DYFRAKCJA ELEKTRONÓW I ŚWIATŁA NA SIECI KRYSTALICZNEJ

Transkrypt

1 Politechnik Wrszwsk Wydził Fizyki Lbortorium Fizyki I P Andrzej Politechnik Kubiczyk Wrszwsk Wydził Fizyki Lbortorium Fizyki I P Andrzej Kubiczyk 37 DYFRAKCJA ELEKTRONÓW I ŚWIATŁA NA SIECI KRYSTALICZNEJ 37 DYFRAKCJA ELEKTRONÓW I ŚWIATŁA NA SIECI KRYSTALICZNEJ 1. Podstwy fizyczne Podne przez A. Einstein w 1905 roku wyjśnienie efektu fotoelektrycznego jk równieŝ zobserwowne w 1923 roku zjwisko rozprszni promieni X n swobodnych elektronch zmieniło rdyklnie nsze poglądy n nturę fl elektromgnetycznych. Fle elektromgnetyczne, chociŝ wykzują włsności chrkterystyczne dl ruchu flowego (dyfrkcj, interferencj itp.), w oddziływniu z elektronem zchowują się jk strumień cząstek (fotonów), których energi jest równ hν (h - stł Plnck, ν- częstotliwość fli świetlnej) pęd p wynosi: hν h p = =, (1) c λ gdzie c prędkość fli świtł, λ - długość fli. Nie moŝn stwierdzić, Ŝe ntur fotonów jest flow lub, Ŝe jest korpuskulrn jedynie, Ŝe wykzują one cechy zrówno flowe jk i korpuskulrne. Ten sposób ich zchowni określ się jko dulizm korpuskulrno flowy. W 1924 roku Louis de Broglie przedstwił hipotezę, zgodnie z którą kŝdej cząstce moŝn przypisć flę o długości: h λ = (2) p gdzie p jest pędem cząstki. Ozncz to, Ŝe w pewnych wrunkch poruszjącą się cząstkę moŝn trktowć jk flę. Flę tką nzywmy flą mterii lub flą de Broglie. Wrto zwrócić uwgę, Ŝe równnie (2) otrzymć moŝn przeksztłcjąc wzór (1). Nie jest to zbieŝność przypdkow. U podstw hipotezy de Broglie tkwi bowiem złoŝenie, Ŝe dulizm korpuskulrno flowy jest podstwową włsnością cłej mterii, więc zrówno fotonów (o msie spoczynkowej równej zeru!) jk i cząstek korpuskulrnych (o msie spoczynkowej róŝnej od zer). Aby sprwdzić słuszność hipotezy de Broglie nleŝy doświdczlnie wykzć, Ŝe cząstki podlegją zjwiskom chrkterystycznym dl ruchu flowego np. zjwisku interferencji lub dyfrkcji, spełnijąc przy tym zleŝność (2). Aby zobserwowć zjwisko interferencji, nleŝy uŝyć sitki dyfrkcyjnej, której stł (tzn. odległość pomiędzy szczelinmi) nie róŝni się zncząco od długości pdjącego promieniowni (nie więcej niŝ dw rzędy wielkości). Jednocześnie cząstki, by mogły przenikć przez brdzo cienkie wrstwy mterii, powinny posidć znczną energię. Wtedy ich pęd będzie duŝy i zgodnie ze wzorem (2) długość fli de Broglie stnie się brdzo mł. To z kolei nrzuc wrunek n brdzo młą wrtość stłej sitki dyfrkcyjnej, zncznie mniejszą od moŝliwych do wykonni. Dl przykłdu: elektrony, by przeniknąć folię luminiową o grubości około 50 nm, muszą posidć energię około 10 kev, le wtedy ich długość fli de Broglie wynosi około 0,01 nm. Jest to wrtość mniejsz od średnicy tomu. Jk więc wykonć sitkę dyfrkcyjną o tk młych odległościch pomiędzy szczelinmi? Okzuje się, Ŝe wcle tkich sitek nie musimy wytwrzć, gdyŝ ich rolę spełniją krysztły. Atomy w krysztle są rozmieszczone w sposób periodyczny, odległości międzytomowe wynoszą kilk Å (czytj: ngsztremów) (1Å = 0,1 nm = m), co czyni je przydtnymi do obserwcji zjwisk interferencji fl de Broglie. Opis róŝnego typu cił krystlicznych orz definicje podstwowych pojęć związnych z budową krystliczną podno w Dodtku A.

2 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej Dyfrkcj fli n sieci krystlicznej ZłóŜmy, Ŝe n krysztł pd fl o długości λ. KŜdy tom krysztłu z nią oddziłujący sm stje się źródłem nowej (wtórnej) fli kulistej o tej smej długości (zsd Huyghens). Fle wtórne, emitowne przez poszczególne tomy, będą interferowć ze sobą. Aby znleźć wynik interferencji w przypdku ogólnym, rozptrzmy n początku przypdek, kiedy fl płsk oddziływć będzie tylko z jedną płszczyzną tomową. PoniewŜ krysztł moŝemy przedstwić jko zbiór równoległych płszczyzn tomowych, to proces powstwni w nim nowej fli opisć moŝn jko nkłdnie się (interferencję) fl kulistych powstjących w poszczególnych płszczyznch tomowych. Fle te zostną po nłoŝeniu, w zleŝności od róŝnicy ich dróg optycznych, wzmocnione lub osłbione, ptrz rys.1. Wrunkiem wzmocnieni fl jest, by róŝnic dróg optycznych był równ wielokrotności długości fli θ A θ 2θ 2 p 1 d C θ θ D p 2 B Rys.1 Dyfrkcj świtł n krysztle (1 ozncz kierunek, w którym nstępuje wzmocnienie fli w wyniku zjwisk interferencji) Z rysunku 1 wynik, Ŝe róŝnic dróg optycznych dl punktów przestrzeni połoŝonych n kierunkch 1 i 2 dl dwóch kolejnych płszczyzn tomowych (p 1 i p 2 ) wynosi: CB + BD = 2d sinθ (róŝnic dróg zznczon jest n rysunku kolorem czerwonym). Wzmocnienie interferencyjne wystąpi, gdy będzie on równ cłkowitej wielokrotności długości fli, tj.: 2 d sinθ = nλ (3) gdzie d - jest odległością między płszczyznmi tomowymi θ - kątem między kierunkiem promieni pdjącego płszczyzną tomową (tzw. kąt poślizgu - nie mylić z kątem pdni!!!), ntomist n = 1,2,3,...(rząd ugięci). Równnie (3) nosi nzwę wzoru Brgg. ChociŜ przy wyprowdzniu wzoru Brgg rozwŝne były fle powstjące tylko w dwóch kolejnych płszczyzn tomowych, to okzuje się, Ŝe jest on słuszny równieŝ w przypdku udziłu duŝej liczby tych płszczyzn. Z rys.1 widć równieŝ, Ŝe kąt między kierunkiem n którym leŝą mksim interferencyjne przedłuŝeniem kierunku fli pdjącej wynosi 2 θ. Opisny wyŝej mechnizm dyfrkcji fli n krysztle nosi nzwę dyfrkcji brggowskiej (w literturze moŝn spotkć często określenie odbicie brggowskie ). Pmiętć jednk nleŝy, Ŝe jest to szczególne odbicie tj. zchodzi tylko wtedy, gdy spełniony jest wrunek: 2 d sinθ = nλ. Tk więc zjwisko Brgg moŝn zobserwowć tylko dl fl o długościch porównywlnych z odległością między płszczyznmi międzytomowymi (d rzędu 0,1 nm) i krótszych. MoŜliwe jest więc spełnienie równni (3) dl promieniowni rentgenowskiego, niemoŝliwe dl świtł widzilnego (λ = nm). W krysztłch moŝn wyróŝnić wiele rodzin płszczyzn tomowych. N przykłd w przekroju krysztłu przedstwionym n rys.2, oprócz płszczyzn p 1, p 2, p 3,... moŝn wyróŝnić płszczyzny t 1,

3 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 3 t 2, t 3,..., s 1, s 2, s 3,..., u 1, u 2, u 3,.... KŜd rodzin wymienionych tu płszczyzn, chrkteryzując się włsną odległością między płszczyznmi d i, moŝe dć opisne powyŝej zjwisko, jeŝeli tylko spełniony będzie wrunek Brgg. Z tego teŝ powodu otrzymujemy wiele kierunków wzmocnień dl róŝnych kątów poślizgu θ i. u 1 u 2 u 3 t 1 t 2 d 1 t 3 p 1 d 2 p 2 p 3 s 1 s 2 s 3 d 4 d 3 Rys.2 Przykłdy rodzin płszczyzn tomowych w krysztle (n rysunku