Ocena jakości układu regulacji automatycznej

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jaława Dąbwieg Ćwiczenie achunwe Ocena jaści uładu egulacji autmatycznej mg inż. Batz BRZOZOWSKI Wazawa 7

2 Cel ćwiczenia achunweg Pdcza ćwiczenia puzane będą natępujące zagadnienia: dładnść tatyczna uładów egulacji; dładnść dynamiczna uładów egulacji (yteia: dpwiedzi wej, całwe, częttliwściwe i miejc gemetycznych piewiatów). Celem ćwiczenia jet zdbycie umiejętnści patycznej ealizacji pwyżzych zagadnień. Wymagania wtępne Pzed zpczęciem ćwiczeń tudent zbwiązany jet d zapznania ię z teścią niniejzej intucji. W zczególnści ittne jet piadanie wiedzy teetycznej z zaeu puzaneg pdcza ćwiczenia achunweg. Pnadt tudent zbwiązany jet pześledzić ze zzumieniem wzytie zamiezczne pzyłady, aby wiedzieć w jai pób zpcząć związywanie zadań pdcza ćwiczeń. W pzypadu piadania wątpliwści p zapznaniu ię z teścią intucji w celu ich wyjaśnienia zaleca ię nultacje ię z pwadzącym pzed teminem ćwiczeń achunwych. 3 Wiadmści gólne Pdtawwym wymaganiem tawianym uładwi egulacji (y..) jet uzyanie na jeg wyjściu ygnału y(t) dpwiedni bliieg pzebiegwi watści zadanej w(t), czyli minimalizacji ygnału uchybu e(t): e t wt yt () Ry.. Schemat blwy uładu egulacji Ocena jaści egulacji plega na analizie dwóch tanów uładu egulacji: tanu pzejściweg dładnść dynamiczna; tanu utalneg dładnść tatyczna mg inż. Batz BRZOZOWSKI

3 Dładnść dynamiczna eśla zdlnść uładu d wieneg i zybieg śledzenia zmiany watści zadanej, a dładnść tatyczna zdlnść uładu d utzymywania watści egulwanej ja najbliżej watści zadanej w tanie utalnym, a więc p zańczeniu tanu pzejściweg. W pzebiegu uchybu uładu e(t): e t e u e () d mżna wydzielić dwie ładwe: uchyb utalny e u wytępujący wtedy, gdy w uładzie dla t, pzy danym ygnale teującym i danych ygnałach załócających. Pzy wymuzeniu wym uchyb utalny ni nazwę uchybu tatyczneg; uchyb dynamiczny e d wytępuje w tanie pzejściwym i jet nazywany uchybem dynamicznym e d (t). Uchyby utalne i dynamiczne eślają dładnść uładu egulacji w tanie utalnym i tanie pzejściwym. 4 Dładnść tatyczna Miaą dładnści tatycznej ą uchyby utalne, utzymujące ię p zaniu pceu pzejściweg, wywłaneg zmianą watści zadanej w(t) lub załócenia z(t) (y.). Ocena dładnści tatycznej uładu pwadza ię d ceny uchybu w tanie utalnym e u : e u t lim e (3) t Ry.. Schemat blwy uładu egulacji z załóceniem Biąc pd uwagę działanie ygnałów z(t) i w(t) (y.), uchyb egulacji e(t) mżna wyazić taże ja umę dwóch ładwych: gdzie: e t e t e t (4) z e z (t) ładwa będąca wyniiem ddziaływania załóceń (uchyb załóceniwy); e w (t) ładwa wywłana zmianą watści zadanej na wejściu uładu (uchyb nadążania). mg inż. Batz BRZOZOWSKI 3 w

4 Wśód liniwych uładów egulacji mżna wyóżnić dwa typy uładów: ułady, w tóych wytępują uchyby utalne, ppcjnalne d watści wymuzenia weg, nazywane uładami egulacji tatycznej: L G tw (5) M ułady, w tóych uchyby utalne pzy tałym wymuzeniu ą ówne ze nazywamy uładami egulacji atatycznej: L G tw (6) M Atatyzm uładu względem ygnału zadająceg lub względem załócenia mże wytępwać wtedy, gdy w tym uładzie ą elementy całujące. Zależnie d uytuwania pbu włączenia tych elementów, uład mże być atatyczny względem jednych ygnałów, natmiat tatyczny względem innych (y.3). a) b) Ry.3. Pzebiegi dpwiedzi uładów egulacji na wymuzenie we az liniw naatające: a) uładu tatyczneg b) uładu atatyczneg. 5 Dładnść dynamiczna Dla zapewnienia eślnych właściwści dynamicznych uładu nie wytacza wymaganie tabilnści. Jeżeli uład jet tabilny, t wiemy jedynie, że pzebiegi pzejściwe w tym uładzie zaniają. Nie znamy jedna ittnych z puntu widzenia egulacji paametów uładu. Są t m.in. dzaj pzebiegów, watść dchyleń maymalnych, cza zaniania pzebiegów pzejściwych (cza egulacji), pam częttliwści, w tóym zachdzi dtwazanie ygnałów wymuzających z zadaną dładnścią, itp. mg inż. Batz BRZOZOWSKI 4

5 Z dpwiedzi uładu z egulatem ppcjnalnym na wą zmianę watści zadanej (y.4) widać, że wzt wzmcnienia egulata zmniejza watść uchybu utalneg, ale ówncześnie pwduje, że pzebieg ygnału wyjściweg caz badziej dbiega d pzebiegu watści zadanej. Pwduje t więc zmniejzenie dładnści dynamicznej. Jedncześnie cena dładnści dynamicznej nie jet jednznaczna. O ile bwiem uchyb utalny łatw zdefiniwać i wyznaczyć jeg watść, tyle dładnść dynamiczną mżna chaateyzwać za pdtawie óżnych yteiów. Ry.4. Odpwiedź wa dla óżnych wzmcnień egulata (K <K <K 3 ). Kyteia te mżna pdzielić na natępujące gupy: cena paametów dpwiedzi wej; yteia całwe; yteia częttliwściwe; yteia zładu piewiatów. 5. Ocena paametów dpwiedzi wej Piewzym yteium ceny dynamicznej uładów egulacji ą paamety chaateytyi wej uładu (y.5). Ry.5. Chaateytya wa uładu z zaznacznymi waźniami jaści egulacji. mg inż. Batz BRZOZOWSKI 5

6 Jaść egulacji eśla ię na pdtawie natępujących paametów: cza t d - cza ptzebny, aby dpwiedź p az piewzy iągnęła płwę watści utalnej; cza naatania (cza wztu) t - cza ptzebny, aby dpwiedź wzła d % d 9%, d 5% d 95% lub d d % wjej watści ńcwej. Dla uładów niedtłuminych dugieg lub wyżzeg zędu nmalnie wyzytywany jet cza naatania d % d %. Dla uładów pzetłuminych ( dpwiedzi apeidycznej) pwzechnie wyzytywany jet cza naatania d % d 9%. cza zczytwy t m cza ptzebny aby dpwiedź wa iągnęła piewzy zczyt pzeegulwania; maymalne pzeegulwania A - (w pcentach) jet maymalną watścią dpwiedzi, miezną d watści utalnej y(). Jet n zdefiniwane natępując: yt m y A % (7) y cza egulacji t - cza ptzebny, aby zywa dpwiedzi iągnęła i pztała w tczeniu watści utalnej. Watść teg czau zwyle pzyjmuje ię ja % lub 5% watści utalnej. Cza egulacji jet związany z najwięzą tałą czawą uładu egulacji Dla netneg uładu mżna d ceny wybać jeden lub ila z wyżej wymieninych paametów. Paamety te ą badz ważne ze względu na t, ze więzść uładów egulacji jet badana w dziedzinie czau. Uład egulacji mui być mdyfiwany ta dług, aż paamety dpwiedzi wej nie iągną załżnych watści. 5. Kyteia całwe W gupie yteiów całwych najczęściej twanymi ą: I ed t dt (8) I ed tdtt (9) gdzie: e d uchyb pzejściwy: e t et e e lim et d I t ed t dt () I ed tdt () u Za miaę jaści uładu uważa ię watść całi I, tzn. im mniejza jet ta watść, tym wyżza jet jaść egulacji uładu. W tabilnych uładach egulacji uchyb pzejściwy e d (t) dąży d zea dla czau t, dlateg dla czau t pzyjmuje ię pzedział <t<. Cała I (9) tanwi ple zawate między zywą uchybu egulacji e(t), a aymptta, d tóej dąży ta zywa. Cała ta mże być twana wyłącznie dla pzebiegów u t mg inż. Batz BRZOZOWSKI 6

7 apeidycznych. W pzypadu gdy pzebieg uchybu wazuje pzeegulwanie twane yteium całi I pwadzi d błędnych wyniów. Dla pzebiegów cylacyjnych tuje ię ytia I (8) i I (), pnieważ watści tych całe nie zależą d znau funcji e d (t) a jedynie d watści bezwzględnej tej funcji lub jej dugiej pchdnej. Intepetację gaficzną całe pzedtawin na y.5. Ry.5. Intepetacja gaficzna całwych yteiów jaści egulacji: a) uład atatyczny pzebieg apeidyczny; b) uład atatyczny pzebieg cylacyjny; c) uład tatyczny pzebieg apeidyczny; d) uład tatyczny pzebieg cylacyjny. 5.3 Kyteia częttliwściwe Na pdtawie chaateyty częttliwściwych uładu eślane ą: zapa tabilnści (mdułu i fazy); pulacja dcięcia n chaateytyi widmwej części zeczywitej P() tanmitancji uładu zamnięteg G z (j), czyli pulacja, pzy tóej chaateytya zeczywita (lub tyczna d niej, wytawina w puncie pzegięcia części padającej) pzecina ś dciętych; maymalna watść mdułu M p tanmitancji widmwej uładu zamnięteg Paamety pulacji dcięcia i maymalneg mdułu tanmitancji widmwej mają ściły związe z pzebiegiem dpwiedzi wej uładu zamnięteg. Duże znaczenie ma taże ztałt pzebiegu chaateytyi części zeczywitej P(). mg inż. Batz BRZOZOWSKI 7

8 Ry.6. Kyteia częttliwściwe uładu egulacji autmatycznej Oceniane ą ównież pzenzne pam, a więc zae częttliwści, w tóym uład zamnięty pzeni ygnały zadane. Miaą pama częttliwści pzenznych pzez uład jet watść ganiczna g, dla tóej lgaytm mdułu tanmitancji widmwej zmniejza ię d watści -3dB, czyli: z j, 77 G () 5.4 Kyteium zładu piewiatów (Metda miejc gemetycznych) Tanmitancję uładu zamnięteg mżemy eślić ja tune wielmianów: g mg inż. Batz BRZOZOWSKI 8 d G z (3) c Jeżeli załżymy, że d() i c() nie mają wpólneg dzielnia, wtedy watści taie, że ównanie chaateytyczne c()= będą epezentwać punty, dla tóych G z () jet nieńczna. Watści będziemy wówcza nazywać biegunami funcji G z (). Watści, dla tóych d()= ą puntami, gdzie G z (), ą nazywane zeami. Itnieje ściła elacja pmiędzy watściami włanymi (biegunami uładu zamnięteg), a jaścią egulacji. Dlateg pdcza pjetwania uładu egulacji należy ptępwać w tai pób, aby pewne nieznane paamety uładu ztały utalne w tai pób, aby zmiezczenie piewiatów, a pzez t zapewnić dpwiednią jaść egulacji. Najptza ytuacja zachdzi wówcza, gdy tyl jeden paamet uładu egulacji jet nieznany. Jeżeli uważa ię ten paamet za zmienną niezależną, t wzytie piewiati tają ię zmiennymi zależnymi d teg nieznaneg paametu. Wtedy na płazczyźnie zmiennych zeplnych (na płazczyźnie ) pjawią ię tzw. zywe piewiatwe, p tóych puzają ię piewiati ównania chaateytyczneg w funcji teg paametu. Tai zbió puntów nazywa ię miejcem gemetycznym piewiatów.

9 Rzważmy uład, tóeg ównanie chaateytyczne ma jeden piewiate zeczywity alb pjedynczą paę piewiatów zeplnych pzężnych, na tóy działa wymuzenie impulwe. Pytamy w jai pób zmienia ię dpwiedź impulwa, gdy zmienia ię lalizacja watści włanych na płazczyźnie.. Jeżeli G z t t dpwiedź impulwa będzie funcją wyładniczą: gt e t Kiedy >, bieguny płżne ą w płazczyźnie, gdzie < dpwiedź impulwa jet tabilna. Jeżeli <, t bieguny płżne ą na paw d pczątu uładu wpółzędnych, t dpwiedź impulwa jet nietabilna. Piewiati leżące najbliżej i ujnej epezentują ładwe związania zaniające najwlniej, a więc deteminujące zybść działania uładu. Oddalenie piewiatów zeplnych pzężnych d i zeczywitej decyduje częttliwści dgań tłuminych w dpwiedzi cylacyjnej. Oddalenie piewiatów d pczątu uładu wpółzędnych mówi tzw. częttliwść dgań włanych uładu paametze nie ujawniającym ię bezpśedni w dpwiedzi wej. Ry.7. Pzebiegi pzejściwe uładu egulacji w zależnści d płżenia piewiata na płazczyźnie. mg inż. Batz BRZOZOWSKI 9

10 Analiza dpwiedzi impulwych pzwala na wyznaczenie bzaów tabilnści az tpni tabilnści, na pdtawie tóych eśla ię pzybliżną watść czau egulacji. Pzeegulwanie dpwiedzi wej jet deteminwane tpniem cylacyjnści : max Im Re (4) Im watść, tym mniejze pzeegulwanie A i tym mniejza liczba cylacji w czaie t. Stpień cylacyjnści jet związany ze tuniem dwóch lejnych pzeegulwań zależnścią: An e A n (5) 6 Pzyłady zadań achunwych 6. Pzyład. Wyzytując twiedzenie watści ńcwej znaleźć watść funcji f(t) 4 tanfmacie F. Twiedzenie watści ńcwej mówi, że jeżeli funcja wymiena F() ma bieguny leżące wyłącznie w lewej półpłazczyźnie zmiennej zeplnej, t: lim f ( t) lim F t Stąd: 4 lim f ( t) lim F lim t 6. Pzyład. W uładzie egulacji tałwatściwej pzedtawinej na y.8 watść wyjściwa ygnał tewania w(t)=, biet egulacji jet elementem inecyjnym, natmiat egulat jet ppcjnalny. Wyznaczyć pzebieg pzejściwy y(t) p wej zmianie watści ygnału załócenia z z. Pzyjąć, że pzed wytąpieniem u watść ygnału wyjściweg y(t)=. z(t) u(t) G G e(t) y(t) w(t) Z teści zadania wiemy, że: Ry.8. Uład egulacji tałwatściwej. mg inż. Batz BRZOZOWSKI

11 tanmitancja bietu egulacji: G tanmitancja egulata: G. Stąd tanmitancja uładu egulacji wyni: G Z G G T ; G T Tanfmata () mże być wyznaczna z pwyżzeg ównania p pdtawieniu Z()=Z/. Z T ( ) Z T P zatwaniu dwtneg pzeztałcenia Lapalce a uzyujemy: y( t) Z e t T Odchyłę tatyczną mżna wyznaczyć z twiedzenia watści ńcwej: lim y( t) lim Z lim T T t p Z 6.3 Pzyład 3. Obiet egulacji będący elementem całującym z inecją wpółpacuje z egulatem ppcjnalnym. Na uład tai ddziałuje załócenie z(t). Należy dbać paamety egulata, aby iągnąć apeidyczny pzebieg egulacji minimalnej całce ładwej pzejściwej uchybu. Z teścią zadania wiemy, że: G b ; G T Tanfmata wielści wyjściwej wyni: Stąd ównanie chaateytyczne ma ptać: X T mg inż. Batz BRZOZOWSKI b p

12 mg inż. Batz BRZOZOWSKI T T Pzebieg apeidyczny wytępuje pzy wzmcnieniu egulata: T b Całę ładwej pzejściwej uchybu wyaża wzó: X X dt t X X I p p lim lim ) ( lim ) ( lim b b b p b p T T T Watść całi maleje ze wztem wzmcnienia egulata. Dla maymalnie dpuzczalneg wzmcnienia pzy apeidycznym pzebiegu egulacji: T b Stąd tzymujemy minimalną całę uchybu watści: 6 ) ( T I b Wzmcnienie egulata należy więc natawić na watść: T b 4 7 Liteatua. Januz KOWAL T, Uczelniane Wydawnictwa Nauw- Dydatyczne AGH, Kaów 4, Sygnatua: Tadeuz Kacze Teia tewania. Tm I Ułady liniwe ciągłe i dyetne. Pańtwwe Wydawnictw Nauwe, Wazawa 977