Korekcja liniowych układów regulacji automatycznej

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA m. Jarosława Dąbrowskego Ćwczene rachunkowe Korekcja lnowych układów regulacj automatycznej mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI Warszawa 7

2 Cel ćwczena rachunkowego Podczas ćwczena oruszane będą nastęujące zagadnena: rzykład wykorzystana do korekcj logarytmcznej charakterystyk amltudowej układu otwartego; dobór członu korekcyjnego. Celem ćwczena jest zdobyce umejętnośc raktycznej realzacj owyższych zagadneń. Wymagana wstęne Przed rozoczęcem ćwczeń student zobowązany jest do zaoznana sę z treścą nnejszej nstrukcj. W szczególnośc stotne jest osadane wedzy teoretycznej z zakresu oruszanego odczas ćwczena rachunkowego. Ponadto student zobowązany jest rześledzć ze zrozumenem wszystke zameszczone rzykłady, aby wedzeć w jak sosób rozocząć rozwązywane zadań odczas ćwczeń. W rzyadku osadana wątlwośc o zaoznanu sę z treścą nstrukcj w celu ch wyjaśnena zaleca sę konsultacje sę z rowadzącym rzed termnem ćwczeń rachunkowych. 3 Wadomośc ogólne Dla danego obektu znany jest model matematyczny oraz ogranczena narzucone na oszczególne sygnały, a także określony zasób nformacj o jego warunkach racy wystęujących zakłócenach. Należy dla tego obektu dobrać układ sterowana, który zaewn wykonane ostawonych zadań rzy sełnenu wymagań dotyczących stablnośc, dokładnośc (w stanach ustalonych rzejścowych) oraz charakteru rzebegów dynamcznych (sełn narzucone kryterum jakośc sterowana). Proces tak w automatyce nazywany jest syntezą układów sterowana olega na doborze struktury układu oraz arametrów elementu korekcyjnego, aby układ mógł wykonać ostawone rzed nm zadana. Elementam korekcyjnym automatyk nazywamy elementy stablzujące automatyk których zadanem jest korygowane charakterystyk częstotlwoścowych czasowych układów regulacj. Elementam stablzującym automatyk nazywamy elementy, które zwększają stablność oleszają jakość rocesów sterowana automatycznego rzez zmanę właścwośc dynamcznych układu. Za omocą tak elementów można osągnąć znaczne zwększene dokładnośc sterowana. Wobec cągłego wzrostu wymagań co do jakośc rocesu sterowana, duże możlwośc technczne realzacj takch elementów sowodowało ch zastosowane we wsółczesnych układach sterowana automatycznego. mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI

3 Elementy stablzujące dzelą sę na dwe gruy: szeregowe równoległe. Elementy szeregowe włącza sę bezośredno w kanał rzesyłający sygnał sterowana. Natomast elementy równoległe stanową srzężene zwrotne, w obwody których włączone są mnej lub bardzej złożone układy rzekształcana sygnałów. Podstawowym wymaganam stawanym jednowymarowym układom regulacj automatycznej są: dokładność statyczna; zakres regulacj welkośc wyjścowej; asmo robocze (asmo rzenoszonych częstotlwośc); zaas stablnośc. Proces syntezy z zastosowanem elementów korekcyjnych można odzelć na dwa etay: I eta - określene strukturę układu regulacj ty regulatora lub/ elementu korekcyjnego; II eta - dobór wartośc arametrów elementu korekcyjnego. Dla określena struktury układu regulacj stosowana jest struktura szeregowa, w której regulator jest włączony w tor główny układu regulacj, czyl szeregowo z obektem (rys.a). Sygnałem wejścowym regulatora jest sygnał uchyb e(t), a sygnałem wyjścowym sterowane obektem u(t). Drugm sosobem jest włączene dodatkowego elementu korekcyjnego, którego zadanem jest wstęne uformowane sygnału uchybu (rys.b). Rys.. Struktura szeregowa układu regulacj (a) włączane członu korekcyjnego rzed regulatorem (b). Inną stosowaną strukturą układu regulacj jest struktura z dodatkowym srzężenem zwrotnym (rys.a), w którym element korekcyjny jest włączany w tor dodatkowego srzężena zwrotnego wokół obektu regulacj. Rys.. Struktura szeregowa układu regulacj: (a) z wewnętrznym srzężenem zwrotnym; (b). skorygowanego zamknętego układu regulacj. mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 3

4 W obu wymenonych rzyadkach regulator element korekcyjny mają za zadane taką modyfkację właścwośc obektu, aby dzałane skorygowanego układu zamknętego było zadowalające z unktu wdzena rzyjętego kryterum jakośc. Kryterum to łączy zwykle wele elementów chodz ne tylko o uzyskane odowednch arametrów odowedz skokowej z wymuszene zewnętrzne w(t), ale równeż o odorność na zakłócena. Odorność ta może być wyrażone na rzykład rzez wymagana narzucone na rzebeg sygnału uchybu w odowedz na zakłócena skokowe. 4 Rodzaje elementów korekcyjnych ch wływ na właścwośc układu regulacj automatycznej 4. Element roorcjonalny W roorcjonalnym elemence korekcyjnym tyu P (rys.3) zwązek omędzy sygnałem wyjścowym regulatora u(t), a sygnałem uchybu e(t) jest nastęujący: u t lub o zastosowanu transformaty Lalace a: t K e () s s U K () E Rys.3. Struktura fragmentu układu regulacj z roorcjonalnym elementem korekcyjnym. 4. Element całkowy W całkującym elemence korekcyjnym tyu I (rys.4) rzyrost wartośc sygnał wyjścowego regulatora u(t) zmena sę roorcjonalne do sygnału uchybu e(t): du dt t K e T t et lub ut K et Transmtancja całkującego elementu korekcyjnego ma ostać: U E s s t dt (3) K (4) s T s Rys.4. Struktura fragmentu układu regulacj z całkującym elementem korekcyjnym. mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 4

5 W układze takm jeśl wartość e(t) jest stała rzez czas T, to wartość u(t) odwo sę o uływe tego czasu. Dla wartośc uchybu e(t) równego zero wartość u(t) ozostaje nezmenna. W sterowanu roorcjonalnym obektu, którego transmtancja ne ma ntegratora /s, w odowedz na skokowy sygnał wejścowy wystęuje uchyb w stane ustalonym. Tak uchyb ustalony może być wyelmnowany, jeśl w regulatorze doda sę algorytm sterowana całkowego. Jego zastosowane stablzuje racę układu zmnejsza uchyb ustalony. Zaas stablnośc jest dowolne duży, jednak ogarszają sę neznaczne właścwośc dynamczne (obnża sę górna granca asma rzenoszena). 4.3 Element roorcjonalno - całkowy Algorytm racy elementu roorcjonalno całkowego tyu PI (rys.5) zdefnowany jest wzorem: u t K et et K T t dt (5) a jego transmtancja rzyjmuje ma ostać: s s U K (6) E T Rys.5. Struktura fragmentu układu regulacj z całkującym elementem korekcyjnym. Czas całkowana T wływa na algorytm całkowy, odczas gdy zmana wartośc K wływa zarówno na część roorcjonalną, jak część całkową algorytmu sterowana. Odwrotność czasu całkowana T jest nazywana szybkoścą dzałana całkowana wskazuje ona jak szybko całka naełn sę uchybem e(t). Na rys.5 okazano rzebeg sygnału wyjścowego elementu korekcyjnego u(t) w rzyadku gdy uchyb regulacj e(t) jest jednostkową funkcją skokową. mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 5

6 4.4 Element roorcjonalno - różnczkujący Algorytm racy roorcjonalno różnczkującego elementu korekcyjnego tyu PD (rys.6) zdefnowany jest wzorem: u t a jego transmtancja rzyjmuje ma ostać: t de K et K T (7) dt U E s s K T s (8) d Rys.6. Struktura fragmentu układu regulacj z roorcjonalno-różnczkującym elementem korekcyjnym. Algorytm dzałana elementu roorcjonalno - różnczkowego nazywamy sterowanem szybkoścą ma mejsce, gdy wartość sygnału wyjścowego regulatora jest roorcjonalna do szybkośc zmany sygnału uchybu. Czas różnczkujący T d jest marą tego, w jakm stonu sterowane PD wyrzedza sterowane z regulatorem roorcjonalnym. Zaletą tego rodzaju elementu wyrzedzający charakter sterowana. Natomast jego wadą jest wzmacnane sygnałów szumów wywoływane efektu nasycena w elemence wykonawczym. Jak wdać z rys.6 okazano rzebeg sygnału wyjścowego z elementu korekcyjnego u(t) w rzyadku gdy sygnał uchybu e(t) jest funkcją lnowo narastającą. 4.5 Element roorcjonalno całkowo - różnczkowy Połączene w algorytmu korekcj elementów roorcjonalnego, sterowana całkowego różnczkowego nazywane jest elementem regulacj roorcjonalno całkowo różnczkowej (tyu PID): u K t K et et T t dt K T det dt (9) mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 6

7 a jego transmtancja rzyjmuje ma ostać: U E s s K Td s () T s Rys.7. Struktura fragmentu układu regulacj z roorcjonalno-całkowo - różnczkującym elementem korekcyjnym. Algorytm dzałana elementu roorcjonalno - różnczkowego nazywamy sterowanem szybkoścą ma mejsce, gdy wartość sygnału wyjścowego regulatora jest roorcjonalna do szybkośc zmany sygnału uchybu. Czas różnczkujący T d jest marą tego, w jakm stonu sterowane PD wyrzedza sterowane z regulatorem roorcjonalnym. 5 Synteza układów regulacj metodam klasycznym Przy stosowanu klasycznych metod syntezy układów regulacj realzuje sę nastęujące etay: o ustalenu danych wyjścowych wynkających z nch założeń, wybera sę erwsze rozwązane; wyznacza sę odowedne welkośc oraz wskaźnk, charakteryzujące rojektowane urządzena, które są otrzebne do oceny rzyjętego erwszego warantu rozwązana; na odstawe otrzymanych wynków wrowadza sę odowedne zmany otrzymuje drug warant rozwązana, który zostaje ocenony, skorygowany, td. 5. Metoda Zeglera Ncholsa Przedstawone w tym unkce dwe tzw. metody Zeglera-Ncholsa olegają na określenu nastaw korektora PID w oarcu o ewne arametry, które można w rosty sosób wyznaczyć dośwadczalne w układze z badanym obektem. Pełna znajomość modelu obektu ne jest otrzebna. mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 7

8 5.. Metoda oarta na aroksymacj arametrów odowedz skokowej Metoda ta oera sę na fakce, że odowedź skokowa welu obektów (zmerzona dośwadczalne albo otrzymana w wynku symulacj) ma kształt okazany na Rys.8. Odowedź taka jest charakterystyczna dla układów nercyjnych wyższych rzędów, ale można ją aroksymować charakterystyką skokową członu nercyjnego I rzędu z oóźnenem transortowym: U E s s k Ts e s () Rys.8. Aroksymacja arametrów odowedz skokowej obektu nercyjnego. Lnę styczną należy wystawć w unkce rzegęca Q charakterystyk skokowej Na odstawe rzebegu odowedz skokowej rzeczywstego obektu należy wyznaczyć grafczne stałą czasową T oóźnene τ transmtancj zastęczej jak okazano na rysunku. Otymalne nastawy korektora sełnające określone kryterum oblcza sę w sosób teoretyczny dla układu regulacj z obektem zastęczym. W Tabel odano wzęte z lteratury wzory na otymalne nastawy dla trzech wymagań co do rzebegu regulacj o skokowej zmane zakłócena: - odowedz aerodycznej o mnmalnym czase regulacj, - odowedz oscylacyjnej (κ=%) o mnmalnym czase regulacj oraz - odowedz mnmalzującej całkę ISE. W układze z obektem rzeczywstym nastawy wzęte z tabel mogą dawać ze względu na błąd aroksymacj - rzebeg różnące sę od założonych. Tym nemnej rzedstawona metoda jest skutecznym narzędzem wstęnego strojena korektora. Tabela. Otymalne nastawy regulatora wskaźnk jakośc dla obektu statycznego z oóźnenem rzy skokowej zmane zakłócena z=(t) Ty korektora mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 8

9 5.. Metoda oarta na aroksymacj arametrów odowedz skokowej Druga reguła wyznaczana nastaw korektorów oera sę na znajomośc arametrów układu znajdującego sę na grancy stablnośc. Parametry te są wyznaczane w nastęujący sosób: w układze zamknętym z regulatorem tyu P zwększa sę wsółczynnk wzmocnena K doók w odowedz skokowej h(t) ne zaobserwuje sę drgań negasnących (Rys.9). W takm stane należy zanotować wartość wzmocnena krytycznego regulatora K =K kr oraz zmerzyć okres drgań krytycznych T kr sygnału wyjścowego. h(t) K Rys.9. Wyznaczane okresu drgań krytycznych układu na grancy stablnośc Nastawy korektora wyznaczone według metody wskaźnków drgań krytycznych są nastęujące: Korektor P k =.5 k gr Korektor PI k =.45 k gr T = T dr /. Korektor PID k =.6 k gr T = T dr / T d = T dr / Metoda ln erwastkowych Metoda ln erwastkowych (Evansa) badana stablnośc układu zamknętego została oracowana dla sterowanego układu o transmtancj mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 9 m j bjs L s j Go k k n () M s a s W torze głównym ze sztywnym, ujemnym srzężenem zwrotnym gdze m n. Transmtancje układu otwartego można zasać jako lub w ostac alternatywnej s s s z s z... s zm s s... s L Go k k (3) M G e j o s kr s Na odstawe transmtancj układu zamknętego równane charakterystyczne jest dane jako m (4) Go klo L( s) G( s) (5) G kl M M o o o klo Mo( s) (6)

10 lub, z wykorzystanem alternatywnego zasu, jako kr e j o s czyl e j o kr s (7) (8) Warunek na grancę stablnośc układu zamknętego można zasać jako s kr ( s) l, l,,... Analza właścwośc ln erwastkowych: (9) lne erwastkowe są symetryczne względem os rzeczywstej; lne erwastkowe zaczynają sę w begunach transmtancj układu otwartego (dla k= w układze zamknętym); lne erwastkowe kończą sę w zerach transmtancj układu otwartego (dla k w układze zamknętym); lczba rozgałęzeń ln erwastkowych to maksymalne max(n,m) - unkty d rozgałęzeń są erwastkam równana G o, jeżel stneje taka skończona, ds rzeczywsta wartość wzmocnena k>, dla której o odstawenu zamast zmennej d s ojedynczego erwastka równana G o jest sełnone G o ; ds beguny welokrotne transmtancj układu zamknętego są unktam wsólnym odowednch ln erwastkowych wystęują, gdy dla ewnej wartośc wzmocnena beguny ołożone na klku lnach erwastkowych znajdują sę w tym samym unkce łaszczyzny zesolonej; lczba ln erwastkowych jest równa lczbe begunów transmtancj układu otwartego; każda z ln erwastkowych odowada rzesuwanu sę beguna transmtancj układu zamknętego dla k ; gdy m<n, lczba ln erwastkowych kończących sę w zerach jest równa m, ozostałe lne erwastkowe oddalają sę neskończene daleko od środka układu wsółrzędnych dążą do asymtot, tworzących jako lne roste ramona symetrycznej gwazdy, rzecnających sę od kątem a tworzących z dodatnm fragmentem os rzeczywstej kąt a, () n m ( ) a,,,..., n m ; () n m środek gwazdy odcna na os rzeczywstej wartość s a n m j n m z j () mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI

11 odcnk ln erwastkowych okrywające sę z osą rzeczywstą znajdują sę w tych jej częścach, od których na rawo sumaryczna lczba wszystkch rzeczywstych zer begunów transmtancj układu otwartego (łączne z ch krotnoścam) jest nearzysta; kąty wyjśca wejśca ln erwastkowej kąt wyjśca ln erwastkowej z beguna oblcza sę jako ( s q ) q arg( s m n q) (l ) arg( s z j ) arg( s ) j q a kąt wejśca ln erwastkowej do zera jako ( s z q ) m n zq) l arg( s zj) arg( s ) j j jq, (3) arg( s, (4) zq kąt wejśca/wyjśca dla begunów/zer o krotnośc d wększej nż jeden oblcza sę dla wartośc tego beguna/zera, a ozostałe kąty dla beguna/zera są rzesunęte o ; d kąty wejśca ln erwastkowej do zera odmerza sę do ln, która nakreślłaby lna erwastkowa, gdyby rzeszła rzez dane zero; rzecęce ln erwastkowej z osą urojoną rzecęce z osą urojoną (jeżel stneje) jest zborem unktów wyznaczanych za omocą tablcy Routha, w których układ staje sę stablny. Lne o stałym wsółczynnku tłumena krzywe stałej ulsacj drgań ω N tworzą odowedno roste wsółśrodkowe okręg. Na ch odstawe można wycągnąć wnosk na temat charakteru rzebegu rzejścowego. α Im{s} <ξ < ω 3 ω ω ξ = Re{s} ξ = Rys.. Lne o stałym wsółczynnku tłumena ξ krzywe stałej ulsacj drgań ω N mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI

12 Kąt odchylena od os rzędnych ln stałego wsółczynnka tłumena arctg, (5) rzy czym zależność mędzy maksymalnym odchylenem dynamcznym a wsółczynnkem tłumena ma ostać: lub e, (6) ln, (7) ln Promeń okręgu r jest zwązany z ulsacją drgań zależnoścą rad N r s, (8) Lne stałego wsółczynnka tłumena oraz krzywe stałej ulsacj drgań własnych okazano na rys.. 6 Przykłady zadań rachunkowych k Wykreślć lne erwastkowe układu zamknętego dla G o. s ( s 5) Transmtancja układu zamknętego Go G s) G s ( o Tworzene ln erwastkowych rzebega wg algorytmu: k 5s k unkty wyjśca - dla k= erwastk równana charakterystycznego s 5s k = są unktam wyjśca, czyl s= oraz s=-5. unkty wejśca transmtancja układu zamknętego ne ma zer; lczba rozgałęzeń ln erwastkowych - max(,)=; o unkty rozgałęzeń są erwastkam równana: d d k k(s 5) G o,, czyl s=-.5; ds ds s( s 5) s ( s 5) o równane G ma rzeczywste rozwązane k=6.5 dla s=-.5. o lczba ln erwastkowych - równa lczbe begunów układu zamknętego, czyl. warunek m<n; wszystke lne erwastkowe oddalają sé do neskończonośc, ramona symetrycznej gwazdy asymtot tworzą kąt: a mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI

13 nachylone są do os rzeczywstej od katam: ( ) ( ) 3 a ; a środek gwazdy odcna na os rzeczywstej wartość 5 s a.5, odcnk os rzeczywstej będące częścą wykresu ln erwastkowych: dla k> odcnek os rzeczywstej od +5 do jest częścą wykresu ln erwastkowych. kąty wejśca wyjśca ln erwastkowej: o dla beguna s ( s ) arg( s ) arg (l ) arg( s 5) (l ), dla najmnejszej wartośc l, 5. rzecęce ln erwastkowej z osą urojoną s 5s k s s s k 5 k Dla k= układ staje sę nestablny. Należy teraz dla wersza s skonstruować weloman omocnczy A s k, którego erwastk dla k=, czyl s j, są unktam rzecęć ln erwastkowych z osą urojoną. ω ω 3 ω ω k =6.5 σ mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 3

14 7 Lteratura. Janusz KOWAL T, Uczelnane Wydawnctwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 4, Sygnatura: Tadeusz Kaczorek Teora sterowana. Tom I Układy lnowe cągłe dyskretne. Państwowe Wydawnctwo Naukowe, Warszawa Darusz HORLA Podstawy Automatyk Ćwczena rachunkowe część I, Wydawnctwo Poltechnk Poznańskej, Poznań mgr nż. Bartosz BRZOZOWSKI 4