Dowód probabilistyczny Uwagi do dowodu Bibliografia. Prawo Haczykowe. Łukasz Bieniasz-Krzywiec

Transkrypt

1

2 Plan prezentacji 1 Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe 2 3 4

3 Diagram Ferrersa Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe Niech λ = {λ 1 λ 2 λ m } będzie podziałem liczby n. DEFINICJA: Diagramem Ferrersa odpowiadajacym λ nazywamy tablicę F λ komórek indeksowanych parami (i, j), takimi że 1 i m, 1 j λ i. FORMALNIE: F λ = {(i, j) N 2 : 1 i m, 1 j λ i }

4 Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe

5 Tableau Young a Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe DEFINICJA: Tableau Young a odpowiadajacym diagramowi Ferrersa F λ nazywamy takie ustawienie liczb 1, 2,..., n w komórkach diagramu, że każdy wiersz i kolumna tworza ciag uporzadkowany rosnaco. FORMALNIE: Tableau Young a to funkcja t : F λ {1, 2,..., n}, taka że (i,j) Fλ t(i, j) t(i + 1, j) t(i, j) t(i, j + 1). Liczbę wszystkich tableau Young a diagramu F λ oznaczamy przez f λ.

6 Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe

7 Haczyk (Hook) Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe DEFINICJA: Haczykiem odpowiadajacym komórce (i, j) z diagramu Ferrersa F λ nazywamy zbiór H ij komórek (a, b), takich że a = i b j lub a i b = j. FORMALNIE: H ij = {(a, b) F λ : (a = i b j) (a i b = j)} DEFINICJA: Długościa haczyka nazwiemy liczbę komórek w zbiorze H ij.

8 Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe

9 Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe

10 Twierdzenie Haczykowe Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe TWIERDZENIE HACZYKOWE (FRAME ROBINSON THRALL) Jeśli λ jest podziałem liczby n, to f λ = n! (i,j) F λ h ij

11 DOWÓD PRAWA HACZYKOWEGO

12 Idea dowodu Wstęp 1 Napiszemy rekurencyjny wzór na f λ.

13 Idea dowodu Wstęp 1 Napiszemy rekurencyjny wzór na f λ. 2 Pokażemy, że nasza formuła haczykowa spełnia wzór rekurencyjny. W tym celu podamy probabilistyczna interpretację tego wzoru.

14 Wzór rekurencyjny Niech f λ f (λ 1, λ 2,..., λ m ) dla {λ 1 λ 2 λ m }. 8 0 λ nie jest podziałem n, >< 1 m = 1, f (λ 1,..., λ m) = mx >: f (λ 1,..., λ α 1,..., λ m) wpp. α=1

15 f (4, 3, 3, 1, 1) = f (3, 3, 3, 1, 1) + f (4, 3, 2, 1, 1) + f (4, 3, 3, 1)

16 Co chcemy pokazać? Chcemy pokazać, że formuła haczykowa 0 λ nie jest podziałem n, n! FH(λ 1,..., λ m ) = wpp. (i,j) F λ h ij spełnia nasz wzór rekurencyjny.

17 Do sprawdzenia sa trzy przypadki: Gdy λ nie jest podziałem n OK

18 Do sprawdzenia sa trzy przypadki: Gdy λ nie jest podziałem n OK Gdy m = 1 OK FH(λ 1 ) = λ 1! λ 1! = n! (i,j) F λ h ij = f (λ 1 )

19 Do sprawdzenia sa trzy przypadki: Gdy λ nie jest podziałem n OK Gdy m = 1 OK Gdy m > 1... FH(λ 1 ) = λ 1! λ 1! = n! (i,j) F λ h ij = f (λ 1 )

20 Trzeba pokazać, że FH(λ 1,..., λ m ) = co w skrócie zapiszemy m FH(λ 1,..., λ α 1,..., λ m ) α=1 FH = α FH α czyli 1 = α FH α FH

21 Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n

22 Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1

23 Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej.

24 Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej. Kontynuujemy proces aż trafimy do jakiegoś rogu.

25 Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej. Kontynuujemy proces aż trafimy do jakiegoś rogu.

26 Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej. Kontynuujemy proces aż trafimy do jakiegoś rogu. Czy każdy eksperyment się zakończy?

27

28

29

30

31

32

33 Wynikiem każdego eksperymentu jest pewna losowa ścieżka. DEFINICJA: Ścieżka w diagramie Ferrersa F λ nazwiemy ciag (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a k, b k ) wyników kolejnych losowań w eksperymencie losowym.

34 Eksperyment losowy definiuje przestrzeń probabilistyczna. Zdarzenia elementarne to ścieżki. Prawdopodobieństwo ścieżki: P((a 1, b 1 ) (a k, b k )) = 1 k 1 n 1 h ai b i 1 i=1

35 Niech αβ będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka kończy się w komórce (α, β). LEMAT O PRAWDOPODOBIEŃSTWIE KOŃCA ŚCIEŻKI P(αβ) = FH α FH

36 OBSERWACJA 1 FH α FH = 1 n = 1 n 1 i<α 1 i<α h iβ h iβ 1 (1 + 1 j<β 1 h iβ 1 ) h αj h αj 1 = 1 j<β (1 + 1 h αj 1 )

37

38 DEFINICJA Śladem ścieżki (a 1, b 1 ) (a k, b k ) nazywamy parę zbiorów (A, B), taka że A = {a 1, a 2,..., a k } B = {b 1, b 2,..., b k } Niech A, B będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka ma ślad (A, B).

39

40

41

42

43 Niech ab będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka zaczyna się od komórki (a, b). OBSERWACJA 2 Jeśli α = max A, β = max B, a = min A, b = min B, to P(A, B ab) = i A,i α 1 h iβ 1 j B,j β 1 h αj 1 =:

44 DOWÓD OBSERWACJI 2 Indukcja względem ( A, B ). A = 1, B 1 P({α}, B ab) = P({α}, B ab) P(ab) = Y j B,j β 1 h αj 1 = 1 n Y j B,j β 1 n 1 h αj 1

45 DOWÓD OBSERWACJI 2 Indukcja względem ( A, B ). A = 1, B 1 P({α}, B ab) = P({α}, B ab) P(ab) = Y j B,j β B = 1, A 1 analogicznie 1 h αj 1 = 1 n Y j B,j β 1 n 1 h αj 1

46

47 B > 1, A > 1 Niech ab, cd będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka zaczyna się od komórek (a, b) (c, d). P(A, B ab) = = = P(A, B ab) = P(ab) P(A, B ab, cb) P(ab, cb) P(ab) P(A, B ab, cb) n + n h ab 1 + P(A, B ab, ad) P(ab, ad) P(ab) P(A, B ab, ad) n = n h ab 1 =

48 1 P(A, B ab) = (P(A, B ab, cb) + P(A, B ab, ad)) = h ab 1 1 = (P(A a, B cb) + P(A, B b ad)) = h ab 1 1 = h ab 1 ((h aβ 1) Y +(h αb 1) Y ) = = (h aβ 1) + (h αb 1) Y Y = h ab 1 KONIEC DOWODU OBSERWACJI 2

49

50

51 WNIOSEK P(αβ) = 1 n P(A, B ab) = 1 n = 1 n = FH α FH 1 i<α i A,i α (1 + 1 h iβ 1 j B,j β 1 h iβ 1 ) FHα FH = 1 1 j<β 1 h αj 1 (1 + 1 h αj 1 )

52 KONIEC DOWODU PRAWA HACZYKOWEGO

53 Zamiast pokazywać, że formuła haczykowa spełnia równanie rekurencyjne można pokazać, że każdy tableau Young a jest jednakowo prawdopodobny. Prawdopodobieństwo wygenerowania każdego tableau Young a wynosi: 1 FH

54 Wstęp C. Greene, A. Nijenhuis, H. S. Wilf, A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape, Adv. in Math. 31 (1979), , Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovskii, A direct bijective proof of the hook-length formula.