Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne"

Transkrypt

1 Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy wszystkich liczb porz adkowych. Wed lug Tw.14, Rozdzia l 5, każdy zbiór dobrze uporz adkowany z elementem najwiȩkszym jest krat a zupe ln a. Naturalnie nie zamierzamy twierdzić, że klasa wszystkich liczb porz adkowych wraz z relacj a inkluzji jest krat a zupe ln a, i to nie tylko z tego powodu, że klasa ta nie jest zbiorem (można by przecież, wykraczaj ac poza teoriȩ ZFC, odpowiednio uogólnić pojȩcie kraty zupe lnej, aby stosowa lo siȩ ono do wszelkich mnogości zbiorów), lecz dlatego, iż w klasie wszystkich liczb porz adkowych nie ma elementu najwiȩkszego, tzn. nie ma takiej liczby porz adkowej, w której każda liczba porz adkowa siȩ zawiera. Gdyby bowiem taka liczba istnia la, to jej nastȩpnik, bȩd acy na mocy Tw.9, Rozdzia l 8 liczb a porz adkow a, zawiera lby siȩ w niej, zatem, wobec przeciwnej inkluzji, by lby jej równy, co jest niemożliwe. Jednakże pokażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru (nie jakiejkolwiek mnogości, lecz w laśnie zbioru) liczb porz adkowych, w klasie wszystkich liczb porz adkowych uporz adkowanej relacj a inkluzji istniej a jego kresy dolny i górny, tzn. wykażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych istniej a takie liczby porz adkowe a, b, że y z, a y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x a)], (wtedy w laśnie a = infz) oraz y z, y b, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) b x)] (wtedy b = supz). Rozważmy dowolny niepusty zbiór z liczb porz adkowych oraz formu lȩ φ(x) postaci: x z. Wówczas na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x z, czyli najmniejsza liczba porz adkowa w zbiorze z. Na mocy Tw.20, Rozdzia l 8 wprowadźmy jednoargumentow a operacjȩ nlp przyporz adkowuj ac a każdemu niepustemu zbiorowi z liczb porz adkowych najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w zbiorze z. Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) mamy: nlp(z) z oraz y z, nlp(z) y, co natychmiast prowadzi do konkluzji: nlp(z) = infz. Jest oczywiste na podstawie Tw.23, Rozdzia l 8, że w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a (niepust a), nlp(z) =. Uwaga: Wprowadzamy operacjȩ nlp w celu zaznaczenia, że term nlp(z) nazywa pewn a liczbȩ porz adkow a. Można by nie wprowadzać do teorii tej operacji, lecz wyrażać najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w danym zbiorze w inny,

2 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 106 sk adin ad znany sposób. Mianowicie, skoro nlp(z) z, wiȩc na mocy Tw.18(1), Rozdzia l 1, z nlp(z). Skoro zaś y z, nlp(z) y, wiȩc na mocy Tw.18(2), Rozdzia l 1, nlp(z) z. Ostatecznie nlp(z) = z. Naturalnie dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych (w szczególności dla niepustej liczby porz adkowej), zbiór czȩściowo uporz adkowany < z, > jest dobrze uporz adkowany (dla dowolnego niepustego y z, nlp(y) jest elementem najmniejszym w <y, >). Zwróćmy jeszcze uwagȩ na to, iż operacja nlp ma, na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8, nastȩpuj ac a w lasność: nlp(z) z y(y nlp(z) y z), co świadczy o tym, iż nlp(z) jest elementem minimalnym zbioru z. Co wiȩcej, jak mówi o tym nastȩpne twierdzenie, jest to jedyny element minimalny zbioru z: Twierdzenie 1: Dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej y, y jest elementem minimalnym zbioru z wtw y = nlp(z). Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych oraz y liczb a porz adkow a. ( ): Za lóżmy, że (1) y z oraz (2) y z =. Rozważmy dowolny x z. Wówczas z (2): x y. St ad, ponieważ x, y s a liczbami porz adkowymi, na mocy Twierdzeń 17 i 18, Rozdzia l 8, otrzymujemy: y x. Ostatecznie, wobec (1) i dowolności wyboru zbioru x ze zbioru z, y = nlp(z). ( ): oczywisty. Aby opisać kres górny dowolnego zbioru liczb porz adkowych, rozważmy sumȩ tego zbioru: Twierdzenie 2: Suma dowolnego zbioru liczb porz adkowych jest liczb a porz adkow a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. Wykazujemy, że z jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x z. Wówczas dla pewnego a, a z oraz x a. Aby wykazać, że x z rozważmy y x. Z za lożenia a jest liczb a porz adkow a, zatem na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest liczb a porz adkow a, a wiȩc konsekwentnie również y jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.14, Rozdzia l 8 mamy zatem: y a. Ostatecznie, z definicji sumy, y z. Wykazujemy, że x(x z x jest tranzytywny). Niech wiȩc x z. Wówczas x a oraz a z dla pewnego a. Na mocy za lożenia, a jest liczb a porz adkow a, wiȩc skoro x a, to x jest tranzytywny. Wniosek: x(x jest liczb a porz adkow a x jest liczb a porz adkow a) (suma liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a).

3 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 107 Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem na mocy Tw.2, x jest liczb a porz adkow a. Skoro dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest liczb a porz adkow a oraz na mocy Twierdzeń 11(1), 11(2) z Rozdzia lu 1, mamy: (1) y z, y z oraz (2) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) z x)], wiȩc z = supz. Zauważmy ponadto, że wed lug Tw.18, Rozdzia l 8, warunek (1) jest równoważny wyrażeniu y z, y S( z), które z kolei jest równoważne formule: (1) z S( z). Rozumuj ac analogicznie stwierdzamy, że (2) jest równoważne wyrażeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a (z S(x) z x)]. Bezpośredni a konsekwencj a (1) i (2) oraz Tw.2 jest Twierdzenie 3: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z S(x). 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Rozważmy teraz, dla dowolnego ustalonego zbioru z liczb porz adkowych, formu lȩ φ(x) postaci: z x. Na mocy Tw.2 ( 1) oraz Tw.9, Rozdzia l 8, S( z) jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.3, istnieje liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Zatem, na mocy Tw.21, Rozdzia l 8, istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że z x. Nastȩpuj ace twierdzenie podaje jej postać: Twierdzenie 4: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x. Dowód: Rozważmy dowolny zbiór liczb porz adkowych z. Na mocy Tw.4, Rozdzia l 7, S(z) = z z, zatem z S(z). Wykazujemy, że S(z) jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.2, z jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.13, Rozdzia l 8 zbiorem liczb porz adkowych. Wobec tego z z jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem każdy jego element, bȩd ac liczb a porz adkow a, jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że również sam zbiór z z jest tranzytywny. Weźmy bowiem dowolny y z z. Wówczas y z lub y z. Gdy y z, to y z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Gdy zaś y z, to na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, y z (bo y, z s a liczbami porz adkowymi). W obu przypadkach: y z z. Ostatecznie z z (tzn. S(z)) jest liczb a porz adkow a.

4 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 108 Rozważmy φ(x) postaci: z x. Wykazaliśmy do tej pory, że S(z) jest liczb a porz adkow a tak a, że φ( S(z)). Aby wykazać, że S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y tak a, że φ(y), tzn. (1) z y. Wówczas (2) z y. Weźmy bowiem dowolny x z. Zatem x a dla pewnej liczby porz adkowej a z. Z (1), a y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a (Tw.13, Rozdzia l 8), wiȩc na mocy Tw.14, Rozdzia l 8, x y. Z (1) i (2) mamy: z z y, tzn. S(z) y. W przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, na podstawie Tw.2, Rozdzia l 8 mamy: S(z) = z, i oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x jest z. Rozważmy teraz dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej a nastȩpuj ace warunki: (3) y z, y a, (4) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) a x a = x)]. Jest sensowne nazwać liczbȩ porz adkow a a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4) kresem górnym zbioru z ze wzglȩdu na relacjȩ porz adkuj ac a. Pewne w atpliwości może tu budzić nastȩpnik implikacji ( y z, y x) a x a = x w warunku (4), bowiem dla nazwania liczby a kresem górnym ze wzglȩdu na, ów nastȩpnik powinien być postaci: a x. Jednakże wówczas warunek (3) z tak zmodyfikowanym warunkiem (4), niczego nie definiuj a nie istnieje bowiem liczba porz adkowa a, która by takie warunki spe lnia la (jeśli mamy a takie, że zachodzi (3), to wed lug zmodyfikowanego warunku (4), a a, co jest niemożliwe). Jest jasne na mocy definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) oraz Tw.4 i Twierdzeń 20, 18, Rozdzia l 8, że dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje dok ladnie jedna liczba porz adkowa a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4), mianowicie a = S(z). W literaturze przedmiotu w laśnie S(z) nazywana jest kresem górnym zbioru z w klasie liczb porz adkowych. Dla odróżnienia od kresu górnego supz wzglȩdem inkluzji, oznaczmy kres górny wzglȩdem jako sup z. Zatem sup z = S(z) = z z. Ponieważ supz = z, wiȩc supz sup z, czyli supz sup z lub supz = sup z. W zależności od postaci zbioru z, każdy z tych dwóch przypadków, jeden b adź drugi, jest realizowany. Naturalnie równość obu kresów ma miejsce dok ladnie wówczas, gdy z z: (=sup) supz = sup z wtw z z.

5 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 109 Zatem w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, czyli z jest zbiorem tranzytywnym, a wiȩc z z (Tw.2, Rozdzia l 8) mamy: (=suplp) supz = sup z wtw z = z. Ponadto, dla z bȩd acego liczb a porz adkow a, supz sup z wtw supz sup z wtw z z wtw (z z z = z) wtw z z z z wtw z z, na mocy Twierdzeń 18, 17, Rozdzia l 8. Ostatecznie: ( suplp) supz sup z wtw z z. Na przyk lad dla z =, supz = sup z oraz dla dowolnej niepustej liczby naturalnej z, supz sup z, bo, jak latwo sprawdzić, wówczas z = S( z), zaś z S( z). Weźmy pod uwagȩ przyk lad zbioru z liczb porz adkowych, który nie jest liczb a porz adkow a, powiedzmy, z = N {0}. Tutaj supz = sup z, bowiem z z: jeśli x N {0}, to również S(x) N {0}, lecz x S(x), zatem x (N {0}). Niech z = {1, 2}, tzn. z = 3 {0}. Oczywiście z nie jest liczb a porz adkow a. W tym przypadku, supz sup z. Bowiem z = {1, 2} = 1 2 = 2, st ad 2 z, jednakże 2 z, zatem z z, czyli zgodnie z warunkiem (=sup), supz sup z. Zauważmy, że tutaj zachodzi: z z. Wykażemy w nastȩpnym paragrafie, że warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (nie tylko dla dowolnej liczby porz adkowej z). W ogólności kres dolny inf z niepustego zbioru z ze wzglȩdu na porz adek, może nie istnieć. Kres ten winien być bowiem liczb a porz adkow a spe lniaj ac a warunki: y z, inf z y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x inf z)]. Pierwszy z tych warunków jest równoważny formule: inf z z, drugi zaś wyrażeniu: x[x jest liczb a porz adkow a (x z x inf z)]. Lecz z = nlp(z) (zobacz poprzedni a uwagȩ). Zatem inf z by lby najwiȩksz a liczb a porz adkow a (ze wzglȩdu na inkluzjȩ) należ ac a do liczby porz adkowej nlp(z). Taka zaś liczba porz adkowa dla pewnych zbiorów z liczb porz adkowych nie istnieje. Na przyk lad, gdy z jest dowoln a niepust a liczb a porz adkow a, to nlp(z) =, wiȩc nie istnieje najwiȩksza liczba porz adkowa należ aca do nlp(z).

6 3. Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dow. zbioru liczb porz adkowych Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dowolnego zbioru liczb porz adkowych Powyżej, dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, porównaliśmy ze sob a dwie liczby porz adkowe (kresy górne zbioru z) : z, S(z), mianowicie w ogólności, z S(z). Twierdzenia 3, 4 umożliwiaj a dokonanie porównania innej pary liczb porz adkowych: S(z), S( z). Skoro S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x, zaś z S( z), wiȩc S(z) S( z). Ostatecznie mamy nastȩpuj acy Wniosek: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, (1) z S(z) S( z), (2) z S(z) S( z). Jedn a z konsekwencji tego Wniosku jest alternatywa roz l aczna: (*) albo S(z) S( z) albo S(z) = S( z), dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (na mocy Tw.18, Rozdzia l 8). Przypadek S(z) S( z) jest, wed lug Tw.6, Rozdzia l 7, równoważny warunkowi z z, a ten z kolei, na mocy (=sup) warunkowi z = S(z). Zatem, jeżeli S(z) S( z), to na mocy Wniosku, z z = S(z) S( z). W szczególności, gdy zbiór liczb porz adkowych z jest liczb a porz adkow a, a wiȩc gdy z z, warunek S(z) S( z) jest równoważny równości z = z, co już wcześniej zosta lo ustalone w Tw.6, Rozdzia l 8. Gdy wiȩc ów warunek zachodzi, to: z = z = S(z) S( z). Z kolei przypadek S(z) = S( z) jest, jak pokazuje nastȩpuj ace twierdzenie, równoważny warunkowi z z: Twierdzenie 5: S(z) = S( z). Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z z wtw Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. ( ): Za lóżmy, że z z. Wówczas na mocy Tw.7, Rozdzia l 7, S( z) S(z). Ponieważ przeciwna inkluzja zachodzi (por. Wniosek), wiȩc S(z) = S( z). ( ): oczywisty na mocy Tw.7, Rozdzia l 7. Jeśli wiȩc S(z) = S( z), to na mocy Wniosku oraz Tw.5, z z S(z) = S( z),

7 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 111 w szczególności zaś, gdy z jest liczb a porz adkow a, to: z z = S(z) = S( z). Przy okazji zauważmy, że skoro warunek S(z) S( z) jest równoważny inkluzji z z, oraz warunek S(z) = S( z) jest równoważny temu, że z z, wiȩc, na mocy (*), mamy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych prawdziw a alternatywȩ roz l aczn a: (**) albo z z albo z z. Pierwszy z cz lonów tej alternatywy, co już dawno ustalono, jest równoważny równości supz = sup z, drugi zaś wyrażeniu supz sup z. Jeśli bowiem z z, to ponieważ z S(z), wiȩc z S(z), tzn. supz sup z. Jeśli zaś z z, to prawdziwy jest pierwszy z cz lonów alternatywy (**), co oznacza równość obu kresów, zatem wówczas supz sup z. Krótko mówi ac, warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych. Zauważmy ponadto, że z alternatywy (**) uzyskujemy wyrażenie: dla dowolnej liczby porz adkowej z: albo z = z albo z z. Inn a, oczywist a konsekwencj a wyżej sformu lowanego Wniosku jest wyrażenie: dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje liczba porz adkowa x taka, że z x, z którego wynika Twierdzenie 6: Nie istnieje zbiór wszystkich liczb porz adkowych. Dowód: Za lóżmy, że z jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych. Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a tak a, że z x. Wówczas, skoro x jest liczb a porz adkow a, zaś z zbiorem wszystkich liczb porz adkowych, wiȩc x z. Wtedy jednak x x, co jest niemożliwe. Naturalnie, nie istnieje również zbiór wszystkich zbiorów tranzytywnych. Gdyby bowiem istnia l, to stosuj ac aksjomat podzbiorów z formu l a φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, oraz zmienn a woln a z oznaczaj ac a w laśnie ów zbiór, uzyskalibyśmy istnienie zbioru wszystkich liczb porz adkowych. 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Nastȩpuj acy fakt jest odpowiednikiem Tw.6, Rozdzia l 8: Twierdzenie 7: równoważne: (i) x x, Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a

8 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 112 (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x). Dowód: Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. (i) (iii): Na mocy Tw.5, x jest bowiem zbiorem liczb porz adkowych. (ii) (iii): na mocy Tw.2(i) (iv), Rozdzia l 8, x jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Tw.6, Rozdzia l 8 jest oczywiście prawdziwe dla dowolnej liczby porz adkowej x. Zauważmy, że wed lug alternatywy (*) z poprzedniego paragrafu, dla dowolnej liczby porz adkowej x przynajmniej jeden z warunków (iii) z Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 musi być spe lniony. Jest oczywiste, że jednocześnie oba te warunki nie mog a być prawdziwe. Podobnie, skoro wed lug Tw.3, x S( x), wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, dla dowolnej liczby porz adkowej x prawdziwa jest alternatywa: (***) x S( x) lub x = S( x), tzn. dla dowolnej liczby porz adkowej x dok ladnie jeden z warunków (ii) Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 jest prawdziwy. Konsekwentnie, bior ac pod uwagȩ Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7, możemy podzielić klasȩ liczb porz adkowych na dwie grupy: w jednej grupie znajduj a siȩ te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki z Tw.6, Rozdzia l 8, w drugiej grupie te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki Tw.7. Definicja. Mówimy, że liczba porz adkowa x jest izolowana, gdy istnieje liczba porz adkowa y taka, że x = S(y). Liczbȩ porz adkow a, która nie jest izolowana, nazywamy graniczn a. Twierdzenie 8: (1) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x x, (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x), (iv) supx sup x, (v) x jest izolowana. (2) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x), (iv) supx = sup x, (v) x jest graniczna. Dowód: Pierwsze trzy warunki z (1) oraz (2) s a naturalnie równoważne na mocy Tw.7 oraz Tw.6, Rozdzia l 8. Równoważności (i) (iv) z (1) oraz z (2) to warunki, odpowiednio, ( suplp), (=suplp) z 2.

9 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 113 Na mocy Tw.8, Rozdzia l 7, warunek (2)(i) implikuje warunek (2)(v). Jest oczywiste, że warunek (1)(ii) implikuje warunek (1)(v). St ad prawd a jest, że jeżeli x jest liczb a porz adkow a graniczn a (tzn. x nie jest izolowana), to x S( x). Zatem na mocy (***), x S( x), co dowodzi, że warunek (2)(v) implikuje warunek (2)(ii). Zatem 2(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (2). Analogicznie, zak ladaj ac, że x jest izolowana (a wiȩc nie jest graniczna) mamy na mocy równoważności z (2), iż x S( x), co daje (wed lug (***)): x = S( x). Tak wiȩc warunek (1)(v) implikuje warunek 1(ii), Zatem (1)(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (1). Przyk ladem liczby porz adkowej granicznej jest zbiór (bo =, zob. Tw.8(2)). Przyk ladem liczby porz adkowej izolowanej jest jakakolwiek niepusta liczba naturalna. Prawdziwa jest bowiem interpretacja tw.2 arytmetyki elementarnej, 1, Rozdzia l 7, w teorii ZFC: x N(x = y N(x = S(y))). Rozważymy teraz najmniejsze liczby porz adkowe x takie, że φ(x) dla nastȩpuj acych formu l φ(x): y x, y x, y x y x, gdzie y jest dowoln a ustalon a liczb a porz adkow a. Oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest liczba porz adkowa y. Formu la y x y x, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, jest równoważna formule y x. Zatem najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że y x jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x y x. Bior ac pod uwagȩ Tw.1 Rozdzia l 7, oczekujemy wiȩc, że najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest S(y): Twierdzenie 9: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. Naturalnie, na mocy Tw.9, Rozdzia l 8, S(y) jest liczb a porz adkow a. Wystarczy wiȩc teraz powo lać siȩ na Tw.1, Rozdzia l 7, aby skończyć dowód. Niemniej jednak wykonajmy ten dowód odwo luj ac siȩ do warunku (iii) Tw.19, Rozdzia l 8. Naturalnie y S(y), tzn. spe lnione jest φ(s(y)), gdzie φ(x) jest postaci: y x. Wykazujemy, że z(z S(y) y z). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego z : z S(y) oraz y z. Wówczas z pierwszego wyrażenia, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8 (z jest liczb a porz adkow a) mamy: z y. St ad oraz z drugiego wyrażenia, y y, co jest niemożliwe. Wniosek: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x S(y).

10 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 114 Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z: (1) y z oraz (2) z S(y). Wówczas z (1) mamy: φ(z). Ponadto, skoro na mocy Tw.9, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) (gdzie φ(x) := y x), wiȩc wed lug Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 z (2) otrzymujemy: φ(z); sprzeczność (por. również uwagȩ po dowodzie Tw.1, Rozdzia l 7, 4). Jak widać, nazwa nastȩpnik liczby porz adkowej y dla zbioru S(y) jest uzasadniona. S(y) nastȩpuje bezpośrednio po y w porz adku wyznaczonym przez relacjȩ należenia do zbioru. Rozważmy, analogicznie jak powyżej, nastȩpuj ace trzy formu ly φ(x) dla ustalonej liczby porz adkowej y: y S(x), y S(x), y S(x) y S(x). Jest oczywiste, że dla liczby porz adkowej x formu ly: y S(x) oraz y S(x) y S(x) s a równoważne. Ponadto wyrażenie y S(x) jest na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, równoważne formule y x. Zatem najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) (oraz tak a, że y S(x) y S(x)) jest liczba porz adkowa y. Interesuj acy jest wiȩc jedynie przypadek formu ly φ(x) postaci: y S(x). Na mocy Tw.3 mamy natychmiast: Wniosek 1: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) jest y. St ad oraz na podstawie Wniosku z Tw.9 otrzymujemy kolejny wniosek, analogiczny do Wniosku z Tw.9: Wniosek 2: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x y. Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z mamy: (1) y z oraz (2) z y. Na mocy Wniosku 1 (por. również alternatywȩ (***)), y S( y). Zatem z (2), z S( y). Lecz to, wraz z (1) jest, na mocy Wniosku z Tw.9 ( y jest liczb a porz adkow a), niemożliwe. Jest jasne, że w przypadku, gdy y jest liczb a porz adkow a izolowan a, a wiȩc gdy y = S( y) (Tw.8(1)), liczba porz adkowa y jest bezpośrednim poprzednikiem liczby y w porz adku liczb porz adkowych wyznaczonym relacj a.

11 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 115 W przypadku, gdy y jest liczb a graniczn a, y = y (Tw.8(2)) i wówczas y nie ma bezpośredniego poprzednika. Gdyby bowiem x by l takim bezpośrednim poprzednikiem liczby y, to y by lby jego nastȩpnikiem: y = S(x). Oznacza loby to, że y jest, wbrew za lożeniu, liczb a porz adkow a izolowan a: y jest izolowana: y S( y) y S(y) y jest graniczna: y y S( y) S(y) Naturalnie, jeżeli y jest niepust a liczb a porz adkow a graniczn a, to y jest zbiorem indukcyjnym. Istotnie, y (Tw.23, Rozdzia l 8) oraz gdy x y, to na mocy Tw.9, S(x) y, co implikuje S(x) y, skoro y jest graniczna (y S(x)). Jest również oczywiste, że jeżeli liczba porz adkowa jest zbiorem indukcyjnym, to jest ona graniczna. Izolowana liczba y nie jest bowiem zbiorem indukcyjnym, skoro y y, zaś S( y) y. Gdy y jest izolowana, to sytuacja postaci:... n y... y y y nie ma miejsca. Gdyby bowiem zachodzi la, to y mia lby nieskończone zejście: y, y, y,..., n y,.... Dok ladniej zanalizujmy możliwość takiej sytuacji w oparciu o nastȩpuj ace twierdzenia. Twierdzenie 10: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych granicznych, z jest liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych granicznych. Za lóżmy nie wprost, że z jest izolowana. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x: (1) z = S(x). Skoro x S(x), wiȩc x z, zatem z definicji sumy, dla pewnego u mamy: (2) x u oraz (3) u z. Oczywiście z (3) na mocy Tw.11(1), Rozdzia l 1, otrzymujemy: (4) u z. Na mocy Tw.9, z (2), S(x) u (wed lug (3) u jest liczb a porz adkow a), co wraz z (1) daje z u i konsekwentnie z (4) otrzymujemy: z = u. Lecz wed lug (3), u jest graniczna, zatem z jest graniczna. Sprzeczność z za lożeniem.

12 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 116 Twierdzenie 11: Dla dowolnej liczby porz adkowej izolowanej, wśród wszystkich liczb granicznych do niej należ acych, istnieje liczba najwiȩksza. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a licz a porz adkow a izolowan a. Rozważmy aksjomat podzbiorów dla formu ly φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a graniczn a x y. Na podstawie tego aksjomatu natychmiast stwierdzamy istnienie zbioru z = {x : x jest graniczna x y} wszystkich liczb porz adkowych granicznych bȩd acych elementami zbioru y. Naturalnie z (bo z) oraz (1) z y. Wykażemy, że z jest elementem najwiȩkszym w zbiorze liniowo uporz adkowanym <z, >. W tym celu rozważmy prawdziw a alternatywȩ: (2) albo z z albo z z (zobacz (**), 3). Za lóżmy, że zachodzi: (3) z z. Wówczas naturalnie z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x (taka najmniejsza liczba porz adkowa jest wed lug Tw.4 postaci S(z), co jest równe z z, co z kolei jest równe z; por. również (=sup) z 3). Zatem z (1) otrzymujemy: z y, czyli z y lub z = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz z jest zbiorem liczb granicznych, wiȩc wed lug Tw.10, z jest graniczna, tymczasem y jest izolowana. Wobec tego z y i konsekwentnie z y. Wówczas jednak, z definicji zbioru z, z z, co wobec (3) oznacza, że z z, a to jest niemożliwe (jest sk adin ad wiadome, że obydwa cz lony alternatywy (2) nie mog a być prawdziwe). Skoro nie jest prawd a, że z z, wiȩc z (2) otrzymujemy: z z. Lecz przecież u z, u z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Ostatecznie z jest najwiȩksz a liczb a porz adkow a w zbiorze z. Weźmy pod uwagȩ dowoln a liczbȩ porz adkow a izolowan a y. Na mocy Tw.11, niech ng(y) bȩdzie najwiȩksz a liczb a porz adkow a graniczn a należ ac a do y. Rozważmy zbiór y S(ng(y)). Dla dowolnej liczby porz adkowej x mamy: x y S(ng(y)) wtw (x y i x S(ng(y))) wtw (x y i x ng(y) i x ng(y)) wtw (x y i ng(y) x). Ostatecznie, y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y}. Zauważmy, że (ng) x y S(ng(y)), x jest izolowana. Gdyby bowiem pewna liczba x 0 taka, że ng(y) x 0 y by la graniczna, to by loby x 0 ng(y) i jednocześnie ng(y) x 0 oraz ng(y) x 0 (Wniosek z Tw.18, Rozdzia l 8), co jest niemożliwe. Po lóżmy dla dowolnej liczby porz adkowej x, S 0 (x) = x oraz S n+1 (x) = S(S n (x)) dla n = 0, 1,.... Lemat: Dla dowolnej liczby porz adkowej x oraz dowolnej liczby naturalnej n : S n+1 (x) = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)}.

13 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 117 Dowód: (indukcyjny). Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a (lub po prostu dowolnym zbiorem). Dla n = 0 powyższa równość jest spe lniona na mocy definicji nastȩpnika. Za lóżmy, że dla jakiegoś n równość ta jest spe lniona. Wówczas S (n+1)+1 (x) = S(S n+1 (x)) = S n+1 (x) {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)} {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x), S n+1 (x)}. Twierdzenie 12: Dla dowolnej izolowanej liczby y, zbiór y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y} jest skończony. Dowód: Za lóżmy nie wprost, że y jest tak a liczb a porz adkow a izolowan a, że {x : ng(y) x y} nie jest zbiorem skończonym. Weźmy pod uwagȩ zbiór z = {ng(y)} {x : ng(y) x y} = {x : ng(y) x y}. Wykażmy indukcyjnie, że (1) dla dowolnego n = 0, 1,..., S n (ng(y)) z. Jest oczywiste, że ng(y) z, zatem S 0 (ng(y)) z. Za lóżmy, że dla jakiegoś n N, S n (ng(y)) z. St ad (2) S n (ng(y)) y. Z (2) i przechodniości relacji, ponieważ ng(y) S(ng(y)) S 2 (ng(y))... S n (ng(y)), otrzymujemy: (3) {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} {x : ng(y) x y}. Ponieważ S(S n (ng(y)) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że S n (ng(y)) x (Tw.9), wiȩc z (2), S(S n (ng(y))) y. Dlatego S(S n (ng(y))) y lub S(S n (ng(y))) = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz równość S(S n (ng(y))) = y wraz z (3) oznacza (zob. Wniosek z Tw.9), że {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych x takich, że ng(y) x x y czyli zbiór y S(ng(y)) by lby skończony wbrew za lożeniu. Zatem S(S n (ng(y))) y, tzn. S n+1 (ng(y)) y. Naturalnie ng(y) S n+1 (ng(y)), ostatecznie S n+1 (ng(y)) z, co kończy dowód (1). Z kolei, dziȩki (1) można rozważyć funkcjȩ (ci ag) f : N z postaci: n N, f(n) = S n (ng(y)). Wykazujemy, że (4) zbiór ng(y) f (N) jest liczb a porz adkow a. Oczywiście elementami tego zbioru s a wy l acznie liczby porz adkowe, zatem zbiory tranzytywne, wystarczy wiȩc wykazać, że ng(y) f (N) jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x ng(y) f (N). Gdy x ng(y), to oczywiście x ng(y), zatem x ng(y) f (N). Niech x f (N). Wówczas x = S n (ng(y)), dla pewnego n N. Zatem x = ng(y), gdy n = 0, oraz x = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))}, gdy n 0 (zobacz lemat powyżej). Ostatecznie, x ng(y) f (N), bo gdy n 0, to {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))} f (N). Po lóżmy: u = ng(y) f (N). Na mocy (4), u u (Tw.2, Rozdzia l 8). Wykazujemy teraz, że u u, co daje równość u = u i dowodzi (Tw.8(2)), że (5) u jest graniczna.

14 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 118 Niech wiȩc x u. Zatem x ng(y) lub x f (N). Gdy x ng(y), to S(x) ng(y), bo ng(y) jest graniczna (tzn. S(x) ng(y), zaś S(x) ng(y)), st ad S(x) u. Podobnie, gdy x f (N), czyli x = S n (ng(y)) dla pewnego n N, mamy: S(x) = S n+1 (ng(y)) f (N), zatem S(x) u. Ostatecznie, skoro x S(x) oraz S(x) u, wiȩc x u. (Krótko mówi ac, wykazaliśmy tu, że zbiór u jest zamkniȩty na operacjȩ S, a ponieważ u, wiȩc u jest liczb a porz adkow a, która jest zbiorem indukcyjnym, zatem u nie jest izolowana.) Naturalnie f (N) z y, z definicji funkcji f oraz zbioru z. Oczywiście ng(y) y (bo ng(y) y). Zatem ng(y) f (N) y, tzn. u y. St ad zaś u y lub u = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz wobec (5) i za lożenia, że y jest izolowana, u y. Zatem u y. St ad, ponieważ ng(y) u (bo f(0) = ng(y), zaś f(0) u), otrzymujemy: u {x : ng(y) x y}, co, wobec (5), jest sprzeczne z wyrażeniem (ng). Wniosek: Dla dowolnej liczby izolowanej y istnieje liczba naturalna n taka, że y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n (ng(y))} = S n+1 (ng(y)). Dowód: Niech y bȩdzie izolowana. Wykazujemy, że dla pewnego n N pierwsza z równości jest spe lniona. Druga jest bezpośredni a konsekwencj a lematu powyżej. Naturalnie y = S(ng(y)) (y S(ng(y)). St ad (1) y = ng(y) {ng(y)} {x : ng(y) x y}. Zbiór {x : ng(y) x y}, na mocy Tw.12, jest skończony, zatem (2) {x : ng(y) x y} = lub (3) dla pewnego k 1, {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Gdy zachodzi (2), to z (1) mamy: (4) y = ng(y) {S 0 (ng(y))}. Gdy zachodzi (3), to mamy: (5) {x : ng(y) x y} = {S(ng(y)),..., S k (ng(y))}, bowiem ng(y) S(ng(y))... S k (ng(y)) y, oraz S(ng(y)),..., S k (ng(y)) s a jedynymi liczbami x takimi, że ng(y) x y, gdy zbiór {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Na mocy (1) i (5) otrzymujemy: y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S k (ng(y))}. 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne Powyższe ustalenia mog a wydawać siȩ nieco zbyt abstrakcyjne, w sytuacji, gdy jedynym przyk ladem liczby granicznej, jakim do tej pory dysponujemy, jest zbiór. Aby dostarczyć przyk ladów niepustych liczb granicznych, rozważymy najpierw najmniejsz a liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a.

15 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 119 Weźmy pod uwagȩ φ(x) postaci: (x jest liczb a naturaln a), lub x N. Ponieważ zachodzi φ(n) oraz N jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x nie jest liczb a naturaln a. Oznaczamy j a symbolem ω. Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 mamy zatem: (ω1) ω N oraz (ω2) y(y ω y N). Wyrażenie (ω2) jest równoważne temu, iż ω N. Ponieważ zarówno ω jak N s a liczbami porz adkowymi, wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, ω N lub ω = N, co wraz z (ω1) prowadzi do wniosku: Wniosek: ω = N, tzn. najmniejsz a liczb a porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a jest zbiór liczb naturalnych N. Twierdzenie 13: ω jest najmniejsz a niepust a liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Mamy wykazać, że ω jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), gdzie φ(x) jest postaci: x x jest graniczna. Oczywiście ω. Wykazujemy, że ω jest graniczna. Za lóżmy, że tak nie jest. Wówczas ω jest izolowana, czyli ω = S(a), dla pewnej liczby porz adkowej a. Ponieważ a S(a), wiȩc a ω, tzn. (wed lug powyższego Wniosku) a N czyli a jest liczb a naturaln a. Na mocy Tw.10, Rozdzia l 7, S(a) jest liczb a naturaln a, zatem ω N, tzn. N N, co jest niemożliwe. Zatem spe lniona jest formu la φ(ω). Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 wystarczy teraz wykazać, że y(y ω φ(y)), czyli y(y ω (y = y jest izolowana)). Weźmy wiȩc pod uwagȩ dowolny y ω taki, że y. Wówczas y jest niepust a liczb a naturaln a, zatem jest nastȩpnikiem jakiejś liczby naturalnej a, tzn. y = S(a) dla pewnej liczby porz adkowej a, czyli y jest liczb a porz adkow a izolowan a. ω nie jest jedyn a niepust a liczb a graniczn a. Aby podać nastȩpn a z kolei liczbȩ graniczn a, a wiȩc najmniejsz a liczbȩ graniczn a x tak a, że ω x musimy rozważyć aksjomat podstawiania (AxSUB) ψ, w którym formu la ψ(y, z) jest postaci: (ψ) (y ω z = y) (y ω z = S y (ω)). Na pierwszy rzut oka można by mieć w atpliwości (mog ly one już pojawić siȩ poprzednio przy okazji operowania definicj a termu S n (x)) czy (ψ) jest formu l a jȩzyka teorii ZFC, a to z tego powodu, że ci ag symboli: S y (ω), gdzie y jest przecież zbiorem, nie wydaje siȩ być termem tego jȩzyka. Oznaczenie S n (ω) ma sens, ale wówczas, gdy n nie jest żadnym zbiorem, lecz ilości a zastosowań operacji S. Aby rozwiać te w atpliwości, rozważmy skończony zbiór

16 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 120 A ω = {ω, S(ω), S(S(ω)),..., S(... (S(ω))...)}. Niech w ostatnim z wypisanych termów ilość wyst apień symbolu S wynosi n. Rozważmy liczbȩ naturaln a (zbiór) {, S( ), S(S( )),..., S(... (S( ))...)} tak a, że ilość wyst apień S w ostatnim termie również wynosi n. Zgodnie z ustalon a konwencj a notacyjn a tak a liczbȩ naturaln a oznaczamy S(n), gdzie n jest teraz liczb a naturaln a bȩd ac a zbiorem. Weźmy pod uwagȩ funkcjȩ fn ω : S(n) A ω, mianowicie fn ω = {<, ω>, <S( ), S(ω)>, <S(S( )), S(S(ω))>,..., < S(... (S( ))...), S(... (S(ω))...) >}. Oznaczmy teraz dla dowolnego y S(n), S y (ω) = fn ω (y), w szczególności wiȩc S n (ω) = fn ω (n) (n jest tutaj zbiorem). Naturalnie w ten sam sposób mamy również dla dowolnej liczby porz adkowej (czy w ogóle dowolnego zbioru) x : S n (x) = fn(n), x gdzie n jest zbiorem (fn x : S(n) A x ). Jest zatem jasne, że formu la ψ(y, z) ma w laściwie postać nastȩpuj ac a: (y ω z = y) (y ω z = f ω y (y)), w której nie mamy już do czynienia ze zbiorem y postrzeganym jako ilość zastosowań operacji S. W dalszym ci agu bȩdziemy rozważać postać (ψ), pamiȩtaj ac, że mamy tam do czynienia z pewnym skrótem definicyjnym. Formu la ψ(y, z) ustala przyporz adkowanie każdemu zbiorowi y jego samego, gdy y ω, oraz zbioru S y (ω), gdy y ω. Spe lniony jest wiȩc poprzednik w (AxSUB) ψ : y z[ψ(y, z) v(ψ(y, v) v = z)]. Wobec tego mamy nastȩpnik postaci: u z(z u y(y ω ψ(y, z)). Bior ac pod uwagȩ aksjomat identyczności mamy jedyny zbiór u, którego istnienie stwierdza powyższa formu la. Ponieważ wyrażenie y ω ψ(y, z) jest równoważne formule y ω z = S y (ω), wiȩc ów zbiór, oznaczaj ac go symbolem S ω (ω), możemy określić nastȩpuj aco: z(z S ω (ω) y(y ω z = S y (ω))). Istnieje zatem zbiór, który nieformalnie zapisalibyśmy w postaci: S ω (ω) = {ω, S(ω),..., S n (ω),...}. Twierdzenie 14: Zbiór ω S ω (ω) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest graniczna i ω x. Dowód: Wykazanie faktu, że ω S ω (ω) jest liczb a porz adkow a graniczn a przebiega analogicznie jak wykazanie warunków (4), (5) w dowodzie Tw.12. Zamiast liczby granicznej ng(y) mamy teraz liczbȩ graniczn a ω, oraz zamiast obrazu f (N) zbiór S ω (ω), który jest również obrazem zbioru N wed lug funkcji g : N S ω (ω) przyporz adkowuj acej każdej liczbie naturalnej n zbiór S n (ω).

17 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 121 Oczywiście, ω ω S ω (ω). Niech teraz x bȩdzie dowoln a liczb a graniczn a tak a, że ω x. Aby wykazać, że ω S ω (ω) x, co skończy dowód, wykazujemy, że (1) ω x oraz (2) S ω (ω) x. (1) jest oczywiste, skoro ω x (Tw.18, Rozdzia l 8). Wykazanie, że zachodzi (2) sprowadza siȩ do indukcyjnego dowodu faktu, iż n ω, S n (ω) x. Dowód ten jest podobny do wykazania waruku (1) z dowodu Tw.12. Oczywiście, S 0 (ω) x. Zak ladamy, że dla jakiegoś n, S n (ω) x. Wówczas, na mocy Tw.9, S(S n (ω)) x lub S(S n (ω)) = x. Lecz ostatnia równość nie może zachodzić skoro x jest graniczna. Zatem S n+1 (ω) x. Zauważmy, że zastosowanie aksjomatu podstawiania dla stwierdzenia istnienia zbioru S ω (ω), można uogólnić dla dowolnej operacji jednoargumentowej F oraz dowolnego zbioru X, tak, aby ustalić istnienie zbioru F ω (X). Wystarczy wzi ać pod uwagȩ ten aksjomat z formu l a ψ(y, z) postaci: (y ω z = y) (y ω z = F y (X)), aby uzyskać istnienie zbioru: F ω (X) = {z : y(y ω z = F y (X))}, nieformalnie zapisywanego w postaci: {X, F (X),..., F n (X),...}. Jasne jest wiȩc, że możemy ustalić kolejne liczby porz adkowe graniczne, mianowicie: ω 2 = ω 1 S ω (ω 1 ), gdzie ω 1 = ω S ω (ω), ω 3 = ω 2 S ω (ω 2 ),..., ω n = ω n 1 S ω (ω n 1 ),..., przy czym ω ω 1 ω 2... ω n... oraz miȩdzy nimi w porz adku ustalonym relacj a, nie ma innych liczb granicznych.

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

166 Wstȩp do statystyki matematycznej

166 Wstȩp do statystyki matematycznej 166 Wstȩp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwi azać nasz zasadniczy problem zwi azany z identyfikacj a cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

4. Decyzje dotycza ce przyznawania świadczeń pomocy materialnej. doktorantów

4. Decyzje dotycza ce przyznawania świadczeń pomocy materialnej. doktorantów ZASADY PRZYZNAWANIA ŚWIADCZEŃ POMOCY MATERIALNEJ DLA DOKTORANTÓW W INSTYTUCIE MATEMATYCZNYM POLSKIEJ AKADEMII NAUK OBOWIA ZUJA CE OD ROKU AKADEMICKIEGO 2013/14 1. PODSTAWA PRAWNA Świadczenia pomocy materialnej

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Pawe l G ladki. Problem przetargu.

Pawe l G ladki. Problem przetargu. 1 Problem przertargu Pawe l G ladki Problem przetargu. Co to jest przetarg w potocznym znaczeniu wyjaśniać chyba nie trzeba. W ujȩciu eknomicznym, za przetarg uważamy takie sytuacje, jak negocjacje handlowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Zadania z podstaw matematyki dla 1 roku informatyki 1

Zadania z podstaw matematyki dla 1 roku informatyki 1 29 września 2008, godzina 17: 13 strona 1 Zadania z podstaw matematyki dla 1 roku informatyki 1 Zadania na rozgrzewk e 1. Zaznacz na rysunku zbiory: (a) { x, y : R 2 (x 2 + y 2 > 1) [(x 2 + y 2 2) ( (x

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

w matematyce i jej konsekwencjach

w matematyce i jej konsekwencjach Onieskończoności w matematyce i jej konsekwencjach Ryszard Rȩbowski Wydzia l Nauk Technicznych i Ekonomicznych Państwowej Wyższej Szko ly Zawodowej im. Witelona w Legnicy rebowskir@pwsz-legnica.eu http://www.pwsz.legnica.edu.pl/~rebowskir

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu;

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; 3.3 Budżet nieruchomości 47 aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; danych o charakterze demograficznym celem ustalenia liczby potencjalnych nabywców, najemców; tendencji na

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń

Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek Matematyka Paulina Barbara Rozwód Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń praca magisterska studia

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych

1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych 1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych Niech X i Y bȩd a zbiorami Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór X Y = {(x, y) : x X, y Y } Dwuargumentowym dzia laniem na zbiorze

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław,

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

ś Ę ś Ę ź ś Ó ś ś Ś ć ś ź Ź ść ć ś Ż ś ś Ż Ż Ż ś Ż ź ś ś ć Ż ś ś Ż ś ś ś ś Ó ś Ż ź ś ź ś ć ź ś ś ś ć ć Ń ś ś ś ź ś ś ś ś Ń ś Ż ś ś ś Ź Ó ć Ę ś ś ś Ń Ż Ś Ż ś ś ź ź ć Ó Ó ś ś ź Ś ć Ż Ń ś ź Ą ś ś Ż ć ć ść

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

Analiza danych z użyciem programu Gretl

Analiza danych z użyciem programu Gretl Analiza danych z użyciem programu Gretl Gretl Gretl to pakiet ekonometryczny stworzony przez Allina Cottrella z Uniwersytetu Wake Forest w Pó lnocnej Karolinie w Stanach Zjednoczonych Od roku 2000 pakiet

Bardziej szczegółowo

O spl ataniu kwantowym s lów kilka

O spl ataniu kwantowym s lów kilka O spl ataniu kwantowym s lów kilka Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/kbyczuk/index.html 30 styczeń 2006 Rozważania Einsteina,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych

Bardziej szczegółowo

WIELOKRYTERIALNA OPTYMALIZACJA LINIOWA I DYSKRETNA modele preferencji i zastosowania do wspomagania decyzji

WIELOKRYTERIALNA OPTYMALIZACJA LINIOWA I DYSKRETNA modele preferencji i zastosowania do wspomagania decyzji WIELOKRYTERIALNA OPTYMALIZACJA LINIOWA I DYSKRETNA modele preferencji i zastosowania do wspomagania decyzji W lodzimierz Ogryczak Uniwersytet Warszawski Instytut Informatyki Warszawa 1997 4 Pusta strona

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

ź ż ć ć Ę ż ż ż ż ż ż ż ć ż ź Ę ć ż ż ż Ę ż ż ż ż ż ż ż ź ź ż ż ć ź ź ż ź ź ć ź ż ź ć ź ź ć ź Ę ź ż ź ż ć Ę ż ż ż ć ż ż ż ź ż ż ż ż ż ż ż ć ć ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ć ć ć ć ć ć Ę ż Ę ż ż

Bardziej szczegółowo

Ł Ą ż ż Ś Ą ż ż Ń Ę ż Ą ż ż Ą ć Ą ż ż Ą Ń ż ż Ę ż ż ż ż ćż ż Ś Ź ż Ź ć ż ż ż ż ż ć ż ż ć ż ć ż ż Ś ż ć ż ż ż ć ż ż ż ż ż ż ż Ź ż ć ż ż ż ć Ź ćż ż ć ż ż ż ż Ż Ń ż ż ż ż Ź ć ż ć ż ć ż ż ż ż ż ć ż ż ż Ź ć

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Keplera F 12 F 21

Zagadnienie Keplera F 12 F 21 Zagadnienie Keplera To zagadnienie bedzie potraktowane bardzo skrótowo i planuje podanie w tym miejscu jedynie podstawowych informacji. Zagadnienie Keplera jest dyskutowane w każdym podreczniku mechaniki.

Bardziej szczegółowo

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Liczba dzielników Postać (rozkład) kanoniczna każdej liczby N = p α1 1 pα2 2... pαr 1 pαr r. Każdy dzielnik d naszej liczby ma swojego partnera d 1 : N = d

Bardziej szczegółowo

Problemy z wnioskowaniem opartym na logice

Problemy z wnioskowaniem opartym na logice Problemy z wnioskowaniem opartym na logice Mamy rachunek predykatów pierwszego rzedu do reprezentacji wiedzy. Mamy automatyczne dowodzenie twierdzeń przy użyciu regu ly rezolucji. Mamy również mechanizmy

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Wst ep do sterowania stochastycznego i teorii filtracji

Wst ep do sterowania stochastycznego i teorii filtracji S. Peszat, J. Zabczyk Wstep do sterowania stochastycznego i teorii filtracji 28 października 2008 Spis treści 1 Wst ep..................................................... 1 1.1 Przyk lady..............................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Struktury danych 1.1 Listy, stosy i kolejki Lista to uporz adkowany ci ag elementów. Przykładami list s a wektory lub tablice

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Krzysztof Makarski 29 Wymiana Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego wyizolowanego

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

ER RATA do ksi¹ ki "Symfonia C++ Stan dard". wydanie 3. (Zawieraj¹ca tak e czysto kosmetyczne poprawki) Sporz¹dzona 4 paÿdziernika 2009.

ER RATA do ksi¹ ki Symfonia C++ Stan dard. wydanie 3. (Zawieraj¹ca tak e czysto kosmetyczne poprawki) Sporz¹dzona 4 paÿdziernika 2009. ER RATA do ksi¹ ki "Symfonia C++ Stan dard". wydanie 3. (Zawieraj¹ca tak e czysto kosmetyczne poprawki) Sporz¹dzona 4 paÿdziernika 2009. Strona wiersz G - od góry D - od do³u Jest Powinno byæ 1 6 D nadzieje

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

Modele na drzewach binarnych

Modele na drzewach binarnych Rozdzia l 2 Modele na drzewach binarnych W tym rozdziale rozważamy analogon modelu Coxa Rossa Rubinsteina (w skrócie CRR) dla cen obligacji Przedstawimy modele cen obligacji w czasie dyskretnym na drzewach

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Ś Ą Ś Ą Ś Ą Ą Ś Ą Ą ŚĆ Ą Ą Ś Ś ć ź ź Ń Ś Ą ć Ź Ą Ą Ś ć Ą Ą Ą Ś Ą ć Ą Ą ć Ą ć ć Ć Ź ć Ś Ź Ź ć Ź Ź ć Ź ź Ź Ś ź Ź ć ć Ń ź ć ć Ń Ć ź ć ć Ś ć ć ć Ź Ń ć Ź ć ć ź Ą Ś Ć Ź ź ź Ź ć ć Ś ź Ń ć ć ć ź Ą Ś Ń Ś ć ć Ź

Bardziej szczegółowo