ZASTOSOWANIE ENTROPIJNEGO UOGÓLNIENIA ROZKŁADU MAXWELLA- BOLTZMANNA DO MODELOWANIA ROZDRABNIANIA W MŁYNIE STRUMIENIOWO- FLUIDALNYM

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ 290, Mechania 86 RUTMech, t. XXXI, z. 86 (2/14), wiecień-czerwiec 2014, s Dariusz URBANIAK 1 Tomasz WYLECIAŁ 2 Vladimir P. ZHUKOV 3 Evgenii V. BAROCHKIN 4 ZASTOSOWANIE ENTROPIJNEGO UOGÓLNIENIA ROZKŁADU MAXWELLA- BOLTZMANNA DO MODELOWANIA ROZDRABNIANIA W MŁYNIE STRUMIENIOWO- FLUIDALNYM Zastosowanie zawisa fluidyzaci w wielu gałęziach przemysłu spowodowało intensyfiacę przebiegu zawis, stanowiących istotę technologii przemysłowych. W przypadu młyna strumieniowo-fluidalnego ziarna materiału warstwy różnią się nie tylo prędością przemieszczania wzdłuż wysoości warstwy, ale również rozmiarem, czego nie uwzględnia lasyczny rozład Maxwella-Boltzmanna. W pracy zaproponowano wyorzystanie zasady masimum entropii do uogólnienia rozładu Maxwella-Boltzmanna. Taie uogólnienie pozwoli oreślić rozład ziaren w warstwie fluidalne w funci prędości ich przemieszczania, wysoości warstwy oraz ich wielości. Celem weryfiaci zaproponowanego modelu przeprowadzono esperyment rozdrabniania materiału ziarnistego w młynie strumieniowo-fluidalnym. Porównanie wyniów obliczeniowych i esperymentalnych pozwala stwierdzić, że opis wyniów esperymentalnych przez zaproponowany model est zadowalaąco dobry. Zastosowanie metod fizyi statystyczne umożliwia przewidywanie zachowania ziaren w warstwie fluidalne i rozwianie na te podstawie metod obliczeniowych dla urządzeń technologicznych, wyorzystuących zawiso fluidyzaci. Słowa luczowe: rozład Maxwella-Boltzmanna, bilans energetyczny, bilans masy, zasada masymalne entropii 1 Autor do orespondenci: Dariusz Urbania, Politechnia Częstochowsa, al. Armii Kraowe 21, Częstochowa, tel.: , urbania@imc.pcz.czest.pl. 2 Tomasz Wyleciał, Politechnia Częstochowsa, al. Armii Kraowe 19, Częstochowa. 3 Vladimir P. Zhuov, Ivanovo State Power Engineering University, Rabfaovsaya 34, Ivanovo, Russia. 4 Evgenii V. Barochin, Ivanovo State Power Engineering University, Rabfaovsaya 34, Ivanovo, Russia.

2 278 D. Urbania, T. Wyleciał, V. P. Zhuov, E. V. Barochin 1. Wprowadzenie Zastosowanie zawisa fluidyzaci w wielu gałęziach przemysłu pozwoliło zintensyfiować zachodzące tam procesy technologiczne. Taą prawidłowość zaobserwowano w suszarnictwie, przemyśle energetycznym, obróbce cieplne metal przeróbce mechaniczne substanci ruchych, itd. Poprawa efetywności procesów technologicznych zachodzi głównie dlatego, że fluidyzaca materiału powodue intensywny ruch ziaren. Ruch ten przypomina zachowanie cząstecze gazu lub cieczy [2, 7]. Obserwaca ta słoniła do próby wyorzystania praw fizyi statystyczne do opisu zachowania ziaren w warstwie fluidalne [2]. W przypadu młynów strumieniowo-fluidalnych [4] ziarna w całe obętości warstwy różnią się prędością przemieszczania, położeniem względem wysoości warstwy, a również rozmiarem. Tego ostatniego aspetu nie uwzględnia tradycyny rozład Maxwella-Boltzmanna [3]. W pracy podęto próbę rozszerzenia rozładu Maxwella-Boltzmanna o dodatowy aspet zmiennośc a mianowicie wielości ziaren w warstwie fluidalne. 2. Metodya badawcza Jao analizowany obiet badawczy wybrano młyn fluidalny, schematycznie przedstawiony na rysunu 1. Rozważany młyn pracue periodycznie. Masa rozdrabnianego materiału nie zmienia się w czasie. Energia est dostarczana do młyna wraz z gazem, tóry est podawany do urządzenia poprzez otwór wlotowy 1 i opuszcza młyn przez wylot 2. Młyn został podzielony na elementarne przestrzenie fazowe. Efet procesu rozdrabniania zależy od wielu parametrów. W przypadu rozdrabniania w warstwie fluidalne znaczącym parametrem, determinuącym efet rozdrabniania, est energia inetyczne ziaren. Ponadto rozdrobnienie ziarna zależy od ego rozmiaru. Im mnieszy rozmiar ziarna, tym więce energii należy dostarczyć na ego rozdrobnienie. Rozmiar ziarna determinue ponadto opory unoszenia, a więc położenie ziarna wzdłuż wysoości warstwy. Zatem ao charaterystyczne parametry procesu rozdrabniania wybrano rozmiar ziarna x, ego prędość v i wysoość położenia ziarna w warstwie z. Struturę obliczeniowe przestrzeni fazowe z uwzględnieniem ierunu osi wybranych współrzędnych, poazano na rysunu 1, b. Poszuiwana funca rozładu ziaren względem rozmiaru, prędości i położenia ziaren w warstwie fluidalne f ( x, v, z) przedstawia gęstość rozładu materiału w przestrzeń obliczeniowe. Funca ta dla poedyncze omóri opisana est następuąco: ( x, v z) x v z F i,, = f, (1)

3 Zastosowanie entropinego uogólnienia rozładu Maxwella-Boltzmanna gdzie: x, v, z - rozmiar omóri wzdłuż osi x, v, z; indes i wsazue liczbę omóre wzdłuż. osi rozmiaru x; - wzdłuż osi prędość v, - wzdłuż współrzędne z. Rys. 1. Schemat (a) i obliczeniowa przestrzeń fazowa (b) młyna strumieniowo-fluidalnego: 1 - dopływ powietrza, 2 - wypływ powietrza Fig. 1. Schematic (a) and the computational phase space (b) blast-fluid mill: 1 - air supply, 2 - air discharge Ilość ziaren w całe przestrzeni fazowe odpowiada całe masie rozdrabnianego materiału. Zatem bilans masy tego materiału może być zapisany w postaci warunu normalizaci nieznane funci rozładu. F i, = 1 (2) Bilans energii ziaren warstwy fluidalne zbudowano na podstawie analizy strumieni energii. Założono, że energia, dostarczana do uładu wraz z gazem, powodue zmianę energii inetyczne ziaren, energii potencalne determinowane wysoością położenia, oraz energii potencalne determinowane rozmiarem ziarna. Zależność, opisuąca właściwą potencalną energię położenia ziaren, wyrażona est za pomocą współrzędnych przestrzennych ziarna i przyspieszenia ziemsiego g: e = g (3) i z i Właściwa energia inetyczna ziaren est oreślona ao połowa wadratu prędości ziarna:

4 280 D. Urbania, T. Wyleciał, V. P. Zhuov, E. V. Barochin 2 v e = (4) 2 Energia rozdrabniania, zgodnie z prawem Rittingera [6], opisana est zależnością: 1 1 ex = CR (5) x" x' gdzie: e x - właściwa energia rozdrabniania, C R - stała Rittingera, x ', x" - średnie rozmiary ziaren odpowiednio przed i po procesie rozdrabniania. Podczas rozdrabniania dużych ziaren x ', zatem wyrażenie (5) można zapisać w postaci: C e = R x = e (6) x Energia rozdrabniania, zgodnie z (5) zależy tylo od ońcowe wartości rozmiaru x albo stanów uładu i nie zależy od przebiegu procesu rozdrabniania. Podobieństwo zależności (6) i wyrażenia na potencał pola eletrostatycznego [3] wsazue na potencalny charater energii rozdrabniania. Stałą Rittingera [8] można wyrazić w następuące postaci: C R = r (7) t d 0 gdzie: r t - utaone ciepło parowania w procesie sublimac d 0 - rozmiar ziaren rozdrabniane substanci. Dla wybrane przestrzeni fazowe energia właściwa poedynczego elementu uładu oreślona est przez sumę energii potencalne położenia, potencalne energii rozmiaru i inetyczne energii ziaren: v e + 2 CR = g zi + (8) 2 x Bilans energii wyrażony est przez równość sumaryczne energii wszystich ziaren uładu E: e Fi, = E (9)

5 Zastosowanie entropinego uogólnienia rozładu Maxwella-Boltzmanna W celu znalezienia szuanego rozładu wyorzystano zasadę masymalne entropi tórą z powodzeniem wyorzystue się do modelowania złożonych uładów [1, 3]. Dla analizowanego uładu wyrażenie na entropię H można wyrazić w postaci: H = F i, ln Fi, max (10) Nabardzie prawdopodobny rozład to ten, tóry charateryzue nawięsza wartość entropii. Zatem rozwiązaniem zależności (9) est znalezienie masymalne wartości funci rozładu ziaren względem położenia, prędości i rozmiaru. Do tego celu wyorzystano metodę mnożniów Lagrange'a [1], z uwzględnieniem warunów (2) i (9). Wtedy F = exp ( µ e ) ( µ e ) exp (11) gdzie µ nieoreślony mnożni Lagrange'a, tórego wartość wyznaczono z warunu (9). Podstawienie zależności (8) w wyrażeniu (11) pozwala na uzysanie szuanego rozładu w postaci: f ( x, v, z) 2 v CR = A exp µ g z + + i (12) 2 x gdzie: A - parametr normalizacyny. Zależność (12) podobna est do postaci rozładu Maxwella-Boltzmanna [3] i pozwala oreślić rozład ziaren dodatowo względem ich rozmiaru. Porównanie szuanego rozładu z rozładem Maxwella-Boltzmanna pozwala taże zapisać wyrażenie dla mnożniów Lagrange'a w postaci M µ µ = (13) ( MR) T gdzie: M µ - masa molowa rozdrabnianego materiału, (MR) - uniwersalna stała gazowa, T - temperatury odniesienia.

6 282 D. Urbania, T. Wyleciał, V. P. Zhuov, E. V. Barochin 3. Wynii obliczeń analitycznych i esperymentalnych Przebieg szuane funci rozładu przeprowadzono dla następuącego przyładu obliczeniowego. Przestrzeń fazowa przedstawia trówymiarową macierz omórową (rys. 1). Podawanie materiału nadawy (C R =12, , Jm/g [8]) następue w puncie przestrzeni fazowe o współrzędnych z = z min, v = v min, X = X max. Na rysunu 2 przedstawiono obliczone rozłady ziaren względem ich rozmiaru w warstwie fluidalne o różnych energiach (parametrach rozładu µ). Rys. 2. Rozład ziaren względem ich rozmiaru o różnych parametrach rozładu µ: 1 - µ = -1; 2 - µ = -0,3; 3 - µ = -0,05; 4 - µ = -0,005; 5 - µ = -0001; 6 - µ = 0,0002; 7 - µ = 0,0005 Fig. 2. The distribution of the grains with respect to their size with different distribution parameters µ: 1 - µ = -1; 2 - µ = -0.3; 3 - µ = -0.05; 4 - µ = ; 5 - µ = ; 6 - µ = ; 7 - µ = Rozłady przedstawiono w postaci sumarycznych zależności masowych udziałów przesypu drobnego materiału przez sito ontrolne о rozmiarze ocza tego sita. Wielość przesypu oreślono poprzez sumowanie szuanego rozładu (11) względem prędości i wysoości warstwy: ( ) = 1 1 D x F i (14) = 1, gdzie: D ( x 1 ) - przesyp przez sito o rozmiarze x 1 materiału warstwy. W celu przedstawienia trówymiarowe przestrzeni fazowe (11) w postaci ednoparametrowe zależności wyonano wstępnie sumowanie względem dwóch pozostałych współrzędnych:

7 Zastosowanie entropinego uogólnienia rozładu Maxwella-Boltzmanna F x = Fi Fv = Fi, Fz = F, ; (15) Szuany rozład ziaren w złożu fluidalnym obliczono względem osi z, v, i x przedstawiono na rysunu 3. Krzywa (a) przedstawia rozład ziaren względem wysoości warstwy, rzywa (b) - względem prędości i rzywa (c) - względem wielości ziarna. Tróątami przedstawiono esperymentalne rozłady ziaren, otrzymane w wyniu przeprowadzenia odpowiedniego esperymentu [5]. Porównanie obliczonych i esperymentalnych rozładów poazue zadowalaącą zgodność opisania wyniów doświadczalnych poprzez znaleziony rozład obliczeniowy. Rys. 3. Rozład ziaren względem wysoości warstwy (a), względem prędości (b), oraz względem wielości ziarna (c) Fig. 3. The distribution of grains with respect to the layer height (a), with respect to the speed (b), and grain size (c) 4. Wniosi Przeprowadzone badania wyazały, że zastosowanie praw fizyi statystyczne do modelowania zachowania się ziaren w warstwie fluidalne młyna dae pozytywne rezultaty. Modele, zbudowane na prawach fizyi statystyczne adewatnie opisuą zachowanie się zbioru ziaren w warstwie fluidalne gdzie zachodzi ich rozdrabnianie. Zatem est możliwe i celowe wyorzystanie przedstawione metodyi w modelowaniu procesów technologicznych mechaniczne przeróbi substanci ruchych.

8 284 D. Urbania, T. Wyleciał, V. P. Zhuov, E. V. Barochin Literatura [1] Barrow G.M.: Chemia fizyczna. PWN, Warszawa [2] Belyaov A.N., Zhuov V.P., Otwinowsi H.: Formirovanie fratsionnyh i energetichesih potoov v struynyh mel'nitsah ipyashchego Slota, Vestni IGEU, nr 1 (2012) [3] Huang K.: Statistical mechanics (in Polish), PWN, Warszawa [4] Milioli F.E., Foster P.J.: A model for particle size distribution and elutriation in fluidized bets, Powder Technology 83 (1995) [5] Mitrofanov A.V.: Modelirovanie i raschetno-esperimental'nye issledovaniya gidromehanichesih i teplovyh protsessov v psevdoozhizhennom sloe, dis. and. tehn. nau, Ivanovo, [6] Pastucha L., Mielczare E.: Kinetya i termodynamia rozdrabniania strumieniowego, Wydawnictwo Politechnii Częstochowsie Częstochowa [7] Wyleciał T., Urbania D.: Badanie rozdrabniania materiałów drobnoziarnistych w młynie strumieniowo-fluidalnym, Hutn nr 5 (2012) [8] Zhuov V.P., Belyaov A.N.: Termodinamichesiy podhod opisaniyu mehanichesih protsessov v sypuchih sredah, Vestni IGEU, nr 6 (2012) APPLICATION OF ENTROPY GENERALIZATION OF MAXWELL- BOLTZMANN DISTRIBUTION FOR MODELING OF GRINDING IN A FLUIDIZED-BED JET MILL S u m m a r y Application of fluidization phenomenon in many industries resulted in the intensification of the course of events, which are the essence of industrial technology. In the case of a fluidized-bed et mill grains of the bed material are differ not only in speed of motion along the height of the bed, but also the size, which does not include a classic Maxwell-Boltzmann distribution. The approach of the principle of maximum entropy to generalize Maxwell-Boltzmann distribution is presented in the paper. Such generalization will determine the distribution of particles in a fluidized bed as a function of speed of motion, height of the bed and their size. To verify the proposed model, an experiment was conducted grinding of granular material in the fluidized-bed et mill. Comparison of computational and experimental results demonstrates that the description of the experimental results by the proposed model is adequate. The use of methods of statistical physics allows to predictthe behavior of grains in a fluidized bed and developing on this basis of the calculation methods for technological devices using the fluidization phenomenon. Keywords: Maxwell-Boltzmann distribution, energy balance, mass balance, principle of maximum entropy DOI: /rm Otrzymano/received: Zaaceptowano/accepted: