Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Transkrypt

1 Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja.Niechaibbędądodatnimiliczbamirzeczywistymiiniecha.Logarytmemliczby bprzypodstawieanazywamyliczbęxspełniającąrównaniea x =b.piszemywtedyx=log a b. Innymi słowy log a b=x a x =b. Logarytmyprzypodstawie0nazywamylogarytmamidziesiętnymiizamiastlog 0 xpiszemy log x pomijając podstawę. Twierdzenie.własnościlogarytmów)Dladowolnycha,b,c R +,a mamy.log a =0,.log a a b =b,.a log a b =b, 4.log a b c)=log a b+log a c,.log a b c =log ab log a c, 6.log a b k =klog a bdladowolnegok R, 7.log a b= log c b log c a,c. Definicja.Funkcjęf: R R + określonąwzoremfx)=a x,gdziea R + \{}nazywamy funkcją wykładniczą. Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji wykładniczych w przypadku a > oraz dla 0<a<.

2 Definicja.Funkcjęf: R + Rokreślonąwzoremfx)=log a x,gdziea R + \{}nazywamy funkcją logarytmiczną. Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji logarytmicznych dla a > oraz dla 0<a<. Funkcjawykładniczajestróżnowartościowa,tzn.jeślia x =a x,tox =x.ponadtojeśli a>,tofunkcjafx)=a x jestrosnąca,adla0<a<jestmalejąca. Podobnewłasnościmafunkcjalogarytmiczna,tzn.jeślilog a x =log a x,tox =x.ponadtojeślia>,tofunkcjafx)=log a xjestrosnąca,adla0<a<jestmalejąca. Funkcjafx)=log a xjestfunkcjąodwrotnądofunkcjigx)=a x ;ichwykresysąsymetrycznewzględemprostejy=x. Przykład.Obliczlog 7. Rozwiązanie. Ponieważ 7 = = 7, więc na mocy definicji logarytmu log 7 = 7. Można także skorzystać z własności logarytmów log 7 =log 7+log =log +log =. Przykład.Oblicz log 4 +log 8. Rozwiązanie. Mamy log 4 +log 8 =4 log 4 log = log =9. Przykład.Obliczlog log. Rozwiązanie. Skorzystamy z ostatniej z własności logarytmów wymienionych w twierdzeniu. Mamy log log log = log log log =log log log log =.

3 Przykład 4. Rozwiąż równania ) a)8 7x+ 9 x=0, 4 b)4 x+ x+ +4=0, c) + ) x = ) x, d) 7 ) x= x. Rozwiązanie. a) Sprowadzimy najpierw potęgi do tych samych podstaw Teraz wystarczy porównać wykładniki 7x+) = 9 x). 7x+)= 9 x). Ostateczniex= 7 6. b)wtymrównaniuwspólnapodstawąjest 4 x 0 x +4=0. Podstawmyt= x.otrzymamyrównaniekwadratowe 4t 0t+4=0, któremadwapierwiastkit =,t =.Równanie x = marozwiązaniex=, zwarunku x =dostajemyx=.zatemdanerównaniemadwarozwiązaniax= ix=. c)zauważmy,że + ) )=,czyli = + ).Stąddanerównanie możemy zapisać jako + ) x = + ) x ). Po porównaniu wykładników otrzymamy x =. d) W tym równaniu przyjrzymy się wykładnikom. Mamy 7 ) x= x, czyli 7 ) x= ) x. Stądpopomnożeniustronamiprzez x otrzymamy 7) x=, atooznacza,że x=0,czylix=.

4 Przykład. Rozwiąż równania a)log x ) log x+)=, b)x log x = 8, c)log x+ 9=, d)log x log 9 x=. Rozwiązanie. a) Dziedziną danego równania jest zbiór rozwiązań układu nierówności { x > 0 x+ > 0, czyli przedział; ). Korzystając z własności logarytmu otrzymamy równanie log x x+ =, czylilog x )=,więcx =.Ostatecznierozwiązaniemrównaniajestx=6 należy do dziedziny równania). b)dziedzinategorównaniajestzbiór R +.Zlogarytmujemyobiestronyrównaniaprzypodstawie log x log x =log 8. Dalejmożemynapisać ) log x log x=. Podstawimyt=log xirozwiążemyrównanie t t =0.Mamyt= lubt=, azatemx= lubx=8.obieliczbynależądodziedzinyrównania,więcdanerównanie madwarozwiązaniax=,x=8. c)dziedzinąrównaniajestzbiórtychx,dlaktórychx+>0orazx+,czylisuma przedziałów, 4) 4, ). Z definicji logarytmu dane równanie możemy zapisać w postacix+) =9.Rozwiązaniamitegorównaniakwadratowegosąx= ix= 8. Drugie z rozwiązań nie należy do dziedziny. Ostatecznie rozwiązaniem jest x =. d)dziedzinategorównaniajestzbiór R +.Skorzystamyzrównościlog 9 x= log x log 9 = log x. Danerównaniemożemywięczapisaćwpostaci4log x=,zatemlog x=,czyli x=7.

5 Przykład 6. Rozwiąż nierówności a)0, x <0,00, b)4 x+ x >, c)log 7 logx+)>0, d)log x x 4 x). Rozwiązanie. a) Sprowadzimy obie strony nierówności do tej samej podstawy 0, x <0,). Teraz możemy porównać wykładniki pamiętając, że funkcja wykładnicza przy podstawie mniejszejodjestmalejąca.otrzymamyx >,czylix>. b) W nierówności x+ ) x > podstawmyt= x.rozwiązaniaminierównościkwadratowejt t+>0sąt, ), ).Nierównośćx < dajenamx<,azwarunkux >otrzymujemy x>.zatemostateczniex, ), ). c) Dziedziną nierówności jest zbiór rozwiązań nierówności x + > 0. Mamy log 7 logx+)>log 7. Po opuszczeniu zewnętrznego logarytmu otrzymamy log x+)>.dalejdostaniemy logx+)>log iznówmożemyopuścićlogarytmypamiętając,żetymrazempodstawajestmniejszaodiznaknierównościzmienisięnaprzeciwnyx+<.stąd x< 0.Pouwzględnieniudziedzinyotrzymamy,żezbioremrozwiązańnierównościjest przedział, 0 ). d)wyznaczymynajpierwdziedzinętejnierówności.musibyćx 4 x>0,czylixx )x+ )>0,awięcx,0), ).Ponadtopodstawalogarytmuxmusispełniaćwarunki x>0,x.zatemdziedzinąjestsumaprzedziałów,), ).Wnierówności log x x 4 x) log xx znak po opuszczeniu logarytmów zależy od x. Rozważymy dwa przypadki. 0<x<.Mamyx 4 x x,czylix 4 x 0.Stąd xx )x+ ) 0, zatemx [,0] [, ).Pouwzględnieniuwarunku0<x<idziedzinynierówności, z rozważanego przypadku otrzymamy pusty zbiór rozwiązań. x>.rozwiążemynierównośćx 4 x x.postępującjakpoprzedniootrzymamy x, ] [0, ].Ponieważx>,ztegoprzypadkuotrzymamyx, ]. Rozwiązaniem danej nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków, czyli przedział, ].

6 Zadanie. Oblicz a)log 4 6; b)log 0, 00+log ; c)9 log ; d)log log 7 log 7 9; e)6 log 4 +0 log+. Zadanie. Narysuj wykres funkcji a)fx)= x, b)fx)= x, c)fx)= x, d)fx)= x. Zadanie. Narysuj wykres funkcji a)fx)=log x, b)fx)=log x ), c)fx)=log 4x, d)fx)= log x +, e)fx)=logx. Zadanie4.Czymsięróżniwykresfunkcjiy=logx 4 odwykresufunkcjiy=4logx? Zadanie. Rozwiąż równania a) x+ +9 x+ =80, b)0,) x ) x+ = ) 4 x, c)4 4 x+ =0 4 x+ 6, d) ) x 4 =, x, e)4 x +9 x = 6 x, f)4 x+ + x = x+ 4 x, g) x + x +...= x+ 8. Zadanie 6. Rozwiąż równania a) log x +log x =log0, b)logx+6) = logx ) log, c)logx+ )=log logx, d)log 9 x )= x,

7 e) loglog x) loglogx ) =, f)x+log x+ ) xlog log=0, g) log x +6 x log x =, h)log cosx 9 x )=0, x i)log +x =log4x ). Zadanie 7. Rozwiąż nierówności a)0, x x+, b) x+ x >, c) 9 x 8 x +9 0, d) x + x+ x <0, e) ) x +x, f)log 8 log x, g)logx ) logx+)<, h)log x 8<, i)log x+4 x>, j)logx+4log x+8log x+...<log x. Zadanie 8. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność log+log+...+logn+) n+ > log+log+...+logn. n Zadanie9.Dlajakiejwartościxliczbylog,log x ),log x +)sątrzemakolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Zadanie0.Wyznaczdziedzinęinajmniejsząwartośćfunkcjifx)=log 8x x ). ODPOWIEDZI:.a),b)4,c),d),e)804..a)x=,b)x=,c)x= lubx=8,d)x= 64,e)x=0,f)x=,g)x=lubx=. 6.a)x=6,b)x=6lubx=4,c)x=,d)x=0lubx=,e)brakrozwiązań,f)x= lubx=,g)x= lubx=,h)brakrozwiązań,i)x=. 7.a)x [,],b)x, ) 0, ),c)x [,],d)x<0,e)x [, ] [0,], f)x 0,9],g)x 4, ),h)x 0,), ),i)x> +,j)x 0,). 9.x=log. 0. Dziedziną funkcji jest przedział0, 8), a najmniejsza wartość funkcji to 8.