Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Transkrypt

1 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G, k i E G oraz a i 1, a i sa końcami k i [ a i 1 jest poczatkiem, zaś a i końcem k i ]. Piszemy wtedy d = a 0 k 1 a 1... k n a n oraz mówimy, że d jest ścieżka z a 0 do a n lub ścieżka ł aczac a a 0 z a n. Wierzchołek a 0 nazywamy poczatkiem, zaś a n końcem ścieżki d. Jeżeli poczatek ścieżki pokrywa się z jej końcem, to ścieżkę nazywamy zamknięta. W przeciwnym razie mówimy, że ścieżka jest otwarta. Liczbę n nazywamy długości a ścieżki i oznaczamy l (d). Ścieżkę bez krawędzi (długości 0) nazywamy trywialna. Podgraf złożony ze wszystkich wierzchołków i krawędzi ścieżki nazywamy grafem ścieżki. Każda ścieżkę postaci a i k i+1 a i+1... k j a j dla 0 i j n nazywamy podścieżka ścieżki d. Jeżeli koniec ścieżki d 1 jest poczatkiem ścieżki d 2, tzn. d 1 = ak 1... k n b, d 2 = bl 1... l m c, to ścieżkę ak 1... k n bl 1... l m c nazywamy suma ścieżek d 1 i d 2 oraz oznaczamy d 1 d 2, ad 1 d 2 c lub ad 1 bd 2 c. Jeżeli d = a 0 k 1 a 1... k n a n = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ) jest ścieżka w grafie nieskierowanym G, to ciag (a n, k n,..., a 1, k 1, a 0 ) jest również ścieżka. Ścieżkę tę nazywamy ścieżka przeciwna do d. W grafie skierowanym ciag (a n, k n,..., a 1, k 1, a 0 ) może nie być ścieżka. Znajac poczatek (lub koniec) ścieżki oraz ciag jej krawędzi, potrafimy wyznaczyć pozostałe wierzchołki na tej ścieżce. W zapisie d = a 0 k 1 a 1... k n a n możemy więc, nie tracac jednoznaczności, pominać wszystkie wierzchołki, oprócz skrajnych, czyli napisać d = a 0 k 1 k 2... k n a n. Pominięcie również poczatku i końca ścieżki może prowadzić do niejednoznaczności (w grafach nieskierowanych). Będziemy jednak stosować zapis k 1 k 2... k n na oznaczenie dowolnej ścieżki o takim ciagu krawędzi. Również ciag wierzchołków nie musi jednoznaczie wyznaczać ścieżki (jeśli zawiera ona krawędzie wielokrotne). Będziemy jednak pisać a 0 a 1... a n, oznaczajac tak dowolna ścieżkę o takim ciagu wierzchołków. d 1 = a - ścieżka długości 0 (trywialna), d 2 = bk 2 ck 3 b = bk 2 k 3 b - ścieżka zamknięta długości 2; zapisy k 2 k 3 i bcb sa niejednoznaczne, k 2 k 3 oznacza ścieżkę bk 2 k 3 b lub ck 2 k 3 c, natomiast bcb oznacza ścieżkę bk 2 k 2 b, bk 2 k 3 b, bk 3 k 3 b lub bk 3 k 2 b, d 3 = bk 1 ak 6 dk 5 dk 5 dk 6 a = bk 1 k 6 k 5 k 5 k 6 a = k 1 k 6 k 5 k 5 k 6 = baddda - ścieżka długości 5 (otwarta), 1

2 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 2 - graf ścieżki d 3, d 4 = ak 6 dk 5 dk 5 d - podścieżka ścieżki d 3, d 5 = dk 5 dk 5 dk 6 a - ścieżka przeciwna do ścieżki d 4. ak 1 bk 2 ak 4 c = ak 1 k 2 k 4 c = k 1 k 2 k 4 = abac - ścieżka długości 3 (otwarta), ck 4 ak 2 bk 1 a - nie jest ścieżka (c nie jest poczatkiem k 4 ). Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a 0 będzie ścieżka zamknięta oraz 0 t n 1. Ścieżkę zamknięta zaczynajac a się w a t i przechodzac a przez krawędzie i wierzchołki w tej samej kolejności jak w d, tj. ścieżkę postaci d = a t k t+1... a n 1 k n a 0... k t a t będziemy nazywać równa ścieżce d i pisać d = d. przykładu mamy np. ak 1 bk 7 dk 6 a = bk 7 dk 6 ak 1 b = dk 6 ak 1 bk 7 d. W grafie nieskierowanym z ostatniego Uwaga 1. Powyższa umowa pozwala nam nazywać równymi scieżki (ciagi), które formalnie równe nie sa. Aby uniknać takiej sytuacji należałoby scieżkę zdefiniować jako klasę abstrakcji relacji równoważno sci w zbiorze ciagów postaci (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ) spełniaj acych odpowiednie warunki. Własność 1. Niech G będzie grafem [digrafem], V 0 V G, a V 0 oraz b V G \ V 0. Dowolna scieżka ł aczaca a z b zawiera krawęd z, której jeden koniec należy do V 0, a drugi do V G \ V 0 [pocz atek należy do V 0, a koniec do V G \ V 0 ]. Ćwiczenie 1. Udowodníc własno sć 1. Liczba ścieżek długości 1 ł aczacych wierzchołek a z wierzchołkiem b w grafie [digrafie] jest równa liczbie krawędzi ł aczacych te wierzchołki [biegnacych od a do b]. Zatem wyraz m ij macierzy sasiedztwa jest równy liczbie ścieżek długości 1 ł aczacych a i z a j. Twierdzenie 1. Niech M = [m ij ] i,j n będzie macierza sasiedztwa grafu (nieskierowanego lub skierowanego) G o wierzchołkach a 1, a 2,..., a n. Dla dowolnej liczby naturalnej k, wyraz t ij macierz M k jest równy ilo sci scieżek długo sci k ł aczacych a i z a j. Dowód. Przeprowadzimy dowód przez indukcję ze względu na k. Dla k = 1 warunek wynika z uwagi przed twierdzeniem. Oznaczmy przez m (k) ij liczbę ścieżek długości k ł aczacych a i z a j.

3 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 3 [ Przypuśćmy, że dla pewnej liczby k 1 zachodzi M k = [ ] Musimy pokazać, że M k+1 = (teza indukcyjna). m (k+1) ij i,j n m (k) ij ] i,j n (założenie indukcyjne). Obliczymy m (k+1) ij (przy ustalonych i, j). Niech l r oznacza ilość ścieżek długości k + 1 ł aczacych a i z a j takich, że przedostatnim wierzchołkiem jest a r. Wtedy, oczywiście m (k+1) ij = l l n. Z drugiej strony l r = m (k) ir m rj, czyli m (k) ir scieżek długo sci k m rj scieżek długo sci 1 m (k+1) ij = n l r = r=1 n r=1 m (k) ir m rj. Ostatnia suma jest (i, j)-tym wyrazem iloczynu M k M, czyli [ ] M k+1 = M k M =. m (k+1) ij Z zasady indukcji matematycznej wynika teza twierdzenia. i,j n Obliczymy ilość ścieżek długości 4 między wierzchołkami grafu skierowanego M = 0 0 0, M 2 = = 0 0 0, M 4 = M 2 M 2 = = Liczba ścieżek długości 4 wynosi a 1 a 1 : 5, a 1 a 2 : 9, a 1 a 3 : 12, itd. Ćwiczenie 2. Wypisać wszystkie scieżki długo sci 4 z a 1 do a 1 i z a 1 do a 2 w poprzednim przykładzie.

4 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 4 Ćwiczenie 3. Znale zć liczbę scieżek długo sci 4 oraz 5 ł aczacych wierzchołek a z wierzchołkami grafu skierowanego Ćwiczenie 4. W grafie pełnym K 5 znale zć liczbę scieżek długo sci 4 oraz 5 między (1) Różnymi wierzchołkami. (2) Tym samym wierzchołkiem Ćwiczenie 5. Niech A = Przy pomocy grafów obliczyć A6 i A Niech d będzie ścieżka w grafie (skierowanym lub nieskierowanym). Mówimy, że d jest ścieżka prosta jeżeli nie zawiera powtarzajacych się krawędzi, ścieżka bez powtarzajacych się wierzchołków jeżeli nie zawiera powtarzajacych się wierzchołków, poza być może poczatkiem i końcem. cyklem jeżeli jest nietrywialna, zamknięta ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków. ak 1 bk 3 ck 4 c - ścieżka prosta, w której powtarza się wierzchołek c, ak 1 bk 3 ck 5 a, ak 1 bk 2 a, ck 4 c - cykle, ak 5 ck 5 a - ścieżka zamknięta bez powtarzajacych się wierzchołków, która nie jest ścieżka prosta. Graf G (skierowany lub nieskierowany) nazywamy acyklicznym jeśli nie zawiera cykli (czyli nie da się w nim utworzyć cyklu). Graf acykliczny nieskierowany jest również nazywany lasem, a graf acykliczny skierowany dagiem (directed acyclic graph). Ścieżkę p w grafie G

5 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 5 nazywamy acykliczna jeżeli graf G p tej ścieżki jest acykliczny. W grafie G ścieżka p = abcecfc jest acykliczna, bo jej graf jest acykliczny. Natomiast ścieżka q = abecdcb nie jest acykliczna, bo graf zawiera cykl becb. Zauważmy, że żadna podścieżka ścieżki q nie jest cyklem. Polska terminologia w tej części teorii grafów jest skrajnie niejednolita. Na określenie scieżki bywaja używane, oprócz terminu droga, również terminy trasa, marszruta, szlak i łańcuch. Terminy droga, scieżka i scieżka prosta bywaja używane w odmiennym znaczeniu niż na naszym wykładzie. Również definicja cyklu, nazywanego też obwodem, może być inna niż na wykładzie. Istnieja też formalne różnice w definicjach niektórych pojęć. Ścieżka jest często definiowana jako para (K, L), gdzie K jest ciagiem wierzchołków, zaś L ciagiem krawędzi spełniaj acych odpowiednie warunki. Twierdzenie 2. (1) W każdym grafie skierowanym dowolna scieżka bez powtarzaj acych się wierzchołków jest prosta. (2) W każdym grafie nieskierowanym dowolna scieżka otwarta bez powtarzaj acych się wierzchołków jest prosta. (3) W każdym grafie nieskierowanym dowolna scieżka zamknięta bez powtarzajacych się wierzchołków długo sci n 3 jest prosta. Dowód. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie ścieżka bez powtarzajacych się wierzchołków. Będziemy dowodzić, że w d nie powtarzaja się krawędzie (przy odpowiednich założeniach). Ad. (1) Ponieważ wierzchołki a 0, a 1,..., a n 1 sa różne, więc żadne dwie krawędzie na tej ścieżce nie maja tego samego poczatku, czyli sa różne. Ad (2) Ponieważ wierzchołki a 0, a 1,..., a n sa różne, więc żadne dwie krawędzie na tej ścieżce nie maja tego samego zbioru końców, czyli sa różne. Ad (3) Mamy a 0 = a n i n 3. W ścieżkach d = a 0 k 1 a 1... k n 1 a n 1 oraz d = a 1 k 2 a 2... k n a n nie powtarzaja się wierzchołki, a więc na podstawie (2) nie powtarzaja się też krawędzie. Przypuśćmy nie wprost, że d nie jest cyklem. Zatem w d musza powtarzać się krawędzie i wobec poprzednich rozważań mamy k 1 = k n. Stad {a 0, a 1 } = {a n 1, a 0 } i w konsekwencji

6 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 6 a 1 = a n 1, co jest sprzeczne z założeniem (bo n 1 1). Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Z twierdzenia 2 wynika, że jeżeli w ścieżce nie powtarzaja się wierzchołki, to nie powtarzaja się też krawędzie (z wyjatkiem sytuacji gdy mamy ścieżkę zamknięta długości 2 w grafie nieskierowanym). Można bez trudu udowodnić, że jedyna ścieżka zamknięta, w której wierzchołki nie powtarzaja się, natomiast krawędzie się powtarzaja jest ścieżka postaci akbka Twierdzenie 3. Jeżeli d jest scieżk a o najmniejszej długo sci ł aczac a dwa ustalone wierzchołki grafu G (nieskierowanego lub skierowanego), to d jest scieżk a prosta bez powtarzajacych się wierzchołków. Dowód. Ścieżka o najmniejszej długości ł aczac a wierzchołek a ze soba jest ścieżka trywialna d = a, która spełnia tezę twierdzenia. Możemy więc ograniczyć rozważania do ścieżek ł acza- cych różne wierzchołki. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie ścieżka o najmniejszej długości ł aczac a wierzchołki a 0 a n. Przypuśćmy nie wprost, że d nie nie spełnia tezy twierdzenia. Na mocy twierdzenia 2, w d musza powtarzać się wierzchołki, czyli istnieja liczby 0 i < j n takie, że a i = a j. Zatem d = a 0... k i a i k j+1... k n a n jest ścieżka ł aczac a a 0 z a n długości l (d ) = n (j i) < n = l (d). Jest to sprzeczne z definicj a d. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Z twierdzenia 3 wynika Twierdzenie 4. Jeżeli w grafie (nieskierowanym lub skierowanym) istnieje scieżka ł aczaca ustalone wierzchołki, to istneje też scieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków ł aczaca te wierzchołki. Ćwiczenie 6. Udowodníc twierdzenie 4. Twierdzenie 5. Ścieżka ł acz aca różne wierzchołki grafu (nieskierowanego lub skierowanego) jest scieżk a bez powtarzajacych się wierzchołków wtedy i tylko wtedy, gdy jest acykliczna scieżk a prosta. Dowód. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie ścieżka ł aczac a różne wierzchołki (a 0 a n ).

7 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 7 Przypuśćmy nie wprost, że w ścieżce d nie powtarzaja się wierzchołki, ale d nie jest acykliczna ścieżka prosta. Ponieważ w d nie powtarzaja się wierzchołki, więc (0.1) deg Gd a 0 = deg Gd a n = 1 i deg Gd a i = 2 dla 1 i n 1. Z twierdzenia 2 wynika, że ścieżka d jest prosta, a więc nie może być acykliczna. Niech d będzie cyklem w grafie G d oraz a t wierzchołkiem cyklu d o najmniejszym indeksie. Ponieważ wszystkie wierzchołki należace do d maja stopień 2, więc a 0 / d i w konsekwencji t > 0. Wierzchołek a t należy do cyklu i jest poł aczony krawędzi a z wierzchołkiem a t 1, który do cyklu nie należy. Zatem deg Gd a t 3, co jest sprzeczne z (0.1). Otrzymana sprzeczność kończy pierwsza część dowodu. Przypuśćmy nie wprost, że d jest acykliczna ścieżka prosta, która zawiera powtarzajace się wierzchołki. Spośród wszystkich powtarzajacych się wierzchołków wybierzmy takie a i = a j, dla których j i > 0 jest najmniejsze. Wtedy wierzchołki a i, a i+1,..., a j 1 sa różne, czyli a i a i+1,... a j 1 a j jest cyklem. Przeczy to acykliczności d. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie zamknięta ścieżka prosta (a 0 = a n ) w grafie nieskierowanym lub skierowanym G. Usuwajac z d krawędź k i = a i 1 a i dostajemy ścieżkę prosta a i... a 0... a i 1 ł aczac a a i z a i 1 w G\{k i }. W przypadku grafu nieskierowanego istnieje też ścieżka przeciwna a i 1... a 0... a i ł aczaca wierzchołek a i 1 z a i. Powyższe uwagi można zapisać w postaci użytecznej własności. Własność 2. Jeżeli k = ab jest krawędzi a zamkniętej scieżki prostej w grafie (nieskierowanym lub skierowanym) G, to w G \ {k} istnieje scieżka prosta ł aczaca b z a. Twierdzenie 6. Jeżeli krawęd z k należy do zamkniętej scieżki prostej w grafie (nieskierowanym lub skierowanym), to k należy do jakiego s cyklu w tym grafie. Dowód. Niech k będzie krawędzi a zamkniętej ścieżki prostej d. Jeżeli k jest pętla, czyli k = aa, to k należy do cyklu aka. Możemy więc założyć, że k = ab ł aczy różne wierzchołki. Usuwajac ze ścieżki d krawędź k dostajemy ścieżkę prosta d ł aczac a b z a w grafie G\{k}. Z twierdzenia 4 wynika, że w G \ {k} istnieje ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków d ł aczaca

8 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 8 te wierzchołki. Doł aczajac krawędź k do ścieżki d dostajemy szukany cykl w G d d d Cykl zawierajacy k Wniosek 1. Graf acykliczny (nieskierowany lub skierowany) nie zawiera nietrywialnych, zamkniętych scieżek prostych. Kolejne twierdzenia w tym rozdziale będa dotyczyły grafów nieskierowanych. Twierdzenie 7. Dowolne wierzchołki acyklicznego grafu nieskierowanego można poł aczyć co najwyżej jedna scieżk a prosta. Dowód. Rozważmy najpierw poł aczenie dowolnego wierzchołka a z samym soba. Oczywiście ścieżka trywialna d = a jest prosta. Gdyby istniała nietrywialna ścieżka prosta z a do a, to na podstawie twierdzenia 6 graf zawierałby cykl. Jest to sprzeczne z acyklicznościa i dowodzi tezy twierdzenia w tym przypadku. Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że dla dowolnych różnych wierzchołków istnieje co najwyżej jedna ścieżka prosta je ł aczaca. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. istnieja wierzchołki, które można poł aczyć kilkoma ścieżkami prostymi. Wśród wszystkich par wierzchołków o tej własności wybierzmy tę, która posiada najkrótsze poł aczenie. Wierzchołki te oznaczmy a i b, zaś najkrótsza ścieżkę prosta między nimi przez d = ak 1 a 1... a n 1 k n b. Niech d będzie jakakolwiek inna ścieżka prosta z a do b. Rozważmy przypadki. (1) Ścieżki d i d nie maja wspólnych krawędzi. Ł aczac d i d (d przechodzimy od końca) dostajemy nietrywialna zamknięta ścieżkę prosta, co na podstawie wniosku 1 jest sprzeczne z acyklicznościa.

9 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 9 (2) d = akb i k d. Widać, że d = a... akb... b lub d = a... bka... b, czyli w G istnieje nietrywialna zamknięta ścieżka prosta. Tak jak poprzednio dostajemy sprzeczność z acyklicznościa. (3) Ścieżki d i d maja wspólna krawędź oraz l (d) 2. Istnieje wierzchołek a i należacy do d, którego indeks spełnia warunek 1 i n 1. Ponieważ d d, więc przynajmniej jedna z par wierzchołków (a, a i ), (a i, b) można poł aczyć kilkoma ścieżkami prostymi. Możemy przyjać, że jest nia para (a, a i ) (w przeciwnym razie dowód analogiczny). Ścieżka prosta ak 1 a 1... k i a i jest krótsza niż d (bo i < n), co jest sprzeczne z minimalnościa d. We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność. Wynika stad, że poczatkowe przypuszczenie było fałszywe, czyli twierdzenie jest prawdziwe. Ćwiczenie 7. Podać przykład acyklicznego grafu skierowanego, w którym istnieje kilka scieżek prostych ł aczacych pewne wierzchołki tego grafu. Ćwiczenie 8. Udowodníc, że jeżeli w grafie G dwa różne cykle zawieraja krawęd z k, to isnieje w tym grafie cykl nie zawierajacy k. Mówimy, że wierzchołek b jest osiagalny z wierzchołka a w grafie nieskierowanym G, jeżeli istnieje w G ścieżka z a do b. Krawędź nazywamy osiagaln a z wierzchołka a, jeżeli osiagalne sa jej końce. Graf nieskierowany nazywamy spójnym jeżeli dowolne dwa wierzchołki można poł aczyć ścieżka (czyli dowolny wierzchołek jest osiagalny z każdego innego). Jest oczywiste, że relacja osiagalności: a b b jest osiagalny z a jest relacja równoważności. Jej klasy abstrakcji nazywamy składowymi grafu. Dokładniej, dla dowolnego wierzchołka a grafu nieskierowanego G składow a zawierajac a a nazywamy podgraf G a złożony ze wszystkich wierzchołków i wszystkich krawędzi osiagalnych z a. Twierdzenie 8. Składowa G a jest największym spójnym podgrafem zawierajacym a.

10 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 10 Dowód. Składowa G a jest spójna, bo dowolne wierzchołki można poł aczyć ścieżka przechodz ac a przez a. Niech G będzie spójnym podgrafem grafu G zawierajacym a. Pokażemy, że V G V Ga i E G E Ga. Weźmy dowolny wierzchołek b V G. Ze spójności G wynika, że b jest osiagalny z a w grafie G (a więc również w G), czyli b V Ga. Z dowolności b dostajemy inkluzję V G V Ga. Niech, z kolei, k E G. Końce k sa osiagalne z a i w konsekwencji k E Ga. Dowodzi to inkluzji E G E Ga, co kończy dowód twierdzenia. Krawędź k grafu spójnego G nazywamy mostem jeżeli graf G \ {k} jest niespójny. Graf spójny. Mostami sa k 5, k 6, k 7 Graf niespójny o 5 składowych. Twierdzenie 9. Dla dowolnej krawędzi k grafu spójnego G następujace warunki sa równoważne (1) k nie jest mostem, (2) k jest krawędzi a pewnego cyklu, (3) k jest krawędzi a pewnej zamkniętej scieżki prostej. Dowód. Zauważmy, że jeżeli k jest pętla lub krawędzi a wielokrotna, to wszystkie trzy warunki sa spełnione. Możemy więc założyć, że k jest jedyna krawędzi a ł aczac a różne wierzchołki a, b. (1) (2) Załóżmy, że k nie jest mostem, czyli graf G \ {k} jest spójny. Istnieje więc w nim ścieżka ł aczaca a z b. Z twierdzenia 4 wynika, że w G \ {k} istnieje ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków z a do b. Uzupełniaj ac ja o krawędź k dostajemy cykl zawierajacy k. (2) (1) Załóżmy, że k jest krawędzi a pewnego cyklu. Usuwajac k z tego cyklu, dostajemy ścieżki d 1, d 2 ł aczace końce krawędzi k i nie zawierajace tej krawędzi (porównaj własność 2). Jeżeli więc ścieżka między wierzchołkami grafu G zawiera krawędź k, to możemy ja zmodyfikować zastępujac k jedna ze ścieżek d 1, d 2. Otrzymujemy w ten sposób ścieżkę nie zawierajac a krawędzi k, czyli ścieżkę w G\{k}. Dowodzi to spójności G \ {k}. (2) (3) Oczywiste. (3) (2) Wynika z twierdzenia 6. Wierzchołki stopnia 1 w grafie nieskierowanym nazywamy liśćmi. Własność 3. Nietrywialny las zawiera przynajmniej dwa líscie. Ćwiczenie 9. Udowodníc własno sć 3.

11 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 11 Ćwiczenie 10. Z własno sci 3 wywnioskować, że graf nieskierowany, w którym wszystkie wierzchołki maja stopień większy niż 1, zawiera cykl. Ćwiczenie 11. Pokazać, że usunięcie krawędzi z grafu może zwiększyć liczbę składowych nie więcej niż o jedna. Ćwiczenie 12. (1) Pokazać, że jeżeli graf prosty o n wierzchołkach ma więcej niż (n 1)(n 2) 2 krawędzi, to jest spójny. (2) Dla dowolnego n 2 znale zć niespójny graf prosty o n wierzchołkach oraz (n 1)(n 2) 2 krawędziach. Ćwiczenie 13. Udowodníc, że każdy graf acykliczny o przynajmniej dwóch wierzchołkach jest dwudzielny. Ćwiczenie 14. Udowodníc, że w grafie dwudzielnym każda scieżka zamknięta ma długo sć parzysta. Ćwiczenie 15. Udowodníc, że jeżeli w grafie niepustym G każdy cykl ma długo sć parzysta, to G jest grafem dwudzielnym. Zdefiniujemy teraz dwa rodzaje grafów, potrzebne w dalszych rozdziałach. Graf prosty nazywamy cyklicznym jeżeli istnieje w nim cykl zawierajacy wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie grafu. Graf cykliczny o n wierzchołkach oznaczamy C n. Graf prosty, w którym istnieje otwarta ścieżka bez powtarzajacych się wierzchołków zawierajaca wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie grafu nazywamy liniowym. Graf liniowy o n wierzchołkach oznaczamy P n. Ćwiczenie 16. Udowodníc, że (1) Spójny graf prosty jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularny stopnia 2. (2) Graf jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy można go uzyskać z grafu cyklicznego przez usunięcie jednej krawędzi. (3) Spójny graf prosty jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja wierzchołki (różne) a, b takie, że deg a = deg b = 1 oraz deg v = 2 dla v / {a, b}. Rozdziałzakończymy kilkoma uwagami o spójności w grafach skierowanych. Niech G będzie grafem skierowanym. Mówimy, że wierzchołek b jest osiagalny z wierzchołka a, jeżeli istnieje w G ścieżka z a do b. Rozważmy warunki (S1) Dowolne dwa wierzchołki można poł aczyć ścieżka (czyli dowolny wierzchołek jest osiagalny z każdego innego).

12 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 12 (S2) Dla dowolnej pary wierzchołków istnieje ścieżka ł aczaca jeden z nich z drugim. (S3) Szkielet digrafu G jest grafem spójnym. Jest oczywiste, że (S1) (S2) (S3). Poniższe przykłady pokazuja, że nie zachodza wynikania przeciwne. Widać, że G 1 G 2 G 3 G 1 spełnia (S1), G 2 spełnia (S2), ale nie spełnia (S1), bo nie istnieje ścieżka z c do a, G 3 spełnia (S3), ale nie spełnia (S2), bo nie istnieje ani ścieżka z b do c, ani z c do b. Digrafy spełniaj ace (S1) sa nazywane silnie spójnymi, zaś spełniaj ace (S3) spójnymi lub słabo spójnymi.