IDENTYFIKACJA WSPÓŁCZYNNIKA WNIKANIA CIEPŁA NA ZEWNĘTRZNEJ POWIERZCHNI TERMOMETRU DO WYZNACZANIA NIEUSTALONEJ TEMPERATURY PŁYNU

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ 91, Mechanika 87 RUTMech, t. XXXII, z. 87 (3/15), lipiec-rzesień 015, s Jan TALER 1 Magdalena JAREMKIEWICZ IDENTYFIKACJA WSPÓŁCZYNNIKA WNIKANIA CIEPŁA NA ZEWNĘTRZNEJ POWIERZCHNI TERMOMETRU DO WYZNACZANIA NIEUSTALONEJ TEMPERATURY PŁYNU Opracoano metodę yznaczania spółczynnika nikania ciepła na poierzchni zenętrznej termometru służącego do pomiaru temperatury czynnika przepłyającego pod ysokim ciśnieniem. Metoda opiera się na roziązaniu odrotnego zagadnienia przeodzenia ciepła. Współczynnik nikania ciepła jest określany na podstaie pomiaru temperatury środku metaloego cylindrycznego termometru oraz na podstaie pomiaru temperatury ścianki cylindrycznego rurociągu, który jest izoloany cieplnie. Dodatkoo jest yznaczany spółczynnik nikania ciepła na enętrznej poierzchni rurociągu. Korelacje na liczby Nusselta, z których są yznaczane spółczynniki nikania ciepła na zenętrznej poierzchni termometru i enętrznej poierzchni rurociągu, zaierają nieznane spółczynniki, które yznacza się metodą najmniejszych kadrató. Wyznaczone spółczynniki ykazują dobrą zgodność ze spółczynnikami przyjętymi podczas roziązyania zagadnienia bezpośredniego. Słoa kluczoe: pomiar temperatury płynu, stan nieustalony, odrotne zagadnienie przeodzenia ciepła, metoda krocząca, korelacja na liczbę Nusselta 1. Wstęp Do dokładnego yznaczenia nieustalonej temperatury czynnika niezbędna jest identyfikacja spółczynnika nikania ciepła na zenętrznej poierzchni termometru o noej konstrukcji. Zastosoanie metody zostanie zilustroane na przykładzie yznaczania temperatury pary nasyconej przepłyającej rurociągu o promieniu poierzchni zenętrznej 0,1775 m i grubości ścianki 0,05 m. Do obliczeń zostaną przyjęte stałe łaściości fizyczne materiału ścianki rurociągu: iloczyn gęstości i ciepła łaściego ρc 3, J/(m 3 K), spółczynnik yrónyania temperatury (dyfuzyjność cieplna) a 7, m /s. Temperatura ścianki rurociągu będzie mierzona na poierzchni zenętrznej. Wenątrz 1 Autor do korespondencji/corresponding auor: Jan Taler, Politechnika Krakoska, al. Jana Pała II 37, Krakó, tel.: (1) , taler@mech.pk.edu.pl. Magdalena Jaremkieicz, Politechnika Krakoska, mjaremkieicz@pk.edu.pl.

2 5 J. Taler, M. Jaremkieicz rurociągu zostanie umieszczony cylinder staloy o promieniu poierzchni zenętrznej 0,0035 mm z otorem, środku którego znajduje się cienki termoelement. Właściości fizyczne elementu cylindrycznego są następujące: ρc 3, J/(m 3 K), a 1, m /s. Najpier będą ygeneroane dane pomiaroe dokładne, przez roziązanie zagadnienia bezpośredniego, a następnie yznaczone poszukiane spółczynniki korelacjach na liczbę Nusselta.. Matematyczne sformułoanie problemu Temperatura przepłyającego czynnika będzie yznaczana na podstaie pomiaru temperatury osi cylindra (termometru) oraz pomiaru temperatury ścianki (rys. 1.). Rys. 1. Pomiar temperatury czynnika rurociągu; 1 cylindryczny termometr, rurociąg, 3 izolacja rurociągu, P punkt pomiaru temperatury termometru usytuoany jego osi, P punkt pomiaru temperatury enątrz ścianki rurociągu Fig. 1. Measurement of e temperature of e medium in e pipeline; 1 cylindrical ermometer, pipeline, 3 insulation of e pipeline, P temperature measurement point located at e axis of e ermometer, P temperature measurement point inside e pipeline all Pole temperatury cylindrycznym termometrze jest opisane rónaniem nieustalonego przeodzenia ciepła: T 1 T c ( T ) ρ ( T ) rλ ( T ), 0 r r t r (1) oraz arunkami brzegoymi: T r r 0 0 () T f ( ) r 0 t (3) zadanymi środku cylindra dla r 0. Jest to odrotne zagadnienie przeodzenia ciepła, gdyż dla r 0 znana jest temperatura i gęstość strumienia ciepła, a temperatura zenętrznej poierzchni termometru nie jest znana.

3 Identyfikacja spółczynnika nikania ciepła We zorach (1)-(3) przyjęto następujące oznaczenia: c, ρ, λ odpoiednio ciepło łaście, gęstość i spółczynnik przeodzenia ciepła materiału termometru, f temperatura mierzona środku termometru, r promień, r promień poierzchni zenętrznej termometru, t czas, T temperatura termometru. Nieustalony rozkład temperatury ściance rurociągu yznacza się z rónania przeodzenia ciepła: T 1 T c ( T ) ρ ( T ) rλ ( T ), r r r t r in o (4) oraz arunkó brzegoych: T λ( T ) 0 ro (5) T f( t) (6) r m Gęstość strumienia ciepła na zenętrznej poierzchni rurociągu jest róna zeru (5) z uagi na przyjętą doskonałą izolację cieplną. Temperatura ścianki jest mierzona punkcie r r,m leżącym enątrz ścianki. W pracy przyjęto, że punkt P leży na zenętrznej poierzchni rurociągu i r,m r o. W arunku brzegoym (6) symbol f (t) oznacza zmierzony przebieg temperatury. Symbole r in i r o oznaczają odpoiednio promienie poierzchni enętrznej i zenętrznej rurociągu. Przy założeniu, że spółczynnik nikania ciepła na zenętrznej poierzchni termometru α jest znany, temperaturę płynu T f, (t) można yznaczyć z arunku brzegoego na zenętrznej poierzchni termometru: ( T, T ) T λ α f r r r z którego po przekształceniu otrzymuje się: (7) T f, λ T + r α T r (8) W podobny sposób można yznaczyć temperaturę czynnika T f, z arunku brzegoego na enętrznej poierzchni rurociągu, przy założeniu że spółczynnik nikania ciepła α jest znany. Z arunku brzegoego: ( T, T ) T λ α f r rin rin (9)

4 54 J. Taler, M. Jaremkieicz yznacza się temperaturę czynnika T f, : T f, λ T + rin α T rin (10) Temperatury czynnika T f, i T f, określone odpoiednio ze zoró (8) i (10) poinny być sobie róne. Z uagi na przybliżony charakter rozkładu temperatury enątrz termometru oraz ścianki, które są yznaczane z roziązania zagadnień odrotnych, temperatury te mogą się różnić. Rónież spółczynnik nikania ciepła α (t) na zenętrznej poierzchni termometru oraz spółczynnik nikania ciepła α (t) na enętrznej poierzchni rurociągu określa się z korelacji znanych literaturze. Są to zykle korelacje yznaczane dla przepłyu roziniętego hydrodynamicznie i termicznie arunkach ustalonych. W rzeczyistych rurociągach ystępują kolana, zaory, przeężenia lub rozszerzenia przekroju, które zmieniają rozkład prędkości i temperatury przepłyającym czynniku i poodują, że zory znane z literatury nie mogą być bezpośrednio stosoane do yznaczania spółczynnikó nikania ciepła. W celu yznaczenia temperatury płynu jest przyjmoana postać korelacji na liczbę Nusselta dla termometru i dla rurociągu, przy czym niektóre spółczynniki ystępujące korelacji na spółczynnik nikania ciepła na poierzchni termometru x 1,..., x m1 oraz ybrane spółczynniki korelacji na spółczynnik nikania ciepła na enętrznej poierzchni rurociągu x m1+1,..., x m ystępujące tych zorach są yznaczane za pomocą metody najmniejszych kadrató: n f, i f, i i 1 S( x ) T ( t ) T ( t ) (11) tak aby suma S osiągała minimum. Wektor poszukianych spółczynnikó x (x 1, x,...,x m1, x m1+1,..., x m ) T zaiera spółczynniki ystępujące korelacji na liczbę Nusselta zaróno dla termometru, jak i rurociągu. Liczba nieznanych spółczynnikó m musi być mniejsza niż liczba punktó czasoych n. Liczba punktó czasoych t i,, i 1,..., n, których są yznaczane temperatury czynnika T f, i T f,, poinna być dostatecznie duża, aby yeliminoać pły przypadkoych błędó pomiaru temperatury termometru ścianki i rurociągu. Zykle sumie S określonej zorem (11) uzględnia się kilkadziesiąt punktó czasoych. Dla opłyanego poprzecznie cylindra (termometru) przyjęto korelacje zaproponoane przez Churchilla i Bernsteina [], ażne dla Re Pr > 0,. W zależności od liczby Reynoldsa korelacje te mają następującą postać: Re >

