Estymacja parametrów Wybrane zagadnienia implementacji i wykorzystania

Transkrypt

1 Estymacja parametrów Wybrane zagadnienia implementacji i wykorzystania Wykład w ramach przedmiotu Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji

2 Plan wykładu Potrzeba estymacji parametrów Estymacja jako etap procesu identyfikacji systemu Estymacja gradientowa Niekrzepka Krzepka Estymacja metodą najmniejszych kwadratów Wsadowa Z przesuwnym oknem Rekursywna (iteracyjna) Z współczynnikiem zapominania

3 Implementacja w Matlabie/Simulinku Mplik Mplik+Simulink Implementacja w języku C Implementacja w PLC (język ST)

4 Przykładowa parametryzacja dla modelu ARMA

5

6 Estymacja gradientowa Dzielenie przez zero, szum pomiarowy może uniemożliwiad wyznaczenie thety

7 Algorytm gradientowy

8 Metoda największego spadku (steepest descent)

9

10

11 M. Gaussa-Seidela

12

13 Regresja liniowa metoda najmniejszych kwadratów Popularna metoda statystyczna Można ją odnaleźd w pracach Gaussa ( ) przy wyznaczaniu orbit planet Wykorzystywana do wyznaczania nieznanych wielkości na podstawie znanych wielkości (oraz wiedzy o strukturze zależności między nimi) Użyteczna w wielu zastosowaniach: opracowaniu wyników pomiarów, modelowaniu, pośrednio sterowaniu

14 Jak na podstawie pomiarów y(t) otrzymad theta?

15 Wektor N x 1 Macierz N x n

16 Metoda najmniejszych kwadratów

17

18 Postad rekurencyjna ze wsp. zapominania

19

20 Dryf parametrów Zjawisko dryftu parametrów może wystąpid, gdy zastosowana zostaje klasyczna metoda estymacji parametrów (np. gradientowa lub najmniejszych kwadratów) dla obiektu posiadającego błędy modelowania nie będące białym szumem. Efektem dryftu parametrów jest to, że estymaty parametrów modeli zmierzają do nieskooczoności przy utrzymywaniu niewielkiego błędu modelowania. Otrzymanie nieograniczonych estymat parametrów uniemożliwia otrzymanie poprawnego sterowania. Istotne jest to, że efekt ten pojawia się nawet w obliczu bardzo korzystnego błędu modelowania addytywnego zakłócenia, które zanika.

21 Dryf parametrów

22 Dryf parametrów

23 Estymacja krzepka błąd modelowania jest ograniczony

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34 Model parametryczny T y( t) t ( ) y(t) Wielkośd mierzona, najczęściej wyjściowa T (t) Wektor znanych wielkości (regresor, zmienne regresji) Wektor nieznanych (wyznaczanych, estymowanych parametrów)

35 Realizacja w Matlabie Matlab M plik

36 Matlab RLS z FF

37

38

39 u = sign(randn(50,1)); % input e = 0.2*randn(50,1); % noise th0 = idpoly([ ],[ ],[ ]); % a low order idpoly model opt = simoptions('addnoise',true,'noisedata',e); y = sim(th0,u,opt); z = iddata(y,u); plot(z) % analysis data object thm1 = roe(z,[2 2 1],'ff',0.98);

40 ROE Computes estimates recursively for an output error model. [THM,YHAT] = ROE(Z,NN,adm,adg) z : An IDDATA object or the output-input data matrix z = [y u]. The routine is for single input, single output data only. NN : NN = [nb nf nk], The orders and delay of an output error input-output model (see also OE). adm: Adaptation mechanism. adg: Adaptation gain adm='ff', adg=lam: Forgetting factor algorithm, with forgetting factor lam adm='kf', adg=r1: The Kalman filter algorithm with R1 as covariance matrix of the parameter changes per time step adm='ng', adg=gam: A normalized gradient algorithm, with gain gam adm='ug', adg=gam: An unnormalized gradient algorithm with gain gam THM: The resulting estimates. Row k contains the estimates "in alphabetic order" corresponding to data up to time k (row k in Z) YHAT: The predicted values of the outputs. Row k corresponds to time k. Initial value of parameters(th0) and of "P-matrix" (P0) can be given by [THM,YHAT,P] = ROE(Z,NN,adm,adg,TH0,P0) Initial and last values of auxiliary data vectors phi and psi are obtained by [THM,YHAT,P,phi,psi] = ROE(Z,NN,adm,adg,TH0,P0,phi0,psi0).

41 Metoda ruchomego okna dyskusja Układy niestacjonarne Parametry zmienne w czasie Stała liczba danych brana pod uwagę

42

43 Bibliografia Ioannou P., Sun J. (1996) Robust Adaptive Control, PTR Prentice Hall Soderstrom T., Stoica P. (1997) Identyfikacja systemów, Wydawnictwo Naukowe PWN Janiszowski K. (2002) Identyfikacja modeli parametrycznych, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Gang T. (2003) Adaptive Control Design and Analysis Wiley-Interscience, A John Wiley & Sons Inc. Publication

44 Bibliografia cd. Astrom K., Wittenmark B. (1995) Adaptive Control Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company Niederlioski A., Mościoski J, Ogonowski Z. (1995) Regulacja adaptacyjna, Wydawnictwo Naukowe PWN