Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Transkrypt

1 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X \ A M; 3 o jeśli A n M dla każdego n N, to n N A n M. Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. Z powyższych warunków wynikają łatwo następujące własności σ - ciała M: X M jeśli J jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem, oraz A j M dla każdego j J, to: a) A j M; b) A j M tzn. suma i przecięcie co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów należących do σ-ciała M, należą do M; jeśli A, B M, to A \ B M. Definicja 1.2 Jeśli M jest σ- ciałem w zbiorze X, to parę (X, M) nazywamy przestrzenią mierzalną. Przykłady: 1. Rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X jest σ-ciałem w X. 2. Rodzina M = {, X} jest σ-ciałem w zbiorze X. 3. Jeśli E jest ustalonym podzbiorem zbioru X, to rodzina M = {, X, E, X \ E} jest σ- ciałem w zbiorze X. 4. Niech (X, ) będzie przestrzenią mierzalną oraz niech dane będzie odwzorowanie f : X Y, gdzie Y - dowolny zbiór. Wówczas rodzina N = {B Y : f 1 (B) M} jest σ-ciałem w Y. Stwierdzenie 1.1 Część wspólna rodziny σ-ciał w X jest σ- ciałem w X. Powyższe stwierdzenie uprawnia nas do wprowadzenia następującego pojęcia: Definicja 1.3 Niech R - pewna rodzina podzbiorów przestrzeni X. σ-ciałem generowanym przez R w X nazywamy część wspólną wszystkich σ-ciał w X zawierających R i oznaczamy σ(r). σ(r) bywa nazywane również najmniejszym σ-ciałem w X zawierającym rodzinę R. 1

2 Uwaga: istnienie σ(r) wynika z Przykładu 1. Definicja 1.4 (zbiory borelowskie) Zbiorami borelowskimi względem danej przestrzeni metrycznej X nazywamy zbiory należące do σ-ciała w X generowanego przez rodzinę G(X) - wszystkich zbiorów otwartych w X. Rodzinę wszystkich zbiorów borelowskich względem X oznaczamy B(X). 2 Miara Definicja 2.1 Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Miarą na σ-ciele M nazywamy funkcję µ: M R + (czyli funkcję, która każdemu zbiorowi A z σ-ciała M przyporządkowuje liczbę nieujemną µ(a) skończoną, lub równą + ) spełniającą dwa warunki: 1 o µ( ) = 0 (miara zbioru pustego równa się 0); 2 o µ ( n N A n ) = n N µ(a n ) dla każdego ciągu zbiorów A n M parami rozłącznych (miara sumy ciągu zbiorów parami rozłącznych równa się sumie ich miar). Własność 2 o nazywamy przeliczalną addytywnością funkcji zbioru µ. Jeśli µ jest miarą na σ-ciele M w X, to trójkę (X, M, µ) nazywamy przestrzenią z miarą. Jeśli A M i µ(a) = 0 to mówimy, że zbiór A jest miary µ zero. Jeśli A M i µ(a) < + to mówimy, że zbiór A jest miary µ skończonej. Miara µ na σ-ciele M w X nazywa się: - skończona, jeśli µ(x) < + ; - unormowana lub probabilistyczna, jeśli µ(x) = 1; - półskończona lub σ-skończona, jeśli przestrzeń X daje się przedstawić w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ skończonej; - zupełna, jeśli z warunku A B, B M, µ(b) = 0 wynika, że A M (tzn. każdy podzbiór zbioru miary zero należy do M). Stwierdzenie 2.1 Niech µ będzie miarą na σ-ciele M. Wówczas: (i) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {A j : j J} - rodziną zbiorów parami rozłącznych należących do M, to µ A j = µ(a j ); (ii) jeśli zbiór A jest miary µ skończonej, A B, B M, to µ(b \ A) = µ(b) µ(a); (iii) jeśli A B (A, B M), to µ(a) µ(b) (tzw. monotoniczność funkcji zbioru µ.) 2

3 (iv) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {A j : j J} - rodziną zbiorów należących do M, to µ µ(a j ); A j (v) suma przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ zero jest zbiorem miary µ zero; (vi) jeśli A n A, (A n M), to µ(a n ) µ(a); (vii) jeśli A n A, (A n M), to µ(a n ) µ(a), przy dodatkowym założeniu, że zbiór A 1 jest miary µ skończonej; Definicja 2.2 (miara zewnętrzna) Miarą zewnętrzną w zbiorze X nazywamy funkcję zbioru µ o wartościach w R +, określoną na klasie wszystkich podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o µ ( ) = 0; 2 o jeśli A B X, to µ (A) µ (B) (monotoniczność) ; 3 o µ ( n N A n ) n N µ (A n ) dla każdego ciągu A n podzbiorów zbioru X (przeliczalna podaddytywność). Z własności tych wynika, że µ ( A j ) µ (A j ) dla każdej rodziny {A j : j J} podzbiorów zbioru X, gdzie J - co najwyżej przeliczalny zbiór indeksów. W szczególności jeśli µ (A j ) = 0 dla j J, to µ ( A j ) = 0. Uwaga: Każda miara jest miarą zewnętrzną. Jeśli miara zewnętrzna jest skończenie addytywna to jest miarą. Definicja 2.3 Niech µ będzie miarą zewnętrzną w X. Mówimy, że zbiór A X spełnia warunek Caratheodory ego względem µ, jeśli: (Car) µ (W Z) = µ (W ) + µ (Z) dla dowolnych zbiorów W, Z takich, że W A, Z X \ A (zbiór W jest wewnętrzny a Z zewnętrzny w stosunku do A). Uwaga: wystarczy żądać by zachodziło. Twierdzenie 2.1 (Caratheodory ego) Jeśli µ jest miara zewnętrzną w zbiorze X oraz M oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X spełniających warunek (Car), to: a) M jest σ-ciałem w X; b) jeśli µ (A) = 0, to A M; c) miara zewnętrzna µ zawężona do M jest miarą, miara ta jest zupełna. Dowód: 3

4 Definicja 2.4 Przedziałem w R k nazywamy zbiór P R k postaci: P = P 1... P k gdzie P i są przedziałami jednowymiarowymi. Objętością przedziału k- wymiarowego nazywamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych określających ten przedział: P = P 1... P k. Definicja 2.5 Powiemy, że rodzina przedziałów P j jest pokryciem zbioru A jeśli A i J P j. Definicja 2.6 (k - wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue a) K wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue a zbioru A R k określamy: lk(a) = inf P n : P n przedziały w R k, A n N P n. n N Twierdzenie 2.2 Powyżej określona k-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue a jest miarą zewnętrzną. Twierdzenie 2.3 Miara zewnętrzna Lebesgue a dowolnego przedziału k-wymiarowego równa się jego objętości. Zbiory o mierze zewnętrznej Lebesgue a równej zero nazywamy zbiorami miary zero. Przykłady: 1. Zbiór pusty jest miary zero. 2. Każdy zbiór przeliczalny jest miary zero (bo zbiory jednopunktowe są miary zero). 3. Każdy przedział zdegenerowany w R k jest zbiorem miary zero, co wynika z definicji objętości przedziału zdegenerowanego i definicji miary Lebesgue a. 4. Jeśli jeden ze zbiorów A, B R jest miary zero to A B R 2 jest miary 0. Przez L(R k ) oznaczamy σ-ciało w przestrzeni R k generowane przez rodzinę wszystkich k-wymiarowych przedziałów i rodzinę wszystkich podzbiorów R k miary zero. σ -ciało L(R k ) nazywamy klasą podzbiorów przestrzeni R k mierzalnych w sensie Lebesgue a. Zbiory należące do L(R k ) nazywamy zbiorami mierzalnymi (w sensie Lebesgue a). Przez l k oznaczamy zawężenie miary zewnętrznej Lebesgue a l k do σ-ciała L(R k ) zbiorów mierzalnych. Twierdzenie 2.4 a) Wszystkie podzbiory miary zero przestrzeni R k oraz wszystkie jej podzbiory borelowskie są mierzalne (tzn. należą do L(R k )); b) l k jest miarą na σ-ciele L(R k ); c) miara l k jest zupełna i σ-skończona. Twierdzenie 2.5 Iloczyn kartezjański zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym. 4

5 Zadania rozważane na wykładzie: 1. Podaj postać σ-ciała w zbiorze X = {a, b, c, d} generowanego przez rodzinę zbiorów R = {{a}, {b}}. 2. Twierdzenie 2.6 Niech G R k. Dane jest odwzorowanie f : G R n, k < n, f jest klasy C 1. Wówczas l n (f(g)) = 0. Korzystając z tego twierdzenia pokazaliśmy, że l 2 (S 1 ) = 0, gdzie S 1 = {(x 1, x 2 ) R 2 : x x 2 2 = 1} - okrąg jednostkowy. Zastosowaliśmy powyższe twierdzenie do odwzorowania f(ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ). 5