1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.

Transkrypt

1 1. LISTA Lista Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje on pod koniec pierwszego roku wypªata wynosi 1000, je±li»yje pod koniec drugiego roku wypªata wynosi 3000, je±li»yje on pod koniec trzeciego roku wypªata wynosi Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. Porówna z wynikiem zadania Poda wzór na aktuarialn obecn warto± dla (30)-latka dla nast puj cego ubezpieczenia rentowego: (i) 1000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 30 do 40 lat, (ii) 2000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 40 do 50 lat, (iii) 5000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 50 do 60 lat, Poda dokªadny wynik dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.4 Zakªadaj c HU, obliczy Ā45, wiedz c,»e ä 45 = oraz A 45 = Pokaza,»e ā x:n obliczone dla staªego nat»enie ±miertelno±ci µ i sile stopy procentowej δ jest równe ā n obliczone przy sile stopy procentowej δ + µ. 1.6 Zaªó»my,»e Y jest obecn warto±ci renty ci gªej na caªe»ycie wypªacaj c 1 na rok dla (x)-latka. Dane jest ä x = 10 przy i = 1/24 = e δ 1, ä x = 6 przy i = e 2δ 1. Oblicz wariancj Y. 1.7 Udowodni nast puj ce zwi zki dotycz ce jednorazowej skªadki netto terminowej renty z doªu a x:n = ä x:n 1 + A 1 x:n, ä x:n = 1 + a x:n 1, a x:n = vä x:n A1 x:n,

2 2 1.8 Niech Y b dzie obecn warto±ci renty do»ywotniej dla 70-latka, gwarantuj cej mu wypªat 100 na pocz tku ka»dego roku. Obliczy Var(Y ) je±li wiadomo,»e A 69 = , 2 A 69 = , p 69 = 0.97, v = x-latek kupuje ubezpieczenia na»ycie pªatne na koniec roku ±mierci na 2-lata. Przy zawarciu umowy pªaci Π, a jesli prze»yje pierwszy ro pªaci Π/2. Zakªadaj c,»e skªadka jest netto, oblicz Π, wiedz c,»e: przyszªy czas»ycia ma rozkªad de Moivre'a z ω = 100, i = 4 oraz x = Udowodni P (Āx) = δāx. 1 Āx 1.11 Oblicz P x, je±li T 0 ma rozkªad wykªadniczy z g sto±ci (1/100)e x/100, x 0 oraz x = 40 i δ = 3% W przypadku jednostkowej polisy na caªe»ycie opªacanej skªadk o staªej intensyno±ci (powiedzmy Π), caªkowita strata ubezpieczyciela gdy ubezpieczony umrze w chwili t wynosi l(t) = v t Πā t. Wykaza,»e l(0) = 1, jest funkcja malej c i lim t l(t) = Π/δ. Wywnioskowa st d,»e istnieje dokªadnie jeden moment t 0, taki,»e caªkowita strata ubezpieczyciela wynosi 0, przed tym momentem jest dodatnia a po nim ujemna.

3 2. LISTA Lista Deniujemy nast puj ce modele dla ryzyka X. [1] Rozkªad»ycia osoby nowourodzonej ma dystrybuant : 0, x < 0, F 1 (x) = 0.01x, 0 x < 100, 1, x 100. Wsk. Rozwa»y najpierw zmienn losow Y o rozkªadzie jednostajnym U(0,1). Zastanowi si jak ztego skrzysta przy liczneiu charakterystyk X. [2] Kwota odszkodowania pªacona w dolarach za szkod automobilow ma dystrybuant : { F 2 (x) = 0, x < 0, 1 ( x+2000) 3, x 0. [3] Liczba szkód na polis w jednym roku ma dystrybuant : F 3 (x) = 0, x < 0, 0.5, 0 x < 1, 0.75, 1 x < 2, 0.87, 2 x < 3, 0.95, 3 x < 4, 1, x 4. [4] Wielko± odszkodowania za bª dy lekarskie ma rozkªad { F 4 (x) = 0, x < 0, 1 0.3e x, x 0. [5] Alternatywny model przyszªego czasu»ycia z [1]. Funkcja prze-»ycia jest dana wzorem S 5 (x) = { x, 0 x < 50, x, 50 x < 75

4 4 Podada funkcje g sto±ci (lub funkcj prawdopoobie«stwa) dla rozkªadów z modeli [1] do [3] i [5]. Co mo»na powiedzie o F 4. Obliczy ±redni, odchylenie standardowe, sko±no± i kurtoz dla rozkªadu z modelu [1][5]. 2.2 Rozkªad szkody w ubezpieczeniu samochodowym jest dany (wielko± szkody i w nawiasie prawdopodobie«stwo): 100 (0.4), 500 (0.2), 1000 (0.2), 2500 (0.1), (0.1). Obliczy funkcj prawdopodobie«stwa oraz warto± oczekiwan nadwy»ki straty (excess of loss) i wielko±ci Y L stop loss (lub cenzorowana z lewej po przesuni ciu) je±li d = 750. Wsk. e(d) = E (X d X > d) oraz E Y L = E (X d) Oblicz e(x) i E Y L dla modelu [1]. 2.4 Próba prosta rozmiaru 10 ma dwie szkody w wysoko±ci 400, siedem szkód 800, jedna Oszacowa empiryczn sko±no± pojedynczej szkody. 2.5 Wielko±ci szkód s 100, 200, 300, 400, 500 odpowiednio z prawdopodobie«stwami: 0.05, 0.20, 0.50, 0.20 i Obliczy sko±no± i kurtoz. 2.6 Dla modelu [2] obliczy Q 0.5 and Q Dla dystrybuanty F (x) = 1 x 2, x 1 obliczy wielko± modaln, ±redni i median. 2.8 Wielko± szkody po»arowej zale»y od czasu T = t trwania po»aru, i wyra»a si wzorem a(e bt 1). Pokaza,»e jesli T ma rozkªad wykªadniczy, to wielko± szkody ma rozkªad Pareto. Poda wspóªczynniki rozkªadu. 2.9 Z próby 1000 polis zdrowotnych oszacowano,»e 1300 jest ±redni rocznych korzy±ci wypªaconych z polisy, z odchyleniem standardowym 400. Na nast pny rok spodziewane jest,»e zostanie podpisanych 2500 kontraktów. Przy u»yciu centralnego twierdzenia granicznego oszacowa prawdopodobie«stwo,»e wypªacone korzy±ci b d wi ksze ni» 101% oszacowanej ±redniej. Zadania teoretyczne 2.10 Je±li X N (µ, σ 2 ), to VaR α (X) = µ + σφ 1 (α) oraz TVaR α (X) = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α.

5 2. LISTA Policzy VaR α (X) oraz TVaR α (X) dla rozkªadu wykªadniczego oraz Pareto Pokaza,»e VaR α (X) ma nast puj ce wªasno±ci: monotoniczno± X Y implikuje VaR α (X) VaR α (Y ). dodatnia jednorodno± VaR α (cx)= c VaR α (X). niezmienniczo± na przesuni cia VaR α (X + c)= VaR α (X) + c Pokaza,»e je±li ryzyko X ma g sto± f, to TVaR α (X) = 1 α Q s ds 1 α. Czy jest prawd,»e wzór powy»szy jest prawdziwy dla wszystkich rozkªadów? 2.14 Niech X ma zero obci ty rozkªad geometryczny (TGeo(β) z Pr(X = k) = 1 β, gdzie (!) k = 1, 2,.... Poda funkcj VaR 1+β 1+β α(x) i TVaR α (X) Pokaza,»e rozkªady: Poissona, dwumianowy i ujemny dwumianowy nale» do klasy (a, b, 0). Dla ka»dego z nich pokaza p 0, a, b Napisa funkcje charakterystyczn rozkªadu normalnego N (µ, σ 2 ) Pokaza,»e oraz µ 3 = µ 3 3µ 2 2µ + 2µ 3 = µ 3 3σ 2 µ µ 3, µ 4 = µ 4 4µµ 3 +6µ 2µ 2 + 3µ 3 = µ 4 4µµ 3 + 6µ 2 σ 2 + µ 4.

6 6 3 Lista W 100 szkodach w 1995 r. byªo: 42 których wielko±ci byªy pomi dzy 0-300, 3 pomi dzy , 5 pomi dzy , 5 pomi dzy , 0 pomi dzy , 5 pomi dzy i pozostaªych 40-stu ponad 600. W nast pnych 3 latach przewiduje sie inacje na poziomie 10%. W oparciu o dane z roku 1995, okre±li w przybli»eniu prawdopodobie«stwo,»e w 1998 r. szkoda przekroczy Ryzyko X ma rozkªad Pareto (α, θ). Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = log(1 + X/θ). 3.3 Niech N ma rozkªad Poissona ze ±redni Λ. Jesli Λ ma rozkªad jednostajny w odcinku (0, 5), to ile wynosi przwdopdobie«stwo,»e N W mieszance 2-ch rozkªadów: z prawdopodobie«stwem p mamy rozkªad dwumianowych z m = 2, q = 0.5 i z prawdopodobie«stwem 1 p rozkªad dwumianowych z m = 4, q = 0.5. Poda jako funkcj p prawdopdobie«stwo,»e zmienna losowa przyjmuje warto± Ryzyko 1 ma rozkªad Pareto z parametrami α > 2 i θ. Ryzyko 2 ma rozkªad Pareto z parametrami 0.8α i θ. Na ka»de ryzyko jest wystawiona polisa z wspóªpªaceniem (deductible) wielko±ci k. Okresli oczekiwany koszt na strat dla ryzyka 1. Zbada granic gdy k ilorazu ±redniego kosztu na strat dla ryzyka 2 do ilorazu ±redniego kosztu na strat dla ryzyka Prawdopodobienstwo szkody w okresie ubezpieczenia wynosi 0.1. Je±li jest szkoda to benet ma rozkªad jednostajny od 500 do A wi c ryzyko jest postaci X = IB, gdzie I orac B s niezale»ne, I przyjmuje 1 z prawdopdobie«stwem 0.1 oraz 0 z prawdopdbie«stwm 0.9, oraz B ma odpowiedni rozkªad jednostajny. Oblicz ±redni, odchylenie standardowe ryzyka X % szkód ma rozkªad normalny z µ = 3000 i σ 2 = oraz 25% szkód ma rozkªad normalny z µ = 4000 i σ 2 = Jakie jest prawdopodobie«stwo, ze losowo wybrana szkoda jest wieksza ni» Dla modelu [4] oblicz E Y L i E Y P oraz oczekiwan wielko± sraty ubezpieczyciela przy franczyzie redukcyjnej. Przyj c d = 5000.

7 3. LISTA Dla ryzyka X zaprojektowano ubezpiecznie maj ce wkªad wªasny wraz z wspóªpªacenie i dopuszczalnym limitem w postaci 0 X < 10, Y = β(x d) d X < 60, β(x d) 60 X. Obliczy oczekiwan strat na szkod oraz oczekiwan strat na pªatno±, je±li X ma rozkªad wykªadniczy Exp(50), i Pareto (α, θ), gdzie α = 2 i θ = 50. Porówna otrzymane wyniki z odpowiednimi ±rednimi Dla ryzyka z modelu [2] z listy 7 obliczy oczekiwan wypªat na szkod i na pªatno±, jesli jest wkªad wªasny w wysoko±ci d = 500 oraz wspóªplacenie w wysoko±ci 20% przez ubezpiecznowgo (α = 0.8) Dla ryzyka z modelu [4] z listy 7 obliczy oczekiwan wypªat na szkod je±li jest wspóªpªacenie w wysoko±ci 20% przez ubezpieczonego i dopuszczalny limit w wysoko±ci Zadania teoretyczne Niech X 1,..., X n b d niezale»nymi szkodami o jednakowym rozkªadzie, maj ce 3-ci moment. Niech A = n j=1 X j. Obliczy ±redni, odchylenie standardowe, wspóªczynnik zmienno±ci, sko±no± oraz kurtoz A Rozpatrzy logarytm funkcji generuj cej momenty M X (t) = E e tx. Kolejne pochodne w zerze wyznaczaj tzw. kumulanty zmiennej losowej X; pierwsza kumulanta jest ±redni, druga jest wariancj a trzecia jest 3-cim momentem centralnym. Korzystaj c z tego wyznaczy ±redni, odchylenie standardowe, wspóªczynnik zmienno±ci, sko±no± rozkªadu gamma Rozkªad odwrotny gaussowski, inverse gaussian µ, θ ma g sto± ( ) 1/2 ) θ f(x) = exp ( θz2, x > 0 2πx 3 2x gdzie z = (x µ)/µ, ma funkcj tworz c moment [ ( )] θ M(t) = exp 1 1 2µ2 µ θ z.

8 8 Przez podstawienie β = µ 2 /θ przepisa ] µ (x µ)2 f(x) = exp [. (2πβx 3 ) 1/3 2βx Pokaza,»e przy tej parametryzacji { M(t) = exp µ } β [(1 2βt)1/2 1]. Obliczy funkcj tworz c P (z) zmieszanego rozkªadu Poissona z odwrotnym gaussowskim: p k = 0 λ k k! e λ f(λ) dλ W oznaczeniach z poprzedniego zadania pokaza,»e P (z) mo»na zapisa jako P (z) = exp {λ[p 2 (z) 1]}, gdzie λ = µ β [(1 + 2β)1/2 1] i P 2 (z) = [1 2β(z 1)]1/2 (1 + 2β) 1/2 1 (1 + 2β) 1/2.

9 4. LISTA Lista Statystyka liczby szkód w ubezpieczeniu komunikacyjnym jest dana w tabeli poni»ej. Zbada empiryczne k ˆp k ˆp k 1. Oszacowa ±redni i odchylenie standardowe. Zastanowi si co lepiej pasuje: rozkªad Poissona, rozkªad ujemny dwumianowy czy dwumianowy. Policzy iloraz ±redniej do wariancji. Co to mo»e mówi o rozkªadzie. no szkód, k liczba obserwacji total Prawdopodobie«stwo zaistnienia szkody wynosi 10% i w jej rezultacie ubezpieczyciel pªaci Badanie rynku wskazuje,»e potencjalni nabywcy s gotowi zapªaci 550 za ubezpieczenie od tej szkody. Ile polis musi by sprzedane, aby ubezpieczyciel miaª 99% szans na zysk od tego ubezpieczenia? 4.3 Plan ubezpieczenia dentystycznego pokrywa niektóre zabiegi dla pracowników i ich rodzin (do 2-ch zabiegów rocznie). Cz sto±ci p k liczby zabiegów w jednym roku zostaªa podana w tabeli 4.1 oraz koszty zabiegów (w setkach zªotych) w tabeli f k (tablica 4.2). Obliczy ±redni i wariancj caªkowitego kosztu na pracownika oraz funkcj prawdopodobie«stwa Pr(S = k) dla k = 0, 1, Dla portfela 29 polis z tablicy 4.3 policzy (wykorzystaj c np z R, lub Excell) ±redni, wariancj, sko±no± i kurtoz. W tablicy 4.4 podane s warto±ci r k obliczone przy u»yciu FFT.

10 10 no zabiegów, k p k Tablica 4.1: Warto±ci p k koszt x 100, k f k Tablica 4.2: Warto±ci f k. 4.5 Zaobserwowane ±rednie (i odchylenia standardowe) liczby szkód i wielko±ci indywidualnej szkody s 6.7 (2.3) i (52.14). Obliczy warto±c oczekiwan i wariancj zagregowanych szkód S. U»y normalnej i logarytmiczno normalnej aproksymacji dla rozkªadu S do obliczene (oszacowania) prawdopodobie«stwa,»e zagregowana szkoda przekroczy 140% ±redniego kosztu. Amount at Risk θ i Tablica 4.3: Portfel 29 polis

11 4. LISTA 9 11 k r k k r k k r k Tablica 4.4: Warto±ci r k = Pr(S k).