Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów"

Transkrypt

1 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów Rozważmy rysunki 1. Schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu 2. Drzewo prawdopodobieństwa przy rzucie moneta 3. Schemat organizacyjny firmy 4. Odległo sci drogowe między miastami Powyższe rysunki ilustruja zwiazki między pewnymi obiektami. Obiekty sa w nich oznaczone (na ogół) jako punkty, zaś fakt istnienia zwiazku jest zaznaczony istnieniem linii ł aczacej dane punkty. Dodatkowo, na rysunku 3, widać że zwiazki między obiektami moga mieć charakter jednostronny (skierowany), zaś na rysunku 4, zwiazki te sa opatrzone pewnymi wartościami liczbowymi (wagami). Rozważane schematy sa przykładami grafów. Spróbujemy sformułować precyzyjna definicję grafu. Niewatpliwie graf powinien zawierać punkty, które będziemy nazywać wierzchołkami. W skład grafu powinny też wchodzić poł aczenia wierzchołków, które nazwiemy krawędziami. Definicja powinna być na tyle ogólna, aby można nia objać jak największa liczbę sensownych przypadków. Nie powinniśmy więc rozważać charakteru wierzchołków (ich budowy wewnętrznej), ale traktować jako elementy abstrakcyjnego zbioru. Z kolei w krawędziach interesuje nas jedynie to jakie wierzchołki dana krawędź ł aczy (i ewentualnie kierunek poł aczenia lub jego waga). W tej sytuacji najprostszym rozwiazaniem wydaje się zdefiniowanie krawędzi ł aczacej wierzchołki a, b jako: zbioru {a, b} w przypadku "bez strzałek", pary (a, b) w przypadku "ze strzałkami". 1

2 Podane ujęcie prowadzi do definicji TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 2 Grafu nieskierowanego jako pary G = (V, E), gdzie V oraz E {{a, b} ; a, b V }, Grafu skierowanego jako pary G = (V, E), gdzie V oraz E V V. Takie definicje można znaleźć w wielu ksiażkach z teorii grafów. Zauważmy, że dla grafu skierowanego podana definicja jest niemal identyczna z definica relacji dwuargumentowej w zbiorze V : relacja = E = zbiór krawędzi, dziedzina relacji = V = zbiór wierzchołków. Podane definicje maja jednak wadę. Nie obejmuja przypadku, w którym istnieja wierzchołki poł aczone kilkoma różnymi krawędziami. Przykładowo, w grafie mostów królewieckich jedna z wysp ł acza z brzegami po dwa mosty. Konieczność rozróżnienia krawędzi ł aczacych te same wierzchołki zmusza nas do zrezygnowania z wygodnego utożsamienia krawędzi ze zbiorem (lub para) jej końców i przyjęcia, że krawędzie należa również do abstrakcyjnego zbioru E. W tej sytuacji musimy jednak określić zwiazek między wierzchołkami i krawędziami, czyli ustalić, które wierzchołki sa końcami danej krawędzi. Skoncentrujmy nasze rozważania na grafach nieskierowanych. Będziemy potrzebować funkcji γ : E {{a, b} ; a, b V }. Dla krawędzi k wartość γ (k) będzie zbiorem końców tej krawędzi. Możemy zatem podać formalna definicję. Grafem lub grafem nieskierowanym nazywamy trójkę G = (V, E, γ), gdzie V = V G jest zbiorem niepustym, E = E G dowolnym zbiorem, zaś γ funkcja γ : E {{a, b} ; a, b V }. Elementy zbioru V nazywamy wierzchołkami lub węzłami grafu, zaś elementy zbioru E jego krawędziami. Jeżeli γ (k) = {a, b}, to wierzchołki a, b nazywamy końcami krawędzi k. Mówimy wtedy, że krawędź k ł aczy te wierzchołki oraz że wierzchołki a, b sa incydentne z k. Wierzchołki poł aczone krawędzi a nazywamy sasiednimi. Jeżeli wierzchołek nie jest końcem żadnej krawędzi, to mówimy, że jest izolowany. Jeżeli k i l sa różnymi krawędziami ł acza- cymi te same wierzchołki (tzn. γ (k) = γ (l)), to krawędzie te nazywamy wielokrotnymi. Krawędź, która ma tylko jeden koniec (γ (k) = {a}) nazywamy pętla. Graf bez krawędzi wielokrotnych i pętli nazywamy grafem prostym. Ćwiczenie 1. W poniższym grafie wskazać krawędzie wielokrotne, pętle i wierzchołki izolowane. Okre slíc jakie wierzchołki sa sasiednie z a, jakie sa incydentne z k 5 oraz znale zć krawędzie z którymi incydentny jest wierzchołek b. Jeśli k jest krawędzi a o końcach a i b, czyli taka, że γ (k) = {a, b}, to będziemy pisać k = ab lub k = {a, b}. Tak więc symbolem ab ({a, b}) będziemy oznaczać każda krawędź o końcach a i b. W grafach bez krawędzi wielokrotnych, krawędź ab jest wyznaczona jednoznacznie. Zwróćmy jeszcze uwagę na niejednoznaczność terminologii dotyczacej grafów. W niektórych ksiażkach termin graf oznacza graf bez krawędzi wielokrotnych lub graf prosty, natomiast to co my nazywamy grafem, występuje jako jako multigraf.

3 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 3 Stopniem wierzchołka a w grafie nazywamy liczbę deg a równa ilości krawędzi, których końcem jest a powiększon a o ilość pętli, których końcem jest a (zliczamy ile krawędzi "wychodzi" z a). Formalnie deg a = {k; a γ (k)} + {k; {a} = γ (k)}. Ćwiczenie 2. Obliczyć stopnie wierzchołków grafu z poprzedniego ćwiczenia. W definicji grafu nie ma żadnych ograniczeń dotyczacych mocy zbiorów V i E (oprócz V ). Niektóre wyniki da się udowodnić w tak ogólnym przypadku. Nas jednak będa interesować tylko grafy skończone. Uwaga 1. Od tego momentu zakładamy, że, wszystkie rozważane grafy sa skończone, tzn. maja skończona liczbę wierzchołków i krawędzi. Twierdzenie 1 (Lemat o uściskach dłoni). W dowolnym grafie a V G deg a = 2 E G. Dowód. Obliczajac sumę stopni wszystkich wierzchołków liczymy krawędzie wychodzace z tych wierzchołków. Krawędź ł aczac a różne wierzchołki liczymy dwukrotnie (przy obu końcach). Pętlę też liczymy dwa razy (przy jednym końcu). Wynika stad teza twierdzenia. Wniosek 1. W dowolnym grafie liczba wierzchołków stopnia nieparzystego jest parzysta. Ćwiczenie 3. Grupa studentów składa się z 25 osób. przyja zniła się z dokładnie pięcioma innymi? Czy jest możliwe, aby każda osoba Ćwiczenie 4. Udowodníc, że w grupie sze sciu osób zawsze istnieja trzy osoby znajace się nawzajem lub trzy osoby wzajemnie sobie nieznajome. Ćwiczenie 5. Pokazać, że w grupie n 2 osób istnieja zawsze dwie majace tyle samo znajomych. Sformułować zadanie w języku teorii grafów. Ćwiczenie 6. Sprawdzíc czy poniższe ciagi sa ciagami liczb wierzchołków kolejnych stopni w grafie (s i oznacza ilo sć wierzchołków stopnia i). Narysować odpowiednie grafy. (1) (s 0, s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 ) = (0, 3, 2, 2, 2, 1) (2) (s 0, s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 ) = (0, 3, 2, 1, 2, 1) Ćwiczenie 7. Niech (s 0, s 1,..., s n ) będzie ciagiem liczb całkowitych nieujemnych. Udowodníc, że następujace warunki sa równoważne: (1) (s 0, s 1,..., s n ) jest ciagiem liczb wierzchołków kolejnych stopni w pewnym grafie. (2) n is i jest liczba parzysta. (3) i=0 is i - niep. is i jest liczba parzysta (4) {i; is i jest nieparzyste} jest liczba parzysta. Ćwiczenie 8 (Twierdzenie Turana). Pokazać, że jeżeli G jest grafem prostym bez trójk atów takim, że V G = 2n, to E G n 2.

