Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami

Transkrypt

1 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego okresu czasu wynosi n 2 lat. Zadanie. Punktacja: (a) - 3, (b) - 7. Dane są dwie obligacje stałokuponowe, które płacą kupon co pół roku: OS: kupon - 5%, termin zapadalności - za 4 miesiące, cena czysta - 99,58; OS2: kupon - 6%, termin zapadalności - za 7 miesięcy, cena czysta - 00,6. Stopa procentowa M lokat/depozytów wynosi 5,50%. (a) Wyznacz wartości czynników dyskontowych DF (4M) oraz DF (7M). (b) Kwotowanie FRA4x7 wynosi 6,00%. Czy w tej sytuacji jest możliwość przeprowadzenia arbitrażu. Jeśli tak, skonstruuj strategię arbitrażową. Rozwiązanie Część (a). Mając stopę procentową dla depozytu/lokaty M obliczamy czynnik dyskontowy DF (M) = + 0, = 0, Do obliczenia wartości czynników dyskontowych dla 4M i 7M będą nam potrzebne ceny brudne obligacji OS i OS2. Cena brudna obligacji to cena czysta plus odsetki narosłe w bieżącym okresie odsetkowym. I tak, cena brudna P obligacji OS wynosi P = 99, , oraz analogicznie cena brudna obligacji OS2 P 2 = 00, = 00, 433, = 03, 0. Za przepływ pieniężny w chwili 4M w wysokości 02,50 z obligacji OS musimy zapłacić P. Zatem DF (4M) = P /02, 50 = 0, Czynnik DF (7M) obliczamy z równania skąd po obliczeniach P 2 = 3 DF (M) + 03 DF (7M), DF (7M) = 0, Część (b). Teraz możemy obliczyć stopę forward F (4M, 7M) implikowaną przez wartości tych czynników dyskontowych ( ) DF (4M) F (4M, 7M) = DF (7M) /( 3 ) = 3, 54283%. 2

2 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Jak widać stopa ta jest mniejsza niż stopa kwotowanego kontraktu FRA4x7. Dlatego opłaca się ulokować po stopie FRA4x7 pieniądze, których koszt finasowania (koszt ich zdobycia) będzie odpowiadał stopie F (4M, 7M). By mieć co ulokować w terminie 4M musimy kupić obligację OS (bo z niej dostaniemy wypłatę w 4M). Obligację OS kupimy za pieniądze uzyskane ze sprzedaży obligacji OS2. Ile sztuk obligacji OS2 (w stosunku do jednostki obligacji OS) powinniśmy sprzedać? Tyle, to jest x, by w terminie 7M kwota pieniędzy uzyskana z 3M lokaty, która zacznie się w 4M, kwoty 02,50 po stopie 6% (te 6% zagwarantujemy sobie sprzedając dzisiaj kontrakt FRA4x7) wystarczyła na pokrycie zobowiązania z tytułu sprzedanej x sztuk obligacji OS2. Tak więc mamy równanie 02, 50 ( + 0, 06 ) 3 = x 03, 2 skąd otrzymujemy x =, Należy jeszcze pamiętać o kuponie sprzedanej przez nas obligacji OS2, który musimy zapłacić w M. Z pieniędzy, którymi będziemy dysponować w chwili zawierania transakcji arbitrażowej, pewną część musimy przeznaczyć na wypłatę tego kuponu. Dokładniej, kwotę DF (M) x 3 = 3, powinniśmy ulokować po stopie 5,50% na okres M. Podsumujmy i sprawdźmy jak wygląda nasza strategia arbitrażowa. T=0 Sprzedajemy x =, sztuk obligacji OS2 po cenie brudnej 03,0 za sztukę - stąd otrzymujemy kwotę 04,385. Kupujemy jedną sztukę obligacji OS po cenie brudnej 00,433 - płacimy 00,433. Aby przygotować się na płatność kuponu z obligacji OS2, lokujemy kwotę DF (M) x 3 = 3, na M po stopie 5,50% - wykładamy kwotę 3, Sprzedajemy kontrakt FRA4x7 po stopie 6%. Nasz bilans wynosi zatem 04, , 433 3, = 0, 70878, i ta kwota jest naszym wolnym od ryzyka zyskiem arbitrażowym jaki wygenerowaliśmy w chwili zawierania strategii. T=M Otrzymujemy kwotę 3, = x 3 z M lokaty, która dokładnie wystarcza na uregulowanie płatności kuponowej z x sztuk sprzedanej obligacji OS2. T=4M Otrzymujemy kwotę 02,50 (z obligacji OS), którą lokujemy po 6% na 3M. Tak na prawdę lokujemy te pieniądze po rynku, ale wypłata (zainwestowana po rynku) ze sprzedanego kontraktu FRA4x7 rekompensuje odsetki od naszej lokaty tak by wynosiły one 6%.

3 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia T=7M Z lokaty otrzymujemy 02, 50 ( + 0, 06 2) 3 = 04, 0375 co dokładnie wystarcza by pokryć nasze zobowiązenie z tytułu sprzedanej obligacji OS2 w kwocie x 03 = 04, Zadanie 2. Opcja lookback Punktacja: 0. Opcja sprzedaży (put) lookback to opcja, której posiadacz w chwili czasu t w trakcie trwania opcji może w przypadku zarządania wykonania opcji otrzymać kwotę max{s τ : τ [0, t]} S t gdzie czas jest mierzony od chwili zawarcia kontraktu (od t = 0) - inaczej: posiadacz opcji sprzedaży lookback może sprzedać instrument podstawowy po najwyższej zaobserwowanej od chwili zawarcia kontaktu cenie instrumentu podstawowego. Rozpatrzmy amerykańską opcję lookback na sprzedaż akcji spółki wuwu.com. Czas trwania opcji wynosi 6 miesięcy. Bieżąca cena akcji wynosi 00, a jej zmienność 36.47%. Wolna od ryzyka stopa procentowa kapitalizowana w sposób ciągły wynosi 6.62% i jest taka sama dla każdego okresu depozytowego. Wyceń tę opcję na dwuokresowym drzewie dwumianowym. Rozwiązanie Współczynniki U i D określamy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t), wtedy U D =. W powyższym wzorze t = 4 otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po obliczeniach U = exp(+0, , 25) =, oraz D = /U = 0, Prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p = exp(r t) D U D = exp(0, , 25) 0, 8333, , 8333 = 0, Będą nam również potrzebne czynniki, które dyskontują z końców kolejnych 3M okresów na ich początki. Ponieważ stopa wolna od ryzyka jest taka sama dla każdego okresu, czynniki dyskontowe mają taką samą wartość, która wynosi DF = exp( 0, , 25) = 0, Zaczynamy od wyznaczenia procesu cen S na drzewie. Będziemy od razu wyznaczać M = największej wartości ceny przyjętej na drodze prowadzącej do danego węzła oraz wartość wypłaty V z tytułu realizacji opcji w danym węźle (wartość wewnętrzną opcji). w t = 0

4 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia S(0) = 00 M(0) = 00 V (0) = max(00 00; 0) = 0 w t = 3M S(3M, U) = 20, 0034 M(3M, U) = 20, 0034 V (3M, U) = max(20, , 0034; 0) = 0 S(3M, D) = 83, M(3M, D) = 00 V (3M, D) = max(00 83, 33096; 0) = 6, w t = 6M S(6M, UU) = 44, 0082 M(6M, UU) = 44, 0082 V (6M, UU) = max(44, , 0082; 0) = 0 S(6M, UD) = 00 M(6M, UD) = 20, 0034 V (6M, UD) = max(20, ; 0) = 20, 0034 S(6M, DU) = 00 M(6M, DU) = 00 V (6M, DU) = max(00 00; 0) = 0 S(6M, DD) = 69, M(6M, DD) = 00 V (6M, DD) = max(00 69, 44049; 0) = 30, 5595 Zauważmy, że choć drzewo z procesem cen rekombinuje się, to drzewo z procesem M (największej wartości ceny po drodze) jest rozdzielone i to po tym rozdzielonym drzewie będziemy musieli poruszać się dokonując wyceny opcji. Oczywiście wycenę przeprowadzamy zaczynając od końca, tzn. cofając się od chwili t = 6M do t = 0. W każdym węźle obliczamy zdyskontowaną wartość oczekiwaną wartości opcji widzianych z tego węzła w stanie Up i Down w następnym okresie i porównujemy ją wypłatą jaką byśmy otrzymali w przypadku realizacji opcji - wartość opcji w tym węźle jest liczbą większą z nich. w t = 3M E(3M, U) = DF (p V (6M, UU) + ( p) V (6M, UD)) = 9, P (3M, U) = max(e(3m, U); V (3M, U)) = 9, E(3M, D) = DF (p V (6M, DU) + ( p) V (6M, DD)) = 5, P (3M, D) = max(e(3m, D); V (3M, D)) = 6, w t = 0 E(0) = DF (p P (3M, U) + ( p) P (3M, D)) = 3, P (0) = max(e(0); V (0)) = 3, Cena opcji wynosi 3,03504 PLN.

5 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Zadanie 3. Punktacja: (a) - 5, (b) - 5. Aby zdobyć fundusze na inwestycje, spółka wuwu.com emituje dwuletnią obligację o rocznym kuponie, który składa się z 3/4 rynkowej stopy (typu LIBOR) dla rocznych depozytów (ustalanej na początku każdego rocznego okresu odsetkowego) plus marża m, przy czym ten składnik kuponu (to jest, część odsetek odpowiadająca tej marży) będzie wypłacana tylko wtedy, jeśli w terminie t wypłaty kuponu cena akcji będzie większa niż K t = S 0 q t, gdzie S 0 jest ceną akcji w chwili emisji obligacji, q jest współczynnikiem ustalonym w prospekcie emisyjnym obligacji, a czas t mierzymy w latach. Spółka chce wyemitować te obligacje at par, to znaczy po 00. (a) Wyprowadź formułę na wartość marży m (jako funkcję bieżącej ceny akcji S 0, jej zmienności σ i bieżącej struktury stóp procentowych danych funkcją DF (t), oraz parametru q), przy której ta obligacja będzie w chwili emisji at par. (b) Wykonaj obliczenia dla następujących danych liczbowych: cena akcji S 0 = 00, zmienność akcji σ = 20%, q =.. Załóż również, że struktura stóp procentowych (wolnych od ryzyka, kapitalizowanych w sposób ciągły) jest w chwili emisji obligacji płaska i że stopy te wynoszą 8%. Rozwiązanie Część (a). Niech L t oznacza Y stopę rynkową ustaloną w chwili t, płaconą w t. Wówczas, kupon obligacji płatny w chwili t możemy zapisać w postaci 3 4 L t + m St K t. Posiadacz obligacji, prócz odsetek po stopie rynkowej liczonych od 3/4 nominału, ma dwie europejskie binarne opcje kupna (w t = i w t = 2) na akcje spółki wuwu.com o nominale równym m nominału obligacji z cenami wykonania K t. Niech B t oznacza cenę europejskiej binarnej opcji kupna za jednostkę nominału która zapada w t i której cena wykonania wynosi K t. Ponieważ obligacja ma być wyemitowana po cenie 00 (at par), to musi zachodzić równość = DF (Y ) 3 4 L + m B + DF (2Y ) 3 4 L 2 + m B 2 + DF (2Y ), gdzie założyliśmy, że każdy roczny okres odsetkowy ma długość. Korzystając z metody wyceny obligacji o zmiennym kuponie zauważamy, że DF (Y ) 3 4 L + DF (2Y ) 3 4 L 2 + DF (2Y ) 3 4 = 3 4. Tak więc warunek na marżę m upraszcza się do następującej postaci 4 = m (B + B 2 ) + DF (2Y ) 4, skąd mamy m = 4 ( DF (2Y )). B + B 2

6 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Część (b). Obliczamy czynnik dyskontowy DF (2Y ) = exp( 0, 08 2) = 0, Teraz musimy obliczyć ceny opcji binarnych kupna. Korzystamy z następującego wzoru gdzie B = exp( rt )Φ(d 2 ), d 2 = ln(s 0/K) + rt σ 2 T/2 σ, T a Φ jest dystrybuantą standarowego rozkładu normalnego. W naszym przypadku mamy: dla opcji zapadalnej w T = z ceną wykonania K = 00, = 0 d 2 = ln(00/0) + 0, 08 0, 22 /2 0, 2 B = exp( 0, 08 )Φ( 0, 7655) = 0, = 0, 7655 dla opcji zapadalnej w T = 2 z ceną wykonania K 2 = 00, 2 = 2 Tak więc marża m wynosi d 2 = ln(00/2) + 0, , 22 2 /2 0, 2 2 B 2 = exp( 0, 08 2)Φ( 0, 24968) = 0, m = 0, (0, , ) = 0, = 5, 0023%. Zadanie 4. IRS z ograniczoną stopą zmienną Punktacja: (a) - 3, (b) - 4, (c) - 3. Rozpatrzmy n-letni kontrakt wymiany procentowej, w którym wysokość stopy zmiennej jest ograniczona z góry. Noga stała płaci odsetki co rok, a noga zmienna co sześć miesięcy. Odsetki nogi zmiennej (na jednostkę nominału) za i-ty sześciomiesięczny okres odsetkowy w tym kontrakcie wynoszą i min(l i, L max ) gdzie L i jest 6M stopą rynkową (typu LIBOR) ustalaną na początku okresu odsetkowego, i jest długością tego okresu, a L max ustaloną kontraktem maksymalną wartością płaconej stopy rynkowej. Stopa R nogi stałej tego kontraktu jest tak dobierana, by w chwili rozpoczęcia kontraktu wartość kontraktu wynosiła zero. Oznaczmy ten kontrakt symbolem IRS.

7 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia (a) Przedstaw kontrakt IRS jako portfel złożony pewnego kontraktu IRS oraz odpowiedniego instrumentu pochodnego. (b) Wyprowadź formułę na wartość stopy R kontraktu IRS jako funkcję od stopy R 0 standardowego kontraktu IRS (o takim samym czasie trwania i takiej samej strukturze okresów odsetkowych jak w kontrakcie IRS ), ceny odpowiedniego instrumentu pochodnego (patrz (a)), bieżącej wartości L 0 sześciomiesięcznej stopy rynkowej oraz bieżącej wartości n-letniej zerokuponowej stopy procentowej R(nY ). (c) Wykonaj obliczenia dla następujących danych liczbowych: n = 3 (to jest dla trzyletniego kontraktu), stopa standardowego kontraktu IRS 3Y R 0 = 6% 6M stopa (typu LIBOR) L 0 = 5.70% górny poziom stopy L max = 5.50% DF (3Y ) = 0.84 caps (ceny w bp, dla danych cen wykonania) Y floors (ceny w bp, dla danych cen wykonania) Y Rozwiązanie Część (a). Ponieważ min(l i, L max ) = L i max(l i L max, 0) oraz ponieważ kontrakt cap nie obejmuje kompensaty za pierwszy sześciomiesięczny okres odsetkowy (która potencjalnie powinna nastąpić), kontrakt IRS (w którym otrzymujemy stopę stałą R) jest równoważny portfelowi złożonemu z standardowego kontraktu IRS ze stopą R (otrzymujemy stopę stałą), kupionego n-letniego kontraktu cap z ceną wykonania L max, pozycji max(l 0 L max, 0) wynikającej z potencjalnego rozliczenia różnicy między stopami L max i L 0 w pierwszym okresie odsetkowym nogi zmiennej. Część (b). Niech c n oznacza cenę za jednostkę nominału n-letniego kontraktu cap ze stopą L max, oraz niech W 0 = max(l 0 L max, 0). Wówczas R - stopa stała kontraktu IRS - spełnia równanie R Q n + DF (ny ) = (c n + DF (6M)W 0 ), gdzie n Q n = ((k )Y, ky )DF (ky ). k=

8 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Znając R 0 stopę standardowego n-letniego kontraktu IRS, wielkość Q n możemy wyznaczyć z warunku R 0 Q n + DF (ny ) =, mianowicie Q n = DF (ny ) R 0. Zatem, po prostych przekształceniach, otrzymujemy następujący wzór na stopę R kontraktu IRS ( R = R 0 c ) n + DF (6M)W 0, DF (ny ) gdzie oczywiście DF (6M) = + L 0 oraz DF (ny ) = exp( R(nY ) n). Część (c). Z podanych cen kontraktów cap wybieramy cenę kontraktu z ceną wykonania L max = 5, 50%. Tak więc c 3 = 50 bp = 0, 05. Rozliczenie w 6M wynosi W 0 = max(0, 057 0, 055; 0) = 0, 00, a wartość czynnika dyskontowego dla 6M jest równa 2 DF (6M) = + 0, = 0, Po wstawieniu tych wielkości do wyprowadzonego wzoru na stopę R, otrzymujemy ( R = 6% ) 0, , , 00 = 5, 40%. 0, 84