Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku"

Transkrypt

1 Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku

2

3 ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi przypiszemy długość (wagȩ i algorytmy bȩd a szukać drogi, dla której suma długości krawȩdzi jest najmniejsza 11 Grafy skierowane Definicja 11 Graf skierowany (zorientowany to dowolna para, ze skończonym zbiorem wierzchołków i zbiorem krawȩdzi Rysunek 11: Graf skierowany W grafie skierowanym krawȩdź jest skierowana od wierzchołka do wierzchołka Wierzchołek nazywamy pocz atkiem krawȩdzi, a wierzchołek końcem Na rysunkach krawȩdzie skierowane bȩdziemy przedstawiać jako strzałki Droga w grafie skierowanym jest to ci ag wierzchołków!" $#%#$#& ' *,+ +-, taki, że dla każdego (, wierzchołki /01!, "/ s a poł aczone krawȩdzi a, czyli 2/01!" "/ !9 %#$#%#$ ' Drogȩ nazywamy cyklem jeżeli ":;', oraz wszystkie wierzchołki 8!" $#$#%#& ' s a różne Na przykład ci ag wierzchołków jest cyklem w grafie z rysunku 11 Dla grafów skierowanych dopuszczamy cykl złożony z dwóch wierzchołków, na przykład ci ag stanowi cykl w grafie z rysunku 11 Krawȩdź typu 2< 1, w której pocz atek i koniec pokrywaj a siȩ, nazywamy pȩtl a Można przyj ać, że pȩtla jest cyklem długości jeden 3

4 4 Rozdział 1 Grafy skierowane Definicja 12 Graf skierowany jest (silnie spójny, jeżeli dla każdych dwóch jego wierzchołków i istnieje droga z do Przykład 13 Graf z rysunku 11 nie jest spójny, bo nie ma w nim drogi z do 12 Najkrótsze drogi w grafie Przypuśćmy teraz, że każdej krawȩdzi przypisano długość (wagȩ przy tym ujemne długości Dla każdej drogi w grafie 7 %#$#$#% Dopuszczamy zdefiniujmy jej długość jako sumȩ długości krawȩdzi, czyli Jeżeli /! 2"/01!" "/3 #, droga składa siȩ z pojedynczego punktu, to przyjmujemy, że jej długość wynosi 0 W tym rozdziale interesuj a nas algorytmy wyznaczania najkrótszej drogi ł acz acej dwa wierzchołki i w grafie Przykład 14 Jako przykład zastosowania algorytmu wyszukiwania najkrótszej drogi w grafie rozpatrzmy sieć poł aczeń, czyli graf, w którym krawȩdzie reprezentuj a ł acza pomiȩdzy wȩzłami Z każd a krawȩdzi a zwi azane jest prawdopodobieństwo, że krawȩdź zadziała bez awarii Zakładamy, że awarie poszczególnych krawȩdzi s a od siebie niezależne Przyjmijmy teraz długość krawȩdzi jako Najkrótsza droga jest wtedy drog a z najmniejszym prawdopodobieństwem awarii Łatwo zauważyć, że jeżeli w grafie s a cykle o ujemnej długości, to dla pewnych par wierzchołków nie istnieje najkrótsza droga miȩdzy nimi Powtarzaj ac przejście wzdłuż cyklu można wtedy otrzymywać drogi o długości dowolnie małej Dlatego w dalszej czȩści bȩdziemy zakładać, że w grafie wszystkie cykle s a dodatniej długości Problem znajdowania najkrótszej drogi w grafie nieskierowanym, jeżeli wszystkie krawȩdzie maj a dodatnie długości, można sprowadzić do przypadku grafu skierowanego Wystarczy każd a krawȩdź < zast apić przez dwie krawȩdzie 2< i Jeżeli w grafie s a krawȩdzie o ujemnych długościach, to sposób ten prowadzi do powstania cykli ujemnej długości Opisane tu algorytmy składaj a siȩ z dwóch etapów W pierwszym etapie wyznaczamy długości najkrótszych dróg z do wszystkich wierzchołków w grafie A dopiero w drugim etapie wyznaczymy najkrótsz a drogȩ z do Najpierw opiszemy drugi etap, czyli jak znaleźć najkrótsz a drogȩ z do, jeżeli znane s a odległości z do wszystkich wierzchołków grafu Algorytm ten bȩdziemy opisywać przy pomocy przykładu grafu z rysunku 12 2<,, jeżeli 4 Załóżmy, że Dla prostoty algorytmu przyjmujemy macierz zawiera odległości od do wszystkich pozostałych wierzchołków grafu

5 13 Algorytm Forda-Bellmana 5 Rysunek 12: Graf z długościami krawȩdzi przy tym, że v s a b c d t zawiera odległość od, czyli długość najkrótszej drogi z do Przyjmujemy oraz, jeżeli nie ma żadnej drogi z do Najkrótsz a drogȩ od do wyznaczamy teraz od końca Najpierw szukamy przedostatniego wierzchołka tej drogi, później trzeciego od końca i tak dalej Przedostatni wierzchołek najkrótszej drogi spełnia równość 2 # spełnia t a równość Zauważmy, że isnieje, to otrzymamy, czyli najkrótsz a drogȩ z do Jest też W naszym przykładzie tylko wierzchołek droga długości z do Jeżeli przedłużymy tȩ drogȩ o krawȩdź, drogȩ z do długości jasne, że taki wierzchołek istnieje Jest to przedostatni wierzchołek dowolnej najkrótszej drogi z do Trzeci od końca wierzchołek spełnia równość 2< W naszym przykładzie jest to i tak dalej, aż odtworzymy cał a drogȩ Algorytm ten musi zakończyć pracȩ, ponieważ kolejne wierzchołki odsłanianej drogi s a różne Inaczej mielibyśmy cykl, co nie jest możliwe, jeżeli w grafie wszystkie cykle s a dodatniej długości 13 Algorytm Forda-Bellmana W tym podrozdziale opiszemy pierwszy z algorytmów obliczania wartości macierzy Mówi ac z grubsza polega on na przyjȩciu najpierw pewnych górnych oszacowań na wartości i poprawianiu ich potem Jeżeli na jakimś etapie pracy algorytmu mamy war- tość, to znaczy, że znaleziono już drogȩ od do długości Jeżeli później algorytm znajdzie krótsz a drogȩ, to wartość zostanie poprawiona Znajdowanie krotszej drogi polega na szukaniu wierzchołka spełniaj acego warunek 3#

6 6 Rozdział 1 Grafy skierowane Algorytm [Forda-Bellmana] Dane wejściowe: Graf skierowany, długości krawȩdzi Dane wyjściowe: Macierz odległości z do wszystkich wierzchołków dla każdego 4 podstaw ; dla każdego - od 1 do zrób: dla każdego zrób: dla każdego 4 2< zrób: ( Algorytm Forda-Bellmana najpierw podstawia przybliżenie Potem w rundach, dla każdego wierzchołka 4 czy istnieje wierzchołek, który wyznacza krótsz a drogȩ do Jest to pierwsze algorytm sprawdza, Przykład 15 Algorytm Forda-Bellmana zastosowany do grafu z rysunku 12 działa w nastȩpuj acy sposób: Na pocz atku macierz przedstawia siȩ nastȩpuj aco: v s a b c d t W pierwszej iteracji zewnȩtrznej pȩtli, dla -, algorytm dla każdego wierzchołka sprawdza, czy istnieje wierzchołek, przez który wiedzie krótsza droga do I tak dla, stwierdza, 6 Oznacza, to, że droga z do a potem krawȩdzi a do jest krótsza od dotychczasowego oszacowania Dlatego algorytm podstawia 3 na Dla, wartość nie zmienia siȩ ponieważ droga przez 5 nie jest krótsza od dotychczasowego oszacowania Dla algorytm znajduje krótsz a drogȩ przez ; i zmienia na Dla : wartość macierzy nie jest korygowana, a dla algorytm odnajduje drogȩ przez, 5 i posyła wartości: Tak wiȩc po pierwszej iteracji pȩtli macierz ma nastȩpuj ace v s a b c d t W drugiej iteracji dla - tylko wartość zostaje poprawiona, gdyż Nowa wartość po drugiej iteracji macierz wygl ada tak v s a b c d t Pozostałe wartości nie zmieniaj a siȩ i W trzeciej iteracji pȩtli dla - algorytm najpierw znajduje krótsz a drogȩ do (przez i poprawia, a potem znajduje krótsz a drogȩ do (przez i poprawia Po trzeciej iteracji macierz wygl ada tak v s a b c d t

7 ( 14 Dodatnie długości, algorytm Dijsktry 7 Jest to ostateczna postać macierzy, gdyż w czwartej iteracji jej wartości nie s a już poprawione Aby udowodnić, że algorytm działa poprawnie pokażemy przez indukcjȩ, że po ( -tej iteracji zewnȩtrznej pȩtli zawiera długość najkrótszej drogi z do zawieraj acej co najwyżej ( krawȩdzi Przed pierwsz a iteracj a zawiera długość drogi złożonej z jednej lub zero krawȩdzi Załóżmy, że po ( iteracjach zawiera długość najkrótszej drogi z ( lub mniej krawȩdziami Przypuśćmy, że %#$#$#%! jest najkrótsz a spośród dróg z do $#%#$#$ z ( lub mniej krawȩdziami Droga! jest najkrótsz a drog a do! z ( lub mniej krawȩdziami Gdyby istniała krótsza droga do! z co najwyżej ( krawȩdziami, to mielibyśmy krótsz a %#$#$#$ drogȩ do z co najwyżej krawȩdziami; sprzeczność Czyli długość drogi! jest równa! po ( tej iteracji Dlatego po ( iteracji bȩdzie zawierać długość najkrótszej drogi do z ( krawȩdziami Po zakończeniu pracy algorytmu zawiera długość najkrótszej drogi z do, ponieważ, jeżeli w grafie wszystkie cykle s a dodatniej długości, to w minimalnej drodze żaden wierzchołek nie powtarza siȩ i droga nie zawiera wiȩcej niż krawȩdzi Algorytm zawiera trzy pȩtle zagnieżdżone jedna w drug a Zewnȩtrzna pȩtla wykonuje siȩ razy Dla każdego - 4 wewnȩtrzna pȩtla wykonuje siȩ razy, raz dla każdego, a dla każdego mamy wykonań najbardziej wewnȩtrznej pȩtli, czyli czas działania algorytmu można oszacować przez $ 9 +, gdzie i to stałe Tak wiȩc złożoność czasowa algorytmu wynosi 14 Dodatnie długości, algorytm Dijsktry W tym podrozdziale podamy algorytm znajdowania odległości od źródła do wszystkich wierzchołków grafu dla przypadku, gdy długości wszystkich krawȩdzi s a dodatnie Algorytm Dijkstry Dane wejściowe: Graf skierowany, dodatnie długości krawȩdzi Dane wyjściowe: Macierz odległości z do wszystkich wierzchołków dla każdego 4 podstaw ; dopóki powtarzaj: wybierz wierzchołek 4 ; dla każdego 4 taki, że 3 podstaw 4 2<

8 8 Rozdział 1 Grafy skierowane Podobnie jak w poprzednim algorytmie na pocz atku macierz zawiera długość krawȩdzi 1, a jeżeli takiej krawȩdzi nie ma, to Zbiór zawiera wierzchołki, dla których nie jest jeszcze wyliczona dokładna odległość od Poniżej pokażemy, że dla 4, zawiera długość najkrótszej spośród dróg, której przedostatni wierzchołek należy do Nastȩpnie w każdej iteracji zewnȩtrznej pȩtli bierzemy wierzchołek 4, który leży najbliżej od Jak siȩ za chwile okaże ten wierzchołek ma już prawidłow a wartość i dlatego jest on usuwany z Teraz korygujemy wartości dla pozostałych wierzchołków z uwzglȩdniaj ac drogi, w których wierzchołek jest przedostatni Przykład 16 Rysunek 13 przedstawia graf z dodatnimi długościami krawȩdzi Poniższa tabela ilustruje działanie algorytmu Dijkstry Pokazuje jak w kolejnych iteracjach zewnȩtrznej pȩtli wybrano wierzchołek oraz jak przedstawiaj a siȩ zbiór i macierz iteracja Rysunek 13: Graf z dodatnimi długościami krawȩdzi Aby udowodnić poprawność tego algorytmu, pokażemy przez indukcjȩ, że po każdej iteracji pȩtli mamy (a dla każdego wierzchołka 4 drogi z do,, zawiera ostateczn a długość minimalnej zawiera długość minimalnej spośród wszyst- (b dla każdego wierzchołka 4 kich dróg z do, w których przedostatni wierzchołek należy do 4 Przed pierwsz a pȩtl a tylko, Warunki (a i (b s a wiȩc spełnione, Ponieważ w najkrótszej drodze do nie ma pȩtli, wiȩc drogi, w których jest przedostatni składaj a siȩ tylko z jednej krawȩdzi, a dla każdego innego wierzchołka 4

9 15 Najkrótsza droga w grafach acyklicznych 9 W kolejnej iteracji wybieramy wierzchołek 4, dla którego jest najmniejsza Pokażemy, że wartość jest już ostateczna, czyli jest równa długości najkrótszej spośród wszystkich dróg z do Przypuśćmy, że istnieje krótsza droga i niech bȩdzie takim wierzchołkiem, że droga z do zawiera tylko wierzchołki z i wierzchołek przed nie należy do Mamy, bo inaczej mielibyśmy sprzeczność z założeniem indukcyjnym, że zawiera długość najkrótszej spośród dróg, z których przedostatni wierz- chołek nie jest z Zauważmy, że droga z do ma długość równ a aktualnej wartości Z drugiej strony ponieważ długości s a nieujemne mamy sprzeczność z zasad a wyboru + Dlatego może być usuniȩty z Nastȩpnie algorytm sprawdza dla każdego 4, czy istnieje jakaś droga z do, w której wierzchołek jest przedostani i która jest krót- sza od aktualnej wartości Zauważmy, że dotychczasowa wartość zawierała długość najkrótszej drogi do, w których przedostatnim wierzchołkiem był jakiś wierzchołek z różny od Dlatego po tym sprawdzeniu bȩdzie spełniony warunek (b Czas działania algorytmu Dijkstry jest, ponieważ mamy tylko podwójne zagnieżdżenie pȩtli i liczba iteracji obu jest ograniczona przez 15 Najkrótsza droga w grafach acyklicznych Inny przypadek, kiedy można szybciej niż w czasie policzyć długości najkrótszych dróg do wszystkich wierzchołków w grafie, zachodzi wtedy, gdy w grafie nie ma cykli Najpierw pokażemy, że w grafie acyklicznym można tak ponumerować wierzchołki tak, każda krawȩdź prowadziła od wierzchołka z niższym numerem do wierzchołka z wyższym numerem Lemat 17 W każdym skierowanym grafie którego nie wchodz a żadne krawȩdzie bez cykli istnieje wierzchołek, do Dowód: Weźmy dowolny wierzchołek! Jeżeli nie wchodzi do niego, żadna krawȩdź, to koniec, znaleźliśmy Jeżeli wchodzi, to niech bȩdzie wierzchołkiem, z którego prowadzi krawȩdź do 8! Albo jest dobry, albo prowadzi do niego krawȩdź od jakiegoś wierzchołka itd Ponieważ zbiór wierzchołków jest skończony i nie ma w nim cyklu, wiȩc ten ci ag musi siȩ kiedyś skończyć i dojdziemy do wierzchołka, do którego nie prowadz a żadne krawȩdzie Lemat 18 W skierowanym grafie acyklicznym można tak ponumerować wierzchołki, aby każda krawȩdź prowadziła od wierzchołka z niższym numerem do wierzchołka z wyższym numerem, czyli istnieje wzajemnie jednoznaczna funkcja $#%#$#& taka, że jeżeli 2< , to Dowód:

10 10 Rozdział 1 Grafy skierowane Jako dowód przedstawimy algorytm, który odpowiednio numeruje wierzchołki grafu kolejnymi liczbami naturalnymi Najpierw s a numerowane i usuwane z grafu wierzchołki, do których nie wchodz a żadne krawȩdzie Po usuniȩciu tych wierzchołków i wychodz acych z nich krawȩdzi znowu otrzymamy graf bez cykli, który zawiera wierzchołki bez wchodz acych krawȩdzi Teraz te z koleji wierzchołki s a numerowane kolejnymi numerami i usuwane z grafu, i tak dalej aż do ponumerowania wszystkich wierzchołków Rysunek 14: Graf acykliczny Przykład 19 Zastosujmy powyższy algorytm do grafu z rysunku 14 Wierzchołkami bez wchodz acych krawȩdzi s a i Przypisujemy wiȩc i oraz usuwamy i z grafu wraz z wychodz acymi z nich krawȩdziami Teraz wierzchołek nie ma wchodz acych krawȩdzi, przypisujemy mu i usuwamy z grafu W dalszych kro- kach algorytm przypisze wartości ma postać:, oraz v s a b c d t Ostatecznie hunkcja Przedstawimy teraz algorytm wyliczaj acy odległości z do wszystkich wierzchołków w grafie acyklicznym Zakładamy przy tym, że w grafie wierzchołki s a ponumerowane tak, jak opisano to w lemacie 18 Bez straty ogólności można założyć, że jest pierwszy, ponieważ nie ma ścieżek z do wierzchołków o niższych numerach Algorytm wyliczaj acy odległości wszystkich wierzchołków w grafie acyklicznym ; Dane wejściowe: acykliczny graf skierowany, długości krawȩdzi Dane wyjściowe: Macierz odległości z do wszystkich wierzchołków dla każdego 4 podstaw ; dla każdego 4 po kolei według numerów zrób: < dla każdego, 2<

11 16 Zadania 11 Udowodnimy przez indukcjȩ, że po ( -tej iteracji zewnȩtrznej pȩtli wierzchołki o numerch od 1 do ( maj a już prawidłowe wartości w macierzy Po pierwszej iteracji ma prawidłow a wartość numerach od 1 do ( maj a już prawidłowe wartości w macierzy obliczamy ( Zauważmy, że najkrótsza droga z do / przebiega przez wierzchołki o mniejszych od ( wynosi 1 "/3 2< "/3 i zostanie odnaleziona w pȩtli W ( tej iteracji pȩtli (zakładamy, że wierzchołki o numerach Niech bȩdzie przedostatnim wierzchołkiem na tej drodze Długość tej drogi Ponieważ mamy podwójne zagnieżdżenie pȩtli i w obu liczba iteracji jest ograniczona przez, czas działania algorytmu jest Przykład 110 (kontynuacja przykładu 19 Jeżeli zastosujemy ten algorytm do grafu z rysunku 14, to w kolejnych iteracjach zewnȩtrznej pȩtli obliczy on,,,, oraz 16 Zadania 1 Narysuj wszystkie grafy skierowane ze zbiorem wierzchołków z nich s a spójne? Które z nich s a izomorficzne? Które Wskazówka: Definicja izomorfizmu grafów skierowanych jest taka sama jak dla grafów nieskierowanych 2 Które z grafów przedstawionych na rysunkach w tym rozdziale s a spójne? 3 Narysuj możliwie jak najwiȩcej nieizomorficznych grafów skierowanych z trzema wierzchołkami 4 Narysuj parȩ różnych i izomorficznych grafów skierowanych z możliwie najmniejsz a liczb a wierzchołków Rysunek 15: Graf skierowany 5 Zastosuj algorytm Dijkstry i znajdź najkrótsz a drogȩ z do w grafie z rysunku 15 6 Zastosuj algorytm Forda-Bellmana do grafu z rysunku 15 7 Znajdź najkrótsz a drogȩ z do w grafach z rysunków 13 i 14 8 Zastosuj algorytm Forda-Bellmana do grafów z rysunków 13 i 14

12 12 Rozdział 1 Grafy skierowane 17 Problemy 171 Cykl Eulera w grafie skierowanym Cykl Eulera w grafie skierowanym jest to droga zamknięta przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie jeden raz Udowodnij, że jeżeli graf skierowany jest spójny jako graf nieskierowany, to ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym jego wierzchołku liczba krawędzi wchodzących jest równa liczbie krawędzi wychodzących Jeżeli w grafie jest pętla, to liczymy ją jako krawędź wchodzącą do i jako wychodzącą z Zaproponuj algorytm wynajdywania cyklu Eulera w grafie skierowanym Które z grafów przedstawionych na rysunkach w tym rozdziale maj a cykle Eulera? 172 Ciag de Bruijna Ciąg de Bruijna rzędu to cykliczne ustawienie bitów takie, że każdy ciąg bitów występuje w tym cyklu dokładnie jeden raz jako kolejnych bitów Na przykład ciąg jest ciągiem de Bruijna rzędu 2 ( występuje na pozycjach 4 i 1, a ciąg jest ciągiem de Bruijna rzędu 3 ( występuje na pozycjach 7, 8 i 1, a na pozycjach 8, 1 i 2 % 0! : Aby otrzymaż ciąg de Bruijna rzędu rozważmy następujący graf skierowany G=(V,E Wierzchołki grafu to zbiór wszystkich ciągów bitów długosci Dwa wierzchołki, 4 tworzą krawędź, 4 wtedy i tylko wtedy, gdy ostatnich bitów jest takie samo jak pierwsze bitów Krawędź ta jest etykietowana ostatnim bitem Narysuj graf dla, i Udowodnij, że: Graf jest spójny (jako graf nieskierowany i posiada cykl Eulera Etykiety każdej drogi długości tworzą nazwę ostatniego wierzchołka tej drogi Cykl Eulera ma krawędzi i przechodzi przez każdy wierzchołek dwa razy Etykiety cyklu Eulera tworzą ciąg de Bruijna rzędu Wyznacz ciąg de Bruijna rzędu

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 2 czerwca 2002 roku 6 6 6 6 Rozdział 1 Grafy nieskierowane) Definicja 1.1 Graf nieskierowany) jest to para składaj aca siȩ ze skończonego zbioru wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko

Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Zakład systemów Informacyjnych Wrocław 10.01.2008 Agenda prezentacji Cechy sieci Algorytmy grafowe Badanie centralności Algorytmy wyznaczania centralności

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rekurencja 11 Wieże Hanoi Rekurencja jest to zdolność podprogramu (procedury lub funkcji) do wywoływania samego siebie Zacznijmy

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

5. Najkrótsze ścieżki

5. Najkrótsze ścieżki p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Poprawność programów Jeżeli projektujemy algorytmy lub piszemy programy, to ważne jest pytanie, czy nasz algorytm lub program

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

5c. Sieci i przepływy

5c. Sieci i przepływy 5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej

Bardziej szczegółowo

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016 Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka

Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część II - Sieci porównujące

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część II - Sieci porównujące Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część II - Sieci porównujące Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://kaims.eti.pg.gda.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://kaims.eti.pg.gda.pl/

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 11 Zdarzenia Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych,

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przykład. Przykład 1 Przykład 2. Twórcy Informacje wstępne Pseudokod Przykład. 1 Grafy skierowane z wagami - przypomnienie

Spis treści. Przykład. Przykład 1 Przykład 2. Twórcy Informacje wstępne Pseudokod Przykład. 1 Grafy skierowane z wagami - przypomnienie Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 1,11,1 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo