Opis krzywych w przestrzeni 3D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
|
|
- Agnieszka Krawczyk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Opis krzywych w przestrzeni 3D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
2 Krzywe Beziera W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach końcowych są określane bezpośrednio przez dwa punkt pośrednie, które nie leżą na krzywej. Wektory styczne początkowy i końcowy są określane przez wektory P 1 P 2 i P 3 P 4 i są związane z R 1 i R 2 zależnościami: R 1 = 3Q 0 = 3 P 2 P 1 R 4 = 3Q 1 = 3 P 4 P 3
3 Krzywe Beziera Przy tworzeniu krzywych Beziera wykorzystujących wielomiany trzeciego stopnia często korzysta się z faktu, ze proste przechodzące przez punkty: początkowy i następujący po nim końcowy i poprzedzający go są prostymi stycznymi do krzywej. Odcinki łączące punkt początkowy i następujący po nim oraz punkt końcowy i poprzedzający go często nazywa się kierownicami
4 Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera Krzywa Beziera interpoluje więc dwa końcowe punkty kontrolne i aproksymuje dwa pozostałe. Macierz geometrii Beziera wygląda następująco: G B = P 1, P 2, P 3, P 4 Aby krzywe były identyczne bez względu na reprezentację musi zachodzić warunek: G H = P 1, P 4, R 1, R 4 = P 1, P 2, P 3, P 4 M HB Macierz M HB jest maciertzą łączącą reprezentacje Hermite a i Beziera.
5 Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera Stąd: P 1 = P 1, P 2, P 3, P 4 1, 0, 0, 0 T P 4 = P 1, P 2, P 3, P 4 0 0, 0, 1 T R 1 = 3 P 2 P 1 = P 1, P 2, P 3, P 4 3, 3, 0, 0 T R 4 = 3 P 4 P 3 = P 1, P 2, P 3, P 4 T 0, 0, 3, 3, Równania te można zastąpić jednym macierzowym z macierzą M HB o rozmiarze 4 4: G H = G B M HB = P 1, P 2, P 3, P
6 Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera W celu znalezienia macierzy bazowej Beziera M B korzystamy z równania: Q t = x t, y t, z t T = G H M H T dla postaci Hermite a i podstawiamy G H = G B M HB Stąd Q t = G H M H T = G B M HB M H T = G B M HB M H T = G B M B T przy czym: M B = M HB M H
7 Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera Wykonując mnożenie: M B = M HB M H = Zatem krzywa Beziera jest opisana równaniem: Q t = G B M B T = = 1 t 3 P 1 + 3t 1 t 2 P 2 + 3t 2 1 t P 3 + t 3 P 4 Cztery wielomiany 1 t 3, 3t 1 t 2, 3t 2 1 t oraz t 3, które są wagami powyższego równania są nazywane wielomianami Bersteina.
8 Wielomiany Bernsteina Wielomiany Bernsteina są funkcjami wagowymi krzywych Beziera
9 Łączenie krzywych Beziera Dwie krzywe Beziera łączące się w punkcie P4. Punkty P3, P4, P5 są współliniowe
10 Łączenie krzywych Beziera Jeżeli segment lewy oznaczymy przez x l a prawy przez x r to warunki dla ciągłości C 0 i C 1 w punkcie połączenia są następujące: x l 1 = x r 0 dx l dt 1 = dxr 0 dt Stąd dla współrzędnej x otrzymamy x l 1 = x r 0 = P 4x dx l dt 1 = 3 P 4 x P 3x dx r dt 0 = 3 P 5x P 4x
11 Krzywe Beziera Typowe krzywe Beziera wraz z łamaną łączącą punkty charakterystyczne
12 Krzywe Beziera Konstrukcja punktu należącego do płaskiej krzywej Beziera
13 Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne krzywe wymierne Wybierzmy punkt, w którym prosta l = c ( - wektor w przestrzeni d+1- wymiarowej ) przebija sferę jednostkową S d+1 w przestrzeni euklidesowej E d+1. Zauważmy, że S d+1 jest rozmaitością d+1-wymiarową, czyli jej punkty można zidentyfikować za pomocą d+1 parametrów na rysunku d = 2). Ograniczmy naszą uwagę do kierunku wektora, pomijając jego długość dwa współliniowe wektory i c (c 0) są uważane za równoważne.
14 Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne Jeśli dobierzemy taką wartość c, dla której ostatni składnik c jest równy 1, to otrzymamy punkt, w którym prosta l przebija hiperpłaszczyznę x d+1 = 1 (rysunek pokazuje tę sytuację dla d = 2). Taką wzajemną odpowiedniość nazywamy rzutowaniem ośrodkowym (o środku w początku układu współrzędnych E d+1 ). Zauważmy, że hiperpłaszczyzna x d+1 = 1 sama jest przestrzenią E d o współrzędnych x 1,, x d. Tak więc zinterpretowaliśmy przyłożony do początku układu współrzędnych E d+1 wektor 1,, d, d+1 przy czym d+1 0 jako punkt x 1,, x d przestrzeni E d taki, że x j = j / d+1.
15 Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne Jeśli zapiszemy punkt za pomocą (d+1) składowych wektora, otrzymamy klasyczny zapis punktu we współrzędnych jednorodnych, które umożliwiają zapisanie punktów w nieskończoności przy zgodzie na d+1 = 0. Liczne pakiety graficzne i procesory wyświetlania korzystają ze współrzędnych i przekształceń jednorodnych. We współrzędnych jednorodnych rozważamy więc trzecią współrzędną. Dowolny punkt określony parą liczb (x, y) we współrzędnych jednorodnych jest dany przez trójkę (x, y, w).
16 Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne Jeżeli współrzędna w jest różna od zera, to (x, y, w) reprezentuje we współrzędnych jednorodnych ten sam punkt co (x/ w, y/w, 1) położony na płaszczyźnie x 3 = 1. Wtedy liczby x/w i y/w są nazywane współrzędnymi kartezjańskimi punktu jednorodnego. Tak więc jeżeli w = 1, to pierwsze dwie współrzędne są współrzędnymi kartezjańskimi Trójki współrzędnych na ogół reprezentują punkty w przestrzeni trójwymiarowej, tutaj natomiast używamy ich do reprezentowania punktów w przestrzeni dwuwymiarowej. Punkty jednorodne tworzą płaszczyznę zdefiniowaną równaniem w = 1 w przestrzeni (x, y, w).
17 Wymierne krzywe Beziera Wymierna krzywa Béziera to krzywa zdefiniowana we współrzędnych jednorodnych. Podczas gdy krzywa Béziera jest krzywą wielomianową, tzn. jej współrzędne opisują wielomiany, to współrzędne krzywej wymiernej są opisywane przez wyrażenia wymierne. Najczęściej stosuje się wymierne krzywe Beziera będące rezultatem rzutu środkowego wielomianowej krzywej Béziera na płaszczyznę: W = 1
18 Krzywe Beziera Jeśli wielomianowa krzywa Béziera zostanie określona we współrzędnych jednorodnych, w przestrzeni k + 1 wymiarowej, to do jej opisu potrzebne jest k + 1 wielomianów Dowolny punkt krzywej wielomianowej (wielomian dowolnego stopnia) jest dany jako P(t) = x t, y t, z t, w t Po przejściu na współrzędne kartezjańskie powstaje wymierna krzywa Béziera opisywana przez k wyrażeń wymiernych: x t y t z t p t =,, w t w t w t, Jeśli w t = const to krzywa wymierna jest wielomianowa - mówiąc nieformalnie wymierne krzywe wielomianowe, to specjalny przypadek krzywych wymiernych
19 Wymierne krzywe Beziera Dowolny punkt krzywej wymiernej jest dany jako: p t = i=0 n w i P i B n i t i=0 n w i B n ; t 0, 1 i t n pomniejszona o 1 liczba punktów kontrolnych (punkty kontrolne liczone są od zera p 0,, p n ) p i i-ty punkt kontrolny w i waga i-tego punktu kontrolnego (dowolna liczba rzeczywista) jeśli w = 0 punkt kontrolny nie jest brany pod uwagę B n i wielomiany bazowe Bernsteina Punkt p(t) można także wyznaczyć obliczając współrzędne punktu P(t) w przestrzeni jednorodnej, a następnie przejść na współrzędne kartezjańskie
20 Cechy wymiernej krzywej Beziera Krzywa ma nieskończenie wiele reprezentacji we współrzędnych jednorodnych. Konstrukcja krzywej jest niezmiennicza względem przekształceń afinicznych, tzn. krzywa wyznaczona z przekształconych punktów kontrolnych jest taka sama jak krzywa po tym przekształceniu. Jeśli wszystkie wagi są równe i niezerowe, to krzywa jest wielomianowa. Jeśli wszystkie wagi są niezerowe i tego samego znaku, to krzywa spełnia własność otoczki wypukłej, tzn. punkt p(t) leży w otoczce wypukłej punktów kontrolnych. Przemnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę różną od zera nie zmienia krzywej.
21 Cechy wymiernej krzywej Beziera Ponadto w stosunku do krzywych wielomianowych, wymierne krzywe Béziera mają następujące zalety: mogą reprezentować wszystkie krzywe stożkowe (co ma znaczenie w zastosowaniach CAD), rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzywą wymierną, podczas gdy rzut perspektywiczny krzywej wielomianowej nie musi być krzywą wielomianową (ma to ogromne znaczenie w grafice komputerowej), wagi w i pozwalają na lepszą kontrolę nad kształtem krzywej.
22 Krzywe stożkowe Jeśli dane są trzy niewspółliniowe punkty kontrolne krzywej p 0, p 1, p 2 i wagi w 0 = w 2 = 1, to waga w 1 określa rodzaj krzywej: w 1 > 1 łuk hiperboli w 1 = 1 łuk paraboli 0 < w 1 < 1 krótszy łuk elipsy lub okręgu w 1 = 0 sparametryzowany odcinek pomiędzy p 0 i p 2 1 < w 1 < 0 dłuższy łuk elipsy lub okręgu w 1 = 1 dwa łuki paraboli w 1 < 1 dwa łuki hiperboli
23 Krzywe stożkowe Okrąg zbudowany z dwóch krzywych tworzących dłuższy i krótszy łuk okręgu (po lewej); czterech krzywych tworzących cztery krótsze łuki okręgu (po prawej)
24 Algorytm de Casteljau Algorytm de Casteljau opracowany przez Paula de Casteljau pozwala na wyznaczenie punktów na wielomianowej krzywej Béziera, czyli obliczanie wartości wielomianów w bazie wielomianów Bernstaina. Dana jest dowolna łamana zdefiniowana przez n + 1 wierzchołków oraz liczba t 0, 1. Każdy odcinek łamanej jest dzielony w stosunku t/(1 t), czego wynikiem jest n wierzchołków, które wyznaczają nową łamaną. p p p 1 p 1 p p n 1 n 1 0 n 0 p 2 p 2 p 2 2 p 1 2 p p, 1 3 p( t),, p, n 1 p n
25 Algorytm de Casteljau Proces powtarzany jest do chwili, aż zostanie jeden punkt p(t), co wymaga wykonania n kroków. Ostatecznie otrzymuje się n + 1 ciągów punktów (indeks górny oznacza krok algorytmu): Punkt p t n leży na krzywej Béziera, której łamaną kontrolną tworzą wyjściowe punkty. Wykonując algorytm dla wielu t z przedziału 0,1 otrzymywane są punkty krzywej Béziera. p p p 1 p 1 p p n 1 n 1 0 n 0 p 2 p 2 p 2 2 p 1 2 p p, 1 3 p( t),, p, n 1 p n
26 Algorytm de Casteljau p 2 2 p 1 2
27 Algorytm de Casteljau Za pomocą algorytmu de Casteljau można również: Wyznaczyć punkty kontrolne dwóch krzywych, tak aby połączyć je z zadaną ciągłością geometryczną krzywa B- sklejana. Podzielić krzywą na dwie krzywe w punkcie p(t). Łamane kontrolne są wyznaczane przez punkty leżące na brzegach przedstawionego trójkąta punktów - łamaną kontrolną pierwszej krzywej opisują punkty: p 0 0, p 0 1, p 0 2,, p 0 n 1, p 0 n a drugą: p 0 n, p 1 n 1, p 2 n 2,, p n 1 n 1, p 0 Obie krzywe są tego samego stopnia co dzielona krzywa.
28 Dopasowanie krzywych do zbioru punktów Znak przedstawiony w postaci cyfrowej Oryginalny kształt, dopasowana krzywa i punkty kontrolne Beziera
29 Naturalne krzywe sklejane trzeciego stopnia Opisane na zbiorze n punktów kontrolnych mają dwie zasadnicze wady: Zmiana położenia jednego z nich wymaga obliczenia współczynników dla całej krzywej W tym celu należy rozwiązać układ n + 1 równań liniowych
30 Jednorodne nieułamkowe krzywe B- sklejane Krzywe B-sklejane nazwa użyta przez kreślarzy w odniesieniu do długiej elastycznej taśmy używanej do rysowania powierzchni samolotów, samochodów i statków. Matematyczny odpowiednik takich taśm krzywa sklejana trzeciego stopnia to wielomian trzeciego stopnia z ciągłością C 0, C 1 i C 2 Angielska nazwa krzywych B-sklejanych (B-spline) jest skrótem od basis spline function. Krzywe B-sklejane trzeciego stopnia aproksymują ciąg m + 1 punktów kontrolnych P 0, P 1,, P m, przy czym m > 3, krzywą składającą się z m 2 segmentów krzywych wielomianowych trzeciego stopnia oznaczanych zazwyczaj Q 3, Q 4,, Q m.
31 Krzywe sklejane Krzywa B-sklejana z segmentami: Q3 Q9
32 Krzywe B-sklejane Każdy z m 2 segmentów krzywej B-sklejanej jest określony przez cztery z m + 1 punktów kontrolnych. Segment Q i jest określony przez punkty P i 3, P i 2, P i 1 oraz P i. Stąd macierz geometrii krzywej B-sklejanej dla segmentu Q i jest dana w postaci G B Si = P i 3, P i 2, P i 1, P i, ; 3 i m
33 Krzywe B-sklejane Krzywa B-sklejana z przemieszczającym się punktem P4
34 Krzywe B-sklejane Jeżeli T i definujemy w postaci wektora kolumnowego, to i ty segment krzywej B- sklejanej można opisać następująco: Q t i = G B Si M B ST i T i = t t 3 i, t t 2 i, t t i, 1 t i t t i+1 Wektory kierunkowe dla końców segmentu są identyczne jak dla funkcji Beziera R 1 = Q 0 = 3 P 2 P 1 R 4 = Q 1 = 3 P 4 P 3
35 Krzywe B-sklejane Macierz bazowa krzywej B-sklejanej M BS wiąże geometryczne ograniczenia G BS z funkcjami bazowymi i współczynnikami wielomianu: M BS =
36 Krzywe B-sklejane Funkcje bazowe B BS jednorodnej krzywej B-sklejanej są identyczne dla każdego z przedziałów parametru t i zmieniają się od 0 dla t i do 1 dla t i+1 Ma to miejsce wtedy, gdy zastąpimy t t i przez t i przedział t i, t i+1 przez przedział 0, 1 B Bs = M Bs T = B Bs 3, B Bs 2, B Bs 1, B Bs T = = 1 6 t3 + 3t 2 3t + 1, 3t 3 6t 2 + 4, 3t 3 + 3t 2 + 3t + 1, t 3 T = = t 3, 3t 3 6t 2 + 4, 3t 3 + 3t 2 + 3t + 1, t 3 T 0 t 1
37 Krzywe B-sklejane Zastępując t t i przez t przy drugim znaku równości w poniższej równości otrzymujemy: t = t t i Q t t i = G Bsi M Bs T i = G Bsi M Bs T = G Bsi B Bs = = P i 3 B Bs 3 + P i 2 B Bs 2 + P i 1 B Bs 1 + P i B Bs = = 1+t 3 6 P i 3 + 3t3 +6t P i 2 + 3t3 +3t 2 +3t+1 6 P i 1 + t3 6 P i 0 t 1
38 Funkcje bazowe jednorodnej nieułamkowej funkcji B-sklejanej Cztery funkcje bazowe krzywej sklejanej. Dla t = 0 i dla t = 1 trzy funkcje są różne od zera. B Bs 3 = t 3 B Bs 2 = 1 6 3t3 6t B Bs 1 = 1 6 3t3 + 3t 2 + 3t + 1 B Bs = 1 6 t3 0 t 1
39 Krzywe B-sklejane Można wykazać, że Q i i Q i+1 mają ciągłości C 0, C 1 i C 2 w punkcie łączenia, co jest dużą zaletą, ale usztywnia krzywą Można powielać punkty kontrolne nadając krzywej giętkości Powielając jakiś punkt kierujemy krzywą w jego stronę Jeżeli punkt kontrolny jest używany trzy razy, np. jeżeli P i 2 = P i 1 = P to poprzednie równanie przyjmuje postać: Q i t = B BS 3 P i 3 + B BS 2, B BS 1, B BS P i
40 Krzywe B-sklejane Wpływ wielokrotnych punktów kontrolnych na jednorodną krzywą sklejaną.
41 Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Dla niejednorodnych krzywych B-sklejanych przedział parametru między kolejnymi wartościami węzłowymi nie musi być równomierny funkcje tworzące są różne dla segmentów Zalety: Możliwość redukcji ciągłości z C 2 do C 1 i dalej do C 0 albo do braku ciągłości dla C 0 krzywa interpoluje pierwszy punkt kontrolny, ale segmenty otaczające punkt nie muszą być odcinkami linii prostej Łatwo zmienić kształt krzywej niejednorodnej poprzez dodanie dodatkowego węzła i punktu kontrolnego
42 Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Segment Q i krzywej jest określany przez punkty kontrolne P i 3, P i 2, P i 1, P i oraz przez funkcje bazowe B i 3,4 t, B i 2,4 t, B i 1,4 t, B i,4 t, jako suma ważona Q t = P i 3 B i 3,4 t + P i 2 B i 2,4 t + +P i 1 B i 1,4 t + P i B i,4 t 3 i m 0 t 1
43 Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Dla krzywej niejednorodnej funkcje bazowe i-tego rzędu muszą być określane rekurencyjnie wg. wzoru Mansfielda-de Boora-Coxa): B i,0 t = 1, u i t u i+1 0 B i,1 t = t u i B u i+1 u i,0 t + u i+2 t B i u i+2 u i+1,0 t i+1 B i,2 t = t u i B u i+1 u i,1 t + u i+2 t B i u i+2 u i+1,1 t i+1 B i,3 t = t u i B u i+2 u i,2 t + u i+3 t B i u i+3 u i+1,2 t i+1 B i,4 t = t u i B u i+3 u i,3 t + u i+4 t B i u i+4 u i+1,3 t i+1
44 NURBS: Non-Uniform Rational B-Splines Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej nazwie: B-spline krzywe NURBS to krzywe B-sklejane, a więc parametryczne krzywe, które są złożone z wycinków krzywych wielomianowych. Rational krzywe wymierne, ponieważ zdefiniowano je we współrzędnych jednorodnych- po przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się funkcje wielomianowe gdy W = const. Rzecz ma się dokładnie tak samo jak w przypadku wymiernych krzywych Béziera. Non-uniform cecha krzywej B- sklejanej: węzły krzywej nie muszą być rozmieszczone równomiernie.
45 NURBS funkcje bazowe
46 NURBS Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy: punkty kontrolne p 0,, p m n 1 węzły u 0,, u m dzielące przedział zmienności t 0,1 na m 1 podprzedziałów wagi punktów kontrolnych w 0,, w m n 1 (liczby rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów kontrolnych na krzywą; n stopień sklejanych wielomianów. Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem: p t = i=0 m n 1 w i p i B n i t m n 1 w i B n i t i=0, t u n, u m n gdzie B i n (t) jest unormowaną bazową funkcją B-sklejaną.
47 NURBS Krzywe NURBS dla n = 3 określone na tych samych punktach kontrolnych górny rysunek - kontrola kształtu poprzez zmianę wartości węzłów - na osiach liczbowych zaznaczono rozkład węzłów) dolny rysunek - kontrola kształtu poprzez zmianę wagi punktu P 2
48 Niejednorodne ułamkowe wielomianowe krzywe trzeciego stopnia Ogólnie segmenty ułamkowej krzywej trzeciego stopnia są stosunkami wielomianów parametrycznych w jednorownym układzie współrzędnych x t = x j(t) w(t) y t = y j(t) w(t) z t = z j(t) w(t)
49 Niejednorodne ułamkowe segmenty wielomianowej krzywej trzeciego stopnia Zalety: niezmiennicze względem przekształceń elementarnych: skalowanie, obrót, przesunięcie dodatkowo względem perspektywy punktów kontrolnych inne krzywe nie są niezmiennicze w stosunku do perspektywy Mogą definiować dowolny przekrój stożka krzywe nieułamkowe mogą tylko aproksymować krzywe stożkowe.
Opis kształtu w przestrzeni 2D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
Ois kształtu w rzestrzeni 2D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH Krzywe Beziera W rzyadku tych krzywych wektory styczne w unkach końcowych są określane bezośrednio
Bardziej szczegółowoModelowanie krzywych i powierzchni
3 Modelowanie krzywych i powierzchni Modelowanie powierzchniowe jest kolejną metodą po modelowaniu bryłowym sposobem tworzenia części. Jest to też sposób budowy elementu bardziej skomplikowany i wymagający
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowo0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do obserwatora f) w kierunku od obserwatora 1. Obrót dookoła osi
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I
Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoVI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE
VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE 6.1. Wprowadzenie Jednym z głównych zastosowań grafiki komputerowej jest modelowanie obiektów, czyli ich opis matematyczny, na podstawie którego na ekranie można stworzyć
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoVII. WYKRESY Wprowadzenie
VII. WYKRESY 7.1. Wprowadzenie Wykres jest graficznym przedstawieniem (w pewnym układzie współrzędnych) zależności pomiędzy określonymi wielkościami. Ułatwia on interpretację informacji (danych) liczbowych.
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoDwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..
4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoKLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoPakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoOPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 4. TEMATYKA: Rzutowanie
TEMATYKA: Rzutowanie Ćwiczenia nr 4 DEFINICJE: Rzut na prostą: rzutem na prostą l (zwaną rzutnią) w kierunku rzutowania k (k l) nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące: a) Punktom prostej
Bardziej szczegółowoPendolinem z równaniami, nierównościami i układami
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoRównania Pitagorasa i Fermata
Równania Pitagorasa i Fermata Oliwia Jarzęcka, Kajetan Grzybacz, Paweł Jarosz 7 lutego 18 1 Wstęp Punktem wyjścia dla naszych rozważań jest klasyczne równanie Pitagorasa związane z trójkątem prostokątnym
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoRozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328
Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowo(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'
Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowo