Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne"

Transkrypt

1 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G, k i E G oraz a i 1, a i sa końcami k i [ a i 1 jest poczatkiem, zaś a i końcem k i ]. Piszemy wtedy d = a 0 k 1 a 1... k n a n oraz mówimy, że d jest ścieżka z a 0 do a n lub ścieżka ł aczac a a 0 z a n. Wierzchołek a 0 nazywamy poczatkiem, zaś a n końcem ścieżki d. Jeżeli poczatek ścieżki pokrywa się z jej końcem, to ścieżkę nazywamy zamknięta. W przeciwnym razie mówimy, że ścieżka jest otwarta. Liczbę n nazywamy długości a ścieżki i oznaczamy l (d). Ścieżkę bez krawędzi (długości 0) nazywamy trywialna. Podgraf złożony ze wszystkich wierzchołków i krawędzi ścieżki nazywamy grafem ścieżki. Każda ścieżkę postaci a i k i+1 a i+1... k j a j dla 0 i j n nazywamy podścieżka ścieżki d. Jeżeli koniec ścieżki d 1 jest poczatkiem ścieżki d 2, tzn. d 1 = ak 1... k n b, d 2 = bl 1... l m c, to ścieżkę ak 1... k n bl 1... l m c nazywamy suma ścieżek d 1 i d 2 oraz oznaczamy d 1 d 2, ad 1 d 2 c lub ad 1 bd 2 c. Jeżeli d = a 0 k 1 a 1... k n a n = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ) jest ścieżka w grafie nieskierowanym G, to ciag (a n, k n,..., a 1, k 1, a 0 ) jest również ścieżka. Ścieżkę tę nazywamy ścieżka przeciwna do d. W grafie skierowanym ciag (a n, k n,..., a 1, k 1, a 0 ) może nie być ścieżka. Znajac poczatek (lub koniec) ścieżki oraz ciag jej krawędzi, potrafimy wyznaczyć pozostałe wierzchołki na tej ścieżce. W zapisie d = a 0 k 1 a 1... k n a n możemy więc, nie tracac jednoznaczności, pominać wszystkie wierzchołki, oprócz skrajnych, czyli napisać d = a 0 k 1 k 2... k n a n. Pominięcie również poczatku i końca ścieżki może prowadzić do niejednoznaczności (w grafach nieskierowanych). Będziemy jednak stosować zapis k 1 k 2... k n na oznaczenie dowolnej ścieżki o takim ciagu krawędzi. Również ciag wierzchołków nie musi jednoznaczie wyznaczać ścieżki (jeśli zawiera ona krawędzie wielokrotne). Będziemy jednak pisać a 0 a 1... a n, oznaczajac tak dowolna ścieżkę o takim ciagu wierzchołków. d 1 = a - ścieżka długości 0 (trywialna), d 2 = bk 2 ck 3 b = bk 2 k 3 b - ścieżka zamknięta długości 2; zapisy k 2 k 3 i bcb sa niejednoznaczne, k 2 k 3 oznacza ścieżkę bk 2 k 3 b lub ck 2 k 3 c, natomiast bcb oznacza ścieżkę bk 2 k 2 b, bk 2 k 3 b, bk 3 k 3 b lub bk 3 k 2 b, d 3 = bk 1 ak 6 dk 5 dk 5 dk 6 a = bk 1 k 6 k 5 k 5 k 6 a = k 1 k 6 k 5 k 5 k 6 = baddda - ścieżka długości 5 (otwarta), 1

2 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 2 - graf ścieżki d 3, d 4 = ak 6 dk 5 dk 5 d - podścieżka ścieżki d 3, d 5 = dk 5 dk 5 dk 6 a - ścieżka przeciwna do ścieżki d 4. ak 1 bk 2 ak 4 c = ak 1 k 2 k 4 c = k 1 k 2 k 4 = abac - ścieżka długości 3 (otwarta), ck 4 ak 2 bk 1 a - nie jest ścieżka (c nie jest poczatkiem k 4 ). Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a 0 będzie ścieżka zamknięta oraz 0 t n 1. Ścieżkę zamknięta zaczynajac a się w a t i przechodzac a przez krawędzie i wierzchołki w tej samej kolejności jak w d, tj. ścieżkę postaci d = a t k t+1... a n 1 k n a 0... k t a t będziemy nazywać równa ścieżce d i pisać d = d. przykładu mamy np. ak 1 bk 7 dk 6 a = bk 7 dk 6 ak 1 b = dk 6 ak 1 bk 7 d. W grafie nieskierowanym z ostatniego Uwaga 1. Powyższa umowa pozwala nam nazywać równymi scieżki (ciagi), które formalnie równe nie sa. Aby uniknać takiej sytuacji należałoby scieżkę zdefiniować jako klasę abstrakcji relacji równoważno sci w zbiorze ciagów postaci (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ) spełniaj acych odpowiednie warunki. Własność 1. Niech G będzie grafem [digrafem], V 0 V G, a V 0 oraz b V G \ V 0. Dowolna scieżka ł aczaca a z b zawiera krawęd z, której jeden koniec należy do V 0, a drugi do V G \ V 0 [pocz atek należy do V 0, a koniec do V G \ V 0 ]. Ćwiczenie 1. Udowodníc własno sć 1. Liczba ścieżek długości 1 ł aczacych wierzchołek a z wierzchołkiem b w grafie [digrafie] jest równa liczbie krawędzi ł aczacych te wierzchołki [biegnacych od a do b]. Zatem wyraz m ij macierzy sasiedztwa jest równy liczbie ścieżek długości 1 ł aczacych a i z a j. Twierdzenie 1. Niech M = [m ij ] i,j n będzie macierza sasiedztwa grafu (nieskierowanego lub skierowanego) G o wierzchołkach a 1, a 2,..., a n. Dla dowolnej liczby naturalnej k, wyraz t ij macierz M k jest równy ilo sci scieżek długo sci k ł aczacych a i z a j. Dowód. Przeprowadzimy dowód przez indukcję ze względu na k. Dla k = 1 warunek wynika z uwagi przed twierdzeniem. Oznaczmy przez m (k) ij liczbę ścieżek długości k ł aczacych a i z a j.

3 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 3 [ Przypuśćmy, że dla pewnej liczby k 1 zachodzi M k = [ ] Musimy pokazać, że M k+1 = (teza indukcyjna). m (k+1) ij i,j n m (k) ij ] i,j n (założenie indukcyjne). Obliczymy m (k+1) ij (przy ustalonych i, j). Niech l r oznacza ilość ścieżek długości k + 1 ł aczacych a i z a j takich, że przedostatnim wierzchołkiem jest a r. Wtedy, oczywiście m (k+1) ij = l l n. Z drugiej strony l r = m (k) ir m rj, czyli m (k) ir scieżek długo sci k m rj scieżek długo sci 1 m (k+1) ij = n l r = r=1 n r=1 m (k) ir m rj. Ostatnia suma jest (i, j)-tym wyrazem iloczynu M k M, czyli [ ] M k+1 = M k M =. m (k+1) ij Z zasady indukcji matematycznej wynika teza twierdzenia. i,j n Obliczymy ilość ścieżek długości 4 między wierzchołkami grafu skierowanego M = 0 0 0, M 2 = = 0 0 0, M 4 = M 2 M 2 = = Liczba ścieżek długości 4 wynosi a 1 a 1 : 5, a 1 a 2 : 9, a 1 a 3 : 12, itd. Ćwiczenie 2. Wypisać wszystkie scieżki długo sci 4 z a 1 do a 1 i z a 1 do a 2 w poprzednim przykładzie.

4 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 4 Ćwiczenie 3. Znale zć liczbę scieżek długo sci 4 oraz 5 ł aczacych wierzchołek a z wierzchołkami grafu skierowanego Ćwiczenie 4. W grafie pełnym K 5 znale zć liczbę scieżek długo sci 4 oraz 5 między (1) Różnymi wierzchołkami. (2) Tym samym wierzchołkiem Ćwiczenie 5. Niech A = Przy pomocy grafów obliczyć A6 i A Niech d będzie ścieżka w grafie (skierowanym lub nieskierowanym). Mówimy, że d jest ścieżka prosta jeżeli nie zawiera powtarzajacych się krawędzi, ścieżka bez powtarzajacych się wierzchołków jeżeli nie zawiera powtarzajacych się wierzchołków, poza być może poczatkiem i końcem. cyklem jeżeli jest nietrywialna, zamknięta ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków. ak 1 bk 3 ck 4 c - ścieżka prosta, w której powtarza się wierzchołek c, ak 1 bk 3 ck 5 a, ak 1 bk 2 a, ck 4 c - cykle, ak 5 ck 5 a - ścieżka zamknięta bez powtarzajacych się wierzchołków, która nie jest ścieżka prosta. Graf G (skierowany lub nieskierowany) nazywamy acyklicznym jeśli nie zawiera cykli (czyli nie da się w nim utworzyć cyklu). Graf acykliczny nieskierowany jest również nazywany lasem, a graf acykliczny skierowany dagiem (directed acyclic graph). Ścieżkę p w grafie G

5 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 5 nazywamy acykliczna jeżeli graf G p tej ścieżki jest acykliczny. W grafie G ścieżka p = abcecfc jest acykliczna, bo jej graf jest acykliczny. Natomiast ścieżka q = abecdcb nie jest acykliczna, bo graf zawiera cykl becb. Zauważmy, że żadna podścieżka ścieżki q nie jest cyklem. Polska terminologia w tej części teorii grafów jest skrajnie niejednolita. Na określenie scieżki bywaja używane, oprócz terminu droga, również terminy trasa, marszruta, szlak i łańcuch. Terminy droga, scieżka i scieżka prosta bywaja używane w odmiennym znaczeniu niż na naszym wykładzie. Również definicja cyklu, nazywanego też obwodem, może być inna niż na wykładzie. Istnieja też formalne różnice w definicjach niektórych pojęć. Ścieżka jest często definiowana jako para (K, L), gdzie K jest ciagiem wierzchołków, zaś L ciagiem krawędzi spełniaj acych odpowiednie warunki. Twierdzenie 2. (1) W każdym grafie skierowanym dowolna scieżka bez powtarzaj acych się wierzchołków jest prosta. (2) W każdym grafie nieskierowanym dowolna scieżka otwarta bez powtarzaj acych się wierzchołków jest prosta. (3) W każdym grafie nieskierowanym dowolna scieżka zamknięta bez powtarzajacych się wierzchołków długo sci n 3 jest prosta. Dowód. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie ścieżka bez powtarzajacych się wierzchołków. Będziemy dowodzić, że w d nie powtarzaja się krawędzie (przy odpowiednich założeniach). Ad. (1) Ponieważ wierzchołki a 0, a 1,..., a n 1 sa różne, więc żadne dwie krawędzie na tej ścieżce nie maja tego samego poczatku, czyli sa różne. Ad (2) Ponieważ wierzchołki a 0, a 1,..., a n sa różne, więc żadne dwie krawędzie na tej ścieżce nie maja tego samego zbioru końców, czyli sa różne. Ad (3) Mamy a 0 = a n i n 3. W ścieżkach d = a 0 k 1 a 1... k n 1 a n 1 oraz d = a 1 k 2 a 2... k n a n nie powtarzaja się wierzchołki, a więc na podstawie (2) nie powtarzaja się też krawędzie. Przypuśćmy nie wprost, że d nie jest cyklem. Zatem w d musza powtarzać się krawędzie i wobec poprzednich rozważań mamy k 1 = k n. Stad {a 0, a 1 } = {a n 1, a 0 } i w konsekwencji

6 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 6 a 1 = a n 1, co jest sprzeczne z założeniem (bo n 1 1). Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Z twierdzenia 2 wynika, że jeżeli w ścieżce nie powtarzaja się wierzchołki, to nie powtarzaja się też krawędzie (z wyjatkiem sytuacji gdy mamy ścieżkę zamknięta długości 2 w grafie nieskierowanym). Można bez trudu udowodnić, że jedyna ścieżka zamknięta, w której wierzchołki nie powtarzaja się, natomiast krawędzie się powtarzaja jest ścieżka postaci akbka Twierdzenie 3. Jeżeli d jest scieżk a o najmniejszej długo sci ł aczac a dwa ustalone wierzchołki grafu G (nieskierowanego lub skierowanego), to d jest scieżk a prosta bez powtarzajacych się wierzchołków. Dowód. Ścieżka o najmniejszej długości ł aczac a wierzchołek a ze soba jest ścieżka trywialna d = a, która spełnia tezę twierdzenia. Możemy więc ograniczyć rozważania do ścieżek ł acza- cych różne wierzchołki. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie ścieżka o najmniejszej długości ł aczac a wierzchołki a 0 a n. Przypuśćmy nie wprost, że d nie nie spełnia tezy twierdzenia. Na mocy twierdzenia 2, w d musza powtarzać się wierzchołki, czyli istnieja liczby 0 i < j n takie, że a i = a j. Zatem d = a 0... k i a i k j+1... k n a n jest ścieżka ł aczac a a 0 z a n długości l (d ) = n (j i) < n = l (d). Jest to sprzeczne z definicj a d. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Z twierdzenia 3 wynika Twierdzenie 4. Jeżeli w grafie (nieskierowanym lub skierowanym) istnieje scieżka ł aczaca ustalone wierzchołki, to istneje też scieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków ł aczaca te wierzchołki. Ćwiczenie 6. Udowodníc twierdzenie 4. Twierdzenie 5. Ścieżka ł acz aca różne wierzchołki grafu (nieskierowanego lub skierowanego) jest scieżk a bez powtarzajacych się wierzchołków wtedy i tylko wtedy, gdy jest acykliczna scieżk a prosta. Dowód. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie ścieżka ł aczac a różne wierzchołki (a 0 a n ).

7 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 7 Przypuśćmy nie wprost, że w ścieżce d nie powtarzaja się wierzchołki, ale d nie jest acykliczna ścieżka prosta. Ponieważ w d nie powtarzaja się wierzchołki, więc (0.1) deg Gd a 0 = deg Gd a n = 1 i deg Gd a i = 2 dla 1 i n 1. Z twierdzenia 2 wynika, że ścieżka d jest prosta, a więc nie może być acykliczna. Niech d będzie cyklem w grafie G d oraz a t wierzchołkiem cyklu d o najmniejszym indeksie. Ponieważ wszystkie wierzchołki należace do d maja stopień 2, więc a 0 / d i w konsekwencji t > 0. Wierzchołek a t należy do cyklu i jest poł aczony krawędzi a z wierzchołkiem a t 1, który do cyklu nie należy. Zatem deg Gd a t 3, co jest sprzeczne z (0.1). Otrzymana sprzeczność kończy pierwsza część dowodu. Przypuśćmy nie wprost, że d jest acykliczna ścieżka prosta, która zawiera powtarzajace się wierzchołki. Spośród wszystkich powtarzajacych się wierzchołków wybierzmy takie a i = a j, dla których j i > 0 jest najmniejsze. Wtedy wierzchołki a i, a i+1,..., a j 1 sa różne, czyli a i a i+1,... a j 1 a j jest cyklem. Przeczy to acykliczności d. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Niech d = a 0 k 1 a 1... k n a n będzie zamknięta ścieżka prosta (a 0 = a n ) w grafie nieskierowanym lub skierowanym G. Usuwajac z d krawędź k i = a i 1 a i dostajemy ścieżkę prosta a i... a 0... a i 1 ł aczac a a i z a i 1 w G\{k i }. W przypadku grafu nieskierowanego istnieje też ścieżka przeciwna a i 1... a 0... a i ł aczaca wierzchołek a i 1 z a i. Powyższe uwagi można zapisać w postaci użytecznej własności. Własność 2. Jeżeli k = ab jest krawędzi a zamkniętej scieżki prostej w grafie (nieskierowanym lub skierowanym) G, to w G \ {k} istnieje scieżka prosta ł aczaca b z a. Twierdzenie 6. Jeżeli krawęd z k należy do zamkniętej scieżki prostej w grafie (nieskierowanym lub skierowanym), to k należy do jakiego s cyklu w tym grafie. Dowód. Niech k będzie krawędzi a zamkniętej ścieżki prostej d. Jeżeli k jest pętla, czyli k = aa, to k należy do cyklu aka. Możemy więc założyć, że k = ab ł aczy różne wierzchołki. Usuwajac ze ścieżki d krawędź k dostajemy ścieżkę prosta d ł aczac a b z a w grafie G\{k}. Z twierdzenia 4 wynika, że w G \ {k} istnieje ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków d ł aczaca

8 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 8 te wierzchołki. Doł aczajac krawędź k do ścieżki d dostajemy szukany cykl w G d d d Cykl zawierajacy k Wniosek 1. Graf acykliczny (nieskierowany lub skierowany) nie zawiera nietrywialnych, zamkniętych scieżek prostych. Kolejne twierdzenia w tym rozdziale będa dotyczyły grafów nieskierowanych. Twierdzenie 7. Dowolne wierzchołki acyklicznego grafu nieskierowanego można poł aczyć co najwyżej jedna scieżk a prosta. Dowód. Rozważmy najpierw poł aczenie dowolnego wierzchołka a z samym soba. Oczywiście ścieżka trywialna d = a jest prosta. Gdyby istniała nietrywialna ścieżka prosta z a do a, to na podstawie twierdzenia 6 graf zawierałby cykl. Jest to sprzeczne z acyklicznościa i dowodzi tezy twierdzenia w tym przypadku. Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że dla dowolnych różnych wierzchołków istnieje co najwyżej jedna ścieżka prosta je ł aczaca. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. istnieja wierzchołki, które można poł aczyć kilkoma ścieżkami prostymi. Wśród wszystkich par wierzchołków o tej własności wybierzmy tę, która posiada najkrótsze poł aczenie. Wierzchołki te oznaczmy a i b, zaś najkrótsza ścieżkę prosta między nimi przez d = ak 1 a 1... a n 1 k n b. Niech d będzie jakakolwiek inna ścieżka prosta z a do b. Rozważmy przypadki. (1) Ścieżki d i d nie maja wspólnych krawędzi. Ł aczac d i d (d przechodzimy od końca) dostajemy nietrywialna zamknięta ścieżkę prosta, co na podstawie wniosku 1 jest sprzeczne z acyklicznościa.

9 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 9 (2) d = akb i k d. Widać, że d = a... akb... b lub d = a... bka... b, czyli w G istnieje nietrywialna zamknięta ścieżka prosta. Tak jak poprzednio dostajemy sprzeczność z acyklicznościa. (3) Ścieżki d i d maja wspólna krawędź oraz l (d) 2. Istnieje wierzchołek a i należacy do d, którego indeks spełnia warunek 1 i n 1. Ponieważ d d, więc przynajmniej jedna z par wierzchołków (a, a i ), (a i, b) można poł aczyć kilkoma ścieżkami prostymi. Możemy przyjać, że jest nia para (a, a i ) (w przeciwnym razie dowód analogiczny). Ścieżka prosta ak 1 a 1... k i a i jest krótsza niż d (bo i < n), co jest sprzeczne z minimalnościa d. We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność. Wynika stad, że poczatkowe przypuszczenie było fałszywe, czyli twierdzenie jest prawdziwe. Ćwiczenie 7. Podać przykład acyklicznego grafu skierowanego, w którym istnieje kilka scieżek prostych ł aczacych pewne wierzchołki tego grafu. Ćwiczenie 8. Udowodníc, że jeżeli w grafie G dwa różne cykle zawieraja krawęd z k, to isnieje w tym grafie cykl nie zawierajacy k. Mówimy, że wierzchołek b jest osiagalny z wierzchołka a w grafie nieskierowanym G, jeżeli istnieje w G ścieżka z a do b. Krawędź nazywamy osiagaln a z wierzchołka a, jeżeli osiagalne sa jej końce. Graf nieskierowany nazywamy spójnym jeżeli dowolne dwa wierzchołki można poł aczyć ścieżka (czyli dowolny wierzchołek jest osiagalny z każdego innego). Jest oczywiste, że relacja osiagalności: a b b jest osiagalny z a jest relacja równoważności. Jej klasy abstrakcji nazywamy składowymi grafu. Dokładniej, dla dowolnego wierzchołka a grafu nieskierowanego G składow a zawierajac a a nazywamy podgraf G a złożony ze wszystkich wierzchołków i wszystkich krawędzi osiagalnych z a. Twierdzenie 8. Składowa G a jest największym spójnym podgrafem zawierajacym a.

10 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 10 Dowód. Składowa G a jest spójna, bo dowolne wierzchołki można poł aczyć ścieżka przechodz ac a przez a. Niech G będzie spójnym podgrafem grafu G zawierajacym a. Pokażemy, że V G V Ga i E G E Ga. Weźmy dowolny wierzchołek b V G. Ze spójności G wynika, że b jest osiagalny z a w grafie G (a więc również w G), czyli b V Ga. Z dowolności b dostajemy inkluzję V G V Ga. Niech, z kolei, k E G. Końce k sa osiagalne z a i w konsekwencji k E Ga. Dowodzi to inkluzji E G E Ga, co kończy dowód twierdzenia. Krawędź k grafu spójnego G nazywamy mostem jeżeli graf G \ {k} jest niespójny. Graf spójny. Mostami sa k 5, k 6, k 7 Graf niespójny o 5 składowych. Twierdzenie 9. Dla dowolnej krawędzi k grafu spójnego G następujace warunki sa równoważne (1) k nie jest mostem, (2) k jest krawędzi a pewnego cyklu, (3) k jest krawędzi a pewnej zamkniętej scieżki prostej. Dowód. Zauważmy, że jeżeli k jest pętla lub krawędzi a wielokrotna, to wszystkie trzy warunki sa spełnione. Możemy więc założyć, że k jest jedyna krawędzi a ł aczac a różne wierzchołki a, b. (1) (2) Załóżmy, że k nie jest mostem, czyli graf G \ {k} jest spójny. Istnieje więc w nim ścieżka ł aczaca a z b. Z twierdzenia 4 wynika, że w G \ {k} istnieje ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków z a do b. Uzupełniaj ac ja o krawędź k dostajemy cykl zawierajacy k. (2) (1) Załóżmy, że k jest krawędzi a pewnego cyklu. Usuwajac k z tego cyklu, dostajemy ścieżki d 1, d 2 ł aczace końce krawędzi k i nie zawierajace tej krawędzi (porównaj własność 2). Jeżeli więc ścieżka między wierzchołkami grafu G zawiera krawędź k, to możemy ja zmodyfikować zastępujac k jedna ze ścieżek d 1, d 2. Otrzymujemy w ten sposób ścieżkę nie zawierajac a krawędzi k, czyli ścieżkę w G\{k}. Dowodzi to spójności G \ {k}. (2) (3) Oczywiste. (3) (2) Wynika z twierdzenia 6. Wierzchołki stopnia 1 w grafie nieskierowanym nazywamy liśćmi. Własność 3. Nietrywialny las zawiera przynajmniej dwa líscie. Ćwiczenie 9. Udowodníc własno sć 3.

11 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 11 Ćwiczenie 10. Z własno sci 3 wywnioskować, że graf nieskierowany, w którym wszystkie wierzchołki maja stopień większy niż 1, zawiera cykl. Ćwiczenie 11. Pokazać, że usunięcie krawędzi z grafu może zwiększyć liczbę składowych nie więcej niż o jedna. Ćwiczenie 12. (1) Pokazać, że jeżeli graf prosty o n wierzchołkach ma więcej niż (n 1)(n 2) 2 krawędzi, to jest spójny. (2) Dla dowolnego n 2 znale zć niespójny graf prosty o n wierzchołkach oraz (n 1)(n 2) 2 krawędziach. Ćwiczenie 13. Udowodníc, że każdy graf acykliczny o przynajmniej dwóch wierzchołkach jest dwudzielny. Ćwiczenie 14. Udowodníc, że w grafie dwudzielnym każda scieżka zamknięta ma długo sć parzysta. Ćwiczenie 15. Udowodníc, że jeżeli w grafie niepustym G każdy cykl ma długo sć parzysta, to G jest grafem dwudzielnym. Zdefiniujemy teraz dwa rodzaje grafów, potrzebne w dalszych rozdziałach. Graf prosty nazywamy cyklicznym jeżeli istnieje w nim cykl zawierajacy wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie grafu. Graf cykliczny o n wierzchołkach oznaczamy C n. Graf prosty, w którym istnieje otwarta ścieżka bez powtarzajacych się wierzchołków zawierajaca wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie grafu nazywamy liniowym. Graf liniowy o n wierzchołkach oznaczamy P n. Ćwiczenie 16. Udowodníc, że (1) Spójny graf prosty jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularny stopnia 2. (2) Graf jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy można go uzyskać z grafu cyklicznego przez usunięcie jednej krawędzi. (3) Spójny graf prosty jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja wierzchołki (różne) a, b takie, że deg a = deg b = 1 oraz deg v = 2 dla v / {a, b}. Rozdziałzakończymy kilkoma uwagami o spójności w grafach skierowanych. Niech G będzie grafem skierowanym. Mówimy, że wierzchołek b jest osiagalny z wierzchołka a, jeżeli istnieje w G ścieżka z a do b. Rozważmy warunki (S1) Dowolne dwa wierzchołki można poł aczyć ścieżka (czyli dowolny wierzchołek jest osiagalny z każdego innego).

12 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II 12 (S2) Dla dowolnej pary wierzchołków istnieje ścieżka ł aczaca jeden z nich z drugim. (S3) Szkielet digrafu G jest grafem spójnym. Jest oczywiste, że (S1) (S2) (S3). Poniższe przykłady pokazuja, że nie zachodza wynikania przeciwne. Widać, że G 1 G 2 G 3 G 1 spełnia (S1), G 2 spełnia (S2), ale nie spełnia (S1), bo nie istnieje ścieżka z c do a, G 3 spełnia (S3), ale nie spełnia (S2), bo nie istnieje ani ścieżka z b do c, ani z c do b. Digrafy spełniaj ace (S1) sa nazywane silnie spójnymi, zaś spełniaj ace (S3) spójnymi lub słabo spójnymi.

TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa

TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV Drzewa Drzewem lub drzewem wolnym nazywamy dowolny graf spójny i acykliczny. Drzewa Ćwiczenie 1. Narysować wszystkie, z dokłado sci a do izomorfizmu, drzewa o 1, 2, 3,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów Rozważmy rysunki 1. Schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu 2. Drzewo prawdopodobieństwa przy rzucie moneta 3. Schemat

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Przeszukiwanie grafów

Przeszukiwanie grafów TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁV Przeszukiwanie grafów Wiedza o istnieniu interesujacego nas obiektu (np. drzewa spinajacego) jest w praktycznych zastosowaniach mało przydatna. Na ogółpotrzebujemy informacji

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow 9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf

Bardziej szczegółowo

Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV

Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV Graf skierowany (digraf) zbiór wierzchołków i zbiór krawędzi skierowanych łączących (co najwyżej jeden raz) uporządkowane pary wierzchołków. Mówimy wtedy, że krawędź łączy pierwszy wierzchołek z drugim

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4. Grafy skierowane

Wyk lad 4. Grafy skierowane Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31 Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinające

Minimalne drzewa rozpinające KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo