E. Belki bezprzekątniowe. napisał. śp. dr inż. Stefan. Omówimy tu wyłącznie belki bezprzekątniowe równolegle

Transkrypt

1 E. Belki bezprzekątniowe napisał śp. dr inż. Stefan Bryto prof. Politechniki Warszawskiej. Omówimy tu wyłącznie belki bezprzekątniowe równolegle zwane czasami belkami Vierendccla.. Obciążenie pionowe stałe. Przyjmujemy, iż ciężary węzłowe na skutek obciążenia stałego działają w węzłach pasa dolnego (rys. ). Dla wyznaczenia sił wewnętrznych sprowadzamy belkę do układu zasadniczego, tj. belki w dwu punktach wolnopodpartcj, ' ^ ' ' r ^ ' J Poler J i. 2 r Jj r*i s Ą P ł l-nl -J Rys- l przyjmując każdy pręt pasa górnego przy pomoście dołem (lub pasa dolnego przy pomoście górą) przecięty w polowie swej rozpiętości, przy czym z punktów przecięcia prowadzimy dwa ramiona sztywne (J = OD) do środka ciężkości pola (rys. 2). W układzie pracuje pas dolny (górny) jako belka wolnopodparta w dwu punktach, zaś pas drugi i slupy nie doznaj;! żadnych naprężeń. Ugięcie wywołuje w układzie zasadniczym przesunięcia A* i A y oraz obrót ramion sztywnych o kąt A<p w stosunku do pierwszego położenia (rys. 3). Ażeby układ zasadniczy działał jako belka bczprzekątniowa musi doznawać tych samych odkształceń, zatem ramiona r ir i na H" m± sztywne układu zasadniczego, które pod wpty- Rys f 'M r-l u TJt.- r Pr-, 'Pr Pr., ' 7

2 BELKI BEZERZEKĄTNIOWE wem ciężarów węzłowych P doznały przesunięć A<y, Ax i Ay, muszą pod wpływem wielkości statycznie n i e w y z nac za n y c h X, Y, Z wrócić do pierwotnego położenia. Belki bczprzekątniowe są zatem układem 3 n-krotnic hiper- Statycznym, przy czym n jest ilością pól belki. Dla równowagi, oprócz trzech zasadniczych warunków, suma odkształceń w każdym polu musi być równa zeru, zatem A(p = 0, Axr = 0 i Ay r = 0. Odkształcenia belki i związane z nimi przesunięcia AA-, Ay oraz obrót A'/ następują pod działaniem sil poprzecznych i normalnych oraz momentów zgięcia. Odkształcenia skutkiem sił poprzecznych są bardzo male i można je opuścić. r 'i ' PU > I, l' Dla wyznaczenia odkształceń na skutek momentów zgięcia z uwzględnieniem wpływu sąsiednich pól otrzymujemy (według Kriso Statik der Viercndeelträgcr", 922, str. 28): A (p - m Jt~ i 2/ T ih, / M EJ 2EJ EJ h. Z r EJ r EJ r równania () h> àx. = Ï2EJ h- r h h 3 2 EJ 2 E Kr 2 EJ (2) h l y' 4 EJ 2E lh 2 EJ Zr-l 2~EJ' 6 W równaniach tych : ^ = odstęp węzłów, h = wysokość belki, E = współczynnik sprężystości, 2 EJ ),-h Y. it ' 4EJ - Ta_ = 0 (3) 75

3 Ç STATYKA BUDOWLI Jg (Jd) moment bezwładności pasa górnego (dolnego), pas J = moment bezwładności slupa,! r powierzchnia momentów w polu r, przeniesionych przez dolny, T{) = siła poprzeczna w polu r dla belki w dwu punktach wolnopod partej, A' r, Yr, Z r = wielkości hiperstatyczne, Dla Jg J d momenty zgięcia w pasach tego samego pola są równe co do wielkości a przeciwne co do znaku. Stąd wynika równość momentów w stopie i w głowicy tego samego słupa, przy czym znaki są przeciwne ; więc moment w połowie jego wyso" kości równy jest zeru. Równania () i (3) mają zatem kształt: fr - ^ = - 0, 5 M 0 r ; y. = - r n (4) (5) gdzie MQ = moment zgięcia belki wolnopodpartej w połowic pola r o długości Równania (4) i (5) zachowują swą ważność bez względu na parzystą lub nieparzystą ilość pól belki bezprzekątniowe i przy dowolnej wartości stosunku J : Jd. Dla wyznaczenia wielkości hiperstatycznych Xr musimy, w>" chodząc z zasadniczego równania (2), ułożyć tyle analogicznych równań ile pól posiada belka. Równania te w przypadku Jg = Jd przy dowolnej ilości pól i dowolnym stosunku J : Jd po przekształceniu przybiorą postać: A', = ( - fc«) k K 2 ~h. i IT I?=r-l Równanie to ważne jest dla r X k X ( I - *,, h ' i y y feç_r g T n - l V 2 do r y (6)

4 BELKI BEZPRZEKĄTNIOWE przy czym ( / \ 6 X. 7 k = 0,5 la \ a 4), a = h Jd W przypadku Jg E~ Jd należy rozdzielić momenty zgięcia na pasy w stosunku do momentów bezwładności pasów i z równań (), (2) i (3) obliczyć wielkości hiperstatyczne, przy czym dla pomostu góra. (dołem) będzie fr = powierzchni momentów, przeniesionych~przez pas górny (dolnv) w polu r. Uwzględniając wpływ sil normalnych na odkształcenia, otrzymamy zasadnicze równania na wyznaczenie wielkości hiperstatycznych A' (pt ; A' xt = l L' F '~F~ x r ; = o ; (7) przy czym Fd {F^) = powierzchnia przekroju pasa dolnego (górnegoj. Dla wyznaczenia wielkości hiperstatycznych przy uwzględnieniu wpfywu momentów zginających i sił normalnych musimy do równań (), (2) i (3) dodać równanie (7). Otrzymamy zatem : ï A Q?r = A q>t A'(pt = 0 ; S A xr m A xr A'xr = 0 ; S A y r = A yr A'y r = 0 ; Mając obliczone wielkości hiperstatyczne A' r, Yr i Zr, możemy obliczyć siły wewnętrzne i momenty w pasach oraz belki bezprzekątniowej z wzorów : Pas górny : siła normalna N'r = A' r Pas dolny: siła poprzeczna T' r = Y r słupach moment zgięcia M't = (ß hxr Yr x Zr). siła normalna 7V^ = Xr siła poprzeczna T r = T Q -f- YT moment zgięcia Mr = M0 x y h Xr Y r x Z r przy czym y h = odległość punktu zaczepienia siły A'r od osi pasa dolnego ßh =,, A'r,, górnego Dla Je = Jd będzie y h = ß h = 0,5 h. Slupy : siła normalna n r = Y r i gdy obciążony jest pas dolny "r " r Y r Y.....,. górny 48 Podręcznik Inżynierii 753

5 STATYKA BUDOWLI sila poprzeczna Tr = X r X r _, moment zgięcia m r y = (X r X r ) y [(Yr Y r f ]) (Z, - Z r ), przy czym x = odległość badanego przekroju pasa w polu t od lewego slupa, y = odległość badanego przekroju slupa od polowy wysokości jego. 2. Wpływ temperatury Jednakowe ogrzanie (oziębienie) całej belki nie wywołuje naprężeń wewnętrznych, jeżeli belka jest odpowiednio podparta. Inaczej dzieje się przy niejednakowym wpływie temperatury na pasy. Przyjmując stan temperatury jako jednostajny w całym przekroju pasa górnego o wielkości fg, zaś pasa dolnego w wielkości td, otrzymamy zasadnicze równanie na wyznaczenie wielkości hiperstatycznych : A<prt = 0; Ax f ( = a i "K ; Ay r ( = 0; (8) przy czym a jest współczynnikiem wydłużenia. Równania te są identyczne z równaniami (), (2) i (3), przy czym jednak zamiast wielkości X r > y r, Z r, należy wprowadzić wielkości X r (, V ri > i Z r (. Ponieważ wpływ temperatury nie wywołuje momentów' zgięcia i sil poprzecznych w belce w dwu punktach wolnopodpat' tej, muszą odpaść wyrażenia zawierające wartości fr i T 0, równanie zaś (2) musi otrzymać dodatek ałk. Tak przekształcone równania sprawdzają się dla wartości Y r ( = Z r ( = 0, pozostanie zaś równanie h* h h \ 3J " 2 U 8 * r t h*,., Ï2ËJ = W ' ( r, ) Z równania tego obliczamy wielkości X r, układając tyle analogicznych równań ile pól posiada belka, a następnie obliczamy siły wewnętrzne i momenty w prętach belki bezprzekątniowej jak dla obciążenia węzłowego. 754

6 BELKI BEZPRZEKĄTNIOWE 3. Obciążenie ruchome. Obciążenie ruchome przenosi się zazwyczaj na belki główne za pomocą poprzecznie umieszczonych w węzłach. Wpływ jego uwzględniamy tak jak obciążenia stałego, kreśląc linię największych momentów i sil poprzecznych jak dla belki wolnopodpartej, obliczamy wielkości hiperstatyczne z równań (), (2) i (3), a następnie przy pomocy poprzednio podanych wzorów siły wewnętrzne i momenty zgięcia w poszczególnych prętach belki bezprzekątniowej. 4. Sposób przybliżony dogodny dla pierwszego przeliczenia przekrojów (rys. 4). Oznaczamy przez J. momenty bezwładności pasa górnego, dolnego i slupów, siły osiowe w prętach pasów i słupów Ta< d> i- Tt,,.. siły poprzeczne r r M. Md, Mit M2,... momenty zgięcia Jeżeli rozpatrywać będziemy ramę zamkniętą między słupami 2 i 3 o długości rozpory a.,, to punkty zerowe momentów będą w słupach w odległości v^ od pasa górnego oraz w pasach w odległości w., od lewego slupa 2. dołożenie tych punktów można wyznaczyć w przybliżeniu jak w ramie zamkniętej. Przeciętnie: m h P3< h 3t JH p/vi \ wy. k à Ji m0 przy m> a. w 2 = ~ ' = k ii.., Tl. czym Men Mia Rys. 4 48«755

7 STATYKA BUDOWLI siły osiowe w pasach : M a2 sita poprzeczna w pasach: Tg2 = k0 Ta2; Td2 = ( k 0 ) T a 2 ; moment zgięcia w pasach w odległości x od punktu zerowego : M 62 = Tg2 X = k0 Te2x = k0 (Mx - Ma2) ; Md2 = Tg2x = ( - k0 ) r a 2x - ( '- k0 ) (Mx- Afa2) ; siła poziomo ścinająca w slupie 2 : r [Txdx M a 2-M a l 2 : moment zgięcia w odległości y od punktu zerowego w slupie AJj = T 2 y. Siła osiowa w słupie 2 : N t = ( ) (Pd2 P-j. Sila osiowa w slupie : N, = k0 (7"al P-j). Momenty pasowe w węzłach slupa 2 : lewe: pas górny: Ai g l 2 = kq(mu M a l) = fc0 AfIS; pas dolny: Ai,,, = ( - k0 ) (/M -A, a l) = (l-fc 0)Ai ; prawe: pas górny : Ai g 2 2 = fc0 (Al,, AJa2) ; pas dolny: M"d22 = ( - k0 ) (Ąf;, - Ma2). Momenty węzłowe w słupie 2 : górny: M 2 g = k0 {Alal Ma2), dolny: M2d = ( ~ k0 ) (Ma2 - Al,,). Gdy pas dolny jest gibki, wówczas vg = h, gdy zaś Jg = J,/ to Vg = ft. Powyższy sposób może być zastosowany do przybliżonego obliczenia belek bezprzekątniowyeh o dowolnym rodzaju podparciu. Dla belki bezprzekątniowej wolnopodpartej będzie Al; = 0, dla belki utwierdzonej na podporach Mt jest momentem utwierdzenia, dla belki ciągłej momentem podporowym. 756