Niezmienniki relatywistyczne i ich wykorzystanie w opisie zjawisk fizycznych

Transkrypt

1 Niezmienniki relatywistyzne i ih wykorzystanie w opisie zjawisk fizyznyh Henryk Czyż 29 listopada Wprowadzenie Konstrukja niezmienników relatywistyznyh jako kontrakji tensorów dowolnego rzędu pozwala nie tylko na przejrzysty opis zjawisk fizyznyh, ale ułatwia rozwiązanie wielu problemów fizyznyh. Weźmy przykład ząstki elementarnej o masie spozynkowej m i zteropędzie p p µ = (E/, p), (1) gdzie E jest energią ząstki p jej pędem a prędkośią światła. Wiedzą, że p µ jest zterowektorem (kontrawariantnym) możemy skonstuować odpowiadająy mu wektor kowariantny p µ = g µν p ν = (E/, p). (2) Gdzie tensor metryzny w przestrzeni Minkowskiego jakiej używamy do opisu zjawisk fizyznyh ma postać g µν = (3) Niezmiennik p 2 p µ p µ można wyrazić przez masą m ząstki elementarnej p 2 = m 2 2, (4) który wyraża związek między energią, pędem i masą ząstki elementarnej E 2 = p m 2 4. (5) 1

2 Związek (4) mówi też, że masa ma taką samą wartość w każdym układzie odniesienia (nie będziemy w tym wykładzie używać pojęia masy relatywistyznej (m r ), której użył Einstein w słynnym wzorze E = m r 2 ). Pamiętają o związku prędkośi, oznazonej przez v z energią i pędem ząstki dostajemy v = 2 p E = p 2 p2 2 + m 2. (6) 4 Widać stąd, że długość prędkośi p v = (7) p2 2 + m 2 4 nie może przekrozyć prędkośi światła. Musimy tu nawiązać do ważnego dla ałej fizyki pomiaru prędkośi neutrin leąyh z laboratorium CERN w Szwajarii do laboratorium Gran Sasso we Włoszeh [1]. Wynik pomiaru wykazuje, że neutrina poruszają się szybiej niż światło. Gdyby ten pomiar został potwierdzony musielibyśmy zmienić wiele w naszym opisie zjawisk fizyznyh. Pomiar ten mimo konepyjnej prostoty - mierzymy odległość i zas przelotu neutrin i stąd wyznazamy ih prędkość - jest jednak bardzo trudny pod wzgędem tehniznym i wymagał zastosowania wielu skomplikowanyh tehnik eksperymentalnyh (m. in. koniezna jest bardzo dokładna synhronizaja zegarów używanyh w obydwu laboratoriah). W związku z tym, by można było uwierzyć w wyniki tego eksperymentu koniezny jest niezależny pomiar przez inną grupę badawzą. Najprostszy sposób w jaki można otrzymać prędkośi większe od prędkośi światła nie wyhodzą poza szzególna teorię względnośi to dopuszzenie, że masa ząstki może być lizbą zespoloną (urojoną). Wtedy m 2 < 0 i v >. Takie konepje pojawiły się o wiele wześniej niż pomiar kolaboraji OPERA, zaś ząstki o takiej własnośi nazywamy tahionami. Tego typu rozszerzenie pojęia masy prowadzi jednak do poważnyh problemów przy konstrukji teorii oddziaływania ząstek elementarnyh, które do teraz nie zostały pomyślnie rozwiązane. 2 Rozpad β jąder i hipoteza istnienia neutrina W opariu o dane eksperymentalne z rozpadów β jąder, i proste wylizenia kinematyzne z użyiem niezmienników realtywistyznyh Wolfgang Pauli w roku 1930 zapostulował istnienie ząstki, która została nazwana neutrino. Prześledzimy tutaj jego tok rozumowania. Rozpad β jąder to proes A ZX A Z 1 Y + e + ν e (8) 2

