Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV"

Transkrypt

1 Graf skierowany (digraf) zbiór wierzchołków i zbiór krawędzi skierowanych łączących (co najwyżej jeden raz) uporządkowane pary wierzchołków. Mówimy wtedy, że krawędź łączy pierwszy wierzchołek z drugim (albo, że prowadzi od pierwszego wierzchołka do drugiego). Nie dopuszczamy krawędzi wielokrotnych, ale przyjmujemy, że każdy wierzchołek ma jedną pętlę Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV

2 Ścieżka skierowana ciąg wierzchołków, w którym każdy jest połączony krawędzią ze swoim następnikiem. Mówimy, że wierzchołek t jest osiągalny z s, jeśli istnieje ścieżka skierowana z s do t.

3 Przykład grafu skierowanego Lista wierzchołków i krawędzi

4 Reprezentacja dla digrafów jest taka sama jak dla grafów nieskierowanych Macierz sąsiedztwa

5 Lista sąsiedztwa

6 Jeśli każdy wierzchołek digrafu posiada pętlę oraz każdej krawędzie skierowanej odpowiada krawędź w przeciwną stronę, nie ma różnicy pomiędzy reprezentacjami grafów skierowanych i nieskierowanych.

7 Stopień wejściowy (indegree) wierzchołka, to liczba krawędzi wychodzących z tego wierzchołka, a stopień wyjściowy (outdegree) wierzchołka, to liczba krawędzi wychodzących z tego wierzchołka. Żaden wierzchołek nie jest osiągany z wierzchołka o stopniu wejściowym 0, zwanego ujściem. Wierzchołek o stopniu wejściowym 0, zwany źródłem, nie jest osiągany z żadnego innego wierzchołka.

8 Stopień wejściowy (indegree) wierzchołka, to liczba krawędzi wychodzących z tego wierzchołka, a stopień wyjściowy (outdegree) wierzchołka, to liczba krawędzi wychodzących z tego wierzchołka. Żaden wierzchołek nie jest osiągany z wierzchołka o stopniu wejściowym 0, zwanego ujściem. Wierzchołek o stopniu wejściowym 0, zwany źródłem, nie jest osiągany z żadnego innego wierzchołka. n, m ilość wierzchołków i krawędzi

9

10 Odwrotnością digrafu nazywamy digraf otrzymany przez odwrócenie kierunków wszystkich krawędzi. Odwrotności używamy wtedy, kiedy chcemy wiedzieć, skąd krawędzie przychodzą.

11 Reprezentacja macierzowa a odwrotność digrafu Tworzymy kopię macierzy i transponujemy ją (czyli zamieniamy wiersze z kolumnami) Albo Jeżeli wiemy, że graf nie będzie modyfikowany zamieniamy miejscami końce krawędzi przy odwołaniach do nich, np. krawędź s-t jest oznaczona 1 w adj[s][t], a w odwrotności grafu 1 byłaby w adj[t][s]. Zatem, jeśli wywołujemy edge(s, t), to w odwrotności wystarczy wywołać edge(t,s ). Albo Utrzymujemy dwie reprezentacje każdej krawędzi skierowanej, ale z dodatkowym bitem informacji określającym kierunek

12 template <class ingraph, class outgraph> void reverse(const ingraph &G, outgraph &R) { for(int v = 0; v < G.V(); v++) { typename ingraph::adjiterator A(G,v); for (int w = A.beg();!A.end(); w = A.nxt()) R.insert(Edge(w, v)); } } Odwracanie digrafu funkcja dodaje odwrócone krawędzie digrafu wskazanego przez pierwszy argument do digrafu z drugiego argumentu.

13 Dag skierowany graf acykliczny, czyli digraf bez cykli skierowanych.

14 Digraf jest silnie spójny, jeśli każdy jego wierzchołek jest osiągalny z dowolnego innego. Dwa wierzchołki w digrafie s i t są silnie połączone, jeśli istnieje ścieżka skierowana z s do t i z t do s. Własność 1. Digraf, który nie jest silnie spójny, składa się ze zbioru silnie spójnych składowych (silnych składowych), będących maksymalnymi podgrafami silnie spójnymi oraz ze zbioru krawędzi pomiędzy silnymi składowymi.

15 Definicja. Dla danego digrafu D, określamy digraf K(D) o własnościach: każdy wierzchołek odpowiada jednej silnej składowej w D, każda krawędź odpowiada zbiorowi krawędzi w D, łączących wierzchołki pomiędzy właściwymi składowymi (odpowiadającymi obu końcom krawędzi z K(D)). Wówczas K(D) jest dagiem, który nazywamy jądrem digrafu D składowe Ten digraf ma 4 silne składowe Jądro digrafu

16 Jakie problemy mogą pojawiać się w digrafach? Wykrywanie cykli skierowanych czy digraf posiada cykle skierowane (czy jest dagiem)? Własność Digraf jest dagiem wtedy i tylko wtedy, gdy - podczas sprawdzania go algorytmem przeszukiwania w głąb nie napotkamy krawędzi powrotnych Osiągalność z pojedynczego źródła jakie wierzchołki są osiągane z danego wierzchołka początkowego s, ile jest takich wierzchołków? Własność. Problem osiągalności z pojedynczego źródła s można rozwiązać za pomocą algorytmu przeszukiwania w głąb rozpoczętego w wierzchołku s w czasie proporcjonalnym do liczby krawędzi podgrafu indukowanego przez wierzchołki osiągalne z s.

17 Pozostaje rozważyć algorytm przeszukiwania w głąb DFS, czyli Depth- First-Search (jest również algorytm przeszukiwania wszerz BSF) grafu. Zaczniemy od grafu nieskierowanego. Idea jest podobna do przechodzenia przez drzewo w kolejności pre-order (najpierw rodzic, a potem rekursywnie - dzieci)

18 Pozostaje rozważyć algorytm przeszukiwania w głąb DFS, czyli Depth- First-Search (jest również algorytm przeszukiwania wszerz BSF) grafu. Zaczniemy od grafu nieskierowanego. Idea jest podobna do przechodzenia przez drzewo w kolejności pre-order (najpierw rodzic, a potem rekursywnie - dzieci) Algorytm odwiedza sąsiadów korzystając z rekurencji. Wędrując z u do v, rekurencyjnie odwiedzamy wszystkich sąsiadów v do tej pory nieodwiedzonych, potem wracamy do u. Możliwe jest, że w2 nie był odwiedzany, kiedy rekurencyjnie odwiedzaliśmy w1, ale zostanie odwiedzony w czasie, gdy powrócimy z wywołania rekurencyjnego.

19 Fragment algorytmu zapisany w pseudokodzie.

20 Jak to działa? Co było poprzednikiem?

21

22

23

24

25

26

27 RDS(7) kończy, bo już nie ma nieodwiedzonych sąsiadów.

28 Jak tym algorytmem znajdywać ścieżkę?

29 Otrzymujemy w ten sposób drzewo ścieżek DFS

30 Złożoność czasowa DFS z zastosowaniem list sąsiedztwa: Nigdy nie odwiedzamy wierzchołka więcej niż raz. Sprawdzamy zatem wszystkie wierzchołki grafu (wiemy, że suma stopni wszystkich wierzchołków jest równa 2E. Dla każdego wierzchołka zabiera to czas proporcjonalny do stopnia wierzchołka +1. Stąd czas wykonania DFS jest proporcjonalny do sumy ilości wierzchołków i krawędzi, czyli O(V+E).

31 Złożoność czasowa DFS z zastosowaniem macierzy sąsiedztwa: Czas wykonania DFS jest proporcjonalny do kwadratu ilości wierzchołków, czyli O(V 2 ). Wniosek: Czas działania algorytmu DFS jest liniowy względem rozmiaru struktury danych użytej do reprezentowania grafu.

32 Możemy wzbogacić rysunek drzewa dla algorytmu DFS, aby uzyskać więcej informacji. Dwie reprezentacja każdej przetwarzanej krawędzi ( w obu kierunkach) Algorytm bada wszystkie krawędzie Jedna reprezentacja każdej przetwarzanej krawędzi Drzewo DFS jest innym sposobem przedstawienia grafu

33 Krawędź do jeszcze nie odwiedzonego wierzchołka Prowadzą do wierzchołków, dla których DFS jest w trakcie wywołania rekurencyjnego DFS napotkał krawędź prowadzącą do wierzchołka już odwiedzonego Obejście drzewa w porządku prefiksowym jest takie samo jak kolejność badania krawędzi grafu przez DFS

34 Jeśli w grafie po lewej usuniemy szare wierzchołki (środkowy rysunek) i zastąpimy wierzchołki zewnętrzne krawędziami, to otrzymamy na powrót wyjściowy graf (prawy rysunek) Krawędź do jeszcze nie odwiedzonego wierzchołka Prowadzą do wierzchołków, dla których DFS jest w trakcie wywołania rekurencyjnego DFS napotkał krawędź prowadzącą do wierzchołka już odwiedzonego Obejście drzewa w porządku prefiksowym jest takie samo jak kolejność badania krawędzi grafu przez DFS

35 Krawędzie Drzewowe reprezentują wywołania rekurencyjne Powrotne łączą wierzchołki z ich przodkami nie będącymi ich ojcami w drzewie DFS Gałąź drzewowa krawędź z wierzchołka v do w, jeśli w jest nienaznaczony Gałąź do ojca krawędź z wierzchołka v do w, jeśli wskaźnik na ojca w jest równy v Gałąź powrotna krawędź z wierzchołka v do w, jeśli numer w porządku prefiksowym w jest mniejszy niż numer w porządku prefiksowym v Gałąź zstępująca krawędź z wierzchołka v do w, jeśli numer w porządku prefiksowym w jest większy niż numer w porządku prefiksowym v

36 Jeśli graf nie jest spójny, to dynamikę przeszukiwania DFS można opisać za pomocą lasu DFS, zawierającym po jednym drzewie dla każdej składowej spójnej. Używając reprezentacji grafu w postaci list sąsiedztwa odwiedzamy krawędzie w innej kolejności, niż wtedy, gdy użyjemy reprezentacji grafu w postaci macierzy sąsiedztwa.

37 Las DFS odpowiada przeszukiwaniu w głąb grafu reprezentowanego w postaci macierzy sąsiedztwa. Graf posiada 3 składowe spójne, więc las zawiera 3 drzewa. Do okrągłych wierzchołków prowadzą krawędzie drzewa, do kwadratowych krawędzie powrotne. Szary kolor wskazuje, że krawędzie do tych wierzchołków zostały już wcześniej napotkane w odwrotnej orientacji.

38 Las DFS odpowiada przeszukiwaniu w głąb grafu reprezentowanego w postaci listy sąsiedztwa. Graf posiada 3 składowe spójne, więc las zawiera 3 drzewa. Do okrągłych wierzchołków prowadzą krawędzie drzewa, do kwadratowych krawędzie powrotne. Szary kolor wskazuje, że krawędzie do tych wierzchołków zostały już wcześniej napotkane w odwrotnej orientacji.

39 Klasyfikacja krawędzi dla digrafów: Krawędzie drzewowe krawędzie reprezentujące wywołania rekurencyjne Krawędzie powrotne krawędzie prowadzące do przodka danego wierzchołka w drzewie DFS Krawędzie zstępujące krawędzie do potomka danego wierzchołka w drzewie DFS Krawędzie poprzeczne pozostałe krawędzie (nie prowadzą ani do potomka, ani do przodka w drzewie DFS)

40 Las DFS dla digrafu reprezentowanego za pomocą list sąsiedztwa Zewnętrzne węzły reprezentują wierzchołki już odwiedzone, pozostała część lasu jest digrafem o wszystkich krawędziach biegnących w dół.

41 Las DFS dla digrafu reprezentowanego za pomocą list sąsiedztwa Krawędź poprzeczna Zewnętrzne węzły reprezentują wierzchołki już odwiedzone, pozostała część lasu jest digrafem o wszystkich krawędziach biegnących w dół. Krawędź drzewowa do węzła wewnętrznego Krawędź zstępująca Krawędź powrotna

42 Własność. W lesie DFS dla digrafu krawędź do odwiedzanego węzła jest krawędzią powrotną, jeśli prowadzi do węzła o wyższym numerze postfiksowym krawędzią poprzeczną, jeśli prowadzi do węzła o niższym numerze prefiksowym krawędzią zstępującą, jeśli prowadzi do węzła o wyższym numerze prefiksowym

43 Lasy DFS dla tego samego digrafu mogą się znacznie różnić np. liczba drzew lasu DFS zależy od wyboru wierzchołka początkowego.

44 Czy digraf posiada cykle skierowane (czy digraf jest dagiem)? W grafach nieskierowanych każda krawędź do odwiedzanego wierzchołka wskazuje na istnienie cyklu, w digrafach trzeba rozważać krawędzie powrotne. Własność. Digraf jest dagiem wtedy i tylko wtedy, gdy podczas badania za pomocą DFS każdej krawędzi nie napotkamy krawędzi powrotnych.

45 Dowód. Każda krawędź powrotna należy do cyklu skierowanego zawierającego samą krawędź oraz ścieżkę w drzewie łączącą oba węzły, nie znajdziemy więc krawędzi powrotnych, przeszukując dag za pomocą DFS. W drugą stronę: wystarczy pokazać, że jeśli digraf posiada cykl, to DFS napotka krawędź powrotną. Jeśli v jest pierwszym wierzchołkiem cyklu odwiedzonym przez DFS, to wierzchołek ten ma najniższy numer prefiksowy spośród wszystkich krawędzi cyklu. Krawędź cyklu prowadząca do tego wierzchołka będzie więc krawędzią powrtoną: zostanie ona napotkana podczas wywołania rekurencyjnego z vi będzie prowadzić od pewnego węzła cyklu do węzła o niższym numerze prefiksowym.

46 Głównym celem DFS jest systematyczne odwiedzenie wszystkich wierzchołków i krawędzi Jakie wierzchołki są osiągane z danego wierzchołka początkowego s? Ile jest takich wierzchołków? Problem osiągalności z pojedynczego źródła

47 Głównym celem DFS jest systematyczne odwiedzenie wszystkich wierzchołków i krawędzi Jakie wierzchołki są osiągane z danego wierzchołka początkowego s? Ile jest takich wierzchołków? Problem osiągalności z pojedynczego źródła Własność Problem osiągalności z pojedynczego źródła s można rozwiązać za pomocą DFS rozpoczętego w wierzchołku s w czasie proporcjonalnym do liczby krawędzi podgrafu indukowanego przez wierzchołki osiągane z s.

48 Dowód. Własność ta jest prawdziwa dla grafu z jednym wierzchołkiem bez krawędzi. Dla dowolnego digrafu przeprowadzamy dowód indukcyjnie. Zakładamy, że własność zachodzi dla wszystkich digrafów o mniejszej liczbie wierzchołków. Wtedy pierwsza wzięta pod uwagę krawędź s dzieli digraf na podgrafy indukowane przez dwa zbiory wierzchołków: a) Wierzchołki możliwe do osiągnięcia po ścieżkach skierowanych niezawierających s i rozpoczynających się tą krawędzią b) Wierzchołki, do których nie da się dojść po ścieżkach skierowanych niezawierających s i rozpoczynających się tą krawędzią. Do tych podgrafów stosujemy założenie indukcyjne nie ma krawędzi z wierzchołków pierwszego podgrafu do innych niż s wierzchołków drugiego podgrafu. Krawędzie do s zostaną zignorowane, ponieważ wierzchołek s ma najniższy numer prefiksowy oraz wszystkie wierzchołki pierwszego podgrafu mają niższy numer prefiksowy niż dowolny wierzchołek drugiego podgrafu. Zatem wszystkie krawędzie z wierzchołków drugiego podgrafu wierzchołków pierwszego podgrafu zostaną pominięte.

49 Definicja Domknięciem przechodnim digrafu nazywamy digraf o tym samym zbiorze wierzchołków, dla którego krawędź z wierzchołka s do t istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w digrafie wyjściowym istnieje ścieżka skierowana z s do t. W domknięciu przechodnim z każdego wierzchołka wychodzą krawędzie do wszystkich osiągalnych z niego wierzchołków

50 Definicja Domknięciem przechodnim digrafu nazywamy digraf o tym samym zbiorze wierzchołków, dla którego krawędź z wierzchołka s do t istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w digrafie wyjściowym istnieje ścieżka skierowana z s do t. W domknięciu przechodnim z każdego wierzchołka wychodzą krawędzie do wszystkich osiągalnych z niego wierzchołków Własność Domknięcie przechodnie digrafu można wyznaczyć, konstruując dla niego macierz sąsiedztwa A, dodając pętlę dla każdego wierzchołka, a następnie obliczając A V

51 A V =A*A*A* *A mnożenie boolowskie macierzy boolowskiej przez siebie V razy. for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) for(i = 0; C[s][t] = 0; i < V; i++) C[s][t] += A[s][i]*B[i][t]; C=A*B for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) for(i = 0; C[s][t] = 0; i < V; i++) if(a[s][i] && B[i][t]) C[s][t]= 1; + or * and mnożenie macierzy boolowskich

52 A V =A*A*A* *A mnożenie boolowskie macierzy boolowskiej przez siebie V razy. for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) for(i = 0; C[s][t] = 0; i < V; i++) C[s][t] += A[s][i]*B[i][t]; C=A*B for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) for(i = 0; C[s][t] = 0; i < V; i++) if(a[s][i] && B[i][t]) C[s][t]= 1; + or * and mnożenie macierzy boolowskich C=A*A=A 2 dla każdej pary wierzchołków s i t, w C znajduje się krawędź z s do t wtedy i tylko wtedy, gdy mażna wskazać wierzchołek i, dla którego w A istnieją krawędzie z s do i oraz z i do t. Krawędzie w A 2 odpowiadają ścieżkom skierowanym o długości 2 w A. Jeśli do każdego wierzchołka dołączymy pętlę, to A 2 zawiera także wszystkie krawędzie z A.

53 Własność Domknięcie przechodnie digrafu można wyznaczyć, konstruując dla niego macierz sąsiedztwa A, dodając pętlę dla każdego wierzchołka, a następnie obliczając A V Dowód. Opierając się na poprzednim rozumowaniu, pokazuje się, że A 3 zawiera krawędzie odpowiadające ścieżkom o długości nie większej niż 3, A 4 o długości nie większej niż 4, itd. Ścieżki o długości większej niż V można pominąć, bo z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że na takiej ścieżce przynajmniej jeden wierzchołek musi wystąpić dwukrotnie (mamy ich tylko V). Taka ścieżka nie wnosi nic nowego do domknięcia przechodniego, ponieważ istnieje krótsze połączenie pomiędzy jej dwoma końcami

54 Złożoność czasowa: Mamy: V mnożeń macierzy, każde o czasie wykonania rzędu V 3, zatem wychodzi nam V 4. Dla mnożeń boolowskich mamy lg V operacji mnożenia macierzy, bo liczymy kolejno A 2, A 4, A 8,, aż wykładnik będzie większy bądź równy V. Stąd mamy V 3 lg V=A V.

55 Jeszcze prościej: Algorytm Warshalla wyznacza domknięcie przechodnie digrafu w czasie rzędu V 3. Algorytm dla gęstych digrafów: For(i = 0; i < V; i++) for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) if(a[s][i] && A[i][t]) A[s][t]= 1; Różnica tkwi w kolejności pętli for

56 Czy da się jeszcze poprawić algorytm Warshalla? For(i = 0; i < V; i++) for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) if(a[s][i] && A[i][t]) A[s][t]= 1; TAK Można skrócić czas wykonania algorytmu przesuwając sprawdzenie A[s][i] poza wewnętrzna pętlę (nie zależy od t). Unikamy t-krotnego wykonywania wewnętrznej pętli, gdy A[s][i]=0.

57 Czy da się jeszcze poprawić algorytm Warshalla? For(i = 0; i < V; i++) for(s = 0; s < V; s++) for(t = 0; t < V; t++) if(a[s][i] && A[i][t]) A[s][t]= 1; TAK Można skrócić czas wykonania algorytmu przesuwając sprawdzenie A[s][i] poza wewnętrzna pętlę (nie zależy od t). Unikamy t-krotnego wykonywania wewnętrznej pętli, gdy A[s][i]=0. Dla wielkich grafów rzadkich koszt wykonywania algorytmu jest wciąż duży!

58 Jak to poprawić? Nie jest potrzebna cała macierz, by wyznaczyć domknięcie przechodnie. Wystarczy sprawdzić istnienie jedynie niewielkiej liczby krawędzi, więc można wstępnie przetworzyć dany digraf, tzn. posługując się abstrakcyjnym typem danych, który udostępnia operację sprawdzania osiągalności posługujemy się wtedy terminem abstrakcyjnego domknięcia przechodniego.

59 Jak to poprawić? Nie jest potrzebna cała macierz, by wyznaczyć domknięcie przechodnie. Wystarczy sprawdzić istnienie jedynie niewielkiej liczby krawędzi, więc można wstępnie przetworzyć dany digraf, tzn. posługując się abstrakcyjnym typem danych, który udostępnia operację sprawdzania osiągalności posługujemy się wtedy terminem abstrakcyjnego domknięcia przechodniego. Własność. Sprawdzanie w stałym czasie osiągalności (abstrakcyjne domknięcie przechodnie) dla digrafu może być zrealizowane po wykonaniu operacji wstępnych w czasie rzędu V 3, przy wykorzystaniu pamięci rzędu V 2. Własność. Z wykorzystaniem DFS można uzyskać stały czas dla sprawdzania osiągalności dla abstrakcyjnego domknięcia przechodniego digrafu, wykonując operacje wstępne (wyznaczanie domknięcia przechodniego) w czasie rzędu V(V+E) i przy wykorzystaniu pamięci rzędu V 2

60 Dowód. DFS wyznacza wszystkie wierzchołki osiągalne z wierzchołka początkowego w czasie rzędu E, dla reprezentacji w postaci listy sąsiedztwa. Jeśli uruchomimy DFS V razy, jednokrotnie z każdego wierzchołka, to otrzymamy zbiory wierzchołków osiągalnych z każdego z wierzchołków (czyli domknięcie przechodnie) w czasie rzędu V(V+E).

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Algorytmy grafowe

Wykład 7. Algorytmy grafowe Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 2 Przeszukiwanie grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów 3. Spójność grafu,

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow 9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).

Bardziej szczegółowo

1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb.

1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. 1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. Algorytmy przeszukiwania w głąb i wszerz są najczęściej stosowanymi algorytmami przeszukiwania. Wykorzystuje się je do zbadania istnienia połączenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe . Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda Segmentacja obrazów cyfrowych Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp autor: Łukasz Chlebda 1 Segmentacja obrazów cyfrowych - temat pracy Temat pracy: Aplikacja do segmentacji

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4 Wykład Drzewa zbalansowane AVL i -3-4 Drzewa AVL Wprowadzenie Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Drzewa -3-4 Definicja drzewa -3-4 Operacje wstawiania

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Programowanie obiektowe

Programowanie obiektowe Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2015 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2015 1 / 21 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą mieć różne końce. Między dwoma wierzchołkami może

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania 2. Temat: Drzewa binarne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno

Podstawy programowania 2. Temat: Drzewa binarne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Instrukcja laboratoryjna 5 Podstawy programowania 2 Temat: Drzewa binarne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno 1 Wstęp teoretyczny Drzewa są jedną z częściej wykorzystywanych struktur danych. Reprezentują

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Programowanie obiektowe

Programowanie obiektowe Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2014 1 / 24 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016 Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 2014/2015. Drzewa BST c.d., równoważenie drzew, kopce.

ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 2014/2015. Drzewa BST c.d., równoważenie drzew, kopce. POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Automatyki i Robotyki ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 204/205 Język programowania: Środowisko programistyczne: C/C++ Qt Wykład 2 : Drzewa BST c.d., równoważenie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 BFS DFS Algorytm Dijkstry Algorytm Floyda-Warshalla Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne cz. 2

Programowanie dynamiczne cz. 2 Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy

Bardziej szczegółowo

Przypomnij sobie krótki wstęp do teorii grafów przedstawiony na początku semestru.

Przypomnij sobie krótki wstęp do teorii grafów przedstawiony na początku semestru. Spis treści 1 Drzewa 1.1 Drzewa binarne 1.1.1 Zadanie 1.1.2 Drzewo BST (Binary Search Tree) 1.1.2.1 Zadanie 1 1.1.2.2 Zadanie 2 1.1.2.3 Zadanie 3 1.1.2.4 Usuwanie węzła w drzewie BST 1.1.2.5 Zadanie 4

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania

Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Reprezentacja problemu w przestrzeni stanów Jedną z ważniejszych metod sztucznej

Bardziej szczegółowo

prowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325

prowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325 PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO INFORMATYKI. Drzewa i struktury drzewiaste

WSTĘP DO INFORMATYKI. Drzewa i struktury drzewiaste Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WSTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Drzewa i struktury drzewiaste www.agh.edu.pl DEFINICJA DRZEWA Drzewo

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Metody Kompilacji Wykład 3

Metody Kompilacji Wykład 3 Metody Kompilacji Wykład 3 odbywa się poprzez dołączenie zasad(reguł) lub fragmentów kodu do produkcji w gramatyce. Włodzimierz Bielecki WI ZUT 2 Na przykład, dla produkcji expr -> expr 1 + term możemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne drzewa. Marian M. Kędzierski. 26 listopada Wstęp Euler-Tour Trees Dynamiczna spójność Algorytm Dinica Link-Cut Trees

Dynamiczne drzewa. Marian M. Kędzierski. 26 listopada Wstęp Euler-Tour Trees Dynamiczna spójność Algorytm Dinica Link-Cut Trees Dynamiczne drzewa Marian M. Kędzierski 26 listopada 2009 Plan prezentacji Wstęp 1 Wstęp Zagadnienie dynamicznych drzew SPLITiJOINnadrzewachBST 2 Euler-TourTrees Operacje na ET-drzewach Rozszerzenia 3 Dynamicznaspójność

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3 Indukowane Reguły Decyzyjne I Wykład 3 IRD Wykład 3 Plan Powtórka Grafy Drzewa klasyfikacyjne Testy wstęp Klasyfikacja obiektów z wykorzystaniem drzewa Reguły decyzyjne generowane przez drzewo 2 Powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Metody uporządkowania

Metody uporządkowania Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której ilość zapełnień będzie

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

AiSD zadanie trzecie

AiSD zadanie trzecie AiSD zadanie trzecie Gliwiński Jarosław Marek Kruczyński Konrad Marek Grupa dziekańska I5 5 czerwca 2008 1 Wstęp Celem postawionym przez zadanie trzecie było tzw. sortowanie topologiczne. Jest to typ sortowania

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Wysokość drzewa Głębokość węzła

Wysokość drzewa Głębokość węzła Drzewa Drzewa Drzewo (ang. tree) zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, spójny i bez cykli. Drzewo posiada wyróżniony węzeł początkowy nazywany korzeniem (ang. root). Drzewo ukorzenione jest strukturą hierarchiczną.

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe opracował:

Bardziej szczegółowo

Metody uporządkowania

Metody uporządkowania Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której: o ilość zapełnień

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1: Piętnastka

Zadanie 1: Piętnastka Informatyka, studia dzienne, inż. I st. semestr VI Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe 2010/2011 Prowadzący: mgr Michał Pryczek piątek, 12:00 Data oddania: Ocena: Grzegorz Graczyk 150875 Marek Rogalski

Bardziej szczegółowo

dodatkowe operacje dla kopca binarnego: typu min oraz typu max:

dodatkowe operacje dla kopca binarnego: typu min oraz typu max: ASD - ćwiczenia IX Kopce binarne własność porządku kopca gdzie dla każdej trójki wierzchołków kopca (X, Y, Z) porządek etykiet elem jest następujący X.elem Y.elem oraz Z.elem Y.elem w przypadku kopca typu

Bardziej szczegółowo

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do

Bardziej szczegółowo

Porządek symetryczny: right(x)

Porządek symetryczny: right(x) Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Zastosowania stosów i kolejek. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Zastosowania stosów i kolejek. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Zastosowania stosów i kolejek Piotr Chrząstowski-Wachtel FIFO - LIFO Kolejki i stosy służą do przechowywania wartości zbiorów dynamicznych, czyli takich, które powstają przez dodawanie

Bardziej szczegółowo