Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Transkrypt

1 Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero

2 Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania. często określane są też jako ściśle konkurencyjne, gdzie interesy graczy są przeciwstawne. u 1 (a) = u 2 (a), a A Gry o sumie zerowej były podstawą matematycznej teorii gier opracowanej przez J. von Neumanna i O Morgensterna

3 Rysunek : John von Neumann Jeden z pionierów informatyki; Twórca teorii gier oraz teorii automatów komórkowych; Istotny wkład w dziedzinach; logika matematyczna, teoria mnogości, analiza matematyczna, mechaniki kwantowej; udowodnił twierdzenie min-max;

4 Wspólnie z von Neumannem stworzył podstawy teorii gier; Istotny wkład w dziedzinie ekonomii; Rysunek : Oskar Morgenstern

5 Szachy; Warcaby; GO; gry karciane; Przykłady gier o sumie zero: Kamień-Papier-Nożyczki; Orzeł-Reszka; Należy pamiętać, że gry w postaci ekstensywnej takie jak szachy czy warcaby, mogą zostać przedstawione jako gra w postaci macierzowej.

6 Rysunek : Gra o sumie zero

7 W grze o sumie zero: Gry o sumie zero każdy z graczy posiada skończoną liczbę strategii; strategie poszczególnych graczy wybierane są jednocześnie; przy wyborze strategii gracz może za każdym razem wybierać tylko jedną strategię - w takiej sytuacji jest to strategia czysta; profil strategii czystych, to sytuacja, w której gracze wybrali jedną ze swoich strategii czystych: s = (x n, y m ), gdzie x n X oraz y m Y. x n oraz y m oznaczają odpowiednio n-tą oraz m-tą strategię czystą graczy.

8 Jeszcze o grach w postaci normalnej W postaci normalnej da się zapisać tylko proste gry, gdzie ilość możliwych strategii poszczególnych graczy jest niezbyt duża. Jest to postać bardzo czytelna, w której widać wyraźnie jaki będzie wynik gry przy wyborze określonych strategii poprzez graczy. Dla gier w postaci normalnej nie ma podanej historii rozgrywki - gry jednoetapowe;

9 W przeciwieństwie do strategii czystej, strategia mieszana określa częstotliwość wyboru danej strategii czystej w n kolejnych grach. Rysunek : Gra o sumie zero Wartości obok wierszy gracza niebieskiego oraz wartości pod kolumnami gracza czerwonego oznaczają częstości wyboru poszczególnych strategii. W tym wypadku strategię mieszaną można odczytać następująco: na każde 12 gier, 5 razy stosuj strategię pierwszą, natomiast pozostałe 7 razy strategię drugą.

10 Twierdzenie o minmaksie Dla każdej 2-osobowej skończonej gry o sumie zero: 1 Istnieje v taka, że v 1 = v 2 = v, gdzie v 1 oznacza maksimum z minimów dla wierszy, natomiast v 2 to minimum z maksimów kolumn; 2 Jeżeli s = (x n, y m ) jest punktem siodłowym to wypłata graczy stosujących strategie x n orazy m wynosi v ; 3 s = (x n, y m ) jest punktem siodłowym, gdy pierwszy z graczy gra strategię maksminową, natomist gracz drugi - minmaksową.

11 Rysunek : Przykład wyznaczania punktu siodłowego Wiersze : Maksimum z minimów : max z {4, 1} Kolumny : Minimum z maksimów : min z {7, 4} Siodło istnieje, jeżeli : max min = min max

12 Procedura wyznaczania strategii w grze 2x2 1 Czy gra ma punkt siodłowy? 2 Jeżeli gra nie ma punktu siodłowego, to przechodzimy dalej: 3 Dla czerwonego: odejmujemy od liczb z 1 wierwsza wartości z 2 wiersza. 4 Wyniki zapisujemy w dwóch nowych kratkach poniżej. 5 Częstotliwość stosowania strategii 1 jest w kratce 2 (i na odwrót) 6 Próbujemy skrócić wartości w obydwu kratkach. Uwaga Metoda stosowana do wyznaczania strategii mieszanych daje często błędne wyniki, jeżeli okaże się, że gra ma punkt siodłowy.

13 Rysunek : Obliczanie strategii mieszanych w grze 2x2

14 Rysunek : Przykład wyznaczania punktu siodłowego Rysunek : Przykład wyznaczania strategii bez punktu siodłowego

15 Rysunek : Dodanie stałej do komórek macierzy Dodanie określonej stałej c do każdej z komórek macierzy wypłat nie wpływa w żaden sposób na częstość wyboru strategii poszczególnych graczy. Uwaga Dodanie stałej do wybranej gry wpływa na koszt gry.

16 Rysunek : Istnienie punktów siodłowych w grach 2xm

17 Rysunek : Dominowanie strategii w grach 2xm - istnienie strategii zdominowanych

18 Rysunek : Dominowanie strategii w grach mx2 - istnienie strategii dominujących

19 Rysunek : Graficzna metoda rozwiązywania gier

20 Rysunek : Graficzna metoda rozwiązywania gier poprzedzona usuwaniem strategii zdominowanych

21 Rysunek : Graficzna metoda rozwiązywania gier 2xm

22 Rysunek : Punkt siodłowy w grze 3x3

23 Koszt gry w grze z punktem siodłowym koszt gry to wartość w punkcie siodłowym; po dodaniu wartości stałej w grze z punktem siodłowym - koszt gry to również wartość w punkcie siodłowym; w pozostałych sytuacjach koszt gry, to średnia wypłata, którą gracz otrzymuje w rezultacje zastosowania strategii optymalnej.

24 Rysunek : Koszt gry Załóżmy, iż gracz 2 stosuje strategię: 3 : 5 : 5 : 2. Wtedy jego wypłatę przeciwko 1 strategii czystej gracza 1 możemy obliczyć następująco: F (X : x 1 ) = = 30 15,

25 Analogicznie dla pozostałych strategii: przeciwko drugiej strategii I : przeciwko trzeciej strategii I : przeciwko czwartej strategii I : F (X : x 2 ) = = 38 15, F (X : x 3 ) = = 52 15, F (X : x 4 ) = = 41 15,

26 Natomiast, gdzy gracz 2 stosuje strategię optymalną 8 : 3 : 7 : 9 przciwko strategii 1: przciwko strategii 2: przciwko strategii 3: przciwko strategii 4: F (X : x 1 ) = = 69 27, F (X : x 2 ) = = 69 27, F (X : x 3 ) = = 69 27, F (X : x 4 ) = = 69 27,

27 Ogólne zasady postępowania: 1 Czy istnieje punkt siodłowy? 2 Czy można usunąć strategie zdominowane oraz dominujące? 3 Wyznacz częstości stosowania strategii poszczególnych graczy. 4 Wybierz losowo po 2 strategie graczy sprowadzając problem do gry 2x2. 5 W przypadku dużych gier zastosuj rozwiązanie przybliżone.

28 Rysunek : Gry 3x3

29 Rysunek : Gry 3x3

30 Rysunek : Gry 3x3

31 Rysunek : Gry 3x3

32 Rysunek : Gry 3x3

33 Rysunek : Gry 3x3

34 Rysunek : Gry 3x3

35 Rysunek : Gry 3x3

36

37 Rysunek : Algorytm przybliżony - krok 1

38 Rysunek : Algorytm przybliżony - po 6 kroku

39 Rysunek : Algorytm przybliżony - po 14 krokach

40 Dziękuję za uwagę.