METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ ELEKTROFILTRÓW

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 43, s. 7-14, Gliwice 2012 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ ELEKTROFILTRÓW IWONA ADAMIEC-WÓJCIK, STANISŁAW WOJCIECH Katedra Transportu i Informatyi, Aademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsu-Białe i.adamiec@ath.eu, swociech@ath.eu Streszczenie. Oczyszczanie eletrod osadczych w eletrofiltrach suchych est realizowane przez wzbudzanie ich drgań. Są to drgania o dużych wartościach przyspieszeń. Przedmiotem modelowania w niniesze pracy est poedynczy zestaw eletrod, sładaący się z beli nośne, zawieszonych na nie eletrod, będących powłoami o złożonym ształcie oraz drąga strzepuącego. Do dysretyzaci uładu zastosowano metodę sztywnych elementów sończonych. Wynii obliczeń porównano z wyniami otrzymanymi przy zastosowaniu metody hybrydowe oraz pomiarów na specalnym stanowisu badawczym. 1. WSTĘP Proces usuwania pyłów z eletrod osadczych w znaczącym stopniu wpływa na suteczność eletrofiltrów. Ważnymi parametrami, służącymi do oceny eletrofiltrów, są masymalne wartości przyspieszeń stycznych i normalnych, poawiaących się w tracie drgań eletrod. Ważne dla proetantów są nie tylo wartości masymalne przyspieszeń, ale również ich równomierny rozład. Zależą one przy tym zarówno od geometrii uładu (grubość, długość i ształt eletrod), a i od siły uderzenia wzbudzaące drgania. Na rys. 1 przedstawiono poedynczą secę eletrod osadczych, będącą przedmiotem modelowania. Rys.1. Poedyncza seca eletrod osadczych: a) wido ogólny, b) ształt eletrody SIGMA VI, c) typowy przebieg siły uderzenia

2 8 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH Zagadnienie modelowania tego uładu było przedmiotem wcześnieszych prac autorów i ich współpracowniów [1], [5]. Do modelowania uładu z rys. 1 stosowano metody: hybrydową, funci sleanych oraz odształcalnych elementów sończonych. W ażdym przypadu do dysretyzaci bele stosowano metodę SES [6]. Natomiast w różny sposób modelowano eletrody. Beli i eletrody połączone są za pomocą elementów sprężysto-tłumiących [5]. W niniesze pracy do dysretyzaci uładu zastosowano lasyczną metodę sztywnych elementów sończonych, zarówno do bele, a i eletrod. Podobne podeście zastosowano we wspomniane wyże metodzie hybrydowe [3]. Każdy ze sztywnych elementów sończonych (ses) ma sześć stopni swobody (trzy przemieszczenia translacyne oraz trzy rotacyne). Jedna w metodzie hybrydowe energię odształcenia sprężystego uładu obliczano przy zastosowaniu lasyczne metody odształcalnych elementów sończonych. Zdefiniowano własny element o 24 wielościach węzłowych. Następnie wyrażono współrzędne elastyczne (odształcenia w węzłach) poprzez współrzędne ses. Podeście zastosowane w te pracy polega na bezpośrednim wyorzystaniu wzorów na współczynnii sztywności elementów płytowych, podane w [4], przy pewnych modyfiacach, tóre opisano w następnym rozdziale. Implementaca omputerowa tego podeścia umożliwiła porównanie wyniów obliczeń z otrzymanymi metodą hybrydową i odniesienie ich do wielości z pomiarów na stanowisu badawczym. 2. METODA SES PODZIAŁ PIERWOTNY Cechą charaterystyczną metody SES est prowadzenie podziałów pierwotnego i wtórnego obszaru podlegaącego dysretyzaci. W przypadu eletrod podział pierwotny może być doonany zgodnie z ich podziałem na płasie pasma, a następnie na obszary prostoątne (rys. 2). Rys.2. Podział eletrody o m pasmach na elementy pierwotne

3 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ 9 Jeśli przyąć, że eletroda ma m pasm o stałych długości L oraz szeroości b (=1,,m) i podzielić ażde pasmo na n prostoątów o boach b, x: L x, (1) n gdzie L długość eletrody, to w podziale pierwotnym liczba elementów wynosi: N n m. (2) p Kolenym etapem w metodzie SES est zastąpienie własności podatnościowych elementów otrzymanych w podziale pierwotnym przez elementy sprężysto-tłumiące (est). W lasycznym podeściu [4] proponue się, aby własności sprężyste elementów odwzorowywały esty ułożone a na rys. 3a. Segmenty (1) (4), na tóre podzielono elementy, maą po pięć stopni swobody, tórymi są: u, v, z przemieszczenia translacyne, x, y przemieszczenia rotacyne, a współczynnii sztywności est oreślaą zależności: x x Ehy x x Ghx c12 c34 c23 c41 2x 2y y y Ghy y y Ehx c12 c34 c23 c41 2x 2y z z Ghy z z Ghx c12 c34 c23 c41 2x 2y, (3) 3 3 Gh y Eh x x x x x c12 c34 c23 c x 241 y 3 3 Eh y y y Gh x y y c12 c34 c 2 23 c x 12y gdzie E moduł sprężystości Younga, G moduł odształcenia postaciowego, υ- liczba Poissona, h grubość eletrody. Cechą charaterystyczną tego (lasycznego) postępowania est pominięcie możliwości obrotu segmentów (1) (4) woół osi prostopadłych do płaszczyzny elementu pierwotnego. Jedna w zastosowaniu do eletrod (powło) o złożonym ształcie, onieczne est przyęcie, że ruch segmentów opisue sześć współrzędnych (trzy przemieszczenia translacyne oraz trzy rotacyne). Rys.3. Element pierwotny ( est): a) lasyczne oraz b) proponowane umiescowienie est

4 10 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH Aby ograniczyć obrót segmentów względem osi równoległych do z, wystarczy odsunąć od siebie elementy sprężysto-tłumiące, ta a to przedstawiono na rys. 3b. Segmenty mogą wówczas mieć po sześć stopni swobody, ale ich obroty woół osi prostopadłych do płaszczyzny xy są ograniczone przez est. 3. METODA SES PODZIAŁ WTÓRNY W podziale wtórnym łączy się sąsiaduące segmenty (eden, dwa lub cztery), należące do różnych elementów pierwotnych, w sztywne elementy sończone, a przedstawiono na rys. 4 oraz rys. 5a. Rys.4. Numeraca ses eletrody s W rezultacie otrzymue się podział eletrody na: Nw m 1n 1 (4) elementów sztywnych (ses). Z ses wiąże się uład osi xc,, yc,, z C,, tóre są głównymi centralnymi osiami bezwładności elementu. Oś x C, est równoległa do osi x uładu bazowego. Natomiast oś y C, est nachylona do osi y uładu bazowego pod ątem oznaczonym na rys. 5b ao. Współrzędnymi uogólnionymi ses są współrzędne wetora: T q x, y, z, x,, y,, z,, (5)

5 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ 11 gdzie x, y, z - przemieszczenia translacyne, x,, y,, z, - przemieszczenia rotacyne. Rys.5. Ses : a) ao połączenie segmentów różnych elementów pierwotnych, b) główne centralne osie bezwładności, c) oznaczenia współrzędnych est w uładzie loalnym ses Przemieszczenia będące sładowymi powyższego wetora oreśla się względem położenia w stanie nieodształconym uładu. Wetor współrzędnych uogólnionych eletrody s przymue postać: T ( s) ( s)t ( s)t ( s)t q q 1 q q, (6) Nw a e energię inetyczną można przedstawić w postaci: ( s) 1 ( s)t ( s) ( s) T q M q, (7) 2 gdzie ( s ) ( s ) ( s =diag ) ( s ) 1 N w M diag m, m, m, I x,, I y,, I z, ; M M M M est macierzą o stałych elementach, m - masa elementu ; I x,, I y,, I z, - momenty bezwładności ses względem osi uładu xc,, yc,, z C,. Sposób obliczania wielości, m, I, I, I dae się łatwo zalgorytmizować [1 3], [5]. x, y, z, 4. ENERGIA ODKSZTAŁCENIA EST Przymue się, że s, i,, est numerem ses, do tórego należy segment elementu pierwotnego i, eletrody s. Energia potencalna odształcenia sprężystego eletrody może być przedstawiona w postaci: V m n ( s) ( s) Vi, i1 1, (8) ( s) ( s) gdzie Vi, est energią odształcenia est elementu pierwotnego eletrody s. Wielości V i, trzeba uzależnić od współrzędnych uogólnionych ses s, i,,1 s, i,,4. Należy zgodnie z rys. 3b przyąć, że: ( s) 1 T 1 T Vi, 2Δs, i,,12 Cs, i,,12 Δs, i,,12 2Δs, i,,23 Cs, i,,23 Δs, i,,23, (9) 1 T 1 T Δ C Δ Δ C Δ 2 s, i,,34 s, i,,34 s, i,,34 2 s, i,,41 s, i,,41 s, i,,41

6 12 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH gdzie Cs, i,,12, Cs, i,,23, Cs, i,,34, C s, i,,41 są macierzami 5 5, diagonalnymi, o elementach oreślonych wzorami (3), po przyęciu parametrów odpowiadaących elementowi i, eletrody s; Δs, i,,12, Δs, i,,23, Δs, i,,34, Δ s, i,,41 są odształceniami est. Odształcenia est, występuące w powyższym wzorze, są wyrażone w uładzie współrzędnych elementu pierwotnego i,, a więc nachylonego do osi y uładu bazowego pod ątem. Ponieważ osie y C, ses są nachylone do osi y pod ątem, to po przyęciu oznaczeń a na rys. 5c, można oreślić współrzędne est s, i,, w uładzie ses s, i,, i s, i,, według zależności: ( C, ) ( ) r U q ( ) r, (10.1) ( s, i,, ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) r U q r, (10.2) ( C, ) ( ) ( ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) ( ) z ( s, i,, ) y ( s, i,, ) x ( s, i,, ) ( ) ( ) ( ) gdzie U ( s, i,, ) z ( s, i,, ) 0 x ( s, i,, ), r ( s, i,, ) y ( s, i,, ) - wetor ( ) y ( s, i,, ) x ( s, i,, ) 0 z ( s, i,, ) współrzędnych loalnych est w uładzie współrzędnych xc,( s, i,, ), yc,( s, i,, ), z C,( s, i,, ), 1,2. Współrzędne (10) można wyrazić w uładzie współrzędnych elementu i, za pomocą wzorów: T ( C, ) r R R r, (11.1) ( s, i,, ) ( s, i, ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) r R R r, (11.2) T ( C, ) ( s, i,, ) ( s, i, ) ( s, i,, ) ( s, i,, ) gdzie R ( s, i, ), R( s, i,, ) - macierze transformaci o stałych elementach [5]. Wyrażenia występuące w (9), postaci: ( s, ) 1 T Δ C Δ, (12) V i, 2 s, i,, s, i,, s, i,, powoduą, że w równaniach ruchu poawiaą się elementy związane z różniczowaniem energii (12) względem q ( s, i,, ) i q ( s, i,, ) otrzymuąc odpowiednie elementy (podmacierze 6 6) macierzy sztywności eletrody s. 5. SYNTEZA RÓWNAŃ, WALIDACJA MODELU Sposób dysretyzaci (podział na ses i est) beli górne i drąga strzepuącego opisano szczegółowo we wcześnieszych pracach autorów [2], podobnie, a sposób łączenia bele z eletrodami i uwzględniania oddziaływania siły F(t) z rys. 1c. Po uwzględnieniu zależności przedstawionych w niniesze pracy, równania ruchu uładu można przedstawić w postaci: Mq Cq G Q, (13) gdzie M - diagonalna macierz mas, C - macierz sztywności; G - wetor sił ciężości; Q - wetor sił uogólnionych wywołanych uderzeniem; ( g )T (1)T ( s )T ( p )T ( d )T T q q q q q q, ( s ) q - oreślone w (7), ( g ) q, ( ) d q

7 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ 13 - wetory współrzędnych uogólnionych bele. Jeżeli beli górną i dolną podzielono na n (g) i n (d) sztywnych elementów sończonych, to liczba sładowych wetora q wynosi: ( s) ( s) ( s) gdzie Nw n 1m 1 p ( g) ( s) ( d ) N 6n Nw n, (14) s1. Do całowania równań (13) zastosowano metodę Newmara. Ponieważ macierz M est diagonalna, a macierz C rzada zastosowano specalne procedury do rozwiązywania rzadich uładów równań algebraicznych liniowych. Model poddano walidaci poprzez porównanie wyniów obliczeń z wyniami pomiarów na specalnym stanowisu badawczym [5]. Zgodność wyniów badano posługuąc się wsaźniami: sprawdzalności FAC2 oraz zgodności q zdefiniowanymi następuąco: n p 1 f FAC2as Ni, (15.1) n n 1 p p i 1 q q as Ni, (15.2) n p i1 ( i) p ( i) s s p () i W as o o () i 1 W a W a W a s 1 dla 2 f p 1 dla () i q gdzie: Ni 2 W as, Ni, 0 w przeciwnym przypadu 0 w przeciwnym przypadu i - numer puntu ontrolnego, n p liczba puntów ontrolnych, W max a, T - czas () i p () W a s - wartości uzysane z obliczeń, i o obliczeń, o, p, z pomiarów, s,, c s 0 t T W a - wartości uzysane oznacza odpowiednio przyspieszenie normalne, styczne i całowite. FAC2 a 0,5 Wynii uznawano za aceptowalne, eżeli dla badane wielości wsaźnii: oraz q a s 0,66.W obliczeniach przyęto wartość 0,4. Na rys. 6 przedstawiono oba wsaźnii. s Rys.6. Walidaca: wsaźnii FAC2 as i q a s dla s,, c

8 14 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH 6. PODSUMOWANIE W artyule przedstawiono zastosowanie lasyczne metody sztywnych elementów sończonych do modelowania powło o sompliowanych ształtach na przyładzie eletrod osadczych eletrofiltrów. Ze względu na onieczność uwzględnienia sześciu stopni swobody sztywnych elementów sończonych w podziale wtórnym zaproponowano inne położenie elementów sprężysto-tłumiących w stosunu do lasyczne metody. Przeprowadzona walidaca modelu, wyonana poprzez porównanie wyniów obliczeń według zaproponowanego modelu oraz metody hybrydowe a taże pomiarów na specalnym stanowisu badawczym, wsazuą na dużą efetywność numeryczną i poprawność zastosowanych metod. LITERATURA 1. Adamiec-Wóci I., Nowa A., Wociech S.: Comparison of methods for vibration analysis of electrostatic precipitators. Acta Mech. Sinica 2011, 1, Vol. 27, p Adamiec-Wóci I.: Modelling of systems of collecting electrodes of electrostatic precipitators by means of the rigid finite element method. Archive of Mechanical Engineering, Versita, 2011, No. 1, Vol. LVIII, p Adamiec-Wóci I., Nowa A., Wociech S.: Application of the finite strip method to modeling of vibrations of collecting electrodes. Journal of Sound and Vibration 2012 (zgłoszony do druu). 4. Kruszewsi J., Gawrońsi W., Wittbrodt E., Nabar F., Grabowsi S.: Metoda sztywnych elementów sończonych. Warszawa: Arady, Nowa A: Modelowanie i pomiary drgań eletrod osadczych eletrofiltrów suchych. Bielso-Biała: Wyd. Nau. Aad. Tech. - Human., Rozprawy nauowe Wittbrodt, E., Adamiec-Wóci, I., Wociech, S.: Dynamics of flexible multibody systems rigid finite element method. Berlin Heidelberg New Yor: Springer, RIGID FINITE ELEMENT METHOD IN MODELLING OF VIBRATIONS OF ELECTROSTATIC PRECIPITATORS Summary. Collecting electrodes in electrostatic precipitators are cleaned by inducing vibrations with large accelerations. This paper presents modeling of one section of electrodes which consists of a supporting beam, system of collecting electrodes which are treated as shells with complicated shape and a brushing bar. Discretizsation of the system is carried out by the rigid finite element method. The results of calculations are compared with those obtained using the hybrid finite element method and experimental measurements.