Uwagi do materiału mogącego stanowić pomoc dla nauczycieli w przygotowaniu uczniów do egzaminu maturalnego z matematyki z zakresu rozszerzonego.

Transkrypt

1 Uwagi do materiału mogącego stanowić pomoc dla nauczycieli w przygotowaniu uczniów do egzaminu maturalnego z matematyki z zakresu rozszerzonego. 1. Pragniemy pomóc państwu w przygotowaniu uczniów do egzaminu maturalnego poprzez: - podzielenie materiału powtórzeniowego na trzy etapy - opracowanie zestawów zadań powtórzeniowych - wskazówki metodyczne do wybranych zadań (trening twórczości) - podanie treści zadań sprawdzianów podsumowujących każdy etap, wraz z odpowiedziami - prezentację zadań z "najbliższego doświadczenia" (sprawdzian VI 2015, matura 2015) 2. W naszym rozumieniu propozycja ta może jedynie wzbogacać Państwa pracę i nie stanowi zamkniętej całości, jest pewnym spojrzeniem doświadczonych nauczycieli i podpowiedzią dla kolegów - nauczycieli jak można pracować z uczniami. 3. Zachęcamy do korzystania z konsultacji w powiatach z nauczycielami - liderami i tam pracą nad tworzeniem i doskonaleniem własnego warsztatu nauczyciela - opiekuna ucznia przygotowującego się do egzaminu maturalnego. W szczególności, właśnie na takich spotkaniach można nauczyć się elementów treningu twórczości i stosowania go w praktyce szkolnej. 4. Ważne jest, by każdy z Państwa opracował dla siebie i swoich uczniów pewną metodę efektywnego przygotowania ucznia do egzaminu maturalnego - pomocne tutaj mogą być: - liczne opracowania podręcznikowe, przykładowe arkusze, zbiory zadań powtórzeniowych, - podręczniki typu - vademecum różnych wydawnictw, - strony internetowe CKE, OKE czy np. zadania. info (z zestawami zadań w wersji 8-9 tygodniowej przed samą maturą) 5. Ważną, naszym zdaniem, jest metoda "przerabiania" zestawów zadań maturalnych z ostatnich lat - uczeń ma możliwość wyćwiczenia konkretnych umiejętności oraz opanowania materiału podstawowego oraz wyćwiczenia go (Dobrze jak wie, jakie zadania są najważniejsze! - wtedy chętniej skupia się na ich opanowaniu) - o tym będziemy chcieli napisać w kolejnych materiałach.

2 Materiał powtarzany w I etapie - Zestaw zadań oraz komentarzy metodycznych, niekiedy elementów treningu: I1. Liczby i wyrażenia 1. Liczba x z dzielenia przez 7 daje resztę 2, a liczba y z dzielenia przez 7 daje resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia liczby xy przez Wiedząc, że x + y = 7 oraz x 2 + y 2 = 47 oblicz wartość wyrażenia x 3 + y 3. Uwaga: (1) Można też "odwrócić" zadanie: mając dane x + y = 7 oraz x 3 + y 3 = 322 oblicz wartość wyrażenia x 2 + y 2, (2) I jeszcze "ambitniej" : mając dane x 2 + y 2 = 47 oraz x 3 + y 3 = 322 oblicz wartość wyrażenia x + y 3. Uzasadnij, że liczba jest liczbą całkowitą. Warto pokazać najpierw zadanie w którym udaje się zaprezentować dwie metody rozwiązania: - w tym przypadku można pokusić się o odgadnięcie faktu, że = Powyższa metoda "obliczenia" wartości każdego pierwiastka z osobna przestaje być skuteczna w naszym zadaniu - tutaj trzeba uczniowi pokazać "chwyt" = x, podnieść do trzeciej potęgi i próbować dojść do wielomianu o zmiennej x (Trochę pachnie tutaj metodą poszukiwania: np. postaci liczby 0,(21), czy obliczania sumy szeregu geometrycznego, np. 1 +2x +3x nx n-1 ) 4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n 5 - n jest podzielna przez Wyznacz wszystkie liczby pierwsze różne od 2 i 5, przez które jest podzielna każda liczba postaci 10 n n, gdzie n jest liczbą naturalną. 6. Sprawdź, czy liczba x = jest wymierna. 7. Liczby dodatnie spełniają warunek. Udowodnij,że 1 Uwaga: Można podstawić: x = a 2 b i y = bc 2 i potem skorzystać z założenia 3

