IM Eksperymentalne wyznaczenie wartości podstawowego kwantu przewodności.

Transkrypt

1 IM - 5 BADANIE PRZEWODNOŚCI ELEKTRYCZNEJ NANODRUTÓW Cel ćwiczeia Eksperymetale wyzaczeie wartości podstawowego kwatu przewodości.. Wstęp teoretyczy. Klasycza teoria przewodictwa Ruch elektroów przewodictwa w polu elektryczym o atężeiu E jest złożeiem ruchu, wyikającego z oddziaływaia z fooami sieci i rozproszeń a domieszkach oraz ruchu wywołaego przez pole elektrycze (azywae dalej uoszeiem). W klasyczej teorii przewodictwa elektroy te traktowae są jako idealy iezdegeeroway gaz. Teoria ta zakłada, że: a) pomiędzy zderzeiami elektroy poruszają się jak klasycze cząstki, a które oddziałuje tylko zewętrze pole elektrycze, b) ie ma oddziaływań elektro-elektro, c) czas trwaia rozproszeń jest zaiedbywalie mały, rozproszeia te są iezależe i występują z prawdopodobieństwem a jedostkę czasu (τ - czas relaksacji). τ Obliczymy teraz wyrażeie a przewodość elektryczą właściwą w tym modelu. Elektro zajdujący się w polu elektryczym zmieia swój pęd zgodie ze wzorem p = F t = ee t () gdzie e ozacza ładuek elemetary a E atężeie pola elektryczego.

2 Poieważ koleje zderzeia elektroów są iezależe, więc w średim czasie τ pomiędzy zderzeiami elektro uzyskuje pęd p ( τ ) = mv = u eeτ () gdzie v u jest prędkością uoszeia a m masą elektrou. Stąd, otrzymujemy wyrażeie a średią prędkość uoszeia elektroów: elektryczego: u v u eeτ =. Korzystając ze wzoru a gęstość prądu m J = ev e oraz z faktu, że gęstość prądu elektryczego jest zależa od atężeia pola elektryczego ( J elektryczą właściwą postaci: gdzie e ozacza kocetrację elektroów. = G E ) otrzymujemy wyrażeie a przewodość G wl wl ee τ = (3) m Model te zawiera oczywiście szereg uproszczeń. Zasadiczym aspektem, a który ależy zwrócić uwagę jest fakt, że w myśl tego modelu ie ma właściwie żadych ograiczeń a wielkość przewodości i może oa przyjmować dowole wartości. Okazuje się jedak, że w aoskali założeia powyższego modelu ie mogą być już spełioe - pojawia się balistyczy trasport elektroów odpowiedzialy za zupełie odmiee własości przewodika. Model te sprawdza się bowiem, gdy rozmiary przewodika spełiają zależości L>>l i W>> λ F () gdzie L i W ozaczają odpowiedio długość i szerokość przewodika, l jest średią drogą swobodą elektroów w daym materiale, a λ F długością fali Fermiego.. Balistyczy trasport elektroów Balistyczy trasport elektroów ma miejsce, gdy wymiary przewodika spełiają zależości L < l, W λ F (3)

3 Rysuek. Trasport dyfuzyjy i balistyczy. Rysuek. Dwa zbioriki elektroów o różych potecjałach chemiczych połączoe idealym jedowymiarowym złączem. W takich warukach ie występują procesy rozpraszaia elektroów i przewodik staje się swego rodzaju falowodem dla fukcji falowej elektroów przewodictwa (Rysuek). Zagadieie idealego złącza łączącego dwa obszary wypełioe elektroami po raz pierwszy opisał Ladauer w roku 957 [], przy czym jego opis dotyczył drutu jedowymiarowego. Rozważmy dwa obszary wypełioe elektroami, przy czym potecjały chemicze elektroów wyoszą odpowiedio µ i µ - sytuację ilustruje Rysuek. Do opisu zachowaia elektroów przewodictwa zastosujemy model gazu elektroów swobodych Fermiego, a rozważaia przeprowadzimy dla temperatury K. Natężeie prądu płyącego przez złącze wyosi 3

4 gdzie I = evf ( µ µ ) (4) E v F ozacza prędkość elektroów a powierzchi Fermiego, atomiast E gęstość staów kwatowych, które zajmują elektroy przewodictwa. W przewodictwie prądu rozważamy elektroy z powierzchi Fermiego, bo są oe ajsłabiej związae i jako pierwsze ulegają uoszeiu w wyiku działaia pola elektryczego. Gęstość staów, które zajmują k elektroy przewodictwa,, moża wyzaczyć korzystając z zależości =. E E k E W modelu jedowymiarowych (studia potecjału ze ściaami o ieskończoej wysokości i die o szerokości L) wektor falowy elektroów, k, przyjmuje wartości dyskrete Lk = π. Przyjmując dla prostoty wartość jedostkową dla długości L oraz uwzględiając fakt, że w daym staie kwatowym mogą zajdować się dwa elektroy ze spiem w górę i w dół otrzymamy zależość: = k π (bo = k ). Korzystając astępie z relacji dyspersji dla π k swobodego elektrou: E = (stąd m modelu jedowymiarowym wyosi me k = ) otrzymujemy, że gęstość staów w = (5) E hv F E gdzie ν F = (prędkość elektrou o eergii E) m Napięcie przed połączeiem pomiędzy obszarami jest związae z potecjałami chemiczymi zależością ev = µ (6) µ stąd ze wzoru (4) otrzymujemy e I = V, (7) h z którego wyika, że przewodość złącza wyosi G e = (8) h Poieważ w rzeczywistości przewodiki są trójwymiarowe to ależałoby jedak przeaalizować właśie przypadek trójwymiarowy. W iiejszym opracowaiu oparto się a aalizie zamieszczoej w []. Rozważaia te zostaą poiżej pokrótce przedstawioe. 4

5 Przyjmujemy astępujące założeia: - do opisu zachowaia elektroów przewodictwa stosujemy model gazu elektroów swobodych Fermiego, - wprowadzamy prostokąty kartezjański układ współrzędych, długość złącza przyjmujemy w kieruku osi y, szerokość złącza w kierukach osi x i z, - złącze jest ograiczoe ieskończoymi barierami potecjału w kieruku osi x i z (czyli dla daego y elektroy uwięzioe są w dwuwymiarowej studi potecjału o ieskończoych brzegach), przekrój poprzeczy złącza jest prostokątem o wymiarach L x (y) x L z (y), - zakładamy, że zachowaie fukcji falowej w kieruku osi x i z zmieia się powoli wraz ze zmiaą y, - rozważaia dotyczą temperatury K. Złącze takie przedstawia Rysuek 3. Rysuek 3. Schamat aozłącza. Aby zaleźć wyrażeie opisujące przewodość złącza ależy przeaalizować zachowaie fukcji falowej elektroów przewodictwa. Wykoujemy ajpierw separację zmieych w rówaiu Schrödigera ψ ( x, y, z) = χ y, ( x, z) ϕ ( y) (9) gdzie fukcje χ są rozwiązaiami dwuwymiarowego rówaia Schrödigera y, 5

6 ( m x + z ) + V ( x, y, z) χ y, ( x, z) = E ( y) χ y, z ( x, z) Rówaie a fukcje ϕ jest bardziej skomplikowae (jego postać ie będzie zresztą am potrzeba) i w ogólości okazuje się, że fukcje ϕ dla różych są ze sobą sprzęgięte. Otrzymujemy układ sprzężoych rówań różiczkowych. Okazuje się jedak, że w sytuacji gdy zachowaie fukcji falowej w kieruku osi x i z zmieia się powoli wraz ze zmiaą y możemy zaiedbać człoy sprzęgające i układ rówań rozpada się a iezależe rówaia. Ze względu a przyjęte założeia taką sytuację przeaalizujemy. W procesie przewodzeia prądu mogą brać udział tylko elektroy obsadzające stay zajdujące się w pobliżu powierzchi Fermiego, więc gdzie k m E + = E ozacza eergię ruchu poprzeczego (w stosuku do złącza) elektroów, a k składową wektora falowego wzdłuż złącza. Okazuje się, że w przedstawioej sytuacji możliwe jest aalitycze zalezieie wartości własych eergii modów poprzeczych elektroów E F () () h x z E ( y) = + () 8m Lx ( y) Lz ( y) Z powyższych rozważań moża wyciągąć iteresujące wioski. Okazuje się bowiem, że gdy szerokość złącza maleje, to wartości włase eergii poszczególych modów poprzeczych podoszą się, co jest po prostu własością ieskończoej studi potecjału. Płyie stąd wiosek, że decydujące zaczeie dla przewodości złącza mają jego wymiary w ajwęższym miejscu. Zauważmy bowiem, że spełieie Rówaia wymaga by E E F ze względu a ieujemość eergii kietyczej. Poieważ zaś wartości włase są ajwiększe w ajwęższym miejscu przewodika, więc szerokość przewodika w tym miejscu wyzacza tzw. otwarte kaały, czyli takie mody poprzecze, że będące w ich elektroy mogą przejść przez złącze. Tylko takie elektroy mogą brać udział w przewodictwie. Przedstawioe rozumowaie ilustruje Rysuek 4 (dla ułatwieia przyjęto, że złącze jest płaskie, tz. ma iezerową szerokość i zerową grubość). (3) 6

7 Rysuek 4. Ilustracja ukazuje zamkięte (3,4) i otwarte (,) kaały przewodictwa. Ostateczie przewodość elektrycza złącza wyraża się astępująco e G = NG = N (4) h gdzie N jest liczbą otwartych kaałów, a przewodości. G e = jest podstawowym kwatem h Widzimy więc, że przewodość w aoskali przyjmuje tylko dyskrete wartości będące wielokrotością G i co więcej przewodość ie zależy ai od rodzaju przewodika, ai od jego długości (o ile tylko zachodzi balistyczy trasport elektroów). Wartość liczbowa G wyosi G (5) 97Ω Warto a koiec zauważyć ciekawą własość trasportu balistyczego. Otóż w klasyczej teorii przewodość odcika przewodika o długości l i powierzchi przekroju poprzeczego s wyosi sgwl G = (6) l Ozacza to, że zależy oa zarówo od długości jak i szerokości przewodika, a także od rodzaju materiału, z którego przewodik jest wykoay (ta ostatia zależość tkwi w przewodości właściwej). Natomiast dla aozłącza, w którym trasport elektroów ma 7

8 charakter balistyczy, przewodość zależy jedyie od szerokości złącza (i to w dodatku skokowo). Nie zależy oa ai od jego długości, ai od rodzaju materiału, z którego wykoae jest złącze. Metoda pomiaru Kluczową sprawą badań kwatowaia przewodości w układach aoskopowych jest możliwość utworzeia struktur o rozmiarach odpowiadających warukowi obserwacji zjawiska kwatowego, czyli L < l oraz W λ. Kwatowaie przewodości elektryczej zostało po raz pierwszy zaobserwowae w dwuwymiarowym gazie elektroów (DEG) przez B. J. va Weesa w roku 988 [3]. W kolejych badaiach wykorzystywao skaigowy mikroskop tuelowy (STM) [4]. Tworzeie aodrutu odbywało się w sposób przedstawioy a Rysuku 5: a) rejestrowao prąd tuelowaia (próbka była skaowaa przed właściwą częścią doświadczeia), b) wymuszao kotakt igły z próbką, c) tak utworzoy kotakt metaliczy przewężao i rozciągao poprzez odsuwaie igły od powierzchi próbki aż do mometu d), w którym astępowało jego zerwaie. F Rysuek 5. Zastosowaie skaigowego mikroskopu tuelowego do tworzeia aodrutów. Rysuek 6. Ostati aodrut przed rozerwaiem połączeia pomiędzy makroskopowymi elektrodami formuje się w podoby sposób jak między igłą i próbką w mikroskopie STM. Ią metodą tworzeia aodrutów jest kotakt makroskopowych elektrod. J. L. Costa-Krämer [5], który badał zjawisko kwatowaia przewodości w aodrutach formowaych między elektrodami mikro- i makroskopowymi, zasugerował, że iezależie od 8

9 początkowego kształtu i rozmiaru elektrod ostati aodrut przed rozerwaiem połączeia pomiędzy elektrodami formuje się w podoby sposób (Rysuek 6). Takie podejście potwierdza możliwość stosowaia w badaiach kwatowaia przewodości układów zaczie prostszych iż mikroskop STM. Najprostszą realizacją układu do badaia kwatowaia przewodości między elektrodami makroskopowymi jest zastosoway przez J. L. Costa-Krämera układ składający się z dwóch opartych o siebie złotych drutów. W wyiku ich drgań kotakt między elektrodami jest cykliczie tworzoy i iszczoy. Przy utrzymaiu stałego apięcia a złączu i rejestracji prądu płyącego przez układ w fukcji czasu, moża zaobserwować skokowe zmiay atężeia prądu, które odpowiadają skokowym zmiaom przewodości elektryczej ewoluującego złącza. Zastosowaa w doświadczaiu metoda pomiaru, opisaa poiżej, staowi kompilację dwóch powyżej przedstawioych metod, tz. zastosowaia skaigowego mikroskopu tuelowego i kotaktu makroskopowych elektrod. Naodruty były tworzoe podobie jak w układzie STM, poprzez zmiaę (z zastosowaiem piezoelemetu) odległości między igłą i próbką. Ruch igły względem próbki powtarzał się cykliczie. Po zbliżeiu się, utworzeiu się kotaktu, uformowaiu aodrutu i astępie jego zerwaiu cały cykl zaczyał się od początku. Z powodu częstego wymuszaia uderzeń igły w próbkę, co powodowało zmiaę kształtu i rozmiaru tworzoego kotaktu, ależy założyć, że kotakt odpowiadający sytuacji b) a Rysuku 5 był kotaktem makroskopowym. Następie przy oddalaiu się igły astępował proces przedstawioy a Rysuku 6, gdzie w momecie poprzedzającym zerwaie ostatiego aodrutu moża było zaobserwować skokowe zmiay przewodości. Naodruty formowae były więc w sposób dyamiczy. Pozwalało to także omiąć trudości wyikające z braku izolacji układu doświadczalego od bardzo trudych do wytłumieia drgań o częstotliwości rzędu kilku Hz, poieważ rejestracja czasowego przebieg prądu (lub iej wielkości z im związaej) odbywała się w czasie zaczie krótszym iż okres wspomiaych drgań. 3 Układ doświadczaly Zastosoway układ doświadczaly przedstawioo schematyczie a Rysuku 7. Całość wbudowaa jest w masywy statyw, do którego ramieia w sposób trwały dla waruków doświadczeia zamotowaa jest igła. Jej położeie moża regulować jedyie śrubą mikrometryczą. Próbka została osadzoa a piezoelemecie, co pozwala a dokładą 9

10 zmiaę jej położeia. Zastosowao piezoelemet składający się z wielu szeregowo (i aprzemieie) złożoych piezokryształów, co pozwala a uzyskaie stosukowo dużych odkształceń przy dość iskich apięciach. Dla przyłożoego apięcia V zastosoway,,piezostack'' wydłuża się o 6 µm. Podczas doświadczeia wykorzystuje się złotą próbkę przygotowaą poprzez rozgieceie czystego, złotego drutu. Przygotowaie igły polega jedyie a przycięciu złotego drutu. Na piezoelemet podaje się sygał trójkąty, który wymusza ciągłe, wzajeme przybliżaie i oddalaie się igły i próbki. Szeregowo do złącza igła-próbka włączoy jest oporik R I, dzięki któremu moża określić wartość atężeia prądu płyącego przez złącze, a stąd także jego przewodość. Rysuek 7. Schemat zastosowaego układu doświadczalego. W praktyce, w tym celu obserwuje się a ekraie oscyloskopu czasowy przebieg spadku potecjału a oporiku R I. Proces zbieraia przebiegów czasowych powyższego spadku potecjału odpowiadających ewolucji czasowej przedstawia Rysuek 8. Zastosoway układ doświadczaly z elektroiczego puktu widzeia jest dzielikiem apięcia zbudowaym z oporu R będącego oporem złącza igła-próbka oraz oporu R I. Układ

11 jest zasilay stałym, stabilizowaym apięciem U Z (Rysuek 8). W przypadku gdy a jede kaał oscyloskopu podamy sygał sterowaia piezoelemetem (przebieg trójkąty), atomiast a drugi kaał spadek potecjału a oporiku R I, to a ekraie oscyloskopu zobaczymy przebieg przedstawioy a Rysuku 8a. Obserwoway sygał prostokąty związay jest ze skokowym (w tej skali czasu) procesem tworzeia i iszczeia kotaktu między igłą i próbką. Jeżeli dokoamy zmiay skali czasu i tym samym skocetrujemy się a zazaczoym fragmecie, to będziemy mogli dostrzec skokowe zmiay rejestrowaej wielkości (Rysuek8b). Rysuek 8. Proces akwizycji przebiegów czasowych spadku potecjału a oporiku R I. Pozostaje więc jedyie odwikłać z rejestrowaych daych, odpowiadających apięciu a oporiku R I, wartość przewodości złącza igła-próbka. Jak już wspomiao, układ staowi dzielik apięcia. Zatem apięcie rejestrowae przez oscyloskop U związae jest z apięciem zasilaia U Z i występującymi oporami w układzie poprzez związek U R I = U Z. R + RI

12 Stąd = = R R U U U σ (7) Zatem w przypadku zajomości U Z i R I przewodość jest jedozaczie określoa. I Z Literatura [] M. Bradbyge et al., Phys. Rev. B (995) [] R. Ladauer, IBM J. Res. Dev., 3 (957) [3] B. J. va Wees et al., Phys. Rev. Lett. 6, 848 (988) [4] Pascual J. I. et al., Phys. Rev. Lett. 7, 85 (993) [5] J. L. Costa-Krämer et al., Phys. Rev. B. 55, 546 (997)

13 Program ćwiczeia. Ustawić parametry układu pomiarowego potrzebe do uzyskaie cykliczego powstawaia i zrywaia kotaktu elektryczego w układzie igła-próbka (Rys. 7). W tym celu: - podać a piezoelemet apięcie piłokształte (wytwarzae w geeratorze impulsów i wzmocioe we wzmaciaczu apięciowym) o częstotliwości kilku herców i amplitudzie U PIEZO około 5 V sygał obserwować a kaale r oscyloskopu; - ustalić wartość apięcia U Z (zakres V) polaryzującego układ igła-próbka; - a kaale r oscyloskopu obserwować spadek apięcia U a oporiku R I podłączoym szeregowo do układu igła-próbka; - za pomocą śruby mikrometryczej zbliżyć igłę do powierzchi próbki a odległość, dla której cykliczie powstaje i zryway jest kotakt elektryczy pomiędzy igłą i próbką; apięcie V a kaale r oscyloskopu odpowiadać będzie brakowi kotaktu między igłą i próbką atomiast wartość U Z będzie obserwowaa w momecie wystąpieia zwarcia między igłą i próbką (Rys. 8b).. Wykoać serię pomiarów zależości spadku apięcia U a oporiku R I w fukcji czasu, dla procesu zrywaia kotaktu pomiędzy igłą i próbką (Rys. 8c). Opracowaie wyików. Zmierzyć wartość apięcia U Z, polaryzującego układ igła-próbka.. Zmierzyć wartość oporika R I, podłączoego szeregowo z układem igła-próbka, a których wyzacza się spadek apięcia. 3. Z zarejestrowaej serii charakterystyk czasowych spadków apięcia U w procesie zrywaia kotaktu wyzaczyć wartości apięć opowiadających kolejym kwatom przewodości. Wyiki przedstawić w formie histogramu. 4. Wyzaczyć wartość podstawowego kwatu przewodości. Aparatura. Układ igła próbka.. Zasilacz apięcia stałego polaryzującego układ igła-próbka. 3. Geerator impulsów piłokształtych wraz ze wzmaciaczem. 4. Oscyloskop. Tematy do kolokwium Klasycza teoria przewodictwa elektryczego i prawo Ohma Balistyczy trasport elektroów Efekt piezoelektryczy Materiały - S. Godlewski, A. Tekiel, Kwatowaie przewodości elektryczej w aodrutach, Foto 9 (5) str W. Nawrocki, M. Wawrzyiak, Zjawiska kwatowe w metrologii elektryczej, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej (książka dostępa w bibliotece AGH). - C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego. 3