Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 1 Mikroskopia sił atomowych (AFM) - opis drgań ostrza

Transkrypt

1 Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 1 Mikroskopia sił atomowych (AFM) - opis drgań ostrza Jan Kaczmarczyk, Szymon Godlewski, Marcin Zagórski Wprowadzenie Mikroskopia sił atomowych (Atomic Force Microscopy - AFM) jest techniką badania powierzchni dającą obraz o atomowej rozdzielczości [1]. AFM został stworzony w 1986 roku przez Binninga, Gerbera i Quate. Wykorzystuje się w niej drgające nad powierzchnią ostrze (tzw. kantilewer). Pomiar oddziaływania ostrza z próbką daje informacje o topologii powierzchni próbki (patrz rys. 1). W naszym instytucie badaniami doświadczalnymi przy użyciu mikroskopii AFM, jak i teoretycznym jej opisem zajmuje się Zakład Fizyki Nanostruktur i Nanotechnologii. 2 Sformułowanie problemu Chcemy obliczyć, jak w obecności powierzchni zmienia się częstotliwość drgań ostrza. Jest to kluczowa sprawa, ponieważ właśnie zmianę częstotliwości drgań mierzy się w eksperymencie. Zagadnienie to zostało rozwiązane numerycznie [4], jednak analityczna zależność zmiany częstotliwości drgań f od parametrów eksperymentalnych jest ważna dla zrozumienia zjawiska. Problem sprowadza się do rozwiązania zagadnienia drgającego ciała w obecności nietrywialnych oddziaływań z powierzchnią. Problem ten został rozwiązany na kilka sposobów [2, 3], wykorzystujących równania ruchu Newtona, metodę Hamiltona-Jacobiego, czy też rachunek zaburzeń. Tutaj skupimy się na rozwiązaniu podanym w pracach [1, 2], bo jest najprostsze :-). Przed przystąpieniem do rozwiązywania zastanówcie się, ilu wymiarowy jest to problem i do jakiego o wiele prostszego problemu jest podobny. Zad. 1. Jakie przyjąć założenia? Opis przypadku nieoddziałującego. Spróbuj samemu sformułować i rozwiązać (podać równania ruchu, wraz z częstotliwością) problem ostrza mikroskopu drgającego w próżni. Wykorzystaj: a) zasady dynamiki Newtona, b) formalizm Lagrange a, c) formalizm Hamiltona. 1

2 Rysunek 1: Schemat mikroskopu AFM oraz uzyskany przy jego pomocy obraz topografii próbki krzemu. Rysunki zaczerpnięte ze stron nano.tm.agilent.com/ oraz Rysunek 2: Oznaczenia. Rysunek zaczerpnięto z pracy [1]. Zad. 2. Opis najprostszego przypadku oddziałującego. Zastanów się, w jakim polu sił rozwiązanie problemu bedzie najprostsze. Podaj przybliżony wzór na zmianę częstotliwości w tym przypadku (zakładając, że pole sił jest bardzo słabe). Zad. 3. Pełny opis oddziaływań. Rozwiąż równania ruchu Newtona, przyjmując oznaczenia, jak na rys. 2 (µ µ oznacza masę efektywną kantilewera, natomiast k to jego stała spreżystości) µ d2 q dt 2 = kq + F ts (q ). (1) Korzystając ze zwiazków ortogonalności (udowodnić!) 2π cos(mx) cos(lx) dx = πδ ml (1 + δ m ) (2) pokaż, że przy słabym zaburzeniu (q (t) A cos(2πft), gdzie f = f + f, f = 1 k ) w 2π µ pierwszym rzędzie spełniona jest relacja 2

3 1/f f = f 2 F ts (q ) cos(2πft) dt = f ka ka F ts(q ) q. (3) 2 gdzie < F ts (q ) q >= 1 T F ts(q ) q dt jest średnią wartością F ts (q ) q w trakcie całego cyklu drgań. Następnie wyprowadź ogólne rozwiązanie równania (1) korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Zad. 4. (5 pkt.) Analiza przypadków szczególnych. Siła z jaką powierzchnia działa na kantilewer może być w wielu przypadkach przybliżona przez zależność odwrotności potęgowej F ts (q) = Cq n, (4) gdzie q(t) = A + d + q (t), q(t) jest więc odległością ostrze - powierzchnia, natomiast d jest najmniejszą odległością ostrze-powierzchnia w trakcie drgań. Korzystając ze wzoru (3) rozwiąż zagadnienie ruchu kantilewera przy sile (4) w dwóch szczególnych przypadkach: a) (2 pkt.) małej amplitudy A d, b) (3 pkt.) dużej amplitudy A d. Zad. 5. (5 pkt.) Alternatywna postać wzoru na zmianę częstości drgań. Pokaż, że wzór (3) można przedstawić w następującej postaci gdzie < k ts > f = f, (5) 2k < k ts > = 1 A π k ts (q ) A 2 q 2 dq, 2 A2 A (6) k ts (q ) = q F ts(q ). (7) Literatura [1] Giessibl, F. J., Advances in atomic force microscopy. Rev. Mod. Phys (23). Liczba cytowań: 19. [2] Giessibl, F. J., Forces and frequency shifts in atomic-resolution dynamic-force microscopy. Phys. Rev. B 56, 161 (1997). Liczba cytowań: 136. [3] Sasaki, N. et al. Theory for the effect of the tip-surface interaction potential on atomic resolution in forced vibration sustem of noncontact AFM. Applied Surface Science 14, 339 (1999). Liczba cytowań: 48. [4] Anczykowski, B. et al. Cantilever dynamics in quasinoncontact force microscopy: Spectroscopic aspects. Phys. Rev. B 53, (1996). 3

4 3 Rozwiązania Zad. 1. Przypadek nieoddziałujący jest zwykle punktem wyjścia do rozwiązania problemu oddziałującego. Często od założeń przyjętych na początku rozwiązywania zależy, czy uda się dostać jakiekolwiek wyniki. Dlatego tej części rozwiązywania zadań należy poświęcić szczególną uwagę. Zakładamy, że drgające ostrze mikroskopu (kantilewer) może być opisane przez masę zredukowaną µ µ oraz efektywną stałą sprężystości k eff = k. Takie założenie jest dosyć nietrywialne, ponieważ skomplikowany układ (kantilewer) sprowadzamy w zasadzie do drgającej sprężyny. Równanie opisujące problem drgającego ostrza nieoddziałującego z powierzchnią to µ q + kq =. (8) Jego rozwiązaniem są funkcje harmoniczne q (t) = A cos(ω t), gdzie ω = k/µ. Punkty b) i c) są elementarne, dlatego nie będziemy ich tutaj omawiać. Zad. 2. Po rozwiązaniu przypadku nieoddziałującego kolejnym krokiem może być rozwiązanie najprostszego z możliwych przypadków oddziałujących. Często takie rozwiązanie jest już wystarczające do zrozumienia zachodzących zjawisk. Przykładowo, Leon Cooper w swojej przełomowej pracy o parze oddziałujących elektronów wybrał najprostszy potencjał oddziaływania, jaki tylko się dało i pokazał, że taki potencjał prowadzi do stanu związanego pary elektronów, a w konekwencji do zjawiska nadprzewodnictwa. To odkrycie było przełomowe i doprowadziło niedługo później do powstania teorii BCS (nagroda Nobla w 1972). W naszym przypadku najprostsze matematycznie równanie daje siła o stałym gradiencie k ts = F ts / q, a w konsekwencji F ts (q ) = k ts q. Wówczas równanie opisujące ruch ostrza przedstawia się następująco µ q + kq = k ts q. (9) Równanie to ma taką samą postać, jak dla przypadku nieoddziałującego, z tym że zamiast k występuje tutaj k+k ts. Otrzymujemy zatem takie same równania ruchu ze zmodyfikowaną częstością ω = (k + k ts )/µ. Zmianę częstości przy słabym oddziaływaniu (k ts k) możemy zapisać jako k ω = ω ts. 2k Zad. 3. Okazuje się, że założenie o stałym gradiencie siły podłoże-ostrze nie daje wystarczająco dobrego opisu. Trzeba więc rozwiązać przypadek ogólniejszy. Przejdziemy tutaj od razu do rozwiązania z wykorzystaniem rozwinięcia funkcji w szereg. Równanie µ d2 q dt 2 = kq + F ts (q ) (1) rozwiązujemy więc rozwijając funkcję q (t) w szereg Fouriera o częstości podstawowej ω = 2πf 4

5 q (t) = a n cos(nωt). (11) n= Przedstawiając funkcję q (t) w ten sposób nie tracimy na ogólności. Podstawiając do równania (1) otrzymujemy a n cos(nωt)[k µ(nω) 2 ] = F ts (q ). (12) n Następnie mnożymy powyższe równanie przez cos(mωt) i całkujemy obustronnie po t od t = do t = T = 2π. Taki krok jest bardzo standardowy - analogicznie przebiega na przykład wyprowadzenie ω energii wiązania pary Coopera. W wyniku otrzymujemy n Po skorzystaniu z zależności a n [k µ(nω) 2 ] cos(mωt) cos(nωt)dt = F ts (q ) cos(mωt)dt. (13) T cos(mωt) cos(nωt)dt = δ nm 2 (1 + δ n) (14) dostajemy ostateczny wynik (zmieniliśmy indeksy m n) a n [k µ(nω) 2 ] T 2 (δ n + 1) = F ts (q ) cos(nωt)dt. (15) Następnie zakładamy, zgodnie z treścią zadania, że q (t) = A cos(ωt), czyli współczynniki rozwinięcia dane są przez a n = Aδ n1. Równanie (15) przyjmuje wówczas prostą postać A(k µω 2 ) T 2 = F ts (q ) cos(ωt)dt. (16) Kolejnym założeniem jest, że częstotliwość drgań w przypadku oddziałującym nie zmienia się znacznie ω = ω + ω, ω ω. Zaniedbując przyczynki rzędu ω 2 otrzymane równanie można sprowadzić do ω = 1 AT µω Korzystając z zależności ω = 2π f, f = 1 2π F ts (q ) cos(ωt)dt. (17) k/µ oraz f = 1/T otrzymujemy ostatecznie f = f A 2 k < F ts(q ) q >, (18) gdzie < F ts (q ) q >= 1 A F T ts(q ) cos(ωt)dt jest średnią wartością F ts (q ) q w trakcie całego cyklu drgań. Jako ćwiczenie można zastanowić się nad interpretacją zerowego rzędu rachunku. Mianowicie, przeprowadzić obliczenia zakładając że q (t) = a + A cos(ωt). Co wówczas oznacza współczynnik a? 5