Politechnika Gdańska

Transkrypt

1 EWOLUCYJNA OPTYMALIZACJA WIELORYTERIALNA I JEJ ZASTOSOWANIA W AUTOMATYCE Zdzisław owalczuk Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki atedra Automatyki Narutowicza 11/1, 8-95 Gdańsk kova@pg.gda.pl ZTS

2 WPROWADZENIE ZAGADNIENIE optymalizacja wielu kryteriów - bez definiowania szczegółowych relacji pomiędzy nimi STOSOWANE METODY ważonych zysków odległości sekwencyjnych ograniczeń nierównościowych rankingu według Pareto-optymalności... NOWA IDEA EVOLUCYJNYCH OBLICZEŃ oparta na informacji o rodzajniku genetycznym wariancie kryterialnym

3 WIELORYTERIALNA OPTYMALIZACJA Rozważmy m-wymiarowy wektor funkcji kryterialnych gdzie T m [ f x f x ] R f x = x 1 f m x = T n [ x x ] R 1 x n jest wektorem poszukiwanych parametrów Założenie: wszystkie współrzędne f x są funkcjami zysku zadanie wielokryterialnej maksymalizacji bez ograniczeń: max x f x

4 GENETYCZNY WARIANT W naturze podział ze względu na płeć wiąże się z: - funkcjonalną przydatnością dla danej grupy / gatunku - funkcjami rozrodczymi Idea genetycznego rodzajnika wariantu kryterialnego: - podział funkcji celu na podzbiory warianty rozwiązań - przydział każdemu wariantowi atrybutu rodzajnika Xj GENDERS={ X1, X,... Xj,..., Xs } Przykład: Dwuelementowy zbiór rodzajników GENDERS={ XX, XY}

5 Genetyczny rodzajnik motywacje: - może wynikać z wyróżnionych wspólnych charakterystyk poszczególnych kryteriów wspólny Xj opisuje cele podobne rodzaj wewnętrznej rywalizacji - mniej istotnej dla projektanta różne Xj wyrażają rozmaite grupy interesów rodzaj zewnętrznej rywalizacji -trudny do rozsądzenia dla projektanta patrz pojęcie Pareto-optymalności Ewolucyjny cykl obliczeń: - dynamiczny przydział rodzajnika -krzyżowanie jedynie osobników o różnych rodzajnikach Xj

6 METODA WARIANTÓW RYTERIALNYCH SUBOPTYMALNOŚĆ Podział wektora funkcji celu f x na s podwektorów T m [ f x f x f ] R f x = x 1 s gdzie m j T f jx R -j-ty podwektor subkryterium; j = 1,,..., s opisany rodzajnikiem Xj analizowanych osobników Ocena Pareto-optymalności osobników względem subkryteriów Wektor rang i-tego osobnika: r [ r x r x r x ] T x i = 1 i i s i gdzie rj x i rj x = µ µ x + 1, µ = max µ i jmax j jmax i= 1,,, N - ranga i-tego rozwiązania x i w j-tym wariancie Xj i j x i µ x - stopień zdominowania x i w sensie Pareto względem fj j i

7 METODA WARIANTÓW GENETYCZNYCH PRESELECJA Genetyczna preselekcja przydział rodzajnika j max ϕi, i = arg max j= 1,,..., s j= 1,,..., s ϕ i = l ϕ j i gdzie ϕ j i = r j r x j max i, r j max = max i= 1,,..., N { r x } j i ϕi rj max - najwyższy rozmyty stopień suboptymalności, tj. przynależności i-tego osobnika do l i -tego wariantu - najwyższa ranga uzyskana wśród wszystkich osobników względem j-tego subkryterium fj tj. dla j-tego rodzajnika Xj Selekcja wariantowych puli rodzicielskich oparta na o suboptymalności z zastosowaniem stochastycznego doboru resztowego Nowe rozwiązania pokolenia generowane poprzez krzyżowanie jedynie osobników o różnym rodzajniku wariancie

8 Program GVAR GEND Inicjacja populacji V o N osobnikach; dopóki t t max Obliczenie przystosowania każdego osobnika; P-suboptymalny ranking osobników; Rozpoznanie genetycznego rodzajnika osobników; Selekcja suboptymalnych pul rodzicielskich; Tworzenie nowej generacji V poprzez: -krzyżowanie osobników różnowariantowych; - mutację; Zastąpienie starej populacji nową V V ; t t+1; koniec

9 PROSTE PRZYŁADY Rozważmy 1-parametrowe zadanie optymalizacji eksperyment 1 min x f x = min x [ f x f x ] T 1 gdzie 1 x = x + 5 f f x = x 5 oraz naturalny podział na dwa jedno-wymiarowe subkryteria warianty: - rodzajnik genetyczny XY - rodzajnik genetyczny XX f 1 x f x GENDERS={ XY, XX }

10 45 4 Wyniki klasycznego GA osobniki 4 35 liczba osobników f x =x-5 f 1 x =x f x, f x x Histogram osobników ostatniej populacji

11 Wyniki metody GVAR osobniki XY osobniki XX 35 liczba osobników f x=x-5 f 1 x=x f x, f x x Histogram osobników ostatniej populacji

12 Rozważmy -parametryczne zadanie -kryterialne eksperyment min x f x = min x [ f x f x ] T 1 gdzie 1 x1, x = x1 + 5 f + x x1, x = x1 5 f + x oraz dwa -wymiarowe subkryteria warianty: - rodzajnik genetyczny XY - rodzajnik genetyczny XX f1 x1, x f x1, x GENDERS={ XY, XX }

13 Wyniki klasycznego GA x x 1 Rozwiązania optymalne w przestrzeni parametrów

14 Wyniki klasycznego GA Optymalność rozwiązań w zbiorze wartości osiągalnych

15 Wyniki algorytmu GVAR x x 1 Rozwiązania optymalne w przestrzeni parametrów

16 Wyniki metody GVAR Optymalność rozwiązań w zbiorze wartości osiągalnych

17 SYNTEZA REGULATORA PID Rozważmy zadanie wielokryterialnej optymalizacji regulatora PID 1 G c s = p + + st i st d dotyczące wektora parametrów: x T 3 [ x x ] = x 1 3 R gdzie x x x 1 3 = = T = T i p d

18 Założone funkcje kryterialne: IMSE = 1 [ e& x, t + λe x, t ] f x = dt ISC = f 3 x = u x, t dt g m x = f4 x = gain margin p m x = f5 x = phase margin

19 Dobieramy dwa subkryteria / warianty o różnych rodzajnikach: T 5 [ f x f ] f x = x R 1 gdzie f T [ f x f ] 1 x = 1 x R - JAOŚĆ XX kryteria całkowe f T [ f x f ] x = 4 5 x R - ODPORNOŚĆ XY zapasy wzmocnienia i fazy

20 PRZYŁADOWA WIELORYTERIALNA OPTYMALIZACJA Rozważmy nieminimalnofazowy obiekt liniowy: G p s = s s.5s + 1 s s + 6s + 1 oraz przeszukiwaną kostkę parametrów PID: x1 = p [, 1 ] x = T i [, 3] x3 = T d [, 1]

21 WYNII EWOLUCYJNYCH POSZUIWAŃ 35 3 GA GVAR 5 ISC IMSE Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach jakościowych

22 5 45 GA GVAR pm gm Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach odpornościowych

23 8 6 rozwiązania jakościowe rozwiązania odpornościowe 4 ISC IMSE P-optymalne rozwiązania na płaszczyźnie jakościowej

24 5 45 rozwiązania jakościowe rozwiązania odpornościowe 4 pm gm P-optymalne rozwiązania na płaszczyźnie odpornościowej

25 WYNII SYMULACJI wyjście układ zamknięty PID Ziegler-Nichols PID tradycyjny GA PID jakościowy GVAR PID odpornościowy GVAR czas [s] Odpowiedzi skokowe układu sterowania obiektem nominalnym

26 .5 Układ zamknięty PID Ziegler-Nichols PID tradycyjny GA PID jakościowy GVAR PID odpornościowy GVAR 1.5 wyjście 1 ście czas [s] Odpowiedzi skokowe układu sterowania obiektem zaburzonym

27 SYNTEZA GENERATORA RESIDUÓW System FDI usterki zakłócenia sterowanie f t dt ut F F 1 vt N B x& t xt C yt Szumy pomiarowe pomiary Szumy obiektowe wt A Obiekt B x t & xt yt C Generator resztowy A Q rt residua

28 Problem wielokryterialnej optymalizacji generatora resztowego = min min, min, min, min, max, 6 5 4, 3,, 1,, Q Q Q Q Q J Q Q Q Q Q J J J J J J opt =, 1 1 s s J rf G W Q =, s s J rd G W Q =, 3 3 s s J rw G W Q =, 4 4 s s J rv G W Q J s 1 6 = C A J s 1 5 C A = gdzie

29 Macierzowe funkcje przenoszenia { C n 1 1 [ si A C ] F F } G s = Q + F G G G rf rd rw rv s = QC n 1 [ si A C ] N [ si A ] 1 s = QC C n 1 = Q{ I m C n [ si A C ] } s oraz [ M j ] M s = supσ ω M s = σ ω [ M] σ [] - największa wartość szczególna macierzy W s, W s, W3 s, W4 1 s - macierze wagowe

30 Przedefiniowanie problemu wielokryterialnej optymalizacji optymalizacja w-własnych { } i λ macierzy A C przy: przyjęciu Q jako macierzy jednostkowej ustaleniu macierzy ważących W s, W s, W s, W s wyznaczaniu macierzy dla ustalonego spektrum opt, Q J, Q = opt J = opt λ J λ

31 Podział kryteriów na 3 subkryteria rodzajniki / warianty gdzie T 6 [ J λ J λ J λ ] J λ = R 1 3 T [ λ ] R J1 λ = J1 - JAOŚĆ X1 wpływ usterek na residuum J T 3 [ J λ J λ J λ ] λ = 3 4 R - NIEWRAŻLIWOŚĆ X wpływ zakłóceń oraz szumów wejściowych i pomiarowych J T [ J λ J λ ] 3 λ = 5 6 R - ODPORNOŚĆ X3 wpływ odchyłek od nominalnego modelu obiektu

32 Rozważmy stanowy model okrętowego systemu napędowego x & t = Ax t + Bu t + Nd t + F1 f t + w t y t = Cx t + F f t + v t gdzie x = [ θ n v ] T Q eng - wektor stanu θ -kąt natarcia śruby względem kierunku obrotów n -prędkość obrotowa wału v -prędkość okrętu Qeng - moment obrotowy silnika Diesla u = [ θ ] T ref Y - wektor sterowania θref -wartość zadana kąta natarcia Y - wtrysk paliwa

33 f [ θ θ n] T = & θ & θ - addytywny wektor usterek -błąd pomiaru kata natarcia - wyciek hydrauliczny wolny dryft kąta natarcia n -błąd pomiaru prędkości obrotowej d = [ ] T Q f T ext -zakłócenia Q f - moment tarcia Text -zewnętrzna siła reprezentująca wpływ wiatru i fal y = [ θ n v ] T m m m - pomiary w, v R 3 -szumy wejściowe i pomiarowe

34 Wektor poszukiwanych wartości własnych j-tych osobników λ j = λ λ λ λ 1 j j 3 j 4 j R 4 Hiperkostka poszukiwanych parametrów 1 λ j [ 3,.5] λ j [ 3,.5] 3 λ j [ 1, 31] 4 λ j [ 1, 31]

35 WYNII EWOLUCYJNYCH POSZUIWAŃ 18 GA GVAR J 1 max J 1 max Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach jakościowych

36 6x 1 8 GA GVAR 8 x 15 7 J 4 min J 3 min x J 3 min.5 J min 1 1.5x J min x 1-6 Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach niewrażliwościowych

37 4.5 5 x 18 GA GVAR J 6 min J 5 min x 1 8 Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach odpornościowych

38 18 16 rozwiązania jakościowe rozwiązania niewrażliwe rozwiązania odporne 14 J 1 max J 1 max Rozwiązania P-optymalne na płaszczyźnie jakościowej

39 rozwiązania niewrażliwe rozwiązania jakościowe rozwiązania odpornościowe 1x x J 4 min 6 4 J 3 min x J 3 min J min 3 x J min x 1-6 Rozwiązania P-optymalne w przestrzeni niewrażliwości

40 4 x rozwiązania odporne rozwiązania jakościowe rozwiązania niewrażliwe.5 J 6 min J x min Rozwiązania P-optymalne na płaszczyźnie odpornościowej

41 6 5 Liczba frontów Pareto 4 3 rozwiązania niewrażliwe rozwiązania odpornościowe rozwiązania jakościowe rozwiązania klasyczne numer generacji Liczba frontów Pareto w trakcie ewolucji

42 WYNII SYMULACJI θ n. θ.5 θ high low n max min θ n time second Sekwencja możliwych addytywnych usterek

43 4 rozwiązanie jakościowe rozwiązanie klasyczne r θ r n r v Czas [s] Przebiegi sygnałów w dwu generatorach resztowych

44 4 rozwiązanie niewrażliwe rozwiązanie klasyczne r θ r n r v czas [s] Przebiegi sygnałów w dwu generatorach resztowych

45 r θ rozwiązanie odporne rozwiązanie klasyczne r n r v Czas [s] Przebiegi sygnałów w dwu generatorach resztowych

46 WNIOSI Nowa metoda rozwiązywania zadań wielokryterialnej optymalizacji oparta na obliczeniach ewolucyjnych z zastosowaniem preselekcji, tj. rozpoznawania genetycznego rodzajnika / wariantu suboptymalności Informacja o stopniu przynależności do wariantu uzyskiwana jest poprzez Pareto-optymalny ranking rozwiązań Informacja ta wykorzystywana jest w procesie między-wariantowego krzyżowania Miejsce i rola Pareto-optymalizacji: - subkryterialna suboptymalna ocena rozwiązań / osobników - preselekcja jednowariantowych / rodzajnikowych pul rodzicielskich - końcowa ocena różno- wariantowych rozwiązań por. koncepcję globalnego wskaźnika optymalności rzyżowanie różnowariantowych osobników jest bardziej skuteczne z p.w. wymiany materiału genetycznego i dynamiki poszukiwań unika się też w ten sposób krzyżowania osobników podobnych

47 Praktyczne aspekty w kategoriach skuteczności w opozycji do podejścia klasycznego: 1 możliwość prostego formułowania subkryteriów bez ważenia bardziej regularne fronty Pareto efekt kryterialnego niszowania 3 większa liczba frontów Pareto mniejszy wymiar przestrzeni 4 rozmaitość rozwiązań przeciwdziałająca przedwczesnej zbieżności 5 bardziej efektywne, różnowariantowe krzyżowanie z p.w. postępu 6 jasne podstawy wyboru ostatecznych rozwiązań Zastosowania wariantowej/rodzajnikowej Pareto-optymalizacji EC/GA: - optymalizacja parametryczna regulatorów PID, GPC,..., - filtrów analogowych, cyfrowych,... - obserwatorów detekcyjnych i układów diagnostycznych, - modeli rozmytych, sieci neuronowych, itd.