IM Eksperymentalne wyznaczenie wartości podstawowego kwantu przewodności.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "IM Eksperymentalne wyznaczenie wartości podstawowego kwantu przewodności."

Transkrypt

1 IM - 5 BADANIE PRZEWODNOŚCI ELEKTRYCZNEJ NANODRUTÓW Cel ćwiczeia Eksperymetale wyzaczeie wartości podstawowego kwatu przewodości.. Wstęp teoretyczy. Klasycza teoria przewodictwa Ruch elektroów przewodictwa w polu elektryczym o atężeiu E jest złożeiem ruchu, wyikającego z oddziaływaia z fooami sieci i rozproszeń a domieszkach oraz ruchu wywołaego przez pole elektrycze (azywae dalej uoszeiem). W klasyczej teorii przewodictwa elektroy te traktowae są jako idealy iezdegeeroway gaz. Teoria ta zakłada, że: a) pomiędzy zderzeiami elektroy poruszają się jak klasycze cząstki, a które oddziałuje tylko zewętrze pole elektrycze, b) ie ma oddziaływań elektro-elektro, c) czas trwaia rozproszeń jest zaiedbywalie mały, rozproszeia te są iezależe i występują z prawdopodobieństwem a jedostkę czasu (τ - czas relaksacji). τ Obliczymy teraz wyrażeie a przewodość elektryczą właściwą w tym modelu. Elektro zajdujący się w polu elektryczym zmieia swój pęd zgodie ze wzorem p = F t = ee t () gdzie e ozacza ładuek elemetary a E atężeie pola elektryczego.

2 Poieważ koleje zderzeia elektroów są iezależe, więc w średim czasie τ pomiędzy zderzeiami elektro uzyskuje pęd p ( τ ) = mv = u eeτ () gdzie v u jest prędkością uoszeia a m masą elektrou. Stąd, otrzymujemy wyrażeie a średią prędkość uoszeia elektroów: elektryczego: u v u eeτ =. Korzystając ze wzoru a gęstość prądu m J = ev e oraz z faktu, że gęstość prądu elektryczego jest zależa od atężeia pola elektryczego ( J elektryczą właściwą postaci: gdzie e ozacza kocetrację elektroów. = G E ) otrzymujemy wyrażeie a przewodość G wl wl ee τ = (3) m Model te zawiera oczywiście szereg uproszczeń. Zasadiczym aspektem, a który ależy zwrócić uwagę jest fakt, że w myśl tego modelu ie ma właściwie żadych ograiczeń a wielkość przewodości i może oa przyjmować dowole wartości. Okazuje się jedak, że w aoskali założeia powyższego modelu ie mogą być już spełioe - pojawia się balistyczy trasport elektroów odpowiedzialy za zupełie odmiee własości przewodika. Model te sprawdza się bowiem, gdy rozmiary przewodika spełiają zależości L>>l i W>> λ F () gdzie L i W ozaczają odpowiedio długość i szerokość przewodika, l jest średią drogą swobodą elektroów w daym materiale, a λ F długością fali Fermiego.. Balistyczy trasport elektroów Balistyczy trasport elektroów ma miejsce, gdy wymiary przewodika spełiają zależości L < l, W λ F (3)

3 Rysuek. Trasport dyfuzyjy i balistyczy. Rysuek. Dwa zbioriki elektroów o różych potecjałach chemiczych połączoe idealym jedowymiarowym złączem. W takich warukach ie występują procesy rozpraszaia elektroów i przewodik staje się swego rodzaju falowodem dla fukcji falowej elektroów przewodictwa (Rysuek). Zagadieie idealego złącza łączącego dwa obszary wypełioe elektroami po raz pierwszy opisał Ladauer w roku 957 [], przy czym jego opis dotyczył drutu jedowymiarowego. Rozważmy dwa obszary wypełioe elektroami, przy czym potecjały chemicze elektroów wyoszą odpowiedio µ i µ - sytuację ilustruje Rysuek. Do opisu zachowaia elektroów przewodictwa zastosujemy model gazu elektroów swobodych Fermiego, a rozważaia przeprowadzimy dla temperatury K. Natężeie prądu płyącego przez złącze wyosi 3

4 gdzie I = evf ( µ µ ) (4) E v F ozacza prędkość elektroów a powierzchi Fermiego, atomiast E gęstość staów kwatowych, które zajmują elektroy przewodictwa. W przewodictwie prądu rozważamy elektroy z powierzchi Fermiego, bo są oe ajsłabiej związae i jako pierwsze ulegają uoszeiu w wyiku działaia pola elektryczego. Gęstość staów, które zajmują k elektroy przewodictwa,, moża wyzaczyć korzystając z zależości =. E E k E W modelu jedowymiarowych (studia potecjału ze ściaami o ieskończoej wysokości i die o szerokości L) wektor falowy elektroów, k, przyjmuje wartości dyskrete Lk = π. Przyjmując dla prostoty wartość jedostkową dla długości L oraz uwzględiając fakt, że w daym staie kwatowym mogą zajdować się dwa elektroy ze spiem w górę i w dół otrzymamy zależość: = k π (bo = k ). Korzystając astępie z relacji dyspersji dla π k swobodego elektrou: E = (stąd m modelu jedowymiarowym wyosi me k = ) otrzymujemy, że gęstość staów w = (5) E hv F E gdzie ν F = (prędkość elektrou o eergii E) m Napięcie przed połączeiem pomiędzy obszarami jest związae z potecjałami chemiczymi zależością ev = µ (6) µ stąd ze wzoru (4) otrzymujemy e I = V, (7) h z którego wyika, że przewodość złącza wyosi G e = (8) h Poieważ w rzeczywistości przewodiki są trójwymiarowe to ależałoby jedak przeaalizować właśie przypadek trójwymiarowy. W iiejszym opracowaiu oparto się a aalizie zamieszczoej w []. Rozważaia te zostaą poiżej pokrótce przedstawioe. 4

5 Przyjmujemy astępujące założeia: - do opisu zachowaia elektroów przewodictwa stosujemy model gazu elektroów swobodych Fermiego, - wprowadzamy prostokąty kartezjański układ współrzędych, długość złącza przyjmujemy w kieruku osi y, szerokość złącza w kierukach osi x i z, - złącze jest ograiczoe ieskończoymi barierami potecjału w kieruku osi x i z (czyli dla daego y elektroy uwięzioe są w dwuwymiarowej studi potecjału o ieskończoych brzegach), przekrój poprzeczy złącza jest prostokątem o wymiarach L x (y) x L z (y), - zakładamy, że zachowaie fukcji falowej w kieruku osi x i z zmieia się powoli wraz ze zmiaą y, - rozważaia dotyczą temperatury K. Złącze takie przedstawia Rysuek 3. Rysuek 3. Schamat aozłącza. Aby zaleźć wyrażeie opisujące przewodość złącza ależy przeaalizować zachowaie fukcji falowej elektroów przewodictwa. Wykoujemy ajpierw separację zmieych w rówaiu Schrödigera ψ ( x, y, z) = χ y, ( x, z) ϕ ( y) (9) gdzie fukcje χ są rozwiązaiami dwuwymiarowego rówaia Schrödigera y, 5

6 ( m x + z ) + V ( x, y, z) χ y, ( x, z) = E ( y) χ y, z ( x, z) Rówaie a fukcje ϕ jest bardziej skomplikowae (jego postać ie będzie zresztą am potrzeba) i w ogólości okazuje się, że fukcje ϕ dla różych są ze sobą sprzęgięte. Otrzymujemy układ sprzężoych rówań różiczkowych. Okazuje się jedak, że w sytuacji gdy zachowaie fukcji falowej w kieruku osi x i z zmieia się powoli wraz ze zmiaą y możemy zaiedbać człoy sprzęgające i układ rówań rozpada się a iezależe rówaia. Ze względu a przyjęte założeia taką sytuację przeaalizujemy. W procesie przewodzeia prądu mogą brać udział tylko elektroy obsadzające stay zajdujące się w pobliżu powierzchi Fermiego, więc gdzie k m E + = E ozacza eergię ruchu poprzeczego (w stosuku do złącza) elektroów, a k składową wektora falowego wzdłuż złącza. Okazuje się, że w przedstawioej sytuacji możliwe jest aalitycze zalezieie wartości własych eergii modów poprzeczych elektroów E F () () h x z E ( y) = + () 8m Lx ( y) Lz ( y) Z powyższych rozważań moża wyciągąć iteresujące wioski. Okazuje się bowiem, że gdy szerokość złącza maleje, to wartości włase eergii poszczególych modów poprzeczych podoszą się, co jest po prostu własością ieskończoej studi potecjału. Płyie stąd wiosek, że decydujące zaczeie dla przewodości złącza mają jego wymiary w ajwęższym miejscu. Zauważmy bowiem, że spełieie Rówaia wymaga by E E F ze względu a ieujemość eergii kietyczej. Poieważ zaś wartości włase są ajwiększe w ajwęższym miejscu przewodika, więc szerokość przewodika w tym miejscu wyzacza tzw. otwarte kaały, czyli takie mody poprzecze, że będące w ich elektroy mogą przejść przez złącze. Tylko takie elektroy mogą brać udział w przewodictwie. Przedstawioe rozumowaie ilustruje Rysuek 4 (dla ułatwieia przyjęto, że złącze jest płaskie, tz. ma iezerową szerokość i zerową grubość). (3) 6

7 Rysuek 4. Ilustracja ukazuje zamkięte (3,4) i otwarte (,) kaały przewodictwa. Ostateczie przewodość elektrycza złącza wyraża się astępująco e G = NG = N (4) h gdzie N jest liczbą otwartych kaałów, a przewodości. G e = jest podstawowym kwatem h Widzimy więc, że przewodość w aoskali przyjmuje tylko dyskrete wartości będące wielokrotością G i co więcej przewodość ie zależy ai od rodzaju przewodika, ai od jego długości (o ile tylko zachodzi balistyczy trasport elektroów). Wartość liczbowa G wyosi G (5) 97Ω Warto a koiec zauważyć ciekawą własość trasportu balistyczego. Otóż w klasyczej teorii przewodość odcika przewodika o długości l i powierzchi przekroju poprzeczego s wyosi sgwl G = (6) l Ozacza to, że zależy oa zarówo od długości jak i szerokości przewodika, a także od rodzaju materiału, z którego przewodik jest wykoay (ta ostatia zależość tkwi w przewodości właściwej). Natomiast dla aozłącza, w którym trasport elektroów ma 7

8 charakter balistyczy, przewodość zależy jedyie od szerokości złącza (i to w dodatku skokowo). Nie zależy oa ai od jego długości, ai od rodzaju materiału, z którego wykoae jest złącze. Metoda pomiaru Kluczową sprawą badań kwatowaia przewodości w układach aoskopowych jest możliwość utworzeia struktur o rozmiarach odpowiadających warukowi obserwacji zjawiska kwatowego, czyli L < l oraz W λ. Kwatowaie przewodości elektryczej zostało po raz pierwszy zaobserwowae w dwuwymiarowym gazie elektroów (DEG) przez B. J. va Weesa w roku 988 [3]. W kolejych badaiach wykorzystywao skaigowy mikroskop tuelowy (STM) [4]. Tworzeie aodrutu odbywało się w sposób przedstawioy a Rysuku 5: a) rejestrowao prąd tuelowaia (próbka była skaowaa przed właściwą częścią doświadczeia), b) wymuszao kotakt igły z próbką, c) tak utworzoy kotakt metaliczy przewężao i rozciągao poprzez odsuwaie igły od powierzchi próbki aż do mometu d), w którym astępowało jego zerwaie. F Rysuek 5. Zastosowaie skaigowego mikroskopu tuelowego do tworzeia aodrutów. Rysuek 6. Ostati aodrut przed rozerwaiem połączeia pomiędzy makroskopowymi elektrodami formuje się w podoby sposób jak między igłą i próbką w mikroskopie STM. Ią metodą tworzeia aodrutów jest kotakt makroskopowych elektrod. J. L. Costa-Krämer [5], który badał zjawisko kwatowaia przewodości w aodrutach formowaych między elektrodami mikro- i makroskopowymi, zasugerował, że iezależie od 8

9 początkowego kształtu i rozmiaru elektrod ostati aodrut przed rozerwaiem połączeia pomiędzy elektrodami formuje się w podoby sposób (Rysuek 6). Takie podejście potwierdza możliwość stosowaia w badaiach kwatowaia przewodości układów zaczie prostszych iż mikroskop STM. Najprostszą realizacją układu do badaia kwatowaia przewodości między elektrodami makroskopowymi jest zastosoway przez J. L. Costa-Krämera układ składający się z dwóch opartych o siebie złotych drutów. W wyiku ich drgań kotakt między elektrodami jest cykliczie tworzoy i iszczoy. Przy utrzymaiu stałego apięcia a złączu i rejestracji prądu płyącego przez układ w fukcji czasu, moża zaobserwować skokowe zmiay atężeia prądu, które odpowiadają skokowym zmiaom przewodości elektryczej ewoluującego złącza. Zastosowaa w doświadczaiu metoda pomiaru, opisaa poiżej, staowi kompilację dwóch powyżej przedstawioych metod, tz. zastosowaia skaigowego mikroskopu tuelowego i kotaktu makroskopowych elektrod. Naodruty były tworzoe podobie jak w układzie STM, poprzez zmiaę (z zastosowaiem piezoelemetu) odległości między igłą i próbką. Ruch igły względem próbki powtarzał się cykliczie. Po zbliżeiu się, utworzeiu się kotaktu, uformowaiu aodrutu i astępie jego zerwaiu cały cykl zaczyał się od początku. Z powodu częstego wymuszaia uderzeń igły w próbkę, co powodowało zmiaę kształtu i rozmiaru tworzoego kotaktu, ależy założyć, że kotakt odpowiadający sytuacji b) a Rysuku 5 był kotaktem makroskopowym. Następie przy oddalaiu się igły astępował proces przedstawioy a Rysuku 6, gdzie w momecie poprzedzającym zerwaie ostatiego aodrutu moża było zaobserwować skokowe zmiay przewodości. Naodruty formowae były więc w sposób dyamiczy. Pozwalało to także omiąć trudości wyikające z braku izolacji układu doświadczalego od bardzo trudych do wytłumieia drgań o częstotliwości rzędu kilku Hz, poieważ rejestracja czasowego przebieg prądu (lub iej wielkości z im związaej) odbywała się w czasie zaczie krótszym iż okres wspomiaych drgań. 3 Układ doświadczaly Zastosoway układ doświadczaly przedstawioo schematyczie a Rysuku 7. Całość wbudowaa jest w masywy statyw, do którego ramieia w sposób trwały dla waruków doświadczeia zamotowaa jest igła. Jej położeie moża regulować jedyie śrubą mikrometryczą. Próbka została osadzoa a piezoelemecie, co pozwala a dokładą 9

10 zmiaę jej położeia. Zastosowao piezoelemet składający się z wielu szeregowo (i aprzemieie) złożoych piezokryształów, co pozwala a uzyskaie stosukowo dużych odkształceń przy dość iskich apięciach. Dla przyłożoego apięcia V zastosoway,,piezostack'' wydłuża się o 6 µm. Podczas doświadczeia wykorzystuje się złotą próbkę przygotowaą poprzez rozgieceie czystego, złotego drutu. Przygotowaie igły polega jedyie a przycięciu złotego drutu. Na piezoelemet podaje się sygał trójkąty, który wymusza ciągłe, wzajeme przybliżaie i oddalaie się igły i próbki. Szeregowo do złącza igła-próbka włączoy jest oporik R I, dzięki któremu moża określić wartość atężeia prądu płyącego przez złącze, a stąd także jego przewodość. Rysuek 7. Schemat zastosowaego układu doświadczalego. W praktyce, w tym celu obserwuje się a ekraie oscyloskopu czasowy przebieg spadku potecjału a oporiku R I. Proces zbieraia przebiegów czasowych powyższego spadku potecjału odpowiadających ewolucji czasowej przedstawia Rysuek 8. Zastosoway układ doświadczaly z elektroiczego puktu widzeia jest dzielikiem apięcia zbudowaym z oporu R będącego oporem złącza igła-próbka oraz oporu R I. Układ

