Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
|
|
- Julia Lipińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę. Prezentacja przygotowana przez: Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
2 Aby można było mówid o grze, należy określid kilka pojęd: 1. Gracz uczestnik sytuacji, może nim byd człowiek, firma, paostwo, gatunek w znaczeniu biologicznym; w grze musi byd co najmniej dwóch graczy 2. Strategia możliwośd postępowania każdego z graczy, sposób rozgrywania przez niego gry 3. Wynik gry determinowany jest przez kombinacje strategii wybieranych przez poszczególnych graczy 4. Wypłata określa wartośd wyniku gry dla poszczególnych graczy, można ją wyrazid liczbowo; poszczególne wyniki są przyporządkowane pewnym zbiorom strategii
3 Ponieważ gra to dowolna sytuacja konfliktowa lub kooperacyjna to wyjaśnijmy te pojęcia: Konflikt mamy z nim do czynienia, ponieważ zazwyczaj każdy z graczy dąży do innego wyniku gry Kooperacja jest możliwa, gdy kilku graczy koordynuje swoje strategie, by doprowadzić do wyniku dającego każdemu z nich wyższą wypłatę
4 W praktyce teoria gier ma pewne ograniczenia:
5 1. Gry rozgrywane w rzeczywistym świecie są bardzo skomplikowane wskazanie wszystkich graczy, opisanie ich strategii, możliwych wyników i wartości wypłat jest trudne. Możliwe jest konstruowanie prostych gier dotyczących niektórych istotnych elementów rzeczywistości. 2. Teoria gier zakłada, że gracze zachowują się racjonalnie w realnym świecie nie zawsze ma to miejsce 3. Teoria gier nie potrafi dokładnie przewidzieć przebiegu gier, w których interesy obu graczy nie są dokładnie przeciwstawne i w których bierze udział więcej niż dwóch graczy
6 Gra o sumie zerowej gra, w której interesy obu graczy są dokładnie przeciwstawne; osoba pierwsza wygrywa dokładnie tyle, ile przegrywa druga. Takie gry stanowią modele dla sytuacji czystego konfliktu dwóch stron. Przykład: Gra: Wypłata osoby I
7 Dla takich gier wystarczy podać wypłaty jednego gracza. Wypłatę drugiego uzyskamy mnożąc wypłatę pierwszego przez -1. Analizując sposób, w jaki gracze powinni rozegrać taką grę, możemy ją zapisać także jako diagram przesunięć. Strzałki przeprowadzamy w następujący sposób: - w poszczególnych wierszach prowadzimy je z każdej komórki do komórki z najmniejszą wartością - w kolumnach prowadzimy je z każdej komórki do komórki z największą wartością w danej kolumnie
8
9 Gra o sumie niezerowej - gra, w której wypłaty obu graczy nie sumują się do zera. Przykład:
10 Gra macierzowa gra dwuosobowa o sumie zerowej, która jest macierzą m x n, gdzie m to liczba strategii jednej osoby, a n to liczba strategii drugiej. Celem osoby pierwszej jest taki wybór wiersza, by uzyskać wynik reprezentowany przez największą wartość, drugiej wybór kolumny, w której wynik gry jest liczbą najmniejszą.
11 Definicja Strategia S dominuje strategię T, jeżeli każdy wynik dawany przez S jest co najmniej równie korzystny co odpowiedni wynik dawany przez T, a przynajmniej jeden wynik dawany przez S jest bardziej korzystny niż odpowiedni wynik dawany przez T.
12 Kryterium dominacji. Racjonalny gracz nigdy nie wybiera strategii zdominowanej (mniej korzystnej). Kryterium to pozwala czasami wyeliminować niektóre strategie, ale ma dość ograniczone zastosowanie. Przykład:
13 - Dla osoby II strategia B jest bezwzględnie lepsza niż C, bo w każdej komórce B znajduje się liczba mniejsza niż w odpowiedniej komórce kolumny C. - Mówimy, że strategia B dominuje strategię C lub strategia C jest zdominowana przez strategię B. - Można zauważyć też, że strategie B i C są najbezpieczniejsze. - Para strategii C osoby I i B osoby II daje wynik będący punktem równowagi. Znaczy to tyle, że strategie te są wzajemnie najlepszymi odpowiedziami na siebie. W takim przypadku wypłata dla tej pary strategii jest jednocześnie największa w swoim wierszu i najmniejsza w swojej kolumnie.
14 Definicja punktu siodłowego Wynik gry macierzowej (dla macierzy zawierającej wypłaty gracza wybierającego wiersze) nazywamy punktem siodłowym, jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa każdej wartości w jego wierszu, a większa lub równa każdej wartości w jego kolumnie. Kryterium punktu siodłowego. Jeżeli gra macierzowa ma punkt siodłowy, obaj gracze powinni wybrać zawierające go strategie.
15 Definicja wartości gry Dla każdej gry macierzowej, dla której istnieje taka liczba v, że osoba I ma strategię gwarantującą jej wygranie co najmniej v, a osoba II ma strategię gwarantującą, że osoba I nie wygra więcej, v jest wartością gry. Jeżeli gra ma punkt siodłowy, to jego wartość jest wartością gry. Niektóre gry nie mają żadnego punktu siodłowego, inne mają ich kilka. Gdy gra ma wiele punktów siodłowych, wszystkie one są ze sobą powiązane mają tę samą wartość i leżą na wierzchołkach jednego prostokąta.
16 Twierdzenie Każde dwa punkty siodłowe tej samej gry mają taką samą wartość. Jeżeli zarówno osoba I, jak i osoba II zagrają strategie zawierające punkty siodłowe, to wynik gry zawsze będzie punktem siodłowym. Metoda określania, czy gra ma punkt siodłowy i jeśli tak, pozwalająca go znaleźć: - wypisujemy najmniejsze wartości z każdego wiersza i wybieramy największą spośród nich - wypisujemy największe wartości z każdej kolumny i wybieramy najmniejszą z nich Jeśli maksimin wierszy i minimaks kolumn jest taki sam, to leży on w punkcie siodłowym Jeżeli maksimin i minimaks mają różne wartości, gra nie posiada punktu siodłowego
17 Przykład:
18 Zad.1 W następującej grze wskaż wszystkie zdominowane i dominujące strategie obu graczy.
19 Rozwiązanie: Kolumna: - C dominuje A, bo 2 3, 0 2, -5-4 (A jest zdominowana przez C) - B dominuje D, bo -6-4, 1 1, 3 4 (D jest zdominowana przez B) Wiersz: - brak strategii zdominowanych Kryterium dominacji wyższego rzędu głosi ono, że gracze mogą wybierać jedynie te strategie, które przetrwają proces eliminacji polegający na tym, że w pierwszym kroku skreślamy wszystkie strategie zdominowane, uzyskując w ten sposób nową, mniejszą grę. W tej mniejszej grze niektóre strategie mogą znów być zdominowane, pomimo że nie były zdominowane w grze oryginalnej, znajdujemy je i skreślamy, otrzymując ponownie zmniejszoną grę. Powtarzamy ten proceder, dopóki w uzyskanej grze nie ma już żadnych strategii zdominowanych.
20 Zad.2 Które ze strategii w poniższej grze są dopuszczalne ze względu na kryterium dominacji wyższego rzędu?
21 Rozwiązanie: Krok 1: - kb dominuje ka, bo 1 1, 1 2, 2 2, 2 2 (ka jest zdominowana przez kb) - kc dominuje kb, bo 1 1, 1 1, 1 2, 2 2 (kb jest zdominowana przez kc)
22 Krok 2: -wa dominuje wb, bo 1 1, 2 1, 2 2 (wb jest zdominowany przez wa) -wb dominuje wc, bo 1 1, 1 1, 2 1 (wc jest zdominowany przez wb)
23 Krok3: -ke dominuje nad kd, bo 2 2, 0 1 (kd jest zdominowana przez ke) Strategie A i D dla Wiersza oraz strategie C i E dla Kolumny są dopuszczalne ze względu na kryterium dominacji wyższego rzędu.
24 Zad.3 Wyznacz w poniższych grach wszystkie punkty siodłowe, a dla gier b) i c) narysuj diagramy przesunięć.
25 Rozwiązanie: a) 4 punkty siodłowe
26 b) 1 punkt siodłowy
27 c) Brak punktów siodłowych
28
29 Do tej pory mieliśmy do czynienia z grami w których minimaks wierszy i maksimin kolumn mają różne wartości i w efekcie gry te nie mają punktów siodłowych. Przykładem (*) takiej gry jest:
30 Żaden z uczestników tej gry nie ma strategii, którą opłacałoby mu się stale stosować przy braku punktu siodłowego znajomość strategii przeciwnika można skutecznie wykorzystać przeciwko niemu!! W tej sytuacji jedynym sensownym rozwiązaniem jest każdorazowy wybór konkretnej strategii w drodze losowania. Taka metoda, polegająca na losowaniu jednej z kilku strategii z określonymi prawdopodobieństwami, nazywana jest strategią mieszaną, w odróżnieniu od strategii czystej, gdy gracz wybiera, bez losowania jedną konkretną strategię.
31 Aby zbadać, jakie skutki może mieć zastosowanie przez jednego lub obu graczy strategii mieszanych, posłużymy się pojęciem wartości oczekiwanej. DEFINICJA Wartością oczekiwaną dla danych wypłat a1,a2,,an uzyskiwanych z prawdopodobieństwami odpowiednio p1,p2,,pn jest liczba a1p1+a2p2+ +anpn. Wartość oczekiwana wypłaty jest średnią możliwych wypłat, ważoną ze względu na prawdopodobieństwo ich uzyskania. KRYTERIUM WARTOŚCI OCZEKIWANEJ. Jeżeli wiesz, że Twój przeciwnik gra określoną strategię i będzie ją stosować niezależnie od tego, jak ty grasz, powinieneś stosować strategię dającą ci największą wartość oczekiwaną wypłaty.
32 Warto się zastanowić, w jaki sposób może w praktyce wyglądać stosowanie strategii mieszanej np. 3/4A i 1/4B. Oto kilka możliwości: Można rzucać dwiema monetami i grać B tylko wtedy gdy wypadły dwa orły; Na ślepo wybrać z talii kart jedną i grać B tylko wtedy, gdy wybraną kartą jest pik; Wrzucić do kapelusza trzy karteczki z napisem A oraz jedną z napisem B i losować; Sprawdzić sekundy na cyfrowym zegarku i zagrać B, jeśli ich liczba jest podzielna przez 4; Użyć komputera do wygenerowania liczby losowej z przedziału od 0 do 1, zagrać B, jeśli liczba ta będzie większa niż 0,75.
33 Jak w przykładzie (*) powinien postępować Pan Wiersz? Jeśli Pan Wiersz wybierze strategię pa, (1-p)B, która nie pozwala uzyskać Pani Kolumnie przewagi, Pan Wiersz musi wykonać rachunki: Jeśli Kolumna zagra A px2+(1-p)x0=2p Jeśli Kolumna zagra B px(-3)+(1-p)x3=3-6p Rozwiązując równanie 2p=3-6p uzyskujemy p=3/8. Jeżeli Pan Wiersz zagra strategię mieszaną 3/8A, 5/8B, gwarantuje sobie oczekiwaną wartość wygranej wynoszącą co najmniej ¾ niezależne od tego jaką strategię zagra Pani Kolumna.(3/8x2+ 3/8x0 =3/8x(-3)+ 5/8x3). Analizując nasze zadnie do końca otrzymujemy podobną sytuację, jak w przypadku gier mających punkt siodłowy. Pan Wiersz ma (mieszaną) strategię gwarantującą mu (oczekiwaną) wypłatę wynoszącą co najmniej ¾. Pani Kolumna ma (mieszaną) strategię gwarantującą jej, że (oczekiwana) wypłata Wiersza wyniesie co najwyżej ¾. Analogicznie jak w przypadku punktu siodłowego, w teorii gier przyjmuje się, że: Wartość tej gry wynosi ¾; Optymalną strategią Pani Kolumny jest ¾ A i ¼ B; Optymalną strategią Pana Wiersza jest 3/8 A i 5/8 B. Wartość gry oraz obie optymalne strategie stanowią łącznie rozwiązanie gry.
34 W książce [Williams, 1986] można znaleźć prostą metodę wyznaczania rozwiązania w strategiach mieszanych gier 2x2 nie mających punktu siodłowego. Aby określić w jakich proporcjach Pan Wiersz ma grać strategie A i B należy dla każdego wiersza określić wartość bezwzględną z różnicy pomiędzy poszczególnymi wypłatami, a następnie zamienić je miejscami. Podobnie u Pani Kolumny. Należy jednak pamiętać aby przed użyciem tej metody upewnić się, że gra nie ma punktu siodłowego, gdyż w takim przypadku metoda jest nieskuteczna!
35 Warto zająć się teraz grami 2xn, w których Pan Wiersz ma dwie czyste strategie, a Pani Kolumna n>2 czystych strategii oraz grami mx2 (Pan Wiersz ma m strategii, zaś Kolumna 2 czyste strategie). Jeśli gra taka nie ma punktu siodłowego to jej rozwiązaniem zawsze jest rozwiązanie w strategiach mieszanych jednej z jej podgier 2 x 2. Istnieje graficzna metoda znajdowania podgry 2x2 pozwalająca wyznaczyć rozwiązanie gry 2xn lub mx2, dająca przy okazji geometryczną ilustrację pojęcia rozwiązania gry. Rozważmy grę =>
36 Wykres przedstawiony po prawo powstał w ten sposób, że kolejno dla każdej strategii Wiersza na lewej osi zaznaczyliśmy wypłatę Wiersza, gdy Kolumna gra A, na prawej osi wypłatę Wiersza, gdy Kolumna gra B, a następnie narysowaliśmy odcinek łączący oba te punkty. Zauważmy, że wartość drugiej współrzędnej (wysokość) punktu należącego do tego odcinka, leżącego nad punktem p odpowiada oczekiwanej wypłacie Wiersza, gdy kolumna gra strategię (1-p)A, p B.
37 Jeśli Pan Wiersz wie lub domyśla się, jaką strategię mieszaną zagra Pani Kolumna, to może wybrać strategię będącą najlepszą odpowiedzią na strategię Kolumny w takim wypadku wynik gry będzie odpowiadał któremuś z punktów na górnej łamanej (rys. zaznaczony czerwoną kreską). Pani Kolumna wybierze takie p aby wypłata Wiersza była najmniejsza, czyli taką strategię, aby wynik wypadł w najniższym punkcie górnej łamanej. Ponieważ punkt ten leży na przecięciu linii odpowiadających strategiom A i B Wiersza, rozwiązaniem całej gry będzie rozwiązanie podgry.
38 Pan Wiersz powinien zagrać strategie 2/7 A, 5/7 B, zaś C nie powinien grać w ogóle! Możemy sprawdzić, że jest to rozwiązanie wykonując obliczenia w tabeli obok => Wszystkie wyniki w lewej kolumnie są mniejsze lub równe 4/7, a w prawej większe lub równe 4/7 -Kolumna wie, że Wiersz przy takiej strategii wygra (średnio) nie więcej niż 4/7, zaś Wiersz może sobie zapewnić (oczekiwaną) wygraną nie mniejszą niż 4/7, będące wartością gry. Oczekiwany wynik gry w zależności od decyzji Wiersza gdy Kolumna gra ( 5 7 )A, ( 2 7 )B Gdy Wiersz gra A: Gdy Wiersz gra B = = 4 7 Gdy Wiersz gra C = 5 7 Oczekiwany wynik gry w zależności od decyzji Kolumny, gdy Wiersz gra ( 2 7 )A, ( 5 7 )B, (0)C Gdy Kolumna gra A: ( 5) = 4 7 Gdy Kolumna gra B 2 7 ( 3) = 4 7
39 Wracając do diagramu: najniższy punkt górnej łamanej znajduje się nad p=2/7, na wysokości oznaczonej jako 4/7 (wartość gry). Punkt należący do strategii C Wiersza, znajdujący się nad x=2/7 leży niżej i odpowiada wypłacie -5/7 i dlatego Wiersz nigdy nie zagra C.
40 Do rozwiązywania takich gier stosuje się analogiczną metodę graficzną z jedną istotną zmianą. Przykład: Wtedy Pani Kolumna tak wybiera strategię, aby wynik gry leżał na dolnej łamanej, natomiast Pan Wiersz gra tak aby osiągnąć najwyższy punkt!
41 Gra 2xN Dla Pani Kolumny oznacza to, że powinna grać strategię mieszaną A i C. Optymalne strategie mieszane obu graczy przedstawiają się następująco: Kolumna (2/7;0;5/7;0;0) Wiersz (4/7;3/7)
42 Sprawdzając wyniki mamy: Kolumna (2/7;0;5/7;0;0) Wiersz (4/7;3/7) Oczekiwany wynik gry w zależności od decyzji Wiersza gdy Kolumna gra swoją strategię optymalną Gdy Wiersz gra A: 2 7 ( 2) = 1 7 Gdy Wiersz gra B ( 1) = 1 7 Oczekiwany wynik gry w zależności od decyzji Kolumny, gdy Wiersz gra swoją strategię optymalną Gdy Kolumna gra A: 4 7 ( 2) = 1 7 Gdy Kolumna gra B ( 3) = 11 7 Gdy Kolumna gra C ( 1) = 1 7 Gdy Kolumna gra D = 9 7 Gdy Kolumna gra E = 8 7
43 Wartość gry wynosi 1/7! Aby sprawdzić czy poprawnie wskazaliśmy wartość gry należy skontrolować czy wszystkie wartości oczekiwane wyniku, gdy Kolumna gra przeciwko optymalnej strategii Wiersza są nie mniejsze niż 1/7 : Jeśli chociaż jedna z nich byłaby mniejsza niż 1/7, to rozwiązując grę musieliśmy się pomylić! Co z grami w których obaj gracze mogą wybierać spośród więcej niż dwóch strategii? Na szczęście (!) mamy twierdzenie Johna von Neumanna mówiące, że każda gra macierzowa ma rozwiązanie:
44 Każda gra macierzowa m x n ma rozwiązanie, tzn. istnieje dokładnie jedna liczba v nazwana wartością gry, oraz optymalne strategie (czyste lub mieszane) obu graczy takie, że 1) Jeżeli Wiersz gra swoją optymalną strategię, to jego oczekiwana wypłata będzie większa lub równa v, niezależnie od tego, jaką strategię będzie grała Kolumna: 2) Jeżeli Kolumna gra swoją optymalną strategię, to oczekiwana wypłata Wiersza będzie mniejsza lub równa v, niezależnie od tego jaką strategię będzie grał Wiersz.
45 Ponadto, rozwiązanie gry macierzowej m x n zawsze jest rozwiązaniem jakiejś jej podgry k x k. Innymi słowy, rozwiązaniem gry m x n albo jest rozwiązanie podgry 1x1 (wówczas gra ma punkt siodłowy), bądź też podgry 2x2, 3x3 lub większej. Czyste strategie, które wchodzą do rozwiązania gry, nazywamy strategiami aktywnymi; gracze wybierają z odpowiednimi prawdopodobieństwami strategie aktywne; pozostałe w ogóle nie są grane.
46 Należy pamiętać, że metoda wyrównywania wartości oczekiwanych zawiedzie, jeśli rozwiązaniem gry 3x3 jest rozwiązanie podgry 2x2 lub 1x1. Zanim zastosujemy tę metodę, trzeba sprawdzić czy gra nie ma punktu siodłowego lub strategii zdominowanych; a jeżeli metoda ta zawiedzie, należy szukać rozwiązania wśród rozwiązań podgier 2x2( najłatwiej stosując graficzną metodę rozwiązywania dla trzech podgier 3x2). Na tej zasadzie można teoretycznie rozwiązać każdą grę macierzową, jednak jest to w praktyce strasznie mozolne!
47 Najefektywniejszą metodą rozwiązywania dużych gier jest jednak technika programowania liniowego. Większość pakietów komputerowych które zawierają programowanie liniowe, oferuje opcję rozwiązywania gier macierzowych.
48
49 Zad 1 a) Co dzieje się, gdy próbujemy wyznaczyć strategię Kolumny wyrównującą wartości oczekiwane wypłat Wiersza dla gry 2x2 mającej punkt siodłowy? Rozważmy grę:
50 Powyższa gra posiada punkt siodłowy. Nie zauważając tego możemy starać się wyznaczyć strategię Kolumny wyrównując wartości oczekiwane wypłat Wiersza. Niech Kolumna gra pa, (1-p)B: Jeśli Wiersz gra A: p*0+(1-p)*1=1-p Jeśli Wiersz gra B: p*3+(1-p)*3=3 1-p=3 -p=2 p=-2 a to nie jest możliwe bo p nie należy do <0,1>
51 b) Co się dzieję, gdy do gry 2x2 mającej punkt siodłowy próbujemy zastosować metodę proporcji Williamsa? Rozważmy grę:
52 Wówczas próbując rozwiązać metodą proporcji mamy:
53 Zadanie 2 Rozwiąż następujące gry: Zadanie 3 Niektóre gry mogą mieć więcej niż jedno rozwiązanie. W każdym z nich wartość gry jest taka sama, ale gracze mogą mieć kilka różnych strategii, które gwarantują im osiągnięcie tej wartości. Rozwiąż poniższą grę metodą graficzną. Co zauważyłeś?
54
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowo-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoTeoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round
Bardziej szczegółowoCzym jest użyteczność?
Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,
Bardziej szczegółowoMateriał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoSkowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.
mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w
Bardziej szczegółowoMateriały dla finalistów
Materiały dla finalistów Malachoviacus Informaticus 2016 11 kwietnia 2016 Wprowadzenie Poniższy dokument zawiera opisy zagadnień, które będą niezbędne do rozwiązania zadań w drugim etapie konkursu. Polecamy
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoLEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.
LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoEgzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje
Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer
Bardziej szczegółowoWyznaczanie strategii w grach
Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w
TEORIA GIER GRA DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) Gra składa się z zestawu reguł określających możliwości wyboru postępowania jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1 John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2 Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5
Bardziej szczegółowoTeoria gier w ekonomii - opis przedmiotu
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
Bardziej szczegółowoTeoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoSTRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.
STRATEGIA PRZYBLIŻONA Ogólna strategia rozwiązywania gier NxN może być trudna obliczeniowo. Np. sprawdzenie otrzymanej mieszanej strategii wyrównującej : czy wszystkie strategie przeciwnika dają te same
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoGry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie
Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki Joanna Sujka Nr albumu: 314325 Gry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie TEORII GIER Praca
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoPrzykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:
Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3
LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
Bardziej szczegółowoGRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne
GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ 1. 2. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne Gdy dwuosobowa gra nie jest grą o sumie zerowej, to aby ją opisać musimy podać wypłaty obu graczy. Jak wiadomo niektóre
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Katarzyna Koman Maria Koman. Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej
Teoria gier Katarzyna Koman Maria Koman Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej GRA NIM HISTORIA Pochodzenie gry NIM nie jest do końca znane. Najprawdopodobniej powstała
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoLista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4.
Lista 3 Funkcje. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Zacznijmy od sporządzenia tabelki dla każdej części podanej funkcji, uwzględniając podany zakres argumentów (dziedzinę): Weźmy na początek funkcję,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier
Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowo