apięciowym w postaci kodesatora. Wartość potecjału węzła θ m, w chwili bieżącej wyzacza się a podstawie potecjału θ m, w chwili poprzediej dla modelu 6R według zależości: m, ( / ,5( Tr Z5 / ,5( m, mtot. (36 R Tr Tr R W Tr W Z5 Zastępczy układ elektryczy prądu stałego w pojedyczym przedziale czasowym τ przedstawioo a rysuku 8. Na schemacie tym wszystkie źródła prądu oraz źródła apięcia mają ustaloe chwilowe wartości prądu i apięcia. Wykorzystując zasadę superpozycji układów liiowych, moża wyzaczyć całkowity prąd dopływający do węzła θ m w postaci sumy algebraiczej prądu źródłowego Gm oraz prądów gałęziowych z oporościami R Tr i R Tr, wymuszoych przez źródła układu czyli: Gm Tr Tr. Wartość prądu Tr moża wyzaczyć a podstawie zastępczego źródła prądu podłączoego do węzła θ s, którego atężeie wyzacza się zerując potecjał θ s (zwarcie do masy i obliczając prądy gałęziowe pochodzące od źródeł Gi i, θ v oraz θ e. chemat zastępczy układu przy zwartym do zera węźle θ s i zasilaym tylko źródłami prądu Gi i przedstawioo a rysuku 9. Wartość prądu dopływającego do węzła θ s w układzie zastępczym jest rówa: Z ( ( G i Gi Gi. (37 Wartość prądu dopływającego do węzła θ s w układzie zastępczym, przedstawioym a rysuku 0, zasilaym tylko źródłem apięcia θ v jest rówa: ( v Z v ( ( v. (38 W przypadku układu zastępczego przedstawioego a rysuku wartość prądu dopływającego do węzła θ s zasilaym tylko źródłem apięcia θ e jest rówa: m Gm R Tr Tr s Gs R i R R v e E (. Z W e ( ( ( e e we (39 Gi s i Rys. 8. Zastępczy schemat obwodu prądu stałego układu 6R dla pojedyczego kroku czasowego Fig. 8. ubstitute 6R D circuit for oe time step. Gi Rys. 9. chemat zastępczy zasilay źródłami prądu Gi i. Fig. 9. ubstitute D circuit powered by Gi ad curret sources. troa 8 z 0

9 s v Wartość prądu gałęziowego Tr dopływającego do węzła θ m zasilaego tylko źródłem apięciowym o potecjale θ e wyosi:, (4 ( e Tr Tr e Rys. 0. chemat zastępczy zasilay źródłem apięcia θ v. Fig. 0. ubstitute D circuit powered by θ v voltage source. s W W e E Rys.. chemat zastępczy zasilay źródłem apięcia θ e. Fig.. ubstitute D circuit powered by θ e voltage source. chemat zastępczy układu przy zwartym do zera węźle θ m i zasilaym zastępczym źródłem prądu w węźle θ s przedstawioo a rysuku. Wartość prądu dopływającego do węzła θ m w układzie tym jest rówa: Tr ( G i ( v ( e Tr G s Tr Z4 tot, Z5 tot,. Z4 m Tr Tr s Gs ( v W W ( Gi ( e (40 Rys.. chemat zastępczy przy zwartym węźle θ m i zasilaym zastępczym źródłem prądu w węźle θ s. Fig.. ubstitute D circuit powered by curret sources i θ s ode. atomiast przy zasilaiu pozostałymi źródłami prądu lub apięcia wyosi 0. umarycza wartość prądu mtot dopływającego do węzła θ m w wyiku działaia wszystkich źródeł prądowych i apięciowych oprócz źródła apięciowego w postaci kodesatora wyosi: i ( s mtot Gm Tr e Z5 G G Z Z4 v Z W e Po wyzaczeiu prądów płyących w poszczególych gałęziach układu 6R zasilaych wszystkimi źródłami prądowymi i apięciowymi, a podstawie rówaia wikającego z I prawa Kirchoffa, moża wyzaczyć wartość potecjału θ s dla węzła: s ( ( ( ( Tr s m Z W s e Z s v ( i Z Gs G Tr m ( Z ( Z W e Tr Z v Z4 Gs Gi (43 (44 Aalogiczie wyzacza się wartość potecjału θ i po wyzaczeiu wartości potecjału θ s, korzystając z I prawa Kirchoffa: ( ( ( i s i e i v Gi (45 s e v G i i (46 Model 6R budyku wymieiającego ciepło z otoczeiem umożliwia wyzaczeie wartości temperatury kostrukcji budyku θ m, temperatury powierzchi wewętrzych przegród będących w bezpośredim kotakcie z powietrzem wewętrzym θs oraz temperatury powietrza wewętrzego θ i, a podstawie zmieej w czasie temperatury powietrza zewętrzego θ e i powietrza wetylującego budyek θ v oraz zmieych strumiei ciepła, Gi, Gs i Gm doprowadzoych do poszczególych węzłów modelu. troa 9 z 0

10 Narowski P., owa J., Mijakowski M. GODZINOWY MODEL 6R DYNAMIKI IEPLNEJ BUDYNKU 6. ZAKOŃZENIE W artykule przedstawioo uproszczoą metodę godziową służącą do wyzaczaia ilości ciepła do ogrzewaia i chłodzeia budyku w staach ieustaloych. Metoda wykorzystuje model 6R budyku, który został zbudoway a podstawie aalogii elektryczej modelu skupioej pojemości cieplej. Opisay model jest rozwiięciem zaego powszechie modelu 5R, w którym rozdzieloo współczyik strat ciepła przez wetylację a dwa składiki strumień powietrza wetylacyjego poddawaego obróbce cieplej oraz strumień powietrza zewętrzego ifiltrującego do wętrza budyku. Przedstawioy model traktuje cały budyek jak jedorode ciało o zaej pojemości cieplej i zaych współczyikach przeikaia ciepła po jego stroie zewętrzej i wewętrzej. Przyjęte założeia pozwoliły a skostruowaie prostego modelu wymiay ciepła między całym budykiem a jego otoczeiem. Model te jest opisay rówaiem różiczkowym zwyczajym. Rozwiązaie umerycze rówaia różiczkowego modelu zmodyfikowaą metodą Eulera, zaliczaą do metod jawych, z wykorzystaiem metody raka - Nicholsoa w celu poprawy stabilości rozwiązaia, prowadzi do rówań uproszczoej metody godziowej. Opisaa metoda stosowaa jest w uproszczoych aalizach eergetyczych budyków z uwzględieiem ich dyamiki cieplej. Jest to jeda z ajprostszych metod dyamiczych, biorących pod uwagę pojemość cieplą budyku i służy do wyzaczaia chwilowych mocy cieplych i eergii użyteczej do ogrzewaia albo chłodzeia budyku w zmieych warukach meteorologiczych. Wyzaczeie chwilowych strumiei eergii cieplej albo chłodiczej dostarczaej do budyku przy zmieej temperaturze powietrza zewętrzego i zmieym strumieiu eergii promieiowaia słoeczego, promieiowaia długofalowego i eergii wewętrzych zysków ciepła, umożliwia określaie roczego zapotrzebowaia a eergię do ogrzewaia i chłodzeia budyku. Wielkości te są iezbęde do wyzaczeia charakterystyki eergetyczej budyku służącej do określeia jego klasy eergetyczej, podawaej w świadectwie eergetyczym. Zastosowaie rozwiązaia pozwalającego a rozdzieleie strumiei wetylacyjych a strumień wetylacji kotrolowaej i ifiltrację powietrza do wętrza budyku umożliwi dokładiejsze wykoywaie obliczeń roczego zapotrzebowaia a ciepło i chłód dla budyku. Artykuł został przygotoway w ramach projektu TEP PL0077 realizowaego w ramach wsparcia udzieloego przez Isladię, Liechtestei i Norwegię poprzez dofiasowaie ze środków Mechaizmu Fiasowego Europejskiego Obszaru Gospodarczego oraz Norweskiego Mechaizmu Fiasowego. OURLY MODEL 6R OF BUILDING EAT DYNAMI ummary: This paper presets the basis of 6R model of buildig heat exchage with the outer eviromet. The lumped capacitace method used for whole buildig is utilized to get equatios of simply exteded 5R to 6R hour method. The vetilatio heat trasfer coefficiet was divided to cotrolled vetilatio heat trasfer coefficiet ad ifiltratio heat trasfer coefficiet. This exteded method ca be used for more precise calculatio of heat ad cool demad for buildig ad is adopted i Polad for determiig eergy performace class for oresidetial buildigs as required by EU Eergy Performace Buildig Directive. The article was writte due to the support of TEP Project PL 0077 fiaced by a grat from Icelad, Liechtestei ad Norway through the EEA Fiacial Mechaism ad the Norwegia Fiacial Mechaism. Literatura [] IO-FDI 3790: Eergy performace of buildigs - alculatio of eergy use for space heatig ad coolig, IO/T 63/, 007 [] PN-EN IO 3789: Właściwości cieple budyków - Współczyik strat ciepła przez przeikaie. Metoda obliczaia, PKN, 00 [3] F. Icropera, D. Dett: Fudametals of eat ad Mass Trasfer, 5th Editio, J. Wiley & os, 00 [4] J. Welty, h. Wicks, R. Wilso, G. Rorrer: Fudametals of Mometum, eat ad Mass Trasfer, 4th Editio, J. Wiley & os, 00 [5]. Gerald, P. Wheatley: Applied Numerical Aalysis, 7th Editio, Pearso Addiso Wesley, 004 [6] Praca zbiorowa: Elektrotechika i elektroika dla ieelektryków, Wydaie piąte, WNT, 999 [7] Narowski P. Uproszczoa metoda godziowa obliczaia ilości ciepła do ogrzewaia i chłodzeia budyków, iepłowictwo, Ogrzewictwo, Wetylacja, Nr ( , str. 7 troa 0 z 0