11 jest zasilay stałym, stabilizowaym apięciem U Z (Rysuek 8). W przypadku gdy a jede kaał oscyloskopu podamy sygał sterowaia piezoelemetem (przebieg trójkąty), atomiast a drugi kaał spadek potecjału a oporiku R I, to a ekraie oscyloskopu zobaczymy przebieg przedstawioy a Rysuku 8a. Obserwoway sygał prostokąty związay jest ze skokowym (w tej skali czasu) procesem tworzeia i iszczeia kotaktu między igłą i próbką. Jeżeli dokoamy zmiay skali czasu i tym samym skocetrujemy się a zazaczoym fragmecie, to będziemy mogli dostrzec skokowe zmiay rejestrowaej wielkości (Rysuek8b). Rysuek 8. Proces akwizycji przebiegów czasowych spadku potecjału a oporiku R I. Pozostaje więc jedyie odwikłać z rejestrowaych daych, odpowiadających apięciu a oporiku R I, wartość przewodości złącza igła-próbka. Jak już wspomiao, układ staowi dzielik apięcia. Zatem apięcie rejestrowae przez oscyloskop U związae jest z apięciem zasilaia U Z i występującymi oporami w układzie poprzez związek U R I = U Z. R + RI

12 Stąd = = R R U U U σ (7) Zatem w przypadku zajomości U Z i R I przewodość jest jedozaczie określoa. I Z Literatura [] M. Bradbyge et al., Phys. Rev. B (995) [] R. Ladauer, IBM J. Res. Dev., 3 (957) [3] B. J. va Wees et al., Phys. Rev. Lett. 6, 848 (988) [4] Pascual J. I. et al., Phys. Rev. Lett. 7, 85 (993) [5] J. L. Costa-Krämer et al., Phys. Rev. B. 55, 546 (997)

13 Program ćwiczeia. Ustawić parametry układu pomiarowego potrzebe do uzyskaie cykliczego powstawaia i zrywaia kotaktu elektryczego w układzie igła-próbka (Rys. 7). W tym celu: - podać a piezoelemet apięcie piłokształte (wytwarzae w geeratorze impulsów i wzmocioe we wzmaciaczu apięciowym) o częstotliwości kilku herców i amplitudzie U PIEZO około 5 V sygał obserwować a kaale r oscyloskopu; - ustalić wartość apięcia U Z (zakres V) polaryzującego układ igła-próbka; - a kaale r oscyloskopu obserwować spadek apięcia U a oporiku R I podłączoym szeregowo do układu igła-próbka; - za pomocą śruby mikrometryczej zbliżyć igłę do powierzchi próbki a odległość, dla której cykliczie powstaje i zryway jest kotakt elektryczy pomiędzy igłą i próbką; apięcie V a kaale r oscyloskopu odpowiadać będzie brakowi kotaktu między igłą i próbką atomiast wartość U Z będzie obserwowaa w momecie wystąpieia zwarcia między igłą i próbką (Rys. 8b).. Wykoać serię pomiarów zależości spadku apięcia U a oporiku R I w fukcji czasu, dla procesu zrywaia kotaktu pomiędzy igłą i próbką (Rys. 8c). Opracowaie wyików. Zmierzyć wartość apięcia U Z, polaryzującego układ igła-próbka.. Zmierzyć wartość oporika R I, podłączoego szeregowo z układem igła-próbka, a których wyzacza się spadek apięcia. 3. Z zarejestrowaej serii charakterystyk czasowych spadków apięcia U w procesie zrywaia kotaktu wyzaczyć wartości apięć opowiadających kolejym kwatom przewodości. Wyiki przedstawić w formie histogramu. 4. Wyzaczyć wartość podstawowego kwatu przewodości. Aparatura. Układ igła próbka.. Zasilacz apięcia stałego polaryzującego układ igła-próbka. 3. Geerator impulsów piłokształtych wraz ze wzmaciaczem. 4. Oscyloskop. Tematy do kolokwium Klasycza teoria przewodictwa elektryczego i prawo Ohma Balistyczy trasport elektroów Efekt piezoelektryczy Materiały - S. Godlewski, A. Tekiel, Kwatowaie przewodości elektryczej w aodrutach, Foto 9 (5) str W. Nawrocki, M. Wawrzyiak, Zjawiska kwatowe w metrologii elektryczej, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej (książka dostępa w bibliotece AGH). - C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego. 3

Zjawiska kontaktowe. Pojęcia.

Zjawiska kontaktowe. Pojęcia. Zjawiska kotaktowe. Pojęcia. Próżia, E vac =0 Φ m W Φ s χ E c µ E v metal półprzewodik W praca przeiesieia elektrou z da pasma przewodictwa do próżi, bez zwiększaia jego eergii kietyczej (którą ma zerową).

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,, PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY

u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA

BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r 3 BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie szeregu zjawisk związaych z drgaiami

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

Numeryczny opis zjawiska zaniku

Numeryczny opis zjawiska zaniku FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

Model Bohra atomu wodoru

Model Bohra atomu wodoru Model Bohra atomu wodoru Widma liiowe pierwiastków. wodór hel eo tle węgiel azot sód Ŝelazo Aby odpowiedzieć a pytaie dlaczego wodór i ie pierwiastki ie emitują wszystkich częstotliwości fal elektromagetyczych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ

WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ Ć w i c z e i e 6 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ 6.1 Opis teoretyczy W ośrodkach sprężystych wytrąceie pewego obszaru z położeia rówowagi powoduje drgaia wokół tego położeia.

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

EA3 Silnik komutatorowy uniwersalny

EA3 Silnik komutatorowy uniwersalny Akademia Góriczo-Huticza im.s.staszica w Krakowie KAEDRA MASZYN ELEKRYCZNYCH EA3 Silik komutatorowy uiwersaly Program ćwiczeia 1. Oględziy zewętrze 2. Pomiar charakterystyk mechaiczych przy zasilaiu: a

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Estymacja punktowa

Lista 6. Estymacja punktowa Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, PROCESOWEJ I BIOPROCESOWEJ. Ćwiczenie nr 16

LABORATORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, PROCESOWEJ I BIOPROCESOWEJ. Ćwiczenie nr 16 KATEDRA INŻYNIERII CHEMICZNEJ I ROCESOWEJ INSTRUKCJE DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH LABORATORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, ROCESOWEJ I BIOROCESOWEJ Ćwiczeie r 16 Mieszaie Osoba odpowiedziala: Iwoa Hołowacz Gdańsk,

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Zasada działania, właściwości i parametry światłowodów. Sergiusz Patela Podstawowe właściwości światłowodów 1

Zasada działania, właściwości i parametry światłowodów. Sergiusz Patela Podstawowe właściwości światłowodów 1 Zasada działaia, właściwości i parametry światłowodów Sergiusz Patela 1999-003 Podstawowe właściwości światłowodów 1 Parametry światłowodów - klasyfikacja Parametry włókie światłowodowych: 1. Optycze tłumieie,

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia

Bardziej szczegółowo

Wyższe momenty zmiennej losowej

Wyższe momenty zmiennej losowej Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla

Bardziej szczegółowo

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej Szkic do wykładów z mechaiki aalityczej prof. dr hab. Bogda Maruszewski pokój 408 BM e-mail: bogda.maruszewski@put.poza.pl www: http://tm.am.put.poza.pl kosultacje: poiedziałek 11 00 12 00 Politechika

Bardziej szczegółowo

Budowa atomów. Budowa atomu wodoru

Budowa atomów. Budowa atomu wodoru 05-0- Budowa atomów atom wodoru atomy wieloelektroowe zakaz Pauliego układ okresowy pierwiastków Budowa atomu wodoru atom wodoru składa się z pojedyczego elektrou (-e) związaego z jądrem protoem (+e) przyciągającą

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Opracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej

Opracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

(opracował Leszek Szczepaniak)

(opracował Leszek Szczepaniak) ĆWICZENIE NR 3 POMIARY POŁOśENIA I PRZEMIESZCZEŃ LINIOWYCH I KĄTOWYCH (opracował Leszek Szczepaiak) Cel i zakres ćwiczeia Celem ćwiczeia jest praktycze zapozaie się z metodami pomiarowymi i czujikami do

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki

Bardziej szczegółowo

Prawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski

Prawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol Piotr Morawski 207 Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol, Piotr Morawski Jeżeli światło pada a graicę dwóch ośrodków, to ulega zarówo odbiciu a

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.

Bardziej szczegółowo

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

Funkcje falowe równanie Schroedingera

Funkcje falowe równanie Schroedingera Fukcje falowe rówaie Schroedigera Fukcja falowa kwatowa iterpretacja jedo wmiarowe pułapki elektroów fukcje falowe ieskończoa i skończoa studia potecjału atom wodoru rówaie Schroedigera wprowadzeie i rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7

Bardziej szczegółowo

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

O2. POMIARY KĄTA BREWSTERA

O2. POMIARY KĄTA BREWSTERA O. POMIARY KĄTA BREWSTERA tekst opracowała: Bożea Jaowska-Dmoch Polaryzacja światła jest zjawiskiem, które potwierdza falową aturę światła. Światło jest falą elektromagetyczą, w której cyklicze zmiay pól

Bardziej szczegółowo

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE nr 2 CYFROWY POMIAR MOCY I ENERGII

ĆWICZENIE nr 2 CYFROWY POMIAR MOCY I ENERGII Politechika Łódzka Katedra Przyrządów Półprzewodikowych i Optoelektroiczych WWW.DSOD.PL LABORATORIUM METROLOGII ELEKTROICZEJ ĆWICZEIE r CYFROWY POMIAR MOCY I EERGII Łódź 009 CEL ĆWICZEIA: Ćwiczeie ma a

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x. LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 05 poziom podstawowy ZESTAW A ZADANIA ZAMKNIĘTE 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A B D D A D B D A B C D C B A C A C B C A B D C ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI zadaia 5 6 7 puktów

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR 1(73) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

ZESZYTY NAUKOWE NR 1(73) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE ISSN 0209-2069 ZESZYTY NAUKOWE NR 1(73) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE EXPLO-SHIP 2004 Tadeusz Szelagiewicz, Katarzya Żelazy Progozowaie charakterystyk apędowych statku ze śrubą stałą podczas pływaia w

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

KADD Metoda najmniejszych kwadratów Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)

MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania) MATRIAŁY POMOCNICZ DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MDYCYNI (wyłączie do celów dydaktyczych zakaz rozpowszechiaia) 4. Drgaia brył prętów, membra i płyt. ****************************************************************

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

Kwantowanie przewodności elektrycznej w nanodrutach

Kwantowanie przewodności elektrycznej w nanodrutach FOTON 90, Jesień 005 35 Kwantowanie przewodności elektrycznej w nanodrutach Szymon Godlewski, Antoni Tekiel Studia Matematyczno-Przyrodnicze, III rok Uniwersytet Jagielloński 1. Zjawisko Wiele wieków rozwoju

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Zmiany Q wynikające z przyrostu zlewni

Zmiany Q wynikające z przyrostu zlewni uch wody w korytach rzeczych Klasyfikacja ruchu. uch ieustaloy zmiey przepływ Q a długości rzeki i w czasie: ruch fal wezbraiowych ruch wody a długim odciku rzeki Q fala wezbraiowa obserwowaa w przekroju

Bardziej szczegółowo

Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( )

Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( ) Poiedziałki 11.45 Grupa I3 Iformatyka a wydziale Iformatyki Politechika Pozańska Algorytmy I Struktury Daych Prowadząca: dr Hab. iż. Małgorzata Stera Sprawozdaie do Ćwiczeia 3 Algorytmy grafowe (26.03.12)

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D

Bardziej szczegółowo

Pomiary drgań rezonansowych wywołanych niewyważeniem wirnika

Pomiary drgań rezonansowych wywołanych niewyważeniem wirnika Pomiary drgań rezoasowych wywołaych iewyważeiem wirika Zakres ćwiczeia 1) Idetyfikacja drgań wywołaych: a iewyważeiem statyczym wirika maszyy elektryczej, b - iewyważeiem dyamiczym wirika maszyy elektryczej,

Bardziej szczegółowo