1.1 Analiza decyzji- tablica decyzyjna, klasyfikacja
|
|
- Antonina Król
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger1 ANALIZA DECYZJI(AD) 1.1 Analza decyz- tablca decyzyna, klasyfkaca problemów W celu formalzac klasyfkac problemów decyzynych wprowadzmy tzw tablcę decyzyną. Nech decydent(lub grupa decydentów) ma osągnąć pewen cel(np. zysk z uprawy swoego pola). Aby go osągnąć podmue pewne dzałana, które nazywamy strategam, alternatywam decyzynym lub decyzam. Zakładamy, żelośćtychdzałańest mdzałanateoznaczymy a 1,a 2,...,a m.podemuąc dane dzałane ego wynk zależy od zewnętrznych dla decydenta n czynnków, którenazywamystanamnaturyoznaczamyprzez θ 1,θ 2,...,θ n.pełnyopskonsekwencdladecydentapodęcadzałana a wsytuac,gdywystąpstannatury θ oznaczaćbędzemyprzez X zapsuesęwpostacnastępuącetablcydecyzyne: Alternatywy Stany natury decyzyne θ 1 θ 2... θ a 1 X 11 X X 1n a 2 X 21 X X 2n a m X m1 X m2... X mn Tab. 1.1: Ogólna postać tablcy decyzyne Przykład 1.1. Rozważmy osobę, która ma przygotować omlet z 6 aek. Właśne wbłaużdomsk5a,któreokazałysędobrymzastanawasęcozrobć z szóstym akem, które może być albo dobre albo zepsute. Tablca 1.2 podae możlwe sposoby dzałana ops konsekwenc tych dzałań. Alternatywy Stan natury decyzyne ako dobre ako zepsute zbćakodomsk omletz6a nemaomletu 5 aek znszczonych zbćakodo omletz6a omletz5aek donnegonaczyna naczynedoumyca naczynedoumyca wyrzucć ako omlet z 6 aek omlet z 5 aek edno ako znszczone Tab. 1.2: Pełny ops konsekwenc problemu decyzynego przygotowane omletu
2 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger2 W analze decyz stosue sę tablce decyzyne w których zamast pełnego opsukonsekwenc X używasęmarywartośckonsekwenc v(x )oznaczane daleprzez v dla = 1,...,m; = 1,...,nnazywanedaleużytecznoścą. Maratapownnaspełnaćwarunek,że v > v kl,gdydladecydentabardze sprzyaącesąkonsekwence X nżkonsekwence X kl (mówsęrówneż,żedecydentpreferuekonsekwence X wstosunkudokonsekwenc X kl ).Dlatego dale będą używane tablce decyzyne w których konsekwence zostaną zastąpone użytecznoścą. Postać taką podano w tablcy 1.3. Alternatywy Stany natury decyzyne θ 1 θ 2... θ a 1 v 11 v v 1n a 2 v 21 v v 2n a m v m1 v m2... v mn Tab. 1.3: Postać ogólna tablcy decyzyne, w które konsekwence zastąpono użytecznoścą Wyróżna sę trzy typy problemów decyzynych: Problemy decyzyne w warunkach pewnośc. Występue tylko eden stan natury, którego wystąpene est pewne- tablca decyzyna ma tylko edną kolumnę. Problemy decyzyne w warunkach ryzyka. Znane est prawdopodobeństwo wystąpena każdego stanu natury. Dla dyskretnych stanów natury θ 1,θ 2,...,θ n prawdopodobeństwachwystąpenaoznaczamyprzez P(θ 1 ),P(θ 2 ),...,P(θ n ). Problemy decyzyne w warunkach nepewnośc. Znane są sposoby postępowana decydenta potrafmy zdentyfkować wszystke możlwe stany natury ale ne wemy nc o prawdzwym stane natury. W zależnośc od typu problemu decyzynego stosowane są różne krytera wyboru decyz optymalne(rozwązana optymalnego). W problemach w warunkach pewnośc decyzą optymalną est alternatywa o nabardze sprzyaące dla decydenta wartośc użytecznośc(co sprowadza sę do wyboru elementu maksymalnego lub mnmalnego w tablcy decyzyne o edne kolumne). W problemach w warunkach ryzyka raconalne kryterum wyboru optymalne decyzpoleganawyborzetakealternatywydecyzyne a k,któramaksymalzue (lub mnmalzue, gdy użyteczność est kosztem) wartość średną użytecznośc t. n =1 P(θ )v k = m max =1 n P(θ )v =1
3 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger3 Przykład 1.2. Sprzedawca truskawek kupue na plantac koszyczek truskawek za3zł.asprzedaeza8zł.sprzedanykoszykprzynosmuzatem5zł.zyskuane sprzedany stratę 3zł. Z dośwadczena we, że dzenny popyt może wynosć 10, 11,12lub13koszyczków.Z90obserwac,którezgromadzłwe,żew18przypadkachdzennypopytkształtowałsęnapozome10,w36napozome11,w 27napozome12w9napozome13koszyczków.Jeślprzez a oznaczymy alternatywęzakupnaplantac 10 + ( 1)koszyczkówtruskawek,przez θ -popyt dzennynapozome 10 + ( 1)( = 1, 2, 3, 4)koszyczkówaużytecznoścąbędze dzenny zysk sprzedawcy, to tablcą decyzyną est tablca 1.4. W te tablcy Zysk θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 EV (a ) a a a a Rozkład Tab. 1.4: Tablca decyzyna sprzedawcy truskawek EV (a )oznaczawartośćśrednąużytecznoścalternatywy a.decyząoptymalnąestwybóralternatywy a 3,któradaemaksymalnyoczekwanyzyskwynoszący EV (a 3 ) = Dla problemów decyzynych o duże lczbe alternatyw stanów natury wypsywane całe tablcy decyzyne możne być ucążlwe. Można podać metodę rekurencyną wyznaczana wartośc średne użytecznośc dla kolenych alternatyw. Opszemy e dę pokażemy e zastosowane dla rozpatrywanego przykładu. Nech X będze dyskretną zmenną losową rozkładu stanów natury(t. welkośc popytu na truskawk w probleme sprzedawcy truskawek) przymuącą wartośc q,q + 1,...,Qorozkładze P(x)dla x = q,q + 1,...,Qdystrybuance F(x) = P(X x).wartośćśrednaużytecznoścalternatywy a,estwartoścą średnąfunkczmennelosowe X.Oznaczmyprzez d(z),z = q,q + 1,...,Q wartość średną zysku sprzedawcy, gdy zakupł na plantac z koszyczków truskawek(t. EV (a ) = d(z),gdze z = 10+ 1, = 1, 2, 3, 4).Oznaczmyprzez azysk ak osąga sprzedawca z ednego sprzedanego koszyczka a przez b stratę na ednymnesprzedanymkoszyczku(dlarozpatrywanegoprzykładu a = 5,b = 3).Załóżmy, że sprzedawca zakupł z 1 koszyczków(ego średn zysk wynos d(z 1)). Dokupene dodatkowo ednego koszyczka truskawek przynese stratę b eśl popyt xbędze x z 1.Prawdopodobeństwotegozdarzenawynos P(X z 1). Natomastprzynesezysk aeślpopyt xbędze x > z 1.Tozdarzenema prawdopodobeństwo 1 F(z 1). Mamy zatem rekurencyny wzór: d(z) = d(z 1) + a[1 F(z 1)] bf(z 1) = d(z 1) + a (a + b)f(z 1) (z = q + 1,q + 2,...,Q.)
4 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger4 Dla z = qmamy d(q) = aq. Dla sprzedawcy truskawek mamy: EV (a 1 ) = d(z = 10) = 5 10 = 50 EV (a 2 ) = d(11) = d(10) + 5 (5 + 3)F(10) = = 53.4 EV (a 3 ) = d(12) = d(11) + 5 8F(11) = = 53.6 EV (a 4 ) d(13) = d(12) + 5 8F(12) = = 51.4 Optymalną strategę można równeż wyznaczyć wzorem analtycznym. Jeśl strategąoptymalnąestwybóralternatywypolegaącenazakupe k koszyczków, to z własnośc maksmum lokalnego mamy, że d(k ) d(k 1) F(k 1) a a + b d(k ) d(k + 1) a a + b F(k ) Stąd mamy F(k 1) a a + b F(k ) Wartość k spełnaącatęnerównośćestoptymalnądecyzą.tenostatnsposób wyznaczana alternatywy optymalne est naoszczędneszy. Dla sprzedawcy truskawek mamy a a + b = 5 = = F(11) F(12) = 0.9, czyloptymalnąalternatywąestzakup12koszyczków (k = 12). W problmach w warunkach ryzyka wprowadza sę poęce oczekwane wartośc pewne nformac(evpi). Sposób e oblczana podamy na przykładze problemu sprzedawcy truskawek. Załóżmy, że sprzedawca może z całą pewnoścą przewdzeć zaśce danego stanu natury(ma pewną prognozę odnośne stanów natury).wtedypownenwyberaćalterntywę a 1 dlastanu θ 1, a 2 dla θ 2, a 3 dla θ 3 a 4 dla θ 4.Poneważznarozkładprawdopodobeństwastanównatury,towartość oczekwana użytecznośc wynese wtedy: = 56, 5. Bez znaomośc te prognozy wartość oczekwana zysku wynos 53,6. Różnca =2.9 defnue oczekwaną wartość pewne nformac, czyl EVPI=2.9. Wartość tę możemy nterpretować ako maksymalną kwotę, którą można wydać za pewną prognozę. Krytera wyboru decyz w warunkach nepewnośc Danaesttablcadecyzynadlaproblemuzfunkcąużytecznośc v (funkcątą może być zysk lub koszt).
5 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger5 1. Kryterum Walda- wybór alternatywy dla które namne sprzyaący rezultat est dla decydenta nakorzystneszy(maksymalzaca mnmalnego zysku,gdyużyteczność v estzyskem).dlakażdealternatywy a, = 1,..., m wyznacza sę dwe welkośc: nabardze sprzyaący dla decydenta rezultat o oraznamnesprzyaącyrezultat s.jeślużyteczność v est zyskem,to o = max{v }oraz s = mn{v } natomast,gdyużyteczność v estkosztem,to o = mn{v }oraz s = max{v }. Decyząoptymalnąestalternatywa a k taka,że s k = max s = max mn{v }eśl v estnp.zyskem lub s k = mn s = mn max{v }eśl v estnp.kosztem Kryterum to est nabardze konserwatywne- decydent wybera alternatywę, w które nagorszy(namne sprzyaący) rezultat będze dla nego nakorzystneszy spośród wszystkch alternatyw. Ne wszyscy decydenc wykazuą taką postawę względem ryzyka. Nektórzy decydenc mogą preferować alternatywy dla których nabardze sprzyaący rezultat est nakorzystneszyt,wyberaćalternatywę a k dlaktóre o k = max o = max max{v } Wększość decydentów wykazue mne skrane postawy. Kryterum następne(hurwcza) zakłada, że postawę decydenta wykazywaną we wszystkch problemach można scharakteryzować przez pewen współczynnk(nazywany współczynnkem ostrożnośc). 2. Kryterum Hurwcza- wybór alternatywy o nakorzystnesze dla decydenta średne ważone z namne nabardze sprzyaącego rezultatu (maksymalzaca-gdy v estzyskem-średneważoneznamnenabardzesprzyaącegorezultatu).jeśl v estzyskem,todecyząoptymalnąestalternatywa a k taka,że αs k +(1 α)o k = max{αs +(1 α)o } = max{α mn{v }+(1 α) max{v }}, gdze α est współczynnkem charakteryzuącym decydenta. Dla α = 1 kryterum est dentyczne z kryterum Walda, czyl est nabardze zachowawczym, dla α = 0 mamy nabardze optymstyczne kryterum. Wartośc
6 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger6 αzprzedzału(0,1)pozwalaąnamodelowanepostawpośrednch.jeśl v estkosztem,todecyząoptymalnąestalterntywa a k taka,że αs k +(1 α)o k = mn{αs +(1 α)o } = mn{α max{v }+(1 α) mn{v }}. 3. Kryterum Savage a- mnmalzaca maksymalnego żalu. Na podstawetablcydecyzyne [v ]konstruuesęnowątablcę [r ]następuąco: { max m r = l=1 {v } v eśl v estzyskem, v mn m l=1{v } eśl v estkosztem. Element r tetablcyestróżncąpomędzyużytecznoścąnalepszedecyzakąnależałobypodąćprzywystąpenustanu θ apodętądecyzą(dla v zysku)możebyćnterpretowanyako żal znepodęcanalepsze decyz.wtablcy r dowyborudecyzoptymalnestosuesękryterum Walda(dlakosztów).Decyząoptymalnąest a k take,że s k = mn{s } = mn{max{r }}. 4. Kryterum Laplace a(1825)- maksymalzaca(lub mnmalzaca, gdy użyteczność est kosztem) wartośc średne. Optymalną decyzą est wybór takealternatywy a k,że n 1 n n v k = max m { 1 =1 n v }. =1 Przykład 1.3. Ośrodek wczasowy przygotowue zapasy żywnośc na nadchodzący weekend.możlwestanynatury θ 1,θ 2,θ 3,θ 4 odpowadaąodpowednoprzyazdow 100,150,200250turystów.Alternatywydecyzynyme a 1,a 2,a 3,a 4 toprzygotowane(zakup) zapasów dla odpowedno 100, 150, turystów. Użyteczność v będącakosztemzwązanymzpodęcemalternatywy a wystąpenemstanu θ podanaestwtablcy1.5.optymalnądecyząstosuąckryterumwaldaest =1 v θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 s o a a a a Tab. 1.5: Tablca decyzyna dla ośrodka wczasowego wybóralternatywy a 3,dlakryterumHurwcza,gdywspółczynnk α = 0.5alternatywąoptymalnąest a 4.DlakryterumSavage amusmynaperwwyznaczyć tablcę r,którąpodanowtablcy1.6.decyząoptymalnąestwtymprzypadku wybóralternatywy a 2.
7 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger7 r θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 s a a a a Tab.1.6:Tablcawartośc [r ]dlaośrodkawczasowego 1.2 Drzewadecyzyne 1.3 Gry dwuosobowe o sume zerowe W poprzedno rozpatrywanych sytuacach decyzynych na efekty dzałań decydenta mały wpływ stany natury. Obecne zamemy sę sytuacam, gdy na dzałana decydenta ma wpływ ne natura, którą możemy traktować ako pasywnego oponenta lecz nny raconalne dzałaący decydent. W teor ger obu decydentów nazywamy graczam. Zamować sę będzemy tylko gram dwuosobowym o sume zerowe. W takch grach podemowane przez obu graczy decyze nazywane sa strategam. Efekt(użyteczność) podęca strateg przez ednego gracza, gdy drug gracz wybrał strategę nazywa sę wypłatą oznaczamy przez [w ], = 1,...,m; = 1,...,n.Wgrachosumezerowypłata(wygrana)dla ednego gracza est równa przegrane drugego. Przykład1.4.Mamydwóchgraczy:gracza1gracza2.Każdyznchdysponue trzema strategam 1,2 3. Macerz wypłat podae tabela 1.7 Macerz wypłat Gracz 2 Stratege Gracz Tab.1.7:Macerzwypłatgry1 Macerz wypłat te gry est dość specyfczna rozwązane otrzymamy wykorzystuąc koncepcę strateg zdomnowanych. Mówmy, że stratega est zdomnowana przez strategę k eśl stratega k est co namne tak dobra ak (a czasam lepsza), bez względu na to, co zrob oponent(drug gracz). Formalne strategę będzemy nazywać strategą zdomnowaną przez strategę k, eśl =1,...,n w w k oraz l w l < w kl.
8 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger8 Natomast k nazywamy strategą domnuącą, eśl: =1,...,n w k = max {w }. Stratege, które ne są zdomnowane przez nne stratege nazywamy strategam nezdomnowanym. Raconalne dzałaący decydent będze dokonywał wyboru spośród strateg nezdomnowanych. Stratega 3 est dla gracza 1 zdomnowaną przez strategę 1, gdyż bez względu na to aką strategę wyberze gracz 2 wypłatagracza1estprzywyborzestrateg3nenższanżwypłataprzywyborze strateg 1. Zatem wersz trzec odpowadaący strateg zdomnowane możemy skreślć z macerzy wypłat. Zredukowana macerz wypłat est podana w tablcy 1.8. Poneważ zakładamy raconalność obu graczy, to gracz 2 też ma strategę zdo Tab. 1.8: Zredukowana macerz gry11 mnowaną 3. Jest ona zdomnowana zarówno przez strategę 1 ak przez strategę 2. Elmnuemy strategę 3 gracza 2 co dae macerz wypłat 1.9: Teraz stratega Tab. 1.9: Zredukowana macerz gry12 dla gracza 1 est zdomnowana przez strategę 1. Elmnuąc zdomnowaną strategęmamymacerzwypłatpodanąwtablcy1.10:stratega2dlagracza2et Tab. 1.10: Zredukowana macerz gry13 zdomnowana przez strategę 1 zatem pownna być wyelmnowana. Ostateczne oba gracze pownn wyberać stratege 1. Gracz 1 otrzyma wtedy wypłatę 1, ta wartość est przegraną gracza 2. Jest to wartość gry. Jeśl wartość gry est 0, to nazywa sę grą sprawedlwą(rozważana gra ne est grą sprawedlwą, gdyż e wartość wynos 1). Koncepca zdomnowanych strateg pozwala na redukcę wymaru macerzy wypłat w nektórych przypadkach pozwala wyznaczyć rozwązane gry. Jednak w wększośc przypadków potrzebuemy nnego podeśca, które zaprezentemy na dwu kolenych przykładach. Przykład 1.5. Rozpatrzymy teraz grę o macerzy wypłat podane w tablcy 1.11
9 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger9 Macerz wypłat Gracz 2 Stratege Mnmum Gracz max Maxmum mn Tab. 1.11: Macerz wypłat gry 2 Wtegrzegracz1stosuącstrategę1możewygrać6alemożerówneżprzegrać 3(wypłata-3). Stosuąc strategę 3 może wygrać 5 ale może przegrać 4. Natomastwstrateg2egowygranabezwzględunatocozrobgracz2będzeconamne0.Analzuącstrategedlagracza2mamy,żewstrategach1 3 ego maksymalna przegrana wynos odpowedno 5 6. natomast w strateg2tylkozero.obagraczepownnzatemwybraćstrategę2,gdyżkażdemuz nch zapewna ona w nagorszym przypadku nalepszy wynk. Jest to tzw. kryterum mnmaksowe standardowo proponowane w teor ger do wyboru strateg optymalne. Według tego kryterum gracz 1 pownen wybrać strategę,dla które mnmalnawypłataestnawększa(t. max mn {w })agracz2strategędla któremaksymalnawypłatagracza1estestnamnesza(t. mn max {w }). W analzowanym przykładze strategą max mn est stratega 2 gracza 1 a strategą mn maxeststratega2dlagracza2.wartośćgryestrówna0,czylestto grasprawedlwa.wtegrzetensamelementmacerzywypłat(w 22 = 0)estednocześne wartoścą max mn wartoścą mn max, czyl mamy element, który est namneszy w werzsu ednocześne nawększy w kolumne. Tak punkt, esl stnee, nazywa sę punktem sodłowym. Jesl gra ma punkt sodłowy, to oba gracza pownn do wyboru strateg optymalne stosować odpowedno max mn mn maxstratege.jednaknekażdagraposadapunktsodłowy-takąestnp. gra3. Wtegrze max mn w = 2 2 = mn max w nesąrównecooznacza, że gra ne posada punktu sodłowego. W te grze nformaca o tym aką strategę wyberze eden z graczy pozwala drugemu poprawć swoą pozycę. Koncepca rozwazana optymalnego w tego typu grach oparta est na poęcu strateg mesznych, które charakteryzuą sę tym, że żaden z graczy ne może wydedukować aką strategę użye oponent.
10 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger10 Macerz wypłat Gracz 2 Stratege Mnmum max Gracz Maxmum mn Tab.1.12:Gry3-nemapunktusodłowego Stratege meszane dla gry bez punktu sodłowego Dla ger ne posadaących punktu sodłowego dla każdego z graczy wyznacza sę rozkłady prawdopodobeństwa na zborach ch strateg. Nech: x = prawdopodobeństwo,żegracz1użyestrateg( = 1,...,m), y = prawdopodobeństwo,żegracz2użyestrateg( = 1,...,n), gdze m =1 x = 1, n =1 y = 1.Wartośc x, = 1,...,moraz y, = 1...,n nazywamy strategam meszanym natomast orygnalne stratege strategam czystym. W trakce gry każdy z graczy wybera strategę czystą ednak pownenwyberaćąwpewenlosowysposóbzgodnyzrozkładem (x 1,x 2,...,x m )dla gracza1rozkładem (y 1,y 2,...,y n )dlagracza2.np.esl (x 1,x 2,x 3 ) = ( 1, 1, 0) 2 2 a (y 1,y 2,y 3 ) = (0, 1, 1),togracz1nepownenwyberaćstrategczyste3a 2 2 wybór strateg 2 lub 3 rozstrzygnąć rzucaąc monetą. Analogczne gracz 2 ne pownen wyberać czyste strateg 1 a wybór pomędzy strategam 2 3 rozstrzygnąć rzucaąc monetą. Przy stosowanu strateg meszanych przez każdego z graczy oczekwaną wygraną gracza 1 est Oczekwana wypłata gracza 1 = m =1 n w x y, gdze w estwypłatąeślgracz1używaczystestrateg agracz2używa czyste strateg. W rozpatrywane poprzedno grze 3 eśl gracze 1 2 stosuąodpowednostrategemeszane (x 1,x 2,x 3 ) = ( 1 2, 1 2, 0)(y 1,y 2,y 3 ) = (0, 1 2, 1 2 ) tooczekwanawypłatagracza1wynos 1 4 ( ) = 1 4.Mnmaksowe (mn max) ktyterum dla strateg meszanych mów, że gracz pownen wyberać strategę meszaną, która mnmalzue ego maksymalne oczekwane straty. Równoważne, eśl rozważamy wygraną gracza 1(a ne przegraną gracza 2 co est równoważne) to kryterum to est maksymnowe(max mn), t. maksymalzue sę mnmalną oczekwaną wypłatę gracza 1. Przez mnmalną oczekwaną wypłatę rozume sę namneszą możlwą wypłatę, którę można uzyskać przy dowolne =1
11 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger11 strateg meszne, podęte przez oponenta. Zatem meszna stratega dla gracza 1 est optymalną, eśl mnmalna oczekwana wypłata est maksymalna. Wartość tą oznaczamy przez w. Dla gracza 2 podobne optymalną strategą meszaną est stratega, która mnmalzue maksymalną oczekwaną wartość przegrane. Wartość tę oznacza sę przez w. Dla ger ne posadaących punktu sodłowego eśl tylko rozpatrue sę czyste stratege, to ne ma rozwązana stablnego. Zachodz wtedy nerówność w < w gracze mogą zmenać stratege, aby poprawć swoą pozycę. Dla strateg meszanych konecznym warunkem, aby rozwązane optymalne było stablne est równość w = w. W grach o sume zerowe ten warunek est zawsze spełnony. Twerdzene 1.1. Para strateg mesznych dla graczy est optymalną daąc stablnerozwązaneprzykryterummnmaksowym,(mn max),gdy w = w = w. Stosuąc te stratege żaden z graczy ne może poprawć swoe pozyc zmenaąc ednostronne swoą strategę. Zastosowane programowana lnowego do wyznaczena rozwazana gry Rozwązane dowolne gry w strategach mesznych można wyznaczyć rozwazuąc pewne zagadnene programowana lnowego. Rozważymy naperw ak wyznaczyć optymalną strategę meszaną gracza 1. Oczekwana wypłata gracza 1 = m n w x y, =1 =1 stratega (x 1,x 1,...,x m )estoptymalnąeśl m =1 n w x y w = w =1 dlakażdestrateg (y 1,y 2,...,y n )gracza2.tanerównośćmusrówneżzachodzć dlaczystychstrategt. (y 1,y 2,...,y n )takch,żeednawspółrzędna y = 1a reszta est zeram. Zatem mamy: m w x wdla = 1,...,n. =1 Co węce ten zbór nerównośc mplkue wyścową nerówność: n m ( w x ) =1 =1 n y w = w, =1
12 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger12 poneważ n =1 y = 1.Spełnenetychnnerównoścestrównoważnespełnenu wyścowenerównoścdlakażdestrateg y 1,y 2,...,y n.wyznaczeneoptymalne strateg może być zatem sprowadzone do rozwązana następuącego zagadnena programowana lnowego: x m+1 max w 11 x 1 + w 21 x 2 +, +w m1 x m x m+1 0 w 12 x 1 + w 22 x 2 +, +w m2 x m x m+1 0 w 1n x 1 + w 2n x 2 +, +w mn x m x m+1 0 x 1 + x x m = 1 x 0,dla = 1, 2,...,m. Zmenna x m+1 zastępueneznanąwartość wwrozwązanuoptymalnymbędze e równa. Jednak na tę zmenną ne est nałożony warunek neuemnośc. Analogczne rozumowane prowadz do następuącego modelu wyznaczana optymalne strateg gracza2: y n+1 max w 11 y 1 + w 12 y 2 +, +w 1n y n y n+1 0 w 21 y 1 + w 22 y 2 +, +w 2n y n y n+1 0 w m1 y 1 + w m2 y 2 +, +w mn y n y n+1 0 y 1 + y y n = 1 y 0,dla = 1, 2,...,n. Problem wyznaczena optymalne strateg meszane dla gracza 1 est dualnym do problemu wyznaczana strateg opotymalne gracza 2. Z teerdzeń o dualnośc wemy,żedlaoptymalnychrozwązań x m+1oraz y n+1tychzagadneńmamy,że x m+1 = y n+1czyl x m+1 = y n+1. Zokreslena w wmamy,że w = x m+1oraz y n+1 = wskądotrzymuemyrówność w = w. Pozostae eszcze eden element do rozpatrzena. W podanych modelach lnowychzmenne x m+1,y n+1nesąneuemne.jeślestoczywste,że w 0,to można stosować sympleks. Jeśl tak ne est należy zastosować edną z następuących modyfkac: zamenć zmenną dowolną różncą dwu zmennych neuemnych, zamenć rolam graczy tak, aby wypłata gracza 1 była neuemna,
13 A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger13 dodać do macerzy wypłat pewną stałą(równą np. maksymalne wartośc modułów uemnych wartośc macerzy wypłat), tak aby wartość gry w była neuemną- dodane stałe ne może zmenć optymalnych strateg, a po rozwązanu gry modyfkuemy e wartość o tę welkość. Ostatn sposób ast naczęśce stosowany. Zastosumy teraz programowane lnowe do wyznaczena optymalnych strateg meszanych dla gry 3. Przymemy, że wartość gry est neuemna t. w 0(okaże sę że tak rzeczywśce est) czyl ne będzemy stosować modyfkac macerzy wypłat. Przykład1.6.Wtegrzestratega3dlagracza1estzdomnowanązatempownna być wyelmnowana. Macerz wypłat po usunecu strateg 3 gracza 1 est podanawtablcy1.13modelelnowedlagracza1gracza2sąnastępuące: Macerz wypłat Gracz 2 Stratege Gracz Tab. 1.13: Gra 3 po wyelmnowanu zdomnowane strateg 3. x 3 max 5x 2 x 3 0 2x 1 + 4x 2 x 3 0 2x 1 3x 2 x 3 0 x 1 + x 2 = 1 x 1, x 2 0. y 4 mn 2y 2 + 2y 3 y 4 0 5y 1 + 4y 2 3y 3 y 4 0 y 1 + y 2 + y 3 = 1 y 1, y 2, y 3 0. Rozwązuąc te modele otrzymuemy dla bgracza 1 optymalne stratege meszane x 1 = 7, 11 x 2 = 4 wartośćgry w = 11 x 3 = 2.Dlagracza2mamy 11 y 1 = 0, y2 = 5, 11 y 3 = 6 oraz w = 11 y 4 = 2.Torozwązanemożnaotrzymaćzrozwązana 11 modelu dla gracza 1 dlatego wystarcza rozwązać tylko eden z tych model, aby otrzymać stratege optymalne dla obu graczy. Rozwązana zostały otrzymane przy założenu,że w 0.Jeślneestspełnonetozałożene,tomodelmożenemeć rozwązana dopuszczalnego. Aby tego unknąć dodaemy do macerzy wypłat stałą 3 odpowedno modyfkuemy ogranczaena. Po rozwązanu wartość tylko gry zmneszamy o 3.
1 Analiza decyzji- tablica decyzyjna, klasyfikacja problemów
A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger1 1 Analza decyz- tablca decyzyna, klasyfkaca problemów W celu formalzac klasyfkac problemów decyzynych wprowadzmy tzw tablcę decyzyną.
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowo11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH
Stansław KOWALIK e-mal: skowalk@wsb.edu.pl Wyższa Szkoła Bznesu Dąbrowa Górncza RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Streszczene Praca dotyczy nekooperacynych sekwencynych ger dwuosobowych o sume
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoProblem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).
Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne
Bardziej szczegółowon liczba zmiennych decyzyjnych c współczynniki funkcji celu a współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach
Problem decyzyny cel różne sposoby dzałana (decyze) warunk ogranczaące (determnuą zbór decyz dopuszczalnych) kryterum wyboru: umożlwa porównane efektywnośc różnych decyz dopuszczalnych z punktu wdzena
Bardziej szczegółowoAlgorytmy szukania równowag w grach dwumacierzowych
Rozdzał 2 Algorytmy szukana równowag w grach dwumacerzowych 2. Algorytm Lemke-Howsona Dzseszy wykład pośwęcony będze temu, ak szukać równowag w grach dwumacerzowych. Poneważ temu były uż w wększośc pośwęcone
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoPodstawowym założeniem teorii gier jest racjonalne działanie wszystkich podmiotów decyzyjnych (graczy).
Fdr Gra to dowolna sytuacja konflktowa, gracz natomast to dowolny jej uczestnk każda strona wybera pewną strategę postępowana, po czym zależne od strateg własnej oraz nnych uczestnków każdy gracz otrzymuje
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy rozkroju materiałowego, zagadnienia dualne
Instrukca do ćwczeń laboratorynych z przedmotu: Badana operacyne Temat ćwczena: Problemy rozkrou materałowego, zagadnena dualne Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny Wydzał Inżyner Mechanczne Mechatronk
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoSortowanie szybkie Quick Sort
Sortowane szybke Quck Sort Algorytm sortowana szybkego opera sę na strateg "dzel zwycęża" (ang. dvde and conquer), którą możemy krótko scharakteryzować w trzech punktach: 1. DZIEL - problem główny zostae
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowoQUASI- KLASYCZNA ANALIZA DECYZJI ZŁOŻONYCH
QUASI- KLASYCZNA ANALIZA DECYZJI ZŁOŻONYCH Mace WOLNY Wydzał Organzac Zarządzana Poltechnka Śląska ul. Roosevelta 26-28,41-800 Zabrze mal: mwolny@polsl.glwce.pl Streszczene. Artykuł prezentue koncepcę
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE METODY KLASYFIKACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE MEODY KLASYFIKACJI Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dude Wydzał Eletryczny Poltechna Częstochowsa FUNKCJE FISHEROWSKA DYSKRYMINACYJNE DYSKRYMINACJA I MASZYNA LINIOWA
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoaij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II
M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj
Bardziej szczegółowoMIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Prokop jproko@sgh.waw.pl
MIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Proko roko@sgh.waw.l Statyka dynamka olgoolstyczne struktury rynku. Modele krótkookresowe konkurenc cenowe w olgoolu.. Model ogranczonych mocy rodukcynych ako wyaśnene
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 5 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Uogólnone modele lnowe Uogólnone modele lnowe (ang. Generalzed Lnear Models GLM) Różną sę od standardowego MNK na dwa sposoby: Rozkład zmennej objaśnanej
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO
Studa Materały. Mscellanea Oeconomcae Rok 6, Nr 2/22 Wydzał Zarządzana Admnstrac Unwersytetu Jana Kochanowskego w Kelcach Z a r z ą d z a n e f n a n s e Rafał Prońko ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowo7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych
dr nż Andrze Chylńsk Katedra Bankowośc Fnansów Wyższa Szkoła Menedżerska w Warszawe Zarządzane ryzykem w rzedsęborstwe ego wływ na analzę ołacalnośc rzedsęwzęć nwestycynych w w w e - f n a n s e c o m
Bardziej szczegółowoProces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.
Proces decyzyny: 1. Sformułu sno problem decyzyny. 2. Wylcz wszyste możlwe decyze. 3. Zdentyfu wszyste możlwe stny ntury. 4. Oreśl wypłtę dl wszystch możlwych sytuc, ( tzn. ombnc decyz / stn ntury ). 5.
Bardziej szczegółowoPrzedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2
Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka Zajęcia 2 Reguły podejmowania decyzji w warunkach niepewności Wybór spośród A1, A2,, Am alternatyw (decyzji dopuszczalnych, opcji, działań), gdzie relatywna użyteczność
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoPlan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup
Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowo= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału
5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B
Bardziej szczegółowoProblemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA
Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowoOligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją
Olgopol dynamczny Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencj loścowej jako gra jednokrotna z pełną doskonalej nformacją (1934) Dwa okresy: t=0, 1 tzn. frma 2 podejmując decyzję zna decyzję frmy 1 Q=q 1 +q
Bardziej szczegółowoPortfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
Bardziej szczegółowoASPEKT SYTUACJI STATUS QUO WE WSPOMAGANIU WIELOKRYTERIALNEGO WYBORU BAZUJĄCEGO NA TEORII GIER
Macej Wolny ASPEKT SYTUACJI STATUS QUO WE WSPOMAGANIU WIELOKRYTERIALNEGO WYBORU BAZUJĄCEGO NA TEORII GIER Wprowadzene Zagadnena welokryteralne dotyczą sytuacj, w których rozpatruje sę elementy zboru dopuszczalnych
Bardziej szczegółowo65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Bardziej szczegółowou u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoANALIZA WARIANCJI (ANOVA) Spis treści
ANALIZA WARIANCJI (ANOVA) Sps treśc. JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI.... DWUCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI... 8 3. TESTY ZAŁOŻEŃ W ANALIZIE WARIANCJI... 3 3.. Test normalnośc... 4 3. Test Bartleta ednorodnośc
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowo0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 . Zmenne dyskretne Kontrasty: efekty progowe, kontrasty w odchylenach Interakcje. Przyblżane model nelnowych Stosowane do zmennych dyskretnych o uporządkowanych
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZBIORÓW ROZMYTYCH W JEDNOETAPOWYM PROCESIE PODEJMOWANIA DECYZJI PRZEZ JEDNEGO DECYDENTA
Mrosław Klawk ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH W JEDNOETPOWYM PROCESIE PODEJMOWNI DECYZJI PRZEZ JEDNEGO DECYDENT Wstęp Podemowane odpowednch decyz est zależnone od stopna wedzy decydenta o stanach natry oraz
Bardziej szczegółowo8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TWIERDZENIE BAYESA Wedza pozyskwana przez metody probablstyczne ma
Bardziej szczegółowo-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych
WYKŁAD 4 dla zanteresowanych -Macerz gęstośc: stany czyste meszane (przykłady) -równane ruchu dla macerzy gęstośc -granca klasyczna rozkładów kwantowych Macerz gęstośc (przypomnene z poprzednch wykładów)
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowo6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne
Bardziej szczegółowoKlasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoProces decyzyjny: 1. 6IRUPXáXMMDVQRSUREOHPGHF\]\MQ\ 2. :\OLF]ZV]\VWNLHPR*OLZHdecyzje. 3. =LGHQW\ILNXMZV]\VWNLHPR*OLZHstany natury.
Proces decyzyny: 1. 6IRUPXáXMMDVQRSUREOHPGHF\]\MQ\ 2. :\OLF]ZV]\VWNLHPR*OLZHdecyze. 3. =LGHQW\ILNXMZV]\VWNLHPR*OLZHstany natury. 4. 2NUHOZ\SáDW GODZV]\VWNLFKPR*OLZ\FKV\WXDFML ( tzn. kombnac decyza / stan
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowo4. OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA
Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna 4. OPTYMLIZCJ WIELORYTERIL Decyzje nwestycyjne mają często charakter złożony. Zdarza sę, że przy wyborze
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnienia
EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnena dr Dorota Cołek Katedra Ekonometr Wydzał Zarządzana UG http://wzr.pl/dorota-colek/ dorota.colek@ug.edu.pl 1 Wpływ skalowana danych na MNK
Bardziej szczegółowoNtli Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański. Zajęcia 4
Ntl Natala Nehrebecka Darusz Szymańsk Zajęca 4 1 1. Zmenne dyskretne 3. Modele z nterakcjam 2. Przyblżane model dlnelnowych 2 Zmenne dyskretne Zmenne nomnalne Zmenne uporządkowane 3 Neco bardzej skomplkowana
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoDiagnostyka układów kombinacyjnych
Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Bardziej szczegółowoRozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1
Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa
Bardziej szczegółowoPoszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wieskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska 159 e-mail: mieczyslaw_polonski@sggw.pl Poszukiwanie optymalnego wyrównania
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoGrupowanie. Wprowadzenie. Metody hierarchiczne. Modele mieszane (mixture models) Metody najmniejszych kwadratów. Zastosowania
Grupowane Wprowadzene Metody herarchczne Modele meszane (mxture models) Metoda Expectaton-maxmzaton (EM) Metody namneszych kwadratów Krytera akośc grupowana Algorytm k-średnch Zastosowana Statstcal Pattern
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Sztuczne sieci neuronowe. Neuronu dyskretny. Neuron dyskretny (perceptron prosty)
Plan wykładu Dzałane neuronu dyskretnego warstwy neuronów dyskretnych Wykład : Reguły uczena sec neuronowych. Sec neuronowe ednokerunkowe. Reguła perceptronowa Reguła Wdrowa-Hoffa Reguła delta ałgorzata
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji upalne lato 2014 2.0
upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa
Bardziej szczegółowoXLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale
Bardziej szczegółowo1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ
Ćwczene nr 1 cz.3 Dyfuzja pary wodnej zachodz w kerunku od środowska o wyższej temperaturze do środowska chłodnejszego. Para wodna dyfundująca przez przegrody budowlane w okrese zmowym napotyka na coraz
Bardziej szczegółowoWstęp Funkcja pliki nagłówkowe i typ tablicowy. Wstęp Pliki nagłówkowe i typ tablicowy. Wstęp Funkcja fill_array() Wstęp. Notatki. Notatki.
Podstawy Programowana 2 Algorytmy Arkadusz Chrobot Zakład Informatyk 28 maa 2019 1 / 60 Plan Podsumowane 2 / 60 Dzseszy wykład będze dotyczył dwóch algorytmów sortowana, które powązane są z wcześne poruszanym
Bardziej szczegółowoMetoda wyznaczania najtańszych 1-diagnozowalnych struktur opiniowania diagnostycznego
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 7, 2002 Metoda wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur opnowana dagnostycznego Roman KULESZA Zakład Automatyk, Instytut Automatyk Robotyk WAT, ul. Kalskego
Bardziej szczegółowoInstytut Łączności. Praca statutowa nr
Instytut Łącznośc Praca statutowa nr 11.30.004.5 Opracowane narzędz analtycznych do wspomagana decyzj dotyczących wysokośc opłat taryfkacyjnych stawek rozlczenowych na konkurencyjnym rynku telekomunkacyjnym
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji zimowa piętnastka
zmowa pętnastka strona 1/5 Regulamn promocj zmowa pętnastka 1. Organzatorem promocj zmowa pętnastka, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax
Bardziej szczegółowo11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:
//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL W standardowym modelu lnowym zakładamy,
Bardziej szczegółowo1. Komfort cieplny pomieszczeń
1. Komfort ceplny pomeszczeń Przy określanu warunków panuących w pomeszczenu używa sę zwykle dwóch poęć: mkroklmat komfort ceplny. Przez poęce mkroklmatu wnętrz rozume sę zespół wszystkch parametrów fzycznych
Bardziej szczegółowo1. Wstęp. 2. Macierz admitancyjna.
1. Wstęp. Znaomość stanu pracy SEE est podstawowym zagadnenem w sterowanu pracą systemu na wszystkch etapach: proektowana, rozwou, planowana stanów pracy oraz w czase beżące eksploatac. Kontrola rozpływów
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne
Wprowadzene do Sec Neuronowych Sec rekurencyjne M. Czoków, J. Persa 2010-12-07 1 Powtórzene Konstrukcja autoasocjatora Hopfelda 1.1 Konstrukcja Danych jest m obrazów wzorcowych ξ 1..ξ m, gdze każdy pojedynczy
Bardziej szczegółowo