4 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 4 Zgodnie z definicj a, poniższe rysunki przedstawiaj a ten sam graf Jeśli natomiast przyjmiemy, że różne litery oznaczaja różne wierzchołki, to grafy sa różne, bo maja różne zbiory wierzchołków. W wielu sytuacjach wygodne jest utożsamianie tych grafów, bo maja "taka sama strukturę" - tyle samo wierzchołków poł aczonych w ten sam sposób krawędziami. Sformułujemy kryterium pozwalajace rozstrzygać, czy grafy maja "taka sama strukturę". Izomorfizmem grafów G i H nazywamy parę (α, β) bijekcji α : V G V H, β : E G E H takich, że dla dowolnych wierzchołków a, b V G i dowolnej krawędzi k E G zachodzi (IN) k ł aczy a i b β (k) ł aczy α (a) i α (b). Mówimy wtedy, że G jest izomorficzny z H i piszemy G H. Własność 1. Dla dowolnych grafów G, H, K (1) G G. (2) Jeżeli G H, to H G. (3) Jeżeli G H i H K, to G K. Ćwiczenie 9. Udowodníc własno sć 1. Z własności 1 wynika, że w dowolnej rodzinie grafów, relacja izomorficzności jest równoważnościa. Pozwala to mówić, że grafy sa izomorficzne, bez zaznaczania który jest izomorficzny z którym. Niech k i l będa różnymi krawędziami wielokrotnymi o tych samych końcach a i b. Wówczas β (k) β (l) oraz końcami tych krawędzi sa α (a) i α (b). Zatem β (k) i β (l) też sa różnymi krawędziami wielokrotnymi. Oznacza to, że izomorfizm przekształca graf z krawędziami wielokrotnymi na graf z krawędziami wielokrotnymi i w konsekwencji graf izomorficzny do grafu bez krawędzi wielokrotnych, też nie ma krawędzi wielokrotnych. Niech (α, β) : G H będzie izomorfizmem grafów bez krawędzi wielokrotnych. Weźmy dowolna krawędź k E G i oznaczmy jej końce przez a i b. Wtedy β (k) ł aczy wierzchołki α (a) i α (b). Ponieważ w grafie bez krawędzi wielokrotnych istnieje co najwyżej jedna krawędź ł aczaca ustalone wierzchołki, więc wartość β (k) jest jednoznacznie wyznaczona przez α (a) i

5 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 5 α (b). Zatem funkcja α wyznacza jednoznacznie funkcję β. Powyższa uwaga pozwala łatwo udowodnić następujac a własność. Własność 2. Grafy bez krawędzi wielokrotnych G, H sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja α : V G V H taka, że dla dowolnych wierzchołków a, b V G zachodzi (IN ) a i b sa sasiednie α (a) i α (b) sa sasiednie. Korzystajac z własności 2 można przyjać, że izomorfizmem między grafami bez krawędzi wielokrotnych jest bijekcja α spełniaj aca (IN ). Oczywista jest również Własność 3. Jeżeli G = (V, E, γ) jest grafem bez krawędzi wielokrotnych oraz E 0 = γ (E), to G 0 = (V, E 0, id E0 ) jest grafem izomorficznym z G. Teoria grafów zajmuje się na ogółbadaniem struktury grafów. Pozwala to utożsamiać grafy izomorficzne (bo jeżeli rozważana własność zachodzi dla jednego grafu, to zachodzi też dla grafów z nim izomorficznych). Z własności 3 wynika, że graf G bez krawędzi wielokrotnych może być utożsamiany (jest izomorficzny) z grafem G 0 o tych samych wierzchołkach i takim, że E 0 {{a, b} ; a, b V 0 } oraz γ 0 = id E0. "Zapominajac" o funkcji identycznościowej, możemy więc definiować taki graf jako parę (V 0, E 0 ). Ćwiczenie 10. Udowodníc własno sci 2 i 3. Ćwiczenie 11. Udowodníc, że poniższe grafy sa izomorficzne Aby pokazać, że grafy sa izomorficzne wystarczy wskazać izomorfizm. Pokazanie "z definicji", że grafy nie sa izomorficzne jest bardziej kłopotliwe. Dlatego nieizomorficzności grafów dowodzi się, na ogół, przez wskazanie, że jeden z nich ma własność, której nie ma drugi. Rozważana własność musi być przy tym niezmiennikiem izomorfizmu, tzn. jeśli ma ja pewien graf, to maja ja również wszystkie grafy z nim izomorficzne. Ponieważ α i β sa bijekcjami, więc niezmiennikiem izomorfizmu jest liczba wierzchołków grafu, a także liczba krawędzi grafu. Aby uzyskać ciekawsze niezmienniki rozważymy zbiór E ab złożony ze wszystkich krawędzi ł aczacych ustalone wierzchołki a, b grafu. Z definicji stopnia wierzchołka wynika natychmiast Własność 4. Dla dowolnego wierzchołka a grafu G zachodzi równo sć deg a = + E aa. v V G E av Dla dowolnych wierz- Własność 5. Niech (α, β) : G H będzie izomorfizmem grafów. chołków a, b V G zachodzi

6 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 6 (1) β (E ab ) = E α(a)α(b). (2) E ab = Eα(a)α(b). (3) deg a = deg α (a). Dowód. Weźmy dowolna krawędź l E H. Ponieważ β jest bijekcja, więc istnieje krawędź k E G taka, że β (k) = l. Mamy przy tym β (k) β (E ab ) różnow. k E ab a, b - końce k (IN) α (a), α (b) - końce β (k) β (k) E α(a)α(b) Dowodzi to warunku (1). Ponieważ β jest bijekcja, więc (2) wynika z (1). Z kolei z równości ( ) β E av = β (E av ) = E α(a)α(v) = E α(a)w v V G v V G v V G w V H dostajemy, korzystajac z własności 4, ( ) deg a = E av + E aa = β E av + β (E aa) = v V G v V G = + Eα(a)α(a) = deg α (a). w V H E α(a)w Twierdzenie 2. Niech m N {0}. Następujace własno sci sa niezmiennikami izomorfizmu grafów. (1) Liczba wierzchołków. (2) Liczba krawędzi. (3) Liczba wierzchołków stopnia m. (4) Liczba par wierzchołków poł aczonych m krawędziami. (5) Liczba pętli m-krotnych. Dowód. Niech (α, β) : G H będzie izomorfizmem grafów. Ponieważ α, β sa bijekcjami więc V H na = α (V G ) różnow. = V G, E H na = β (E G ) różnow. = E G, czyli zachodza warunki (1) i (2). Oznaczmy przez A zbiór wszystkich wierzchołków stopnia m w G, zaś przez B zbiór wszystkich wierzchołków stopnia m w H. Z własności 5.3 wynika, że α (A) B. Weźmy dowolny wierzchołek b B. Ponieważ α jest bijekcja, więc b = α (a), gdzie a G. Stad na podstawie własności 5.3 deg a = deg α (a) = deg b = m. Zatem a A i w konsekwencji b = α (a) α (A). Dowodzi to inkluzji B α (A). Ostatecznie B = α (A), czyli B = α (A) = A,

7 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 7 co kończy to dowód (3). Dowody własności (4) i (5) pozostawiamy jako ćwiczenie. Ćwiczenie 12. Udowodníc własno sci (4) i (5) z poprzedniego twierdzenia. Możliwość utożsamiania grafów izomorficznych pozwala, w przypadku większości rozważań, pomijać nazwy wierzchołków, nazwy krawędzi, a nawet jedne i drugie. Graf możemy więc, w zależności od potrzeb, zapisać w postaci Ćwiczenie 13. Sprawdzíc, które z poniższych grafów sa izomorficzne Ćwiczenie 14. Narysować wszystkie (z dokładno sci a do izomorfizmu) (1) Grafy o 3 wierzchołkach i 3 krawędziach. (2) Grafy proste o 4 wierzchołkach i 4 krawędziach. Ćwiczenie 15. Znale zć wszystkie nieizomorficzne grafy, których ci ag liczb wierzchołków kolejnych stopni jest równy (0, 3), (0, 4), (0, 0, 3), (0, 0, 4).

8 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 8 Podamy teraz kilka przykładów. Grafem pustym nazywamy graf, który nie ma krawędzi. Graf pusty o n wierzchołkach oznaczamy N n. Ponieważ dowolne dwa grafy puste o n wierzchołkach sa izomorficzne, więc oznaczenie to ma sens. Grafem pełnym lub klika nazywamy graf prosty, którego dowolne, różne wierzchołki sa poł aczone krawędzi a. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy K n. Ćwiczenie 16. Obliczyć liczbę krawędzi grafu K n. Grafami platońskimi nazywamy grafy wielościanów foremnych, tzn. 4, 6, 8, 12 i 20- ścianu. Graf czworościanu (K 4 ) Graf sześcianu Graf ośmiościanu Graf dwunastościanu Graf dwudziestościanu

9 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 9 Inne interesujace grafy Graf Petersena Graf Grötzscha Grafem regularnym nazywamy graf, którego wszystkie wierzchołki maja ten sam stopień. Jeżeli wszystkie wierzchołki maja stopień r, to mówimy, że graf jest regularny stopnia r lub r-regularny. Grafy regularne stopnia 3 nazywamy kubicznymi. Grafem kubicznym jest np. graf Petersena oraz grafy czworścianu, sześcianu i dwunastościanu. Graf ośmiościanu jest 4-regularny, a graf dwudziestościanu - 5-regularny. Grafy puste sa 0-regularne, zaś graf pełny K n jest regularny stopnia n 1. Mówimy, że G jest grafem dwudzielnym jeżeli istnieja rozł aczne i niepuste zbiory wierzchołków A, B takie, że V G = A B oraz dowolna krawędź w grafie ł aczy wierzchołek ze zbioru A z wierzchołkiem ze zbioru B. Pełnym grafem dwudzielnym nazywamy taki graf dwudzielny, w którym każdy wierzchołek z A jest poł aczony dokładnie jedna krawędzi a z każdym wierzchołkiem z B. Pełny graf dwudzielny taki, że A = n i B = m oznaczamy K n,m. Graf dwudzielny K 1,3 K 2,3 Grafy, które nie sa dwudzielne Podgrafem grafu G = (V, E, γ) nazywamy dowolny graf G 0 = (V 0, E 0, γ 0 ) taki, że V 0 V, E 0 E i γ 0 = γ E 0. Oznacza to, że podgraf dostajemy z grafu usuwajac z niego pewna

10 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 10 liczbę wierzchołków i krawędzi w ten sposób, żeby byłto nadal graf (nie może zostać krawędź bez końca). Szczególnie często w rozważaniach pojawiaja się dwa rodzaje podgrafów. Jeżeli E E, to symbolem G\E oznaczamy graf powstały z G przez usunięcie wszystkich krawędzi z E (wierzchołki bez zmian), czyli G \ E = (V, E \ E, γ E \ E ). Jeżeli V V, to symbolem G \ V oznaczamy graf powstały z G przez usunięcie wszystkich wierzchołków z V oraz wszystkich krawędzi majacych choć jeden koniec w V. Formalnie gdzie E = {k E; γ (k) V }. G \ V = (V \ V, E \ E, γ E \ E ) G G \ {k 1, k 2, k 3 } G \ {b} G \ {c} Zajmiemy się teraz grafami skierowanymi. Pominiemy pewne szczegóły, gdyż definicje i własności sa bardzo podobne do omawianych dla grafów nieskierowanych. Grafem skierowanym lub digrafem (directed graph) nazywamy trójkę G = (V, E, γ), gdzie V = V G jest zbiorem niepustym, E = E G dowolnym zbiorem, zaś γ funkcja γ : E V V. Elementy zbioru V nazywamy wierzchołkami digrafu, zaś elementy zbioru E jego krawędziami. Krawędzie w grafie skierowanym bywaja też nazywane łukami. Jeżeli γ (k) = (a, b), to mówimy, że a jest poczatkiem, zaś b końcem krawędzi k oraz że krawędź k biegnie od a do b. Graficznie będziemy to oznaczać strzałk a w kierunku końca krawędzi. Jeżeli wierzchołek nie jest poczatkiem ani końcem żadnej krawędzi, to mówimy, że jest izolowany. Krawędź, która ma taki sam poczatek i koniec (γ (k) = (a, a)) nazywamy pętla. Jeżeli k i l sa różnymi krawędziami o tym samym poczatku i tym samym końcu (tzn. γ (k) = γ (l)), to krawędzie te nazywamy wielokrotnymi. Zauważmy, że w grafie k 1 i k 2 sa krawędziami wielokrotnymi, zaś k 3 nie jest. Graf skierowany bez krawędzi wielokrotnych i pętli nazywamy digrafem prostym. Podobnie jak w przypadku grafów nieskierowanych, każda krawędź k o poczatku a i końcu b (czyli taka, że γ (k) = (a, b)) będziemy oznaczać jako ab lub (a, b). Stopniem wejściowym wierzchołka a nazywamy liczbę indeg a równa ilości wszystkich krawędzi, których końcem jest a (wchodzacych do a), zaś stopniem wyjściowym liczbę

11 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 11 outdeg a równa ilości wszystkich krawędzi, których poczatkiem jest a (wychodzacych z a). Liczbę deg a = indeg a + outdeg a nazywamy stopniem wierzchołka a. Ćwiczenie 17. Obliczyć stopnie wej sciowe i wyj sciowe wierzchołków grafu Podgraf grafu skierowanego definujemy tak samo jak dla grafu nieskierowanego, tzn. podgrafem (skierowanym) digrafu G = (V, E, γ) nazywamy dowolny digraf G 0 = (V 0, E 0, γ 0 ) taki, że V 0 V, E 0 E i γ 0 = γ E 0. Uwaga 2. W dalszej czę sci wykładu termin graf będzie używany w dwojaki sposób. W sensie węższym, czyli zgodnie z definicja "graf"="graf nieskierowany". W sensie szerszym "graf"="graf nieskerowany lub skierowany". Nie powinno to prowadzíc do nieporozumień, gdyż z kontekstu będzie wynikać o co chodzi. Powiemy jeszcze o przekształcaniu grafu skierowanego w nieskierowany i na odwrót. Niech G = (V, E, γ) będzie grafem skierowanym. Z digrafu G można utworzyć graf nieskierowany G N przez "usunięcie strzałek z krawędzi" Formalnie, G N = (V, E, γ N ), gdzie dla krawędzi k o poczatku a i końcu b, tj. takiej, że γ (k) = (a, b) przyjmujemy γ N (k) = {a, b}. Graf G N nazywamy szkieletem lub wersja nieskierowan a digrafu G. Załóżmy teraz, że G = (V, E, γ) jest grafem nieskierowanym. Z grafu G tworzymy digraf G S zostawiajac pętle i zastępujac każda z krawędzi ł aczacych różne wierzchołki, para krawędzi przeciwnie skierowanych.

12 Digraf G S nazywamy wersja skierowan a grafu G. TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 12 Ćwiczenie 18. (1) Sformułować formalna definicję skierowanej wersji grafu. (2) Zbadać zwiazek między stopniem wierzchołka w digrafie G i jego szkielecie G N. (3) Zbadać zwiazek między stopniem wierzchołka w grafie G i jego wersji skierowanej G S. (4) Zbadać czy dla dowolnego digrafu G zachodzi G (G N ) S. (5) Zbadać czy dla dowolnego grafu G zachodzi G (G S ) N. Podobnie jak w pzypadku grafów nieskierowanych będziemy zajmować sie tylko digrafami skończonymi, czyli takimi, że V + E <. Lemat o uściskach dłoni przyjmuje dla digrafów następujac a postać Twierdzenie 3 (Lemat o uściskach dłoni). W dowolnym grafie skierowanym indeg a = outdeg a = E G. a V G a V G Izomorfizmem grafów skierowanych G i H nazywamy parę (α, β) bijekcji α : V G V H, β : E G E H takich, że dla dowolnych wierzchołków a, b V G i dowolnej krawędzi k E G (IS) k biegnie z a do b β (k) biegnie z α (a) do α (b). Mówimy wtedy, że G jest izomorficzny z H i piszemy G H. Izomorfizmy digrafów maja podobne własności jak izomorfizmy grafów. Własność 6. Dla dowolnych grafów skierowanych G, H, K (1) G G. (2) Jeżeli G H, to H G. (3) Jeżeli G H i H K, to G K. Własność 7. Digrafy bez krawędzi wielokrotnych G, H sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja α : V G V H taka, że dla dowolnych wierzchołków a, b V G (IS ) istnieje krawęd z biegnaca z a do b istnieje krawęd z biegnaca z α (a) do α (b). Własność 8. Jeżeli G = (V, E, γ) jest digrafem bez krawędzi wielokrotnych oraz E 0 = γ (E), to G 0 = (V, E 0, id E0 ) jest digrafem izomorficznym z G. Własność 8 pokazuje, że digraf bez krawędzi wielokrotnych G jest izomorficzny z digrafem G 0 takim, że E 0 V V oraz γ 0 = id E0. Utożsamiajac G z izomorficznym digrafem G 0 oraz pomijajac funkcję identycznościow a stwierdzamy, że digraf bez krawędzi wielokrotnych można definiować jako parę (V, E 0 ) taka, że E 0 V V. Ćwiczenie 19. Udowodníc własno sci 6-8. Przypomnijmy jeszcze wspomniane wcześniej podobieństwo definicji digrafu (bez krawędzi wielokrotnych) i relacji dwuargumentowej. Ćwiczenie 20. Niech V = {1, 2, 3, 4}. Narysować grafy skierowane odpowiadaj ace relacji równo sci "=", mniejszo sci "<" i podzielno sci " ".

13 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 13 Uwaga 3. W dalszej czę sci wykładu będziemy czasem podawać definicje i twierdzenia równolegle w dwóch wersjach (np. dla grafów i digrafów). W takiej sytuacji różnice będa umieszczone w nawiasach kwadratowych [ ]. Zrobimy teraz kilka uwag na temat zapisywania grafów w postaci analitycznej, dogodnej do przetwarzania. Niech G będzie grafem [grafem skierowanym]. Ustawmy wierzchołki G w ciag (a 1, a 2,..., a n ). Macierza sasiedztwa grafu [digrafu] G nazywamy macierz M = [m ij ] i,j n, gdzie m ij jest ilościa krawędzi ł aczacych a i z a j [o poczatku a i oraz końcu a j ]. Ćwiczenie 21. Znale zć macierze sasiedztwa grafów Macierz sasiedztwa grafu nie jest wyznaczona jednoznacznie, bo zależy od sposobu ustawienia wierzchołków w ciag. Można sprawdzić, że jeśli M jest macierza sasiedztwa, to każda inna macierz sasiedztwa da się uzyskać przez permutację wierszy macierzy M, a następnie taka sama permutację kolumn. Jeżeli (α, β) : G H jest izomorfizmem grafów (skierowanych lub nieskierowanych) oraz V G = {a 1, a 2,..., a n }, to macierze sasiedztwa odpowiadajace ciagom (a 1, a 2,..., a n ) i (α (a 1 ), α (a 2 ),..., α (a n )) sa równe. Oznacza to, że w grafach izomorficznych można tak ponumerować wierzchołki, aby dostać równe macierze sasiedztwa. Oczywiście, również na odwrót, grafy o równych macierzach sasiedztwa sa izomorficzne. Ćwiczenie 22. Pokazać, że grafy [digrafy] sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy można tak ponumerować ich wierzchołki, by dostać równe macierze sasiedztwa. Z macierzy sasiedztwa łatwo odczytać podstawowe własności grafu. W szczególności mamy Własność 9. Niech G będzie grafem lub digrafem oraz M = [m ij ] i,j n jego macierza sasiedztwa. (1) Jeżeli G jest grafem nieskierowanym, to macierz M jest symetryczna (M = M T ). (2) G nie ma krawędzi wielokrotnych m ij 1 dla wszystkich i, j. (3) G nie ma pętli m ii = 0 dla wszystkich i. (4) Jeżeli G jest grafem skierowanym, to indeg a i = n j=1 m ji oraz outdeg a i = n j=1 m ij. (5) Jeżeli G jest grafem nieskierowanym, to deg a i = m ii + n j=1 m ij = m ii + n j=1 m ji Ćwiczenie 23. Niech G będzie grafem o macierzy sasiedztwa (1) Odpowiedzieć na poniższe pytania bez rysowania grafu