widzimy ich rzuty n płszczyznę rysunku) JeŜeli krysztł zczniemy obrcć względem osi pokrywjącej się z kierunkiem wiązki pdjącej, to wiązki wzmocnione zczną ztczć powierzchnie stoŝkowe o kącie rozwrci 4Θ. Gdy równoległ i monochromtyczn fl pd n polikrysztł tzn. mterił zwierjący duŝą liczbę młych (o rozmirch mikronowych) monokrysztłów (krystlitów), zorientownych w sposób przypdkowy, to zobserwujemy efekt tki jk przy obrocie krysztłu. Zwsze bowiem znjdzie się pewn liczb krystlitów, dl których wrunek Brgg będzie spełniony dl dnego kąt Θ i wówczs wiązki wzmocnione tworzyć będą powierzchnie stoŝków o kątch rozwrci4θ. JeŜeli n drodze wiązek wzmocnionych ustwimy ekrn, to zobserwujemy n nim okręgi (rys.3). cienk foli polikrystliczn wiązk elektronów 4θ 1 4θ 2 D 1 D 2 Rys.3 Zjwisko Brgg dl próbki polikrystlicznej. r płszczyzn ekrnu

4 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej Doświdczenie Thomson RozwŜni przeprowdzone wcześniej, stnowią podstwę do zrozumieni doświdczeni przeprowdzonego przez G. P. Thomson w 1927r. potwierdzjącego hipotezę de Broglie. Thomson umieścił w lmpie oscyloskopowej, z ukłdem nod ogniskujących, cienką złotą folię (foli tk m budowę polikrystliczną). Elektrony pdjąc n nią, podległy zjwiskom, które zostły wyŝej omówione (tzn. zjwisku interferencji), djąc w rezultcie n ekrnie okręgi o róŝnych średnicch D i. Powstły n ekrnie ukłd pierścieni dje się wyjśnić, jeŝeli przyjmiemy, Ŝe z elektronem związn jest fl, której długość określon jest przez wzór: λ=h/p. Oddziłuje on z folią polikrystliczną w przedstwiony wcześniej sposób. Dodtkowym rgumentem z słusznością tego złoŝeni jest fkt, Ŝe ten sm ukłd okręgów otrzymno przy nświetleniu wspomninej folii promienimi rentgen o podobnej długości fli, co długość fli elektronów przewidywn przez de Broglie. Doświdczenie Thomson potwierdz więc flową nturę strumieni elektronów. Fl związn z elektronem jest flą mterii, której nturę opisno szczegółowo w Dodtku B. Do zbdni włsności fli mterii ( tkŝe sprwdzeni hipotezy de Broglie ) uŝyto odpowiednio przygotownej lmpy oscyloskopowej, w której n drodze wiązki elektronowej umieszczono cienką folię (luminiową lub grfitową). Jej grubość wynosi około 50 nm. Tk cienk foli jest przezroczyst dl elektronów o energich powyŝej 8 kev. Otrzymuje się ją poprzez próŝniowe nprownie. Emitowne przez ktodę lmpy oscyloskopowej elektrony, nim pdną n folię luminiową, są przyspieszne do energii kinetycznej E k =eu przez przyłoŝone npięcie U, które moŝn regulowć. PoniewŜ odległość folii od ekrnu jest zncznie większ od średnicy otrzymnych n ekrnie okręgów interferencyjnych D, to zgodnie z rys.3: sin 4θ 4θ D / r (r odległość foli-ekrn), stąd: sinθ θ D / 4r. Podstwijąc tk obliczoną wrtość sin θ do wzoru Brgg (3), otrzymujemy: dd = nλ 2r (4) Wrtość λ znjdujemy ze wzoru (1) tzn. λ = h / p. Pęd elektronu p obliczymy znjąc npięcie U z klsycznego związku między pędem jego energią eu, tj.: eu=p 2 /2m (e łdunek elektronu, m jego ms). Reltywistyczn zmin msy elektronu przy energich pol elektrycznego uŝytego w doświdczeniu wprowdz niepewność pomijlnie młą. Podstwijąc do h wzoru (4) wrtość λ obliczoną dl npięci przyśpieszjącego U: λ = orz n = 1 (gdyŝ tylko 2meU okręgi pierwszego rzędu są widoczne), otrzymujemy: D = d 2rh 2meU (5) Średnic okręgu interferencyjnego D, pochodzącego od tego smego zespołu płszczyzn tomowych powinn być odwrotnie proporcjonln do pierwistk kwdrtowego npięci przyspieszjącego elektrony U. Jeśli uzyskmy tki wynik, to będzie potwierdzeniem słuszności wzoru opisującego hipotezę de Broglie Dyfrkcj świtł n sieci dwuwymirowej Celem drugiej części ćwiczeni jest zpoznnie się z dyfrkcją świtł n regulrnej sieci dwuwymirowej w przypdku, gdy wiązk świtł pd n sieć pod kątem prostym do płszczyzny sieci. Zgodnie z tym co npisno w poprzedniej części instrukcji, kŝdy z tomów stje się źródłem nowej fli kulistej. Fle te interferują ze sobą, efekt moŝemy zobczyć n ekrnie ustwionym prostopdle do kierunku pdni fli, w pewnej odległości od sieci.

5 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 5 Rozptrzmy sieć regulrną prostokątną. Wrunkiem wzmocnieni w tkim przypdku jest spełnienie dwóch równń Luego, które moŝemy zpisć w sposób nstępujący: cos Θ ' = mλ (6) b cos Θ '' = nλ gdzie, b stłe sieciowe, Θ` i Θ`` kąty między kierunkiem pdni wiązki świetlnej kierunkiem wzmocnieni (wiązki wzmocnione tworzą stoŝki o kątch rozwrci 2Θ` i 2Θ``), m i n dowolne liczby cłkowite. Rozwiązniem kŝdego z równń Luego są powierzchnie stoŝkowe, które n ekrnie ustwionym w kierunku równoległym do powierzchni sieci ( prostopdłym do kierunku pdni wiązki świetlnej) tworzą rodziny hiperbol. Wspólnym rozwiązniem obu równń obserwownym n ekrnie w postci świecących punktów są punkty przecięci hiperbol. W przeprowdznym doświdczeniu długość fli świetlnej (0,6 µm) jest prwie trzy rzędy mniejsz od odległości między tommi w bdnej sieci krystlicznej (0,1 mm). Z tego powodu n ekrnie punkty ukłdją się n hiperbolch o brdzo młej krzywiźnie, widocznych włściwie jko linie proste (krzywizny hiperbol nie dje się zuwŝyć). Y h=-3 h=-2 h=-1 h=1 h=2 h=3 k=2 k=1 k=-1 X k=-2 Rys.4 Wygląd ekrnu przypdku dyfrkcji n sieci regulrnej czrne punkty n ilustrcji to świecące punkty n ekrnie, efekt przecięci hiperbol (definicj indeksów h i k) Świecącym punktom n ekrnie przypisujemy dw wskźniki (ptrz ilustrcj 4), które nzywne są wskźnikmi Miller. Współrzędne punktów zpisujemy w postci pr liczb (h, k) n przykłd (1, 1) (3, 1) (-2, 5), itd. Odcinek, który łączy punkt (h, k) ze środkiem obrzu dyfrkcyjnego (czyli z punktem (0, 0)) oznczmy H hk. Znjomość długości świtł λ uŝytego w doświdczeniu, odległości L ekrnu od sieci krystlicznej orz wrtości H kl pozwl n wyznczenie stłych sieciowych bdnej sieci. Z włsności geometrycznych otrzymujemy nstępujący wzór: H tg Θ = hk hk L (7) co uwzględnijąc znną zleŝność d sin hk Θ hk = nλ (8)

6 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 6 pozwl wyznczyć stłe d hk, z nich stłe sieciowe bdnej sieci. Sposób wyznczeni stłych sieciowych zleŝy od rodzju sieci. Związki między stłymi sieciowymi wyznczonymi stłymi d hk są nstępujące: d hk = (sieć regulrn, stł sieciow ) 2 2 h + k d hk = (sieć heksgonln, stł sieciow ) (9) ( h + kh + k ) 3 1 d hk = (sieć prostokątn, stłe sieciowe i b) 2 2 h k b Gdy wiązk pd n sieć polikrystliczną, to n ekrnie powinniśmy uzyskć współśrodkowe okręgi (tk jk w przypdku dyfrkcji elektronów). Jeśli okręgi nie są wyrźnie widoczne, to ozncz, Ŝe wiązk świtł obejmuje zbyt młą liczbę róŝnie zorientownych obszrów monokrystlicznych. 2. Wykonnie ćwiczeni i oprcownie wyników 2.1. Dyfrkcj elektronów doświdczenie Thompson Wykonnie ćwiczeni 1. Zpoznć się z obsługą zsilcz lmpy oscyloskopowej (w rzie wątpliwości pytć prowdzącego). 2. Upewnić się czy pokrętło regulcji npięci przyspieszjącego elektrony jest w połoŝeniu zerowym (skręcone w lewo ) jeŝeli nie, to przestwić w to połoŝenie. 3. Włączyć zsilnie zsilcz i odczekć około 2 minuty do ngrzni ktody lmpy oscyloskopowej. 4. Obrcjąc pokrętło regulcji npięci przyspieszjącego elektrony zobserwowć pojwienie się plmki n ekrnie (w zleŝności od potrzeby regulujemy jej jsność). 5. Zwiększmy npięcie przyspieszjące elektrony Ŝ do pojwieni się pierścieni (kontrolując jsność i ostrość obrzu). 6. Przy ustlonym npięciu przyspieszjącym U mierzymy średnice D i wszystkich widocznych n ekrnie pierścieni w funkcji npięci przyspieszjącego U dl co njmniej 6-ciu róŝnych npięć. 7. Skręcmy pokrętło regulcji npięci przyspieszjącego w połoŝenie zerowe (skrjne w lewo ) i wyłączmy zsilnie. 8. Notujemy odległość r (foli ekrn ). Oprcownie wyników 1. Sprwdzić, czy uzyskne wyniki są zgodne z wzorem (5), sporządzjąc wykres zleŝności średnicy 2rh pierścieni D i od (czyli od funkcji zleŝnej od odwrotności pierwistk kwdrtowego 2meU npięci przyspieszjącego) i korzystjąc z metody njmniejszych kwdrtów (obliczeni przy uŝyciu progrmu komputerowego!!), znleźć wrtość współczynnik nchyleni otrzymnej prostej b i jego niepewność. 2. N podstwie wyników proksymcji liniowej obliczyć odległość pomiędzy płszczyznmi tomowymi d orz jej niepewność obliczną metodą typu A. Niepewność obliczną metodą typu B wyznczyć n podstwie jednego punktu pomirowego (potrzebne stłe fizyczne wziąć z tblic). Przy obliczniu niepewności złoŝonej wykorzystć prwo przenoszeni niepewności.

7 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 7 3. Korzystjąc z otrzymnego wykresu i z testu χ 2 odpowiedzieć n pytnie dotyczące prwdziwości hipotezy de Broglie. Porównć otrzymne wynik z wrtościmi odległości międzytomowych w krysztłch grfitu. N poniŝszym rysunku przedstwiono schemt budowy krystlicznej grfitu. 142 pm 688 pm Rys.5 Sieć krystliczn grfitu 246 pm Wrstw grfitu, przez którą przechodzi wiązk elektronów jest wrstwą polikrystliczną. Rozerwniu ulegją długie wiązni między poszczególnymi wrstwmi (rys.5), tk więc orientcj komórek jest przypdkow. (Grfit jest brdzo śliski i łtwo się rozprowdz po powierzchni jest to włśnie efekt przesuwni się względem siebie poszczególnych wrstw tomów węgl. Z drugiej strony grfit jest brdzo odporny n ścisknie. Z tych powodów jest on wykorzystywny do produkcji róŝnego typów smrów, w szczególności do smrów suchych). d 1 d 1 d 2 =123 pm d 1 = 213 pm Rys.6 Odległości międzypłszczyznowe dl dwóch pierwszych pierścieni interferencyjnych 4. W sprwozdniu nleŝy odpowiedzieć n nstępujące pytni: Dlczego intensywność obu pierścieni jest porównywln? Dlczego nie widć pierścieni wyŝszych rzędów interferencji lub pochodzących od innych płszczyzn tomowych?

8 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej Dyfrkcj świtł n sieci krystlicznej Wykonnie ćwiczeni Do obserwcji dyfrkcji świtł n krysztłch wykorzystywne są dwuwymirowe modele róŝnych typów sieci krystlicznej i polikrystlicznej w postci przezroczy n folii świtłoczułej. Jko źródło świtł wykorzystywny jest lser półprzewodnikowy generujący świtło o długości podnej n uchwycie lser. Lser umocowny jest n podstwie, do której mgnetycznie mocuje się przezrocz (rmki mją w dolnej części pski mgnetyczne). KŜde z przezroczy posid oznczeni (np. A1, C2, itp.). Sttyw z lserem nleŝy ustwić w zznczonej pozycji n stole lbortoryjnym w dokłdnie określonej odległości od ekrnu znjdującego się n pionowej obudowie stnowisk lbortoryjnego (odległość przezrocze ekrn musi pozostwć niezmienn). Ekrn wyposŝony jest w klips, w którym mocuje się protokół i przerysowuje powstjące obrzy dyfrkcyjne. N stnowisku znjduje się równieŝ mikroskop optyczny, który słuŝy do obserwcji modeli sieci i bezpośrednich pomirów stłych sieciowych (przy uŝyciu przesuwu mikrometrycznego stolik mikroskopu lub sieci pjęczej w okulrze). W podnej poniŝej instrukcji wykonni ćwiczeni polecenie odrysowć obrz ozncz umieszczenie protokołu n ekrnie i zznczenie długopisem njwŝniejszych elementów powstłego obrzu interferencyjnego. 1. Włączyć lser i ustwić go w zznczonym n stole lbortoryjnym miejscu tk, by wiązk pdł w pobliŝu środk ekrnu. 2. W bieg wiązki świtł lserowego wstwić przezrocz oznczone A1, B1 i C1. Odrysowć n protokole powstłe obrzy. 3. W bieg wiązki świtł lserowego wstwić przezrocze oznczone D1. Odrysowć n protokole powstły obrz. 4. W bieg wiązki świtł lserowego wstwić przezrocze oznczone B5. Odrysowć n protokole powstły obrz. 5. Wszystkie wykorzystne w trkcie ćwiczeni przezrocz umieścić kolejno n stoliku mikroskopu optycznego i wykonć bezpośrednie pomiry stłych sieciowych. 6. W bieg wiązki świtł lserowego wstwić przezrocz oznczone B2 i B3. Oprcownie wyników 1. Porównć obrzy interferencyjne dl przezroczy A1, B1 i C1. Co zostło zobserwowne pod mikroskopem? Potwierdzeniem jkiej zsdy fizycznej jest wynik tej części doświdczeni? 2. N podstwie wzorów (7), (8) i (9) obliczyć stłe sieciowe dl tych sieci krystlicznych. Otrzymny wynik porównć z wynikiem pomirów spod mikroskopu. 3. Obliczyć stłe sieciowe dl przezrocz D1. Otrzymny wynik porównć z wynikiem pomirów spod mikroskopu. 4. Z jkim krysztłem mmy do czynieni w przypdku przezrocz B5. Wyznczyć stłą sieciową mierząc średnicę pierścieni interferencyjnego. Otrzymny wynik porównć z wynikiem pomirów spod mikroskopu. Czy obrz interferencyjny uzyskny dl sljdu B5 moŝn porównć z obrzem uzysknym dl dyfrkcji elektronów w doświdczeniu Thompson w poprzedniej części ćwiczeni? Odpowiedź nleŝy uzsdnić. 5. Jkie sieci krystliczne przedstwione n przezroczch B2 i B3?. Obliczyć stłe sieciowe. 6. Dl wszystkich rodzjów sieci oszcowć niepewności wyznczonych stłych sieciowych.

9 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 9 3. Pytni kontrolne 1. Jkie złoŝenie tkwi u podstw hipotezy de Broglie? 2. Jkie muszą być spełnione wrunki, by nstąpiło wzmocnienie interferujących fl? 3. Wyprowdź wzór Brgg. 4. Jkie zjwisko fizyczne opisują równni Luego? 5. Nrysowć i wyjśnić obrz interferencyjny przy dyfrkcji świtł n polikrysztle. 6. Wyjśnić istotę doświdczeni Thomson. Jk jest zleŝność pomiędzy średnicą pierścieni npięciem przyspieszjącym? 7. ZłóŜmy, Ŝe neutron i elektron posidją tką smą energię. Której cząstce odpowid większ długość fli de Broglie? 4. Litertur 1. D. Hllidy, R. Resnick, J. Wlker, Podstwy fizyki, tom IV, PWN R. Eisberg i R. Resnick, Fizyk kwntow str. 78 PWN Cz. Bobrowski, Fizyk krótki kurs, WNT 1993

10 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 10 DODATEK A Budow krystliczn cił stłych Ze względu n sposób ułoŝeni tomów (lub cząstek) cił stłe moŝemy podzielić n cił monokrystliczne, polikrystliczne orz morficzne (bezpostciowe). Monokrysztły są to tkie cił, w których tomy ułoŝone są w sposób regulrny w cłej objętości cił mówi się wówczs o uporządkowniu dlekiego zsięgu. Odległość między sąsiednimi tommi wynosi zzwyczj kilk Angstremów (Å). Njmniejszą komórkę, której powtórzenie we wszystkich trzech kierunkch dje monokrysztł nzywmy komórką elementrną. Komórkę elementrną definiują długości jej boków (tk zwne stłe sieciowe) w trzech wybrnych kierunkch orz trzy kąty, które tworzą ze sobą te boki. W doświdczeniu tym rozwŝmy njprostsze dwuwymirowe sieci krystliczne, które przedstwiono n rys. 7. Drugim bdnym w doświdczeniu typem cił krystlicznych są polikrysztły. Są to cił, w których moŝn zobserwowć obszry o strukturze monokrystlicznej ułoŝone względem siebie w sposób przypdkowy. Obszry te (zirn monokrystliczne - krystlity) mogą mieć wielkość rzędu ułmków mikrometr, tkŝe rozmiry mkroskopowe. Nturlnym stnem dl większości cił stłych jest stn krystliczny, często monokrystliczny, gdyŝ energi uporządkowni tomów jest njmniejsz. W przyrodzie często moŝn zobserwowć piękne i o duŝych wymirch monokrysztły: krysztły soli w Wieliczce, dimenty (krysztły węgl!) itd. Jeśli jednk w procesie tworzeni się krysztłu zkłócony zostnie proces krystlizcji, to otrzymuje się polikrysztł czy wręcz ciło morficzne. Monokrysztły znjdują szerokie zstosownie we współczesnej technice, stnowią podstwę cłej mikroelektroniki, bez nich nie powstłyby mikroprocesory, pmięci, ukłdy elektroniczne i komputery. Większość ukłdów sclonych wytwrzn jest n cienkich płytkch monokrystlicznego krzemu. KŜdy sznujący się student Politechniki Wrszwskiej powinien wiedzieć, Ŝe metodę otrzymywni monokrysztłów przez krystlizcję z substncji stopionej oprcowł Jn Czochrlski, wybitny chemik i metloznwc, profesor Politechniki Wrszwskiej od 1930 roku do końc II Wojny Świtowej. Metod t (znn n cłym świecie pod nzwą metody Czochrlskiego) jest do dzisij podstwową metodą umoŝliwijącą otrzymywnie monokrysztłów o niebywłej wręcz średnicy kilkudziesięciu centymetrów i długości kilku metrów. Monokrysztły tnie się n plsterki o grubości części milimetr i n nich wykonywne są wszechobecne ukłdy sclone. b b ) b) c) Rys.7 Typy sieci krystlicznych dwuwymirowych: sieć ) regulrn, b) prostokątn, c) heksgonln

11 Dyfrkcj świtł i elektronów n sieci krystlicznej 11 DODATEK B Ntur fl de Broglie Próbując odpowiedzieć n to pytnie, odwołmy się do eksperymentu. JeŜeli w eksperymencie Thomson uŝyć wiązki elektronowej o niezwykle młym ntęŝeniu tk, by moŝn było przyjąć, Ŝe n folię pdją pojedyncze elektrony, to n ekrnie obserwowć będzie będziemy pojedyncze błyski o jednkowym ntęŝeniu. Njwięcej będzie ich w miejscu odpowidjącym przechodzeniu elektronów n wprost, le pewn liczb błysków będzie obserwown n okręgch interferencyjnych. Pojwienie się pojedynczych błysków wyrźnie przeczy ewentulności, Ŝe fl de Broglie to po prostu flownie mterii elektronowej. Gdyby tk było, wówczs obserwowlibyśmy cły obrz interferencyjny (tj. ukłd okręgów), chociŝ o brdzo młym ntęŝeniu, juŝ przy przejściu pojedynczego elektronu. Wynik tk przeprowdzonego doświdczeni nie powinien jednk zchwić nszego przekonni o flowych włsnościch elektronu (włsnościch, nie nturze), gdyŝ błyski pojwiły się (oprócz miejsc odpowidjącemu przechodzeniu elektronów n wprost) tylko n okręgch interferencyjnych. Do tego, jk wykzno wyŝej, potrzebne jest oddziływnie fli (elektronu) z wielom płszczyznmi tomowymi, więc elektron zchowuje się jk fl. JednkŜe nie potrfimy wyjśnić dlczego pojedynczy elektron oddziłuje z płszczyznmi tomowymi jko fl, z tommi ekrnu jk korpuskuł. Anlizując wyniki innych eksperymentów sformułowć moŝn wniosek: jeŝeli cząstk oddziłuje z obiektem w tki sposób, Ŝe niemoŝliwe jest stwierdzenie z jką częścią obiektu nstępuje to oddziływnie, to ujwniją się włsności flowe cząstki (oddziływnie z płszczyznmi tomowymi krysztłów cienkiej folii). Ntomist, kiedy mmy moŝliwość zloklizowni oddziływującej cząstki (np. oddziływnie z konkretnymi tommi ekrnu), to wtedy oddziłuje jk korpuskuł. W obszrze przyśpieszjącego elektron pol elektrycznego tkŝe moŝemy dokłdnie (w zkresie energii pol rzędu 10 kev) prześledzić połoŝenie i pęd cząstki. Oddziływnie elektronu z polem elektrycznym w lmpie oscyloskopowej teŝ pozwl n trktownie elektronu jko cząstki. Dl dopełnieni obrzu dodjmy jeszcze, Ŝe gdy w omwinym eksperymencie umieścić z ekrnem kliszę fotogrficzną (zmist obserwowć pojedyncze błyski), to po dłuŝszym nświetlniu otrzymny n niej obrz niczym nie będzie się róŝnił od obrzu obserwownego n ekrnie przy duŝym ntęŝeniu wiązki elektronowej. Ten osttni wynik świdczy o sttystycznym chrkterze prw rządzących zchowniem się cząsteczek. Pogląd ten reprezentuje mechnik kwntow - teori, do której powstni przyczynił się hipotez de Broglie. Mechnik kwntow nie wnik w nturę fl de Broglie, jedynie zjmuje się opisem zchowni się cząstek z uwzględnieniem ich flowych włsności. Stn cząstki w mechnice kwntowej opisuje funkcj flow ψ(x,y,z) o postci mtemtycznej toŝsmej z równniem fli znnym z optyki. Mtemtyczną postć funkcji flowej znjdujemy rozwiązując równni Schrödinger (podstwowe równnie mechniki kwntowej). Jej interpretcj jest probbilistyczn (sttystyczn). Kwdrt modułu funkcji ψ(x,y,z) jest gęstością prwdopodobieństw znlezieni cząstki w dnym punkcie przestrzeni o współrzędnych x,y,z. Ntomist prwdopodobieństwo P znlezieni cząstki w elemencie objętości dv w pobliŝu dnego punktu przestrzeni wynosi: P = ψ ( x, y, z) 2 dv Fl mterii (de Broglie ) jest opisywn przez funkcję ψ ( x, y, z) mjącą postć równni fli.