3 8. Wykaż, że dla każdej liczby pierwszej p większej od 5 liczba jest podzielna przez 12. Uwaga: Warto to zadanie zestawić w ciąg z zadaniem 4 - podpowiedzią jest prosty, intuicyjny fakt, że w ciągu kolejnych k liczb całkowitych, któraś z nich jest podzielna przez k Uwaga: Przy okazji tego zadania uczymy, że w zadaniu należy koniecznie (najlepiej świadomie) wykorzystywać założenia - p - liczbą pierwszą jest! 9. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p aby liczba była też liczba pierwszą. Uwaga: Warto zasygnalizować dwa fakty: po pierwsze liczba ta musi być naturalna, po drugie liczba p musi być dzielnikiem 30 Zadanie podobne - zadanie 8 w dziale ciągi! 10. Wykaż, że jeśli liczba naturalna nie jest podzielna przez 4,to reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 8 jest równa 1 lub Liczbę pierwszą 2011 zapisano w postaci a 2 - b 2, gdzie a i b są liczbami naturalnymi. Oblicz a 2 + b Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność: a 2 +b (a+b-ab) Uwaga: Nierówność a 2 + b (a + b - ab) jest równoważna kolejno nierównościom: a 2 + b 2 + 2ab+4 2(a + b), (a + b) (a + b), (a + b) 2-2(a + b) , czyli [(a + b) - 1 ] Uwaga: Można też pogrupować trochę wyrażenie ze względu na jedną niewiadomą np. podstawić a = x i wtedy otrzymujemy x 2 + (2b - 2) x + b 2-2b i licząc wyróżnik trójmianu uzyskamy, że jest on stale ujemny! Warto poszukać innych zadań stosujących tą metodę i ćwiczyć z uczniami. 13. Rozwiąż równanie

4 I2. Funkcja kwadratowa 1. Wykaż, że nie istnieje wartość parametru m, dla której funkcja określona wzorem f(x)= ( jest funkcją liniową rosnącą. 2. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x 2 - mx + 2m. Funkcja g przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej m najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <-1;1>. Wyznacz wzór funkcji g. Uwaga: Trzeba do rozwiązania tego zadania "przystawić drabinę dojścia": czyli kilka szczebli myślowych (1) Przypomnieć jak rozwiązujemy zadanie na wyznaczanie wartości najmniejszej i największej w przedziale, np. dla m = 1, czy m = 6 (2) Znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli - wykresu funkcji f (3) Rozważyć położenie wierzchołka względem podanego przedziału 3. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 2 2x - 2 x Uwaga: Zadanie trochę "na wyrost" - ale myślę, że warto nauczyć ucznia rozwiązywania zadań sprowadzalnych do funkcji kwadratowej: 2 x = t i ćwiczymy umiejętność "przetłumaczenia" warunków ze zmiennej t na zmienną x 4. Dla jakiej wartości parametru m największa wartość funkcji f(x) = (mx-2)(x-1) wynosi 8? 5. Dla jakich wartości parametru p dziedziną funkcji f(x) = jest zbiór liczb rzeczywistych? 6. Dla jakich wartości parametru m równanie: ma jedno rozwiązanie? Uwaga: Ćwiczymy pożądaną postawę myślową: Sporządzamy i analizujemy wykres funkcji zadanej wyrażeniem po lewej stronie równania a następnie formułujemy odpowiedź, przeciwstawiając jej metodę przenoszenia parametru m na lewą stronę równania i rozwiązywania zadania metodą algebraiczną 7. Rozwiąż nierówność w zbiorze liczb dodatnich. 8. Liczby ( ) są pierwiastkami równania. Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem g(m)

5 9. Rozwiąż równanie = Uwaga: Zadanie proste - pułapka! Uczymy potrzeby sprawdzania, czy otrzymane wyniki należą do dziedziny zadania 10. Dla jakich wartości parametru m miejsca zerowe x 1 i x 2 funkcji f określonej wzorem f(x) = x 2 + mx + m spełniają warunek: (x 1 + 2x 2 )(x 2 + 2x 1 ) = 1? 11. Zbadaj dla jakich wartości parametru m istnieje dokładnie jedna para liczb rzeczywistych (x, y) spełniających układ równań:. Dla wyznaczonej wartości m podaj ilustrację graficzną układu równań. 12. Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 84,a ich największy dzielnik wynosi 12. Oblicz możliwie największy iloczyn tych liczb. I3. Wielomiany 1. Wykaż, że liczba - 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x 3 + x 2-3x W wielomianie W suma współczynników przy parzystych potęgach zmiennej x jest równa sumie współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej x. Wykaż, że liczba (-1) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Uwaga: To jest taki rodzaj zadania, w którym uczeń może nie wiedzieć od czego zacząć. Warto wtedy sformułować zadanie "prostsze" - spróbuj to zrobić dla trójmianu kwadratowego, a potem dla wielomianu stopnia 3, 4; Można też spróbować rozpocząć rozwiązywanie zadania od wielomianu, którego pierwiastkiem jest liczba (-1) i sprawdzić jak to wtedy będzie ze współczynnikami - ale zwracamy uwagę na poprzednik i następnik implikacji, którą mamy udowodnić! 3. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m funkcja f(x) = x 2 + mx + m 1 posiada miejsce zerowe. 4. Udowodnij, że wielomian W(x) = x 4 + x 3 + a 2 x - a 4 ma dokładnie dwa pierwiastki. Uwaga: Można spróbować "odgadnąć" pierwiastek jak w zadaniu 3 albo pogrupować w pary i przedstawić w postaci iloczynu trójmianów 5. Oblicz sumę kwadratów wszystkich pierwiastków wielomianu W(x) = x 4 - x 2 +

6 6. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność: x 4 + 2x > 2x x Uwaga: Zastosujemy rozkład 2x 2 = x 2 + x 2 i pogrupujemy wyrazy po przeniesieniu wyrażeń na jedną stronę. Nie widać jakoś innej metody - takiej, w której widzielibyśmy korzyść z takiego zapisu wyrażeń (po obu stronach nierówności) 7. Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia wielomian W(x) = x Wykaż, że wyrażenie W(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 można przedstawić w postaci kwadratu trójmianu kwadratowego. Uwaga: Można zastosować tutaj dwie metody: (1) typową - "przewidujemy" z dokładnością do znaku przy x 2 i 1, że W(x) = (x 2 +ax+1) 2 oraz porównujemy współczynniki obu postaci wielomianu W (2) nietypową - stosujemy podstawienie (x 2 +5x) = t, gdyż czynniki x+1, x+4 oraz odpowiednio x+2, x+3 pomnożone przez siebie dadzą takie same współczynniki przy x - [(x+1)(x+4)] = (t + 4) oraz [(x+2)(x+3)] = (t + 6), stąd W(x)= W(t) = (t+4)(t+6)+1= t t +25 = (t+5) 2 9. Wykaż że niezależnie od p wielomian W(x)= +(p ma pierwiastek całkowity. Oblicz dla jakiego p pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny. Uwaga: Zadanie bardzo podobne do zadania maturalnego z tego roku - warto dyskutować potrzebę pytania o kolejność pierwiastków w ciągu. 10. Dane jest równanie Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru k, dla których równanie ma cztery różne rozwiązania. 11. Dane są dwa wielomiany w(x)= i g(x)=. Rozwiąż równanie w(x) 3g(x) w(x) 3g( x ).

7 I4. Ciągi 1. Dana jest funkcja f(x) =. Udowodnij, że a n = f(n) jest ciągiem arytmetycznym, gdzie n = 1,2,3,... Uwaga: Zadanie dla uczniów/nauczycieli, którzy się boją nowości - "Nie taki diabeł straszny...!" W dziedzinie naturalnej moduły znikają! 2. Trzy liczby, których suma wynosi 91, tworzą rosnący ciąg geometryczny. Jednocześnie liczby te są pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby 3. Dany jest ciąg arytmetyczny o początkowych wyrazach 2015, 2011, 2007,... Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest większych od W ciągu geometrycznym o wyrazach różnych od 0 piąty wyraz jest równy sumie wyrazów od czwartego do dwunastego włącznie. Wykaż, że iloraz tego ciągu jest liczbą niewymierną. 5. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a 1 = -20, a n+1 = Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu 6. Znajdź tę wartość parametru m, dla której równanie x 2 + (m-3)x - 4m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki a i b takie, że ciąg (a, ab, b) jest arytmetyczny. 7. Skończony ciąg arytmetyczny (a n ) ma nieparzystą liczbę wyrazów. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 165, a suma wyrazów o nieparzystych numerach jest równa 88. Z ilu wyrazów składa się ciąg (a n )? 8. Zbadaj, czy wśród wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a n = są wyrazy będące liczbami naturalnymi. Uwaga: Warto zbadać monotoniczność ciągu To już jest "koniec" zestawu? Niedokładnie - teraz jest czas i miejsce dla Ciebie kolego nauczycielu - twórz własny zestaw zadań, zachęcaj do tego swoich uczniów, a ciekawymi pomysłami - dziel się z Nami!!!

8 Matura 2015 (maj i czerwiec) (niektóre zadania są zmodyfikowane dla potrzeb opracowania) 1. Rozwiąż nierówność: 2. Funkcja f jest określona wzorem: f(x) = x-2 dla x 0, f(x) = dla x > 0. Ile rozwiązań ma równanie f(x) = 1? 3. Oblicz (3-2 ) 3 4. Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej. Oblicz Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x 4 - x 2-2x + 3 > 0 6. Dany jest trójmian kwadratowy f(x) = (m+1)x 2 + 2(m-2)x - m + 4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1, x 2 spełniające warunek (x 1 ) 2 - (x 2 ) 2 = (x 1 ) 4 - (x 2 ) 4 7. Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x) = x 3 +ax 2 + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c. Rozważ wszystkie możliwe przypadki. 8. Ciąg (a n ) jest określony wzorem: a n+1 = a n + n - 6 dla każdej liczby naturalnej n 1. Wyznacz drugi wyraz tego ciągu wiedząc, że trzeci wyraz wynosi (-1). 9. Określ dziedzinę wyrażenia: 10. Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność:

9 Sprawdzian PCEN po drugiej klasie 1. Dla jakich wartości a funkcja f(x) = (1-2a)x + a jest rosnąca? 2. Ile miejsc zerowych ma funkcja f(x) =? 3. Zbadaj jaką liczbą niewymierną czy wymierną jest. 4. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x spełniającą równanie: 2 = 5. Oblicz różnicę między dwoma największymi pierwiastkami wielomianu W(x) = 4x 4-13x Wykaż, że każda liczba rzeczywista spełnia nierówność:. 7. Dla jakich wartości parametru wykres malejącej funkcji liniowej f(x) = ( )x + -2 przecina oś rzędnych powyżej punktu (0,0)? 8. Wyznacz te wartości x, dla których ciąg arytmetyczny (x + y; x + 2y; x 2 + 2x + 2y - 2) jest rosnący. 9. Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = ax 3 + 3x 2 + bx + 4. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x + 1 jest równa 12. Oblicz współczynniki a i b. Rozwiąż nierówność W(x) < Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x 2 + (m-1)x + m 2-5m + 4 = 0 przyjmuje wartość największą? Wyznacz tę wartość. Materiał opracowany z pomocą uczniów oraz kolegi mgr Zdzisława Bocheńskiego dr Mariusz Kraus Rzeszów 21 X 2015