Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej"

Transkrypt

1 Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))), { }, {, { }}, {, { }, {, { }}} 0, 1, 2, 3 0, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}. Widać, że sekwencja czterech pierwszych liczb naturalnych ma nastȩpuj ac a w lasność: (*) Każdy ze zbiorów tej sekwencji jest zbiorem wszystkich tych i tylko tych zbiorów, które w tej sekwencji s a wcześniej od niego. Rozszerzmy sekwencjȩ czterech pierwszych liczb naturalnych do nieskończoności: (1), S( ), S(S( )), S(S(S( ))),... lub (1), { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... tak, aby sekwencja ta mia la w lasność (*), tzn. pi aty wyraz tej sekwencji jest zbiorem dok ladnie poprzednich czterech zbiorów, szósty wyraz tej sekwencji jest zbiorem dok ladnie piȩciu poprzedzaj acych zbiorów itd. Jest oczywiste, na mocy Twierdzeń 9 oraz 10, Rozdzia l 7, że każdy zbiór pojawiaj acy siȩ w tejże sekwencji jest liczb a naturaln a. Nie jest wszakże oczywiste, że każda liczba naturalna (w myśl definicji teoriomnogościowej) wystȩpuje w tej sekwencji. Jednakże tak w laśnie jest. Innymi s lowy zbiór N jest dziedzin a standardowego (precyzyjniej: izomorficznego ze standardowym) modelu arytmetyki elementarnej. Za lóżmy bowiem, że tak nie jest. Niech zatem λ 0 N bȩdzie zbiorem, który w sekwencji (1) nie wystȩpuje. Interpretacja teoriomnogościowa tw. 2, 1, Rozdzia l 7, a wiȩc zdanie: x N(x = y N(x = S(y))) jest twierdzeniem ZFC. Ponieważ λ 0, wiȩc na mocy tego twierdzenia: λ 0 = S(λ 1 ) dla pewnego zbioru λ 1 N. Gdyby λ 1 wystȩpowa l w sekwencji (1), to również λ 0 (jako nastȩpnik λ 1 ) wystȩpowa lby w tejże sekwencji, a tak nie jest. Zatem λ 1 nie wystȩpuje w sekwencji. Zatem znowu λ 1 i na mocy tw.2: λ 1 = S(λ 2 ) dla pewnego zbioru λ 2 N, który nie wystȩpuje w sekwencji itd.... Ponieważ λ 1 λ 0, λ 2 λ 1,..., wiȩc sekwencja: λ 0, λ 1, λ 2,... jest nieskończonym zejściem zbioru λ 0 (Rozdzia l 2), co oznacza, że λ 0 jest zbiorem nieufundowanym; zaś zgodnie z aksjomatem ufundowania takich zbiorów w ZFC nie ma. Skoro wiȩc (1) jest sekwencj a wszystkich liczb naturalnych oraz sekwencja ta ma w lasność (*), zatem każda liczba naturalna jest zbiorem wszystkich liczb

2 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe 90 naturalnych mniejszych (wcześniejszych) od niej. Rozważmy przez chwilȩ jak akolwiek sekwencjȩ zbiorów maj ac a w lasność (*). Niech A bȩdzie dowolnie wybranym zbiorem z tej sekwencji. Wówczas zbiór A ma nastȩpuj ac a w lasność: dla dowolnego a A : a A. Jest tak dlatego, ponieważ dowolny element a zbioru A (gdy A ) znajduje siȩ w powyższej sekwencji przed zbiorem A, zatem każdy element zbioru a, bȩd ac przed a jest tym samym przed zbiorem A, tzn. należy do A. Zbiór A o takiej w lasności nazywamy tranzytywnym. Jest zatem jasne, że w lasność (*) sekwencji zbiorów implikuje to, że każdy ze zbiorów tej sekwencji jest zbiorem tranzytywnym. Nietrudno zorientować siȩ, że w lasność (*) implikuje ponadto, że każdy element jakiegokolwiek zbioru A z tej sekwencji jest zbiorem tranzytywnym. Jeśli bowiem rozważymy jakiś a A, to przecież a musi znajdować siȩ (przed A) w tej sekwencji, zatem a jest zbiorem tranzytywnym. Zbiór tranzytywny, którego każdy element jest zbiorem tranzytywnym nazywamy liczb a porz adkow a. Zatem w lasność (*) sekwencji zbiorów implikuje to, że każdy ze zbiorów tej sekwencji jest liczb a porz adkow a. Wniosek: Każda liczba naturalna jest liczb a porz adkow a (tzn. jest zbiorem tranzytywnym oraz każdy jej element jest zbiorem tranzytywnym naturalnie drugi cz lon tejże koniunkcji jest również wnioskiem z cz lonu pierwszego i Tw. 14, Rozdzia l 7). Powstaje pytanie czy jedynymi liczbami porz adkowymi s a liczby naturalne. Odpowiemy przecz aco, gdy podamy jak akolwiek sekwencjȩ zbiorów maj ac a w lasność (*) i w której wyst api chociaż jeden zbiór nie bȩd acy liczb a naturaln a. Aby podać tak a sekwencjȩ, zastanówmy siȩ najpierw nad warunkami konstrukcji jakiejkolwiek sekwencji maj acej w lasność (*). Otóż, po pierwsze, taka sekwencja zbiorów musi mieć pocz atek (pierwszy wyraz). Gdyby bowiem go nie mia la, to wybieraj ac dowolny zbiór z takiej sekwencji i uk ladaj ac wszystkie zbiory z tej sekwencji wystȩpuj ace przed tym wybranym zbiorem w odwrotnej kolejności, uzyskalibyśmy nieskończone zejście, które, jak wiadomo sk adin ad (por. Rozdzia l 2), nie może istnieć. Po drugie, pierwszy wyraz takiej sekwencji musi być zbiorem pustym, skoro pierwszy wyraz jest, jak każdy, zbiorem, którego elementami s a te i tylko te zbiory, które go w sekwencji poprzedzaj a, a przecież żadne zbiory pierwszego jej wyrazu nie poprzedzaj a. Po trzecie, dla dowolnego A, jeżeli A jest zbiorem wystȩpuj acym w takiej sekwencji oraz A nie jest jej ostatnim wyrazem, to bezpośrednio nastȩpuj acym po A wyrazem tej sekwencji jest zbiór S(A). Bowiem z definicji operacji nastȩpnika, zbiór S(A) jest jedynym zbiorem, którego elementami s a wszystkie elementy zbioru A oraz sam zbiór A. Jeśli wiȩc A nie jest ostatnim wyrazem sekwencji, to po zbiorze A musi w tej sekwencji wyst apić zbiór tych i tylko tych zbiorów, które go w tej sekwencji poprzedzaj a, a poprzedzaj a go w tej sekwencji zbiór A i te zbiory, które s a wcześniej niż A tzn. wszystkie elementy zbioru A.

3 2. Zbiory tranzytywne 91 Po czwarte, jakakolwiek sekwencja skończona maj aca w lasność (*) jest sekwencj a pocz atkowych n wyrazów sekwencji (1) dla pewnego n. Jest to oczywisty wniosek z warunków drugiego i trzeciego jakie musi spe lniać konstrukcja jakiejkolwiek sekwencji zbiorów o w lasności (*). Po pi ate, jakakolwiek sekwencja nieskończona o w lasności (*) musi zawierać sekwencjȩ (1) i jeżeli nie jest z ni a tożsama, to musi j a zawierać jako swoj a pocz atkow a czȩść w laściw a. Jest to wniosek oparty na tych samych argumentach, na których by l oparty warunek czwarty, tzn. pierwszym wyrazem nieskończonej sekwencji o w lasności (*) jest zbiór oraz bezpośrednim nastȩpnikiem jakiegokolwiek zbioru A tej sekwencji, który nie jest jej ostatnim wyrazem jest zbiór S(A). Widać wyraźnie, że znajdziemy liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a wówczas, gdy skonstruujemy nieskończon a sekwencjȩ spe lniaj ac a (*), której pocz atkow a czȩści a w laściw a jest sekwencja (1) wszystkich liczb naturalnych. Żeby tak a sekwencjȩ podać należy najpierw określić jaki to zbiór winien w niej wystȩpować bezpośrednio po wszystkich zbiorach sekwencji (1) i czy w ogóle taki zbiór istnieje. Otóż zgodnie z warunkiem (*) musi to być zbiór tych i tylko tych zbiorów, które wystȩpuj a w konstruowanej sekwencji przed nim, a wiȩc zbiór, którego elementami s a wszystkie liczby naturalne i tylko one. Krótko mówi ac jest to zbiór liczb naturalnych N. Jeżeli N nie jest ostatnim wyrazem konstruowanej sekwencji, to naturalnie bezpośrednio nastȩpnym jej wyrazem jest zbiór: S(N). Sekwencja nieskończona spe lniaj aca (*), której ostatnim wyrazem jest S(N) ma wiȩc postać:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., N, S(N). Oczywiście N, jak również S(N) s a liczbami porz adkowymi nie bȩd acymi liczbami naturalnymi. Jest jasne, że nie musimy kończyć konstruowanej sekwencji na wyrazie S(N), lecz możemy rozważyć nieskończon a sekwencjȩ o w lasności (*) bez ostatniego wyrazu, postaci:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., N, S(N), S(S(N)), S(S(S(N))),... która wskazuje na nieskończenie wiele liczb porz adkowych nie bȩd acych liczbami naturalnymi. Widać wyraźnie, że pojȩcie liczby porz adkowej jest uogólnieniem teoriomnogościowego pojȩcia liczby naturalnej. Formalnie zajmiemy siȩ liczbami porz adkowymi w nastȩpnych paragrafach. 2. Zbiory tranzytywne Definicja. Dowolny zbiór x nazywamy zbiorem tranzytywnym, gdy y(y x y x). Zbiór jest wiȩc tranzytywny, gdy każdy jego element jest jego podzbiorem.

4 2. Zbiory tranzytywne 92 Na mocy definicji inkluzji zbiorów, warunek definiuj acy tranzytywność zbioru x można zapisać w postaci: y(y x z(z y z x)) lub równoważnie: y z((z y y x) z x). Z powodu podobieństwa ostatniej formu ly do warunku przechodniości dla relacji należenia do zbioru wywodzi siȩ nazwa tranzytywny od ang. transitive przechodni. Czȩsto w literaturze przedmiotu zbiór tranzytywny nazywany bywa przechodnim. Na użytek tych wyk ladów odróżnimy jednak pojȩcia zbioru tranzytywnego i zbioru przechodniego. Definicja. Zbiór x nazwiemy przechodnim, gdy y, z, v x ((y z z v) y v), czyli gdy relacja należenia do zbioru określona na zbiorze x jest relacj a przechodni a. Przyk lad: Zbiór {, { }, {{ }}} jest tranzytywny, lecz nie jest zbiorem przechodnim. Z drugiej strony, każdy singleton jest oczywiście zbiorem przechodnim, lecz niekoniecznie tranzytywnym, np. singleton: {{ }} nie jest zbiorem tranzytywnym. Na podstawie Tw. 14, Rozdzia l 7 mamy: x N(x N), zatem zbiór liczb naturalnych jest zbiorem tranzytywnym. N jest również zbiorem przechodnim. W dalszym ci agu okaże siȩ przydatne rozważanie pewnych klas czy mnogości zbiorów, tzn. takich zespo lów zbiorów, które zbiorami w teorii ZFC nie s a. Przyk ladem takiej klasy zbiorów nie bȩd acej zbiorem (jak później to wykażemy) jest mnogość wszystkich zbiorów tranzytywnych. Uogólnijmy pojȩcia tranzytywności oraz przechodniości zbioru, aby stosowa ly siȩ one do dowolnego zespo lu zbiorów: Powiemy, że klasa zbiorów jest tranzytywna, gdy dowolny ze zbiorów tej klasy jest taki, iż każdy jego element jest również zbiorem z tej klasy. Powiemy, że klasa zbiorów jest przechodnia, gdy dla dowolnych zbiorów x, y, z z tej klasy zachodzi: (x y y z) x z. Rozważmy dla przyk ladu klasȩ wszystkich zbiorów tranzytywnych. Zbiór {, { }, {{ }}} (por. przyk lad powyżej) jest zbiorem z tej klasy, lecz jego element {{ }} nie jest zbiorem z tej klasy (tzn. nie jest zbiorem tranzytywnym). Zatem klasa wszystkich zbiorów tranzytywnych nie jest tranzytywna. Jednakże klasa ta jest przechodnia: Twierdzenie 1: y z) x z. Dla dowolnych zbiorów tranzytywnych x, y, z, (x y Dowód: Niech x y oraz y z. Ponieważ z jest tranzytywny, wiȩc y z, zatem x z. Nastȩpuj ace twierdzenie charakteryzuje pojȩcie zbioru tranzytywnego w terminach operacji P,, S:

5 2. Zbiory tranzytywne 93 Twierdzenie 2: Dla dowolnego zbioru x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x jest tranzytywny, (ii) x P (x), (iii) x x, (iv) x = S(x). Dowód: Równoważność (i) (ii) jest bezpośredni a konsekwencj a definicji zbioru tranzytywnego. (i) (iii): Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Niech y x. Wówczas y z dla pewnego z x. Wtedy z za lożenia z x, wiȩc y x. (iii) (i): Za lóżmy, że x x. Niech y x. W celu wykazania, że y x weźmy z y. Wówczas z x, zatem z za lożenia: z x. Równoważność (iii) (iv) jest bezpośredni a konsekwencj a Tw. 4, Rozdzia l 7 oraz Tw. 13(3), Rozdzia l 1. Jest oczywiste, że zbiór pusty jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że jest on elementem każdego niepustego zbioru tranzytywnego: Twierdzenie 3: Dla dowolnego niepustego tranzytywnego zbioru x : x. Dowód: Niech x bȩdzie tranzytywny i niepusty. Na mocy aksjomatu regularności niech y bȩdzie elementem minimalnym zbioru x, tzn. y x oraz y x =. Z tranzytywności zbioru x mamy: y x, zatem y x = y. Ostatecznie y = czyli x. Twierdzenie 4: Jeżeli x jest tranzytywny, to S(x) jest tranzytywny. Dowód: Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Na mocy Tw. 2, x = S(x), lecz x S(x), zatem S(x) S(x), czyli znowu wed lug Tw. 2, S(x) jest tranzytywny. Twierdzenie 5: Jeżeli x jest tranzytywny, to x jest zbiorem tranzytywnym. Dowód: Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Wówczas na mocy Tw. 2, x x. Niech y x. Zatem y x, sk ad (Tw. 11(1), Rozdzia l 1) y x, co świadczy o tym, że x jest zbiorem tranzytywnym. Twierdzenie 6: Dla dowolnego zbioru tranzytywnego x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x). Dowód: Równoważność (i) (ii) zachodzi dla dowolnego zbioru x (Tw. 5, Rozdzia l 7). Równoważność (ii) (iii) zachodzi dla dowolnego zbioru tranzytywnego x, ponieważ wówczas x = S(x) (Tw. 2).

6 3. Liczba naturalna jako liczba porz adkowa 94 Twierdzenie 7: Dla dowolnego zbioru tranzytywnego x, x x wtw S( x) x. Dowód: Jest to bezpośredni wniosek z Tw. 7, Rozdzia l 7 oraz Tw. 2(i) (iv). 3. Liczba naturalna jako liczba porz adkowa Definicja. Zbiór x nazywamy liczb a porz adkow a, gdy x jest tranzytywny oraz każdy element zbioru x jest zbiorem tranzytywnym. Twierdzenie 8: Zbiór jest liczb a porz adkow a. Dowód: Skoro prawdziwa jest formu la y(y y ), wiȩc jest zbiorem tranzytywnym. Naturalnie również prawdziwa jest formu la y(y y jest tranzytywny). St ad jest liczb a porz adkow a. Twierdzenie 9: x(x jest liczb a porz adkow a S(x) jest liczb a porz adkow a) (Nastȩpnik liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a, lub inaczej: klasa liczb porz adkowych jest zamkniȩta na operacjȩ nastȩpnika.) Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Wobec Tw. 4 wystarczy wykazać, że każdy element zbioru S(x) jest zbiorem tranzytywnym. Niech y S(x). Wówczas y x lub y = x. Gdy y x, to wobec za lożenia, że x jest liczb a porz adkow a: y jest tranzytywny. Gdy zaś y = x, to naturalnie y jest tranzytywny, bo x jest tranzytywny jako liczba porz adkowa. Twierdzenia 8 oraz 9 stanowi a podstawȩ do sformu lowania twierdzenia, iż każda liczba naturalna jest liczb a porz adkow a: Twierdzenie 10: x(x N x jest liczb a porz adkow a). Dowód: Po lóżmy w Tw. 13, Rozdzia l 7 (interpretacja aksjomatu indukcji dla liczb naturalnych) formu lȩ ψ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a. Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem tak uzyskanej implikacji. Jej poprzednik: jest liczb a porz adkow a x N(x jest liczb a porz adkow a S(x) jest liczb a porz adkow a), jest prawdziwy na mocy Tw. 8 i Tw. 9. Przyk lad: Zbiór {, { }, {{ }}}, choć tranzytywny, nie jest liczb a porz adkow a. Jego element {{ }} nie jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Na mocy Tw. 14, Rozdzia l 7, zbiór liczb naturalnych N jest tranzytywny, zaś na mocy Tw. 10 każdy element zbioru N jest tranzytywny, zatem N jest liczb a porz adkow a. Ponadto jest to liczba porz adkowa, która nie jest liczb a naturaln a (bo N N).

7 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej Paragraf ten poświȩcimy innym niż definicyjne, lecz równoważnym mu, sformu lowaniom pojȩcia liczby porz adkowej. Twierdzenie 11: Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a porz adkow a wtw x jest tranzytywny i przechodni. Dowód: ( ): Za lóżmy, że x jest liczb a porz adkow a. Naturalnie x jest wtedy zbiorem tranzytywnym. Ponieważ każdy element zbioru x jest tranzytywny, wiȩc, na mocy Tw. 1, x jest zbiorem przechodnim. ( ): Za lóżmy, że x jest zbiorem tranzytywnym i przechodnim. Aby wykazać, że każdy element zbioru x jest tranzytywny, za lóżmy, że (1) y x oraz (2) z y. Mamy wykazać, że z y. Niech wiȩc (3) v z. Z tranzytywności zbioru x oraz (1) wnosimy, iż y x, zatem z (2) otrzymujemy: (4) z x. Z (4) i z tranzytywności zbioru x mamy: z x, zatem z (3) uzyskujemy: (5) v x. Ostatecznie z przechodniości zbioru x, na podstawie (5), (4), (1), (3), (2) wnosimy, że v y. Analogicznie jak w lasność przechodniości zbioru, zdefiniujmy jego spójność: Definicja. y = z). Zbiór x nazywamy spójnym, gdy y, z x (y z z y Twierdzenie 12: Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a porz adkow a wtw x jest tranzytywny oraz spójny. Dowód: ( ): Za lóżmy, że x jest tranzytywny i spójny oraz nie wprost, że x nie jest liczb a porz adkow a. Wówczas istnieje y x, który nie jest zbiorem tranzytywnym. Czyli dla pewnego zbioru z mamy: (1) z y oraz (2) z y. Z tranzytywności zbioru x wynika, że y x, zatem z (1), z x, co implikuje: (3) z x. Na mocy (2) istnieje zbiór u taki, że (4) u z oraz (5) u y. Ponadto (6) u y.

8 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 96 Gdyby bowiem u = y, to z (4) by loby: y z, co wobec (1) oraz Wniosku z Tw. 10, Rozdzia l 2, jest niemożliwe. Na mocy (3) i (4), u x, zatem y, u s a elementami zbioru x, dlatego ze spójności tego zbioru, wobec (5) i (6) otrzymujemy: (7) y u. Lecz (7), (4), (1) wraz z Wnioskiem z Tw. 10, Rozdzia l 2, prowadz a do sprzeczności. Implikacja odwrotna do udowodnionej, a dok ladniej mówi ac zdanie liczba porz adkowa jest zbiorem spójnym, okaże siȩ bezpośrednim wnioskiem z nastȩpnych twierdzeń tego rozdzia lu (dla dowodu których, Tw.12 nie jest wykorzystywane). Najbardziej istotne poza definicyjnymi, czy też konstytutywne (w sensie, który za chwilȩ wyjaśnimy) dla klasy liczb porz adkowych s a dwa warunki, które teraz podamy w postaci Tw. 13 i Tw. 14: Twierdzenie 13: x(x jest liczb a porz adkow a y(y x y jest liczb a porz adkow a)) (Każdy element dowolnej liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a.) Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a oraz niech y x. Wówczas y jest zbiorem tranzytywnym. Aby dowieść, że jest on liczb a porz adkow a, musimy wykazać, że każdy jego element jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc z y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a, wiȩc x jest tranzytywny. Skoro wiȩc y x, to y x, zatem z x. St ad z jest tranzytywny jako element liczby porz adkowej. Twierdzenie 14: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y, z: (x y y z) x z. Dowód: oczywisty na podstawie Tw. 1. Oczywiście, Tw. 13 można interpretować jako stwierdzenie, iż klasa wszystkich liczb porz adkowych jest tranzytywna; natomiast wed lug Tw. 14, klasa ta jest przechodnia. Obecnie wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest najwiȩksz a tranzytywn a i przechodni a klas a zbiorów. Niech W (x) bȩdzie formu l a jȩzyka ZFC z dok ladnie jedn a zmienn a woln a x, dla której spe lnione s a dwa warunki: (war1) x(w (x) y(y x W (y)), (war2) x y z(w (x) W (y) W (z) (x y y z x z)). Predykat 1-argumentowy W postrzegamy jako w lasność przys luguj ac a zbiorom. Wed lug (war1) jeżeli w lasność ta przys luguje danemu zbiorowi, to przys luguje ona każdemu elementowi tego zbioru. Wed lug (war2) relacja należenia do zbioru jest przechodnia na klasie wszystkich takich zbiorów x, że W (x).

9 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 97 Nigdzie nie zak ladamy, że istnieje zbiór postaci: {x : W (x)}, gdzie W (x) spe lnia (war1), (war2). Jednakże bȩdziemy mówić o klasie czy mnogości takich zbiorów x, że W (x). Jest jasne, że wed lug (war1) taka klasa jest tranzytywna, zaś zgodnie z (war2), klasa zbiorów x takich, że W (x) jest przechodnia. Gdyby jednak istnia l dla jakiejś formu ly W (x), zbiór A = {x : W (x)}, to, jak widać, (war1) by lby równoważny stwierdzeniu: x(x A y(y x y A)), czyli x(x A x A), co jest równoważne temu, że A jest zbiorem tranzytywnym. Z kolei (war2) jest wówczas równoważny stwierdzeniu, że zbiór A jest przechodni. W ten sposób, wobec Tw.11, uzyskaliśmy przyk lad formu ly W (x), dla której zachodz a (war1) i (war2). Wystarczy mianowicie za W (x) przyj ać x A, dla jakiejkolwiek liczby porz adkowej A. W szczególności wiȩc, dla liczby porz adkowej N = {x : x jest liczb a naturaln a}. Zatem dla W (x) postaci: x jest liczb a naturaln a, warunki (war1), (war2) s a prawdziwe (oczywiście tutaj warunek (war1) to Tw.14, Rozdzia l 7). Na mocy Tw.13 oraz Tw.14 widać, że dla formu ly W (x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, warunki (war1) oraz (war2) s a prawdziwe. Wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych, tzn. klasa tych wszystkich x, że W (x), gdzie W (x) jest postaci: x jest liczb a porz adkow a, jest najwiȩksz a ze wszystkich klas zbiorów x takich, że W (x), gdzie W jest dowoln a w lasności a spe lniaj ac a (war1), (war2). Innymi s lowy, wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest najwiȩksz a tranzytywn a i przechodni a klas a zbiorów. W tym celu wykazujemy, że dla dowolnej formu ly W (x), dla której spe lnione s a (war1), (war2) zachodzi: (*) x(w (x) x jest liczb a porz adkow a). Dowodzimy najpierw, że (1) x(w (x) x jest tranzytywny). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego x prawd a jest, że W (x) oraz x nie jest tranzytywny, co oznacza, że dla pewnego y x : y x; zatem istnieje z takie, że z y oraz z x. Na mocy (war1) mamy W (y) i konsekwentnie W (z). Wówczas z (war2) skoro z y oraz y x, wiȩc z x. Sprzeczność. Pozostaje dowieść: (2) x(w (x) y(y x y jest tranzytywny)). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnych x, y jest tak, że W (x), y x oraz y nie jest tranzytywny. Na mocy (war1) mamy: W (y), zatem dalej rozumowanie przebiega tak samo jak w dowodzie dla (1) tyle, że dla zbioru y nie x. Oczywiście (1) i (2) bezpośrednio implikuj a (*). Warunek (*) ma jednoznaczn a wymowȩ: dowolna klasa zbiorów x takich, że W (x), dla W spe lniaj acego warunki (war1), (war2), a wiȩc dowolna klasa zbiorów tranzytywna i przechodnia, jest mnogości a liczb porz adkowych. St ad

10 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 98 oraz na podstawie faktu, że mnogość wszystkich liczb porz adkowych sama jest przecież klas a tranzytywn a i przechodni a, wynika, iż jest ona najwiȩksz a (w sensie zawierania ) spośród wszystkich tranzytywnych i przechodnich klas zbiorów. Na podstawie powyższych rozważań jasne jest, że warunki (war1), (war2) charakteryzuj a pojȩcie liczby porz adkowej w nastȩpuj acy sposób: Twierdzenie 15: Dla dowolnego zbioru z, z jest liczb a porz adkow a wtw istnieje formu la W (x) (z dok ladnie jedn a zmienn a woln a x) spe lniaj aca (war1), (war2) taka, że zachodzi W (z). Dowód: ( ): na mocy Tw.13, Tw.14 (W (x) ma postać: x jest liczb a porz adkow a). ( ): na mocy (*). Inaczej mówi ac, to w laśnie Twierdzenia 13, 14 konstytuuj a pojȩcie liczby porz adkowej, w takim oto sensie: możemy je traktować jako aksjomatyczn a definicjȩ klasy liczb porz adkowych (precyzyjniej predykatu jest liczb a porz adkow a ). Okazuje siȩ, że tȩ definicjȩ można zmodyfikować, analogicznie jak Tw.12 jest modyfikacj a charakterystyki pojȩcia liczby porz adkowej podanej w Tw.11, tzn. zamienić Tw.14 (warunek (war2)) mówi ace, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest przechodnia, na warunek stwierdzaj acy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest spójna. Wcześniej naturalnie należy uogólnić pojȩcie spójności zbioru do pojȩcia spójności dowolnej mnogości zbiorów: powiemy, że klasa (mnogość) zbiorów jest spójna, gdy dla dowolnych zbiorów x, y z tej klasy zachodzi: x y lub y x lub x = y. W dalszym ci agu (lecz dopiero w 6), udowodnimy, że Tw.13 i Tw.14 implikuj a spójność klasy wszystkich liczb porz adkowych. W dowodzie tym wymagane jest zastosowanie jednego z najważniejszych twierdzeń teorii liczb porz adkowych, jakim jest twierdzenie o indukcji pozaskończonej (któremu wobec tego wcześniej musimy poświȩcić uwagȩ ( 5)). Twierdzenie to jest bezpośredni a konsekwencj a Twierdzeń 13, 14. Natomiast obecnie pokażemy, że spójność dowolnej klasy zbiorów implikuje przechodniość tej klasy: Twierdzenie 16: Warunek: (war3) x y((w (x) W (y)) (x y y x x = y)) implikuje warunek (war2). Dowód: Za lóżmy (war3) oraz nie wprost, że (war2) nie zachodzi, czyli dla pewnych zbiorów x, y, z takich, że W (x), W (y), W (z) mamy: (1) x y, (2) y z, (3) x z.

11 5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej 99 Wówczas zachodzi również (4) x z. Gdyby bowiem x = z, to na mocy (2) by loby: y x, co wraz z (1) i Wnioskiem z Tw.10, Rozdzia l 2, da loby sprzeczność. Na mocy (war3) z (3) i (4) otrzymujemy: z x co wraz z (1) i (2) daje cykl: x y z x, zabroniony na mocy Wniosku z Tw.10, Rozdzia l Twierdzenie o indukcji pozaskończonej Dla klasy zbiorów x takich, że W (x), gdzie W (x) spe lnia (war1), (war2), oraz dla dowolnej formu ly φ(x) jȩzyka ZFC z przynajmniej jedn a woln a zmienn a x zachodzi twierdzenie: (**) x[w (x) ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(w (x) φ(x)) (jeżeli dla dowolnego zbioru x z tej klasy zachodzi φ(x), o ile φ jest spe lnione dla każdego elementu zbioru x, to φ(x) zachodzi dla wszystkich x z tej klasy). Intuicyjność tego twierdzenia jest widoczna w przypadku, gdy ograniczymy je do klasy (zbioru) liczb naturalnych: (**N) x[x N ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(x N φ(x)). Ograniczymy siȩ do udowodnienia twierdzenia (**) dla jednej postaci formu ly W (x) : x jest liczb a porz adkow a, czyli dla najwiȩkszej klasy zbiorów x takich, że W (x), dla W (x) spe lniaj acego (war1), (war2). Korzystać bȩdziemy w tym dowodzie wy l acznie z Tw.13 i Tw.14 czyli z warunków (war1) i (war2) dla tej specjalnej postaci formu ly W (x). Każdy latwo odtworzy dowód ogólnego twierdzenia (**) w oparciu o te warunki, na podstawie poniższego dowodu. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej: x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(x jest liczb a porz adkow a φ(x)). Dowód: Za lóżmy poprzednik dowodzonej implikacji oraz nie wprost niech a bȩdzie tak a liczb a porz adkow a, że φ(a). Na mocy aksjomatu podzbiorów, skoro prawd a jest: x((x a φ(x)) x a), wiȩc y x(x y (x a φ(x))). Zatem niech b bȩdzie takim zbiorem, że (1) x(x b (x a φ(x))). Wówczas oczywiście: (2) b wtw y(y a φ(y)). Z za lożenia, ponieważ a jest liczb a porz adkow a, wiȩc: y(y a φ(y)) φ(a). Jednakże φ(a), zatem y(y a φ(y)), co na mocy (2) daje: b. Niech wiȩc na mocy aksjomatu regularności, c bȩdzie elementem minimalnym zbioru b. Wówczas z (1) mamy:

12 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych 100 (3) c a oraz (4) φ(c). Ponieważ a jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy (3) oraz Tw.13, c jest również liczb a porz adkow a. Zatem na mocy za lożenia oraz (4), postȩpuj ac analogicznie jak poprzednio dla liczby porz adkowej a, otrzymujemy: (5) y(y c φ(y)). Mamy wiȩc d takie, że (6) d c oraz (7) φ(d). Na mocy (6) oraz Tw.13, d jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug (3),(6) i Tw.14, d a. Ostatecznie na mocy (7) i (1), d b, czyli d c b, sk ad c b, co jednak jest niemożliwe, bo c jest elementem minimalnym zbioru b. 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych Jedn a z ważnych konsekwencji twierdzenia o indukcji pozaskończonej, a wiȩc konsekwencji Tw.13 i Tw.14, jest w lasność spójności relacji na klasie liczb porz adkowych; innymi s lowy, klasa wszystkich liczb porz adkowych jest spójna: Twierdzenie 17: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, z, x = z x z z x. Dowód: Dowodzimy formu ly: x[x jest liczb a porz adkow a z(z jest liczb a porz adkow a (x = z x z z x))], korzystaj ac z twierdzenia o indukcji pozaskończonej, gdzie formu la φ(x) jest postaci: (1) z(z jest liczb a porz adkow a (x = z x z z x)). Wystarczy wiȩc wykazać poprzednik w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej: x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))]. Za lóżmy wiȩc, że x jest liczb a porz adkow a oraz (2) y(y x φ(y)). Mamy wykazać, że φ(x). W tym celu zapiszmy φ(x) z (1) w postaci: (3) z(z jest liczb a porz adkow a ψ(z)), gdzie ψ(z) := x = z x z z x. Lecz (3) jest nastȩpnikiem w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej postaci: (4) z[z jest liczb a porz adkow a ( y(y z ψ(y)) ψ(z))] z(z jest liczb a porz adkow a ψ(z)). Aby zatem uzyskać (3) dowiedźmy poprzednik implikacji (4), tzn. wykazujemy: (5) z[z jest liczb a porz adkow a ( y(y z ψ(y)) ψ(z))]. Za lóżmy zatem, że z jest liczb a porz adkow a oraz (6) y(y z ψ(y)).

13 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych 101 Aby wykazać ψ(z) czyli formu lȩ: x = z x z z x, za lóżmy, że x z. Wówczas, na mocy Tw.2, Rozdzia l 1: (7) x z z x. Niech alternatywa (7) bȩdzie prawdziwa w ten sposób, iż x z jest prawdziwe. Wówczas dla pewnego c mamy (8) c x oraz (9) c z. Z (8) i (2) mamy natychmiast: φ(c). St ad (zob. postać (1)), od l aczaj ac kwantyfikator dla wziȩtej wcześniej liczby porz adkowej z mamy: c = z c z z c. Zatem na mocy (9), c = z lub z c. Niech c = z. Wówczas z (8) otrzymujemy: z x, sk ad konsekwentnie: x z z x. Niech teraz z c. Na mocy (8) oraz Tw.13, c jest liczb a porz adkow a, zatem z x zgodnie z (8) i Tw.14. Konsekwentnie: x z z x. Teraz wykazujemy, że x z z x zak ladaj ac drugi cz lon alternatywy (7). Wówczas dla pewnego d, (10) d z oraz (11) d x. Na mocy (10) i (6) mamy: ψ(d), tzn. x = d x d d x. Z (11), x = d lub x d. Niech x = d. Wówczas z (10), x z, co daje alternatywȩ: x z z x. Niech teraz x d. Ponieważ z jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.13 oraz (10), d jest liczb a porz adkow a. Zatem na mocy Tw.14 oraz (10), x z, co znowu prowadzi do: x z z x. Jest oczywiste, że Tw.17 można wzmocnić do stwierdzenia: dla dowolnych liczb porz adkowych x, z, albo x = z albo x z albo z x, tzn. dok ladnie jeden z cz lonów alternatywy z Tw.17 jest prawdziwy dla dowolnych liczb porz adkowych x, z. Jest jasne, że nie tylko Tw.13 i Tw.14 implikuj a Tw.17, lecz ponadto, na mocy Tw.16 zastosowanego dla predykatu W postaci jest liczb a porz adkow a, Tw.17 implikuje Tw.14. Oznacza to, że koniunkcja Twierdzeń 13, 14 (tzn. aksjomatyczna definicja liczby porz adkowej) jest równoważna koniunkcji Twierdzeń 13, 17. Sk adin ad jest również oczywiste, że dowód Tw.17 w oparciu o Twierdzenia 13, 14 (pośrednio w oparciu o twierdzenie o indukcji pozaskończonej) można prze lożyć na dowód warunku (war3) z Tw.16 w oparciu o warunki (war1), (war2) (pośrednio w oparciu o twierdzenie (**)). Skoro wiȩc warunki (war1), (war2) implikuj a (war3), to stosuj ac te warunki dla fomu ly W (x) postaci: x A, uzyskujemy twierdzenie: dowolny zbiór tranzytywny i przechodni jest zbiorem spójnym, sk ad, na mocy Tw.11 uzyskujemy implikacjȩ: dowolna liczba porz adkowa jest zbiorem spójnym por. Tw.12 i uwagȩ po

14 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 102 pierwszej czȩści jego dowodu. Jedn a z konsekwencji aksjomatu ufundowania jest to, że relacja na mnogości liczb porz adkowych (skoro na klasie wszystkich zbiorów) ma w lasność przeciwzwrotności. Tw.14 wskazuje na w lasność przechodniości. Zatem, zgodnie z Tw.6(1), Rozdzia l 3, relacja, w jakiej s a dwie liczby porz adkowe x, y wówczas, gdy x y x = y, jest stosunkiem o w lasnościach czȩściowego porz adku. Okazuje siȩ, iż ów stosunek jest po prostu relacj a inkluzji: Twierdzenie 18: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y : (x y lub x = y) wtw x y (inaczej: x S(y) x y). Dowód: Niech x, y bȩd a liczbami porz adkowymi. ( ): Za lóżmy, że x y lub x = y. Niech x y. Ponieważ y jest tranzytywny, wiȩc x y. Gdy zaś x = y, to naturalnie x y. ( ): Za lóżmy, że x y oraz nie wprost niech x y oraz x y. Z Tw.17 mamy natychmiast: y x. Ponieważ x jest tranzytywny, wiȩc y x, co wraz z za lożeniem prowadzi do równości: x = y. Sprzeczność. Wniosek: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y, x y wtw (x y x y). Dowód: Niech x, y bȩd a dowolnymi liczbami porz adkowymi. ( ): Za lóżmy, że x y. Wówczas z Tw.18: x y. Oczywiście x y. Gdyby bowiem x = y, to by loby: x x, co jest niemożliwe. ( ): oczywisty na mocy Tw.18. Na podstawie Tw.17 i Tw.18 jasne jest, że relacja inkluzji ograniczona do klasy wszystkich liczb porz adkowych ma w lasność spójności: dla dowolnych liczb porz adkowych x, y : x y lub y x lub x = y. Jak widać, relacja na klasie wszystkich liczb porz adkowych jest liniowo porz adkuj aca. Ponadto, okazuje siȩ, że klasa wszystkich liczb porz adkowych z relacj a inkluzji ma w lasność dobrego uporz adkowania, co bȩdzie pokazane w kolejnym paragrafie. 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) Rozważmy dowoln a formu lȩ φ(x) jȩzyka ZFC, w której x jest zmienn a woln a oraz wszystkie te liczby porz adkowe x, dla których spe lnione jest φ(x). Gdyby istnia l zbiór: A = {x : x jest liczb a porz adkow a φ(x)}, wówczas najmniejszy element w zbiorze czȩściowo uporz adkowanym < A, > nazwalibyśmy zasadnie najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x). W ogólności nie mamy gwarancji istnienia takiego zbioru A dla dowolnej formu ly φ(x) (np. gdy φ(x) ma postać x jest liczb a naturaln a, to zbiór A istnieje, jest nim zbiór N). Jednakże pojȩcie najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) można wys lowić niezależnie od istnienia owego zbioru A, podaj ac stosowne warunki definicyjne dla najmniejszego elementu w zbiorze czȩściowo uporz adkowanym:

15 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 103 Definicja. Niech φ(x) bȩdzie dowoln a formu l a jȩzyka ZFC, w której x jest zmienn a woln a. Mówimy, że liczba porz adkowa x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) wtw φ(x 0 ) y[(y jest liczb a porz adkow a φ(y)) x 0 y]. Twierdzenie 19: Niech x 0 bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a oraz φ(x) formu l a. Nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), (ii) φ(x 0 ) y[(y jest liczb a porz adkow a y x 0 φ(y)) x 0 y], (iii) φ(x 0 ) y(y x 0 φ(y)). Dowód: (i) (ii): Za lóżmy, że x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x). Wówczas naturalnie mamy: φ(x 0 ). Za lóżmy, że y jest liczb a porz adkow a tak a, że y x 0 oraz φ(y). Wówczas z za lożenia, x 0 y i konsekwentnie na mocy Tw.18, x 0 y lub x 0 = y. Ponieważ z za lożenia drugi cz lon alternatywy nie zachodzi, wiȩc x 0 y. (ii) (i): Za lóżmy (ii) oraz niech y jest liczb a porz adkow a tak a, że φ(y). Oczywiście x 0 = y lub x 0 y. Gdy x 0 = y, to naturalnie x 0 y. Gdy zaś x 0 y, to na mocy (ii), x 0 y. Zatem wed lug Tw.18, x 0 y. (ii) (iii): Za lóżmy (ii) oraz nie wprost niech dla pewnego y 0 : y 0 x 0 oraz φ(y 0 ). Skoro y 0 x 0 zaś x 0 jest liczb a porz adkow a, wiȩc y 0 jest również liczb a porz adkow a. Ponieważ x 0 y 0 (x 0 = y 0 implikuje y 0 y 0, co jest niemożliwe), wiȩc na mocy (ii), x 0 y 0. Istnia lby zatem cykl: x 0 y 0, y 0 x 0, co jest niemożliwe. (iii) (ii): Za lóżmy (iii). Weźmy liczbȩ porz adkow a y tak a, że y x 0 oraz φ(y). Gdyby y x 0, to na podstawie (iii) by loby: φ(y). Zatem y x 0. Ostatecznie, na mocy Tw.17, x 0 y. Twierdzenie 20: Dla dowolnej formu ly φ(x) istnieje co najwyżej jedna najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Dowód: Za lóżmy, że x 0, x 1 s a najmniejszymi liczbami porz adkowymi x takimi, że φ(x). Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) otrzymujemy: (1) φ(x 0 ) y(y jest liczb a porz adkow a φ(y) x 0 y) oraz (2) φ(x 1 ) y(y jest liczb a porz adkow a φ(y) x 1 y). Wówczas z (1) mamy: x 0 x 1, z (2) zaś: x 1 x 0. Ostatecznie x 0 = x 1. Fakt, że relacja inkluzji jest na klasie wszystkich liczb porz adkowych relacj a liniowo porz adkuj ac a, oraz poniższe twierdzenie, świadcz a o tym, iż klasa ta jest przez relacjȩ inkluzji dobrze uporz adkowana. Twierdzenie 21: Jeżeli istnieje liczba porz adkowa x, dla której zachodzi φ(x), to istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x).

16 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 104 Dowód: Udowodnimy transpozycjȩ: jeżeli nie istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x), to x(x jest liczb a porz adkow a φ(x)). Za lóżmy wiȩc, że nie istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x), co na mocy Tw.19(i) (iii) oznacza, iż x[x jest liczb a porz adkow a φ(x) y(y x φ(y))], równoważnie: (1) x[(x jest liczb a porz adkow a φ(x)) y(y x φ(y))]. Nastȩpnik dowodzonej implikacji jest, jak widać, również nastȩpnikiem w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej dla formu ly ze zmienn a woln a x postaci: φ(x). Wystarczy wiȩc wykazać nastȩpuj acy poprzednik w tym twierdzeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))]. Za lóżmy nie wprost, że (2) nie zachodzi. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x 0 mamy: (3) y(y x 0 φ(y)) oraz (4) φ(x 0 ). Wtedy z (1) oraz (4) otrzymujemy: y(y x 0 φ(y)). St ad dla pewnego a : a x 0 oraz φ(a) co daje sprzeczność z (3). Jako przyk lad zastosowania pojȩcia najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) sformu lujmy: Twierdzenie 22: Zbiór jest najmniejsz a liczb a porz adkow a (precyzyjnie choć przesadnie: zbiór jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest liczb a porz adkow a). Dowód: Na mocy Tw.8 oraz definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x), gdzie φ(x) ma postać: x jest liczb a porz adkow a. Twierdzenie 23: x(x jest liczb a porz adkow a x x). Dowód: Na podstawie Tw.3 lub na podstawie Tw.22 i Tw.19(i) (ii).

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

ep do teorii mnogości

ep do teorii mnogości Wst ep do teorii mnogości Materia ly do wyk ladu dla 1 roku informatyki http://www.mimuw.edu.pl/ urzy/wtm.html Pawe l Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl 2001 2006 Po co komu teoria mnogości Fryderyk Engels definiowa

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Równoleg le sortowanie przez scalanie

Równoleg le sortowanie przez scalanie Równoleg le sortowanie przez scalanie Bartosz Zieliński 1 Zadanie Napisanie programu sortuj acego przez scalanie tablicȩ wygenerowanych losowo liczb typu double w którym każda z procedur scalania odbywa

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja

Bardziej szczegółowo

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997 Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (2)

Wstęp do Matematyki (2) Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo