ver wektory

Transkrypt

1 ver wektory

2 wektory (w przestrzeni trójwymiarowej) wektor: długość kierunek zwrot długość: a= a dodawanie: a b= c b a b a

3 mnożenie mnożenie przez skalar: α a= b a α a wersor: e =1 a=a e e x, e y, e z e n - wersor normalny e t - wersor styczny

4 rozkład wektora mamy: a e 1, e 2 (niekolinearne) możemy: a=α 1 e 1 α 2 e 2 α 2 e 2 a e.g. a t a n tor a e 2 e 1 α 1 e 1 ρ - promień krzywizny

5 rzut wektora na oś a x =a cos e x ϕ a a x e x. x a=a x e x a y e y a z e z = a x, a y, a z a = a x 2 a y 2 a z 2 współrzędne wektora wektor swobodny...

6 wektor wodzący z r =x e x y e y z e z = x, y, z r A r= x 2 y 2 z 2 y x

7 obrót obrót o kąt ϕ jest (pseudo)wektorem + reguła śruby ϕ

8 iloczyn skalarny a b=abcos =a x b x a y b y a z b z b ϕ a skalar przemienny niezmienniczy a a=a 2 e.g. 2 L 12 = 1 F d s e i e k = δ i, k = x, y, z ik

9 iloczyn wektorowy a b= c =a bs in e c e.g. F L =q v B a b= b a a a=0 e b ϕ a e x e y = e z a b= a y b z a z b y, a x b z a z b x, a x b y a y b x a b=[ e x e y e z a x a y a z b x b y b z ]

10 pochodna wektora pochodna wektora po czasie: a t = a x t, a y t, a z t d α a = dα a α d a d a b = d a b a d b d a b = d a b a d b d a = lim Δt 0 ozn = a= da x Δ a Δt, da y d e= d e, da z e e t e t dϕ

11 kinematyka

12 względność ruch: względne przemieszczanie się ciał (Heraklit, Galileusz) cykloida geometria? przestrzeń: nieskończona jednorodna izotropowa płaska trójwymiarowa (Euklides) czas: jednorodny absolutny (Newton)

13 pojęcia punkt materialny układ odniesienia układ współrzędnych tor (trajektoria) wektor wodzący (Kopernik) (ale... Heisenberg)

14 tor z wersory kierunkowe: e x = e y = e z =1 O r t tor y x=x t y= y t z=z t x parametryczne równania ruchu równanie toru f(x,y,z) = 0

15 prędkość Δ r tor r t prędkość średnia: vṡ r = Δ r Δt r t Δt prędkość (chwilowa): v t = lim Δt 0 r t Δt r t Δt def = d r ozn = r v= d r v= dx e x dy e y dz e z v= v = v 2 =v x e x v y e y v z e x v 2 2 y v z z

16 droga A s Δ r B s=s t więc: B s AB = A ds tor v= d r v d s= d r v= ds τ s= 0 v τ t

17 jest styczna v= d r = ds d r ds =v e t e t - wersor styczny do toru prędkość jest wektorem stycznym do toru: v=v e t

18 przyspieszenie aṡ r = Δ v Δt def a t = lim Δt 0 v t Δt v t Δt = d v = d 2 r 2 = r a= d 2 r 2 a= d 2 x 2 e x d 2 y 2 e y d 2 z 2 e z a t tor a= dv e t v2 ρ e n a n a ρ - promień krzywizny v=v e t 0 e n r, v, a... i starczy!

19 dowód v=v e t d e t =dα e n ds= ρ dα a= d v = dv e t v d e t d e t = dα e n = dα ds ds e n = v ρ e n e t t e t t Δt Δ e t a= dv e t v2 ρ e n tor ρ α

20 ich rola a t 0 a n 0 v Δ v v Δ v a t = dv a n = v2 ρ

21 a. ruch prostoliniowy jednostajny a=0 v=v 0 =const a= dv v= ds t s= 0 t v = 0 t v 0 =v 0 0 =v 0 t v s v 0 s=v 0 t s=v 0 t t t

22 b. ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy ozn a n =0 a t =const = a 0 v= a 0 =a 0 =a 0 t v 0 s= v = a 0 t v 0 = a 0 t 2 2 v 0 t v s v 0 t t

23 c. ruch jednostajny po okręgu a t =0 y v a n =const a n = v2 ρ R ϕ x ρ=const=r r =R cos e x R sin e y v= Rsin d v= v x 2 v y 2 =R d e x R cos d e y

24 prędkość kątowa v=r d d ozn = ω - prędkość kątowa ω= d e = ω =ω t 0 v=rω T = 2π R v = 2π ω - okres ν= 1 T = ω 2π - częstotliwość

25 ogólniej v= ω r prędkość kątowa jest pseudowektorem ω v= ds =R d =Rω R v a t = dv =R dω =R d 2 2 =Rε O r ε= d 2 2 przyspieszenie kątowe

26 współrzędne biegunowe { x=r sin y=r cos { r= x 2 y 2 =arctg y x y v r v r = dr v =r d - radialna - transwersalna ϕ r v ϕ x v

27 I.12 zadanie 1 Znaleźć tor po jakim w płaszczyźnie pionowej leci samolotem pilot, który chce aby jego koledzy na lotnisku usłyszeli w tym samym momencie huk silnika z całego toru. Podać współrzędne końca toru. c = const - prędkość dźwięku v = const - prędkość samolotu ( v > c ) v r = dr =c r t =r 0 ct v= v r 2 v 2 v r d = v r dr = r d dr =const r d dr ozn = tgα r = tg α ln Ar

28 r = 1 A exp ctg α zadanie 1 (cd.) { r 0 =r 0 0 =0 ctg α= c v 2 c 2 r =r 0 exp 1 A =r 0 c v 2 c 2 v(t) α v r v ϕ ϕ d d =r π =r 0 exp cπ v 2 c 2

29 Ruch po obracjącej się tarczy: zadanie 2 Kolista tarcza a promieniu R wiruje wokół swojej osi ze stałą prędkością kątową ω. Ze środka tarczy wyrusza biedronka, która porusza się wzdłuż promienia ze stałą prędkością v 0. Znaleźć: - Równanie ruchu: tor biedronki w nieruchomym układzie odniesienia - Zależność od czasu wektora prędkości - Zależność od czasu wektora przyspieszenia - Zależność od czasu promienia krzywizny toru v 0 ω

30 Zadanie 2 c.d. x=l cos y=l sin l=v 0 t = t x=v 0 t cos t y=v 0 t sin t v x = d x d t =v cos t v 0 0 t sin t v y = d y =v d t 0 sin t V 0 t cos t v= v 2 x v 2 y =v t 2 l= x 2 y 2 t= x 2 y 2 y x v 0 =sin t cos t =tg v 0 x 2 y 2 v 0 a x = d v x d t = 2 v 0 sin t v 0 2 t cos t a y = d x d t =2 v 0 cos t V 0 2 t sin t a= a x 2 a y 2 =v t 2 a s = d d t v=v 0 2 t 1 2 t 2 a r = s 2 2 a s a r = v2 r r=v2 a r

31 koniec

32 zagadnienia względność ruchu parametryczne równania ruchu prędkość chwilowa droga przyspieszenie składowe przyspieszenia ruch prostoliniowy ruch po okręgu prędkość kątowa

33 glossary vectors, scalars, module, direction resolution into components, projection unit vector, scalar (vector) product right-hand screw law mechanics, kinematics Euclidean space, absolute time 3-dimentional, infinite, uniform, isotropic, flat motion of bodies relativity of the motion point mass translation, rotation trajectory reference frame rectangular (Cartesian), polar coordinates system position, displacement distance traversed, path rectilinear, curvilinear motion rotational, circular m. about an axis (non-) uniform motion velocity, units of velocity initial, terminal positon (velocity) instantaneous (average) velocity acceleration accelerated (deceterated) motion angle of rotation angular (linear) velocity number of revolutions per sec period of revolution tangent to trajectory tangential, normal acceleration radius of curvature of a trajectory distance from the axis of rotation parametric equation of the motion radial, transveral velocity

34 test!

35 zagadnienie pogoni: zadanie 2 Ofiara znajduje się w punkcie (0,0) a jej prędkość jest stała i wynosi (0,v 0 ). Drapieżnik jest w punkcie (d,0) a jego prędkość wynosi 2v 0 i jest skierowana w stronę ofiary. Gdzie i kiedy nastąpi konsumpcja? y { v x t =2 v 0 cos t y x t =2 v 0 sin t v 0 α v 0 t y = tg α x t α = 2v 0 τ=t π 2 = 2d 3v 0 y max = 3d 2 d x