Metoda różnic skończonych

Transkrypt

1 Metoda różc sończoch Metoda różc sończoch MRS est edą z aprostszch metod merczego rozwązwaa zagadeń opsach przez ład rówań różczowch. Idea te metod polega a zastąpe pochodch wstępącch w tch rówaach przez odpowede loraz różcowe. Pewe trdośc w zastosowa te metod wążą sę z waram brzegowm oraz z ereglarm ształtem brzeg. Rs. Sata ptów węzłowch oraz war brzegowe Na obszar w tórm spełoe ma bć rozwązwae rówae aładam alepe reglarą satę ptów węzłowch rs.. Wartośc poszwae fc w węzłach sat będą staowł zbór ewadomch. Należ teraz wzaczć odpowede do rzęd rówaa loraz różcowe tóre pozwolą przeształcć rówae różczowe a ład rówań algebraczch. Prostm sposobem a otrzmae tch lorazów est zastosowae rozwęca poszwae fc w szereg alora woół ptów węzłowch.. Fca ede zmee Rozwęce w szereg alora poszwae fc woół pt o współrzęde rs.. moża zapsać w postac: d d d d d d 5! d! d! d 5! d d d d d d... d!!! 5! 5 d d d d Przeształcaąc rówaa otrzmam:

2 d d d d O - loraz różcow w przód O - loraz różcow wstecz a oblczaąc wartość średą z lb odemąc od : d d O - cetral loraz różcow 5 tór charaterze sę meszm błędem. W rówaach tch ozacza odległość mędz węzłam sat w er a O ozacza resztę rzęd O ozacza resztę rzęd d ozacza wartość pochode oblczoą w pce o współrzęde d Stcza + + Różca cetrala Różca "wstecz" Różca "w przód" aprosmaca welomaem stopa + + Rs. Aprosmaca fc welomaem II stopa W te moża też otrzmać aprosmąc poszwaą fcę w przedzale welomaem -go stopa: = a + a + a 0 rs.. Stałe a ależ wzaczć z warów: 0 = - = - = + co prowadz do rówaa: 6 tóre po zróżczowa względem oblcze pochode w pce =0 dae cetral loraz różcow 5.

3 a d d b d d Rs. Schemat różcowe: d/d a oraz d/d b Ja łatwo oblczć borąc 5 początowch wrazów w szereg alora zaweraącego drga pochoda może bć wrażoa wzorem różcowm: aż do czło d d O. 7 Borąc w rozwęc alora wraz aż do rzęd 6 włącze woąc średee podobe a to zroblśm w rówa 6 otrzmem wrażea a różce cetrale: d d d d d d O 8 O 9 6 O. 0

4 a d d b d d Rs. Schemat różcowe: d /d a d /d b. Przpade fc dw zmech Aalogcze do różc w przpad edowmarowm ozaczaąc smbolem oleość przrostów w er os oraz oleość przrostów w er os zapszem odpowede różce sończoe: O O O O. Pochode meszae zastąpć moża różcam oblczom przez złożee formł oraz co dae: O 5 Iloraz różcowe wgode też moża przedstawć prz pomoc schematów grafczch. Schemat odpowadaące rówaom...5 przedstawoe został a rsach: 5.

5 b a Rs. 5 Schemat różcowe / a oraz prz = = b Zastosowae szeregów alora do wzaczaa lorazów różcowch wższch rzędów omówoe est szczegółowo w obszere moograf. J. Chga [00]. Zastosowae sate ereglarch omawa J. Orsz w trzece częśc moograf Kleber. [995]. Operator różcowe wższch rzędów stosowae prz rozwązwa rówań teor płt metod względea warów brzegowch podae są obszere w moograf Z. Kączowsego [980].. Uwzględae warów brzegowch Rówaa rzęd perwszego gdze edm waram brzegowm są wartośc poszwae fc w brzegowch węzłach sat war Drchleta e astręczaą żadch łopotów prz zestawa ład rówań MRS. Jeżel ograczć rozważaa do rówań różczowch rzęd perwszego drgego to a wdać a rsach: 5 operator różcowe zaweraą tlo wartośc fc w węzłach bezpośredo sąsadącch z węzłem dla tórego zapsem operator. Poeważ wartośc fc w ptach brzegowch są w warach Drchleta zadae to e msm dla tch ptów zapswać rówań różcowch pozostaą tlo pt wewętrze obszar rs. 6. Zatem tworzo ład rówań e będze zawerał żadch wartośc fc w ptach leżącch poza obszarem rozwązaa. Y e e e 6 e e e e 5 e = = 0 X Rs. 6 Obszar prostoąt aa oraz war brzegowe Drchleta 5

6 Problem powstaą w przpad rówań wższch rzędów gdze operator różcowe zaweraą wartośc fc e tlo w węzłach sąsedch ale też odległch o dale od węzła środowego por. Kączows [980]. Ie atr lecz podobe w stach problem powstaą gd w węzłach brzegowch oreśloe są pochode fc war Nemaa. Iloraz różcow perwszego rzęd rówae 5 zapsa dla pt brzegowego wprowadz do ład rówań wartość fc w węźle leżącm poza obszarem rozwązaa rs. 7. Wartośc te ależ wlczć a podstawe pochode zadae w pce brzegowm. d/d = 0 / 0 a a + a + Rs. 7 War brzegowe Nemaa W cel lstrac tego przpad posłżm sę przładem rówaa: 0 tóre opse edowmarow stalo przepłw cepła. Jest zatem szczególm przpadem rówaa Forera 6 opsaego w astępm pce. Rówae to może meć war brzegowe Nemaa gd a brzeg zada est gradet temperatr rse 7 poaze brzeg obszar wraz z węzłam sat gdze w pce powe bć speło ware: tór po względe 5 prowadz do rówaa: 0 = a 6 gdze a ozacza odległość mędz węzłam sat MRS =a. Po zapsa operatora różcowego 7 rówaa Forera: 0 + = 0 7 6

7 możem dzę 6 welmować ewadomą postać: z rówaa 7 tóre przbera teraz a = 0 8 zaweraącą tlo ewadome wartośc fc w ptach ależącch do obszar rozwązaa. W rówaach różczowch wższch rzędów war brzegowe mogą zawerać taże zadae wartośc pochodch wższego rzęd co prowadz do bardze złożoch zwązów możlwaącch redcę ewadomch w ptach e ależącch do teresącego as obszar p. w rówaach stat płt gdze wstępą rówaa rzęd ware a brzeg swobodm zawera pochode rzęd oraz.. Przład zastosowaa do rozwązwaa rówań elptczch Przładem zastosowaa metod różc sończoch do rozwązaa problemów opsach elptczm rówaam różczowm może bć rówae Possoa. Rówae to opse wele ważch problemów fz z tórch aprostszm są por. Babcz. [970]: problem stacoarego rozład temperatr w cele zotropowm por. Wśews [979] stalo przepłw cecz eścślwe w obszarze zaweraącm źródła pst potecał pola eletrostatczego w obszarze zaweraącm ład por. Lada Lfszc [979] ewtoows potecał pola grawtacego w obszarze zaweraącm mas zagadee sręcaa przmatczego pręta por. mosheo Gooder [96] zagadee statcze deformac membra poddae dzała cśea rozcągaa. Rozwązae tego ważego rówaa loma metodam merczm będze opsae taże w astępch ptach tego rozdzał. Rówae Possoa Rozwążem rówae Possoa: p 9 z waram =0 a brzeg obszar poazaego a rs. 6. Rówae to opse p. odształcoą w w dzałaa cśea powerzchę cee bło apęte słam leżącm w płaszczźe membra. Fca p wraża stose cśea do apęca. Wstępąc w rówa 9 operator Laplace a: rówań moża wrazć za pomocą formł: po zastosowa O 0 7

8 8 lb prz założe sat wadratowe = : O. Schemat grafcz tego rówaa przedstawo est a rs. 5. Przmąc satę wadratową o bo a ałożoą a obszar poaza a rs. 6 rozwążem rówaa Possoa 0 p gdze p 0 =cost. z waram = 0 a brzeg. Po zastosowa operatora otrzmam ład rówań: węzeł Nr 5: = a p 0 węzeł Nr 8: = a p 0 węzeł Nr : = a p 0. Po względe warów brzegowch : = 0 = 0 6 = 0 7 = 0 9 = 0 0 = 0 = 0 = 0 ład rede sę do trzech rówań lowch: p a 5 tórch rozwązaem est : 5 = = 057 a p 0 8 = 0857 a p 0. Doładm rozwązaem tego zadaa est fca por. mosheo Gooder [96]: 5 0 cos ch ch p L gdze L L L L L est dłgoścą a L szerooścą obszar rs. 6. Przmąc L =a L =a =0 =0 otrzmam =05 oraz formłę możlwaącą oblczee wartośc fc w pce środowm: ch 00 p a tóra po zsmowa dwdzest perwszch wrazów szereg dae 8 = 0559 a p 0. Błąd sm dwdzest wrazów est mesz ż w te moża węc zać za doład. Błąd rozwązaa 5 est węc rów -59% co prz ta rzade satce dsretzace est weloścą bardzo małą.

9 5. Przład zastosowaa do rozwązwaa rówań parabolczch Przładem różczowego rówaa parabolczego est rówae Forera lb rówae dfz. Na przładze tch rówań poażem aczęśce stosowae metod ch rozwązwaa za pomocą MRS. Rówae Forera - estalo przepłw cepła Rozpatrzm teraz róże metod rozwązwaa zagadeń estaloch a prostm przładze edowmarowego cała o stałm współcz przewodctwa ceplego bez wewętrzch źródeł por. Wsews [979]. t 6 gdze t est temperatrą cała t ozacza czas współrzędą przestrzeą a współcz zależ od stałch materałowch. Aalogcze rówae różczowe opse edowmarow problem dfz. Metod FCS Bdera-Schmdta Zameaąc pochodą względem czas a loraz różcow oblczo zgode z rówaem a pochodą przestrzeą zastępąc cetralm lorazem oblczom zgode z otrzmam w -tm węźle sat : t 7 a po przeształce: 8 gdze t ozacza przrost czas przrost współrzęde współcz t / azwa est lczbą Forera Fo - w rówaach opsącch przepłw cepła lb lczbą dfz - w rówaach opsącch problem dfz. Ides góre ozaczaą mer ro czasowego a des dole mer węzła sat przestrzee. Otrzma sposób całowaa rówaa przewodctwa ceplego lb dfz azwa est metodą awą w lteratrze agelsoęzcze - eplct scheme gdż pozwala wzaczć wartość węzłową poszwae fc w astępe chwl a podstawe wartośc atalch. Metoda ta est mercze stabla dla 0 05 por. Chg [00]. Nazwaa est metodą FCS Forward-me Cetral-Space ze względ a rodza lorazów różcowch żtch do dsretzac czasowe przestrzee. Stablość mercza ozacza że błąd geerowa w olech teracach e rośe tz. + / gdze est marą błęd -te terac. Błąd terac est fcą ro czasowego t rozmar sat dsretzace. 9

10 Dla szczególe wartośc lczb Forera = Fo = 05 otrzmem rówaa metod Bdera-Schmdta: 9 tóra ze względ a swoą prostotę często worzstwaa est ao podstawa grafcze metod rozwązaa rówaa Forera gdż wartość w chwl + zse sę w e ao średą artmetczą wartośc sąsedch + oraz - w chwl poprzede. Jao przład zastosowaa te metod rozwązae zostae zadae wzaczea temperatr t w zolowam pręce medzam o dłgośc L tór w chwl początowe t 0 mał temperatrę rówą zero a całe dłgośc poza ptem początowm gdze w czase całego proces trzmwaa est temperatra 0 K. Sprowadza sę to do astępącch warów początowch: t 0 0L oraz warów brzegowch: 0t 0 /Lt = 0. Przmem L0.m.070 m /s. Dzelm pręt a 0 częśc co dae 0.0m a po przęc 0.5 mam t 0.67s tz. temperatra pręta będze oreślaa co 0.67s. Rs. 8 poaze wreśle sporządzoe rozład temperatr w pręce w olech roach czasowch [K] = [m] Rs. 8 Metoda Bdera-Schmdta w wers wreśle Metoda Rchardsoa Borąc cetral loraz różcow zamast pochode czasowe otrzmem ą awą metodę rozwązaa rówaa przewodctwa ceplego: 0

11 0 zaą ao metoda Rchardsoa. Metoda ta est bezwarowo establa por. Chg [00] a węc zawsze prowadz do rozbeżch terac e moża e węc zastosować w aalzach merczch. Metoda Dforda-Fraela Po podstawe w rówa 0 zamast średoe wartośc: zsem stabl algortm całowaa rówaa 6 za pod azwą metod Dforda- Fraela: tóra est bezwarowo stabla mercze tz. zawsze prowadz do zbeżch terac. Metoda Laasoea Borąc w rówa 8 prawą stroę w chwl + otrzmam schemat całowaa rówaa Forera za pod azwą metod Laasoea:. Metoda ta est bezwarowo stabla ależ oa do tzw. schematów włach mplct tóre wmagaą węszego aład czas oblczeń gdż macerz ład rówań przestae bć macerzą dagoalą a to ma mesce w metodach awch eplct a stae sę macerzą tródagoalą. Metoda Craa-Ncolsoa Uśredaąc prawe stro rówań 8 otrzmam metodę Craa-Ncolsoa: bezwarowo stablą mercze. Poeważ rówae zawera część awą łatwaącą terace rozwązae ład rówań metoda Craa-Ncolsoa est bardzo często stosowaa. Uogólaąc tą metodę borąc lową ombacę prawch stro 8 otrzmem tzw. metodę tóra zawera metod FCS Laasoea Craa-Ncolsoa ao szczególe przpad:.

12 Wartośc współcza z przedzał 05 daą bezwarową stablość merczą metod. 6. Przład zastosowaa do rozwązwaa rówań hperbolczch Sposob rozwązwaa rówań różczowch tp hperbolczego omówm a prostm przładze rówaa Elera tóre azwae est też rówaem trasport lb apłw adwec : 0 5 t gdze > 0 est stałą o wmarze prędośc. Metod rozwązaa tego rówaa aalogcze a to mało mesce w przpad rówaa parabolczego różć sę będą rodzaam lorazów różcowch tórm zastępowae będą pochode cząstowe wstępące w 5. Zastosowae różc w przód tóre są opsae rówaem do ob pochodch dae schemat całowaa azwa FFS Forward me Forward Space. e schemat całowaa rówaa Elera prowadz do astępącch zależośc: 6 gdze t / est lczbą Corata ozaczaą też smbolem Co lb CFL Corat Fredrchs Lew. Schemat te est schematem awm eplct gdż poza poszwaą wartoścą + w rówa wstępą tlo wartośc węzłowe oblczoe w atalm ro czasowm macerz ład rówań est węc macerzą dagoalą. Metoda est bezwarowo establa mercze. Zastosowae cetrale różc do aprosmac pochode przestrzee dae schemat FCS Forward me Cetral Space: 7 tór est róweż bezwarowo establ mercze. Różca wstecz aprosmąca pochodą przestrzeą w połącze z różcą w przód dae schemat FBS Forward me Bacward Space: 8 stabl warowo. Jeżel w schemace FCS 7 żem średoe przestrzee wartośc to otrzmam schemat Laa:

13 9 tór est stabl mercze dla. Cetrale różce aprosmące obe pochode daą schemat CCS za ao metoda żabego so leapfrog. Źródłem te azw est zapewe fat pomęca przesoczea węzła przestrzee sat MRS:. 0 Schemat leapfrog est stabl mercze dla oraz ma węszą doładość O t ż poprzedo opswae schemat tóre charaterzował sę resztą rzęd perwszego: O t. Wadą metod leapfrog est dodatow ware początow dla chwl -t tór może spowodować błęd lb eedozaczość rozwązaa. Opsae powże metod ależą do grp schematów awch eplct moża t taże podobe a w schematach rozwązwaa rówań parabolczch zastosować schemat włae mplct tóre daą reszt wższch rzędów ż schemat awe. Jeżel prawą stroę rówaa 7 przedstawm w ro czasowm + otrzmem właa metodę FCS o reszce rzęd O t. Zapsąc ezae wartośc węzłowe fc w ro czasowm + po lewe stroe rówaa otrzmam:. Podstawaąc zamast prawe stro rówaa 7 e średee czasowe: otrzmem metodę Craa-Ncolsoa:. Porówae wów otrzmwach za pomocą tch schematów całowaa oraz formace o ch metodach metod tp predctor-corrector lb weloptowe zaleźć moża w obszere moograf Compter Fld Damcs. J. Chga oraz Comptatoal Methods for Fld Damcs Ferzgera Perća. 7. Przład zastosowaa metod weloptowch Metod weloptowe polegaą a aprosmac poszwae fc welomaem zaweraącm przrost t wższego stopa. Z tch metod omówm dwe często stosowae: metod Adamsa-Bashforha metod Rgego-Ktt. Zapszem dowole rówae różczowe zaweraące pochode perwszego rzęd względem czas w astępąc sposób:

14 t f t. Aprosmąc fcę welomaem drgego stopa względem t doberaąc ta współcz weloma ab zsać zgodość pochodch w ptach czasowch t oraz t- t rs. 9 otrzmam metodę Adamsa-Bashfortha drgego rzęd: t f t f t t. d/dt + d/dt - Rozwązae dołade Metoda Adamsa-Bashfortha weloma -go stopa t - t t + t t t Rs. 9 Metoda Adamsa-Bashfortha -go rzęd Metoda Rgego-Ktt drgego rzęd posłge sę przewdwaą wartoścą fc w połowe ro czasowego rs. 0 a astępe a e podstawe wzacza wartość fc w olem ro czasowm: t f t f t. t 5

15 t d/dt +/ +/ + d/dt 0 Rozwązae dołade Metoda Rgego-Ktt -go rzęd weloma -go stopa t t +/ t + t / t / t Rs. 0 Metoda Rgego-Ktt -go rzęd Metoda drgego rzęd est metodą samostartącą tz. e wmaga żadch dodatowch warów początowch. Naczęśce stosowaa est metoda czwartego rzęd tórą zapsać moża astępąco: f f t t f t f f f f t f t t f f f t t f f f f. 6 6 Metod Rgego-Ktt daą doładość węszą ż metod Adamsa-Bashfortha e weloptowe metod tego samego rzęd są eda bardze czasochłoe gdż wmagaą m-rotego prz m-tm rzędze metod wlczaa wartośc pochodch a ażdm ro czasowm. 5