3 zmiany jednego typu jąder w inne o tej samej lizbie atomowej A i ładunku różnym o 1. Dodatkowo następuje emisja elektronu i antyneutrina elektronowego. Tyle wiemy dzisiaj, ale problem polega na tym, że w większośi prowadzonyh eksperymentów mierzymy tylko energię elektronu. Neutrino tak słabo oddziaływuje z materią, że nie jesteśmy go w stanie zarejestrować bez dedykowanyh temu bardzo skomplikowanyh urządzeń pomiarowyh, które nie istniały w zasah Pauliego. Nie jesteśmy też w stanie zmierzyć energii powstająego jądra A Z 1 Y bo nie wylatuje ono z radioaktywnego źródła, którego używamy. Skąd wię wiemy, że powstaje tam ząstka unosząa zęść energii jeśli nie jesteśmy w stanie tej energii zmierzyć? Rozpatrzmy dwa przykłady: pierwszy z rozpadem ząstki o masie M na dwie ząstki o masah m 1 i m 2 drugi z rozpadem ząstki o masie M na trzy ząstki o masah m 1, m 2 i m 3. Postaramy się zobazyć, zy z pomiaru energii dla jednej ząstki w stanie końowym jesteśmy w stanie wiedzieć na ile ząstek rozpadła się ząstka o masie M. Kluzowe do rozwiązania tego problemu jest znalezienie ilośi niezależnyh niezmienników, ktore możemy skonstruować w każdym z tyh przypadków, bo ały proess możemy opisać używają takiej samej ilośi zmiennyh. Oznazmy zteropędy ząstek uzestniząyh w tyh proesah przez p (zteropęd ząstki rozpadająej się) oraz p 1, p 2 (p 3 ) ( zteropędy ząstek powstająyh w rozpadzie). Wykorzystamy tutaj zasadę zahowania zteropędu dla rozpadu na dwie ząstki oraz p = p 1 + p 2 (9) p = p 1 + p 2 + p 3 (10) dla rozpadu na trzy ząstki. W pierwszym przypadku z 6-iu niezmienników (p 2,p 2 1,p 2 2,p p 1,p p 2,p 1 p 2 ) tylko trzy są niezależne, bo z równania (9) możemy otrzymać 3 niezależne związki między niezmiennikami mnożą to równanie przez wszystkie (3) dostępne zteropędy. W przypadku rozpadu na trzy ząstki z 10-iu niezmienników 6 jest niezależnyh bo jesteśmy w stanie dostać tylko ztery niezależne związki między nimi mnożą równanie (10) przez wszystkie ztery dostępne zteropędy. Zatem dla przypadku rozpadu na dwie ząstki wszystkie wielkośi kinematyzne ( w tym energie ) powinniśmy być w stanie wyrazić poprzez masy ząstek uzestniząyh w rozpadzie (patrz (4). Zrobimy to poniżej. Rozpad ząstki na dwie ząstki: Chemy wyznazyć energie dwóh ząstek po rozpadzie przy zadanyh masah ząstki ulegająej rozpadowi (M) i ząstek na jakie się rozpada (m 1, m 2 ). W tym elu definiujemy dla każdej z ząstek zterowektor pędu: P = (E/, p) P 1 = (E 1 /, p 1 ) P 2 = (E 2 /, p 2 ) oraz korzystamy z zasady zahowania energii: E = E 1 + E 2 3

4 i zasady zahowania pędu: p = p 1 + p 2 Ponadto z naszego układu równań możemy od razu wyeliminować jedną ze zmiennyh rozpatrują rozpad w układzie środka masy, gdzie ząstka rozpadająa się M znajduje się w spozynku, stąd: P = (E/, 0) oraz 0 = p 1 + p 2 p 1 = p 2 Zdefiniujmy to wszystko w środowisku sage a: (worksheet rozpad2.sws zawiera ten przykład) var(", M, m1, m2, E, E1, E2, p, p1, p2, P, P1, P2, BB, EE, N1, N2") Pv = vetor([e/, p]) P1v = vetor([e1/, p1]) P2v = vetor([e2/, p2]) energia = E == E1+E2 #zahowanie energii ped = p == p1+p2 #zahowanie pędu p0 = p == 0 #układ środka masy p2 = (solve(ped, p2)[0]).subs(p0) show(p2) p 2 = p 1 (11) Korzystają z zależnośi: E 2 = p m 2 4 i z wześniej zdefiniowanyh zterowektorów pędu wyznazamy niezmienniki rozpadu: ( ) ( ) P P = g αβ P α P β = P gp T 1 0 E/ = (E/, 0) ( ) E = (E/, 0) = (E/) 0 2 = M 2 2 (12) ( ) ( ) P i P i = g αβ Pi α P β i = P i gpi T 1 0 Ei / = (E i /, p i ) 0 1 p i ( ) Ei / = (E i /, p i ) = (E p i /) 2 p 2 i = m 2 i 2 i = 1, 2 (13) i metryka = matrix(2, 2, [1, 0, 0, -1]) PP = P*P == (Pv*metryka*Pv.olumn())[0] PP = PP.subs(p0) PPa = P*P == M^2*^2 P1P1 = P1*P1 == (P1v*metryka*P1v.olumn())[0] P1P1a = P1*P1 == m1^2*^2 4

5 P2P2 = P2*P2 == (P2v*metryka*P2v.olumn())[0] P2P2 = P2P2.subs(p2) P2P2a = P2*P2 == m2^2*^2 PP1 = P*P1 == (Pv*metryka*P1v.olumn())[0] PP1 = PP1.subs(p0) PP2 = P*P2 == (Pv*metryka*P2v.olumn())[0] PP2 = PP2.subs(p0) P1P2 = P1*P2 == (P1v*metryka*P2v.olumn())[0] P1P2 = P1P2.subs(p2) o pozwala na wyznazenie związku między energiami r1 = (energia^2).full_simplify() show(r1) E 2 = E E 1 E 2 + E 2 2 (14) i pamiętają, że ałe oblizenia prowadzimy w układzie spozynkowym ząstki rozpadająej się r1 = r1.subs(solve(pp, E)[0]) r1 = r1.subs(solve(ppa, P)[0]) pom = sqrt(r1.rhs()) == sqrt(r1.lhs()) assume(m>0) pom = pom.full_simplify() show(pom) dostajemy E 1 + E 2 = M 2 (15) Pozostało nam znaleźć drugi związek między energiami E 1 i E 2 r2 = ((P1P1 - P2P2)).full_simplify() show(r2) r2 = r2.subs(p1p1a) r2 = ((r2.subs(p2p2a)).divide_both_sides(1/^2)).full_simplify() show(r2) 4 m m 2 2 = E 2 1 E 2 2 (16) Rozwiązujemy te równania ((15) i (16)) korzystają z narzędzi sage a rozwiazania = solve([pom,r2],e1,e2) show(rozwiazania) 5

6 [[ E 1 = M m m 2 2, E 2 = M m m 2 ]] 2. (17) 2 M 2 M Z rozwiązań (17) można zobazyć, że dla naszego przypadku domniemanego rozpadu jądra na dwie ząstki energia elektronu powinna się wyrażać przez masy jąder i masę elektronu a zatem powinna przyjmować tylko jedną wartość. W eksperymentah obserwowano jednak iągły rozkład energii elektronu a nie jedną wartość, o pozwala wnioskować, że w proesie rozpadu powstaje więej niż dwie ząstki. Już dla trzeh ząstek mamy 6 niezależnyh wielkośi i próz 4 mas ząstek możemy wybrać energie dwóh ząstek końowyh jako niezależne zmienne. Ozywiśie mają tylko do dyspozyji informaję o rozkładzie energii elektronu nie wiemy ile dokładnie powstaje ząstek, ale zwykle najprostsze założenia (w tym przypadku 3 ząstki) sprawdzają sie bardzo dobrze. Pauli mógł ozywiśie przyjąć, tak jak sugerowali inni fizyy, że obserwaja świadzy o niezahowaniu energii i/lub pędu, bo z nih wynikają wyprowadzone przez nas związki, ale wtedy pewnie w mojej dyskusji pojawiłoby się inne nazwisko. Problem na ćwizenia: Znaleźć grafiznie na płaszzyźnie E 1 E 2 dopuszzalne wartośi obydwu energii. Wskazówka: Rozpatrzeć ały proes w układzie spozynkowym ząstki rozpadająej się. Rozpatrzeć ogranizenia na energię wynikająyh ze związków enerii, pędu i masy oraz zasady zahowania energii. Z zasady zahowania pędu można znaleźć związek między osinusem kąta między pędami p 1 i p 2 a energiami: os (a) = M m m m ( E E 2 2) M + 2 E 1 E m E2 2 4 m E2 1 (18) Jeden sposób rozwiązania postawionego problemu znajduje się w worksheetie rozpad3.sws, gdzie zakres dopuszzalnyh wartośi energii znaleziono numeryznie. 3 Konstrukja funkji Lagrange a dla elektrodynamiki Chą znaleźć funkję Lagrange a opisująą pole elektromagnetyzne - lagrangian elektrodynamiki - szukamy jej w postai niezmiennizej względem grupy Lorentza. Zajmiemy się tutaj zęśią lagrangianu opisująą same pole elektromagnetyzne. Równania ruhu jakie dostaniemy nie powinny być ozywiśie nizym innym niż równaniami Maxwella, ale zobazymy poniżej, że bardzo proste argumenty nie pozwalają na zbudowanie teorii różnej od tej opisywanej równaniami Maxwella. Do opisu używamy zteropotenjału zbudowanego z potenjału skalarnego i wektorowego 6

7 A µ = (φ/, A), (19) który jest zwązany z polami elektryznym E i magnetyznym B poprzez B = rot(a), E = grad(φ) A t. (20) Zauważmy od razu, że dwa z ztereh równań Maxwella są spełnione automatyznie: rote + B t = 0 divb = 0. (21) Zatem używają do opisu zteropotenjału A µ razem ze związkami (20) nie musimy pamiętać o równaniah (21). Budują lagrangian oddziaływania pola elektromagnetyznego z ładunkami używaliśmy tensora pola elektromagnetyznego F µν = µ A ν ν A µ. (22) Razem z tensorem metryznym g µν i tensorem Levi-Civita ɛ µναβ są to wszystkie wielkośi z któryh możemy zbudować niezmiennizy relatywistyznie lagrangian poprzez kontrakję tensorów i zterowektorów. Wyższyh pohodnyh pól niż pierwsze nie używamy do konstrukji lagrangianu z takih samyh powodów, dla któryh wześniej lagrangian nie zależał od przyśpieszenia. Część lagrangianu, którą teraz konstruujemy nie może zależeć też w jawny sposób ani od zteropołożenia ani od zteroprędkośi bo wtedy uległyby zmianie równania, które wyprowadziliśmy wześniej, opisująe oddziaływanie pola elektromagnetyznego z prądami. Możliwe niezmienniki to Ñ1 = F µν F µν, Ñ2 = ɛ µναβ F µν F αβ, Ñ 3 = A µ A µ i ozywiśie każda funkja tyh niezmienników. Jednak gdy hemy by w naszej teorii była zasada superpozyji pól, o oznaza liniowe równania pola nie możemy mieć w lagrangianie wyższyh potęg pól niż druga, zostają wię do dyspozyji tylko te trzy niezmienniki. Uważny zytelnik zauważy, że mogliśmy jeszze skonstruować niezależny tensor symetryzny µ A ν + ν A µ i użyć go do konstrukji niezmienników. Dlazego go nie używamy i dlazego wyrzuimy z dalszyh rozważań niezmiennik Ñ3 wyjaśnimy dopiero gdy będziemy omawiać prawa zahowania. Wyprzedzają fakty powiemy teraz tylko, że gdybyśmy ih użyli do konstrukji lagrangianu nie mielibyśmy prawa zahowania ładunku elektryznego. Zostały nam zatem niezmienniki Ñ 1 i Ñ 2. Wyraźmy je na pozątek poprzez natężenia pól elektryznego i magnetyznego. By się nie zanudzić mnożeniem maierzy zróbmy to w sagu. Zdefiniujmy na pozątek tensory F i g o składowyh kontrawariantnyh 7

8 var( E1,E2,E3,,B1,B2,B3 ) F = matrix(4,[0,-e1/,-e2/,-e3/,e1/,0,-b3,b2,e2/,b3,0,-b1,e3/,-b2,b1,0]) g = matrix(4,[1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1]) show(f) show(g) F µν = 0 E1 E2 E3 E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0, g µν = oraz tensor F o składowyh kowariantnyh FT =g*f*g show(ft) (23) F µν = g µα g νβ F αβ = E 1 E 2 E 3 0 E1 0 B 3 B 2 E2 B 3 0 B 1 E3 B 2 B 1 0. (24) Zauważają, że N 1 jest po prostu śledem ilozynu tensora F µν i transpozyji tensora F µν, który jest antysymetryzny, dostajemy inv1 = (-F*FT).trae() show(inv1) Ñ 1 = 2 B B B E E E (25) By dostać drugi z niezmienników zdefiniujmy w sagu tensor Levi-Civity o wskaźnikah kontrawariantnyh: def eps(i1,i2,i3,i4): if i1==i2 or i1==i3 or i1==i4 or i2==i3 or i2==i4 or i3==i4: return 0 else: if (i1==0 and i2==1 and i3==2 and i4==3) or (i1==0 and i2==2 and i3==3 and i4==1) or return 1 else: return -1 i pomnóżmy go przez tensor F µν by otrzymać drugi z niezmienników 8

9 inv2 = 0 for l1 in range(0,4): for l2 in range(0,4): for l3 in range(0,4): for l4 in range(0,4): inv2=inv2+eps(l1,l2,l3,l4)*ft[l1,l2]*ft[l3,l4] show(inv2) Ñ 2 = 8 B 1E 1 8 B 2E 2 8 B 3E 3 By nie pisać zbyt wielu stałyh przedefiniujmy te niezmienniki inv1p = inv1/2 inv2p = (-inv2/8*).full_simplify() show(inv1p) show(inv2p). (26) N 1 = B B B 2 3 E2 1 2 E2 2 2 E2 3 2, N 2 = B 1 E 1 + B 2 E 2 + B 3 E 3 (27) lub króej N 1 = B 2 E 2 / 2, N 2 = B E. (28) Zauważmy tutaj, że N 2 można zapisać jako pohodną zupełną Ñ 2 = ɛ µναβ F µν F αβ = 4ɛ µναβ [ µ A ν α A β + A ν µ α A β ] = 4 µ [ ɛ µναβ A ν α A β ], (29) gdzie w drugiej linii dodaliśmy zero (drugi złon w nawiasie). Jak wiadomo dodanie pohodnej zupełnej do lagrangianu nie zmienia równań ruhu, wię do zbudowania lagrangianu został nam tylko niezmiennik N 1. Zajmiemy się tym później. Teraz zobazmy jakie wnioski możemy wyiągnąć z wiedzy, że N 1 i N 2 są niezmiennikami relatywistyznymi: Jeżeli pola E i B są prostopadłe w jakimś wybranym układzie odniesienia (N 2 = 0) to są prostopadłe w każdym układzie odniesienia Jeżeli E/ > B w jakimś wybranym układzie odniesienia (N 1 < 0) to jest to prawdziwe w każdym układzie odniesienia 9

10 Jeżeli pola E i B nie są prostopadłe w jakimś wybranym układzie odniesienia (N 2 0) to można znaleźć układ odniesienia, w którym są one równoległe (lub antyrównoległe) Dwa pierwsze wnioski w ozywisty sposób wynikają z postai niezmienników, hoć bez wiedzy że N 1 i N 2 są niezmiennikami ih pokazanie nie jest proste. By wykazać punkt trzy zauważmy, że by istniał układ odniesienia, w którym pola E i B są równoległe (lub antyrównoległe) powinno zahodzić N 1 = B 2 E 2 / 2, N 2 = ( )BE, (30) gdzie E = E i B = B są długośiami wektorów E i B. Znak minus pojawia się gdy niezmiennik N 2 jest ujemny. Wtedy pola E i B są antyrównoległe. Możliwość znalezienia takiego układu wymaga by układ równań (30) miał zawsze rozwiązania dodatnie (E i B są długośiami wektorów), niezależnie od wielkośi niezmienników N 1 i N 2. Rozwiążmy te równania korzystają z sage a rr1 = N1 == BB^2 -EE^2/^2 rr2 = N2 == BB*EE rr3 = N2 == -BB*EE rozwiazania1 = solve([rr1,rr2],ee,bb) rozwiazania2 = solve([rr1,rr3],ee,bb) show(rozwiazania1[0]) show(rozwiazania1[1]) show(rozwiazania2[0]) show(rozwiazania2[1]) gdzie rozwiązaliśmy osobno układ równań dla przypadku N 2 dodatniego EE = 1 N N N2 2 2N2 2, BB = N 1 + N N2 2 EE = 1 N N N2 2 2N2 2, BB = N 1 + N N2 2 (31) i N 2 ujemnego EE = 1 2 N N N 2 2 2, BB = EE = 1 N N N2 2 2, BB = 2N2 N 1 + N N2 2 2N2 N 1 + N N2 2. (32) 10

11 Jak łatwo zauważyć w obydwu przypadkah druga para rozwiązań daje rozwiązania dodatnie niezależnie od wartośi niezmienników N 1 i N 2. Gdy interesuje nas rozwiązanie zagadnienia znalezienia toru ząstki naładowanej w polah magnetyznym i elektryznym, z wyprowadzonyh własnośi wynika, że można rozwiązać to zagadnienie tylko dla dwóh przypadków, gdy pola E i B są równoległe i gdy pola E i B są prostopadłe. W przypadku gdy interesuje nas rozwiązanie w układzie gdy pola są dowolnie skierowane szukamy najpierw układu gdzie pola są równoległe i transformujemy znane rozwiązanie dla pól równoległyh do wyjśiowego układu. Pamiętają jak skomplikowane było znalezienie rozwiązania dla pól równoległyh możemy sobie wyobrazić, że zaproponowana metoda będzie prostsza od próby bezpośredniego rozwiązania równań ruhu dla dowolnie skierowanyh pól. 4 Bibliografia [1] Measurement of the neutrino veloity with the OPERA detetor in the CNGS beam. OPERA Collaboration (T. Adam et al.). Sep 2011.; arxiv: