QUASI- KLASYCZNA ANALIZA DECYZJI ZŁOŻONYCH

Transkrypt

1 QUASI- KLASYCZNA ANALIZA DECYZJI ZŁOŻONYCH Mace WOLNY Wydzał Organzac Zarządzana Poltechnka Śląska ul. Roosevelta 26-28, Zabrze mal: Streszczene. Artykuł prezentue koncepcę welokryteralnego dyskretnego problemu decyzynego przedstawonego w postac weloosobowe gry koordynac oraz analzę tego problemu w kontekśce określana progów substytuc pomędzy celam. Gracza utożsama decydent rozpatruący problem z punktu wdzena ednego celu spośród skończonego zboru celów, które chce osągnąć poprzez podęce konkretne decyz. Gra tym samym rozgrywana est pomędzy celam. Przedstawono główne problemy zwązane z nformacam, które decydent potraf chce uawnć w procese podemowana decyz oraz w ak sposób uęte zostae to w modelu. Zaprezentowana analza ma na celu wspomagane decydenta w podemowanu złożonych decyz poprzez awne przedstawene granc substytuc mędzy celam. Określene sytuac, w których pewne krytera ne maą stotnego wpływu na podęce decyz. Tym samym reprezentowane przez te krytera cele, które perwotne decydent zakładał uwzględnać, są dyskrymnowane. 1. Wprowadzene Problematyka analzy decyz złożonych dotyczy sytuac welokryteralnego podemowana decyz, w których rozważany est zbór warantów decyzynych w odnesenu do skończonego zboru kryterów (reprezentuącego stotne dla decydenta cechy decyz. Każde kryterum generue funkcę ocen warantów decyzynych, która porządkue waranty ze względu na dane kryterum. W procese podemowana decyz oceny warantów są optymalzowane ze względu na krytera (bez utraty ogólnośc rozważań można założyć, że wartośc wszystkch funkc ocen warantów decyzynych są maksymalzowane. Defnca matematyczna welokryteralnego problemu decyzynego est przedstawona ponże (Galas n Nech X będze zborem dopuszczalnych warantów decyzynych takm, że dla wszystkch x X spełnone są warunk ogranczaące nałożone na waranty wynkaące z dane sytuac decyzyne, oraz nech x est dowolnym, dopuszczalnym warantem decyzynym, f nech będze -tą funkcą celu ( = 1,2,...,m określoną na X, F(X będze wektorem grupuącym wszystke funkce celu, wtedy welokryteralny problem decyzyny można przedstawć ako program:

2 max F( x = max[ f (x, f (x..., f (x,..., f (x]. (1 x X x X 1 Istnee wele metod rozwązywana welokryteralnych problemów decyzynych. Wybór metody est uzależnony od systemu wartośc, który reprezentue decydent oraz nformac dotyczących preferenc, które można uzyskać od decydenta. Obektywne można wyróżnć dwe klasy sytuac decyzynych przy rozważanych problemach: sytuace względne trywalne, czyl take w których stnee nepusty zbór rozwązań domnuących. Przy czym zbór rozwązań domnuących A defnue sę następuąco: A = { xˆ ; xˆ F( xˆ F( x ; xˆ,x X } ; (2 sytuace, w których zbór A est pusty. Zborem rozwązań est wówczas zbór warantów B, do którego należą wszystke waranty nezdomnowane (sprawne, Paretooptymalne, poloptymalne, czyl: B = { x; & ( x F( x F( x & ; x,x & X }. (3 Dalsze rozważana będą dotyczyły sytuac, w których zbór A est pusty. Ne mne zawsze A B, dlatego będzemy traktowal sytuacę perwszą ako szczególny przypadek druge. Welokryteralny dyskretny problem decyzyny (WDPD występue wtedy, gdy zbór warantów decyzynych est skończony znany decydentow. W rzeczywstych problemach bardzo często decydent ma do czynena właśne ze skończonym zborem decyz dopuszczalnych, w nnesze pracy rozważane węc będą tylko take problemy. Naczęśce zadane takego, problemu sprowadza sę do znalezena nalepszego warantu. Powstae pytane: w ak sposób można znaleźć ten warant? Nemożlwym est rozwązane tego problemu, bez uzyskana dodatkowych nformac od decydenta. Informace te mogą dotyczyć ważnośc celów, które chce osągnąć decydent przez podęce określone decyz. Naważnesze ednak est, aby uzyskać nformacę dotyczącą systemu wartośc preferenc decydenta. Jeżel na przykład system wartośc decydenta cechue leksykografczny porządek celów, to problem welokryteralny sprowadza sę do m problemów ednokryteralnych. Jednak naczęśce bywa tak, że problem ne sprowadza sę do zadana programowana leksykografcznego, dlatego stotą problemu stae sę określene substytuc pomędzy celam. Innym słowy mus zostać określona reguła agregac ocen warantów decyzynych. Generalne problem agregac sprowadza sę do trzech koncepc (Roy 1990: 1 Koncepca z poedynczym kryterum syntetycznym (metakryterum należy zdefnować funkcę K, zwaną funkcą agregac, która agregue oceny według wszystkch kryterów w edną ocenę syntetyczną, problem zostae sprowadzony do problemu ednokryteralnego optymalzuemy funkcę agregac. 2 Koncepca syntetycznego przewyższana (Roy 1990; Roy, Bouyssou 1993 polega na zbudowanu relacynego systemu przewyższana, przy czym relacę przewyższana można zdefnować ako ne gorsze nż. Stwerdzene, że warant x A przewyższa x B uznae sę za zasadne, eżel wektory ocen F(x A F(x B spełnaą pewne warunk, podane w forme testów na przewyższane. W odróżnenu od koncepc z poedynczym kryterum, opsywana koncepca ne wyklucza sytuac neporównywalnośc. 3 Koncepca lokalne oceny z teracam typu prób błędów w odróżnenu od dwóch pozostałych koncepc ne wymaga określone reguły agregac. Agregaca polega na uzyskanu od decydenta nformac o systeme wartośc na podstawe cyklcznych pytań odpowedz odpowedno sformułowanych. Na podstawe odpowedz wyodrębna sę 2 m

3 podzbory zboru B (rozwązań sprawnych, tak długo aż uzyska sę zbór decyz nalepszych. Decydent w ten sposób uawna nformace w sposób lokalny, fragmentaryczne po każde faze odpowedz. Powyższe koncepce traktue sę ako klasyczne podeśce do analzy decyz złożonych. Każda z opsanych powyże koncepc wskazue, że naważneszym elementem w procese rozwązywana WDPD est określene ścsłych reguł substytuc mędzy celam, które chce osągnąć decydent przez podęce decyz. Koncepca lokalne oceny z teracam est nastawona strcte na cel, czyl podęce nalepsze decyz. Bez względu w ak sposób, naważneszym est, aby decydent wskazał ostateczne warant nalepszy. W dwóch perwszych koncepcach est wymagane przedstawene explcte w ak sposób następue wymana wartośc ocen mędzy celam dla każde decyz. 2. WDPD ako dwuosobowa gra o sume zero WDPD z punktu wdzena teor ger nterpretue sę ako dwuosobową grę (Konarzewska-Gubała Perwszy gracz est utożsamany z osobą wyberaącą określony warant decyzyny, zbór ego strateg postępowana (strateg czystych stanow zbór warantów decyzynych X. Poneważ zbór ten est skończony zdefnumy go ako: X = {x,...,x,...,x }. (4 1 Drug gracz gra kryteram, które uwzględnaą pewne kontrolne wskaźnk, które ma spełnać podemowana decyza. Wypłaty graczy są określone przez funkcę F(x dla każdego x ze zboru X. Zakłada sę, że wszystke funkce kryteralne f (x dla =1,2,...,m przymuą w zborze X wartośc z te same skal te same ednostk mary. Regułą wyboru strateg est reguła maksmnu. Dana est tablca ocen warantów decyzynych (Tablca 1. Tablca 1 Oceny warantów decyzynych, przy czym f (x est oceną -tego warantu względem - tego kryterum. Gracz II f 1 K f K f m. x 1 f 1 (x 1 K f (x 1 K f m. (x 1 M M M M M M Gracz I x f 1 (x K f (x K f m. (x M M M M M M x n f 1 (x n K f (x n K f m. (x n n Wobec reguły polegaące na wyborze strateg, dla które gracz otrzymue maksymalną z mnmalnych wygranych, wartość te wygrane wynos: V = max mn f ( x. (5 (

4 Załóżmy, że maksmum poszczególnych mnmów osągamy dla wskaźnka 0. Wobec czego strategą optymalną (a tym samym nalepszym warantem decyzynym est stratega x 0, która gwarantue, że żadna funkca celu ne będze mała nższe wartośc nż: V 0 = mn f ( x0. (6 ( W przypadku, gdy wartośc f (x dla =1,2,...,m pochodzą z różnych skal o różnych ednostkach mary poszukuemy take funkc użytecznośc, do które można odneść wartośc funkc celów. W takm przypadku tablca ocen warantów decyzynych ne zawera poszczególne wartośc wszystkch funkc celu, lecz wartośc funkc użytecznośc zmenaących ednostk dane funkc celu w ednostk obrane funkc użytecznośc. Problem wtedy rozwązue sę analogczne. Ogólne problem sprowadza sę do właścwego unormowana skal ednostek tak, aby były porównywalne. Naczęśce normowane polega na zbudowanu bezwymarowych mar akośc warantów decyzynych, na przykład przy zastosowanu odchyleń względnych (7. Stosue sę wtedy kryterum mnmaksowe. max f ( x f ( x w ( x = (7 max f ( x Cekawym est, że WDPD przedstawony w postac dwuosobowe gry rozważa sę z punktu wdzena gracza graącego kryteram. Gracz ten maksymalzue (lub mnmalzue w zależnośc od unormowana ocen swoe wygrane uwzględnaąc stratege gracza, który gra warantam decyzynym. Analzuąc daną grę nasuwa sę wele pytań, na przykład ak nterpretować gracza graącego warantam, czy elementy macerzy wypłat są stratam tego gracza? Jeżel są stratam, to ak należy e nterpretować? Warto zauważyć, że w przedstawonych modelach teorogrowych poszukue sę takego rozwązana WDPD, dla którego pozom osągnęca welokryteralnego celu ne będze nższy od pewnego mnmum, czyl de facto ne stnee tu żadna z koncepc agregac. Otrzymane rozwązane problemu będze rozwązanem sprawnym, dla którego żaden z celów cząstkowych ne będze osągnęty na pozome nższym nż owe mnmum. Modele te ne uwzględnaą żadne z koncepc agregac, ne ma substytuc mędzy pozomam osągana celów cząstkowych. 3. WDPD ako kooperacyna gra koordynac 3.1. Gra koordynac Rozpatrzmy problem decyzyny, w którym pewna zborowość składaąca sę z m osób ma podąć decyzę dotyczącą wyboru ednego z n warantów. Każda z osób wchodzących w skład owe zborowośc chce przez podęce decyz osągnąć swó własny cel partykularny maąc do dyspozyc n strateg postępowana, które polegaą na wyborze ednego z możlwych warantów decyzynych. Potraktumy każdy z celów, które chce osągnąć decydent, ako gracza (czyl utożsamamy osobę wchodzącą w skład cała decydenckego z celem, który chce osągnąć przez podęce decyz. Wypłaty gracza są określone przez wartośc ocen decyz

5 według danego kryterum będącego mernkem osągnęca konkretnego celu. Przy czym wartośc te są neuemne. W przypadku WDPD z dwoma kryteram, problem można przedstawć w postac Tablca 2 Wypłaty kooperacyne gry koordynac dla problemu decyzynego z dwoma kryteram. Gracz f 2 x 1 K x K x n x 1 f 1 (x 1, f 2 (x 1 K 0,0 K 0,0 M M M M M M Gracz f 1 x 0,0 K f 1 (x, f 2 (x K 0,0 M M M M M M x n 0,0 K 0,0 K f 1 (x n, f 1 (x n macerzy (tablca 2. Każdy z graczy we, że wszyscy muszą grać tą samą strategą. W tym celu mus być całkowty przepływ nformac pomędzy graczam, aby gracze mogl sę porozumewać w celu ustalena nalepsze strateg. Gracze muszą ustalć pewną wymenalność swoch wypłat. Wynkem gry pownna być edna stratega, to znaczy wszyscy gracze muszą ustalć dokładne edną strategę oznaczaącą ten sam warant decyzyny (będący rozwązanem problemu. Wyże opsana gra opsue bardzo dobrze sytuacę decyzyną dotyczącą WDPD w odnesenu do wyboru ednego nalepszego warantu decyzynego ze względu na wszystke krytera. Powstae pytane o celowość przedstawana WDPD w postac wyże opsane gry. Zbór rozwązań Paretooptymalnych B est konsekwencą tego, że cele ne są zgodne, cele często są sprzeczne (Galas, Nykowsk 1987, to znaczy, że warant nalepszy względem ednego kryterum, względem nnego może być nagorszy. Przedstawene konflktu celów, a tym samym nemożność osągnęca wszystkch zamerzonych celów ednocześne, wspomaga decydenta przy podemowanu decyz. Pozostae problem rozwązana WDPD w przedstawone postac oraz analza modelu w przypadkach kooperac e braku. W rozważane grze stnee dokładne n równowag Nasha w strategach czystych, przy czym równowagę Nasha dla ger nekooperacynych można zdefnować ako taką m-tkę strateg, przy których żaden z graczy ne chce zrezygnować ze swoe strateg (w równowadze (Owen W rozpatrywanym modelu równowag są osągane, gdy gracze stosuą te same statege, czyl: 1 2 m Pk = ( xk,xk,...,xk dla k = 1,2,...,n, (8 przy czym P k est równowagą Nasha w zborze strateg czystych o numerze k. Łatwo zauważyć, że wszystkch równowag Nasha w zborze strateg czystych w grze est n. Zakładaąc, że gracze ne mogą sę porozumewać, rozważany problem dotyczy koordynac zachowana graczy tak, by wszyscy ednocześne wybral tą samą strategę (czyl rozwązanem gry była konkretna równowaga. W tym przypadku mamy do czynena z problemem optymalzac wektorowe, czyl mogą zastneć dwa przypadk: 1 2 m rozwązanem gry est równowaga, ( x,x,...,x *, która domnue pozostałe, czyl: k k k

6 1 2 m 1 2 m H ( xk, xk,..., xk * H ( x, x,..., x dla = 1,2,..., n, (9 1 2 m przy czym H ( x, x,..., x est funkcą wektorową określaącą wypłaty graczy przy dane równowadze; brak est równowag domnuące, czyl est to zbór rozwązań nezdomnowanych (3. Perwszy przypadek określony został ako trywalny, węc zammy sę sytuacą, w które gracze-cele muszą kooperować w celu maksymalzac wypłat. Kooperaca graczy-celów est możlwa tylko w przypadku, gdy decydent uawn dodatkowe nformace o swoch preferencach Koncepca kooperacyne gry koordynac Zakładamy, że decydent uawna ważność każdego z celów, które chce osągnąć, poprzez przypsane wag β każdemu z celów. Waga ta określa ważność danego celu w odnesenu do pozostałych spełna warunk (10 oraz (11: m = 1 β 1, (10 = β > 0 dla 1,2,...,m, (11 = Przypsane wag każdemu z celów, ne wystarcza, aby rozwązać problem. Załóżmy, że decydent uznae, że następue pełny przepływ nformac medzy graczam-celam. Odnosząc założene do perwotnego problemu WDPD, cało decydencke (ednostka lub zborowość pragnąc rozwązać problem określa w sposób awny lub ne, pewną substytucę mędzy pozomam osągnęca poszczególnych celów. Otrzymuemy węc model w postac kooperacyne gry koordynac. Znormalzumy wypłaty graczy tak, aby otrzymane wartośc określały pozom osągnęca danego celu. Na przykład według następuącego wzoru: f ( x mn f ( x f ' ( x =. (12 max f ( x mn f ( x Zbór wszystkch graczy-celów oznaczmy przez N: N = {1,2,...,m }, (13 każdy nepusty podzbór S zboru N stanow koalcę celów. Funkca charakterystyczna gry v określa dla każdego nepustego podzboru N wartość wygrane dane koalc: max β f ' ( x dla β λ S S v( S = (14 β f ' ( x dla β < λ oraz = arg max β f ' ( x, ( S S S przy czym f ' ( x est unormowaną wypłatą (oceną warantu gracza przy zastosowanu strateg x oraz λ est wskaźnkem, który określa krytyczną wartość ważnośc koalc

7 (określaącą wystarczaący wpływ na wybór równowag, czyl decyz w probleme perwotnym. Wartość λ wynos co namne 0,5. Budowa funkc charakterystyczne uwzględna reguły gry. Z ne mędzy nnym wynka, że wag β określaą ednoznaczne substytucę mędzy pozomam osągnęca celów. Można zbudować metakryterum w postac lnowe kombnac wypukłe (Ignasak 1996, Roy 1990 (dla λ =1 oraz podać awne współczynnk substytuc mędzy celam: β dla, * N. (15 β * Wskaźnk te nformuą o le ednostek mus wzrosnąć pozom celu * aby pokryć spadek pozomu celu o ednostkę. W postac awne, dla wartośc przed normalzacą otrzymuemy: β max f * ( x mn f * ( x dla, * N. (16 max f ( x mn f ( x β * Powyższe wskaźnk nformuą o le ednostek mus wzrosnąć ocena warantu względem kryterum (kryterum ako mernk osągnęca danego celu * aby znwelować spadek o ednostkę oceny dane decyz względem kryterum. Z funkc charakterystyczne wynka równeż, że w przedstawonym podeścu zakłada sę substytucę określoną przez wag ako możlwą edyne w przypadku małe konflktowośc graczy wchodzących w skład koalc w odnesenu do ważnośc koalc. Poneważ warunek superaddytywnośc mus być zachowany oraz wypłata koalc puste wynos 0, czyl: v( S T v( S + v(t esl S T =,T N oraz S N, (17 v ( = 0, (18 węc WDPD ako kooperacyną grę koordynac w postac funkc charakterystyczne możemy określć przez wyrażene (14, przy uwzględnenu warunków (17 (18. Gracze łączą sę w koalce, które maą dostateczną ważność do podęca decyz oraz zysk z przynależnośc do koalc est nawększy. Zysk z z przynależnośc gracza do koalc est dany wzorem (19, natomast podzał wygrane w koalc est ścśle określony przez wag nadane graczom-celom: β v( S z S =. (19 β S Zbór koalc maących dostateczną ważność do podęca decyz W defnuemy następuąco: W = { S S N β λ }, (20 S zbór koalc R, w które będą łączyć sę gracze est podany przez (21: R = { S W S,max z }, (21 S N S S

8 zbór koalc R*, które tworzą gracze-cele mogący sam podąć decyzę oraz realzuący sę na nawyższym możlwym pozome dla te same strateg, czyl warantu decyzynego zadana perwotnego est postac: R* = { S W S,max z }. (22 S N Rozwązane problemu poszukuemy dla R*. Jeżel zbór ten est ednoelementowy, wtedy otrzymuemy rozwązane dla dane koalc. W pozostałych przypadkach należy rozważyć zbór R koalc wymagać od decydenta uawnene kolenych nformac dotyczących ego referenc Przykład lczbowy Tablca 3. Tablca ocen warantów ocen decyzynych. f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 x x x x x x x , x , X x x x S Dany est problem decyzyny w postac tablcy ocen warantów decyzynych (tablca 3,

9 przy czym f, (=1,...,5 oznacza kryterum, x, (=1,...,12 warant decyzyny. Krytera f 1 f 5 są mnmalzowane, pozostałe maksymalzowane oraz decydent każdy cel traktue równoważne. Problem polega na tym, że decydent ma podąć edną decyzę spośród możlwych decyz x ze względu na cele reprezentowane przez krytera f. Oceny warantów decyzynych unormowano według wzoru max f ( x f ( x f ' ( x = (23 max f ( x mn f ( x dla kryterum mnmalzowanego, oraz f ( x mn f ( x f ' ( x = (24 max f ( x mn f ( x dla kryterum maksymalzowanego. Unormowana ocena wskazue stopeń osągnęca danego celu w odnesenu do pozostałych warantów decyzynych. Unormowane oceny traktuemy ako wypłaty graczy. Decydent zastrzegł, że substytuca mędzy poszczególnym celam, które chce osągnąć przez podęce decyz est dozwolona w przypadku, gdy stopeń konflktu est namneszy, czyl m bardze zbeżne cele tym bardze zasadna substytuca pomędzy nm (a tym samym weśce do wspólne koalc. Decydent uznał, że w przypadku dostatecznego znaczena koalc celów, które zostałyby osągnęte na nawyższym pozome, akceptue sytuace dyskrymnac celów ne należących do te koalc oraz sumaryczne ne będących ważneszym od te koalc ( λ = 0, 5. Wartośc funkc charakterystyczne gry dane przepsem (14 dla koalc maących decyduący wpływ na podęce decyz przedstawa tablca 4. Kolene kolumny tabel przedstawaą sumaryczną wygraną koalc S oraz koalc przecwne N-S oraz decyzę podętą w przypadku, gdy zawąże sę koalca S. Tablca ukazue równeż zysk poszczególnych graczy, gdy należą do koalc dopuszczalne oraz maące dostateczną

10 Tablca 4. Wartośc funkc charakterystyczne gry dla koalc maących decyduący wpływ na podęce decyz. S V(S v(s+v(n-s decyza "zysk" z przynależnośc do koalc R R* =1 =2 J=3 =4 =5 {1,2,3} 0,582 0, ,194 0,194 0,194 * * {1,2,4} 0,569 0, ,19 0,19 0,19 * {1,2,5} 0,4 0, ,133 0,133 0,133 {1,3,4} 0,545 0, ,182 0,182 0,182 {1,3,5} 0,388 0, ,129 0,129 0,129 {1,4,5} 0,386 0, ,129 0,129 0,129 {2,3,4} 0,55 0, ,183 0,183 0,183 {2,3,5} 0,421 0, ,14 0,14 0,14 {2,4,5} 0,401 0, ,134 0,134 0,134 {3,4,5} 0,368 0, ,123 0,123 0,123 {1,2,3,4} 0,732 0, ,183 0,183 0,183 0,183 {1,2,3,5} 0,582 0, ,145 0,145 0,145 0,145 {1,2,4,5} 0,573 0, ,143 0,143 0,143 0,143 {1,3,4,5} 0,55 0, ,137 0,137 0,137 0,137 {2,3,4,5} 0,555 0, ,139 0,139 0,139 0,139 {1,2,3,4,5} 0,737 0, ,147 0,147 0,147 0,147 0,147 * ważność. Ostatne dwe kolumny nformuą czy określona koalca należy do zborów zdefnowanych wzoram (21 (22. W rozważanym przykładze zbór koalc maących dostateczną ważność (20 est ednoelementowy. Koalca graczy-celów {1,2,3} est dostateczne ważna, ażeby meć decyduący wpływ na podęce decyz o stosowanu odpowedne strateg (równowag oraz est nabardze opłacalna dla każdego z graczy. Gracze {4,5} muszą podporządkować sę stosuą równeż strategę wynkaącą z równowag numer 1. Cele reprezentowane przez tych graczy są dyskrymnowane ne maą stotnego wpływu na podęce decyz. 4. Podsumowane Proponowany model welokryteralnego dyskretnego problemu decyzynego ako kooperacyne gry koordynac lustrue w sposób ogólny deę welokryteralnego dyskretnego problemu decyzynego. Ops problemu werne oddae zagadnene w odnesenu do wyboru edne z możlwych decyz. Zaprezentowane rozwązane opera sę na dyskrymnac graczy. Identyfkue sę koalcę graczy, która ma decyduący wpływ na podemowaną decyzę, przedstawaąc problem w kategorach konflktu lub zgodnośc celów, które traktue sę ako graczy. Postać funkc charakterystyczne pownna być ścśle zwązana z systemem wartośc (preferenc decydenta. Reguła agregac, sytuace warunk wymenalnośc wypłat (substytuca oraz reguły gry muszą być odwzorowane przez wartośc funkc charakterystyczne. Przedstawona koncepca funkc charakterystyczne (14 opera sę na dwóch głównych przesłankach:

11 w WDPD często nemożlwe est osągnęce wszystkch założonych celów, wec dyskrymnue sę graczy-cele konflktowych w stosunku do koalc graczy zgodnych na tyle ważnych, że podece decyz tylko przy ch uwzględnenu est aprobowane przez decydenta; substytuca, czyl wymenalność wypłat est tym bardze zasadna, m wększa zgodność graczy-celów, tym samym bardze zasadne łączene sę tych graczy w koalce. W zależnośc od tego czy decydent akceptue daną sytuacę może pogodzć sę z tym, że ne osągne wszystkch celów lub zmeć ważność tych celów, które ne maą stotnego znaczena, redefnuąc problem. Przedstawene WDPD w postac gry koordynac może wspomóc decydenta w podemowanu decyz. Decydent pownen zdawać sobe sprawę z tego uż na etape opsu problemu, że pewne cele będą zbeżne, a nektóre sprzeczne ze sobą. Lteratura Amelańczyk A. (1984 Optymalzaca welokryteralna w problemach sterowana zarządzana, PTC, Warszawa. Galas Z., Nykowsk I., Żółkewsk Z. (1987 Programowane welokryteralne, PWE, Warszawa. Ignasak E. (1996 Badana operacyne, PWE, Warszawa. Jurek R. (1997 Metoda dentyfkac znaczena kryterów w welokryteralnym dyskretnym wspomaganu decyz. W: T. Trzaskalk, red., Zastosowana badań operacynych, Absolwent, Łódź. Kałusk J. (1996 Podstawy teor ger. Wyd. Prac. Komp. Jacka Skalmerskego, Glwce. Konarzewska-Gubała E. (1980 Programowane przy welorakośc celów, PWN, Warszawa. Malawsk M., Weczorek A., Sosnowska H. (1997 Konkurenca kooperaca. Teora ger w ekonom naukach społecznych, PWN, Warszawa. Owen G.(1975 Teora Ger, PWN, Warszawa. Paulusma D. (2001 Complexty Aspects of Cooperatve Games, Twente Unwersty Press Roy B. (1990 Welokryteralne wspomagane decyz, WNT, Warszawa. Roy B., Bouyssou D.(1993 Ade Multcrtere a la Decson: Methodes et Cas, Economca, Pars.