Politechnika Gdaska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki.

Transkrypt

1 Poltechnka Gaska Wyzał Elektrotechnk Automatyk Katera Inyner Systemów Sterowana Postawy Automatyk Regulatory PID Materały omocncze o wcze termn 13 Oracowane: Kazmerz Duznkewcz, r hab. n. Mchał Grochowsk, r n. Robert Potrowsk, r n. omasz Rutkowsk, r n. Grzegorz Ewal, mgr n. Gask, azernk 29 1

2 Wrowazene Projektujc ukłay sterowana, w szczególnoc lnowe, staramy s, aby zarojektowany ukła sterowana był stablny osaał ewne oatkowe własnoc, n. mał oowen zaas stablnoc, mał oane wartoc arametrów jakoc statycznej ynamcznej t. W welu wyakach owysze warunk mona sełn włczajc w struktur sterowana oatkowe ukłay omocncze, mzy nnym regulatory. Parametry regulatorów rzemysłowych, buowanych jako ozelne urzzena lub stanowcych mouły rogramowe sterownków PLC mog by nastawane, za arametry nnych członów korekcyjnych, konstruowanych zwykle jako elementy wbuowane ukłaów sterowana ne mog olega welokrotnej nastawe. Postawowe rozaje korekcj Chcc uzyska oowen zman transmtancj ukłau regulacj mona stosowa nastujce rozaje korekcj: korekcja szeregowa olega na włczenu w ogonym mejscu o tl ukłau regulacj, szeregowo, wybranego członu korekcyjnego, korekcja olegajca na utworzenu oatkowych tl wokół jenego lub klku członów ukłau: korekcja równoległa, korekcja w srzenu zwrotnym. Rysunek 1 rzestawa struktury ukłaów regulacj uzyskwane z wymenonym rozajam korekcj. a). X (s) Korektor Obekt b). X (s) Korektor Obekt c). X (s) Y 1 (s) Obekt Korektor Rysunek 1. Rozaje korekcj w ukłaach regulacj: a). korekcja szeregowa, b). korekcja równoległa, c). korekcja w srzenu zwrotnym Korekcja szeregowa rzestawona na Rysunku 1a znalazła najszersze zastosowane w rzemysłowych ukłaach sterowana jenowymarowego. Korektor szeregowy takej struktury nazywany jest regulatorem. 2

3 Rozaje regulatorów Regulatory szeregowe człony korekcyjne, w których molwe jest welokrotne nastawene jenego lub klku arametrów. Głównym zaanem regulatora, jak zreszt kaego urzzena sterujcego, jest wytwarzane w oarcu o sygnał uchybu sterowana e(t), sygnału sterujcego obektem regulacj m(t), w sosób zaewnajcy jego zachowane zgone z rzyjtym wymaganam. Dzałane regulatorów oarte jest o rzetwarzane sygnału uchybu z wykorzystanem trzech elementarnych oeracj: wzmocnena oeracja P, całkowana oeracja I oraz rónczkowana oeracja D. Ogólna struktura tak załajcych regulatorów została rzestawona na Rysunku 2. P M P (s) I M I (s) M (s) D M D (s) Sygnał wyjcowy z regulatora jest ostac: Rysunek 2. Schemat blokowy regulatora M ( s) M ( s) + M ( s) M ( s) = P I + D (1) gze: M s skłaowa roorcjonalna o uchybu regulacj wytwarzana rzez blok P, M P I ( ) ( ) s skłaowa całkujca roorcjonalna o całk uchybu regulacj wytwarzana rzez blok I, M s skłaowa rónczkujca roorcjonalna o ochonej uchybu regulacj D ( ) wytwarzana rzez blok D. Dzałane roorcjonalne: Dzałane to zmnejsza uchyb regulacj w stane ustalonym, neznaczne wływa na skrócene czasu regulacj (zwksza rko oowez) zwksza rzeregulowane. Dzałane całkujce: Dzałane to srowaza uchyb regulacj w stane ustalonym o zera, wływa na wyłuene czasu regulacj zwksza rzeregulowane Dzałane rónczkujce: Dzałane to ne wływa na uchyb regulacj w stane ustalonym, wływa na skrócene czasu regulacj zmnejsza rzeregulowane. Ze wzglu na wykorzystane oszczególnych skłaowych w sygnale generowanym rzez regulator, raktyczne zastosowane znalazły nastujce rozaje regulatorów: roorcjonalny P, roorcjonalno - całkujcy PI, roorcjonalno - rónczkujcy PD, roorcjonalno całkujco - rónczkujcy PID. Regulator całkujcy I ne znalazł zastosowana, onewa jego obecno w ukłaze regulacj ogarsza włacwoc ynamczne tego ukłau. Regulator rónczkujcy D ne jest stosowany, onewa jego obecno w ukłaze regulacj ograncza s tylko o rzebegów rzejcowych. 3

4 a). Regulator roorcjonalny P Sygnał wyjcowy z regulatora P jest ostac: gze: k wsółczynnk wzmocnena. m ( t ) k e ( t ) = (2) ransmtancja oeratorowa regulatora P ma osta: ( s) k G r = (3) 1 Zakres roorcjonalnoc X = 1% k rocentowa, w stosunku o ełnego zakresu, zmana welkoc uchybu regulacj e, otrzebna o wywołana ełnego zakresu zmany welkoc m. X (s) M (s) G r (s) = k Welko nastawajca m Rysunek 3. Charakterystyka skokowa regulatora P k k > Czas t Im() k > k Re() Rysunek 4. Charakterystyka amltuowo fazowa regulatora P (charakterystyka Nyqust a) a). L () [B] 2 log k k > b). () [ra] Rysunek 5. Charakterystyk logarytmczne regulatora P (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy 4

5 b). Regulator roorcjonalno całkujcy PI Sygnał wyjcowy z regulatora PI jest ostac: m gze: stała czasowa całkowana. t 1 = ( t ) k e ( t ) + e ( ) ransmtancja oeratorowa regulatora PI ma osta: τ (4) ( ) 1 G = + r s k 1 (5) s Czas zwojena czas otrzebny na to, aby rzy skokowym wymuszenu oanym na wejce regulatora PI, cz sygnału wyjcowego tego regulatora, wywołana całkowanem, stała s równa rugej czc sygnału wyjcowego wywołanej załanem roorcjonalnym, zk czemu sumaryczny sygnał wyjcowy z regulatora staje s o czase wukrotne wkszy n w chwl ocztkowej. X (s) M (s) G r (s) = k (1+1/s ) Welko nastawajca m 2 k Rysunek 6. Charakterystyka skokowa regulatora PI k tg = k / Czas t Im() Re() Rysunek 7. Charakterystyka amltuowo fazowa regulatora PI (charakterystyka Nyqust a) k a). L () [B] 2 B/ek 2 log k b). () [ra] 1/ 1/ /4 /2 Rysunek 8. Charakterystyk logarytmczne regulatora PI (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy 5

6 c). Iealny regulator roorcjonalno rónczkujcy PD Sygnał wyjcowy z ealnego regulatora PD jest ostac: m gze: stała czasowa rónczkowana. ( t ) = k e ( t ) ( t ) ransmtancja oeratorowa ealnego regulatora PD ma osta: r e + (6) t ( s) k ( 1 s ) = (7) G + Czas wyrzezena czas otrzebny na to, aby rzy lnowo narastajcym wymuszenu oanym na wejce regulatora PD, sygnał zwzany z załanem roorcjonalnym zrównał s z sygnałem ochozcym o załana rónczkujcego. X (s) M (s) G r (s) = k (1+s ) Rysunek 9. Charakterystyka skokowa ealnego regulatora PD Welko nastawajca m k Czas t Im() k Re() Rysunek 1. Charakterystyka amltuowo fazowa ealnego regulatora PD (charakterystyka Nyqust a) a). L () [B] + 2 B/ek 2 log k b). () [ra] 1/ /2 /4 1/ Rysunek 11. Charakterystyk logarytmczne ealnego regulatora PD (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy 6

7 ). Iealny regulator roorcjonalno całkujco rónczkujcy PID Sygnał wyjcowy z ealnego regulatora PID jest ostac: m ( t ) k e ( t ) + e ( ) ( t ) t 1 e = τ + (8) t ransmtancja oeratorowa ealnego regulatora PID ma osta: ( ) 1 G r s = k s (9) s X (s) M (s) G r (s) = k (1+1/s +s ) Welko nastawajca m k tg = k / Czas t Rysunek 12. Charakterystyka skokowa ealnego regulatora PID Im() k Re() Rysunek 13. Charakterystyka amltuowo fazowa ealnego regulatora PID (charakterystyka Nyqust a) a). L () [B] 2 B/ek + 2 B/ek 2 log k b). () [ra] 1/ 1/ /2 ω 1 = 1 / /2 Rysunek 14. Charakterystyk logarytmczne ealnego regulatora PID (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy W raktyce ne jest molwe uzyskane rónczkowana w ełnym zakrese czstotlwoc. W zwzku z tym molwe o zrealzowana regulatory maj nercj ogranczajc czstotlwocowo efekt rónczkowana tym samym otrzymujemy: rzeczywsty regulator PD rzeczywsty regulator PID. 7

8 e). Rzeczywsty regulator roorcjonalno rónczkujcy PD Sygnał wyjcowy z rzeczywstego regulatora PD jest ostac: t m( t) = k e( t) + e gze: stała czasowa nercyjnoc członu rónczkujcego. (1) ransmtancja oeratorowa rzeczywstego regulatora PD ma osta: s G ( ) = 1+ r s k (11) s + 1 X (s) M (s) G r (s) = k (1+s /(s+1)) Welko nastawajca m k (1+ /) Rysunek 15. Charakterystyka skokowa rzeczywstego regulatora PD k Czas t Im() k k (1+ /) Re() Rysunek 16. Charakterystyka amltuowo fazowa rzeczywstego regulatora PD (charakterystyka Nyqust a) a). L () [B] 2 log k (1+ /) 2 log k b). () [ra] 1/( + ) 1/ ω 1 = 1/ ( ) + Rysunek 17. Charakterystyk logarytmczne rzeczywstego regulatora PD (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy 8

9 f). Rzeczywsty regulator roorcjonalno całkujco rónczkujcy PID Sygnał wyjcowy z rzeczywstego regulatora PID jest ostac: m ( t ) = k e ( t ) + e ( ) ransmtancja oeratorowa rzeczywstego regulatora PID ma osta: 1 t t τ + e (12) ( ) 1 s G = + + r s k 1 (13) s s + 1 X (s) G r (s) = k (1+1/s +s /(s+1)) M (s) Welko nastawajca m k (1+ /) k tg = k / Czas t Rysunek 18. Charakterystyka skokowa rzeczywstego regulatora PID Im() k k (1+/) Re() Rysunek 19. Charakterystyka amltuowo fazowa rzeczywstego regulatora PID (charakterystyka Nyqust a) a). L () [B] 2 log k (1+ /) 2 log k b). () [ra] 1/ 1/ 1/ /2 2 ω 1 = 1/ /2 Rysunek 2. Charakterystyk logarytmczne rzeczywstego regulatora PID (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy 9

10 W rzestawonych regulatorach, welkoc: czyl stałe welkoc ajce s nastawa. k, to tzw. nastawy regulatorów, Rozwaajc nastawy regulatorów musmy amta, e maj one swoje zakresy nastaw, ogranczena nastaw zaleno (nterakcj) nastaw. Zakres nastaw rzezał zmennoc nastaw regulatorze. k,, który mona ustaw w anym Ogranczena nastaw w rzyaku ewnych struktur regulatorów neozwolone jest nastawane owolnych wartoc nastaw, mmo e znajuj s one w zakrese, n. czasam ne mona zrealzowa nastaw, które ne sełnaj nerównoc 4. Zaleno (nterakcja) nastaw w rzyaku ewnych struktur regulatorów ne mona wyorbn elementów, które b nezalene wływały na nastawy k,. Ustawene jenej z welkoc wływa na ozostałe. Wybór regulatora jego nastaw W raktyce zachoz koneczno wyboru regulatora oraz jego nastaw, la anego obektu regulacj, zakłóce wymaga ukłau regulacj. a). Perwsza metoa Zeglera Ncholsa Ogólne obekty regulacj mog by ozelone na ukłay statyczne astatyczne. ransmtancj obektów statycznych mona aroksymowa transmtancj oeratorow ostac: K G s e s + 1 s ( ) = (14) natomast transmtancj obektów astatycznych mona aroksymowa transmtancj oeratorow ostac: ' K s K s G ( s) = e = e (15) s s gze: K zastczy wsółczynnk roorcjonalnoc obektu, zastcza stała czasowa obektu, zastcze oónene obektu. Parametry K, wyznacza s na ostawe oowez obektu na wymuszene skokowe. 1

11 a). y(t) b) y(t) K*u K*u t la K = 1 = arctg K*u Rysunek 21. Wyznaczene arametrów K, : a). obektu statycznego, b). obektu astatycznego Baana Zeglera Ncholsa okazały, e oowe skokowa wkszoc ukłaów sterowana ma kształt zblony o tego z Rysunku 21. Mona j otrzyma z anych ekserymentalnych lub ynamcznej symulacj obektu. W erwszej metoze Zeglera - Ncholsa wyboru regulatora jego nastaw oera s na kwaratowym wsółczynnku zankana równym w rzyblenu,25 (Rysunek 22). Oznacza to, e omnujca skłaowa rzejcowa zanka o jenej czwartej swojej wartoc maksymalnej o jenym okrese oscylacj. t Rysunek 22. Charakterystyka czasowa kwaratowego wsółczynnka zankana Zegler Nchols symulacyjne baal róne obekty regulacj strol arametry regulatorów, a o uzyskana oowez rzejcowych zankajcych o 25% orzenej wartoc w jenym okrese. ym sosobem uzyskal on konkretne wartoc nastaw w zalenoc o K rozaju regulatora ( a = ): Dla regulatora P: k = 1 a. Dla regulatora PI: k =,9 a, = 3. Dla regulatora PID: k = 1,2 a, = 2, =,5. Perwsza metoa Zeglera Ncholsa aje obre rezultaty, gy sełnony jest nastujcy warunek:,15 < <,6 (16) 11

12 b). Druga metoa Zeglera Ncholsa Jest to najbarzej znana, ekserymentalna metoa wyboru regulatora jego nastaw. Sosób ostowana jest nastujcy: Zakłaa s, e any jest obekt regulacj, którego os matematyczny ne mus by znany. Do obektu regulacj ołcza s regulator. Wyłcza s całkujce rónczkujce załane regulatora (tzn. nastawa s maksymaln warto stałej czasowej całkowana mnmaln warto stałej czasowej rónczkowana ) n. la jenostkowego wymuszena skokowego, stonowo zwksza s wsółczynnk wzmocnena k regulatora, ochozc o grancy stablnoc. W stane oscylacj netłumonych merzy s ch okres osc ukła regulacj, merzy s warto wsółczynnka wzmocnena oscylacje wystuj. Otrzyman warto kr. Nastne, otwerajc k kr, rzy którym te k zel s rzez 2 uzyskujc tym samym k =,5k. Warto t rzyjmuje s jako ocelow. Przy okrelonym rozaju wymuszena okonuje s rejestracj welkoc wyjcowej obektu w celu zastosowana rzyjtego wskanka jakoc. Gy rzebeg wyjcowy ne sełna stawanych wymaga, wówczas w celu jego orawy okonuje s rzełczena regulatora z P na PI lub PID. W zalenoc o rozaju regulatora naley rzyj: Dla regulatora P: k =,5k. osc Dla regulatora PI: k =,45k kr, =. 1,2 osc Dla regulatora PID: k =,6k, =,5, =. 8 kr kr osc kr Druga metoa Zeglera Ncholsa oarta jest na wykorzystanu tylko wóch arametrów: osc k kr, charakteryzujcych granc stablnoc anego ukłau regulacj. Ne jest to zatem metoa barzo okłana, ale rosta zaewnajca stabln rac zamkntego ukłau regulacj. Zastosowane tej metoy wymaga orowazena ukłau regulacj o netłumonych oscylacj, ale ne ma otrzeby entyfkacj ynamk obektu regulacj. Metoa ta zaewna obre tłumene zakłóce, ale aje mały zaas fazy ue rzeregulowane la skokowych zman wartoc zaanej. c). Inne metoy Wyberajc regulator jego nastawy mona to zrob wykorzystujc róne krytera jakoc, n.: % rzeregulowana, 2% rzeregulowana, mnmum całk kwaratu uchybu regulacj t. Nastawy regulatorów la obektów statycznych osanych zalenoc (14) la trzech kryterów zostały rzestawone w tabel 2. Nastawy regulatorów la obektów astatycznych osanych zalenoc (15) la tych samych kryterów rzestawono w tabel 3. 12

13 K abela 2. Nastawy regulatorów la obektów statycznych ( a = ) Rozaj Przeregulowane=% Przeregulowane=2% 2 e ( t ) t regulatora Mnmum czasu reg. t r Mnmum czasu reg. t r Mn K K K P,3/a,7/a PI,6/a,8 +,5,7/a +,3 1/a +,35 PID,95/a 2,4,4 1,2/a 2,,4 1,4/a 1,3,5 abela 3. Nastawy regulatorów la obektów astatycznych ( b = ) Rozaj regulatora Przeregulowane=% Mnmum czasu reg. t r Przeregulowane=2% Mnmum czasu reg. t r K K K P,37b,7b PI,46b 5,75,7b 3, 1b 4,3 PID,65b 5,,23 1,1b 2,,37 1,36b 1,6,5 Mn e 2 ( t ) t Zaas amltuy oraz zaas fazy na wykresach Boe a Zaas amltuy oraz zaas fazy, nazywane czasam zaasem stablnoc, okrelaj oległo ukłau o grancy stablnoc. Zaas amltuy jest rzecwestwem wzmocnena ukłau wyraon w B, la czstotlwoc, rzy której rzesunce fazowe wynos -18. Zaas fazy jest rónc omzy wartoc rzesunca fazowego oraz -18, la czstotlwoc, rzy której wzmocnene wynos o B. Na rys. 22 rzestawono lustracj zaasu fazy oraz amltuy. 13

14 5 Boe Dagram Amltua (B) -5 zaas amltuy Faza (eg) -18 zaas fazy Frequency (ra/sec) Rysunek 23. Ilustracja zaasu fazy oraz amltuy 14