Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Transkrypt

1 23. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak Paweł Taborowski Łukasz Janeczko

2 Plan wykładu I 1 Klasyfikacja PDE 2 Równania eliptyczne 3 Równania paraboliczne 4 Równanie falowe 5 Bibliografia

3 Klasyfikacja PDE Klasyfikacja PDE Oznaczenie PDE partial differential equation (równanie różniczkowe cząstkowe)

4 Klasyfikacja PDE Definicja równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Niech: R zbiór na płaszczyźnie Równanie: a(x, y, u, u x, u y ) 2 u u + 2 b(x, y, u, x 2 x, u y ) 2 u x y + +c(x, y, u, u x, u y ) 2 u u + f (x, y, u, y 2 x, u y ) = 0 (1) z warunkiem a 2 + b 2 + c 2 0 (x,y) R nosi nazwę równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu.

5 Klasyfikacja PDE W szczególnym przypadku: Definicja równanie liniowe i słabo nieliniowe Niech: a = a(x, y), b = b(x, y), c = c(x, y) równanie to jest liniowym, gdy: f d(x, y) u x zaś słabo nieliniowym, gdy: + e(x, y) u y f f (x, y, u) + g(x, y)u + h(x, y)

6 Klasyfikacja PDE W dowolnym (x, y) R równanie (1) jest: eliptyczne, gdy b 2 ac < 0 paraboliczne, gdy b 2 ac = 0 hiperboliczne, gdy b 2 ac > 0

7 Klasyfikacja PDE Przykłady równanie potencjału; Laplace a eliptyczne (wszędzie) 2 u x u y 2 = 0 równanie transportu ciepła paraboliczne 2 u x 2 u y = 0 równanie falowe hiperboliczne 2 u x 2 2 u y 2 = 0

8 Równania eliptyczne Równania eliptyczne Równania eliptyczne opisują zagadnienia równowagi zastosowania PDE Równanie prototypowe równanie Laplace a 2 u + 2 u = 0 x 2 y 2 u xx + u yy = } 0 u = 0 2 nie jest sprecyzowany układ współrzędnych u = 0 teoria potencjału, grawitacji.

9 Równania eliptyczne Rozwiązania Laplace a funkcje harmoniczne Ważna własność funkcji harmonicznych: Własność min-max Jeżeli R obszar jednospójny (simply connected) S brzeg obszaru u f. harmoniczna na R i ciągła na R S to u przyjmuje największą i najmniejszą wartość na brzegu S.

10 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a Warunki graniczne dla r. Laplace a Rozważymy: zagadnienie Dirichleta zagadnienie Neumanna zagadnienie Robina

11 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie Dirichleta Zagadnienie Dirichleta Zagadnienie Dirichleta mając: G ograniczony zbiór punktów R wnętrze G; R jednospójny S brzeg obszaru R; S odcinkami regularny f (x, y) dana funkcja ciągła na S należy znaleźć funkcję u(x, y): określoną i ciągłą na R S identyczną z f (x, y) na S harmoniczną na R

12 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie Dirichleta graf f (x, y) w 3D zamknięta krzywa graf u(x, y) powierzchnia nad R S, zawiera f f brzeg

13 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie Dirichleta Dowodzi się: istnienia i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Dirichleta S: prostokąt rozwiązanie szeregi Fouriera, okrąg, elipsa całka Poissona, szeregi Fouriera (i gdy można zastosować przekształcenia konforemne) ale: często rozwiązania analityczne wolnozbieżne W większości przypadków brak rozwiązań analitycznych (zamkniętych).

14 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie Neumanna Zagadnienie Neumanna Zagadnienie Neumanna Wyznaczyć u(x, y): ciągłą na R S harmoniczną na R taką, że jej pochodna w kierunku normalnej wewnętrznej w każdym punkcie P brzegu S przyjmuje zadane wartości: u(x, y) n = g(x, y) Zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie z dokładnością do stałego składnika.

15 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie mieszane; Robina; trzeciego rodzaju Zagadnienie mieszane; Robina; trzeciego rodzaju Zagadnienie mieszane; Robina; trzeciego rodzaju u + H (u h) = 0 n gdzie H,h zadane funkcje Powyższe zag. zag. brzegowe wewnętrzne

16 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie mieszane; Robina; trzeciego rodzaju Zagadnienia brzegowe zewnętrzne Poszukiwana funkcja u powinna być harmoniczna w obszarze nieograniczonym, położonym na zewnątrz powierzchni S.

17 Równania eliptyczne Warunki graniczne dla r. Laplace a zagadnienie mieszane; Robina; trzeciego rodzaju Podejście transformacja, inwersja 0P 0Q = 1 Zagadnienia brzegowe zewnętrzne mają jednoznaczne rozwiązania; brak ogólnej metody wyznaczania rozwiązań analitycznych.

18 Równania eliptyczne Przybliżenie równania Laplace a układem równań różnicowych Przybliżenie równania Laplace a układem równań różnicowych h > 0, 0 < h i h, i = 1, 2, 3, 4 u i u w punkcie i

19 Równania eliptyczne Przybliżenie równania Laplace a układem równań różnicowych Wyznaczamy parametry α i, i = 0,..., 4 takie, by w (x, y): u xx + u yy α 0 u 0 + α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 + α 4 u 4 (2) Do (2) podstawiamy rozwinięcia u w szereg Taylora wokół (x, y): Wtedy: u 1 = u 0 + u x h u xxh O(h3 1 ) u 2 =... u xx + u yy u 0 (α 0 + α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ) + u x (h 1 α 1 h 3 α 3 )+ +u y (α 2 h 2 α 4 h 4 ) u xx (h 2 1α 1 + h 2 3α 3 ) u yy (h 2 2α 2 + h 2 4α 4 ) + 4 O(hi 3 ) i=1 (3)

20 Równania eliptyczne Przybliżenie równania Laplace a układem równań różnicowych Porównując ze sobą odpowiednie współczynniki, a następnie rozwiązując układ pięciu równań mamy: [ ] α 0 = 2 1 h 1 h h 2 h 4, 2 α 1 = h 1 (h 1 +h 3 ), 2 α 2 = h 2 (h +h 3 ), 2 α 3 = h 3 (h 1 +h 3 ), 2 α 4 = h 4 (h 2 +h 4 ) Zastąpienie równania Laplace a przybliżeniem (2) opiera się na: 4 lim [O(hi 3 )] = 0 h 0 i=1

21 Równania eliptyczne Przybliżenie równania Laplace a układem równań różnicowych Dla szczególnego, ważnego przypadku: mamy: z (4) widać własność min-max: czyli: h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = h 4u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 0 (4) u 0 = 1 4 (u 1 + u 2 + u 3 + u 4 ) min[u 1, u 2, u 3, u 4 ] u 0 max[u 1, u 2, u 3, u 4 ] Przedstawiony sposób transformacji PDE na równania różnicowe uniwersalny.

22 Równania eliptyczne Konstruowanie siatki Konstruowanie siatki Dyskretyzacja zbioru punktów R S { (x, y) dowolny, ustalony punkt płaszczyzny h > 0 rozmiar siatki (grid size)

23 Równania eliptyczne Konstruowanie siatki zbiór punktów: zbiór linii: pokrywają całą płaszczyznę. (x + p h, y + q h), p, q = 0, ±1, ±2,... zbiór punktów siatki płaskiej } x = x + ph wertykalnych krata płaska y = y + qh horyzontalnych (planar lattice)

24 Równania eliptyczne Konstruowanie siatki R h siatka wewnętrzna (interior grid): te punkty siatki, które należą do R punkty wspólne kraty płaskiej i brzegu S Sh Gh = R h S h 4 sąsiedzi (x, y) R h 4 punkty Gh najbliższe (x, y) w 4 kierunkach G h podzbiór G h zawierający każdy punkt R h i 4 jego sąsiadów Brzeg siatki S h = G h R h

25 Równania eliptyczne Przykład Przykład

26 Równania eliptyczne Przykład Oznaczenia Czworokąt: (0, 0), (7, 0), (2, 5), (0, 4) R wnętrze czworokąta S brzeg czworokąta S i, gdzie i = 1,..., 4 boki czworokąta brzeg S

27 Równania eliptyczne Przykład Niech: (x, y) = (0, 0); h = 2 Wówczas: Siatka wewnętrzna R h = {(2, 2), (2, 4), (4, 2)} (5) Punkty wspólne karty płaskiej i brzegu S: S h = S i S2 (4 i 1 na S3 ) Brzeg siatki: S h = {(2, 0), (4, 0), (0, 2), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (0, 4), (2, 5)} ( )

28 Równania eliptyczne Przykład Algorytm rozwiązywania zagadnienia Dirichleta krok 1 Dla ustalonych h > 0, (x, y) tworzymy R h o m punktach, tworzymy S h o n punktach, numerujemy R h liczbami całkowitymi [0, m] narastająco od lewej do prawej, z dołu do góry, numerujemy S h liczbami całkowitymi [m + 1, n + 1] dowolnie. krok 2 W każdym P k (x, y) S h podstawiamy u k = f (x, y).

29 Równania eliptyczne Przykład Algorytm rozwiązywania zagadnienia Dirichleta c.d. krok 3 W każdym (x, y) R h zapisujemy różnicowy odpowiednik równania Laplace a: 2 ( 1 h 1 h h 2 h 4 ) u(x, y)+ 2 + h 1 (h 1 + h 3 ) u(x +h 2 1, y)+ h 2 (h 2 + h 4 ) u(x, y +h 2)+ 2 + h 3 (h 1 + h 3 ) u(x h 2 3, y)+ h 4 (h 2 + h 4 ) u(x, y h 4) = 0 jeżeli zaś punktem sąsiednim (x, y) jest punkt S h to u w punkcie sąsiednim zastępujemy przez wartość f (x, y) krok 2. Otrzymujemy układ m równań o m niewiadomych. krok 4 Rozwiązanie układu równań.

30 Równania eliptyczne Przykład Algorytm rozwiązywania zagadnienia Dirichleta c.d. krok 5 Dyskretna funkcja u i, gdzie i = 1, 2,..., m + n, określona tylko na R h + S h, reprezentuje przybliżone rozwiązanie zagadnienia Dirichleta. Stosowanie powyższego algorytmu opiera się na poniższych faktach 1 przybliżone rozwiązanie zagadnienia Dirichleta istnieje i jest jednoznaczne, 2 dla szerokiej klasy zagadnień rozwiązanie numeryczne jest zbieżne do analitycznego z h 0, 3 otrzymany układ równań może być rozwiązany metodą SOR dla dowolnego przybliżenia początkowego z ω (0, 2); dla pewnych klas zagadnień można znaleźć optymalne wartości ω (najszybsza zbieżność procesu iteracyjnego).

31 Równania eliptyczne Przykład Przykład S: ω = λ, λ = 1 ( cos π h 2 2 a + cos π h ) b Uwaga Układ równań liniowych ma macierz diagonalnie dominującą wynik uporządkowania, określonego w kroku 3: na diagonali współczynniki przy u(x, y).

32 Równania eliptyczne Przykład Powrót do przykładu R wnętrze czworoboku S bok czworoboku zagadnienie Dirichleta z f (x, y) = x 2 y 2 na S (x, y) = (0, 0), h = 2 R h : 1, 2, 3 S h : 4, 5,..., 11

33 Równania eliptyczne Przykład

34 Równania eliptyczne Przykład u 4 = 4, u 5 = 16, u 6 = 4, u 7 = 21 u 8 = 7, u 9 = 16, u 10 = 7, u 11 = 21 2( 1 h 1 h h 2 h 4 )u 0 + 2u 1 + h 1 (h 1 + h 3 ) + 2u 2 h 2 (h 2 + h 4 ) + 2u 3 h 3 (h 1 + h 3 ) + 2u 4 h 4 (h 2 + h 4 ) = 0

35 Równania eliptyczne Przykład u u u ( 4) = 0 2u u = 0 2u ( 7) ( 21) ( 16) u 1 = 0 Rozwiązanie: u T = (0, 12, 12). u u u 3 = u 1 2u 2 = u 1 2u 3 = 24

36 Równania paraboliczne Równania paraboliczne wstęp Prototyp: równanie transportu ciepła u xx = u t (6)

37 Równania paraboliczne Initial value problem Initial value problem Dane: f (x) ciągła dla wszystkich x Szukana: u(x, t) określona i ciągła dla < x <, t 0 spełniająca (6) dla < x <, t > 0 spełniająca u(x, 0) = f (x) dla < x <, t = 0

38 Równania paraboliczne Initial value problem (half-plane)

39 Równania paraboliczne Initial value problem Rozwiązanie całka Fouriera Problem przypadek nieliniowy? kłopoty z wyznaczeniem wartości w (x, t)

40 Równania paraboliczne Initial boundary problem Initial boundary problem Dane: stała a > 0 trzy ciągłe funkcje: g 1 (t), g 2 (t), f (x) dla { t 0 0 x a Szukana: u(x, t): określona i ciągła dla 0 x a, t 0, spełniająca (6) dla 0 < x < a, t > 0, spełniająca: u(x, 0) = f (x), 0 x a initial condition u(0, t) = g 1 (t), t 0 boundary condition u(a, t) = g 2 (t), t 0 boundary condition