14 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 14 (a) Czy G jest grafem skierowanym, czy nieskierowanym? (b) Ile wierzchołków, krawędzi, krawędzi wielokrotnych oraz pętli jest w G? (c) Ile wynosi deg a 1 (oraz ewentualnie indeg a 1 i outdeg a 1 )? (2) Narysować G. Reprezentacja grafu przy pomocy macierzy sasiedztwa jest bardzo wygodna. Z punktu widzenia programisty ma jednak poważna wadę. Zapisujac graf w ten sposób musimy zarezerwować w pamięci miejsce na tablicę rozmiaru V G 2. Jest to szczególnie niekorzystne gdy graf jest rzadki, tzn. E G V G 2 (w macierzy sasiedztwa jest dużo zer). W takiej sytuacji zamiast macierzy sasiedztwa, często stosuje się listy sasiedztwa. Jest to tablica rozmiaru V G, w której każdemu wierzchołkowi odpowiada lista wierzchołków z nim sasiednich. Dla grafu nieskierowanego z ćwiczenia 21 mamy [[2], [1, 2, 4, 5], [ ], [2, 5, 5, 5], [2, 4, 4, 4]]. W grafie skierowanym zamiast listy sasiadów można wziać listę następników, czyli wierzchołków, do których biegna krawędzie z danego wierzchołka. Dla grafu skierowanego z ćwiczenia 21 będzie to [[2, 2, 3], [ ], [1, 2, 3, 3]]. Jeszcze innym sposobem analitycznego przedstawienia grafu jest macierz incydencji. Ustawiamy wierzchołki i krawędzie grafu nieskierowanego w ciagi (a 1, a 2,..., a n ) i (k 1, k 2,..., k m ). Macierza incydencji grafu nazywamy macierz P = [p ij ] i n,j m, gdzie p ij = { 1; a i jest końcem k j, 0; a i nie jest końcem k j P = Dla grafu skierowanego można wprowadzić dodatkowa wartość (np. poczatku i końca krawędzi. 1) dla rozróżnienia 1. C E H Na pierwszym wykładzie pojawiłsię schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu.

15 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 15 W roku 1736 Leonard Euler rozwiazałproblem dotyczacy możliwości odbycia wycieczki, w której przechodzimy dokładnie jeden raz przez każdy most i wracamy do punktu wyjścia. Wynik Eulera jest uważany za poczatek teorii grafów. Schemat mostów można zapisać w postaci grafu. Zadanie sprowadza się do znalezienia zamkniętej ścieżki prostej zawierajacej wszystkie krawędzie tego grafu. Zamknięta ścieżkę prosta zawierajac a wszystkie krawędzie grafu nazywamy cyklem Eulera lub obwodem Eulera. Otwarta ścieżkę prosta zawierajac a wszystkie krawędzie grafu nazywamy ścieżka Eulera. Graf posiadajacy cykl Eulera nazywamy grafem eulerowskim, zaś posiadajacy ścieżkę Eulera - grafem półeulerowskim. Uwaga 4. Nazwa cykl Eulera stanowi niekonsekwencję w stosunku do stosowanej na wykładzie terminologii, bo cykl Eulera nie musi być cyklem (wierzchołki moga się powtarzać). Będziemy jednak używać tego terminu, gdyż jest powszechnie stosowany w literaturze. Rozważmy cykl Eulera t w grafie G. Interesuje nas stopień pewnego wierzchołka tego grafu. Każda krawędź pojawia się w t dokładnie raz. Aby policzyć stopień wierzchołka, wystarczy znaleźć wszystkie jego wystapienia w ścieżce t i sprawdzić ile krawędzi tam z nim sasiaduje (dopuszczamy liczenie tej samej krawędzi dwukrotnie w przypadku pętli:... aka...). Ponieważ jednak ścieżka t jest zamknięta, więc każdy wierzchołek sasiaduje z dwiema krawędziami (pętla dwa razy z ta sama krawędzi a). Wynika stad, że stopień dowolnego wierzchołka jest parzysty. Udowodniliśmy ak 1 bk 2 dk 3 ek 4 fk 5 gk 6 ek 7 dk 8 ck 9 ck 10 a Twierdzenie 4. Wszystkie wierzchołki grafu eulerowskiego maja stopień parzysty. Twierdzenie 4 rozwiazuje problem mostów królewieckich. Ponieważ wszystkie wierzchołki w tym grafie maja stopień nieparzysty, więc graf nie ma cyklu Eulera. Udowodniliśmy, że parzystość stopni wierzchołków jest warunkiem koniecznym istnienia cyklu Eulera. Leonard Euler pokazał, że dla grafów spójnych jest to również warunek dostateczny. Dowód tego twierdzenia przeprowadzimy wskazujac algorytm znajdujacy cykl Eulera przy podanych wyżej założeniach. Będzie to algorytm Fleury ego. Jego działanie polega na tym, że startujac z dowolnego wierzchołka, idziemy dowolna droga dbajac jedynie by:

16 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 16 po drodze usuwać krawędzie, przez które przeszliśmy oraz wierzchołki izolowane, przez mosty przechodzić tylko wtedy, gdy nie ma innej możliwości. Dla grafu G oraz jego wierzchołka a zdefiniujmy procedurę: Fleury(G, a) x := a % wierzchołek, do którego doszliśmy budujac ścieżkę d 0 := a % ścieżka, która zbudowaliśmy V 0 := V G % wierzchołki pozostałe do odwiedzenia E 0 := E G % krawędzie pozostałe do odwiedzenia while E 0 do znajdź krawędź k = xy E 0 taka, że G 0 \{k} jest spójny lub x jest izolowany w G 0 \{k} d 0 := d 0 ky E 0 := E 0 \ {k} if x jest izolowany w G 0 then V 0 := V 0 \ {x} x := y d := d 0 Twierdzenie 5. Niech G będzie grafem spójnym, w którym wszystkie wierzchołki maja stopień parzysty oraz a dowolnym wierzchołkiem G. Wynikiem działania procedury Fleury(G, a) jest cykl Eulera d. Dowód. Zakładamy, że G jest grafem spójnym, w którym wszystkie wierzchołki maja stopień parzysty. Udowodnimy kolejno kilka faktów. Jeżeli nie zaznaczymy inaczej, sformułowania będa dotyczyć poczatku i końca dowolnej iteracji. (1) G 0 = (V 0, E 0 ) jest grafem (końce krawędzi z E 0 należa do V 0 ).

17 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 17 Na wejściu mamy G 0 = G, czyli (1) zachodzi. Warunek jest niezmiennikiem pętli, bo usunięcie z G 0 krawędzi i wierzchołka izolowanego nie psuje warunku (1). (2) G 0 jest spójny. Na starcie mamy G 0 = G, czyli spójność wynika z założenia. Warunek jest niezmiennikiem pętli, bo z G 0 usuwamy albo krawędź, która nie jest mostem, albo krawędź wraz z końcem, który jest liściem (porównaj wniosek??). (3) Jeśli x = a, to wszystkie wierzchołki w G 0 maja stopień parzysty. (3 ) Jeśli x a, to x i a sa jedynymi wierzchołkami stopnia nieparzystego w G 0. Na wejściu mamy x = a. Warunek (3) wynika z założenia o parzystości stopni wszystkich wierzchołków, natomiast implikacja (3 ) jest prawdziwa, bo ma fałszywy poprzednik. Udowodnimy teraz, że koniunkcja warunków (3) i (3 ) jest niezmiennikiem pętli. W tym celu załóżmy, że na poczatku pętli oba warunki zachodza. Pokażemy, że warunki zachodza na końcu pętli. Zauważmy, że jedynymi wierzchołkami, których stopień zmienia się w trakcie iteracji sa x i y oraz że x przyjmuje nowa wartość x y. Jeśli na poczatku x = a i usuwamy pętlę k = xx, to na końcu mamy x = a (x x) oraz deg x = deg a jest o 2 mniejszy niż na poczatku, czyli parzysty. Jeśli na poczatku x = a i usuwamy krawędź k = xy, dla y x, to na końcu mamy x a (x y). Stopień wierzchołka a jest o 1 mniejszy niż na poczatku, czyli nieparzysty. Stopień wierzchołka x jest o 1 mniejszy niż stopień wierzchołka y na poczatku, czyli też nieparzysty. Jeśli na poczatku x a i usuwamy krawędź k = xa, to na końcu mamy x = a (x a) oraz stopień wierzchołka a jest o 1 mniejszy niż na poczatku, czyli parzysty. "Stary" wierzchołek x ma stopień o 1 mniejszy niż na poczatku, czyli również parzysty. Zatem w G 0 nie ma wierzchołków stopnia nieparzystego. Jeśli na poczatku x a i usuwamy pętlę k = xx, to na końcu mamy x a (x x). Stopień wierzchka a jest nieparzysty (nie zmieniłsię). Stopień wierzchołka x jest o 2 mniejszy niż na poczatku, czyli też nieparzysty. Jeśli na poczatku x a i usuwamy krawędź k = xy, dla y / {a, x}, to na końcu mamy x a (x y). Stopień wierzchołka a jest nieparzysty (nie zmieniłsię). Stopień wierzchołka x jest nieparzysty jako stopień wierzchołka y zmniejszony o 1. Stopień "starego" wierzchołka x też zmniejszyłsię o 1, czyli jest parzysty. Ostatecznie jedynymi wierzchołkami stopnia nieparzystego sa a i x. Tak więc koniunkcja warunków (3) i (3 ) jest niezmiennikiem pętli. (4) Jeśli E 0, to można znaleźć krawędź k = xy E 0 taka, że G 0 \ {k} jest spójny lub x jest izolowany w G 0 \ {k}. Ponieważ G 0 jest spójny i niepusty, więc deg G0 x > 0. Rozpatrzmy przypadki. deg G0 x = 1. Niech k = xy będzie jedyna krawędzi a w G 0, której końcem jest x. Wtedy x jest wierzchołkiem izolowanym w G 0 \ {k}, czyli zachodzi (4). deg G0 x > 1. Pokażemy, że istnieje krawędź k incydentna z x taka, że G 0 \ {k} jest spójny. W

18 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 18 tym celu wystarczy pokazać, że wśród krawędzi incydentnych z x, jest co najwyżej jeden most. Przypuśćmy nie wprost, że istnieja wierzchołki y z, dla których krawędzie k = xy i l = xz sa mostami. W grafie H = G 0 \ {k, l} nie istnieje ścieżka ł aczaca y i z (w przeciwnym razie k i l nie byłyby mostami). Wierzchołek a nie może zatem należeć do obu składowych H y i H z jednocześnie. Przyjmijmy, że a / H y (jeśli a / H z, dowód jest podobny). Z (3) i (3 ) wynika, że jedynymi wierzchołkami nieparzystego stopnia w G 0 moga być a, x i w konsekwencji jedynymi wierzchołkami nieparzystego stopnia w H moga być a, x, y, z. Ponieważ y x i y a więc deg G0 y jest liczba parzysta, czyli deg H y jest liczba nieparzysta. Z drugiej strony a, x, z / H y i w konsekwencji y jest jedynym wierzchołkiem nieparzystego stopnia w H y. Jest to sprzeczne z Lematem o uściskach dłoni. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że (4) zachodzi również w tym przypadku. (5) d 0 jest poprawnie zdefiniowan a ścieżka o końcu x. Na wejściu mamy d 0 = a = x, czyli d 0 jest ścieżka trywialna o końcu x. W pętli do d 0 dodajemy krawędź k = xy i wierzchołek y, czyli otrzymujemy ścieżkę o końcu y. Ponieważ w ostatniej instrukcji pętli w x wstawiamy y, więc warunek (5) jest niezmiennikiem pętli. (6) d 0 jest ścieżka prosta. Na wejściu, czyli dla d 0 = a, warunek (6) jest oczywisty. Ponieważ krawędź k dodawana do d 0 jest wybierana spośród tych, które nie należa do d 0, więc (6) jest niezmiennikiem pętli. (7) Procedura zatrzyma się. W każdej iteracji usuwamy z E 0 jedna krawędź. Teza wynika więc ze skończoności E G. (8) d jest cyklem Eulera. Po wyjściu z pętli mamy G 0 =, czyli ścieżka prosta d = d 0 zawiera wszystkie krawędzie grafu G. Ponadto mamy wtedy deg G0 a = deg G0 x = 0. Z (3) i (3 ) wnioskujemy więc, że x = a, czyli ścieżka d jest zamknięta. Kończy to dowód twierdzenia. Natychmiastowym wnioskiem z udowodnionego twierdzenia oraz twierdzenia 4 jest zapowiedziana wcześniej charakteryzacja spójnych grafów eulerowskich. Twierdzenie 6 (Eulera). Graf spójny posiada cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wierzchołki sa stopnia parzystego.

19 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 19 Uwaga 5. Spójno sć grafu nie jest warunkiem koniecznym istnienia cyklu Eulera. Graf może mieć wierzchołki izolowane, np. Konieczne jest jednak by wszystkie krawędzie należały do jednej składowej. Twierdzenie 7. (1) Jeżeli w grafie G istnieje scieżka Eulera ł aczaca wierzchołki a i b, to a, b sa jedynymi wierzchołkami stopnia nieparzystego. (2) Jeżeli w grafie spójnym G istnieja dokładnie dwa wierzchołki stopnia nieparzystego, to w G istnieje scieżka Eulera ł aczaca te wierzchołki. Dowód. (1) Niech d = a... b będzie ścieżka Eulera. Dodajac do grafu G krawędź k = ab dostajemy graf G = G {k} posiadajacy cykl Eulera a... bka. Z twierdzenia 4 wynika, że wszystkie wierzchołki grafu G maja stopień parzysty. Zatem po usunięciu krawędzi k, jej końce a, b będa jedynymi wierzchołkami stopnia nieparzystego w G. (2) Załóżmy, że a i b sa jedynymi wierzchołkami stopnia nieparzystego w grafie spójnym G. Dodajac do G krawędź k = ab dostajemy graf G = G {k} o wierzchołkach stopnia parzystego. Z twierdenia Eulera wynika istnienie cyklu Eulera w G. Usuwajac z niego krawędź k dostajemy ścieżkę Eulera w G. Stosujac chwyt z dodaniem krawędzi, można pokazać, że algorytm Fleury ego działa również w grafach spójnych majacych dwa wierzchołki stopnia nieparzystego. Należy jedynie jako wierzchołek startowy wybrać jeden z tych wierzchołków. Twierdzenie 8. Niech G będzie grafem spójnym posiadajacym dwa wierzchołki stopnia nieparzystego a i b. Wynikiem działania procedury Fleury(G, a) jest scieżka Eulera d ł aczaca a z b. Ćwiczenie 24. Udowodníc ostatnie twierdzenie. Ćwiczenie 25. Sprawdzíc czy poniższe figury można narysować bez odrywania pióra od kartki i bez rysowania żadnej linii dwukrotnie. Jeżeli można, to zaznaczyć poczatek i ponumerować linie w kolejno sci rysowania Ćwiczenie 26. Czy mrówka może przej sć wzdłuż wszystkich krawędzi bryły A i wrócíc do punktu wyj scia, nie przechodz ac żadnej krawędzi dwa razy? (1) A - czworo scian, (2) A - sze scian,

20 (3) A - o smio scian, (4) A - dwunasto scian, (5) A - dwudziesto scian. TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 20 Ćwiczenie 27. Czy kostki domina można ułożyć w zamknięta łaman a, tak by sasiednie kostki stykały się kwadratami o tych samych numerach? Ćwiczenie 28. Sprawdzíc dla jakich warto sci n, m N poniższe grafy sa eulerowskie lub półeulerowskie. (1) Graf pełny K n. (2) Pełny graf dwudzielny K nm. Ćwiczenie 29. Sprawdzíc czy poniższe grafy sa eulerowskie lub półeulerowskie. Jeżeli sa, to znale zć cykl Eulera lub scieżkę Eulera (wskazać poczatek i ponumerować krawędzie) Ćwiczenie 30. Czy można obej sć cały dom przechodzac przez każde drzwi dokładnie jeden raz? Jaka będzie odpowied z, je sli zamkniemy drzwi między dużymi pokojami? Ćwiczenie 31. (1) Czy możliwe jest przej scie szachownicy ruchem skoczka szachowego, tak by każdy z możliwych ruchów byłwykonany dokładnie raz (w jednym lub drugim kierunku)?

21 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 21 (2) Rozwiazać zadanie zastępujac szachownicę rozmiaru 8 8, szachownica n n, n N. Ćwiczenie 32. Niech G będzie d-regularnym grafem o 2d + 1 wierzchołkach. Pokazać, że (1) je sli G jest spójny, to jest eulerowski, (2) je sli G jest prosty, to jest eulerowski. Zajmowaliśmy się ścieżkami prostymi zawierajacymi wszystkie krawędzie grafu. Rozważmy teraz problem istnienia w grafie zamkniętej ścieżki prostej przechodzacej dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek grafu. Poczatki problemu pochodza od "łamigówki Hamiltona", tzn. od rozważań sir Williama Hamiltona dotyczacych istnienia takiej ścieżki w grafie dwunastościanu (1856). Cyklem Hamiltona w grafie nazywamy cykl zawierajacy wszystkie wierzchołki grafu. Graf posiadajacy cykl Hamiltona nazywamy grafem hamiltonowskim. Ścieżka Hamiltona nazywamy ścieżkę prosta bez powtarzajacych się wierzchołków zawierajac a wszystkie wierzchołki grafu. Cykl Hamiltona jest, oczywiście, ścieżka Hamiltona. Zachodzi też Własność 10. (1) Graf pełny K n jest hamiltonowski dla n 3. (2) Dodanie krawędzi do grafu hamiltonowskiego daje graf hamiltonowski. Rozstrzygnięcie czy graf jest hamiltonowski jest o wiele trudniejsze niż sprawdzenie czy jest eulerowski. Nie znaleziono do tej pory sensownej charakteryzacji grafów hamiltonowskich. Musimy więc korzystać z wyników częściowych. Zaczniemy od warunków koniecznych, które ze swojej istoty maja "charakter negatywny", tzn. sa na ogółwykorzystywane w rozumowaniach typu "Jeśli graf nie spełnia warunku, to nie jest hamiltonowski" Jeśli d jest cyklem Hamiltona w grafie G, to cykl ten ł aczy wszystkie wierzchołki grafu, czyli graf jest spójny. Ponadto dowolny wierzchołek należy do tego cyklu, czyli musi mieć stopień 2. Z kolei, jeżeli stopień wierzchołka wynosi dokładnie 2, to obie incydentne z nim krawędzie musza należeć do cyklu d. Zachodzi zatem Własność 11. (1) Dowolny graf hamiltonowski jest spójny. (2) W grafie hamiltonowskim wszystkie wierzchołki maja stopień 2. (3) W grafie hamiltonowskim wszystkie krawędzie wychodzace z wierzchołków stopnia 2 należa do cyklu Hamiltona.

22 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 22 Poniższy graf nie jest hamiltonowski, bo ma wierzchołek stopnia 1. Z kolei gdyby graf posiadałcykl Hamiltona, to cykl ten zawierałby wszystkie krawędzie incydentne z wierzchołkami stopnia 2, czyli miałby 6 krawędzi. Jest to niemożliwe, bo cykl o 5 wierzchołkach ma 5 krawędzi. W konsekwencji graf nie jest hamiltonowski. Załóżmy, że graf ma n 3 wierzchołków. Wtedy żadna pętla nie należy do cyklu Hamiltona. Ponadto, spośród kilku krawędzi ł aczacych te same wierzchołki, tylko jedna może należeć do cyklu Hamiltona. Wynika stad, że w takim przypadku, usunięcie z grafu pętli oraz krawędzi wielokrotnych (poza jedna dla każdej pary wierzchołków) nie wpływa na istnienie cyklu Hamiltona. Mamy zatem Własność 12. Niech G będzie grafem o przynajmniej trzech wierzchołkach. Jeżeli graf G jest hamiltonowski, to hamiltonowski jest też graf powstały przez usunięcie z G wszystkich pętli oraz wszystkich krawędzi poza jedna dla każdej pary wierzchołków sasiednich. Znalezienie cyklu Hamiltona grafu po lewej stronie sprowadza się do znalezienia cyklu Hamiltona grafu po prawej stronie. Ćwiczenie 33. Sprawdzíc, czy powyższe grafy sa hamiltonowskie. Kolejny warunek podamy w formie luźnej uwagi, a nie formalnej własności. Cykl Hamiltona o n wierzchołkach ma n krawędzi. Zauważyliśmy jednak wyżej, że pętle (gdy n > 1) i część krawędzi wielokrotnych nie wchodza do cyklu Hamiltona, czyli nie sa to krawędzie "istotne". Podobnie wyglada sytucja w przypadku krawędzi incydentnych z wierzchołkiem stopnia > 2. Tylko dwie z tych krawędzi moga się znaleźć w cyklu Hamiltona, czyli wszystkie pozostałe nie sa "istotne". Tak więc

23 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 23 Graf hamiltonowski o n wierzchołkach powinien mieć przynajmniej n krawędzi "istotnych". Rozważmy prawy graf z ostatniego przykładu. Wierzchołki leżace na środkach boków kwadratu maja stopień 3. Zatem po jednej krawędzi incydentnej z każdym z tych wierzchołków nie może znaleźć się w cyklu Hamiltona. W grafie jest zatem co najwyżej 8 "istotnych" krawędzi. Ponieważ graf ma 9 wierzchołków, więc nie może być hamiltonowski. Bardzo prosty warunek konieczny istnienia cyklu lub ścieżki Hamiltona można sformułować dla grafów dwudzielnych. Twierdzenie 9. Niech G będzie grafem dwudzielnym oraz V = A B podziałem jego wierzchołków. (1) Jeżeli w G istnieje scieżka Hamiltona, to liczby A i B różnia się co najwyżej o 1. (2) Jeżeli G ma cykl Hamiltona, to A = B. Dowód. Załóżmy, że d = a 1 a 2... a n jest ścieżka Hamiltona w G. Możemy przyjać, że a 1 A (jeśli a 1 B, to dowód jest podobny). Wtedy a 2 B, a 3 A, itd. Ogólnie a i A dla i nieparzystych oraz a i B dla i parzystych. Stad A B = { 1 gdy n jest nieparzyste, 0 gdy n jest parzyste. Kończy to dowód (1). Załóżmy teraz, że d jest cyklem Hamiltona, czyli a n = a 1. Wtedy A = {a 1, a 3,..., a n 2 } oraz B = {a 2, a 4,..., a n 1 }, czyli A = B. Ćwiczenie 34. Sprawdzíc czy poniższe grafy sa hamiltonowskie [posiadaj a scieżkę Hamiltona]. G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6

24 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 24 G 7 (graf Petersena) G 8 (graf Grötzscha) Ćwiczenie 35. Wiadomo, że na szachownicy 8 8 można przej sć ruchem skoczka szachowego wszystkie pola i wrócíc do punktu wyj scia. Czy to samo można zrobíc na szachownicy 9 9. Sformułujemy teraz warunki dostateczne na to by graf prosty byłhamiltonowski. Będa one miały postać: "Jeżeli graf prosty ma dużo krawędzi, to jest hamiltonowski" Twierdzenie 10 (Orego). Niech G będzie grafem prostym o n 3 wierzchołkach. Jeżeli (*) deg a + deg b n dla dowolnych niesasiednich a, b, to G jest hamiltonowski. Dowód. Niech n = 3 oraz a, b będa niesasiednimi wierzchołkami. Wtedy deg a 1 i deg b 1, czyli deg a + deg b 2 < n. Poprzednik implikacji jest zatem fałszywy, czyli implikacja jest prawdziwa. Przypuśćmy nie wprost, że twierdzenie jest fałszywe. Oznacza to, że dla pewnej liczby n 4 istnieje niehamiltonowski graf prosty o n wierzchołkach spełniaj acy (*). Spośród grafów o tej własności wybierzmy ten, który ma najwięcej krawędzi i nazwijmy go G. Dodajac do G krawędź k ł aczac a jakiekolwiek niesasiednie wierzchołki, dostajemy graf hamiltonowski. Usuwajac z cyklu Hamiltona dodana wcześniej krawędź k otrzymujemy zatem otwarta ścieżkę Hamiltona a 1 a 2... a n w G. Ponieważ G nie jest hamiltonowski, więc wierzchołki a 1 i a n nie sa sasiednie i w konsekwencji deg a 1 + deg a n n. Pokażemy, że istnieje j {3,..., n 1} takie, że a 1 a j, a j 1 a n E G. Przyjmijmy A = {i; a 1 a i E G } oraz B = {i; a i 1 a n E G }. Widać, że A B {2,..., n}, czyli A B n 1. Stad A B = A + B A B = deg a 1 + deg a n A B n (n 1) = 1

25 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I 25 i w konsekwencji istnieje j A B. Ponieważ a 1 a n 3 j n 1, co oznacza, że / E G, więc n / A oraz 2 / B. Zatem a 1... a j 1 a n... a j a 1 jest cyklem Hamiltona wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Natychmiastow a konsekwencj a Twierdzenia Orego jest Twierdzenie 11 (Diraca). Niech G będzie grafem prostym o n 3 wierzchołkach. Jeżeli deg a n 2 dla dowolnego wierzchołka a, to G jest hamiltonowski. Ćwiczenie 36. Udowodníc Twierdzenie Diraca. Twierdzenie 12. Jeżeli graf prosty o n wierzchołkach ma więcej niż 1 (n 1) (n 2) krawędzi, to jest hamiltonowski. Ćwiczenie 37. (1) Udowodníc poprzednie twierdzenie. Porównać je z ćwiczeniem??. (2) Dla dowolnej liczby n 3 znale zć niehamiltonowski graf prosty o n wierzchołkach i 1 (n 1) (n 2) + 1 krawędziach. 2 Warunki podane w trzech ostatnich twierdzeniach nie sa warunkami koniecznymi. Graf dwunastostościanu ma n = 20 wierzchołków, 30 krawędzi oraz wszystkie wierzchołki maja stopień 3. Nie sa więc spełnione założenia żadnego z rozważanych twierdzeń mimo, że graf jest hamiltonowski. Podobnie graf cykliczny C n jest hamiltonowski, a nie spełnia założeń żadnego z twierdzeń dla n > 4. Ćwiczenie 38. W grupie złożonej z 2n uczniów każdy ma co najmniej n przyjaciół. Pokazać, że można ich ustawíc parami, tak by każdy uczeń trzymałza ręka przyjaciela.

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa

TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV Drzewa Drzewem lub drzewem wolnym nazywamy dowolny graf spójny i acykliczny. Drzewa Ćwiczenie 1. Narysować wszystkie, z dokłado sci a do izomorfizmu, drzewa o 1, 2, 3,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

Przeszukiwanie grafów

Przeszukiwanie grafów TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁV Przeszukiwanie grafów Wiedza o istnieniu interesujacego nas obiektu (np. drzewa spinajacego) jest w praktycznych zastosowaniach mało przydatna. Na ogółpotrzebujemy informacji

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow 9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016 Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r. 1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4. Grafy skierowane

Wyk lad 4. Grafy skierowane Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)

Bardziej szczegółowo