Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych. mgr inż. Piotr Kowalski
|
|
- Daria Jastrzębska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych mgr inż. Piotr Kowalski 9 grudnia 03
2 Wersje numer data autor opis Piotr Kowalski Rozwiązanie równania jednorodnego z zajęć (wykryty błąd na zajęciach) Piotr Kowalski Errata z zadań z równań Bernoulliego oraz Errata do zadania grupy B z wartościami własnymi zespolonymi Piotr Kowalski Rozwiązanie chyba najpaskudniejszego (tj. najpiękniejszego) równania o zmiennych rozdzielonych jakie trafiło nam się w trakcie prac domowych Piotr Kowalski Rozwiązania zadań z pierwszej pracy domowej autorstwa Wioletty Szeligowskiej Piotr Kowalski Dołączanie reszty zadań ze zmiennych rozdzielonych, zadań z równania jednorodnego, liniowego niejednorodnego. Ponadto jedno zadanie z równania zupełnego oraz dwa niejednorodne układy równań różniczkowych. W jednym z nich pojawiają się wielokrotne wartości własne i stosowana jest metoda Eulera. Dowody autorstwa Wioletty Szeligowskiej, Tomasza Walczaka oraz Piotra Kowalskiego Piotr Kowalski Dołączone zadanie z czynnika całkującego o podpowiedzianej postaci Piotr Kowalski Dołączone zadanie niejednorodnego równania falowego z rozwijaniem w szereg Fouriera Piotr Kowalski Dołączone zadanie jednorodne równania falowego autorstwa Tomasza Walczaka Piotr Kowalski Poprawka końcówki w rozwiązaniu jednorodnego problemu falowego. Błąd zgłoszony przez Annę Rozmarynowską Piotr Kowalski Poprawione rozwiązanie w problemie jednorodnym falowym. Ważny aspekt przy rozwiązywaniu w bazie cosinusów został tam wyjaśniony Piotr Kowalski Dołączone rozwiązanie w problemie niejednorodnym dyfuzji. Zadanie z ćwiczeń. Zadanie z równania Laplace a. Rozwiązania wykonane przez Ewę Kuleszę Piotr Kowalski Poprawki literówek w równaniu dyfuzji zgłoszone przez Monikę Herkt
3 Piotr Kowalski Dołączenie rozwiązania zadania z równania liniowego II rzędu autorstwa Agaty Paul Piotr Kowalski Rozwiązanie układu równań 3 na 3 z niejednorodnością i wielokrotną wartością własną autorstwa Patrycji Augostyniak i Elżbiety Ratajczyk. Zmiana układu całej pracy Piotr Kowalski Zbadanie stabilności metodą przejścia do zmiennych biegunowych, oraz poszukiwanie całek pierwszych - opis arytmetyki dla układów w postaci ilorazowej Piotr Kowalski Rozwiązanie zadania zgłoszonego przez Panią Trubowicz oraz metoda funkcji Lapunowa autorstwa Moniki Manios i Patrycji Paciorek Piotr Kowalski Poprawa kilku literówek zgłoszonych przez Pana R.Bugę. W szczególności najważniejsza dotycząca pojęcia koercywności.
4 Współautorzy pracy ˆ Patrycja Augustyniak 3 ˆ Monika Herkt ˆ Ewa Kulesza ˆ Maciej Leszczyński ˆ Monika Manios ˆ Patrycja Paciorek ˆ Agata Paul ˆ Elżbieta Ratajczyk ˆ Anna Rozmarynowska ˆ Wioletta Szeligowska ˆ Tomasz Walczak
5 Spis treści Równania różniczkowe zwyczajne 5. Proste równania różniczkowe Równanie o zmiennych rozdzielonych Niespójna dziedzina w równaniu o zmiennych rozdzielonych.. Sklejanie rozwiązania w równaniu o zmiennych rozdzielonych Równania różniczkowe jednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Równanie Bernouliego Równanie liniowe rzędu o stałych współczynnikach Układy równań różniczkowych Przypadek wartości własnych rzeczywistych Przypadek wartości własnych zespolonych Przypadek wartości własnych wielokrotnych - Metoda Eulera Układy równań różniczkowych rzędu Układy z wielokrotną wartością własną rozwiązywalne bez metody Eulera Równanie zupełne Równanie z poszukiwanym czynnikiem całkującym Równanie z poszukiwaniem czynnika o znanej postaci Analiza jakościowa równań różniczkowych zwyczajnych 4. Badanie charakteru i stabilności punktów krytycznych układów równań różniczkowych Badanie stabilności z wykorzystaniem funkcji Lapunowa Poszukiwanie całek pierwszych układów równań Arytmetyka układów równań w postaci ilorazowej Równania różniczkowe cząstkowe 5 3. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą szeregów Fouriera 5 3. Równanie dyfuzji Równanie dyfuzji niejednorodne Równanie Laplace a Równanie Laplace a jednorodne
6 Rozdział Równania różniczkowe zwyczajne. Proste równania różniczkowe Zadanie... Sprawdzić czy podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań na zadanych przedziałach. Wyznaczyć brakujące stałe dla warunków początkowych. (a) e t = e y, e y ( + y ) = na przedziale (, 0) (b) y(t) = Ce t, y + y = 0, y(0) = (c) y(t) = (t + C) sin t, y y ctg t = sin t, y( π ) = π Rozwiązanie. a Z równości e t = e y wyznaczamy y. Mamy Logarytmujemy stronami. Stąd e y = e t, (...) y(t) = ln( e t ), (...) dla t (, 0). Różniczkując funkcję y(t) = ln( e t ) otrzymamy: y (t) = et e t (...3) Podstawiając do lewej strony równości e y ( + y ) = mamy ( ) ( ) L = e ln( et ) et e = ( e t ) et t e = ( ) t = ( e t e ) t e t e = e t P =. t (...4) Stąd L P, co oznacza, że wskazana funkcja e t = e y nie jest rozwiązaniem równania e y ( + y ) = na przedziale (, 0). 5
7 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 6 b Różniczkując funkcję y(t) = Ce t otrzymamy: y (t) = Ce t (...5) dla t R. Podstawiając do lewej strony równości y + y = 0 mamy L = Ce t + Ce t = 0 = P (...6) Stąd L = P, co oznacza, że funkcja y(t) = Ce t jest rozwiązaniem równania y + y = 0. Wykorzystując teraz warunek początkowy mamy = y(0) = Ce 0 = C (...7) Stąd C =. Zatem szukane rozwiązanie zagadnienia początkowego ma postać y(t) = e t. c Różniczkując funkcję y(t) = (t + C) sin t otrzymamy y (t) = sin t + (t + C) cos t (...8) dla t R. Podstawiając do lewej strony równości y y ctg t = sin t mamy L = sin t + (t + C) cos t (t + C) sin t ctg t = sin t + (t + C) cos t (t + C) sin t cos t sin t = sin t + (t + C) cos t (t + C) cos t = sin t = P (...9) Stąd L = P, co oznacza, że funkcja y(t) = (t + C) sin t jest rozwiązaniem równania y y ctg t = sin t. Wykorzystując teraz warunek początkowy mamy π = y(π ) = (π + C) sin π (...0) Stąd π + C = π, skąd C = 0. Zatem szukane rozwiązanie zagadnienia początkowego ma postać y(t) = t sin t. Zadanie... Rozwiąż proste równanie różniczkowe (a) y = 4x + 7 e 3x, y(0) =, y (0) =, y (0) = 0 (b) y = x (c) y = 3 cos x Rozwiązanie. a Rozwiązanie ogólne wyznaczymy przez trzykrotne całkowanie y (x)dx = (4x + 7e 3x )dx. (...) Stąd y (x) = x + 9e 3x + C, (...)
8 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 7 gdzie C R. Dalej y (x)dx = (x + 9e 3x + C)dx (...3) Stąd y (x) = 4x 3 + 3e 3x + Cx + D, (...4) gdzie D R. Dalej y (x)dx = (4x 3 + 3e 3x + Cx + D)dx (...5) Stąd y(x) = x 4 + e 3x + C x + Dx + E, (...6) gdzie E R. Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy y(0) = y (0) = y (0) = e C 0 + D 0 + E = e C 0 + D = 0 + 9e C = 0 + E = 3 + D = 9 + C = 0 E = D = C = 9 (...7) Zatem rozwiązanie szczególne, spełniające podane warunki początkowe określone jest wzorem y(x) = x 4 + e 3x 9 x x +, gdzie x R. b Zauważmy, że f(x) = x jest określona dla x (0, ). Rozwiązanie ogólne wyznaczymy przez obustronne całkowanie y (x)dx = dx (...8) x Stąd y(x) = x + C, (...9) gdzie C R. Zatem funkcja y(x) = x + C dla x (0, ) jest rozwiązaniem równania y (x) = x. c Rozwiązanie ogólne wyznaczymy przez dwukrotne całkowanie y (x)dx = (3 cos x)dx (...0) Stąd y (x) = 3 sin x + C, (...) gdzie C R. Dalej całkując otrzymujemy y (x)dx = (3 sin x + C)dx (...) Stąd y(x) = 3 cos x + Cx + D, (...3) gdzie D R. Zatem funkcja y(x) = 3 cos x + Cx + D, gdzie x R i C, D R jest rozwiązaniem równania y = 3 cos x.
9 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 8. Równanie o zmiennych rozdzielonych Zadanie... Rozwiązać następujące równanie o zmiennych rozdzielonych y = e y (...) Rozwiązanie. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci y = g(x)h(y), (...) w którym g(x) = oraz h(y) = e y. Po rozdzieleniu zmiennych mamy Całkując obustronnie mamy y = (...3) e y y dx = e y dx (...4) Liczymy całkę po lewej stronie y { } y(x) = z dx = e y y = (x)dx = dz dz = e z e z dz = e z = e y(x) (...5) Stąd całka rozważanego równania jest postaci e y(x) = x + C, (...6) gdzie x + C > 0 x > C. Stąd y(x) = ln(x + C), (...7) gdzie x ( C, ). Zadanie... Rozwiązać następujące równanie o zmiennych rozdzielonych y + y = 0 (...) Rozwiązanie. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci y = g(x)h(y), (...) w którym g(x) = oraz h(y) = y. Po rozdzieleniu zmiennych mamy dla y 0 y = y (...3) y y = (...4)
10 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 9 Całkując obie strony równania mamy y y dx = dx (...5) Liczymy całkę po lewej stronie zamieniając zmienne { } y y(x) = z y dx = y = dz = ln z = ln y(x) (...6) (x)dx = dz z Stąd całka rozważanego równania jest postaci gdzie C R. Zatem Oznaczmy e C = D, D > 0. Mamy Niech ±D = A, A 0. Wówczas ln y(x) = x + C, (...7) y(x) = e x+c (...8) y(x) = ±De x (...9) y(x) = Ae x (...0) Zauważmy, że h(y) = y = 0 y = 0. Mamy zatem jeszcze jedno rozwiązanie y(x) = 0. Zapisując wszystkie rozwiązania jednym wzorem mamy gdzie A R. y(x) = Ae x, (...) Zadanie..3. Rozwiązać następujące równanie o zmiennych rozdzielonych y + xy = 0 (..3.) Rozwiązanie. Zauważmy, że problem posiada spójną dziedzinę. Spośród funkcji stałych łatwo zauważyć, żę funkcja y = 0 jest oczywiście rozwiązaniem równania różniczkowego. Po rozdzieleniu zmiennych mamy dla y 0 y = x (..3.) y Przenosząc nasz problem do postaci całkowej otrzymujemy y y dx = xdx (..3.3) Całka po lewej stronie równania wynosi { } y y(x) = z y dx = y = (x)dx = dz z dz = z = y (..3.4)
11 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 0 Stąd problem w postaci całkowej transformuje się równania algebraicznego postaci: y = x + C, (..3.5) gdzie C R. Zatem y = x C, (..3.6) Rozwiązanie to zależy w sposób jakościowy od stałej. Gdy C < 0 rozwiązanie jest określone na całej osi rzeczywistej x R. Gdy C 0 rozwiązanie jest określone poza punktem/punktami ± C. Zauważmy, że rozwiązanie stałe w tym problemie nie jest ten samej postaci co uzyskane w metodzie rozdzielania zmiennych. Zadanie..4. Rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych postaci: y = x y 3 (..4.) Rozwiązanie. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci w którym g(x) = x zmiennych mamy Całkując obustronnie mamy y = g(x)h(y), (..4.) oraz h(y) = y 3, gdzie y (, 0) (0, ). Po rozdzieleniu y y 3 = x y y 3 dx = Liczymy całki { } y y 3 y(x) = z dx = y = (x)dx = dz x dx = = x 4 Stąd całka rozważanego równania jest postaci y 4 (x) 4 = x 4 (..4.3) x dx (..4.4) x z 3 dz = z4 4 = y4 (x) 4 (..4.5) (..4.6) + C, (..4.7) gdzie x4 4 C x 4C x C i x C. Zatem Oznaczmy 4C = D, D R. Stąd y 4 (x) = x + 4C (..4.8) y(x) = ± 4 D x, (..4.9) gdzie x ( D, D) oraz D > 0. Widzimy zatem, że rozwiązanie zależy w sposób jakościowy od stałej D.
12 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Zadanie..5. Rozwiązać równanie różniczkowe postaci: y = cos x y (..5.) Rozwiązanie. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci y = g(x)h(y), (..5.) w którym g(x) = cos x oraz h(y) = y, gdzie y (, 0) (0, ). Po rozdzieleniu zmiennych mamy y y = cos x (..5.3) Całkując obustronnie mamy y ydx = cos xdx (..5.4) Liczymy całki { y y(x) = z ydx = y (x)dx = dz } = Stąd całka rozważanego równania jest postaci gdzie C sin x. Mamy y (x) Oznaczmy C = D, gdzie D sin x. Zatem zdz = z = y (x) (..5.5) cos xdx = sin x (..5.6) = sin x + C (..5.7) y (x) = sin x + C (..5.8) 0 < y (x) = sin x + D (..5.9) Stąd y(x) = ± sin x + D, sin x + D > 0 (..5.0) Zauważmy, że rozwiązanie równania zależy w sposób jakościowy od stałego parametru. Gdy D < podane rozwiązanie nie istnieje w ogóle. Z kolei dla D > rozwiązanie jest określone dla x R. Rozwiązanie dla pozostałych parametrów istnieje na niepełnej dziedzinie. Zadanie..6. Rozwiązać równanie różniczkowe postaci y y = x ln x (..6.)
13 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Rozwiązanie. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci y = g(x)h(y), (..6.) w którym g(x) = x ln x, gdzie x (0, e) oraz h(y) = y. Po rozdzieleniu zmiennych mamy dla y 0 y y = x ln x (..6.3) Całkując obustronnie mamy y y dx = x dx (..6.4) ln x Liczymy całki y y dx = { y(x) = z y (x)dx = dz } = z dz = z = y(x) { } ln x = s x dx = ln x = { } s = t xdx = ds s ds = ds = dt = t dt = t = s = ln x (..6.5) (..6.6) Stąd całka rozważanego równania jest postaci gdzie C R. Stąd y(x) = ln x + C (..6.7) y(x) = ln x C, (..6.8) Zauważmy, że rozwiązanie zależy w sposób jakościowy od parametru. Jeśli C 0 wtedy rozwiązanie istnieje dla x R, gdy natomiast C > 0 musi odrzucić pojedynczy punkt z dziedziny. C ln x C ln x C 4 ln x C C 4 ln x x e 4. Zauważmy, że h(y) = y = 0 y = 0. Mamy zatem jeszcze jedno rozwiązanie y(x) = 0. Rozwiązanie to nie jest podobnej postaci co rozwiązania otrzymane metodą rozdzielania zmiennych... Niespójna dziedzina w równaniu o zmiennych rozdzielonych Zadanie..7. Rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych y y = t (..7.)
14 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 3 Rozwiązanie. Zauważmy, że równanie nie posiada rozwiązań szczególnych w postaci funkcji stałych. Ponadto widzimy, że dziedzina problemu t (, 0) (0, + ) jest niespójna. Spodziewamy się zatem występowania różnych stałych na poszczególnych spójnych składowych dziedziny. Przechodzimy z równaniem y y = t do postaci całkowej y y dt = dt (..7.) t Liczymy całkę po lewej stronie zamieniając zmienne { } y y y(t) = z dt = y = z dz = z3 (t)dt = dz 3 = y3 (t) 3 (..7.3) Stąd postać całkowa równania transformuje się do następującego równania algebraicznego. y 3 (t) = ln t + C, (..7.4) 3 gdzie C ln t. Zatem Stąd y 3 (t) = 6 ln t + 3C, (..7.5) y(t) = 3 6 ln t + 3C, 6 ln t + 3C 0 (..7.6) Uwzględniając fakt występowania różnych stałych na poszczególnych spójnych składowych stwierdzamy, że rozwiązanie ogólne jest postaci: { 3 6 ln t + 3C +, t e C+, t > 0 y = 6ln ( t) + 3C, t e C, t < 0, C+, C R (..7.7) 3 Zadanie..8. Rozwiązać równanie różniczkowe postaci y = y ln y x (..8.) Rozwiązanie. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci y = g(x)h(y), (..8.) w którym g(x) = x, gdzie x (, 0) (0, ) oraz h(y) = y ln y, gdzie y (0, ). Po rozdzieleniu zmiennych mamy Całkując obustronnie mamy y y ln y = x y y ln y dx = (..8.3) dx (..8.4) x
15 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 4 Liczymy całki { } y y(x) = z y ln y dx = y = { } ln z = s (x)dx = dz z ln z dz = z dz = ds = (..8.5) s ds = ln s = ln ln z = ln ln y(x) Z drugiej strony = ln x (..8.6) x Stąd postać całkowa transformuje się do następującego równania algebraicznego: gdzie C R. Oznaczmy C = ln D, D (0, ). Stąd Zatem Oznaczmy ±D = A, A 0. Stąd ln ln y(x) = ln x + C (..8.7) ln ln y(x) = ln(d x ) (..8.8) ln y(x) = ±Dx (..8.9) y(x) = e Ax (..8.0) Zauważmy, że y = 0 nie jest rozwiązaniem równania y = y ln y x, gdyż dla y = 0 ln y nie jest określony. Natomiast y = jest rozwiązaniem naszego równania. Mamy zatem jeszcze jedno rozwiązanie y(x) =. Zapisując wszystkie rozwiązania jednym wzorem mamy y(x) = e Ax, (..8.) gdzie A R. Uwzględniając niespójność dziedziny problemu zapisujemy ostateczną postać rozwiązania y(x) = { e A x, x > 0 e Ax, x < 0 (..8.) Zadanie..9. Rozwiązać następuje równanie o zmiennych rozdzielonych y = y x (..9.) Rozwiązanie. Zauważmy, że równanie posiada rozwiązanie szczególnych w postaci funkcji stałej y = 0. Ponadto widzimy, że dziedzina problemu t (, 0) (0, + ) jest niespójna. Spodziewamy się zatem występowania różnych stałych na poszczególnych spójnych składowych dziedziny. Rozważane równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych postaci y = g(x)h(y), (..9.)
16 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 5 w którym g(x) = zmiennych mamy x, gdzie x (, ) (, ) oraz h(y) = y. Po rozdzieleniu y y = x (..9.3) Przenosząc problem do postaci całkowej otrzymujemy y y dx = dx (..9.4) x Całka z lewej strony wynosi: { } y y(x) = z y dx = y = (x)dx = dz dz = ln z = ln y(x) (..9.5) z Całka z prawej strony równania wynosi: { } x = s x dx = = ds = ln s = ln x (..9.6) dx = ds s Stąd problem w postaci całkowej transformuje się do równania algebraicznego w postaci: ln y(x) = ln x + C, (..9.7) gdzie C R. Oznaczmy C = ln D, D > 0. Stąd ln y(x) = ln(d(x ) ), (..9.8) Zatem Zatem Niech A = ±D, A 0. Stąd y(x) = D(x ), (..9.9) y(x) = ±D(x ) (..9.0) y(x) = A(x ) (..9.) Zauważmy, że h(y) = y = 0 y = 0. Mamy zatem jeszcze jedno rozwiązanie y(x) = 0. Możemy zatem zapisać postać rozwiązania jednym wzorem y(x) = D(x ), D R (..9.) Z uwagi na niespójną dziedzinę problemu rozwiązanie ogólne równanie zależy od wielu stałych { D (x ) y(x) =, x > D (x ), x < D, D R (..9.3) Zadanie..0. Rozwiązać następujące równanie o zmiennych rozdzielonych: y sin t = y ln y (..0.)
17 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 6 Rozwiązanie. Widzimy, że dziedzina problemu t (kπ, (k + )π), k Z jest niespójna. Spodziewamy się zatem występowania różnych stałych na poszczególnych spójnych składowych dziedziny. Spośród funkcji stałych, dwie wymagają szczególnego zbadania. Zauważmy, że dla y = 0 funkcja h(y) = y ln y nie jest określona, zatem funkcja ta nie może być rozwiązaniem danego równania różniczkowego. Natomiast y(t) = jest oczywiście rozwiązaniem naszego równania. Dokonajmy rozdzielenia zmiennych i przejdźmy do postaci całkowej problemu: y y ln y dt = Całkę po lewej stronie wynosi { } y y(t) = z y ln y { dt = } y (t)dt = dz ln z = x = z dz = dx dt (..0.) sin t = z ln z dz = = x = ln x = ln ln z = ln ln y(t) (..0.3) Całka po prawej stronie wynosi: sin t dt =... = ln tg t (..0.4) Stąd postać całkowa równania transformuje się do równania algebraicznego postaci: ln ln y(t) = ln tg t + C, (..0.5) gdzie C R. Niech C := ln D, D > 0. Wówczas ln ln y(t) = ln tg t + ln D, (..0.6) czyli Otrzymujemy Stąd ln ln y(t) = ln(d tg t ), (..0.7) ln y(t) = D tg t (..0.8) ln y(t) = ±D tg t, (..0.9) Niech teraz A = ±D, A 0. Otrzymujemy ln y(t) = A tg t, (..0.0) y(t) = e A tg t, (..0.) Zauważmy ponadto, że funkcja stale równa może być uzyskana z powyższego wzoru poprzez położenie w miejscu A = 0. Z uwagi na istnienie wielu rozłącznych spójnych składowych dziedziny problemu rozwiązanie ogólne problemu jest postaci y(t) = e D k tg t, t (kπ, (k + )π), k Z, (Dk ) k Z R (..0.)
18 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 7 Zadanie... Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych postaci y = sin y ( π ) ( ) 9 sin x, x = 7, x 4 π =. (...) Rozwiązanie. Na początek zauważmy, że dziedzina naszego problemu jest postaci x kπ dla k Z. Dziedzina problemu jest niespójna zatem spodziewamy się, że rozwiązania pochodzić będą od wielu stałych. Zauważmy, że funkcje stałe y l (x) = lπ, x kπ, k, l Z są rozwiązaniami szczególnymi naszego problemu. Załóżmy dalej, że y(x) lπ dla dowolnych l w x kπ, k Z. Przekształcając nasz problem do postaci całkowej otrzymujemy Policzmy pomocniczo sin t dt = sin t cos t dt = y sin y dx = tg t cos t dx (...) sin x dt = ln tg t + C (...3) Stąd nasze problem w postaci całkowej sprowadza się do warunku algebraicznego w postaci ln tg y = ln tg x + C (...4) Stąd dla 0 < D = ln C jest to równoważne (na mocy odwracalności funkcji ln) tg y = D tg x (...5) Biorąc pod uwagę stałość znaku na kawałkach dziedziny oraz uwzględniając rozwiązanie zerowe tg y = D tg x (...6) Zauważmy, że funkcja tg nie posiada jednoznacznego odwrócenia. Jako funkcja o okresie π posiada zatem wiele funkcji odwrotnych do niej. y ( ( x )) = arc tg Dtg + Eπ, D R, E Z (...7) Stąd rozwiązanie ogólne jest postaci y = arc tg ( D k tg ( )) x + Ek π lub y = (E k + )π, x (kπ, (k + )π), (D k ) k Z R, (E k ) k Z Z (...8) Zajmijmy się teraz zagadnieniami początkowymi x ( ) ( π = 7, x 9 4 π) =. Na początek zauważmy, że nie mogą to być rozwiązania stałe. Zatem ze wzoru ( ( π )) arc tg D 0 tg + E 0 π = 7 (...9) 4
19 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 8 Otrzymujemy, że koniecznie E 0 = aby równanie miało rozwiązanie. Zatem ( ( π )) arc tg D 0 tg = 7 π ( π 4, π ) (...0) a stąd ( ) 7 π D 0 = tg (...) Stąd znamy rozwiązanie na fragmencie rozwiązania w t (0, π) i jest ono postaci: ( ( ) 7 π ( x ) ) y = arc tg tg tg + π (...) Pozostaje drugi warunek początkowy. Zatem ze wzoru ( ( )) 9π arc tg D tg + E π = (...3) 4 Aby rozwiązanie istniało oczywiście E = 0 wtedy ( ( π )) ( arc tg D tg = π 4, π ) (...4) Stąd D = tg ( ). A zatem ( ( x )) y = arc tg tg ( ) tg, x (π, 3π) (...5).. Sklejanie rozwiązania w równaniu o zmiennych rozdzielonych Zadanie... Rozwiązać następujące równanie o zmiennych rozdzielonych: y = y (...) Rozwiązanie. Zauważmy, że funkcje y = oraz y =, funkcje stałe są szczególnymi rozwiązaniami równania. Dokonajmy rozdzielenia zmiennych. Otrzymujemy y =, (...) y Przechodząc do postaci całkowej otrzymujemy y dx = y dx, (...3) Liczymy całkę po lewej stronie zamieniając zmienne y { } y(x) = t dx = y y = (x)dx = dt dt = (...4) t arc sin t = arc sin y (...5)
20 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 9 Stąd równanie w postaci całkowej prowadzi do następującego równania algebraicznego: arc sin y = x + C, (...6) gdzie C R. Mamy arc sin y = x + C, (...7) Stąd otrzymujemy y(x) = sin(x + C), x ( π C, π ) C (...8) Zauważmy, że możliwe jest ciągłe przedłużenie rozwiązania uzyskanego metodą rozdzielania zmiennych. Dla dowolnego C R funkcja postaci, x π C y = sin (x + C), x ( π C, π C) (...9), x π C jest ciągłym przedłużeniem rozwiązania otrzymanego metodą zmiennych rozdzielonych. Rozwiązania wyjściowego układu są funkcjami co najmniej jednokrotnie różniczkowalnymi. Wykażemy, że powyższa funkcja sklejenia jest różniczkowalna w punktach sklejeń. + lim x+ π x ( π C) +C = 0 sin(x+c)+ H lim x+ = lim cos(x+c) π x ( π C)+ +C = 0 x ( π C)+ sin(x+c) H lim x = lim x ( π π C) +C lim x ( π C)+ x π +C = 0 x ( π C)+ cos(x+c) = 0 (...0) Zatem funkcja sklejenia jest rozwiązaniem różniczkowalnym jednokrotnie, a jako różniczkowalne sklejenie rozwiązań jest rozwiązaniem wyjściowego równania różniczkowego..3 Równania różniczkowe jednorodne Zadanie.3.. Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne x = x + x + t, x( ) = 0, t 0 (.3..) t Rozwiązanie. Zauważmy, że dziedzina problemu posiada dwie spójne składowe. Oznacza to możliwość występowania wielu stałych w rozwiązaniu. Wykonajmy podstawienie x = ty. Wtedy lewa strona równania ma postać (ty) = ty + y (.3..)
21 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 0 Z kolei prawa strona ma postać: ty + t y + t t = y + t { y + y +, t > 0 y + = t y y +, t < 0 (.3..3) Stąd musimy rozwiązać dwa równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych postaci y y + = t, t > 0 y = (.3..4) y + t, t < 0 Rozwiążmy najpierw dla t > 0. Otrzymane równanie o zmiennych rozdzielonych jest równoważne równaniu y y + = (.3..5) t Całkując je stronami otrzymujemy Jest to równoważne postaci: arsinh y = ln t + C + (.3..6) arsinh y = ln td + (.3..7) gdzie D + > 0 : ln D + = C +. Jako, że funkcja arsinh jest odwracalna w całej swojej dziedzinie oraz jest na, otrzymujemy że y = sinh ln td + = eln td+ ln td+ e Rozwiążmy teraz drugie równanie różniczkowe = td + td + (.3..8) y = y + t, t < 0 (.3..9) Otrzymane równanie o zmiennych rozdzielonych jest równoważne równaniu y y + = t (.3..0) Całkując je stronami otrzymujemy Jest to równoważne postaci: arsinh y = ln( t) + C (.3..) arsinh y = ln D t (.3..) gdzie D > 0 : ln D = C. Jako, że funkcja arsinh jest odwracalna w całej swojej dziedzinie oraz jest na, otrzymujemy że y = sinh ln D t = eln D t ln t D e = t D D t (.3..3)
22 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Stąd x = Sprawdzamy warunek brzegowy x( ) = 0 t D + D +, t > 0 t D D, t < 0 (.3..4) Stąd D =. Zatem 0 = ( ) D D (.3..5) x = { t D + D +, t > 0, t < 0 t Stąd widzimy, że dokładne rozwiązanie jest znane jedynie dla t < 0. (.3..6) Zadanie.3.. Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne postaci: y = t + y, t 0 (.3..) t Rozwiązanie. Ponieważ t+y t = + y t, więc rozważane równanie jest równaniem jednorodnym postaci ( y ) y = f, (.3..) t gdzie f(u) = + u u. Stosując podstawienie y = t u(t) mamy a równanie przyjmuje postać y = u(t) + t u (t), (.3..3) t u + u = + u (.3..4) Stąd Rozdzielając zmienne mamy t u = (.3..5) u = t (.3..6) Całkując obustronnie mamy Zatem u dt = dt (.3..7) t u(t) = ln t + C, (.3..8) Uwzględniając fakt istnienia dwóch spójnych składowych w dziedzinie równania różniczkowego otrzymujemy: u(t) = { ln t + C, t > 0 ln t + C, t < 0 (.3..9)
23 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wracając do zmiennej y otrzymujemy rozwiązanie równania wyjściowego y(t) = { t ln t + C t, t > 0 t ln t + C t, t < 0 (.3..0).4 Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Zadanie.4.. Rozwiązać równanie różniczkowe postaci y + y = e 3t (.4..) Rozwiązanie. Równanie jest równanie różniczkowym liniowym niejednorodnym. Postępujemy trój-krokowo..rozwiązujemy równanie jednorodne postaci: y = y (.4..) Jeśli y (t) = 0 to y = 0 zatem y (t) też jest rozwiązaniem równania różniczkowego y = (.4..3) y gdzie y (t) 0. Przechodząc do postaci całkowej: y y dt = dt (.4..4) Powyższy problem w postaci całkowej przenosi się do równania algebraicznego postaci: ln y = t + C, C R (.4..5) Funkcja logarytm jest różnowartościowa i na, a zatem możemy ją odwrócić gdzie e C = D. e ln y = De t (.4..6) y = De t (.4..7) Rozwiązaniem naszego równania jednorodnego jest (po uwzględnieniu rozwiązania stałego): y = Ke t, K R (.4..8).Szukamy rozwiązania szczególnego tzn. przewidujemy rozwiązanie w postaci uzmiennionej stałej: y = K (t) e t (.4..9) Zróżniczkujmy powyższe równanie. y = K (t) e t K (t) e t (.4..0)
24 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 3 Wstawiając do (.4..) otrzymamy: K (t) e t K (t) e t + K (t) e t = e 3t (.4..) Stąd: Całkujemy stronami po t. K (t) = e 5t (.4..) K (t) dt = e 5t dt (.4..3) K (t) = e5t 5 Zatem rozwiązanie szczególne posiada postać: y s = e5t 5 e t = e3t 5 (.4..4) (.4..5) 3.Stąd rozwiązaniem ogólnym równania (.4..) jest: y o = Ke t + e3t 5 (.4..6).5 Równanie Bernouliego Równaniem Bernouliego nazywamy równanie liniowe niejednorodne postaci y + a(t)y = y n f(t) (.5.0.7) Aby rozwiązać równanie należy wykonać podstawienie postaci z = y n co sprowadza równanie do liniowego. UWAGA. Podstawienie nie jest w ogólności łatwo odwracalne. Ponadto w części przypadków nie udaje się równoważnie przekształcić z powrotem z postaci liniowej z uwagi na nierzadko występujące dzielenie przez 0. Zadanie.5.. Rozwiązać równanie różniczkowe postaci x + x sin t = 3 ctg t x (.5..) Rozwiązanie. Zauważmy, że równanie jest równaniem różniczkowym Bernouliego. Wykonajmy podstawienie z = x 3. Mnożąc stronami przez x (operacja nierównoważna) otrzymujemy równanie liniowe postaci: 3 z + 3 ctg t z = sin t, t kπ (.5..)
25 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 4 Niech k Z oraz t ( k k+ π, π). Rozważmy równanie jednorodne dla równania (.5..) z + ( k ctg t z = 0, t π, k + ) π (.5..3) Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja ( k z = D k cos t, t π, k + ) π (.5..4) Przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci uzmiennionych stałych, tzn. ( k z = D k (t) cos t, t π, k + ) π (.5..5) Wtedy z z ctg t = D k (t) cos t. W konsekwencji czego D k(t) = 6 sin t (.5..6) Stąd D(t) = 6 cos t co daje rozwiązanie szczególne postaci z = 6 cos t na przedziale t ( k k+ π, π). Zatem rozwiązanie ogólne problemu ma postać: ( k z = D k cos t 6 cos t, t π, k + ) π, k Z (.5..7) Powracając do równania Bernouliego z = x 3, x 0 otrzymujemy x = 3 ( k D k cos t 6 cos t, t π, k + ) π, k Z (.5..8) Zauważmy, że równanie to nie dla wszystkich wartości D k posiada rozwiązanie na pełnej dziedzinie. Jest tak w istocie jedynie gdy D k 6 cos t 0, dla dowolnego t z odpowiadającego przedziału. W takim przypadku jedynie dla gdy dla danego przedziału P = ( k π, k+ π) cos t > 0, t P (D k 0 D k 6) cos t < 0, t P (D k 0 D k 6) (.5..9) Dla innych stałych musimy zastosować wykluczenie t arc cos 6 D k, D k 0. Zadanie.5.. Rozwiązać zagadnienie początkowe postaci e x y + y = 4 y, x R, y(0) = (.5..) + 4x Rozwiązanie. Zauważmy, że równanie jest równaniem różniczkowym Bernouliego. Wykonajmy podstawienie z = y. Mnożąc stronami przez y (operacja nierównoważna) otrzymujemy równanie liniowe postaci: e x z + z = 4 + 4x, (.5..)
26 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 5 Rozważmy równanie jednorodne dla równania (.5..) Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja z + z = 0, x R (.5..3) z = D e x, x R, D R (.5..4) Przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci uzmiennionych stałych, tzn. Wtedy z + z = D (x) e x. W konsekwencji czego z = D(x) e tx (.5..5) D (x) = + 4x (.5..6) Stąd D(t) = arc tg x co daje rozwiązanie szczególne postaci z = arc tg t e t na R. Zatem rozwiązanie ogólne problemu ma postać: z = D e x + arc tg x e x, x R (.5..7) Powracając do równania Bernouliego z = y, y 0 otrzymujemy y = ( D e x + arc tg x e x) (.5..8) Jednak zauważmy, że nasza dziedzina może ulec zawężeni. 0 < y = D e x + arc tg x e x (.5..9) Aby równanie miało sens musi zachodzi D + arc tg x > 0. Zauważmy, że w istocie tak jest dla D π. Z drugiej strony dla D π, nie ma w ogóle x spełniających zadane warunki. W trzecim przypadku rozwiązanie musi zostać obcięte do postaci: ( ) y = (arc tg x + D) tg( D) e t, t, + (.5..0) Zauważmy ponadto, że rozwiązaniem zadania jest funkcja y 0. Dla π < D < π możliwe jest ciągłe przedłużenie rozwiązania funkcją y = 0, nie jest to jednak przedłużenie różniczkowalne w punkcie tg( D), a zatem nie jest możliwe sklejenie rozwiązań. Funkcja stale równa 0 nie spełnia warunku początkowego. Poszukujemy zatem rozwiązania pośród reszty rozwiązań postaci y = ( D e x + arc tg x e x) ( t R, D) π, t tg( D), +, π < D < π Wstawiając (.5..) = ( D e 0 + arc tg 0 e 0) D = (.5..) Zatem rozwiązanie maksymalne zagadnienia początkowego jest postaci: y = ( e x + arc tg x e x) ( ) tg( ), t, + (.5..3)
27 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 6.6 Równanie liniowe rzędu o stałych współczynnikach Zadanie.6.. Rozwiązać równanie różniczkowe : y y + y = (x + ) e x y(0) = y() = e (.6..) Rozwiązanie. Rozważamy problem jednorodny: y y + y = 0 (.6..) Korzystając z metody charakterystyk otrzymujemy, że: Dla tego równania mamy: Zatem jedynym pierwiastkiem tego równania jest: Zatem rozwiązanie ogólne jest w postaci: r r + = 0 (.6..3) = 0 (.6..4) r 0 = (.6..5) y 0 (x) = c e x + c x e x (.6..6) Przeprowadzamy teraz uzmiennianie stałych. Przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci: y s (x) = c (x) e x + c (x) x e x (.6..7) Wówczas: y s(x) = c (x) e x + c (x) e x + c (x) x e x + c (x) e x + c (x) x e x (.6..8) Przyjmijmy, że: Wówczas: c (x) e x + c (x) x e x = 0 (.6..9) y s(x) = c (x) e x + c (x) e x + c (x) x e x (.6..0) y s (x) = c (x) e x +c (x) e x +c (x) e x +c (x) e x +c (x) x e x +c (x) e x +c (x) x e x Po podstawieniu do naszego równania otrzymujemy, że: (.6..) y s (x) y s(x)+y s (x) = c (x) exp(x)+c (x) (x+) exp(x) = (x+) exp(x) (.6..) Otrzymujemy następujący układ równań: { c (x) exp(x) + c (x) (x + ) exp(x) = (x + ) exp(x) c (x) exp(x) + c (.6..3) (x) x exp(x) = 0
28 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 7 Po zredukowaniu powyższy układ równań możemy przedstawić w postaci: { c (x) + c (x) (x + ) = (x + ) e x c (x) + c (.6..4) (x) x = 0 Aby rozwiązać powyższy układ równań wykorzystamy metodę wyznaczników: W = (x + ) x = x (x + ) = x x = (.6..5) W c = (x + ) ex (x + ) 0 x = x e x x e x (.6..6) W c = (x + ) ex 0 = x ex e x (.6..7) Zatem: ( Wc c = W ( Wc c = W ) dx = ) dx = ( x e x x e x ( x e x e x ) dx = (x e x x e x) dx ) dx = (.6..8) (x e x + e x ) dx (.6..9) Zatem rozwiązaniem naszego układu równań są funkcje: { c (x) = e x x e x x e x c (x) = x e x (.6..0) Wynika z tego, że rozwiązane szczególne jest w postaci: y s (x) = c (x) e x +c (x) x e x = exp(x) x exp(x) x exp(x)+exp(x) x = exp(x) (x ) (.6..) Zatem : y(x) = y o (x) + y s (x) = c exp(x) + c x exp(x) + exp(x) (x ) (.6..) Wyznaczamy wartości stałych na podstawie zadanych warunków początkowych: Zatem: = c exp(0) + c 0 exp(0) + exp( 0) (0 ) (.6..3) Wyznaczamy wartość stałej: = c (.6..4) + = c (.6..5) 0 = c (.6..6) c = 0 (.6..7) y(x) = c x exp(x) + exp(x) (x ) (.6..8) e = c exp() + exp( ) ( ) (.6..9) e = c e (.6..30)
29 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 8 Ostatecznie otrzymujemy, że: c = (.6..3) y(x) = x exp(x) + exp(x) (x ) (.6..3).7 Układy równań różniczkowych.7. Przypadek wartości własnych rzeczywistych Zadanie.7.. Rozwiązać układ równań różniczkowych z niejednorodnością [ ] [ ] y 5 t = y t (.7..) Rozwiązanie. Rozwiążmy problem jednorodny y = Wartości własne spełniają następujące równanie [ ] 5 y (.7..) = λ + 8λ + 5 = (λ + 3)(λ + 5) (.7..3) Macierz układu posiada zatem dwie jednokrotne wartości własne λ = 3 oraz λ = 5. Poszukujemy wektorów własnych odpowiadających poszczególnym wartościom. [ ] [ ] [ ] xw 0 = (.7..4) 0 0 y w 0 [ Stąd np. wektor w = spełnia ten układ. Dla drugiej wartości własnej ] [ ] [ ] 0 xw = 0 y w [ ] 0 0 (.7..5) [ Stąd np. wektor w = spełnia ten układ. Zatem rozwiązanie ogólne proble- 0] my jednorodne ma postać y = [ ] [ ] C C e 3t C 0 e 5t (.7..6) Przewidujemy rozwiązanie szczególne, metodą uzmiennienia stałych tj. rozwiązanie szczególne postaci: [ ] [ ] C (t) C y = (t) e 3t C (t) 0 e 5t (.7..7)
30 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 9 Wnioskując ze sprawdzonych reguł różniczkowania wiemy, że pochodna y wynosi [ ] [ ] [ ] [ ] C y = (t) C (t) e 3t C (t) C C (t) 0 e 5t + (t) 3 e 3t C (t) 0 5 e 5t = = Z drugiej strony [ ] 5 y = 0 3 [ ] [ ] C (t) C (t) e 3t C (t) 0 e 5t + = [ ] [ ] 3C (t) 5C (t) e 3t 6C (t) 0 e 5t (.7..8) [ ] [ ] [ ] 5 C (t) C (t) e 3t 0 3 C (t) 0 e 5t = [ ] [ ] (.7..9) 3C (t) 5C (t) e 3t 6C (t) 0 e 5t Stąd [ ] t t = y = [ ] 5 y = 0 3 [ e 3t e 5t e 3t 0 [ C (t) C (t) C (t) 0 ] [ ] e 3t = e 5t ] [ ] (.7..0) C (t) C (t) Łatwo policzyć, że W = e 8t > 0 dla wszystkich t R, W C = (t + t) e 3t. W efekcie W C = t e 5t oraz C = t e 3t dt = 7 ( 6t + 9t ) e 3t C = (t + t) e 5t = 5 e5t ( 3 + 5t + 5t ) (.7..) gdzie rozwiązanie szczególne posiadało postać: [ ] [ ] [ C (t) C y s = (t) e 3t ( ) ( C (t) 0 e 5t = 7 6t + 9t + ) ] t + 5t ( ) 7 6t + 9t (.7..) A rozwiązanie ogólne posiada postać y = y o + y s..7. Przypadek wartości własnych zespolonych Errata zadania z zajęć. Zadanie.7.. Rozwiązać układ równań jednorodnych o stałych współczynnikach podany za pomocą macierzy. Rozwiązanie. Rozważmy macierz podaną w zadaniu o odszukajmy jej wartości własne ([ ]) 3 λ det = 0 0 = λ + 4λ + 5 (.7..) λ
31 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 30 Stąd występują tu dwie wartości własne sprzężone ze sobą λ = ± ı. Zatem otrzymamy tu rozwiązanie wygenerowane postaci y s = e ( ±ı) t w. Odszukajmy przykładowy wektor własny [ [ ] [ ı x 0 = (.7..) ı] y 0] Wybierając y = otrzymamy wektor własny [ ] ı w = (.7..3) Wykorzystamy postać wykładniczej funkcji zespolonej [ ] [ ] ı ı y s = e ( +ı) t = e t (cos t + ı sin t) = [ ] [ ] (.7..4) e = t cos t + e t sin t e e t + ı t cos t + e t sin t cos t e t sin t Stąd rozwiązanie ogólne jest w postaci sumy rozwiązania rzeczywistego i zespolonego: [ ] [ ] e y = C t cos t + e t sin t e e t + C t cos t + e t sin t cos t e t (.7..5) sin t Co możemy zapisać w postaci: [ ] [ ] C C y = C + C e t cos t C C e t sin t (.7..6).7.3 Przypadek wartości własnych wielokrotnych - Metoda Eulera Zadanie.7.3. Rozwiązać układ równań różniczkowych niejednorodny [ ] [ ] y 5 e t = y + (.7.3.) 3 Rozwiązanie. Rozwiążmy problem jednorodny postaci: [ ] y 5 = y (.7.3.) 3 Wartości własne spełniają równanie postaci e t 0 = λ + 8λ + 6 = (λ + 4) (.7.3.3) Stąd występuje tu pojedyncza wartość własna -krotna. Skorzystamy z ogólnej postaci rozwiązania szczególnego nazywaną metodą Eulera, która stwierdza że
32 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 3 k-krotna wartość własna posiada k rozwiązań o liniowo niezależnych wektorach własnych postaci y s = e λt Bw (.7.3.4) gdzie λ jest k krotną wartością własną, a macierz B jest postaci y w k t i B = I + i! (A λi)i (.7.3.5) i= Dla k = macierz B posiada postać B = I + t (A λi). Poszukujemy zatem dwóch liniowo niezależnych wektorów własnych [ ] [ ] [ ] [ ] xw 0 = w y w 0 = [ ] [ ] [ ] [ ] (.7.3.6) xw = w = w = Zatem z metody Eulera y = C e 4t (I + t (A λi)) C e 4t ([ ] [ [ + C ] e 4t (I + t (A λi)) = ] [ ([ ] [ 0 + t + C 0]) e 4t + t ]) [ ] [ ] C + C = C e 4t C C C t e 4t (.7.3.7) Poszukujemy rozwiązania szczególnego metodą uzmienniania stałych. [ ] [ ] C (t) + C y s = (t) C (t) e 4t C (t) C (t) C (t) t e 4t (.7.3.8) Policzona pochodna wynosi [ ] [ ] C y s = (t) + C (t) C (t) e 4t C (t) C (t) C (t) t e 4t + = = [ ] [ ] C (t) + C + (t) C (t) 4 e 4t C (t) C (t) C (t) 4t e 4t + e 4t = [ ] [ ] C (t) + C (t) C (t) e 4t C (t) C (t) C (t) t e 4t + [ ] [ ] [ ] C (t) + C + (t) C (t) 4 0 e 4t C (t) C (t) C (t) 4 t e 4t [ ] [ ] C (t) + C (t) C (t) e 4t C (t) C (t) C (t) t e 4t + [ ] [ ] 4C (t) 3C + (t) 4C (t) e 4t 4C (t) + 7C (t) 4C (t) t e 4t (.7.3.9)
33 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 3 Z drugiej strony [ ] [ ] [ ] 5 C (t) + C (t) C (t) e 4t 3 C (t) C (t) C (t) t e 4t = [ ] [ ] (.7.3.0) 4C (t) 3C = (t) 4C (t) e 4t 4C (t) + 7C (t) 4C (t) t e 4t Stąd równanie przyjmuje postać [ ] [ ] [ ] C (t) + C (t) C (t) e 4t e t C (t) C (t) C (t) t e 4t = e t Co prowadzi do układu [ ] [ ] e 4t e 4t +t e 4t C (t) e 4t e 4t t e 4t C (t) = [ e t e t ] (.7.3.) (.7.3.) Wtedy wyznaczniki układu równań wynoszą W = e 8t < 0 dla t R, W C = e t e 4t e t t e 4t e t e 4t e t t e 4t, W C = e t e 4t + e t e 4t. C = ( e 3t + e 3t t + e t + e t t ) e 8t dt = 9 5 e5t + 5 e5t t e6t + 6 e6t t C = ( ) 3 e6t + e 5t dt = e 6t e5t 5 (.7.3.3) Powyższe uzmiennione funkcje pasują do rozwiązania szczególnego przewidzianego w postaci y s = [ ] [ ] C (t) + C (t) C (t) e 4t C (t) + C (t) C (t) t e 4t Rozwiązanie ogólne jest w postaci y = y o + y s.. (.7.3.4).7.4 Układy równań różniczkowych rzędu 3 Zadanie.7.4. Rozwiaząć układ równań różniczkowych z niejednorodnością x 5 4 x 0 y = 5 y + 0. (.7.4.) z z Rozwiązanie. 5 4 Niech A = 5. Rozwiążmy problem jednorodny postaci: x x y z = A y z Wartości własne macierzy A spełniają równanie 0 = (5 λ) (9 + λ) (9 + λ) + 36(5 λ) 40(5 + λ) = λ 3 + λ + λ = (λ )( λ)( + λ).
34 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 33 Oznacza to, że macierz A posiada dwie różne wartości własne: pojedynczą λ = oraz podwójną λ /3 =. Poszukujemy wektorów własnych odpowiadających poszczególnym wartościom. Niech x w 5 ( ) 4 5 ( ) x w y w = ( ) z w 6x y 4z = 0 x + y + z = 0 0x 3y 8z = 0 =. Wtedy { y 4z = 6 y + z = { y = z = (.7.4.) Zatem wektorem własnym dla λ = jest na przykład wektor w =. Dla λ /3 = poszukujemy dwóch liniowo niezależnych wektorów własnych. 5 4 x w 0 5 y w = 0 (.7.4.3) z w 0 4x y 4z = 0 3x + y + 3z = 0 0x 3y 0z = 0 Niech z w Stąd w = =. Wtedy { 4x y = 4 3x + y = Niech z w3 =. Wtedy { 4x y = 5 3x + y = 3 Zatem w 3 = 3. x w3 y w3 z w3 { x = y = 0 4x y 4z = 3x + y + 3z = 0 0x 3y 0z = = 0 (.7.4.4) { x = y = 3
35 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 34 Korzystając z metody Eulera dostajemy, że dwukrotna wartość własna λ /3 generuje dwa rozwiązania na liniowo niezależnych wektorach własnych postaci y s = e λ /3t Bw, gdzie B = I+t(A λi). Otrzymujemy zatem trzy liniowo niezależne rozwiązania szczególowe: e λt w = e t (.7.4.5) ( 0 ) e λ/3t Bw = e t 0 + t 0 (.7.4.6) 0 ( e λ/3t Bw 3 = e t 3 + t ) 0 (.7.4.7) Oznacza to, że rozwiazanie ogólne problemu jednorodnego jest postaci x(t) + t y(t) = C e t + C e t 0 + C 3 e t 3 z(t) + t o = = C e t +C e t +C 3 e t ( + t) C e t +3C 3 e t C e t +C e t +C 3 e t ( + t) C C + C 3 C 3 e t C 3C 3 0 e t C C + C 3 C 3 t e t Przewidujemy rozwiązanie szczególne problemu niejednorodnego (.7.4.) metodą uzmienniania stałych tj. rozwiązanie szczególne postaci: x(t) C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) e t y(t) = C (t) 3C 3 (t) 0 e t (.7.4.8) z(t) C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) t e t s Różniczkując stronami x(t) y(t) = C (t) C (t) + C 3(t) C 3(t) C (t) 3C 3(t) 0 e t e t z(t) C (t) C (t) + C 3(t) C 3(t) t e t s + C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) C (t) 3C 3 (t) 0 e t e t C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) t e t + e t Ponadto mamy, że e t e t = t e t + e t e t e t t e t (.7.4.9)
36 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 35 Wstawiając (.7.4.9) do poprzedniej równości otrzymujemy: x(t) y(t) z(t) s = + C (t) C (t) + C 3(t) C 3(t) e t C (t) 3C 3(t) 0 e t C (t) C (t) + C 3(t) C 3(t) t e t C (t) C (t) + 3C 3 (t) C 3 (t) e t C (t) 3C 3 (t) 0 e t C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) t e t (.7.4.0) Natomiast z treści zadania mamy, że x(t) y(t) z(t) s = 5 4 C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) e t 0 5 C (t) 3C 3 (t) 0 e t C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) t e t C (t) C (t) + 3C 3 (t) C 3 (t) e t 0 = C (t) 3C 3 (t) 0 e t + 0 C (t) C (t) + C 3 (t) C 3 (t) t e t (.7.4.) Po przyrównaniu do siebie (.7.4.0) i (.7.4.) problem sprowadza się do: C (t) C (t) + C 3(t) C 3(t) e t 0 C (t) 3C 3(t) 0 e t = 0 C (t) C (t) + C 3(t) C 3(t) t e t C (t) e t +C (t) e t +C 3(t)( e t +t e t ) = 0 C (t) e t +3C 3(t) e t = 0 C (t) e t +C (t) e t +C 3(t)(e t +t e t ) = e t e t e t +t e t C (t) 0 e t 0 3 e t C (t) = 0 (.7.4.) e t e t e t +t e t C 3(t) Do rozwiązania układu (.7.4.) wykorzystamy metodę wyznaczników. e t e t e t +t e t W = det e t 0 3 e t = 6 e t ( e t +t e t )+3 e t +(e t +t e t ) 6 e t = e t e t e t e t +t e t W C W C W C 3 0 e t e t +t e t = det e t = ( ) 4 e t e t +t e t e t e t +t e t 0 3 e t = 3 et = det e t 0 e t +t e t e t 0 3 e t e t e t +t e t = ( ) 5 e t e t +t e t e t 3 e t e t e t 0 = det e t 0 0 = ( ) 6 e t e t e t e t e t 0 = = t 7
37 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 36 Zatem C (t) = C (t) = C 3 (t) = WC 3 e t W dt = e t dt = 3 e t (.7.4.3) WC t 7 W dt = e t dt = 9 e t +t e t (.7.4.4) WC 3 W dt = e t dt = e t (.7.4.5) Powyższe uzmiennione funkcje wstawiamy do rozwiązania szczególnego przewidzianego w (.7.4.8): x(t) 3 e t 5 e t +t e t e t e t y(t) z(t) = 6 e t (t) 6 e t (t) 6 e t 7 e t +t e t 0 e t e t t e t (.7.4.6) s Ostatecznie rozwiązanie równania (.7.4.) jest postaci: x(t) x(t) x(t) y(t) = y(t) + y(t) = z(t) z(t) z(t) C C + C 3 C 3 e t 3 e t 5 e t +t e t e t e t = C 3C 3 0 e t + 6 e t 6 e t 0 e t = C C + C 3 C 3 t e t 6 e t 7 e t +t e t e t t e t C C + C 3 C 3 e t 8 = C 3C 3 0 e t + C C + C 3 C 3 t e t 3 Zauważmy, że rozwiązanie szczególne mogliśmy otrzymać prostszą metodą. Przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci stałej tj. x(t) y(t) = D D z(t) D 3 Wstawiamy je do równania (.7.4.) s D 5 4 D 0 5D D 4D 3 D = 5 D + 0 = D + 5D + D 3 D D 3 0D 3D 9D 3 + Stąd otrzymujemy następujący układ równań liniowych 5D D 4D 3 = 0 D + 5D + D 3 = 0 0D 3D 9D 3 = o s Zatem D D D 3 8 = 3
38 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 37 Ostatecznie rozwiązanie równania (.7.4.) jest postaci: x(t) y(t) = x(t) y(t) + x(t) y(t) = C C + C 3 C 3 C 3C 3 0 e t e t + z(t) z(t) z(t) C C + C 3 C 3 t e t o s Układy z wielokrotną wartością własną rozwiązywalne bez metody Eulera Zadanie.7.5. Odszukać rozwiązania równania x x y = 3 3 y z z Rozwiązanie. Stosujemy metodę wartości własnych. Łatwo sprawdzić, że macierz posiada dwie wartości własne λ = 0 wartość własną pojednczą oraz λ = wartość własną podwójną. Poszukujemy wektorów własnych dla tej wartości własnej, dokładnie dwóch liniowo niezależnych. x y = 0 z 0 Macierz w tym problemie jest osobliwa, zatem problem ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Łatwo zauważyć, że macierz w tym równaniu ma rząd równy. Wobec twierdzeń Kroneckera-Cappellego przestrzeń rozwiązań jest dwuwymiarowa. Oznacza to, że możemy wybrać dwa liniowo niezależne wektory własne dla tego równania (bez konieczności rozważania kolejnego równania). Poszukiwane wektory własne to np. w =, w = 0 Łatwo odszukać, że wektorem własnym dla λ = 0 będzie np. wektor Zatem rozwiązanie będzie postaci: x y = C e C e t 0 + C 3 e t = z C C + C 3 0 3C C 3 0 e t C C 0 0 Łatwo sprawdzić, że jest to w istocie rozwiązanie problemu wyjściowego. Rozwiązanie zerowe jest poprawne, zatem nie jest możliwy brak rozwiązań. Zauważmy, że w takim przypadku B = I czyli w zasadzie pomimo wartości własnych wielokrotnych wzory metody Eulera nie będą potrzebne.
39 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 38 Powyższe zadanie jest przykładem na to jak nawyk potrafi sprawić, że jesteśmy zgubieni. Najbardziej podstawowym twierdzeniem dla nas twierdzenie, że n funkcyjnie liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych rozpina przestrzeń wszystkich rozwiązań równania. Nie jest istotne czy otrzymamy je z metody Eulera czy też po prostu biorąc kilka niezerowych i liniowo niezależnych rozwiązań..8 Równanie zupełne.8. Równanie z poszukiwanym czynnikiem całkującym Zadanie.8.. Odszukaj całkę ogólną z równania zupełnego postaci ( 3t y + ty + y 3) dt + ( t + y ) dy = 0 (.8..) Rozwiązanie. Zacznijmy od sprawdzenia czy równanie jest w postaci zupełnej. Przyjmując, że równanie jest podane w postaci P (t, y)dt + Q(t, y)dy = 0, sprawdzenie warunku pochodnych mieszanych sprowadza się do weryfikacji znaku równości P y = Q t. P y = 3t + t + 3y Q t = t P y (.8..) Poszukujemy zatem czynnika całkującego zależnego jedynie od t. Wtedy spełniony musiałby być warunek µp y = µ tq + µq t. W konsekwencji ln µ(x) = P y Q t 3t Q dt = + t + 3y t t + y dt = 3t (.8..3) Stąd czynnik całkujący ma postać µ(t) = e 3t. Równanie przyjmuje postać: ( 3t y e 3t +ty e 3t + e 3t y 3) dt + ( e 3t t + e 3t y ) dy = 0 (.8..4) Upewnijmy się, że równanie jest teraz w postaci zupełnej. Przyjmując, że jest ono w postaci P (t, y)dt + Q(t, y)dy = 0 P y = 3t e 3t +t e 3t +3y e 3t Q t = t e 3t + e 3t 3t + 3y e 3t = P y (.8..5) Wyznaczmy całkę ogólną równania: Stąd F (x, y) = 3t y e 3t +ty e 3t + e 3t y 3 dt = t e 3t y + y 3 e3t 3 + C(y) F (x, y) = e 3t t + e 3t y dy = t e 3t y + y 3 e3t 3 + C(t) (.8..6) F (x, y) = t e 3t y + y 3 e3t 3 = C (.8..7) jest całką ogólną równania.
40 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 39.9 Równanie z poszukiwaniem czynnika o znanej postaci Zadanie.9.. Rozwiąż równanie x xy + (x + y)y = 0 (.9..) odnajdując najpierw czynnik całkujący postaci µ(x, y) = µ ( x + y ) Rozwiązanie. Równanie nie jest w postaci zupełnej P y = x Q x = x (.9..) Poszukujemy czynnika całkującego postaci µ ( x + y ). ( ( µ x + y ) P (x, y) ) y = ( µ ( x + y ) Q(x, y) ) x µ zyp + µp y = µ zxq + µq x µ z(yp xq) = µ(q x P y) ln µ = Q x P y yp xq d(x + y ) (.9..3) Zatem musimy policzyć następującą całkę aby odszukać czynnik całkujący x+x y(x xy) x(x +y) d(x + y ) = 3x yx xy x 3 +xy d(x + y ) = 3x ( x)(y +x ) d(x + y ) = 3 z dz (.9..4) Zatem otrzymujemy równanie algebraiczne postaci Stąd µ = z 3 czyli czynnik całkujący postaci ln µ = 3 ln z (.9..5) µ(x + y ) = Zatem mamy równanie w postaci zupełnej (x + y ) 3 (.9..6) x xy (x + y ) + x + y 3 (x + y ) 3 y = 0 (.9..7) Sprawdzamy czy równanie jest w istocie zupełnym P y = x 3(x xy)(x +y ) y = x(x +y ) 3(x xy)y (x +y ) 3 (x +y ) 9 (x +y ) 5 (x +y ) 5 = (x +3y y )x (x +y ) 5 Q x = x x +y 3 3(x +y)(x +y ) x (x +y ) 9 = (x +3y y )x (x +y ) 5 = (.9..8) Odszukajmy całkę równania F (x, y) = x xy y x dx = (x +y ) 3 dx = (x +y ) 3 z 3 dz = y + C(y) (.9..9) x +y y
41 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 40 Policzenie drugiej całki okazuje się być znacznie trudniejsze. Pokażemy jak wygląda oraz jak można go uniknąć. F (x, y) = x + y dy (.9..0) (x + y ) 3 Najpierw rozdzielmy na dwie całki. Pierwsza z nich jest natychmiastowa: y = (x + y ) 3 x + y. (.9..) Aby policzyć drugą zastosujmy podstawienie trygonometryczne y = x tg u. x (x +y ) 3 x 3 x 3 ( + sin u cos u dy = x (x + x tg u) 3 ) 3 x cos u du = ( cos u ) 3 cos udu = sgn x () 3 cos udu = sgn x sin u (.9..) Aby powrócić z podstawienia zauważmy, że sin u = sin u sin u + cos u cos u cos u = tg u tg u + Co uwzględniając wiedzę o znaku sin oraz tg daje nam sin u = tg u tg u + (.9..3) (.9..4) Zatem druga całka wynosi = sgn x y x y x + Stąd druga całka wynosi 3 Stąd całka równania ma postać: y x = sgn x x y + x = y y + x (.9..5) F (x, y) = y + C(x) (.9..6) x + y F (x, y) = y x + y = C (.9..7) By uprościć rozwiązanie zamiast całkować, możemy inaczej poszuakać postaci funkcji C(y), czyli różniczkować. Przypomnijmy, że F (x, y) = y + C(y) (.9..8) x + y 3 Można zauważyć wystąpienie problemu dla x = 0 ale w ogólnym rozrachunku widać, że ten przypadek nic nie wnosi.
42 ROZDZIAŁ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 4 z pierwszego (prostego) całkowania. Q(x, y) = F y(x, y) = ( (y )y ) 3 + C (y) = x +y x +y = x +y y +y ( ) 3 + C x (y) = +y ( ) 3 + C (y) x +y x +y (.9..9) A zatem C (y) = 0 stąd F (x, y) = y x + y = C (.9..0)
43 Rozdział Analiza jakościowa równań różniczkowych zwyczajnych. Badanie charakteru i stabilności punktów krytycznych układów równań różniczkowych { x = x + y(x + y ) y = y x(x + y ) Poszukajmy punktów krytycznych( punktów w których obie pochodne się zerują). Należy więc rozwiązać układ: { 0 = x + y(x + y ) 0 = y x(x + y ) Oczywistym rozwiązaniem jest punkt (x 0, y 0 ) = (0, 0). Jeśli którakolwiek ze zmiennych x lub y przyjmie wartość 0 to otrzymujemy punkt (0, 0). Gdy żadna z nich nie jest równa zero, możemy pierwsze równanie pomnożyć przez x, a drugie przez y. Następnie dodajmy równania stronami. Po takim przekształceniu otrzymujemy warunek: 0 = x + y Stąd wynika że jest tylko jeden punkt krytyczny. Żeby sprawdzić jaki charakter ma ten punkt zastosujemy narzucające się podstawienie biegunowe: { x = r cos φ y = r sin φ Gdzie r 0 i φ [0, Π).Przekształcony układ wygląda następująco: { r cos φ r sin φ φ = r cos φ + r 3 sin φ r sin φ + r cos φ φ = r sin φ + r 3 cos φ Na pierwszy rzut oka nie jest to zbyt przyjemna postać tego układu. Wystarczy jednak zastosować pewną sztuczkę - pomnóżmy pierwsze równanie przez cos φ, a drugie przez sin φ, następnie dodajmy je stronami. Dostajemy wtedy { r cos φ r sin φ cos φ φ = r cos φ + r 3 sin φ cos φ r sin φ + r cos φ sin φ φ = r sin φ + r 3 cos φ sin φ r cos φ+r sin φ = r cos φ+r sin φ 4
44 ROZDZIAŁ. ANALIZA JAKOŚCIOWA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH43 Stąd mamy, że r = r. Z założenia r 0 mamy że dla każdego t, funkcja r(t) jest rosnąca, co skutkuje tym, że jakikolwiek punkt z sąsiedztwa punktu (0, 0) oddala się od niego wraz z przyrostem czasu. Rozwiążemy ten problem również drugim sposobem - korzystając z twierdzenia o Linearyzacji Hartmana- Grobmana. Aby to zrobić policzmy macierz Jacobiego tego układu w punkcie (0, 0). [ J(x, y) = + xy x + 3y 3x y xy J(0, 0) = [ 0 0 Mamy w tym wypadku wartości własne dodatnie. Stąd, wiemy że jest to punkt krytyczny niestabilny.. Badanie stabilności z wykorzystaniem funkcji Lapunowa Rozważamy równanie postaci ] ] x = f(x) (..0.) gdzie f : R n Q R n funkcja klasy C, gdzie Q jest pewnym niepustym zbiorem otwartym, zawierającym 0 R n będące punktem krytycznym układu. Definicja.. (Funkcja Lapunowa). Funkcję V : Q R klasy C spełniającą warunki () V (x) 0 () V (x) = 0 x = 0 (3) gdy t x(t) jest rozwiązaniem (..0.) to funkcja t V (x(t)) jest nierosnąca na t Warunek (3) jest równoważny warunkowi, że grad V f 0. Twierdzenie... Jeśli dla (..0.) istnieje funkcja Lapunowa, to rozwiązanie zerowe jest stabilne. Jeśli dodatkowo grad V f < 0 dla x Q \ {0}, to jest to rozwiązanie asymptotycznie stabilne. Definicja..3. Funkcję V (x) nazywamy antyfunkcją Lapunowa jeżeli:. V (x) = 0 x = 0. V (x) 0 3. dla x Q \ {0} zachodzi warunek V (x(t)) t > 0 4. W przypadku gdy Q = R n to funkcja musi spełniać dodatkowo warunek lim V (x) = + x + Czyli V musi być funkcją koercywną.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd
Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie
13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 1 / 45
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowo