Estymacja częstotliwości podstawowej sieci energetycznej na podstawie scałkowanego sygnału napięcia

Transkrypt

1 SIWOŃ Cezary 1 Estymacja częstotliwości podstawowej sieci energetycznej na podstawie scałkowanego sygnału napięcia WSTĘP Utrzymanie stałej częstotliwości napięcia w sieci energetycznej jest jednym z najważniejszych czynników decydujących o jakości energii. Cel ten osiąga się stosując metody cyfrowe o możliwie małej złożoności obliczeniowej. Najistotniejszym atrybutem tych metod jest możliwie krótki czas pomiaru, aby układy automatyki mogły odpowiednio szybko zareagować na przekroczenie dopuszczalnej odchyłki. Krótki czas pomiaru wymusza stosowanie metod opartych na aproksymacji sygnału napięciowego funkcją harmoniczną. Zawartość szumu i wyższych harmonicznych w sygnale mierzonym wymusza stosowanie filtracji lub metod minimalizujących wpływ szkodliwych czynników. Wiele różnych metod pomiaru częstotliwości sieci energetycznej zostało opisanych w literaturze, wśród których można wyróżnić metody w dziedzinie czasu oparte na aproksymacji przebiegu napięcia [1], [2], [3], [4], [5].Metody pomiarowe powinny spełniać wiele warunków jak np. reakcja na mały dryft częstotliwości, występowanie zakłóceń, odpowiednio mały błąd pomiarowy. Metody cyfrowe charakteryzują się małymi błędami przy braku zakłóceń i zniekształceń pochodzących od elementów nieliniowych w systemie. Stąd ciągłe poszukiwania nowych metod zapewniających odpowiednią jakość pomiaru w obecności zakłóceń i wyższych harmonicznych. Stosunkowo prostą metodą tłumienia szumów i wyższych harmonicznych jest całkowanie sygnału. W pracy przedstawiono metodę opartą na całkowaniu sygnału mierzonego z rosnącym czasem całkowania i wyznaczeniu szukanej częstotliwości na podstawie scałkowanego sygnału. 1 PROPONOWANA METODA Mierzony sygnał sieci energetycznej dany jest w postaci: (1) gdzie: szum zakłócający. Całkując sygnał x(t) od chwili t=0 w rosnącym przedziale całkowania t zgodnie z zależnością: (2) otrzymamy funkcję: (3) 1 Politechnika Świętokrzyska w Kielcach, Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki, Al lecia Państwa Polskiego 7, Kielce, tel , csiwon@tu.kielce.pl 9537

2 Przy założeniu, że sygnałx(τ) (1) jest zakłócany przez sygnał losowy o zerowej wartości oczekiwanej, otrzymany sygnał y(t) (3) dla t nie będzie obciążony zakłóceniem: (4) Pomijając wpływ zakłócenia, postaci dyskretne obu sygnałów można opisać wzorami: (5) (6) Wyznaczając wartości sygnału y w chwili poprzedniej i następnej otrzymamy zależności: (7) (8) Różnica między nimi określona jest wzorem: (9) Wstawiając do równania (9) zależność (5) otrzymamy: (10) Wartości i są opisane następująco: (11) (12) Różnica między powyższymi wartościami dana jest wzorem: (13) Wstawiając do powyższego równania zależność (5) otrzymujemy: (14) 9538

3 Dzielenie równania (14) przez (10) prowadzi do wzoru: (15) Z powyższej zależności poszukiwana częstotliwość f może być wyznaczona z równania: (16) Ze względu na fakt, iż w praktyce całkowanie odbywa się dla skończonego czasu, co implikuje występowanie stłumionych zakłóceń, zastosowanie wzoru (16) do wyznaczania częstotliwości nie prowadzi do oczekiwanych wyników. Trudno także wyznaczyć częstotliwość w sytuacji, gdy v(n) przyjmuje wartości bliskie zeru. Aby możliwe było wyznaczenie częstotliwości z zależności (16) należy zastosować rekurencyjny algorytm najmniejszej sumy kwadratów RLS do oszacowania na podstawie sygnału y(n) wartości licznika i mianownika sygnału. Jest to rozwiązanie szeroko opisane w literaturze [1], [3], [4]. Licznik i mianownik wyznaczane są osobno algorytmem RLS, przyjmując w obu przypadkach jako wektor wejściowy zmierzony sygnał x(n), zaś wektorami pożądanymi na wyjściu są odpowiednio i. Wynikiem działania algorytmu RLS są estymaty: licznika i mianownika, które po wstawieniu do wzoru (16) pozwalają na obliczenie szukanej częstotliwości. Osobnym problemem jest zastosowanie we wzorze funkcji arccos, która jest znaczniej bardziej złożona obliczeniowo, powodując wydłużenie czasu obliczeń i uniemożliwiając wyznaczanie częstotliwości w trybie online. Ze względu na to, iż w literaturze problem ten jest dobrze opisany i istnieje kilka stosowanych rozwiązań jak np. rozwinięcie funkcji arccos w szereg Taylora lub eliminacja funkcji arccos przez zastosowanie przyrostów częstotliwości [1], w pracy problem ten został pominięty, a w badaniach symulacyjnych zastosowano zaimplementowaną w pakiecie SciLab funkcję acos. 2 BADANIA SYMULACYJNE Badania przeprowadzono symulując przebieg cyfrowy funkcji harmonicznej o częstotliwości nominalnej 50 Hz spróbkowany z częstotliwością 1 KHz. Do przebiegu dodano szum gaussowski o zerowej wartości średniej. Symulowany sygnał cyfrowy całkowano metodą trapezów, zgodnie z wzorem rekurencyjnym: (18) Zastosowano algorytm RLS o poniższej postaci: wartości początkowe (19) wartości dla kolejnych n=2, 3, (20) 9539

4 gdzie: zmierzony sygnał wejściowy żądany sygnał wyjściowy otrzymany na podstawie scałkowanego sygnału. Do wyznaczenia licznika zastosowano, a do wyznaczenia mianownika. Do pracy algorytmu RLS przyjęto standardowe wartości parametrów: δ=0,01i λ=0,98. Badania symulacyjne przeprowadzono badając trzy przypadki, opisane w kolejnych podrozdziałach 1. Pomiar stałej częstotliwości w zależności od poziomu szumu zakłócającego 2. Pomiar liniowo zmieniającej się częstotliwości dla zawartości szumu o SNR 40dB 3. Pomiar sygnału zawierającego wyższe harmoniczne 2.1 Błąd pomiaru stałej częstotliwości w zależności od poziomu szumu zakłócającego Do symulowanego przebiegu x(n) o częstotliwości 50Hzdodawano szum gaussowski o zerowej wartości średniej, którego stosunek do sygnału, określony parametrem SNR, zmieniano w zakresie od 20 do 60 db. Błąd estymacji częstotliwości wyznaczano za pomocą błędu średniokwadratowego MSE: gdzie: zadana częstotliwość symulowanego przebiegu estymata częstotliwości w chwili Wyniki symulacji przedstawiono na wykresie, na którym zestawiono błędy estymacji proponowaną metodą RLS z całkowaniem jak i algorytmem RLS opisanym w pracy [1], w którym sygnałem wejściowym jest x(n) a wyjściowym x(n-1) +x(n+1). (19) Rys. 1. Wykres zmian błędów proponowanej metody w funkcji poziomu szumu. 9540

5 Z wykresu wynika, że proponowana metodą zapewnia znacząco mniejsze błędy estymacji częstotliwości w obecności znaczących szumów. Dla szumu o SNR 20 db RLS z całkowaniem zapewnia ponad 10-krotnie mniejszy błąd w stosunku do tradycyjnego algorytmu RLS. Wynika to z właściwości operacji całkowania, która w funkcji rosnącego czasu całkowania coraz silniej tłumi szum o zerowej wartości średniej. 2.2 Pomiar liniowo zmieniającej się częstotliwości dla zawartości szumu SNR 40dB Skuteczność proponowanego algorytmu zbadano także dla liniowej zmiany częstotliwości. Częstotliwość sygnału mierzonego zmieniano od 50 Hz do 50,5 Hz w czasie 0,1 s. Sygnał zawierał szum o zerowej wartości oczekiwanej, którego SNR wynosił 40 db. Do zadowalającej estymacji częstotliwości proponowany algorytm potrzebuje około 0,02 s, co stanowi jeden okres sygnału mierzonego 50 Hz, podobnie jak tradycyjna estymacja RLS. Z przedstawionego na rysunku 2 przebiegu wynika, że oba algorytmy estymują z coraz większym błędem w miarę wzrostu częstotliwości, wykazując istnienie błędu dynamicznego. Błąd algorytmu RLS z całkowaniem jest wyraźnie mniejszy. Proponowany algorytm wykazuje także szybszy powrót do akceptowalnego błędu po ustabilizowaniu się częstotliwości, czyli po zaniknięciu błędu dynamicznego. Rys. 2. Przebieg wartości estymowanej częstotliwości dla zmieniającej się liniowo częstotliwości zadanej. Na rysunku 3 przedstawiono przebieg względnych błędów estymacji częstotliwości obiema metodami w funkcji czasu pomiaru. Błąd dynamiczny proponowaną metoda jest mniejszy, choć potwierdza się fakt wzrostu błędu w miarę wzrostu czasu liniowej zmiany częstotliwości. Główną przyczyną występowania błędu dynamicznego jest nieadekwatność wartości chwilowych mierzonego sygnału w chwilach poprzednich i następnych do wyznaczanej częstotliwości w chwili bieżącej. W chwili t i bieżącą częstotliwością sygnału jest f i, którą estymuje się na podstawie próbek w chwilach t i- 1, t i+1, w których to częstotliwość sygnału wynosi odpowiednio f i-1 i f i

6 Rys. 3. Błędy dynamiczne w funkcji czasu pomiaru przy liniowej zmianie częstotliwości 2.3 Pomiar sygnału zawierającego wyższe harmoniczne W ostatnim przypadku zbadano skuteczność metody w sytuacji, gdy w sygnale mierzonym występują wyższe harmoniczne. Do sygnału o częstotliwości podstawowej 50 Hz dodano 10% trzeciej harmonicznej, 5% piątej harmonicznej i 3% siódmej harmonicznej. Do sygnału dodano także szum o zerowej wartości średniej i SNR 40 db. Sygnał pomiarowy poddano filtracji dolnoprzepustowej filtrem Butterworth a piątego rzędu o częstotliwości granicznej 100 Hz. Sygnał scałkowany uzyskano na podstawie sygnału po filtracji. Przebieg estymacji częstotliwości metodą RSL z całkowaniem i samą RLS przedstawiono na wykresie. Rys. 4. Przebieg estymowanych częstotliwości w funkcji czasu pomiaru sygnału zawierającego wyższe harmoniczne. Z wykresu wynika, że proponowana metoda zapewnia szybszą estymację częstotliwości z błędem poniżej 1% (około 0,02 s),a praktycznie po około 0,04 s, czyli po pomiarze dwu okresów, błąd estymacji nie przekracza 0,2%. Estymacja algorytmem RLS na podstawie sygnału po filtracji, potrzebuje około 0,05 s, aby osiągnąć błąd pomiaru poniżej 1%, a dopiero po około 0,1 s błąd rzędu 0,2 %. Z przedstawionych symulacji wynika, że algorytm RLS z całkowaniem jest 2,5 szybszy od 9542

7 tradycyjnego algorytmu RLS, pomimo zastosowania filtracji, która powinna zminimalizować wpływ nie tylko wyższych harmonicznych, ale także szumu. WNIOSKI W pracy zaproponowano uzyskanie sygnału pomiarowego metodą całkowania o rosnącym czasie całkowania dzięki czemu możliwe jest zmniejszenie wpływu zakłóceń w postaci szumu o zerowej wartości oczekiwanej. Przy znanej funkcji całkowanego sygnału możliwe jest wyznaczenie funkcji po scałkowaniu a następnie jej aproksymowanie scałkowanym przebiegiem pomiarowym. Scałkowany przebieg pomiarowy charakteryzuje się mniejszą zawartością szumu o zerowej wartości oczekiwanej pozwalając na aproksymację z mniejszym błędem. W artykule wyznaczono scałkowaną postać sygnału sieci energetycznej, zaproponowano metodę wyznaczenia częstotliwości na podstawie sygnału scałkowanego oraz przedstawiono zastosowanie algorytmu RLS do uzyskania estymat czynników równania[17] umożliwiającego obliczenie częstotliwości. Wyniki badań symulacyjnych wykazują, że proponowana metoda wykazuje ponad 10-krotnie mniejszy błąd estymacji w obecności szumu o SNR w zakresie od 20 do 30 db. Uzyskanie podobnych rezultatów przez tradycyjną metodę RLS wymaga użycia filtru o odpowiedniej częstotliwości. Dla zawartości szumu o SNR 40 db algorytm RLS z całkowaniem estymuje częstotliwość z 2-3 krotnie mniejszym błędem w stosunku do tradycyjnego algorytmu. Błędy dynamiczne obu metod są podobne, przy niewielkiej przewadze proponowanej metody. Przy zawartości wyższych harmonicznych w sygnale sieci energetycznej konieczna jest filtracja. W badaniach symulacyjnych zastosowano filtrację dolnoprzepustową w odniesieniu do obu porównywanych metod. Proponowana metoda wykazała się znacznie krótszym czasem pomiaru w stosunku do algorytmu RLS operującego na samym sygnale sieci, uzyskując estymatę częstotliwości z błędem 0,2 % w czasie ponad 2,5 razy krótszym. Zaproponowana metoda minimalizacji wpływu szumu pozwala na uzyskanie mniejszych błędów estymacji oraz skrócenie jej czasu. Dodatkowym atutem w porównaniu z filtracją jest mała złożoność obliczeniowa całkowania numerycznego, brak ograniczeń dla spektrum częstotliwości usuwanego szumu. Kosztem proponowanej metody jest dwukrotna estymacja algorytmem RLS w jednym kroku obliczeniowym, niezbędna do wyznaczenia licznika i mianownika równania na poszukiwaną częstotliwość. Streszczenie Wyznaczanie częstotliwości napięcia sieci energetycznej wymaga krótkiego czasu pomiaru. Na estymowaną wartość częstotliwości ma wpływ szum i zakłócenia sygnału, stąd jednym z najważniejszych zadań pomiaru jest minimalizacja wpływu tych czynników na pomiar. W artykule zaproponowano operację całkowania sygnału mierzonego w celu minimalizacji wpływu szumu i wyższych harmonicznych. Sygnał scałkowany, który ma taką samą częstotliwość jak sygnał mierzony, jest aproksymowany metodą RLS. W pracy przedstawiono wyniki symulowanych pomiarów prezentowaną metodą w porównaniu z wybranymi metodami przedstawionymi w literaturze. Power system frequency estimation based on integration of voltage signal Abstract Estimation of the power system frequency needs a short measurement time. Estimated value of the frequency is affected by noise and interference. One of the most important tasks of the measurement is to minimize the impact of these factors. This paper proposes the integration of the measured signal in order to minimize the impact of noise and harmonics. Integrated signal, that has the same frequency as the measured signal, is approximated by the RLS algorithm. Results of simulated measurements by presented method and comparison with different methods reported in the literature was presented. 9543

8 BIBLIOGRAFIA 1. Augustyn J., Analgorithm for frequency estimation of sinusoidal signal, Metrology and Measurement Systems, vol IX, no 4/2002, p Liangliang Li, WeiXia, DongyuanShi and Jianzhuang Li, Frequency estimation on power system using recursive-least-squares approach, Proceedings of the 2012 International Conference on Information Technology and Software Engineering Lecture Notes in Electrical Engineering Volume 211, 2013, pp Lobos T., Rezmer J., Real-time determination of power system frequency. IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, vo. 46, no. 4, pp , Aug Pradhan AK., Routray A., Basak A., Power system frequency estimation using least mean square technique, IEEE Trans. Power Delivery 20: Sachdev M. S., Giray M. M., A least error squares technique for determining power system frequency, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Feb vol. PAS-104, no. 2, pp Seyedi H., Sanaye-Pasand M., A new time-domain based power system frequency estimation algorithm, Euro. Trans. Electr. Power (2011),2012, pp