41 Równania paraboliczne Initial boundary problem

42 Równania paraboliczne Initial boundary problem Rozwiązanie szeregi Fouriera Problem Ten sam problem jak poprzednio...

43 Równania paraboliczne Stabilność Stabilność Powód: 0 t α wybór t x = h t = k R = {P(x, t) : 0 < x < a, t > 0} S brzeg R R h = x punkty wewnętrzne S h = 0 punkty brzegowe

44 Równania paraboliczne Stabilność

45 Równania paraboliczne Stabilność m th row of grid points: y = m k u xx (x, t) = u(x h,t) 2 u(x,t)+u(x+h,t) h 2, u t (x, t) = u(x,t+k) u(x,t) k

46 Równania paraboliczne Stabilność Po podstawieniu do (6) (u xx = u t ) i uporządkowaniu: u(x, t + k) = u(x, t) + k [u(x + h, t) 2 u(x, t) + u(x h, t)] h2 wprowadzając: λ = k h 2, uzyskujemy: u(x, t + k) = λ u(x + h, t) + (1 2λ)u(x, t) + λ u(x h, t) używając oznaczeń z rysunku: u 2 = λ u 1 + (1 2λ) u 0 + λ u 3 Algorytm (Explicit Method): { konstrukcja siatki wiersz po wierszu kolejno w górę.

47 Równania paraboliczne Stabilność Rozwiązania mają własność min-max (physically reasonable) stable if any only if is physically reasonable

48 Równania paraboliczne Stabilność x = a 2, t = k u 1 = (1 2λ)ε, u 2 = (1 2λ) 2 ε, u 3 = (1 2λ) 3 ε,...u m = (1 2λ) m ε 0 u ε na S n 0 (1 2λ) m ε ε = 0 λ 1 2

49 Równania paraboliczne Explicit Method Explicit Method 1. Ustalić x = h, t = k tak, aby λ = k h Skonstruować R h i S h 2. W oparciu o: warunek początkowy i brzegowy wzór u(x, t + k) = λ u(x + h, t) + (1 2λ)u(x, t) + λu(x h, t) wyznaczyć u we wszystkich punktach pierwszego wiersza R h 3. W oparciu o: warunek brzegowy wartość u w wierszu k, k 1, wyznaczyć u w wierszu k + 1, k = 1,2,...

50 Równania paraboliczne Implicit Method Implicit Method Dla t = 100, h = z λ 1 2 t = k 1 2 ( )2 = Problem Dla znalezienia rozwiązania dla t = 100 potrzeba wierszy! Rozwiązaniem jest zmiania podstawowego równania:

51 Równania paraboliczne Implicit Method u(x h, t) 2 u(x, t) + u(x + h, t) u(x, t) u(x, t k) h 2 = k (7) co możemy zapisać: λ u(x h, t) (1+2 λ)u(x, t)+λ u(x +h, t) = u(x, t k) (8) albo: λ u 3 (1+2 λ) u 0 +λ u 1 = u 4 stabilny dla wszystkich λ (9) Tym razem do wyznaczenia rozwiązań dla każdego wiersza trzeba rozwiązać układ równań liniowych z macierzą trójdiagonalną, diagonalnie dominującą.

52 Równania paraboliczne The Crank Nicolson Method The Crank-Nicolson Method symmetry in the construction of difference equations better accurancy u u(x, t) u(x, t h) = t A k w oparciu o punkty symetryczne wzgl. A (10)

53 Równania paraboliczne The Crank Nicolson Method to: 2 u 4 u(x h, t k) 2 u(x, t k) + u(x + h, t k) x 2 h 2 (11) 2 u 0 u(x h, t) 2 u(x, t) + u(x + h, t) x 2 h 2 (12) 2 u A x 2 = 1 ( 2 ) 2 u 0 x u 4 x 2 (13) W met. Implicit wprowadzamy: λ u(x h, t) (1 + 2 λ) u(x, t) + λ (x + h, t) = λ u(x h, t k) (1 2 λ) u(x, t k) λ u(x + h, t k) (14) czyli: λ u 3 (1 + 2 λ)u 0 + λu 1 = λ u 7 (1 2 λ)u 4 λu 8

54 Równanie falowe Równanie falowe 2 sposoby: równanie różniczkowe cząstkowe 2-go rzędu równoważny układ 2 równań 1-go rzędu u xx u tt = 0 (15)

55 Równanie falowe The Cauchy problem = initial value problem The Cauchy problem = initial value problem Definition on a half-plane Szukamy u(x,t): określonej ciągłej dla: < x <, t 0 spełniającej (15) dla < x <, t > 0 oraz spełniającej warunki początkowe: f 1 (x), f 2 (x) zadane funkcje u(x, 0) = f 1 (x), < x < (16) u t (x, 0) = f 2 (x), < x < (17)

56 Równanie falowe The Cauchy problem = initial value problem

57 Równanie falowe Initial boundary problem An initial boundary problem Definition on a semi-infinite strip Dane: a > 0 g 1 (t), g 2 (t); t 0 f 1 (x), 0 x a f 2 (x), 0 < x < a

58 Równanie falowe Initial boundary problem

59 Równanie falowe Initial boundary problem Szukana funkcja u(x,t), ciągła dla 0 < x < a, t > 0 spełnia warunek początkowy i brzegowy: Rozwiązania initial condition boundary condition { u(x, 0) = f1 (x), 0 x a (18a) u t (x, 0) = f 2 (x), 0 < x < a Cauchy-problem wzór D Alemberta initial boundary problem szereg Fouriera Ale... nie gdy nieliniowe trudności z wyznaczeniem (18b) { u(0, t) = g1 (t), t 0 (19a) u(a, t) = g 2 (t), t 0 (19b)

60 Równanie falowe Stabilność Stabilność initial boundary problem 0 x a podział na n x = a h = h R : {(x, y) : 0 < x < a, t > 0} S - brzeg R tworzymy R h, S h

61 Równanie falowe Stabilność u(x h, t) 2u(x, t) + u(x + h, t) u xx = h 2, u(x, t + k) 2u(x, t) + u(x, t k) u tt = k 2, czyli przybliżeniem (15) jest: u(x, t+k) = 2 u(x, t) u(x, t k)+ k2 [u(x h, t) 2u(x, t)+u(x+h, t)] h2 (20) Dla wyznaczenia u w pierwszym wierszu przybliżenie (18b): u t (x, 0) u(x, k) u(x, 0) k = f 2 (x) czyli: u(x, k) = u(x, 0) + k f 2 (x) (21)

62 Równanie falowe Stabilność Przykład I. u(x, 0) = x 0 x 1 II. u t (x, 0) = 1 0 < x < 1 III. u(0, t) = 0 t 0 IV. u(1, t) = 1 t 0 Zobaczymy, co będzie, gdy h = 1 6, k = 1 2 IV) i pominiemy w. b. III) i z (21) i I): u 1 = 2 3, u 2 = 5 6, u 3 = 1, u 4 = 7 6, u 5 = 4 3 z (20): u 7 = 4 3, u 8 = 3 2, u 9 = 5 3

63 Równanie falowe Stabilność

64 Równanie falowe Stabilność Ale... u 6, u 10 nie może być wyznaczone! i wreszcie u 13 = 2 przy pominiętych III) i IV) ( 1 u tylko w trójkącie (0, 0), (1, 0), 2, 1! 2) }{{} #3 usunięcie niezgodności: k h (warunek stabilności dla (20)) jest to Explicit Method for Initial-Boundary Problems

65 Równanie falowe Implicit Methods for Initial-Boundary Problems Implicit Methods for Initial-Boundary Problems

66 Równanie falowe Implicit Methods for Initial-Boundary Problems [ u(x h, t + k) 2u(x, t + k) + u(x + h, t + k) U xx (x, t) = 1 2 h 2 ] u(x h, t k) 2u(x, t k) + u(x + h, t k) + h 2 (22) u tt (x, t) = u(x, t + k) 2u(x, t) + u(x, t k) k 2 (23) ( ) ( ) u h2 k 2 u 2 +u 5 = u h2 k 2 u 4 u 8 4 h4 k 4 u 0 (24) układ równań z macierzą trójdiagonalną

67 Równanie falowe Mildy Nonlinear Problems Mildy Nonlinear Problems W metodzie jawnej: u xx u tt = f (x, t, u) (25) u(x h, t) 2u(x, t) + u(x h, t) h 2 u(x, t + k) 2u(x, t) + u(x, t k) k 2 = f (x, t, u(x, t)) (26)

68 Równanie falowe Mildy Nonlinear Problems The Cauchy Problem D Alambert formula

69 Równanie falowe Mildy Nonlinear Problems u( x, t ) = 1 2 [ f 1 ( x + t ) + f 1 ( x t ) + x + t x t u( x, t ) jest w sposób kompletny określone przez f 1, f 2 dla x [( x t, 0), ( x + t, 0)] charakterystyki: f 2 (r)dr ] (27) t t = x x t t = x x (28) Gdy warunek początkowy zadany dla 0 x a wtedy rozwiązanie tylko dla obszaru zależności

70 Bibliografia Bibliografia Mathematics Archives Windows/MSDos Software Collection for PDE partial.diff.equations/