Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne"

Transkrypt

1 Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy wszystkich liczb porz adkowych. Wed lug Tw.14, Rozdzia l 5, każdy zbiór dobrze uporz adkowany z elementem najwiȩkszym jest krat a zupe ln a. Naturalnie nie zamierzamy twierdzić, że klasa wszystkich liczb porz adkowych wraz z relacj a inkluzji jest krat a zupe ln a, i to nie tylko z tego powodu, że klasa ta nie jest zbiorem (można by przecież, wykraczaj ac poza teoriȩ ZFC, odpowiednio uogólnić pojȩcie kraty zupe lnej, aby stosowa lo siȩ ono do wszelkich mnogości zbiorów), lecz dlatego, iż w klasie wszystkich liczb porz adkowych nie ma elementu najwiȩkszego, tzn. nie ma takiej liczby porz adkowej, w której każda liczba porz adkowa siȩ zawiera. Gdyby bowiem taka liczba istnia la, to jej nastȩpnik, bȩd acy na mocy Tw.9, Rozdzia l 8 liczb a porz adkow a, zawiera lby siȩ w niej, zatem, wobec przeciwnej inkluzji, by lby jej równy, co jest niemożliwe. Jednakże pokażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru (nie jakiejkolwiek mnogości, lecz w laśnie zbioru) liczb porz adkowych, w klasie wszystkich liczb porz adkowych uporz adkowanej relacj a inkluzji istniej a jego kresy dolny i górny, tzn. wykażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych istniej a takie liczby porz adkowe a, b, że y z, a y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x a)], (wtedy w laśnie a = infz) oraz y z, y b, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) b x)] (wtedy b = supz). Rozważmy dowolny niepusty zbiór z liczb porz adkowych oraz formu lȩ φ(x) postaci: x z. Wówczas na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x z, czyli najmniejsza liczba porz adkowa w zbiorze z. Na mocy Tw.20, Rozdzia l 8 wprowadźmy jednoargumentow a operacjȩ nlp przyporz adkowuj ac a każdemu niepustemu zbiorowi z liczb porz adkowych najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w zbiorze z. Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) mamy: nlp(z) z oraz y z, nlp(z) y, co natychmiast prowadzi do konkluzji: nlp(z) = infz. Jest oczywiste na podstawie Tw.23, Rozdzia l 8, że w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a (niepust a), nlp(z) =. Uwaga: Wprowadzamy operacjȩ nlp w celu zaznaczenia, że term nlp(z) nazywa pewn a liczbȩ porz adkow a. Można by nie wprowadzać do teorii tej operacji, lecz wyrażać najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w danym zbiorze w inny,

2 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 106 sk adin ad znany sposób. Mianowicie, skoro nlp(z) z, wiȩc na mocy Tw.18(1), Rozdzia l 1, z nlp(z). Skoro zaś y z, nlp(z) y, wiȩc na mocy Tw.18(2), Rozdzia l 1, nlp(z) z. Ostatecznie nlp(z) = z. Naturalnie dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych (w szczególności dla niepustej liczby porz adkowej), zbiór czȩściowo uporz adkowany < z, > jest dobrze uporz adkowany (dla dowolnego niepustego y z, nlp(y) jest elementem najmniejszym w <y, >). Zwróćmy jeszcze uwagȩ na to, iż operacja nlp ma, na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8, nastȩpuj ac a w lasność: nlp(z) z y(y nlp(z) y z), co świadczy o tym, iż nlp(z) jest elementem minimalnym zbioru z. Co wiȩcej, jak mówi o tym nastȩpne twierdzenie, jest to jedyny element minimalny zbioru z: Twierdzenie 1: Dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej y, y jest elementem minimalnym zbioru z wtw y = nlp(z). Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych oraz y liczb a porz adkow a. ( ): Za lóżmy, że (1) y z oraz (2) y z =. Rozważmy dowolny x z. Wówczas z (2): x y. St ad, ponieważ x, y s a liczbami porz adkowymi, na mocy Twierdzeń 17 i 18, Rozdzia l 8, otrzymujemy: y x. Ostatecznie, wobec (1) i dowolności wyboru zbioru x ze zbioru z, y = nlp(z). ( ): oczywisty. Aby opisać kres górny dowolnego zbioru liczb porz adkowych, rozważmy sumȩ tego zbioru: Twierdzenie 2: Suma dowolnego zbioru liczb porz adkowych jest liczb a porz adkow a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. Wykazujemy, że z jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x z. Wówczas dla pewnego a, a z oraz x a. Aby wykazać, że x z rozważmy y x. Z za lożenia a jest liczb a porz adkow a, zatem na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest liczb a porz adkow a, a wiȩc konsekwentnie również y jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.14, Rozdzia l 8 mamy zatem: y a. Ostatecznie, z definicji sumy, y z. Wykazujemy, że x(x z x jest tranzytywny). Niech wiȩc x z. Wówczas x a oraz a z dla pewnego a. Na mocy za lożenia, a jest liczb a porz adkow a, wiȩc skoro x a, to x jest tranzytywny. Wniosek: x(x jest liczb a porz adkow a x jest liczb a porz adkow a) (suma liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a).

3 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 107 Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem na mocy Tw.2, x jest liczb a porz adkow a. Skoro dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest liczb a porz adkow a oraz na mocy Twierdzeń 11(1), 11(2) z Rozdzia lu 1, mamy: (1) y z, y z oraz (2) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) z x)], wiȩc z = supz. Zauważmy ponadto, że wed lug Tw.18, Rozdzia l 8, warunek (1) jest równoważny wyrażeniu y z, y S( z), które z kolei jest równoważne formule: (1) z S( z). Rozumuj ac analogicznie stwierdzamy, że (2) jest równoważne wyrażeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a (z S(x) z x)]. Bezpośredni a konsekwencj a (1) i (2) oraz Tw.2 jest Twierdzenie 3: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z S(x). 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Rozważmy teraz, dla dowolnego ustalonego zbioru z liczb porz adkowych, formu lȩ φ(x) postaci: z x. Na mocy Tw.2 ( 1) oraz Tw.9, Rozdzia l 8, S( z) jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.3, istnieje liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Zatem, na mocy Tw.21, Rozdzia l 8, istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że z x. Nastȩpuj ace twierdzenie podaje jej postać: Twierdzenie 4: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x. Dowód: Rozważmy dowolny zbiór liczb porz adkowych z. Na mocy Tw.4, Rozdzia l 7, S(z) = z z, zatem z S(z). Wykazujemy, że S(z) jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.2, z jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.13, Rozdzia l 8 zbiorem liczb porz adkowych. Wobec tego z z jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem każdy jego element, bȩd ac liczb a porz adkow a, jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że również sam zbiór z z jest tranzytywny. Weźmy bowiem dowolny y z z. Wówczas y z lub y z. Gdy y z, to y z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Gdy zaś y z, to na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, y z (bo y, z s a liczbami porz adkowymi). W obu przypadkach: y z z. Ostatecznie z z (tzn. S(z)) jest liczb a porz adkow a.

4 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 108 Rozważmy φ(x) postaci: z x. Wykazaliśmy do tej pory, że S(z) jest liczb a porz adkow a tak a, że φ( S(z)). Aby wykazać, że S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y tak a, że φ(y), tzn. (1) z y. Wówczas (2) z y. Weźmy bowiem dowolny x z. Zatem x a dla pewnej liczby porz adkowej a z. Z (1), a y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a (Tw.13, Rozdzia l 8), wiȩc na mocy Tw.14, Rozdzia l 8, x y. Z (1) i (2) mamy: z z y, tzn. S(z) y. W przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, na podstawie Tw.2, Rozdzia l 8 mamy: S(z) = z, i oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x jest z. Rozważmy teraz dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej a nastȩpuj ace warunki: (3) y z, y a, (4) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) a x a = x)]. Jest sensowne nazwać liczbȩ porz adkow a a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4) kresem górnym zbioru z ze wzglȩdu na relacjȩ porz adkuj ac a. Pewne w atpliwości może tu budzić nastȩpnik implikacji ( y z, y x) a x a = x w warunku (4), bowiem dla nazwania liczby a kresem górnym ze wzglȩdu na, ów nastȩpnik powinien być postaci: a x. Jednakże wówczas warunek (3) z tak zmodyfikowanym warunkiem (4), niczego nie definiuj a nie istnieje bowiem liczba porz adkowa a, która by takie warunki spe lnia la (jeśli mamy a takie, że zachodzi (3), to wed lug zmodyfikowanego warunku (4), a a, co jest niemożliwe). Jest jasne na mocy definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) oraz Tw.4 i Twierdzeń 20, 18, Rozdzia l 8, że dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje dok ladnie jedna liczba porz adkowa a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4), mianowicie a = S(z). W literaturze przedmiotu w laśnie S(z) nazywana jest kresem górnym zbioru z w klasie liczb porz adkowych. Dla odróżnienia od kresu górnego supz wzglȩdem inkluzji, oznaczmy kres górny wzglȩdem jako sup z. Zatem sup z = S(z) = z z. Ponieważ supz = z, wiȩc supz sup z, czyli supz sup z lub supz = sup z. W zależności od postaci zbioru z, każdy z tych dwóch przypadków, jeden b adź drugi, jest realizowany. Naturalnie równość obu kresów ma miejsce dok ladnie wówczas, gdy z z: (=sup) supz = sup z wtw z z.

5 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 109 Zatem w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, czyli z jest zbiorem tranzytywnym, a wiȩc z z (Tw.2, Rozdzia l 8) mamy: (=suplp) supz = sup z wtw z = z. Ponadto, dla z bȩd acego liczb a porz adkow a, supz sup z wtw supz sup z wtw z z wtw (z z z = z) wtw z z z z wtw z z, na mocy Twierdzeń 18, 17, Rozdzia l 8. Ostatecznie: ( suplp) supz sup z wtw z z. Na przyk lad dla z =, supz = sup z oraz dla dowolnej niepustej liczby naturalnej z, supz sup z, bo, jak latwo sprawdzić, wówczas z = S( z), zaś z S( z). Weźmy pod uwagȩ przyk lad zbioru z liczb porz adkowych, który nie jest liczb a porz adkow a, powiedzmy, z = N {0}. Tutaj supz = sup z, bowiem z z: jeśli x N {0}, to również S(x) N {0}, lecz x S(x), zatem x (N {0}). Niech z = {1, 2}, tzn. z = 3 {0}. Oczywiście z nie jest liczb a porz adkow a. W tym przypadku, supz sup z. Bowiem z = {1, 2} = 1 2 = 2, st ad 2 z, jednakże 2 z, zatem z z, czyli zgodnie z warunkiem (=sup), supz sup z. Zauważmy, że tutaj zachodzi: z z. Wykażemy w nastȩpnym paragrafie, że warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (nie tylko dla dowolnej liczby porz adkowej z). W ogólności kres dolny inf z niepustego zbioru z ze wzglȩdu na porz adek, może nie istnieć. Kres ten winien być bowiem liczb a porz adkow a spe lniaj ac a warunki: y z, inf z y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x inf z)]. Pierwszy z tych warunków jest równoważny formule: inf z z, drugi zaś wyrażeniu: x[x jest liczb a porz adkow a (x z x inf z)]. Lecz z = nlp(z) (zobacz poprzedni a uwagȩ). Zatem inf z by lby najwiȩksz a liczb a porz adkow a (ze wzglȩdu na inkluzjȩ) należ ac a do liczby porz adkowej nlp(z). Taka zaś liczba porz adkowa dla pewnych zbiorów z liczb porz adkowych nie istnieje. Na przyk lad, gdy z jest dowoln a niepust a liczb a porz adkow a, to nlp(z) =, wiȩc nie istnieje najwiȩksza liczba porz adkowa należ aca do nlp(z).

6 3. Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dow. zbioru liczb porz adkowych Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dowolnego zbioru liczb porz adkowych Powyżej, dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, porównaliśmy ze sob a dwie liczby porz adkowe (kresy górne zbioru z) : z, S(z), mianowicie w ogólności, z S(z). Twierdzenia 3, 4 umożliwiaj a dokonanie porównania innej pary liczb porz adkowych: S(z), S( z). Skoro S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x, zaś z S( z), wiȩc S(z) S( z). Ostatecznie mamy nastȩpuj acy Wniosek: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, (1) z S(z) S( z), (2) z S(z) S( z). Jedn a z konsekwencji tego Wniosku jest alternatywa roz l aczna: (*) albo S(z) S( z) albo S(z) = S( z), dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (na mocy Tw.18, Rozdzia l 8). Przypadek S(z) S( z) jest, wed lug Tw.6, Rozdzia l 7, równoważny warunkowi z z, a ten z kolei, na mocy (=sup) warunkowi z = S(z). Zatem, jeżeli S(z) S( z), to na mocy Wniosku, z z = S(z) S( z). W szczególności, gdy zbiór liczb porz adkowych z jest liczb a porz adkow a, a wiȩc gdy z z, warunek S(z) S( z) jest równoważny równości z = z, co już wcześniej zosta lo ustalone w Tw.6, Rozdzia l 8. Gdy wiȩc ów warunek zachodzi, to: z = z = S(z) S( z). Z kolei przypadek S(z) = S( z) jest, jak pokazuje nastȩpuj ace twierdzenie, równoważny warunkowi z z: Twierdzenie 5: S(z) = S( z). Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z z wtw Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. ( ): Za lóżmy, że z z. Wówczas na mocy Tw.7, Rozdzia l 7, S( z) S(z). Ponieważ przeciwna inkluzja zachodzi (por. Wniosek), wiȩc S(z) = S( z). ( ): oczywisty na mocy Tw.7, Rozdzia l 7. Jeśli wiȩc S(z) = S( z), to na mocy Wniosku oraz Tw.5, z z S(z) = S( z),

7 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 111 w szczególności zaś, gdy z jest liczb a porz adkow a, to: z z = S(z) = S( z). Przy okazji zauważmy, że skoro warunek S(z) S( z) jest równoważny inkluzji z z, oraz warunek S(z) = S( z) jest równoważny temu, że z z, wiȩc, na mocy (*), mamy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych prawdziw a alternatywȩ roz l aczn a: (**) albo z z albo z z. Pierwszy z cz lonów tej alternatywy, co już dawno ustalono, jest równoważny równości supz = sup z, drugi zaś wyrażeniu supz sup z. Jeśli bowiem z z, to ponieważ z S(z), wiȩc z S(z), tzn. supz sup z. Jeśli zaś z z, to prawdziwy jest pierwszy z cz lonów alternatywy (**), co oznacza równość obu kresów, zatem wówczas supz sup z. Krótko mówi ac, warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych. Zauważmy ponadto, że z alternatywy (**) uzyskujemy wyrażenie: dla dowolnej liczby porz adkowej z: albo z = z albo z z. Inn a, oczywist a konsekwencj a wyżej sformu lowanego Wniosku jest wyrażenie: dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje liczba porz adkowa x taka, że z x, z którego wynika Twierdzenie 6: Nie istnieje zbiór wszystkich liczb porz adkowych. Dowód: Za lóżmy, że z jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych. Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a tak a, że z x. Wówczas, skoro x jest liczb a porz adkow a, zaś z zbiorem wszystkich liczb porz adkowych, wiȩc x z. Wtedy jednak x x, co jest niemożliwe. Naturalnie, nie istnieje również zbiór wszystkich zbiorów tranzytywnych. Gdyby bowiem istnia l, to stosuj ac aksjomat podzbiorów z formu l a φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, oraz zmienn a woln a z oznaczaj ac a w laśnie ów zbiór, uzyskalibyśmy istnienie zbioru wszystkich liczb porz adkowych. 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Nastȩpuj acy fakt jest odpowiednikiem Tw.6, Rozdzia l 8: Twierdzenie 7: równoważne: (i) x x, Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a

8 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 112 (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x). Dowód: Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. (i) (iii): Na mocy Tw.5, x jest bowiem zbiorem liczb porz adkowych. (ii) (iii): na mocy Tw.2(i) (iv), Rozdzia l 8, x jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Tw.6, Rozdzia l 8 jest oczywiście prawdziwe dla dowolnej liczby porz adkowej x. Zauważmy, że wed lug alternatywy (*) z poprzedniego paragrafu, dla dowolnej liczby porz adkowej x przynajmniej jeden z warunków (iii) z Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 musi być spe lniony. Jest oczywiste, że jednocześnie oba te warunki nie mog a być prawdziwe. Podobnie, skoro wed lug Tw.3, x S( x), wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, dla dowolnej liczby porz adkowej x prawdziwa jest alternatywa: (***) x S( x) lub x = S( x), tzn. dla dowolnej liczby porz adkowej x dok ladnie jeden z warunków (ii) Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 jest prawdziwy. Konsekwentnie, bior ac pod uwagȩ Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7, możemy podzielić klasȩ liczb porz adkowych na dwie grupy: w jednej grupie znajduj a siȩ te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki z Tw.6, Rozdzia l 8, w drugiej grupie te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki Tw.7. Definicja. Mówimy, że liczba porz adkowa x jest izolowana, gdy istnieje liczba porz adkowa y taka, że x = S(y). Liczbȩ porz adkow a, która nie jest izolowana, nazywamy graniczn a. Twierdzenie 8: (1) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x x, (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x), (iv) supx sup x, (v) x jest izolowana. (2) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x), (iv) supx = sup x, (v) x jest graniczna. Dowód: Pierwsze trzy warunki z (1) oraz (2) s a naturalnie równoważne na mocy Tw.7 oraz Tw.6, Rozdzia l 8. Równoważności (i) (iv) z (1) oraz z (2) to warunki, odpowiednio, ( suplp), (=suplp) z 2.

9 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 113 Na mocy Tw.8, Rozdzia l 7, warunek (2)(i) implikuje warunek (2)(v). Jest oczywiste, że warunek (1)(ii) implikuje warunek (1)(v). St ad prawd a jest, że jeżeli x jest liczb a porz adkow a graniczn a (tzn. x nie jest izolowana), to x S( x). Zatem na mocy (***), x S( x), co dowodzi, że warunek (2)(v) implikuje warunek (2)(ii). Zatem 2(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (2). Analogicznie, zak ladaj ac, że x jest izolowana (a wiȩc nie jest graniczna) mamy na mocy równoważności z (2), iż x S( x), co daje (wed lug (***)): x = S( x). Tak wiȩc warunek (1)(v) implikuje warunek 1(ii), Zatem (1)(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (1). Przyk ladem liczby porz adkowej granicznej jest zbiór (bo =, zob. Tw.8(2)). Przyk ladem liczby porz adkowej izolowanej jest jakakolwiek niepusta liczba naturalna. Prawdziwa jest bowiem interpretacja tw.2 arytmetyki elementarnej, 1, Rozdzia l 7, w teorii ZFC: x N(x = y N(x = S(y))). Rozważymy teraz najmniejsze liczby porz adkowe x takie, że φ(x) dla nastȩpuj acych formu l φ(x): y x, y x, y x y x, gdzie y jest dowoln a ustalon a liczb a porz adkow a. Oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest liczba porz adkowa y. Formu la y x y x, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, jest równoważna formule y x. Zatem najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że y x jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x y x. Bior ac pod uwagȩ Tw.1 Rozdzia l 7, oczekujemy wiȩc, że najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest S(y): Twierdzenie 9: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. Naturalnie, na mocy Tw.9, Rozdzia l 8, S(y) jest liczb a porz adkow a. Wystarczy wiȩc teraz powo lać siȩ na Tw.1, Rozdzia l 7, aby skończyć dowód. Niemniej jednak wykonajmy ten dowód odwo luj ac siȩ do warunku (iii) Tw.19, Rozdzia l 8. Naturalnie y S(y), tzn. spe lnione jest φ(s(y)), gdzie φ(x) jest postaci: y x. Wykazujemy, że z(z S(y) y z). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego z : z S(y) oraz y z. Wówczas z pierwszego wyrażenia, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8 (z jest liczb a porz adkow a) mamy: z y. St ad oraz z drugiego wyrażenia, y y, co jest niemożliwe. Wniosek: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x S(y).

10 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 114 Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z: (1) y z oraz (2) z S(y). Wówczas z (1) mamy: φ(z). Ponadto, skoro na mocy Tw.9, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) (gdzie φ(x) := y x), wiȩc wed lug Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 z (2) otrzymujemy: φ(z); sprzeczność (por. również uwagȩ po dowodzie Tw.1, Rozdzia l 7, 4). Jak widać, nazwa nastȩpnik liczby porz adkowej y dla zbioru S(y) jest uzasadniona. S(y) nastȩpuje bezpośrednio po y w porz adku wyznaczonym przez relacjȩ należenia do zbioru. Rozważmy, analogicznie jak powyżej, nastȩpuj ace trzy formu ly φ(x) dla ustalonej liczby porz adkowej y: y S(x), y S(x), y S(x) y S(x). Jest oczywiste, że dla liczby porz adkowej x formu ly: y S(x) oraz y S(x) y S(x) s a równoważne. Ponadto wyrażenie y S(x) jest na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, równoważne formule y x. Zatem najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) (oraz tak a, że y S(x) y S(x)) jest liczba porz adkowa y. Interesuj acy jest wiȩc jedynie przypadek formu ly φ(x) postaci: y S(x). Na mocy Tw.3 mamy natychmiast: Wniosek 1: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) jest y. St ad oraz na podstawie Wniosku z Tw.9 otrzymujemy kolejny wniosek, analogiczny do Wniosku z Tw.9: Wniosek 2: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x y. Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z mamy: (1) y z oraz (2) z y. Na mocy Wniosku 1 (por. również alternatywȩ (***)), y S( y). Zatem z (2), z S( y). Lecz to, wraz z (1) jest, na mocy Wniosku z Tw.9 ( y jest liczb a porz adkow a), niemożliwe. Jest jasne, że w przypadku, gdy y jest liczb a porz adkow a izolowan a, a wiȩc gdy y = S( y) (Tw.8(1)), liczba porz adkowa y jest bezpośrednim poprzednikiem liczby y w porz adku liczb porz adkowych wyznaczonym relacj a.

11 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 115 W przypadku, gdy y jest liczb a graniczn a, y = y (Tw.8(2)) i wówczas y nie ma bezpośredniego poprzednika. Gdyby bowiem x by l takim bezpośrednim poprzednikiem liczby y, to y by lby jego nastȩpnikiem: y = S(x). Oznacza loby to, że y jest, wbrew za lożeniu, liczb a porz adkow a izolowan a: y jest izolowana: y S( y) y S(y) y jest graniczna: y y S( y) S(y) Naturalnie, jeżeli y jest niepust a liczb a porz adkow a graniczn a, to y jest zbiorem indukcyjnym. Istotnie, y (Tw.23, Rozdzia l 8) oraz gdy x y, to na mocy Tw.9, S(x) y, co implikuje S(x) y, skoro y jest graniczna (y S(x)). Jest również oczywiste, że jeżeli liczba porz adkowa jest zbiorem indukcyjnym, to jest ona graniczna. Izolowana liczba y nie jest bowiem zbiorem indukcyjnym, skoro y y, zaś S( y) y. Gdy y jest izolowana, to sytuacja postaci:... n y... y y y nie ma miejsca. Gdyby bowiem zachodzi la, to y mia lby nieskończone zejście: y, y, y,..., n y,.... Dok ladniej zanalizujmy możliwość takiej sytuacji w oparciu o nastȩpuj ace twierdzenia. Twierdzenie 10: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych granicznych, z jest liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych granicznych. Za lóżmy nie wprost, że z jest izolowana. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x: (1) z = S(x). Skoro x S(x), wiȩc x z, zatem z definicji sumy, dla pewnego u mamy: (2) x u oraz (3) u z. Oczywiście z (3) na mocy Tw.11(1), Rozdzia l 1, otrzymujemy: (4) u z. Na mocy Tw.9, z (2), S(x) u (wed lug (3) u jest liczb a porz adkow a), co wraz z (1) daje z u i konsekwentnie z (4) otrzymujemy: z = u. Lecz wed lug (3), u jest graniczna, zatem z jest graniczna. Sprzeczność z za lożeniem.

12 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 116 Twierdzenie 11: Dla dowolnej liczby porz adkowej izolowanej, wśród wszystkich liczb granicznych do niej należ acych, istnieje liczba najwiȩksza. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a licz a porz adkow a izolowan a. Rozważmy aksjomat podzbiorów dla formu ly φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a graniczn a x y. Na podstawie tego aksjomatu natychmiast stwierdzamy istnienie zbioru z = {x : x jest graniczna x y} wszystkich liczb porz adkowych granicznych bȩd acych elementami zbioru y. Naturalnie z (bo z) oraz (1) z y. Wykażemy, że z jest elementem najwiȩkszym w zbiorze liniowo uporz adkowanym <z, >. W tym celu rozważmy prawdziw a alternatywȩ: (2) albo z z albo z z (zobacz (**), 3). Za lóżmy, że zachodzi: (3) z z. Wówczas naturalnie z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x (taka najmniejsza liczba porz adkowa jest wed lug Tw.4 postaci S(z), co jest równe z z, co z kolei jest równe z; por. również (=sup) z 3). Zatem z (1) otrzymujemy: z y, czyli z y lub z = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz z jest zbiorem liczb granicznych, wiȩc wed lug Tw.10, z jest graniczna, tymczasem y jest izolowana. Wobec tego z y i konsekwentnie z y. Wówczas jednak, z definicji zbioru z, z z, co wobec (3) oznacza, że z z, a to jest niemożliwe (jest sk adin ad wiadome, że obydwa cz lony alternatywy (2) nie mog a być prawdziwe). Skoro nie jest prawd a, że z z, wiȩc z (2) otrzymujemy: z z. Lecz przecież u z, u z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Ostatecznie z jest najwiȩksz a liczb a porz adkow a w zbiorze z. Weźmy pod uwagȩ dowoln a liczbȩ porz adkow a izolowan a y. Na mocy Tw.11, niech ng(y) bȩdzie najwiȩksz a liczb a porz adkow a graniczn a należ ac a do y. Rozważmy zbiór y S(ng(y)). Dla dowolnej liczby porz adkowej x mamy: x y S(ng(y)) wtw (x y i x S(ng(y))) wtw (x y i x ng(y) i x ng(y)) wtw (x y i ng(y) x). Ostatecznie, y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y}. Zauważmy, że (ng) x y S(ng(y)), x jest izolowana. Gdyby bowiem pewna liczba x 0 taka, że ng(y) x 0 y by la graniczna, to by loby x 0 ng(y) i jednocześnie ng(y) x 0 oraz ng(y) x 0 (Wniosek z Tw.18, Rozdzia l 8), co jest niemożliwe. Po lóżmy dla dowolnej liczby porz adkowej x, S 0 (x) = x oraz S n+1 (x) = S(S n (x)) dla n = 0, 1,.... Lemat: Dla dowolnej liczby porz adkowej x oraz dowolnej liczby naturalnej n : S n+1 (x) = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)}.

13 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 117 Dowód: (indukcyjny). Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a (lub po prostu dowolnym zbiorem). Dla n = 0 powyższa równość jest spe lniona na mocy definicji nastȩpnika. Za lóżmy, że dla jakiegoś n równość ta jest spe lniona. Wówczas S (n+1)+1 (x) = S(S n+1 (x)) = S n+1 (x) {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)} {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x), S n+1 (x)}. Twierdzenie 12: Dla dowolnej izolowanej liczby y, zbiór y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y} jest skończony. Dowód: Za lóżmy nie wprost, że y jest tak a liczb a porz adkow a izolowan a, że {x : ng(y) x y} nie jest zbiorem skończonym. Weźmy pod uwagȩ zbiór z = {ng(y)} {x : ng(y) x y} = {x : ng(y) x y}. Wykażmy indukcyjnie, że (1) dla dowolnego n = 0, 1,..., S n (ng(y)) z. Jest oczywiste, że ng(y) z, zatem S 0 (ng(y)) z. Za lóżmy, że dla jakiegoś n N, S n (ng(y)) z. St ad (2) S n (ng(y)) y. Z (2) i przechodniości relacji, ponieważ ng(y) S(ng(y)) S 2 (ng(y))... S n (ng(y)), otrzymujemy: (3) {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} {x : ng(y) x y}. Ponieważ S(S n (ng(y)) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że S n (ng(y)) x (Tw.9), wiȩc z (2), S(S n (ng(y))) y. Dlatego S(S n (ng(y))) y lub S(S n (ng(y))) = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz równość S(S n (ng(y))) = y wraz z (3) oznacza (zob. Wniosek z Tw.9), że {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych x takich, że ng(y) x x y czyli zbiór y S(ng(y)) by lby skończony wbrew za lożeniu. Zatem S(S n (ng(y))) y, tzn. S n+1 (ng(y)) y. Naturalnie ng(y) S n+1 (ng(y)), ostatecznie S n+1 (ng(y)) z, co kończy dowód (1). Z kolei, dziȩki (1) można rozważyć funkcjȩ (ci ag) f : N z postaci: n N, f(n) = S n (ng(y)). Wykazujemy, że (4) zbiór ng(y) f (N) jest liczb a porz adkow a. Oczywiście elementami tego zbioru s a wy l acznie liczby porz adkowe, zatem zbiory tranzytywne, wystarczy wiȩc wykazać, że ng(y) f (N) jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x ng(y) f (N). Gdy x ng(y), to oczywiście x ng(y), zatem x ng(y) f (N). Niech x f (N). Wówczas x = S n (ng(y)), dla pewnego n N. Zatem x = ng(y), gdy n = 0, oraz x = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))}, gdy n 0 (zobacz lemat powyżej). Ostatecznie, x ng(y) f (N), bo gdy n 0, to {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))} f (N). Po lóżmy: u = ng(y) f (N). Na mocy (4), u u (Tw.2, Rozdzia l 8). Wykazujemy teraz, że u u, co daje równość u = u i dowodzi (Tw.8(2)), że (5) u jest graniczna.

14 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 118 Niech wiȩc x u. Zatem x ng(y) lub x f (N). Gdy x ng(y), to S(x) ng(y), bo ng(y) jest graniczna (tzn. S(x) ng(y), zaś S(x) ng(y)), st ad S(x) u. Podobnie, gdy x f (N), czyli x = S n (ng(y)) dla pewnego n N, mamy: S(x) = S n+1 (ng(y)) f (N), zatem S(x) u. Ostatecznie, skoro x S(x) oraz S(x) u, wiȩc x u. (Krótko mówi ac, wykazaliśmy tu, że zbiór u jest zamkniȩty na operacjȩ S, a ponieważ u, wiȩc u jest liczb a porz adkow a, która jest zbiorem indukcyjnym, zatem u nie jest izolowana.) Naturalnie f (N) z y, z definicji funkcji f oraz zbioru z. Oczywiście ng(y) y (bo ng(y) y). Zatem ng(y) f (N) y, tzn. u y. St ad zaś u y lub u = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz wobec (5) i za lożenia, że y jest izolowana, u y. Zatem u y. St ad, ponieważ ng(y) u (bo f(0) = ng(y), zaś f(0) u), otrzymujemy: u {x : ng(y) x y}, co, wobec (5), jest sprzeczne z wyrażeniem (ng). Wniosek: Dla dowolnej liczby izolowanej y istnieje liczba naturalna n taka, że y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n (ng(y))} = S n+1 (ng(y)). Dowód: Niech y bȩdzie izolowana. Wykazujemy, że dla pewnego n N pierwsza z równości jest spe lniona. Druga jest bezpośredni a konsekwencj a lematu powyżej. Naturalnie y = S(ng(y)) (y S(ng(y)). St ad (1) y = ng(y) {ng(y)} {x : ng(y) x y}. Zbiór {x : ng(y) x y}, na mocy Tw.12, jest skończony, zatem (2) {x : ng(y) x y} = lub (3) dla pewnego k 1, {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Gdy zachodzi (2), to z (1) mamy: (4) y = ng(y) {S 0 (ng(y))}. Gdy zachodzi (3), to mamy: (5) {x : ng(y) x y} = {S(ng(y)),..., S k (ng(y))}, bowiem ng(y) S(ng(y))... S k (ng(y)) y, oraz S(ng(y)),..., S k (ng(y)) s a jedynymi liczbami x takimi, że ng(y) x y, gdy zbiór {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Na mocy (1) i (5) otrzymujemy: y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S k (ng(y))}. 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne Powyższe ustalenia mog a wydawać siȩ nieco zbyt abstrakcyjne, w sytuacji, gdy jedynym przyk ladem liczby granicznej, jakim do tej pory dysponujemy, jest zbiór. Aby dostarczyć przyk ladów niepustych liczb granicznych, rozważymy najpierw najmniejsz a liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a.

15 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 119 Weźmy pod uwagȩ φ(x) postaci: (x jest liczb a naturaln a), lub x N. Ponieważ zachodzi φ(n) oraz N jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x nie jest liczb a naturaln a. Oznaczamy j a symbolem ω. Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 mamy zatem: (ω1) ω N oraz (ω2) y(y ω y N). Wyrażenie (ω2) jest równoważne temu, iż ω N. Ponieważ zarówno ω jak N s a liczbami porz adkowymi, wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, ω N lub ω = N, co wraz z (ω1) prowadzi do wniosku: Wniosek: ω = N, tzn. najmniejsz a liczb a porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a jest zbiór liczb naturalnych N. Twierdzenie 13: ω jest najmniejsz a niepust a liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Mamy wykazać, że ω jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), gdzie φ(x) jest postaci: x x jest graniczna. Oczywiście ω. Wykazujemy, że ω jest graniczna. Za lóżmy, że tak nie jest. Wówczas ω jest izolowana, czyli ω = S(a), dla pewnej liczby porz adkowej a. Ponieważ a S(a), wiȩc a ω, tzn. (wed lug powyższego Wniosku) a N czyli a jest liczb a naturaln a. Na mocy Tw.10, Rozdzia l 7, S(a) jest liczb a naturaln a, zatem ω N, tzn. N N, co jest niemożliwe. Zatem spe lniona jest formu la φ(ω). Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 wystarczy teraz wykazać, że y(y ω φ(y)), czyli y(y ω (y = y jest izolowana)). Weźmy wiȩc pod uwagȩ dowolny y ω taki, że y. Wówczas y jest niepust a liczb a naturaln a, zatem jest nastȩpnikiem jakiejś liczby naturalnej a, tzn. y = S(a) dla pewnej liczby porz adkowej a, czyli y jest liczb a porz adkow a izolowan a. ω nie jest jedyn a niepust a liczb a graniczn a. Aby podać nastȩpn a z kolei liczbȩ graniczn a, a wiȩc najmniejsz a liczbȩ graniczn a x tak a, że ω x musimy rozważyć aksjomat podstawiania (AxSUB) ψ, w którym formu la ψ(y, z) jest postaci: (ψ) (y ω z = y) (y ω z = S y (ω)). Na pierwszy rzut oka można by mieć w atpliwości (mog ly one już pojawić siȩ poprzednio przy okazji operowania definicj a termu S n (x)) czy (ψ) jest formu l a jȩzyka teorii ZFC, a to z tego powodu, że ci ag symboli: S y (ω), gdzie y jest przecież zbiorem, nie wydaje siȩ być termem tego jȩzyka. Oznaczenie S n (ω) ma sens, ale wówczas, gdy n nie jest żadnym zbiorem, lecz ilości a zastosowań operacji S. Aby rozwiać te w atpliwości, rozważmy skończony zbiór

16 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 120 A ω = {ω, S(ω), S(S(ω)),..., S(... (S(ω))...)}. Niech w ostatnim z wypisanych termów ilość wyst apień symbolu S wynosi n. Rozważmy liczbȩ naturaln a (zbiór) {, S( ), S(S( )),..., S(... (S( ))...)} tak a, że ilość wyst apień S w ostatnim termie również wynosi n. Zgodnie z ustalon a konwencj a notacyjn a tak a liczbȩ naturaln a oznaczamy S(n), gdzie n jest teraz liczb a naturaln a bȩd ac a zbiorem. Weźmy pod uwagȩ funkcjȩ fn ω : S(n) A ω, mianowicie fn ω = {<, ω>, <S( ), S(ω)>, <S(S( )), S(S(ω))>,..., < S(... (S( ))...), S(... (S(ω))...) >}. Oznaczmy teraz dla dowolnego y S(n), S y (ω) = fn ω (y), w szczególności wiȩc S n (ω) = fn ω (n) (n jest tutaj zbiorem). Naturalnie w ten sam sposób mamy również dla dowolnej liczby porz adkowej (czy w ogóle dowolnego zbioru) x : S n (x) = fn(n), x gdzie n jest zbiorem (fn x : S(n) A x ). Jest zatem jasne, że formu la ψ(y, z) ma w laściwie postać nastȩpuj ac a: (y ω z = y) (y ω z = f ω y (y)), w której nie mamy już do czynienia ze zbiorem y postrzeganym jako ilość zastosowań operacji S. W dalszym ci agu bȩdziemy rozważać postać (ψ), pamiȩtaj ac, że mamy tam do czynienia z pewnym skrótem definicyjnym. Formu la ψ(y, z) ustala przyporz adkowanie każdemu zbiorowi y jego samego, gdy y ω, oraz zbioru S y (ω), gdy y ω. Spe lniony jest wiȩc poprzednik w (AxSUB) ψ : y z[ψ(y, z) v(ψ(y, v) v = z)]. Wobec tego mamy nastȩpnik postaci: u z(z u y(y ω ψ(y, z)). Bior ac pod uwagȩ aksjomat identyczności mamy jedyny zbiór u, którego istnienie stwierdza powyższa formu la. Ponieważ wyrażenie y ω ψ(y, z) jest równoważne formule y ω z = S y (ω), wiȩc ów zbiór, oznaczaj ac go symbolem S ω (ω), możemy określić nastȩpuj aco: z(z S ω (ω) y(y ω z = S y (ω))). Istnieje zatem zbiór, który nieformalnie zapisalibyśmy w postaci: S ω (ω) = {ω, S(ω),..., S n (ω),...}. Twierdzenie 14: Zbiór ω S ω (ω) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest graniczna i ω x. Dowód: Wykazanie faktu, że ω S ω (ω) jest liczb a porz adkow a graniczn a przebiega analogicznie jak wykazanie warunków (4), (5) w dowodzie Tw.12. Zamiast liczby granicznej ng(y) mamy teraz liczbȩ graniczn a ω, oraz zamiast obrazu f (N) zbiór S ω (ω), który jest również obrazem zbioru N wed lug funkcji g : N S ω (ω) przyporz adkowuj acej każdej liczbie naturalnej n zbiór S n (ω).

17 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 121 Oczywiście, ω ω S ω (ω). Niech teraz x bȩdzie dowoln a liczb a graniczn a tak a, że ω x. Aby wykazać, że ω S ω (ω) x, co skończy dowód, wykazujemy, że (1) ω x oraz (2) S ω (ω) x. (1) jest oczywiste, skoro ω x (Tw.18, Rozdzia l 8). Wykazanie, że zachodzi (2) sprowadza siȩ do indukcyjnego dowodu faktu, iż n ω, S n (ω) x. Dowód ten jest podobny do wykazania waruku (1) z dowodu Tw.12. Oczywiście, S 0 (ω) x. Zak ladamy, że dla jakiegoś n, S n (ω) x. Wówczas, na mocy Tw.9, S(S n (ω)) x lub S(S n (ω)) = x. Lecz ostatnia równość nie może zachodzić skoro x jest graniczna. Zatem S n+1 (ω) x. Zauważmy, że zastosowanie aksjomatu podstawiania dla stwierdzenia istnienia zbioru S ω (ω), można uogólnić dla dowolnej operacji jednoargumentowej F oraz dowolnego zbioru X, tak, aby ustalić istnienie zbioru F ω (X). Wystarczy wzi ać pod uwagȩ ten aksjomat z formu l a ψ(y, z) postaci: (y ω z = y) (y ω z = F y (X)), aby uzyskać istnienie zbioru: F ω (X) = {z : y(y ω z = F y (X))}, nieformalnie zapisywanego w postaci: {X, F (X),..., F n (X),...}. Jasne jest wiȩc, że możemy ustalić kolejne liczby porz adkowe graniczne, mianowicie: ω 2 = ω 1 S ω (ω 1 ), gdzie ω 1 = ω S ω (ω), ω 3 = ω 2 S ω (ω 2 ),..., ω n = ω n 1 S ω (ω n 1 ),..., przy czym ω ω 1 ω 2... ω n... oraz miȩdzy nimi w porz adku ustalonym relacj a, nie ma innych liczb granicznych.

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy

Bardziej szczegółowo

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997 Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Równoleg le sortowanie przez scalanie

Równoleg le sortowanie przez scalanie Równoleg le sortowanie przez scalanie Bartosz Zieliński 1 Zadanie Napisanie programu sortuj acego przez scalanie tablicȩ wygenerowanych losowo liczb typu double w którym każda z procedur scalania odbywa

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

166 Wstȩp do statystyki matematycznej

166 Wstȩp do statystyki matematycznej 166 Wstȩp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwi azać nasz zasadniczy problem zwi azany z identyfikacj a cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne

Bardziej szczegółowo