Gry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie

Transkrypt

1 Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki Joanna Sujka Nr albumu: Gry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie TEORII GIER Praca wykonana pod kierunkiem dr Roberta Kowalczyka Katedra Analizy Nieliniowej Łódź 2015

2 Spis treści 1. Podstawowe definicje i fakty Gra w postaci normalnej i macierzowej Punkty równowagi i strategie dominujące Rozwiązywalność gier dwuosobowych o sumie zerowej Punkty siodłowe i strategie dominujące Twierdzenie o minimaksie Rozwiązywanie gier 2x Graficzne rozwiązywanie gier 2 n i m Metoda sympleks w teorii gier Zastosowanie gier dwuosobowych o sumie zerowej do różnych nauk Teoria gier a militaria Teoria gier a antropologia Gry z naturą Zakończenie

3 Wstęp Teoria gier to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w sytuacji konfliktu interesów. Wywodzi się ona z gier hazardowych i taka jest też jej terminologia. Za jej początek uważa się rok 1944, kiedy to John von Neumann i Oskar Morgenstern opublikowali książkę Teoria gier i zachowania w gospodarce. Gry są modelem sytuacji konfliktowych, w których występują strony dążące do przeciwstawnych celów. Strony te nazywane są graczami, a wynik konfliktu wygraną jednej ze stron. Graczem może być człowiek, grupa, jednostka ekonomiczna, zwierzę itd. Żeby jakąś sytuację nazwać grą, musi w niej występować przynajmniej dwóch graczy. Gracze dokonują wyboru między dostępnymi im opcjami, które nazywać będziemy strategiami. Wynik czyli wypłata, którą uzyskuje każdy z graczy zależy od ich własnych decyzji jaki i od decyzji innych graczy. W niniejszej pracy magisterskiej omówione zostały gry dwuosobowe o sumie zerowej. Są to gry, w których wygrana jednego gracza oznacza przegraną gracza drugiego. Praca ta składa się z niniejszego Wstępu i czterech rozdziałów, przy czym ostatni z nich stanowi krótkie zakończenie. W rozdziale pierwszym przedstawione są podstawowe pojęcia dotyczące gier dwuosobowych o sumie zerowej. Rozdział drugi poświęcony został metodom rozwiązywania gier dwuosobowych o sumie zerowej. W pierwszej kolejności omówiono rozwiązywanie gier w strategiach czystych. Udowodnione zostały twierdzenia dotyczące punktów siodłowych. Następnie rozwinięty został dowód twierdzenia o minimaksie, pozwalając czytelnikowi w pełni zrozumienie jego treści. Rozdział drugi został uzupełniony o przykłady obrazowujące rozwiązywanie gier dwuosobowych o sumie zerowej. Pokazana została metoda redukcji gry dwuosobowej o sumie zerowej do problemu programowania liniowego, którą oparto na pozycji [4] z bibliografii. Rozdział trzeci zawiera zastosowania dwuosobowych gier o sumie zerowej do różnych dziedzin życia, takich jak militaria i antropologia. Zastosowania te zaczerpnięte zostały z pozycji [2] bibliografii. W rozdziale tym omówione zostały również gry z naturą, czyli z przeciwnikiem, który nie jest zainteresowany wynikiem gry. Rozważyliśmy inwestycje podziemnnego magazynowania gazu, gdzie wszystkie dane i tableki zostały 3

4 zaczerpnięte z pozycji [8] bibliografii. Rozdział czwarty to zakończenie niniejszej pracy. 4

5 Rozdział 1 Podstawowe definicje i fakty Aby przybliżyć istotę teorii gier przedstawimy najpierw prosty przykład gry rozegranej pomiędzy dwójką dzieci Przykład 1.1 (zob.[10]) Paweł i Adam mają po 20 cukierków. Paweł chcąc zwiekszyć liczbę swoich cukierków, zaproponował Adamowi by zagrali w pewną grę. Na kartce papieru narysował koło i podzielił je na 6 części, tak jak na poniższym rysunku. Strzałka oznacza punkt startowy. W jednym kroku strzałka może się przesunąć o kąt 50 w lewo lub 50 w prawo. Czarne kropki oznaczają punkty, w których strzałka pojawi się przy obrotach w prawo, a czerwone przy obrotach w lewo. Zasady gry są następujące: Paweł wybiera kierunek ruchu strzałki; Adam wybiera liczbą kroków (od 1 do 3) o jaką ma się przesunąć strzałka; gracze zapisują na kartce swoje decyzje, a nastepnie pokazują je jednocześnie; po ujawnieniu swoich decyzji strzałka zostaje przesunięta we właściwym kierunku o właściwą liczbę kroków. 5

6 Jeżeli strzałka wskaże liczbę czarną wtedy taką ilość cukierków dostaje Paweł od Adama. Natomiast liczba czerwona mówi, ile cukierków dostanie Adam od Pawła. Możliwe decyzje graczy nazywane są strategiami. Paweł posiada dwie strategie: ruch strzałki w lewo i ruch strzałki w prawo. Strategie te oznaczymy przez a 1 i a 2, odpowiednio, a zbiór wszystkich strategii Pawła oznaczymy przez A. Adam posiada trzy strategie: przesunięcie strzałki o 1, 2 lub 3 kroki. Strategie te oznaczymy przez b 1,b 2 i b 3,odpowiednio, a zbiór wszystkich strategii Adama przez B. Dla każdej pary strategii (a i, b j ), i = 1, 2, j = 1, 2, 3 okreslona jest wypłata (liczba cukierków) przysługująca każdemu z graczy. Zauwazmy, że w rozważanej grze liczba cukierków, które dostaje jeden z graczy jest zawsze równa liczbie cukierków, które oddaje mu drugi z graczy. Grę w której suma wygranych jest równa zero nazywamy grą o sumie zerowej. W grach o sumie zerowej określa się wypłaty jednego z graczy, gdyż wypłata gracza drugiego będzie liczbą przeciwną. Wartości funkcji wypłat można przedstawić również w postaci tzw. macierzy wypłat. W naszym przypadku macierz wypłat gry między Pawłem i Adamem będzie następująca: 1.1. Gra w postaci normalnej i macierzowej Definicja 1.1 Grą dwuosobową G w postaci normalnej nazywamy parę uporządkowaną postaci G = ((A, B), (u 1, u 2 )), gdzie A jest skończonym zbiorem strategii czystych gracza I, B jest skończonym zbiorem strategii czystych gracza II, zaś u 1, u 2 : A B R są funkcjami wypłat, odpowiednio, graczy I i II. Definicja 1.2 Mówimy, że dwuosobowa gra G jest grą o sumie zerowej jeżeli dla dowlonej pary strategii (a, b) A B zachodzi warunek u 1 (a, b) + u 2 (a, b) = 0. 6

7 Zauważmy, że w grach dwuosobowych o sumie zerowej wygrana gracza I jest przegraną gracza II i na odwrót. W dalszej części pracy grę dwuosobową o sumie zerowej bedziemy oznaczać krótko przez G = (A, B, u), gdzie u jest wypłatą gracza I (oczywiście u wypłatą gracza II). Grę dwuosobową o sumie zerowej możemy zapisać również w formie macierzowej. Ustala to następująca definicja: Definicja 1.3 (zob.[1]) Niech G = (A, B, u) będzie grą dwuosobową o sumie zerowej oraz niech A = {a 1, a 2,..., a m } oraz B = {b 1, b 2,..., b m } będą zbiorami wszystkich strategii czystych, odpowiednio, gracza I i II, natomiast u : A B R będzie wypłatą gracza I. Macierz W = [w ij ] 1 i m,1 j n zdefiniowaną wzorem w ij = u(a i, b j ), i = 1, 2,... m, j = 1, 2,..., n, nazywamy macierzą gry G, a trójkę upaorządkowaną G = (A, B, W ) nazywamy reprezentacja gry G w postaci macierzowej. Powyższą grę G można rozumieć w następujący sposób: gracz I wybiera strategię a i, i = 1,..., m, ze zbioru A, a gracz II wybiera startegię b j, j = 1,..., n, ze zbioru B. Następnie I otrzymuje wypłatę w ij (gracz II otrzymuję wypłatę w ij ). W teorii gier możemy rozważać również model mieszanego rozszerzenia gry, w którym gracze aby wygrać jak najwięcej albo, co na jedno wychodzi, przegrać jak najmniej, muszą stosować z określonym prawdopodobieństwem poszczególne strategie czyste. Mówimy wówczas, że gracz stosuje tzw. strategię mieszaną. Podamy teraz formalną definicję takiej strategii. Definicja 1.4 (zob.[10]) Strategią mieszaną gracza I nazywamy skokowy rozkład prawdopodobieństwa określony na zbiorze A jego strategii czystych, tzn. wektor x = (x 1, x 2,..., x m ) taki, że: i=1,...,m x i 0 oraz m x i = 1. i=1 Strategią mieszaną gracza II nazywamy skokowy rozkład prawdopodobieństwa określony na zbiorze B jego strategii czystych, tzn. wektor y = (y 1, y 2,..., y n ) taki, że:,...,n y j 0 oraz n y j = 1. 7

8 Jeżeli strategia mieszana gracza jest rozkładem jednopunktowym, tzn. x i = 1 i x j = 0, j i, to staje się ona strategią czystą, czyli jest stosowana z prawdopodobieństwem 1. Definicja 1.5 (zob.[10]) Niech dana będzie gra G = (A, B, W ). Grę G = (A, B, W ), gdzie m A = {x = (x 1, x 2,..., x m ) : x i 0, i = 1,..., m, x i = 1} i=1 jest zbiorem wszystkich strategii mieszanych gracza I, B = {y = (y 1, y 2,..., y n ) : y j 0, j = 1,..., n, n y j = 1} jest zbiorem wszystkich startegii mieszanych gracza II, natomiast W jest średnią funkcją wypłaty określoną formułą: m n W (x, y) = xw y T = x i w ij y j, i=1 nazywamy mieszanym rozszerzeniem gry G Punkty równowagi i strategie dominujące Zaczniemy od przypomnienia definicji funkcji min i max dla dwóch i ogólnie n liczb rzeczywistych. Dla dowolnych liczb a, b R określamy a, gdy a b min{a, b} = b, gdy a > b oraz a, gdy a b max{a, b} =. b, gdy a < b Ponadto min i max z n liczb a 1, a 2,..., a n definiujemy jako min{a 1, a 2,..., a n } = min{{a 1, a 2,..., a n 1 }, a n } oraz max{a 1, a 2,..., a n } = max{{a 1, a 2,..., a n 1 }, a n }. Niech dana będzie gra G = (A, B, W ), gdzie A = {a 1,..., a n } oraz B = {b 1,..., b n } są zbiorami strategii, odpowiednio, gracza I i II. 8

9 Definicja 1.6 (zob.[9]) Strategią bezpieczeństwa gracza I nazywamy strategię a i0 A dla której spełniony jest warunek min w i 0 j = max,...,n min w ij. i=1,...,m,...,n Strategią bezpieczeństwa gracza II nazywamy startegię b j0 B dla której spełniony jest warunek max w ij 0 = i=1,...,m min max w ij.,...,n i=1,...,m Oczywiście takie strategie zawsze istnieją, gdyż min i max są poprawnie określone. Definicja 1.7 (zob.[9]) Dolną wartością gry G nazywyamy liczbę v 1 = max i=1,...,m min w ij. (1.1),...,n Zauważmy, że wielkość v 1 mówi o tym, że jezeli gracz I będzie stosował strategię odpowiadającą dolnej wartości gry, to przy jakimkolwiek poczynianiu przeciwnika ma zagwarantowaną wygraną nie mniejszą niż v 1. Definicja 1.8 (zob.[9]) Górną wartością gry G nazywamy liczbę v 2 = min,...,n max w ij. (1.2) i=1,...,m Zauważmy, że wielkość v 2 mówi o tym, że jeżeli gracz II będzie stosował strategię odpowiadającą górnej wartości gry, to w żadnym wypadku nie przegra więcej niż v 2. Definicja 1.9 (zob.[1]) Strategia odpowiadająca wierszowi, w którym znajduje się dolna wartość gry nazywamy strategią maksiminową. Strategia odpowiadająca kolumnie, w której znajduje się górna wartość gry nazywyamy strategią minimaksową. Definicja 1.10 (zob.[1]) Jeżeli dolna wartość gry jest równa górnej wartości gry, to ich wspólna wartość oznaczana przez v nazywa się wartością gry. Definicja 1.11 (zob.[9]) Punktem równowagi gry G = (A, B, W ) (o ile istnieje) nazywamy taką parę strategii (a i0, b j0 ), że dla wszystkich i = 1,..., m oraz j = 1,..., n zachodzi warunek w ij0 w i0 j 0 w i0 j. (1.3) Zauważmy, że powyższą definicje można zapisać również dla gry podanej w postaci G = (A, B, u), tzn. (a i0, b j0 ) jest punktem równowagi gry G jeśli dla dowolnych i = 1,..., m oraz j = 1,..., n zachodzi warunek u(a i, b j0 ) u(a i0, b j0 ) u(a i0, b j ). (1.4) 9

10 Definicja 1.12 (zob.[9]) Element w i0 j 0 macierzy W spełniający warunek (1.3) nazywamy punktem siodłowym macierzy W. Definicja 1.13 (zob.[1]) Strategie a i0 A oraz b j0 B spełniające nierówności (1.3) lub równoważnie (1.4) nazywamy optymalnymi startegiami czystymi gracza I i II, odpowiednio. Znalezienie strategii optymalnych nazywamy rozwiązaniem gry. Definicja 1.14 (zob.[2]) Mowimy, że i-ty wiersz macierzy W = [w ij ] dominuje k-ty wiersz tej macierzy, jeśli oraz,...,n,...,n w ij w kj w ij > w kj. Mówimy, że j-ta kolumna macierzy W dominuje l-tą kolumnę tej macierzy, jeśli i=1,...,m w ij w il oraz i=1,...,m w ij < w il. Definicja 1.15 (zob.[1]) Dla gry G = (A, B, W ) będącej mieszanym rozszerzeniem gry G = (A, B, W ) liczbę k 1 = max x A min y B W (x, y) nazywamy dolną wartością gry G, zaś liczbę nazywamy górną wartością gry G k 2 = min y B max x A W (x, y) Jeżeli istnieje strategia mieszana x = (x 1, x 2,..., x m ) gracza I spełniająca warunek,...,n m x i w ij v, (1.5) i=1 to mówimy, że jest ona optymalna dla gracza I w tym sensie, że nie ma strategii, która dawałaby mu przeciw każdej strategii gracza II wartość oczekiwaną wyższą niż v. Podobnie, jeżeli istnieje strategia mieszana y = (y 1, y 2,..., y n ) gracza II spełniająca warunek i=1,...,m n w ij y j v, (1.6) 10

11 to mówimy, że jest ona optymalna dla gracza II pod tym względem, że nie ma strategii, która dawałaby mu przeciw każdej strategii gracza I wartość oczekiwaną niższą niż v. Jeżeli strategie mieszane x i y spełniają nierówności (1.5) oraz (1.6) to wówczas zachodzi równość xw y T = v. Taką parę strategii (x, y) nazywamy parą strategii optymalnych i tworzy ona rozwiązanie gry, natomiast v jest wartością tej gry. 11

12 Rozdział 2 Rozwiązywalność gier dwuosobowych o sumie zerowej W rozdziale tym przedstawione są różne metody rozwiązywania gier dwuosobowych o sumie zerowej. Do rozwiązywania gier w strategiach czystych będzie służyło nam pojęcie punktów siodłowych i strategii dominujących. Następnie przejdziemy do strategii mieszanych. Każda gra dwuosobowa o sumie zerowej posiada rozwiązanie, o czym mówi udowodnione w tym rozdziale twierdzenie. Dalej, udowodnione zostało twierdzenie o rozwiązywaniu gier o macierzy wypłat wymiaru 2 2. Przedstawiona została również metoda graficzna rozwiązywania gier oraz metoda sympleks Punkty siodłowe i strategie dominujące Zauważmy, że dla dowolnych n liczb rzeczywistych a 1,..., a n prawdziwe są własności: (i) min{a 1,..., a n } a i oraz i=1,...,n i=1,...,n a i max{a 1,..., a n }; (ii) min{a 1,..., a n } max{a 1,..., a n }; (iii) jeśli M; (iv) jeśli M. i=1,...,n i=1,...,n a i M, to min{a 1,..., a n } M oraz max{a 1,..., a n } a i M, to min{a 1,..., a n } M oraz max{a 1,..., a n } Twierdzenie 2.1 (zob.[9]) Niech (a i0, b j0 ), (a i1, b j1 ) będą punktami równowagi gry dwuosobowej G = (A, B, W ) o sumie zerowej. Wówczas 12

13 (i) (a i0, b j1 ), (a i1, b j0 ) są punktami równowagi gry G; (ii) w i0,j 0 = w i1,j 1 = w i0,j 1 = w i1,j 0. Dowód. Ponieważ para (a i0, b j0 ) jest punktem równowagi gry G, a więc dla wszystkich i = 1,..., m oraz j = 1,..., n mamy w i,j0 w i0,j 0 w i0,j. Podobnie (a i1, b j1 ) jest punktem równowagi, więc dla wszystkich i = 1,..., m oraz j = 1,..., n mamy w i,j1 w i1,j 1 w i1,j. Stąd w i0,j 0 w i0,j 1 w i1,j 1 w i1,j 0 w i0,j 0. Ponieważ liczba w i0,j 0 wystepuje po lewej i po prawej stronie powyższej nierówności więc w powyższej nierowności jest równość, co dowodzi (ii). By wykazać, że (a i0, b j1 ) jest punktem równowagi gry G, zauważmy, że dla wszystkich i = 1,..., m oraz j = 1,..., n zachodzi warunek w i,j1 w i1,j 1 = w i0,j 1 = w i0,j 0 w i0,j tzn. w ij1 w i0,j 1 w i0,j. Podobnie aby wykazać, że (a i1, b j0 ) jest punktem równowagi gry G, zauważmy, że dla wszystkich i = 1,..., m oraz j = 1,..., n zachodzi warunek w i,j0 w i0,j 0 = w i1,j 0 = w i1,j 1 w i1,j, tzn. w i,j0 w i1,j 0 w i1,j. Twierdzenie 2.2 (zob.[9]) Dla dowolnej gry macierzowej G = (A, B, W ) zachodzi nierówność v 1 v 2, gdzie liczby v 1 i v 2 są zdefiniowane w (1.1) i (1.2), odpowiednio. 13

14 Dowód. Dla dowolnych i = 1,..., m, j = 1,..., n zachodzi nierówność w ij max i=1,...,m w ij. Zatem dla każdego i = 1,..., m prawdziwa jest nierówność: min w ij,...,n min max w ij.,...,n i=1,...,m Zauważmy, że prawa strona powyższej nierówności jest równa v 2, tzn. dla dowolnego i = 1,..., m min w i,j v 2.,...,n A zatem maksimum lewej strony po wszystkich i = 1,..., m spełnia warunek max i=1,...,m min w ij v 2,,...,n gdzie lewa strona nierówności to v 1. Ostatecznie v 1 v 2. Twierdzenie 2.3 (zob.[9]) Niech G = (A, B, W ) będzie grą dwuosobową o sumie zerowej. Jeżeli macierz W posiada punkt siodłowy w i0 j 0, to para startegii w równowadze (a i0, b j0 ) gry G jest utworzona przez strategie bezpieczeńswta graczy I i II,odpowiednio, oraz G posiada wartość. Dowód. Niech (a i0, b j0 ) będzie punktem równowagi gry G. Dla dowolnych i = 1,..., m oraz j = 1,..., n mamy wówczas w ij0 w i0 j 0 w i0 j. Stąd Zauważmy jednak, że max w ij 0 w i0 j 0 min w i 0 j. i=1,...,m,...,n v 2 = min,...,n max w ij max w ij 0 w i0 j 0 min w i 0 j max i=1,...,m i=1,...,m,...,n i=1,...,m min m ij = v 1,,...,n co wobec faktu, że v 1 v 2 oznacza, że v 1 = v 2 i w podanej nierówności jest równość. Oznacza to, że strategie bezpieczeństwa graczy I i II to a i0 jest wartością gry. 14 i b j0, odpowiednio i, że v

15 Twierdzenie 2.4 (zob.[9]) Niech G = (A, B, W ) bedzie dwuosobową grą o sumie zerowej. Przypuśćmy, że G ma wartość v oraz a i0 A, b j0 B są strategiami bezpieczeństwa, odpowiednio, graczy I i II. Wówczas (a i0, b j0 ) jest punktem równowagi gry G. Dowód. Niech a i0,b j0 Wówczas będą strategiami bezpieczeńswta, odpowiednio, graczy I i II. v 1 = max i=1,...,m min w ij = min w i 0 j w i0 j 0 max w ij 0 =,...,n,...,n i=1,...,m min,...,n max w ij = v 2. i=1,...,m Ponieważ v 1 = v 2, zatem w powyższej nierówności zachodzi równość. Oznacza to, że w ij0 w i0 j 0 w i0 j, dla wszystkich i = 1,..., m oraz j = 1,..., n, tzn. (a i0, b j0 ) jest punktem równowagi gry G. Przykład 2.1 Rozważmy grę dwuosobową postaci Zauważmy, że gracz I ma trzy strategie: a 1, a 2, a 3, natomiast gracz II ma także trzy strategie: b 1, b 2, b 3. Zapiszmy tę grę w postaci macierzowej Korzystając ze wzoru (1.1) znajdziemy wartość dolną rozważanej gry. Minima z każdego wiersza wynoszą: dla i = 1 min w 1j = min{w 11, w 12, w 13 } = min{1, 0, 1} = 0;,...,3 15

16 dla i = 2 dla i = 3 min w 2j = min{w 21, w 22, w 23 } = min{2, 3, 1} = 1;,...,3 min w 3j = min{w 31, w 32, w 33 } = min{0, 1, 0} = 0.,...,3 Największą liczbą z uzyskanych minimów jest 1 zatem wartość dolna gry wynosi v 1 = 1. Znajdziemy teraz wartość górną, zgodnie ze wzorem (1.2). Maksima z każdej kolumny wynoszą: dla j = 1 dla j = 2 dla j = 3 max w i1 = max{w 11, w 21, w 31 } = max{1, 2, 0} = 2; i=1,...,3 max w i2 = max{w 12, w 22, w 23 } = max{0, 3, 1} = 3; i=1,...,3 max w i3 = max{w 13, w 23, w 33 } = max{ 1, 1, 0}. i=1,...,3 Najmniejszą liczbą z uzyskanych maksimów jest 1 zatem wartość górna gry wynosi v 2 = 1. Zauważmy, że v 1 = v 2, więc na mocy definicji 1.10 wartość gry v = 1. Strategią optymalną gracza pierwszego jest więc strategia a 3, zaś stategią optymalną gracza drugiego jest strategia b 3. Wówczas gracz I wygrywa 0 i gracz II wygrywa 0. Gdy rozważamy gry o dużej macierzy wymiaru m n, znalezienie punktu siodłowego (o ile istnieje) można uprościć zmniejszając wymiar macierzy poprzez usunięcie zdominowanych wierszy lub kolumn (o ile istnieją). Z definicji strategii dominujących wynika, że strategia czysta dominuje inną strategie czystą jeżli każdy wyniki dawany przez strategię dominującą, jest co najmniej równie korzystny, co odpowiedni wynik dawany przez strategię zdominowaną, a przynajmniej jeden wynik dawany przez strategię dominującą jest bardziej korzystny niz odpowiedni wynik dawany przez strategię zdominowaną. Zatem gracz nie będzie używał strategii zdominowanych. Mówi o tym nastepujące twierdzenie: Twierdzenie 2.5 (zob.[2]) Niech G = (A, B, W ) będzie grą macierzową o sumie zerowej. Załóżmy, że wiersze i 1, i 2,..., i m macierzy W są zdominowane. Wówczas gracz I ma optymalną strategię x = (x 1, x 2,..., x k ) taką, że x i1 = x i2 = = x im = 0. Ponadto każda strategia optymalna dla gry G utworzonej z gry G przez usunięcie wierszy zdominowanych będzie również startegią optymalną dla gry wyjściowej G. 16

17 Twierdzenie 2.6 (zob.[2]) Niech G = (A, B, W ) będzie grą macierzową o sumie zerowej. Załóżmy, że kolumny j 1, j 2,..., j n macierzy W są zdominowane. Wówczas gracz II ma optymalną strategię y = (y 1, y 2,..., y k ) taką, że y j1 = y j2 = = y jn = 0. Ponadto, każda strategia optymalna dla gry G utworzonej z gry G przez usunięcie kolumn zdominowanych będzie również startegią optymalną dla gry wyjściowej G. Przykład 2.2 Rozważmy grę dwuosobową o sumie zerowej o następującej macierzy wypłat W= Zauważmy, że trzecia kolumna dominuje czwartą. Istotnie, 0 2, 8 10, 5 5, 2 14, Zatem gracz II nie użyje swojej czwartej strategii ponieważ jest to dla niego nieopłacalne. Macierz W można zatem zredukować do macierzy W 1 postaci: W 1 = Łatwo zauważyć, że w tej macierzy piąty wiersz dominuje drugi. Istotnie 9 0, 3 3, 9 8. Zatem po skreśleniu drugiego wiersza otrzymujemy macierz W 2 postaci: W 2 = Z kolei w tej macierzy czwarty wiersz dominuje pierwszy. Istotnie 9 9, 3 3,

18 Zauważmy też, że jednocześnie druga kolumna dominuje pierwszą, gdyż 3 9, 4 5, 4 8, 3 9. Strategie zdominowane mogą zostać usunięte i mamy macierz W 3 postaci: 4 5 W 3 = Teraz pierwszy wiersz dominuje drugi, gdyż 4 4, 5 2. Ostatecznie mamy macierz gry W 4 postaci: W 4 = Grę tę możemy dalej rozwiązać tak jak w przykładzie (2.1). Wypiszmy minima każdego wiersza: dla i = 1 dla i = 2 min w 1j = min{4, 5} = 4;,2 min w 2j = min{3, 9} = 3.,2 Maksimum z uzyskanych minimów wynosi 4, zatem v 1 = 4. Obliczmy teraz maksima każdej kolumny. dla j = 1 dla j = 2 max w i1 = max{4, 3} = 4; i=1,2 max w i2 = max{5, 9} = 9. i=1,2 Minimum z obliczonych maksimów wynosi 4 zatem v 2 = 4. Ponieważ v 1 = v 2,więc wartość gry wynosi v = 4,a strategiami optymalnymi graczy I i II są odpowiednio strategie a 1 i b 1 macierzy W 4. Ostatecznie gracz I powinien zagrać strategię mieszaną postaci (a 1, 0, 0, 0, 0), a gracz II strategię mieszaną (b 1, 0, 0, 0). 18

19 2.2. Twierdzenie o minimaksie Rozwiązanie dla każdej gry dwuosobowej G = (A, B, W ) o sumie zerowej można otrzymać stosując strategie czyste tylko wtedy gdy macierz W ma punkt siodłowy. Jeżeli taki punkt nie istnieje to można wtedy stosować strategie mieszane. O istnieniu takich strategii mówi twierdzenie o minimaksie, które będzie przedstawione w tym podrozdziale. Przypuśćmy, że gracze I i gracz II rozgrywają grę macierzową W. Wiemy, że jeżeli gracz I wybierze strategię mieszaną x = (x 1,..., x m ), a gracz II wybierze strategię mieszaną y = (y 1,..., y n ), to oczekwana wypłata wyniesie m n W (x, y) = xw y T = x i w ij y j. i=1 Gdyby gracz II odkrył wybór strategii x użytej przez gracza I, wtedy gracz II z pewnością wybierze strategię y w taki sposób, aby zminimalizować wielkość W (x, y). Dolną wygraną gracza I, przy założeniu, że użyje on strategii x definiujemy jako Zauważmy, że xw y T przeciw strategiom gracza II, tzn. v(x) = min y B xw yt. jest średnią ważoną wypłat gracza I, jeżeli użyje on strategii x xw y T = xw 1 y 1 + xw 2 y xw m y n, gdzie W j oznacza j-tą kolumnę macierzy M. Ponieważ xw y T jest funkcją liniową (a zatem ciągłą) zmiennych y 1, y 2,..., y n więc osiąga minimum na sympleksie B (zbiór zwarty) w jednym z wierzchołków zbioru B. Stąd też mamy v(x) = min,...,n xw j. Gracz I wybierze teraz taką strategię x, by zmaksymalizować wartość v(x), tzn. Oczywiście funkcja k 1 = max x B x min,...,n xw j. min,...,n xw j jest funkcją ciągłą i na zbiorze zwartym A osiąga zatem swoje maksimum. Strategię x realizującą to maksimum nazywamy strategią maksyminową gracza I. 19

20 Podobnie, gracz II musi obawiać się, że gracz I odkryje wybór jego strategii y. Wtedy z pewnością gracz I wybierze x w taki sposób, aby zmaksymalizować wielkość W (x, y). Górna przegrana gracza II, przy założeniu, że wybierze on strategię y, wynosi Ponieważ xw y T przeciw strategią gracza I, więc v(y) = max x A xw yt. jest średnią ważoną wypłat gracza II, jeżeli używa on strategii y xw y T = x 1 W 1 y T + x 2 W 2 y T + + x m W m y T, gdzie W i oznacza i-ty wiersz macierzy W. Ponieważ xw y T jest funkcją liniową (a zatem ciągłą) zmiennych x 1, x 2,..., x m, więc osiąga maksimum na sympleksie A (zbór zwarty) w jednym z jego wierzchołków. Stąd też mamy v(y) = max i=1,...,m W i y T. Gracz II powinien zatem wybrać strategię y, tak by zminimalizować wielkość v(y), tzn. Ponieważ funkcja k 2 = min max W i y T. i=1,...,m y B y max i=1,...,m W i y T jest funkcją ciągłą na zbiorze zwartym B więc osiąga swoje minimum. Strategię y realizującą to minimum nazywamy strategią minimaksową gracza II. Łatwo pokazać, że k 1 k 2, a dowód jest analogiczny jak dla strategii czystych. lemat. Do dowodu głownego twierdzenia tego podrozdziału potrzebny będzie następujący Lemat 2.1 (zob.[2]) Niech M = [m ij ] będzie macierzą o wymiarach m n. Wówczas zachodzi jeden z poniższych warunków: (i) Punkt 0 (w przestrzeni m-wymiarowej) jest zawarty w uwypukleniu zbioru n + m punktów: w 1 = (w 11, w 21..., w m1 ), w 1 = (w 12, w 22..., w m2 ), w n = (w 1n, w 2n..., w mn ), e 1 = (1, 0,..., 0), 20

21 e 2 = (0, 1,..., 0), e m = (0, 0,..., 1). (ii) Istnieją liczby x 1,..., x m takie, że x i > 0, dla i = 1,..., m, m x i = 1, i=1 m w ij x i > 0 dla j = 1,..., n. i=1 Twierdzenie 2.7 (o minimaksie). (zob.[2]) Każda gra G = (A, B, W ) będąca mieszanym rozszerzeniem gry macierzowej G = (A, B, W ) posiada rozwiązanie. Dowód. Nech G = (A, B, W ) będzie grą macierzową. Na mocy lematu (2.1) spełniony musi być jeden z warunków (i) lub (ii). Jeżeli spełniony jest warunek (i), to 0 jest kombinacją liniową n + m wektorów m wymiarowych postaci: w 1 = (w 11, w 21,..., w m1 ), w 1 = (w 12, w 22,..., w m2 ), w n = (w 1n, w 2n..., w mn ), e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0), e m = (0, 0,..., 1). Oznacza to, że istnieją liczby s 1, s 2..., s n+m takie, że s j 0 dla j = 1, 2,..., n + m, oraz m+n s j = 1 s 1 w 1 + s 2 w s n w n + s n+1 e 1 + s n+2 e s n+m e n+m = 0. 21

22 Stąd dostajemy n s j m ij + s n+i = 0 dla i = 1,..., m. Gdyby wszystkie liczby s 1,..., s n były równe zeru, to wynikałoby stąd, że 0 jest wypukłą kombinacją liniową m wektorów jednostkowych e 1,..., e m, co oczywiście jest niemożliwe, bo wektory te są liniowo nizależne. A zatem co najmniej jedna z liczb s 1,..., s n jest dodatnia, a stąd n s j > 0. Możemy teraz określić nowy ciąg (y 1, y 2,..., y n ) wzorem y j = s j n Zauważmy, że zachodzą zależności: (i) y j 0 dla wszystkich j = 1,..., n, s j, dla j = 1,..., n. (ii) (iii) n y j = 1, n w ij y j = s n+i n 0 dla wszystkich i = 1,..., m. s j Istotnie, (i) zachodzi, ponieważ n s j > 0 oraz s j 0 dla j = 1,..., n. By wykazać (ii) zauważmy, że n n s j y j = n = s j n s j n = 1. s j Pokażemy teraz (iii). Mamy dla dowolnego i = 1,..., m n n s j w ij y j = w ij n = s j n w ij s j n s j = s n+i n 0. s j Zatem A stąd n v(y) = max w ij y j 0. i=1,...,m k 2 = min v(y) 0. y B Przypuśćmy teraz, że spełniony jest warunek (ii) lematu 2.1. Wówczas m v(x) = min w ij x i > 0.,2,...,n i=1 22

23 Stąd k 1 = max v(x) > 0. x A A zatem albo k 2 0 albo k 1 > 0. Wynika stąd, że warunek k 1 0 < k 2 nie może być spełniony. Rozpatrzmy teraz grę o macierzy U = [u ij ], gdzie Oczywiście dla dowolnych x, y mamy u ij = w ij + k. xuy T = xw y T + k. Wynika stąd, że oraz k 1 (U) = k 1 (W ) + k k 2 (U) = k 2 (W ) + k. Ponieważ nie jest możliwe, aby dla dowolnej gry np. o macierzy U zachodził warunek k 1 (U) < 0 < k 2 (U), więc nie jest też możliwe, aby k 1 (W ) < k < K 2 (W ). Ponieważ k jest dowolną liczbą; nie może się więc zdarzyć, by k 1 < k 2. Musi zatem być k 1 k 2. Ponieważ wiemy już, że k 1 k 2, więc ostatecznie k 1 = k 2, co należało dowieźć Rozwiązywanie gier 2x2 Wiemy już, że jeżeli gra G o macierzy wypłat W wymiaru 2 2 ma punkt siodłowy to rozwiązaniem gry jest para startegii czystych. Załóżmy teraz, że gra G nie ma punktu siodłowego. Zanim przejdziemy do twierdzenia mówiącego o rozwiązywaniu takich gier podamy pewne fakty z algebry liniowej. Niech dana będzie macierz kwadratowa W = [w ij ] m n. Dopełnieniem algebraicznym elementu w ij macierzy W nazywamy liczbę W ij = ( 1) i+j det W ij, 23

24 gdzie det W ij jest wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n 1, powstałej z macierzy W przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy W. Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy W nazywamy macierz [W ij ] złożoną z dopelnień algebraicznych elementów w ij tej macierzy. Macierzą dołączoną W do macierzy W nazywamy transpozycję jej dopełnień algebraicznych, tzn. macierz W = [W ij ] T. Zachodzi własność, że jeżeli macierz W jest nieosobliwa, to W 1 = 1 det W W. (2.1) Twierdzenie 2.8 (zob.[2]) Niech dana będzie gra G = (A, B, W ), gdzie W jest macierzą o wymiarze 2 2. Jeżeli W nie ma punktu siodłowego, to jej wartość i jedyne strategie optymalne x i y wyrażają się wzorami: x = JW JW J T, (2.2) y = W J T JW J, T (2.3) v = detw JW J, T (2.4) gdzie W jest macierzą dołączoną macierzy W, a J jest jest wektorem postaci [1, 1]. Dowód. Na mocy twierdzenia 2.7 gra G ma rozwiazanie w strategiach optymalnych x = (x 1, x 2 ) oraz y = (y 1, y 2 ). Ponieważ macierz W= w 11 w 12 w 21 w 22 nie posiada punktu siodłowego więc obydwie współrzędne wektorów x i y musza być dodatnie. Mamy w 11 x 1 y 1 + w 12 x 1 y 2 + w 21 x 2 y 1 + w 22 x 2 y 2 = v, czyli x 1 (w 11 y 1 + w 12 y 2 ) + x 2 (w 21 y 1 + w 22 y 2 ) = v. (2.5) Ponieważ z założenia y = (y 1, y 2 ) jest strategią optymalną, więc żadne z wyrażeń w nawiasach nie może być wieksze niż v. Istotnie, przypuśćmy, że jedno z tych wyrażeń jest mniejsze niż v; niech na przykład w 11 y 1 + w 12 y 2 < v, 24

25 w 21 y 1 + w 22 y 2 v. Ponieważ x 1 > 0 i x 1 + x 2 = 1, więc wyrażenie po lewej stronie wzoru (2.5) byłoby ostro mniejsze niż v. Wynika stąd, że obydwa wyrażenia w nawiasach (2.5) muszą być równe v. A więc w 11 y 1 + w 12 y 2 = v, w 21 y 1 + w 22 y 2 = v, co jest równoważne zapisowi W y T = v v. (2.6) Podobnie można pokazać, że w 11 x 1 + w 21 x 2 = v, w 12 x 1 + w 22 x 2 = v. Istotnie, mamy: y 1 (w 11 x 1 + w 21 x 2 ) + y 2 (w 12 x 1 + w 22 x 2 ) = v. (2.7) Ponieważ x = (x 1, x 2 ) jest strategią optymalną, więc wyrażenia w nawiasach (2.7) nie mogą być mniejsze niż v. Przypuśćmy, że jedno z tych wyrażeń jest większe niż v: w 11 x 1 + w 21 x 2 > v, w 12 x 1 + w 22 x 2 v. Wiadomo, że y 1 > 0 i y 1 + y 2 = 1, więc wyrażenie po lewej stronie (2.7) byłoby ostro większe niz v. Wynika stąd, że obydwa wyrażenia w nawiasach (2.7) muszą być równe v. W postaci macierzowej mamy zatem xw = [v, v]. (2.8) Warunki (2.6) i (2.8), łącznie z warunkami x 1 + x 2 = 1, y 1 + y 2 = 1, pozwolą nam znaleźć wielkości x, y i v. Istotnie, jeżeli macierz W jest nieosobliwa, to otrzymujemy x = vjw 1, 25

26 gdzie J = [1, 1]. Wyrugujemy teraz v wykorzystując to, że suma współrzędnych wektora x, tzn xj T, jest równa 1. Mamy czyli Stąd Ponieważ xj T = 1, więc Stąd czyli xw = [v, v], xw = vj. x = vjw 1. (2.9) x = vjw 1 / J T. xj T = vjw 1 J T, 1 = vjw 1 J T. Zatem 1 v = JW 1 J. (2.10) T Podstawiając (2.10) do (2.11) otrzymujemy x = Podobnie, jeżeli macierz W jest nieosobliwa, to 1 JW JW 1 J. (2.11) T y T = W 1 J T v. (2.12) Ponieważ y 1 + y 2 = 1, tzn. Jy T = 1, więc y T = W 1 J T v, czyli Jy T = JW 1 J T v. Stąd 1 = JW 1 J T v. Zatem v = 1 JW 1 J T. (2.13) 26

27 Podstawiając (2.13) do (2.12) mamy y T = W 1 J T JW 1 J T. (2.14) Jeżeli macierz W jest osobliwa, postępowanie to nie ma sensu. Bezpośrednimi rachunkami można wówczas pokazać, że oraz x = JW JW J T (2.15) y T = W J T JW J T (2.16) ustalają wzory na optymalne strategie, odpowiednio, gracza I i II, a v = det W JW J T (2.17) podaje wartość gry niezależnie od tego, czy macierz W jest osobliwa czy nie (tutaj W oznacza macierz dołączoną macierzy W ). Ponadto, jeżeli macierz W jest osobliwa to korzystając ze wzoru (2.1) widzimy, że wzory (2.15), (2.16) i (2.17) pokrywają się ze wzorami (2.11), (2.14) i (2.13), odpowiednio. Przykład 2.3 Rozważmy grę dwuosobową o macierzy wypłat postaci: W= Dolna wartość powyższej gry wynosi v 1 = 2. Istotnie, minima z każdego wiersza wynoszą: dla i = 1 dla i = 2 min m 1j = min{3, 2} = 2;,2 min m 2j = min{1, 5} = 1.,2 Maksimum z otrzymanych minimów wynosi 2, więc v 1 = 2. Znajdziemy teraz wartość górną gry. Maksima z każdej kolumny wynoszą: dla j = 1 dla j = 2 max m i1 = max{3, 1} = 3; i=1,2 max m i2 = max{2, 5} = 5. i=1,2 27

28 Minimum z uzyskanych maksimów wynosi 3, czyli v 2 = 3. Zauważmy, że v 1 v 2 zatem gra ta nie ma punktu siodłowego. Wartość gry i strategie optymalne znajdziemy zgodnie z twierdzeniem 2.8 Znajdziemy najpierw dopełnienia algebraiczne elementów macierzy W. W 11 = ( 1) 2 5 = 5, W 12 = ( 1) 3 1 = 1, W 21 = ( 1) 3 2 = 2, W 22 = ( 1) 4 3 = 3. Zatem macierz dołączona W do macierzy W jest postaci W = Ze wzoru (2.2) obliczymy teraz strategie optymalną x = (x 1, x 2 ) dla gracza I. Mamy oraz JW = [ ] JW J T = [ ] = [ 4 1], 1 1 Zatem strategia optymalna gracza I wynosi x = JW [ 4 JW J = T 5, 1 ]. 5 =5. Znajdziemy teraz strategię optymalną y = (y 1, y 2 ) dla gracza II. Mamy W J T = = 3 2 Strategia optymalna gracza II to wektor postaci y = W J T [ 3 JW J = T 5, 2 ]. 5 Obliczymy teraz wartość gry. Zauważmy, że det W = 13. Zatem zgodnie ze wzorem (2.17) otrzymujemy v =

29 2.4. Graficzne rozwiązywanie gier 2 n i m 2 Jeżeli macierz gry ma dwa wiersze lub dwie kolumny, to grę taką można rozwiązać graficznie. Niech dana będzie gra G = (A, B, W ), gdzie A = {a 1, a 2 }, B = {b 1,..., b n } są zbiorami strategii czystych, odpowiednio, gracza I i II. Oznaczmy przez x = [x 1, x 2 ] oraz y = [y 1,..., y n ] strategię mieszaną, odpowiednio, gracza I i II. Wiadomo, że gracz I będzie dążył do maksymalizowania wielkości v(x) = min {w 1jx 1 + w 2j x 2 }.,...,n na zbiorze wszystkich swoich strategii mieszanych x = (x 1, x 2 ). Ponieważ x 1 = 1 x 2 więc poszukujemy maksimum funkcji ṽ postaci na przedziale [0, 1]. ṽ(x 2 ) = v(x 2 1, x 2 ) = min {(w 2j w 1j )x 2 + w 1j },...,n Przykład 2.4 Rozważmy grę G o macierzy wypłat postaci W= Zauważmy, że dolna wartość gry wynosi v 1 = 2, a górna wartość gry to v 2 = 3. Zatem gra ta nie ma punktu siodłowego. Macierz gry jest wymiaru 2 3, więc grę można rozwiązać graficznie w następujący sposób. Odkładamy najpierw na osi odciętych przedział [0, 1], a następnie rysujemy funkcje liniowe (w 2j w 1j )x 2 + w 1j, j = 1, 2, 3. Lewy koniec odcinka [0, 1] przedstawia strategię a 1 gracza I, a prawy koniec odcinka jego strategię a 2. Zauważmy, że wykresy funkcji (w 2j w 1j )x 2 + w 1j, j = 1, 2, 3, przechodzą przez punkty (0, w 1j ) i (1, w 2j ). Pogrubiona, zielona linia oznacza wykres funkcji ṽ. Największa z minimalnych wygranych gracza I występuje na przecięciu wykresów odpowiadających pierwszej kolumnie i drugiej kolumnie. Funkcja liniowa odpowiadająca pierwszej kolumnie jest postaci: (w 21 w 11 )x 2 + w 11 = (4 2)x = 2x Funkcja liniowa odpowiadająca drugiej kolumnie to funkcja postaci: (w 22 w 12 )x 2 + w 12 = (1 3)x = 2x

30 Porównując te dwie funkcje mamy: 2x = 2x 2 + 3, skąd x 2 = 1 4. A zatem x 1 = 1 x 2 = 3 4. Strategia optymalna gracza I jest zatem postaci x = [ 3, 1 ]. Wynik gry w zależności od 4 4 decyzji gracza II, gdy gracz I gra swoją startegią optymalną x = [ 3, 1 ] przedstawia się 4 4 następująco: gdy gracz II wybiera strategię b 1 : gdy gracz II wybiera strategię b 2 : gdy gracz II wybiera strategię b 3 : = = = Zatem wartość gry wynosi v = 5 (wybieramy wielkość najmniejszą). 2 Gracz II nie powinien stosować strategii, przy której wygrana optymalnie grającego 30

31 gracza I byłaby większa niż 5. Zatem trzecią współrzędną w wektorze y bedzie 0. Z 2 definicji mamy Stąd 2y 1 + 3y 2 + 5y 3 = 5 2 4y 1 + 1y 2 + 0y 3 = 5 2 y 1 + y 2 + y 3 = 1. 2y 1 + 3y 2 = 5 2 4y 1 + y 2 = 5 2 y 1 + y 2 = 1 Roziązaniem tego układu są liczby y 1 = 1 i y 2 2 = 1. Strategia optymalna gracza II więc 2 jest postaci y = [ 1, 1, 0]. Rozwiązaniem powyższej gry są strategie mieszane postaci 2 2 x = [ 3, 1],y = [ 1, 1, 0], a wartość gry wynosi v = Rozważmy teraz grę G = (A, B, W ), o macierzy wypłat W wymiaru m 2, czyli zbiór strategii gracza I to A = {a 1,..., a m }, a zbiór strtaegii gracza II to B = {b 1, b 2 }. Niech x = [x 1,..., x m ] oraz y = [y 1, y 2 ] będą strategiami mieszanymi, odpowiednio, gracza I i II. Gracz II dąży do minimalizowania wielkości v(y) = max i=1,...,m {w i1y 1 + w i2 y 2 } na zbiorze wszystkich swoich strategii mieszanych y = (y 1, y 2 ). Ponieważ y 1 = 1 y 2 więc szukamy minimum funkcji ṽ, gdzie ṽ(y 2 ) = v(y 2 1, y 2 ) = max i=1,...,m {(w i2 w i1 )y 2 + w i1 }. Przykład takiej gry będzie rozwiązany w rozdziale Metoda sympleks w teorii gier Pokażemy teraz jak dwuosobową grę o sumie zerowej zredukować do problemu programowania liniowego. Następnie przedstawiona będzie metoda sympleks rozwiązywania takich problemów. Rozważmy grę dwuosobową o sumie zerowej postaci (A, B, W ), gdzie W jest dowolną macierzą wymiaru m n (zakładamy, że elementy macierzy W są dodatnie). Gracz I zapewnia sobię wypłatę równą co najmniej v (v > 0), jeżeli istnieje strategia mieszana x = (x 1,..., x m ), gdzie x i 0, i = 1,..., m oraz m x i = 1, taka, że m w ij x i v dla j = 1,..., n. (2.18) i=1 31 i=1

32 Dzieląc obustronnie nierówność (2.18) przez v i podstawiając u i = x i, i = 1,..., m, v widzimy, że gracz I może otrzymać co najmniej v, jeżeli istnieje u = (u 1, u 2,..., u m ), gdzie u i 0 dla i = 1,..., m oraz m u i = 1, takie że v i=1 m w ij u i 1 dla j = 1,..., n. i=1 Problem gracza I to znalezienie u = (u 1, u 2,..., u m ), dla którego m u i jest minimalna, przy ograniczeniach u i 0 dla i = 1,..., m, oraz m w ij u i 1 dla j = 1,..., n. i=1 Problem minimalizacji formy liniowej postaci m u i przy warunkach mających kształt i=1 nierówności liniowych m w ij u i 1 dla j = 1,..., n (lub bardziej ogólnie m w ij u i b j, i=1 i=1 dla j = 1,..., n), gdzie u i 0, i = 1,..., m, nazywa się problemem programowania liniowego (odmiany minimalizującej). Gracz II zapewnia sobie, że przegra nie więcej niż v (v > 0), przy użyciu strategii y = (y 1,..., y n ), gdzie y j 0 dla j = 1,..., n oraz n y j = 1, jeżeli n w ij y j v dla i = 1,..., m. (2.19) Podobnie jak w przypadku gracza I dzieląc nierówność (2.19) stronami przez v podstawiając s j = y j widzimy, że gracz II otrzymuje co najwyżej v, jeżeli istnieje v s = (s 1, s 2,..., s n ), gdzie s j 0 dla j = 1,..., n oraz n s j = 1, takie że v n w ij v j 1 dla i = 1,..., m. Zatem problem gracza II sprowadza się do znalezienia takiego s = (s 1, s 2,..., s n ), dla którego n s j jest maksymalne, przy ograniczeniach v j 0 dla j = 1,..., n oraz n w ij v j 1 dla i = 1,..., m. Problem maksymalizacji formy liniowej postaci n v j, przy warunkach mających kształt nierówności liniowych n w ij v j 1 dla i = 1,..., m (lub bardziej ogólnie 32 i=1 i

33 w ij c i, dla i = 1,..., m), gdzie w j 0 dla j = 1,..., n, nazywa się problemem programowania liniowego (odmiany maksymalizującej). Problemy gracza I i II nazywamy dualnymi problemami programowania liniowego. Metoda sympleks Metoda sympleks służy do rozwiązywania problemów programowania liniowego. Jak pokazaliśmy wcześniej, dwuosobowe gry o sumie zerowej można zredukować do problemów programowania liniowego, zatem metoda sympleks będzie nam służyła do rozwiązywania tego typu gier. Podstawowy problem to znaleźć minimum funkcji c 1 u 1 + c 2 u c m u m, przy ograniczeniach a 11 u 1 + a 21 u a m1 u m b 1, a 12 u 1 + a 22 u a m2 u m b 2,, a 1n u 1 + a 2n u a mn u m b n. (2.20) gdzie u 1, u 2,..., u m 0. Dualne zadanie do pierwszego, to znaleźć maksimum funkcji b 1 v 1 + b 2 v b n v n, przy ograniczeniach b 11 s 1 + b 21 s b m1 s m c 1, b 12 v 1 + s 22 v b m2 s m c 2,, b 1n s 1 + b 2n s b mn s m c n, (2.21) gdzie s 1, s 2,..., s n 0. Rozwiązanie każdego z tych problemów zaczynamy od wprowadzenia fikcyjnych zmiennych nieujemnych z 1, z 2,..., z n, zmieniając układ nierówności (2.20) lub (2.21) na układ równości. Pokażemy to na poniższym przykładzie. Przykład 2.5 Rozważmy grę G o macierzy wypłat W postaci W =

34 Problem gracza I to znalezienie takiego u = (u 1, u 2, u 3 ), dla którego 3 u i osiąga minimum, przy ograniczeniach oraz u i 0 dla i = 1, 2, 3 3 w ij u i 1 dla j = 1, 2, 3. i=1 Najpierw należy rozwiązać układ nierówności 7u 1 + 2u 2 + 9u 3 1, 2u 1 + 9u 2 1, 9u u 3 1. Po wprowadzeniu nieujemnych zmiennych fikcyjnych z 1, z 2, z 3 problem gracza I to zminimalizowanie wielkości u 1 + u 2 + u 3, przy warunkach 7u 1 + 2u 2 + 9u 3 z 1 = 1, 2u 1 + 9u 2 z 2 = 1, 9u u 3 z 3 = 1, gdzie z 1, z 2, z 3 0 i u 1, u 2, u 3 0. Należy zminimalizować u 1 + u 2 + u 3. Rozwiązujemy powyższy układ względem zmiennych u 1, u 2, u 3. Dostajemy u 1 = 1 99z z z 80 3 u 2 = z z z 40 3 u 3 = z z z i=1 (2.22) Stąd u 1 + u 2 + u 3 = z z z 3. Powyższe wyrażenie trzeba zminimalizować więc nie można zwiększać zmiennych fikcyjnych z 1, z 2, z 3. Z założenia zmienne te są nieujemne więc by wartość u 1 + u 2 + u 3 była możliwie mała to zmienne fikcyjne z 1, z 2, z 3 powinny być zerami. Mamy zatem u 1 + u 2 + u 3 = 1 5. Stąd wartość gry wynosi v = 5. Z układu (2.22) widać, że u 1 = 1 20, u 2 = 1 10, u 3 =

35 Strategia optymalna gracza I jest zatem wektorem x = [x 1, x 2, x 3 ], gdzie x 1 = u 1 v = = 1 4, x 2 = u 2 v = = 1 2, x 3 = u 3 v = = 1 4. Łatwo znaleźć teraz strategię optymalną gracza II. Znając wartość gry i strategię optymalną gracza I można zapisać: 7y 1 + 2y 2 + 9y 3 = 5 2y 1 + 9y 2 = 5. 9y y 3 = 5 y 1 + y 2 + y 3 = 1 Stąd dostajemy, że y 1 = 1 4, y 2 = 1 2, y 3 = 1 4. Zatem rozwiązaniem gry są strategie mieszane postaci x = [ 1 4, 1 2, 1 4 ], y = [ 1 4, 1 2, 1 4 ] oraz wartość gry G wynosi v = 5. 35

36 Rozdział 3 Zastosowanie gier dwuosobowych o sumie zerowej do różnych nauk 3.1. Teoria gier a militaria Gry o sumie zerowej opisują sytuacje konfliktu, zatem jednym z obaszarów, w których teoria gier ma swoje zastosowanie jest taktyka konfliktów zbrojnych. W podrozdziale tym przedstawiony będzie przykład opisujący sytuację podczas wojny partyzanckiej. Rozważmy następującą grę: Uczestnikami gry jest m partyzantów i jednostka n policjantów, chroniąca dwa magazyny broni. Zasady gry są następujące: partyzanci mogą zaatakować jeden lub dwa magazyny broni; w sytuacji gdy liczba atakujących partyzantów będzie większa od liczby broniących magazynu policjantów, wtedy magazyn zostaje zdobyty przez partyzantów; partyzanci wygrywają grę gdy zdobędą co najmniej jeden magazyn; grę wygrywa policja gdy obroni oba magazyny. Zauważmy, że możliwe są nastepujące sytuacje: m > n - wygrywają partyzanci, atakując wszystkimi siłami dowolny magazyn; n 2m - wygrywa policja, delegując do obrony każdego magazynu co najmniej m policjantów; m n < 2m - sytuacja, którą będziemy rozwiązywać w tym podrozdziale. 36

37 Rozważmy powyższą grę w sytuacji gdy m = 2 i n = 3. Możliwe strategie partyzantów są następujące: 2 0, czyli dwóch partyzantów atakuje jeden magazyn; 1 1, czyli każdy z partyzantów atakuje inny magazyn. W przypadku startegii 2 0 partyzanci muszą ustalić, kóry magazyn atakować. By uniknąć przewidzenia przez policję wyboru partyzantów co do atakowanego magazynu, partyzanci powinni rzucić monetą. Policja może wybrać jedną z następujących strategii: 3 0, czyli 3 policjantów broni jeden magazyn; 2 1, czyli dwóch policjantów broni jeden magazyn, a jeden policjant broni drugi magazyn. Gra przedstawia się nastepująco: Powyższe wypłaty to wypłaty dla partyzantów, gdzie 0 oznacza przegraną partyzantów zaś 1 ich wygraną. Gdy partyzanci zecydują się na wspólne zaatakowanie jednego magazynu, czyli gdy wybiorą strategię 2 0, wtedy w połowie przypadków zaatakują magazyn chroniony przez większą od nich liczbę policjantów i przegrają, a w drugiej połowie przypadków zaatakują magazyn chroniony przez mniejszą od nich liczbę policjantów, wygrywając wojnę. Zatem w tym przypadku wypłata wynosi 1 2. Zauważmy, że wartość dolna tej gry wynosi v 1 = 1 2, a wartość górna wynosi v 2 = 1 2. Zatem gra ta posiada punkt siodłowy i wartość gry wynosi 1. Strategią optymalną 2 partyzantów jest strategia 2 0, zaś startegią optymalną policjantów jest strategia

38 Rozważmy teraz tę grę o innej liczbie partyzantów i policjantów, gdzie strategiami optymalnymi będą strategie mieszane. Zauważmy, że gra nie ma punktu siodłowego oraz żadna strategia nie jest zdominowana. Postawmy sobie pytanie, czy istnieje taka strategia mieszana policjantów, że nawet jeśli partyzancji będą ją znali, to nie będą mogli tej wiedzy wykorzystać przeciwko policjantom? Załóżmy, że policjanci grają swoje strategie czyste odpowiednio z prawdopodobieństwami p, q, 1 p q. Wtedy wartości oczekiwane wypłat partyzantów wynoszą: gdy partyzanci grają strategią 4 0: 1 p + 1 q + 1 (1 p q) = 1p + 1; 2 2 gdy partyzanci grają strategią 3 1: 1 p + 1 q + 1 (1 p q) = 1q + 1; 2 2 gdy partyzanci grają startegię 2 2: 1 p + 1 g + 0 (1 p q) = p + q. By partyzancji nie odnosili korzyści ze znajomości strategii mieszanej policjantów, wartości oczekiwane ich wypłat muszą być takie same. Zatem otrzymujemy układ równań: 1p + 1 = 1q q + 1 = p + q 2 Stąd p = 2 5 q = p g = 1 5. Zatem strategią optymalną policjantów jest startegia mieszana postci y = [ 2, 2, 1] Policzmy teraz średnie wygrane partyzantów, gdy policjanci grają swoją strategią optymalną y. Wygrane te wynoszą: 38

39 gdy partyzanci grają strategią 4 0: gdy partyzanci grają strategią 3 1: ( ) = 4 5 ; ( ) = 4 5 ; gdy partyzancji grają strategią 2 2: ( ) = 4 5. Jeżeli policjanci grają swoją strategią optymalną y = [ 2, 2, 1 ], mogą być pewni, że partyzanci wygrają nie więcej niż 4, niezależnie od wyboru swoich strategii. 5 Znajdziemy teraz strategię optymalną partyzantów. Załóżmy, że partyzanci grają swoje strategie czyste odpowiednio z prawdopodobieństwami p, q, 1 p q. Wartości oczekiwane wypłat policjantów wynoszą wówczas: gdy policjanci grają strategią 4 0: 1 2 p + 1 q + 1 (1 p g) = 1 2 p + 1; gdy policjanci grają startegią 3 1: 1 p q + 1 (1 p q) = 1 2 q + 1; gdy policjanci grają strategią 2 2: 1 p + 1 q + 0 (1 p g) = p + q. By znaleźć strategię, która nie pozwala policjantom uzyskać przewagi porównujemy obliczone wartości oczekiwane. Otrzymujemy w ten sposób układ równań 1p + 1 = 1q q + 1 = p + q 2 Stąd p = 2 5 q = p q = 1 5. Zatem strategią optymalną partyzantów jest strategia x = [ 2, 2, 1 ]. Wartości oczekiwa ne wypłat policjantów wynoszą wtedy: gdy policjanci grają strategią 4 0: ( ) = 4 5 ; 39

40 gdy policjanci grają strategią 3 1: ( ) = 4 5 ; gdy policjancii grają strategią 2 2: ( ) = 4 5. Zatem jeżeli partyzanci zagrają swoją strategią mieszaną x, wtedy gwarantują sobie wygraną wynoszącą co najmniej Teoria gier a antropologia Teoria gier dwuosobowych zastała zastosowana do rozwiązania problemu antropologicznego przedstawionego w poniższym artykule o rybołówstwie na Jamajce. Dwadzieścia sześć załóg w żaglowych, dłubanych kanoe łowiło ryby za pomocą specjalistycznych koszy, ustawionych i wybieranych, jeśli morze i pogoda pozwalały, trzykrotnie w ciągu tygodnia [...] Łowsika dzieliły się na leżące wewnątrz i za zwenątrz laguny. Łowiska wewnętrzne leżały w odległości 8-24 km od brzegu; wszystkie zewnętrzne znajdowały się dalej. Ze względu na uksztaltowanie dna morza oraz przebieg linii brzegowej, w wodach zewnętrznych łowisk regularnie wzbudzały się bardzo silne prądy, tak w kierunku zachodnim, jak i wschodnim. Pojawienie się prądów [...] nie było w żaden widoczny sposób powiązane z pogodą lub stanem morza w okolicy. Na łowiskach wewnętrznych prądy te były w zasadzie nieodczuwalne. [Davenport, 1960] Powyższy artukuł można utożsamić z grą dwuosobową o sumie zerowej, gdzie jednym z graczy są rybacy a drugim graczem są prądy. Rybacy mogą zastosować jedną z poniższych strategii: strategię wewnętrzną - rybacy ustawiają kosze na łowiskach wewnetrznych; strategię zewnętrzną - rybacy ustawiają kosze na łowiskach zewnętrznych; strategię pośrednią - rybacy ustawiają część koszy na łowiskach wewnętrznych, a pozostałe na zewnętrznych. Każda ze strategii rybaków miała swoje zalety i wady. Rybacy na łowiskach zewnetrznych i pośrednich ustawiali mniejszą liczbę koszy z racji tego, że dopłynięcie do tych 40

41 łowisk zajmowało im więcej czasu. Wybierając strategię rybacy brali pod uwagę również aktywność prądów na łowiskach zewnętrznych, które mogły doprowadzić np. do uszkodzenia koszy czy zaginięcia złowionych ryb. Rybacy by udać się na łowiska zewnętrzne musieli używać lepszych łodzi, a połowy na tych łowsikach dawały lepsze łowy. Poniższa tabela prezentuje wartości wypłat dla poszczególnych strategii, w przypadku aktywnych prądów jak i nieaktywnych. Tym samym otrzymujemy możliwe strategię prądów: prądy aktywne; prądy nieaktywne, Powyższe wypłaty to średni dochód w funtach szterlingach, uzyskany przez rybaków w ciągu miesiąca, oszacowany przez Davenporta. Zapiszmy to w postaci macierzowej: 17, 3 11, 5 W= 4, 4 20, 6 5, 2 17, 0 Zauważmy, że gra ta nie ma punktu siodłowego ani strategii zdominowanych. Powyższa gra jest grą 3 2 zatem można ją rozwiązać metodą graficzną przedstawioną w podrozdziale Na osi odciętych odkładamy odcinek [0, 1], gdzie lewy koniec odcinka przedstawia strategię b 1 prądów, czyli prądy aktywne, a prawy koniec odcinka [0, 1] przedstawia strategię b 2 prądów, czyli prądy nieaktywne. Niech x = [x 1, x 2, x 3 ], y = [y 1, y 2 ] oznaczają, odpowiednio, strategię mieszaną rybaków i strategię mieszaną prądów. Przypomnijmy, że szukamy minimum funkcji ṽ(y 2 ) = max i=1,...,m {(w i2 w i1 )y 2 + w i1 }.. 41

42 Pogrubiona, zielona linia oznacza wykres funkcji ṽ. Najniższy punkt górnej łamanej występuje na przecięciu wykresów odpowiadających strategii wewnętrznej i strategii pośredniej. Wzór funkcji odpowiadającej wewnętrznej strategii jest postaci: (w 12 w 11 )y 2 + w 11 = (11, 5 17, 3)y , 3 = 5, 8y , 3. Funkcja odpowiadająca pośredniej strategii jest postaci: (w 32 w 31 )y 2 + w 31 = (17, 0 5, 2)y 2 + 5, 2 = 11, 8y 2 + 5, 2. Porównując te dwie funkcje mamy: 5, 8y , 3 = 11, 8y 2 + 5, 2. Stąd otrzymujemy Zatem y 2 = 0, 69. y 1 = 0, 31. Optymalną strategią prądów jest więc strategia y = [0, 31; 0, 69]. Zatem prądy powinny być aktywne przez 31% czasu, a nieaktywne przez 69% czasu. Wynik gry w zależności od decyzji rybaków, gdy prądy grają swoją strategię optymalną y = [0, 31; 0, 69] przedstawia się następująco: gdy rybacy stosują strategię wewnętrzną: 17, 3 0, , 5 0, 69 = 13, 3; 42

43 gdy rybacy stosują strategię zewnętrzną: gdy rybacy stosują strategię pośrednią: 4, 4 0, , 6 0, 69 = 12, 9; 5, 2 0, , 69 = 13, 3. Wartośc gry wynosi więc 13, 3. Rybacy nie powinni stosować strategii, przy której wygrana optymalnie grających prądów byłaby mniejsza niż 13, 3. Zatem drugą wspolrzędną w wektorze x bedzie 0. Mamy ztaem układ równań: 17, 3x 1 + ( 4, 4)x 2 + 5, 2x 3 = 13, 3 11, 5x , 6x x 3 = 13, 3. x 1 + x 2 + x 3 = 1 Czyli 17, 3x 1 + 5, 2x 3 = 13, 3 11, 5x x 3 = 13, 3. x 1 + x 3 = 1 Rozwiązaniem tego układu są liczby x 1 = 0, 67, x 2 = 0, x 3 = 0, 33. Zatem strategią optymalną rybaków jest strategia mieszana x = [0, 67; 0; 0, 33]. Rybacy więc w 67% przypadków powinni stosować strategię wewnętrzną, a w 33% przypadków strategię pośrednią. Rybacy nie zdecydują się na zostawienie koszy wyłącznie na łowiskach zewnętrznych ponieważ jest to dla niech zbyt ryzykowne. Rozwiązaniem całej gry jest więc para strategii x = [0, 67; 0; 0, 33], y = [0, 31; 0, 69] oraz wartość gry v = 13, 3. Zauważmy, że w grze tej przeciwnikiem rybaków jest prąd morski czyli gracz niezdolny do racjonalnego podejmowania decyzji. Zachowania prądów są niezalezne od postępowania rybaków. Gdy rybacy nie będą stosować swojej strategii optymalnej - prąd morski tego nie wykorzysta przeciwko nim. Tego rodzaju gry będą bardziej opisane w natępnym podrozdziale. 43

44 3.3. Gry z naturą Gra z naturą jest grą, w której biorą udział dwaj gracze. Gracz I jest przeciwnikiem rozumnym - zainteresowanym wynikiem gry. Gracz II nazywany naturą nie jest zainteresowany wynikiem gry. Takie gry rozwiązuje się tylko z punktu widzenia gracza I. Wyboru optymalnej strategii dokonuje się na podstawie jednej z reguł decyzyjnych, które zostana przedstawione w tym podrozdziale. Niech G = (A, B, W ) będzie grą dwuosobową o sumie zerowej, gdzie A = {a 1,..., a m } jest zbiorem strategii gracza rozumnego (podejmującego decyzję), a B = {b 1,..., b n } jest zbiorem strategii natury. Roziwązując gry z naturą wybieramy jedno z nastepujących kryteriów: kryterium Walda zakłada, że może wystąpić sytuacja najmniej korzystna dla gracza. Kryterium to nazywane jest również maksiminowym ponieważ z każdego wiersza macierzy wybieramy najmniejszą wypłatę (minimalną wygraną), a następnie wybieramy strategię, która tę wypłatę maksymalizuje, czyli v = max i=1,...,m ( min,...,n m ij). kryterium Hurowicza bada najlepszą decyzję zależnie od przyjętego współczynnika ostrożności γ (0 γ 1). Dla każdej strategii należy obliczyć przeciętną wygraną dla każdego i = 1,..., m według wzoru: v i (γ) = γ min,...,n (m ij) + (1 γ) max,...,n (m ij). Optymalną strategią gracza będzie wtedy strategia, dla której v i (γ) przyjmuje największą wartość. Zauważmy, że dla γ = 1 kryterium Hurowicza jest tożsame z kryterium Walda, natomiast dla γ = 0 kryterium to staje się kryterium bardzo hazardowym, gdyż wybieramy maksymalną z maksymalnych wygranych. kryterium optymistyczne, jak sama nazwa wskazuje, cechuje się największym optymizem. Zakłada się, że może wystąpić sytuacja najbardziej korzystna dla gracza. Dla każdej strategii określana jest największa wypłata, a nastepnie wybiera się strategię, która tę wypłatę maksymalizuje, czyli: v = max i=1,...,m { max,...,n m ij}. 44

45 kryterium Bayesa zakłada, że wszystki stany natury są jednakowo prawdopodobne. Dla każdej strategii należy obliczyć przeciętną wygraną jako średnia arytmetyczną z wartości wypłat, czyli dla każdego i = 1,..., m liczymy: v i = 1 n m ij. n Następnie wybieramy strategię, dla której średnia jest największa. kryterium Savage a minimalizuje poczucie straty, wynikającej z podjęcia decyzji gorszej niż najlepsza możliwa dla danego stanu natury (z punktu widzenia gracza podejmującego decyzję). Dla każdego z możliwych stanów natury określa się wartośc straty pierwszego gracza, tworząc w ten sposób macierz strat. Strata jest różnicą pomiędzy największa wygraną możliwą dla danego stanu natury, a wygraną odpoiwadającą decyzji gracza pierwszego. Dla każdego stanu natury, czyli dla każdego j = 1,..., n straty liczymy według wzoru: α ij = max i=1,...,m m ij m ij. Następnie dla każdej strategii okreslamy maksymalna stratę i wybieramy strategię, która tę stratę minimalizuje, czyli: v = min { max α ij}. i=1,...,m,...,n Przykład 3.1 Rozważmy inwestycje budowy podziemnego magazynowania gazu. Bierzemy pod uwagę trzy warianty inwestycyjne, których charakterystyki przedstawione są w poniższej tabeli Warianty te są trudne do porównania więc przedsięwzięcie inwestycyjne potraktowane będzie jako trzywariantowa inwestycja, której rentowność mierzona będzie wskaźnikiem IRR. Czynnikami obarczonymi największą niepewnością jest stopień wykorzystania magazynu oraz cena usługi za magazynowanie gazu. Przyjmujemy trzy scenariusze zapotrzebowania na usługę magazynowania, których wpływ na stopień wykorzystania podziemmnego magazynu gazu przedstawiono w poniższej tabeli: 45