5 Identyfikacja spółczynnika nikania ciepła /8 4/ 5 1/ 1/ 3 x 1 Re Pr Re /3 1/ 4 Nu 0, ( 0,4/ Pr) 8000 (1) < Re < / 1/ 3 1/ x1 Re Pr Re / 3 1/ 4 Nu 0, ( 0,4/ Pr) 8000 Re < (13) x1 Re Pr Nu 0, ( 0,4 / Pr ) 1/ 1/ 3 / 3 1/ 4 (14) Właściości fizyczne czynnika przyjmuje się dla średniej arytmetycznej temperatur czynnika i poierzchni cylindra. W oryginalnych zorach Churchilla i Bernsteina spółczynnik x 1 0,6. Przyjęto następującą postać korelacji na spółczynnik nikania ciepła na enętrznej poierzchni rurociągu (zór Dittusa-Boeltera) []: 4 /5 Nu Re Pr n p x p (15) gdzie: 0,7 Pr 160, Re p > , stosunek średnicy enętrznej rurociągu do jego długości r in /L > 10, natomiast n 0,4 dla nagrzeania, a n 3 dla chłodzenia. Właściości termofizyczne są yznaczone dla średniej artości temperatury płynu. W oryginalnej korelacji Dittusa-Boeltera x przyjmuje artość 0, Wyznaczanie nieustalonego rozkładu temperatury termometrze i ściance rurociągu Zagadnienie odrotne (1)-(3) dla termometru oraz zagadnienie dla rurociągu (4)-(6) roziązano metodą kroczącą [1]. Podział termometru i ścianki rurociągu na objętości skończone ilustrują odpoiednio rys. a i b. Kroczenie przestrzeni rozpoczyna się od punktu pomiaru temperatury, to jest od środka cylindra przypadku termometru i od zenętrznej poierzchni przypadku rurociągu. Kolejne temperatury ęzłach usytuoanych na promieniu termometru są obliczane z następujących zoró: ( r ) dt,1 1 T T + c ρ,,1,1,1 λ,1 + λ, (16)

6 56 J. Taler, M. Jaremkieicz 1 λ + λ 4 c ρ T T T T + r ( ) ( ) dt,1,,,,,3,,1, 3 λ,3 + λ, 3 λ,3 + λ, 3 λ + λ 8 c ρ T T T T + r ( ) ( ) dt,,3,3,3,3,4,3,,3 5 λ,4 + λ,3 5 λ,4 + λ,3 (17) (18) a) b) Rys.. Podział obszaru na objętości skończone: a) termometr cylindryczny, b) ścianka rurociągu Fig.. Division of e domain into finite volumes: a) cylindrical ermometer, b) pipeline all Temperaturę czynnika yznacza się z rónania bilansu energii dla ęzła nr 4: r d T,4 π r r c,4 ρ,4 r λ + λ T T π r + π r α T T (,,4 ),3,4,3,4 f r (19) z którego po przekształceniu otrzymuje się: 5 λ + λ 11 c ρ T T T T + r ( ) dt,3,4,4,4,4 f,,4,3,4 1 α r 4 α (0) gdzie: spółczynnik przeodzenia ciepła λ,i λ (T,i ), c,i c (T,i ), ρ,i ρ (T,i ), a krok przestrzenny kierunku promienioym Δr r /3.

7 Identyfikacja spółczynnika nikania ciepła W podobny sposób yznacza się temperaturę ścianki oraz temperaturę czynnika. Kroczenie przestrzeni rozpoczyna się od ęzła nr 4 kierunku poierzchni enętrznej. Z rónania bilansu energii dla ęzła nr 4 yznaczono temperaturę ęźle nr 3. Następnie są yznaczane kolejno temperatury ęzłach nr i nr 1. W yniku takiego postępoania otrzymuje się następujące yrażenia określające czasoe przebiegi temperatury e szystkich ęzłach: ( /) r r r T T r dt,3,4 + o o,4,4,4 ro r / λ,3 + λ,4 r,3,3 d in + r c ρ T, T, T,3 + 4( r ) r + 3 r λ + λ rin + 5 r λ + λ r + 3 r λ + λ c ρ in,,3,3,4 in,,4 ( T,4 T,3 ) r,, d in + r c ρ T, T,1 T, + 4( r ) r + r λ + λ rin + 3 r λ + λ r + r λ + λ in,1,,,3 in,1,3 ( T,3 T, ) (1) () (3) Z rónania bilansu energii dla ęzła nr 1: π r q + π r + λ + λ T T r d T,1 π rin + rin c,1 ρ,1,1,,,1 & in in rin (4) r został yznaczony strumień q& in: r d r T,1 λ,1 + λ, T, T,1 r q& in c,1 ρ, (5) 4rin r rin W celu określenia temperatury czynnika przepłyającego przez rurę, skorzystano z arunku brzegoego: (,,1 ) q& α T T (6) in f

8 58 J. Taler, M. Jaremkieicz z którego otrzymuje się ( ) ( ) T t T t q ( t) in f,,1 + & (7) α gdzie gęstość strumienia ciepła na enętrznej poierzchni rurociągu określona zorem (5). 4. Przykład zastosoania metody q& in jest Wyznaczone zostaną: temperatura przepłyającego czynnika T f (t) oraz spółczynnik x korelacji (15), przy założeniu, że spółczynnik x 1 e zorach (1)-(14) ynosi 0,6, zgodnie z propozycją Churchilla i Bernsteina. Promień poierzchni zenętrznej termometru r 3,5 mm 0,0035 m, a ymiary rurociągu są następujące: promień poierzchni zenętrznej r o 0,1775 m, grubość ścianki s r o r in 50 mm 0,05 m. Prędkość przepłyu pary odnej Rys. 3. Temperatura czynnika oraz mierzone temperatury termometru i ścianki rurociągu; 1 temperatura czynnika T f, temperatura osi termometru T,1, 3 temperatura zenętrznej poierzchni rurociągu T,1, 4 różnica temperatury między temperaturą czynnika i temperaturą osi termometru e T f T,1, 5 różnica temperatury między temperaturą czynnika i temperaturą zenętrznej poierzchni rurociągu e T f T,1 Fig. 3. Medium and measured temperatures of e ermometer and pipeline all temperature; 1 medium temperature T f, temperature in e axis of ermometer T,1, 3 temperature of pipeline outer surface T,1, 4 differrence beteen e fluid temperature and e temperature at e ermometer axis e T f T,1, 5 difference beteen e fluid temperature and e temperature on e outer surface of e pipeline e T f T,1

9 Identyfikacja spółczynnika nikania ciepła ynosi 15 m/s. Przy roziązaniu zagadnienia bezpośredniego przyjęto, że temperatura czynnika rośnie ze stałą prędkością v T dt f / 0,3333 K/s od temperatury początkoej rónej 0 C do 170 C. Po osiągnięciu temperatury 170 C temperatura czynnika pozostaje stała. Do obliczeń przyjęto następujące stałe łaściości fizyczne: c 469 J/(kg K), ρ 7836 kg/m 3, λ 48,4 W/(m K), c 486 J/(kg K), ρ 7750 kg/m 3, λ 9 W/(m K). Przebieg temperatur zenętrznej poierzchni termometru i rurociągu, które przyjęto jako zmierzone przebiegi temperatury, przedstaiono na rys. 3. Współczynniki nikania ciepła na poierzchni termometru i rurociągu obliczano za pomocą korelacji (1)-(14) i (15). W sumie kadrató uzględniono 00 punktó pomiaroych z krokiem czasoym 5 s. W yniku przeproadzonych obliczeń otrzymano stałą x 0,031. Jest to artość bardzo bliska stałej x 0,03, ystępującej e zorze Dittusa-Boeltera (15). Dla tych samych danych ejścioych przeproadzono obliczenia, przyjmując x 0,03 i yznaczając x 1. W tym przypadku otrzymano artość x 1 0,638, która różni się od artości x 1 0,6 przyjętej podczas generoania danych pomiaroych. Przyczyną iększego błędu yznaczania x 1 jest poolna odpoiedź zenętrznej poierzchni rurociągu na zmiany temperatury czynnika (rys. 3.). W celu popranego rónoczesnego yznaczenia stałych x 1 i x punkt pomiaru temperatury ścianki poinien być usytuoany nieielkiej odległości od enętrznej poierzchni rurociągu, tak aby tłumienie i opóźnienie sygnału ejścioego, jakim jest temperatura czynnika, nie było zbyt ielkie. 5. Podsumoanie Przedstaiona artykule metoda może być stosoana podczas yznaczania nieustalonej temperatury przepłyającego czynnika. Temperaturę czynnika można określić z dużą dokładnością dzięki zastosoaniu cylindrycznego termometru, którego osi jest mierzona jego temperatura. Wykorzystując jako sygnały ejścioe czasoe przebiegi temperatury mierzone środku termometru i ścianki, yznacza się temperaturę czynnika za pomocą metody kroczącej, dzięki której można roziązać odrotne zagadnienie przeodzenia ciepła. Z przeproadzonych obliczeń testoych ynika, że aby praidłoo zidentyfikoać temperaturę czynnika, promień zenętrznej poierzchni termometru poinien być tego samego rzędu co odległość punktu pomiaru temperatury ścianki od poierzchni enętrznej rurociągu. Podziękoanie Przedstaione artykule yniki zostały uzyskane badaniach spółfinansoanych przez Narodoe Centrum Badań i Rozoju ramach umoy PBS1/A4/4/01 Projekt Badań Stosoanych Opracoanie nooczesnych metod oceny trałości resztkoej elementó ciśnienioych instalacji energetycznych.

10 60 J. Taler, M. Jaremkieicz Literatura [1] Jaremkieicz M.: Odrotne zagadnienia ymiany ciepła ystępujące pomiarach nieustalonej temperatury płynó, Wydan. Politechniki Krakoskiej, Krakó 01. [] Krei F.: The CRC Handbook of Mechanical Engineering, CRC Press, Inc., Boca Raton, Florida IDENTIFICATION OF THE HEAT TRANSFER COEFFICIENT ON THE EXTERNAL SURFACE OF THE THERMOMETER USED FOR DETERMINING TRANSIENT FLUID TEMPERATURE S u m m a r y The aim of e study as to develop a meod of determining e heat transfer coefficient on e outer surface of e ermometer i e large diameter casing, hich is used for measuring e temperature of e fluid floing under high pressure. The meod is based on solving e inverse heat conduction problems. The heat transfer coefficient is determined based on measuring e temperature in e middle of e solid cylinder and e temperature of e pipeline all hich is ermally insulated. The heat transfer coefficient on e inner surface of e pipeline is calculated using e knon correlation for e Nusselt number. The correlation for e Nusselt number contains one unknon coefficient hich is determined using e least squares meod. Several time points are taken into account in e sum of temperature difference squares. The estimated coefficients are in good agreement i e input values used for e solution of e inverse problem. Keyords: fluid temperature measurement, transient state, inverse heat conduction problem, stepise meod, correlation for Nusselt number DOI: /rm Otrzymano/received: r. Zaakceptoano/accepted: r.