Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej"

Transkrypt

1 Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))), { }, {, { }}, {, { }, {, { }}} 0, 1, 2, 3 0, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}. Widać, że sekwencja czterech pierwszych liczb naturalnych ma nastȩpuj ac a w lasność: (*) Każdy ze zbiorów tej sekwencji jest zbiorem wszystkich tych i tylko tych zbiorów, które w tej sekwencji s a wcześniej od niego. Rozszerzmy sekwencjȩ czterech pierwszych liczb naturalnych do nieskończoności: (1), S( ), S(S( )), S(S(S( ))),... lub (1), { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... tak, aby sekwencja ta mia la w lasność (*), tzn. pi aty wyraz tej sekwencji jest zbiorem dok ladnie poprzednich czterech zbiorów, szósty wyraz tej sekwencji jest zbiorem dok ladnie piȩciu poprzedzaj acych zbiorów itd. Jest oczywiste, na mocy Twierdzeń 9 oraz 10, Rozdzia l 7, że każdy zbiór pojawiaj acy siȩ w tejże sekwencji jest liczb a naturaln a. Nie jest wszakże oczywiste, że każda liczba naturalna (w myśl definicji teoriomnogościowej) wystȩpuje w tej sekwencji. Jednakże tak w laśnie jest. Innymi s lowy zbiór N jest dziedzin a standardowego (precyzyjniej: izomorficznego ze standardowym) modelu arytmetyki elementarnej. Za lóżmy bowiem, że tak nie jest. Niech zatem λ 0 N bȩdzie zbiorem, który w sekwencji (1) nie wystȩpuje. Interpretacja teoriomnogościowa tw. 2, 1, Rozdzia l 7, a wiȩc zdanie: x N(x = y N(x = S(y))) jest twierdzeniem ZFC. Ponieważ λ 0, wiȩc na mocy tego twierdzenia: λ 0 = S(λ 1 ) dla pewnego zbioru λ 1 N. Gdyby λ 1 wystȩpowa l w sekwencji (1), to również λ 0 (jako nastȩpnik λ 1 ) wystȩpowa lby w tejże sekwencji, a tak nie jest. Zatem λ 1 nie wystȩpuje w sekwencji. Zatem znowu λ 1 i na mocy tw.2: λ 1 = S(λ 2 ) dla pewnego zbioru λ 2 N, który nie wystȩpuje w sekwencji itd.... Ponieważ λ 1 λ 0, λ 2 λ 1,..., wiȩc sekwencja: λ 0, λ 1, λ 2,... jest nieskończonym zejściem zbioru λ 0 (Rozdzia l 2), co oznacza, że λ 0 jest zbiorem nieufundowanym; zaś zgodnie z aksjomatem ufundowania takich zbiorów w ZFC nie ma. Skoro wiȩc (1) jest sekwencj a wszystkich liczb naturalnych oraz sekwencja ta ma w lasność (*), zatem każda liczba naturalna jest zbiorem wszystkich liczb

2 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe 90 naturalnych mniejszych (wcześniejszych) od niej. Rozważmy przez chwilȩ jak akolwiek sekwencjȩ zbiorów maj ac a w lasność (*). Niech A bȩdzie dowolnie wybranym zbiorem z tej sekwencji. Wówczas zbiór A ma nastȩpuj ac a w lasność: dla dowolnego a A : a A. Jest tak dlatego, ponieważ dowolny element a zbioru A (gdy A ) znajduje siȩ w powyższej sekwencji przed zbiorem A, zatem każdy element zbioru a, bȩd ac przed a jest tym samym przed zbiorem A, tzn. należy do A. Zbiór A o takiej w lasności nazywamy tranzytywnym. Jest zatem jasne, że w lasność (*) sekwencji zbiorów implikuje to, że każdy ze zbiorów tej sekwencji jest zbiorem tranzytywnym. Nietrudno zorientować siȩ, że w lasność (*) implikuje ponadto, że każdy element jakiegokolwiek zbioru A z tej sekwencji jest zbiorem tranzytywnym. Jeśli bowiem rozważymy jakiś a A, to przecież a musi znajdować siȩ (przed A) w tej sekwencji, zatem a jest zbiorem tranzytywnym. Zbiór tranzytywny, którego każdy element jest zbiorem tranzytywnym nazywamy liczb a porz adkow a. Zatem w lasność (*) sekwencji zbiorów implikuje to, że każdy ze zbiorów tej sekwencji jest liczb a porz adkow a. Wniosek: Każda liczba naturalna jest liczb a porz adkow a (tzn. jest zbiorem tranzytywnym oraz każdy jej element jest zbiorem tranzytywnym naturalnie drugi cz lon tejże koniunkcji jest również wnioskiem z cz lonu pierwszego i Tw. 14, Rozdzia l 7). Powstaje pytanie czy jedynymi liczbami porz adkowymi s a liczby naturalne. Odpowiemy przecz aco, gdy podamy jak akolwiek sekwencjȩ zbiorów maj ac a w lasność (*) i w której wyst api chociaż jeden zbiór nie bȩd acy liczb a naturaln a. Aby podać tak a sekwencjȩ, zastanówmy siȩ najpierw nad warunkami konstrukcji jakiejkolwiek sekwencji maj acej w lasność (*). Otóż, po pierwsze, taka sekwencja zbiorów musi mieć pocz atek (pierwszy wyraz). Gdyby bowiem go nie mia la, to wybieraj ac dowolny zbiór z takiej sekwencji i uk ladaj ac wszystkie zbiory z tej sekwencji wystȩpuj ace przed tym wybranym zbiorem w odwrotnej kolejności, uzyskalibyśmy nieskończone zejście, które, jak wiadomo sk adin ad (por. Rozdzia l 2), nie może istnieć. Po drugie, pierwszy wyraz takiej sekwencji musi być zbiorem pustym, skoro pierwszy wyraz jest, jak każdy, zbiorem, którego elementami s a te i tylko te zbiory, które go w sekwencji poprzedzaj a, a przecież żadne zbiory pierwszego jej wyrazu nie poprzedzaj a. Po trzecie, dla dowolnego A, jeżeli A jest zbiorem wystȩpuj acym w takiej sekwencji oraz A nie jest jej ostatnim wyrazem, to bezpośrednio nastȩpuj acym po A wyrazem tej sekwencji jest zbiór S(A). Bowiem z definicji operacji nastȩpnika, zbiór S(A) jest jedynym zbiorem, którego elementami s a wszystkie elementy zbioru A oraz sam zbiór A. Jeśli wiȩc A nie jest ostatnim wyrazem sekwencji, to po zbiorze A musi w tej sekwencji wyst apić zbiór tych i tylko tych zbiorów, które go w tej sekwencji poprzedzaj a, a poprzedzaj a go w tej sekwencji zbiór A i te zbiory, które s a wcześniej niż A tzn. wszystkie elementy zbioru A.

3 2. Zbiory tranzytywne 91 Po czwarte, jakakolwiek sekwencja skończona maj aca w lasność (*) jest sekwencj a pocz atkowych n wyrazów sekwencji (1) dla pewnego n. Jest to oczywisty wniosek z warunków drugiego i trzeciego jakie musi spe lniać konstrukcja jakiejkolwiek sekwencji zbiorów o w lasności (*). Po pi ate, jakakolwiek sekwencja nieskończona o w lasności (*) musi zawierać sekwencjȩ (1) i jeżeli nie jest z ni a tożsama, to musi j a zawierać jako swoj a pocz atkow a czȩść w laściw a. Jest to wniosek oparty na tych samych argumentach, na których by l oparty warunek czwarty, tzn. pierwszym wyrazem nieskończonej sekwencji o w lasności (*) jest zbiór oraz bezpośrednim nastȩpnikiem jakiegokolwiek zbioru A tej sekwencji, który nie jest jej ostatnim wyrazem jest zbiór S(A). Widać wyraźnie, że znajdziemy liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a wówczas, gdy skonstruujemy nieskończon a sekwencjȩ spe lniaj ac a (*), której pocz atkow a czȩści a w laściw a jest sekwencja (1) wszystkich liczb naturalnych. Żeby tak a sekwencjȩ podać należy najpierw określić jaki to zbiór winien w niej wystȩpować bezpośrednio po wszystkich zbiorach sekwencji (1) i czy w ogóle taki zbiór istnieje. Otóż zgodnie z warunkiem (*) musi to być zbiór tych i tylko tych zbiorów, które wystȩpuj a w konstruowanej sekwencji przed nim, a wiȩc zbiór, którego elementami s a wszystkie liczby naturalne i tylko one. Krótko mówi ac jest to zbiór liczb naturalnych N. Jeżeli N nie jest ostatnim wyrazem konstruowanej sekwencji, to naturalnie bezpośrednio nastȩpnym jej wyrazem jest zbiór: S(N). Sekwencja nieskończona spe lniaj aca (*), której ostatnim wyrazem jest S(N) ma wiȩc postać:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., N, S(N). Oczywiście N, jak również S(N) s a liczbami porz adkowymi nie bȩd acymi liczbami naturalnymi. Jest jasne, że nie musimy kończyć konstruowanej sekwencji na wyrazie S(N), lecz możemy rozważyć nieskończon a sekwencjȩ o w lasności (*) bez ostatniego wyrazu, postaci:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., N, S(N), S(S(N)), S(S(S(N))),... która wskazuje na nieskończenie wiele liczb porz adkowych nie bȩd acych liczbami naturalnymi. Widać wyraźnie, że pojȩcie liczby porz adkowej jest uogólnieniem teoriomnogościowego pojȩcia liczby naturalnej. Formalnie zajmiemy siȩ liczbami porz adkowymi w nastȩpnych paragrafach. 2. Zbiory tranzytywne Definicja. Dowolny zbiór x nazywamy zbiorem tranzytywnym, gdy y(y x y x). Zbiór jest wiȩc tranzytywny, gdy każdy jego element jest jego podzbiorem.

4 2. Zbiory tranzytywne 92 Na mocy definicji inkluzji zbiorów, warunek definiuj acy tranzytywność zbioru x można zapisać w postaci: y(y x z(z y z x)) lub równoważnie: y z((z y y x) z x). Z powodu podobieństwa ostatniej formu ly do warunku przechodniości dla relacji należenia do zbioru wywodzi siȩ nazwa tranzytywny od ang. transitive przechodni. Czȩsto w literaturze przedmiotu zbiór tranzytywny nazywany bywa przechodnim. Na użytek tych wyk ladów odróżnimy jednak pojȩcia zbioru tranzytywnego i zbioru przechodniego. Definicja. Zbiór x nazwiemy przechodnim, gdy y, z, v x ((y z z v) y v), czyli gdy relacja należenia do zbioru określona na zbiorze x jest relacj a przechodni a. Przyk lad: Zbiór {, { }, {{ }}} jest tranzytywny, lecz nie jest zbiorem przechodnim. Z drugiej strony, każdy singleton jest oczywiście zbiorem przechodnim, lecz niekoniecznie tranzytywnym, np. singleton: {{ }} nie jest zbiorem tranzytywnym. Na podstawie Tw. 14, Rozdzia l 7 mamy: x N(x N), zatem zbiór liczb naturalnych jest zbiorem tranzytywnym. N jest również zbiorem przechodnim. W dalszym ci agu okaże siȩ przydatne rozważanie pewnych klas czy mnogości zbiorów, tzn. takich zespo lów zbiorów, które zbiorami w teorii ZFC nie s a. Przyk ladem takiej klasy zbiorów nie bȩd acej zbiorem (jak później to wykażemy) jest mnogość wszystkich zbiorów tranzytywnych. Uogólnijmy pojȩcia tranzytywności oraz przechodniości zbioru, aby stosowa ly siȩ one do dowolnego zespo lu zbiorów: Powiemy, że klasa zbiorów jest tranzytywna, gdy dowolny ze zbiorów tej klasy jest taki, iż każdy jego element jest również zbiorem z tej klasy. Powiemy, że klasa zbiorów jest przechodnia, gdy dla dowolnych zbiorów x, y, z z tej klasy zachodzi: (x y y z) x z. Rozważmy dla przyk ladu klasȩ wszystkich zbiorów tranzytywnych. Zbiór {, { }, {{ }}} (por. przyk lad powyżej) jest zbiorem z tej klasy, lecz jego element {{ }} nie jest zbiorem z tej klasy (tzn. nie jest zbiorem tranzytywnym). Zatem klasa wszystkich zbiorów tranzytywnych nie jest tranzytywna. Jednakże klasa ta jest przechodnia: Twierdzenie 1: y z) x z. Dla dowolnych zbiorów tranzytywnych x, y, z, (x y Dowód: Niech x y oraz y z. Ponieważ z jest tranzytywny, wiȩc y z, zatem x z. Nastȩpuj ace twierdzenie charakteryzuje pojȩcie zbioru tranzytywnego w terminach operacji P,, S:

5 2. Zbiory tranzytywne 93 Twierdzenie 2: Dla dowolnego zbioru x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x jest tranzytywny, (ii) x P (x), (iii) x x, (iv) x = S(x). Dowód: Równoważność (i) (ii) jest bezpośredni a konsekwencj a definicji zbioru tranzytywnego. (i) (iii): Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Niech y x. Wówczas y z dla pewnego z x. Wtedy z za lożenia z x, wiȩc y x. (iii) (i): Za lóżmy, że x x. Niech y x. W celu wykazania, że y x weźmy z y. Wówczas z x, zatem z za lożenia: z x. Równoważność (iii) (iv) jest bezpośredni a konsekwencj a Tw. 4, Rozdzia l 7 oraz Tw. 13(3), Rozdzia l 1. Jest oczywiste, że zbiór pusty jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że jest on elementem każdego niepustego zbioru tranzytywnego: Twierdzenie 3: Dla dowolnego niepustego tranzytywnego zbioru x : x. Dowód: Niech x bȩdzie tranzytywny i niepusty. Na mocy aksjomatu regularności niech y bȩdzie elementem minimalnym zbioru x, tzn. y x oraz y x =. Z tranzytywności zbioru x mamy: y x, zatem y x = y. Ostatecznie y = czyli x. Twierdzenie 4: Jeżeli x jest tranzytywny, to S(x) jest tranzytywny. Dowód: Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Na mocy Tw. 2, x = S(x), lecz x S(x), zatem S(x) S(x), czyli znowu wed lug Tw. 2, S(x) jest tranzytywny. Twierdzenie 5: Jeżeli x jest tranzytywny, to x jest zbiorem tranzytywnym. Dowód: Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Wówczas na mocy Tw. 2, x x. Niech y x. Zatem y x, sk ad (Tw. 11(1), Rozdzia l 1) y x, co świadczy o tym, że x jest zbiorem tranzytywnym. Twierdzenie 6: Dla dowolnego zbioru tranzytywnego x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x). Dowód: Równoważność (i) (ii) zachodzi dla dowolnego zbioru x (Tw. 5, Rozdzia l 7). Równoważność (ii) (iii) zachodzi dla dowolnego zbioru tranzytywnego x, ponieważ wówczas x = S(x) (Tw. 2).

6 3. Liczba naturalna jako liczba porz adkowa 94 Twierdzenie 7: Dla dowolnego zbioru tranzytywnego x, x x wtw S( x) x. Dowód: Jest to bezpośredni wniosek z Tw. 7, Rozdzia l 7 oraz Tw. 2(i) (iv). 3. Liczba naturalna jako liczba porz adkowa Definicja. Zbiór x nazywamy liczb a porz adkow a, gdy x jest tranzytywny oraz każdy element zbioru x jest zbiorem tranzytywnym. Twierdzenie 8: Zbiór jest liczb a porz adkow a. Dowód: Skoro prawdziwa jest formu la y(y y ), wiȩc jest zbiorem tranzytywnym. Naturalnie również prawdziwa jest formu la y(y y jest tranzytywny). St ad jest liczb a porz adkow a. Twierdzenie 9: x(x jest liczb a porz adkow a S(x) jest liczb a porz adkow a) (Nastȩpnik liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a, lub inaczej: klasa liczb porz adkowych jest zamkniȩta na operacjȩ nastȩpnika.) Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Wobec Tw. 4 wystarczy wykazać, że każdy element zbioru S(x) jest zbiorem tranzytywnym. Niech y S(x). Wówczas y x lub y = x. Gdy y x, to wobec za lożenia, że x jest liczb a porz adkow a: y jest tranzytywny. Gdy zaś y = x, to naturalnie y jest tranzytywny, bo x jest tranzytywny jako liczba porz adkowa. Twierdzenia 8 oraz 9 stanowi a podstawȩ do sformu lowania twierdzenia, iż każda liczba naturalna jest liczb a porz adkow a: Twierdzenie 10: x(x N x jest liczb a porz adkow a). Dowód: Po lóżmy w Tw. 13, Rozdzia l 7 (interpretacja aksjomatu indukcji dla liczb naturalnych) formu lȩ ψ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a. Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem tak uzyskanej implikacji. Jej poprzednik: jest liczb a porz adkow a x N(x jest liczb a porz adkow a S(x) jest liczb a porz adkow a), jest prawdziwy na mocy Tw. 8 i Tw. 9. Przyk lad: Zbiór {, { }, {{ }}}, choć tranzytywny, nie jest liczb a porz adkow a. Jego element {{ }} nie jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Na mocy Tw. 14, Rozdzia l 7, zbiór liczb naturalnych N jest tranzytywny, zaś na mocy Tw. 10 każdy element zbioru N jest tranzytywny, zatem N jest liczb a porz adkow a. Ponadto jest to liczba porz adkowa, która nie jest liczb a naturaln a (bo N N).

7 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej Paragraf ten poświȩcimy innym niż definicyjne, lecz równoważnym mu, sformu lowaniom pojȩcia liczby porz adkowej. Twierdzenie 11: Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a porz adkow a wtw x jest tranzytywny i przechodni. Dowód: ( ): Za lóżmy, że x jest liczb a porz adkow a. Naturalnie x jest wtedy zbiorem tranzytywnym. Ponieważ każdy element zbioru x jest tranzytywny, wiȩc, na mocy Tw. 1, x jest zbiorem przechodnim. ( ): Za lóżmy, że x jest zbiorem tranzytywnym i przechodnim. Aby wykazać, że każdy element zbioru x jest tranzytywny, za lóżmy, że (1) y x oraz (2) z y. Mamy wykazać, że z y. Niech wiȩc (3) v z. Z tranzytywności zbioru x oraz (1) wnosimy, iż y x, zatem z (2) otrzymujemy: (4) z x. Z (4) i z tranzytywności zbioru x mamy: z x, zatem z (3) uzyskujemy: (5) v x. Ostatecznie z przechodniości zbioru x, na podstawie (5), (4), (1), (3), (2) wnosimy, że v y. Analogicznie jak w lasność przechodniości zbioru, zdefiniujmy jego spójność: Definicja. y = z). Zbiór x nazywamy spójnym, gdy y, z x (y z z y Twierdzenie 12: Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a porz adkow a wtw x jest tranzytywny oraz spójny. Dowód: ( ): Za lóżmy, że x jest tranzytywny i spójny oraz nie wprost, że x nie jest liczb a porz adkow a. Wówczas istnieje y x, który nie jest zbiorem tranzytywnym. Czyli dla pewnego zbioru z mamy: (1) z y oraz (2) z y. Z tranzytywności zbioru x wynika, że y x, zatem z (1), z x, co implikuje: (3) z x. Na mocy (2) istnieje zbiór u taki, że (4) u z oraz (5) u y. Ponadto (6) u y.

8 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 96 Gdyby bowiem u = y, to z (4) by loby: y z, co wobec (1) oraz Wniosku z Tw. 10, Rozdzia l 2, jest niemożliwe. Na mocy (3) i (4), u x, zatem y, u s a elementami zbioru x, dlatego ze spójności tego zbioru, wobec (5) i (6) otrzymujemy: (7) y u. Lecz (7), (4), (1) wraz z Wnioskiem z Tw. 10, Rozdzia l 2, prowadz a do sprzeczności. Implikacja odwrotna do udowodnionej, a dok ladniej mówi ac zdanie liczba porz adkowa jest zbiorem spójnym, okaże siȩ bezpośrednim wnioskiem z nastȩpnych twierdzeń tego rozdzia lu (dla dowodu których, Tw.12 nie jest wykorzystywane). Najbardziej istotne poza definicyjnymi, czy też konstytutywne (w sensie, który za chwilȩ wyjaśnimy) dla klasy liczb porz adkowych s a dwa warunki, które teraz podamy w postaci Tw. 13 i Tw. 14: Twierdzenie 13: x(x jest liczb a porz adkow a y(y x y jest liczb a porz adkow a)) (Każdy element dowolnej liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a.) Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a oraz niech y x. Wówczas y jest zbiorem tranzytywnym. Aby dowieść, że jest on liczb a porz adkow a, musimy wykazać, że każdy jego element jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc z y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a, wiȩc x jest tranzytywny. Skoro wiȩc y x, to y x, zatem z x. St ad z jest tranzytywny jako element liczby porz adkowej. Twierdzenie 14: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y, z: (x y y z) x z. Dowód: oczywisty na podstawie Tw. 1. Oczywiście, Tw. 13 można interpretować jako stwierdzenie, iż klasa wszystkich liczb porz adkowych jest tranzytywna; natomiast wed lug Tw. 14, klasa ta jest przechodnia. Obecnie wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest najwiȩksz a tranzytywn a i przechodni a klas a zbiorów. Niech W (x) bȩdzie formu l a jȩzyka ZFC z dok ladnie jedn a zmienn a woln a x, dla której spe lnione s a dwa warunki: (war1) x(w (x) y(y x W (y)), (war2) x y z(w (x) W (y) W (z) (x y y z x z)). Predykat 1-argumentowy W postrzegamy jako w lasność przys luguj ac a zbiorom. Wed lug (war1) jeżeli w lasność ta przys luguje danemu zbiorowi, to przys luguje ona każdemu elementowi tego zbioru. Wed lug (war2) relacja należenia do zbioru jest przechodnia na klasie wszystkich takich zbiorów x, że W (x).

9 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 97 Nigdzie nie zak ladamy, że istnieje zbiór postaci: {x : W (x)}, gdzie W (x) spe lnia (war1), (war2). Jednakże bȩdziemy mówić o klasie czy mnogości takich zbiorów x, że W (x). Jest jasne, że wed lug (war1) taka klasa jest tranzytywna, zaś zgodnie z (war2), klasa zbiorów x takich, że W (x) jest przechodnia. Gdyby jednak istnia l dla jakiejś formu ly W (x), zbiór A = {x : W (x)}, to, jak widać, (war1) by lby równoważny stwierdzeniu: x(x A y(y x y A)), czyli x(x A x A), co jest równoważne temu, że A jest zbiorem tranzytywnym. Z kolei (war2) jest wówczas równoważny stwierdzeniu, że zbiór A jest przechodni. W ten sposób, wobec Tw.11, uzyskaliśmy przyk lad formu ly W (x), dla której zachodz a (war1) i (war2). Wystarczy mianowicie za W (x) przyj ać x A, dla jakiejkolwiek liczby porz adkowej A. W szczególności wiȩc, dla liczby porz adkowej N = {x : x jest liczb a naturaln a}. Zatem dla W (x) postaci: x jest liczb a naturaln a, warunki (war1), (war2) s a prawdziwe (oczywiście tutaj warunek (war1) to Tw.14, Rozdzia l 7). Na mocy Tw.13 oraz Tw.14 widać, że dla formu ly W (x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, warunki (war1) oraz (war2) s a prawdziwe. Wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych, tzn. klasa tych wszystkich x, że W (x), gdzie W (x) jest postaci: x jest liczb a porz adkow a, jest najwiȩksz a ze wszystkich klas zbiorów x takich, że W (x), gdzie W jest dowoln a w lasności a spe lniaj ac a (war1), (war2). Innymi s lowy, wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest najwiȩksz a tranzytywn a i przechodni a klas a zbiorów. W tym celu wykazujemy, że dla dowolnej formu ly W (x), dla której spe lnione s a (war1), (war2) zachodzi: (*) x(w (x) x jest liczb a porz adkow a). Dowodzimy najpierw, że (1) x(w (x) x jest tranzytywny). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego x prawd a jest, że W (x) oraz x nie jest tranzytywny, co oznacza, że dla pewnego y x : y x; zatem istnieje z takie, że z y oraz z x. Na mocy (war1) mamy W (y) i konsekwentnie W (z). Wówczas z (war2) skoro z y oraz y x, wiȩc z x. Sprzeczność. Pozostaje dowieść: (2) x(w (x) y(y x y jest tranzytywny)). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnych x, y jest tak, że W (x), y x oraz y nie jest tranzytywny. Na mocy (war1) mamy: W (y), zatem dalej rozumowanie przebiega tak samo jak w dowodzie dla (1) tyle, że dla zbioru y nie x. Oczywiście (1) i (2) bezpośrednio implikuj a (*). Warunek (*) ma jednoznaczn a wymowȩ: dowolna klasa zbiorów x takich, że W (x), dla W spe lniaj acego warunki (war1), (war2), a wiȩc dowolna klasa zbiorów tranzytywna i przechodnia, jest mnogości a liczb porz adkowych. St ad

10 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 98 oraz na podstawie faktu, że mnogość wszystkich liczb porz adkowych sama jest przecież klas a tranzytywn a i przechodni a, wynika, iż jest ona najwiȩksz a (w sensie zawierania ) spośród wszystkich tranzytywnych i przechodnich klas zbiorów. Na podstawie powyższych rozważań jasne jest, że warunki (war1), (war2) charakteryzuj a pojȩcie liczby porz adkowej w nastȩpuj acy sposób: Twierdzenie 15: Dla dowolnego zbioru z, z jest liczb a porz adkow a wtw istnieje formu la W (x) (z dok ladnie jedn a zmienn a woln a x) spe lniaj aca (war1), (war2) taka, że zachodzi W (z). Dowód: ( ): na mocy Tw.13, Tw.14 (W (x) ma postać: x jest liczb a porz adkow a). ( ): na mocy (*). Inaczej mówi ac, to w laśnie Twierdzenia 13, 14 konstytuuj a pojȩcie liczby porz adkowej, w takim oto sensie: możemy je traktować jako aksjomatyczn a definicjȩ klasy liczb porz adkowych (precyzyjniej predykatu jest liczb a porz adkow a ). Okazuje siȩ, że tȩ definicjȩ można zmodyfikować, analogicznie jak Tw.12 jest modyfikacj a charakterystyki pojȩcia liczby porz adkowej podanej w Tw.11, tzn. zamienić Tw.14 (warunek (war2)) mówi ace, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest przechodnia, na warunek stwierdzaj acy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest spójna. Wcześniej naturalnie należy uogólnić pojȩcie spójności zbioru do pojȩcia spójności dowolnej mnogości zbiorów: powiemy, że klasa (mnogość) zbiorów jest spójna, gdy dla dowolnych zbiorów x, y z tej klasy zachodzi: x y lub y x lub x = y. W dalszym ci agu (lecz dopiero w 6), udowodnimy, że Tw.13 i Tw.14 implikuj a spójność klasy wszystkich liczb porz adkowych. W dowodzie tym wymagane jest zastosowanie jednego z najważniejszych twierdzeń teorii liczb porz adkowych, jakim jest twierdzenie o indukcji pozaskończonej (któremu wobec tego wcześniej musimy poświȩcić uwagȩ ( 5)). Twierdzenie to jest bezpośredni a konsekwencj a Twierdzeń 13, 14. Natomiast obecnie pokażemy, że spójność dowolnej klasy zbiorów implikuje przechodniość tej klasy: Twierdzenie 16: Warunek: (war3) x y((w (x) W (y)) (x y y x x = y)) implikuje warunek (war2). Dowód: Za lóżmy (war3) oraz nie wprost, że (war2) nie zachodzi, czyli dla pewnych zbiorów x, y, z takich, że W (x), W (y), W (z) mamy: (1) x y, (2) y z, (3) x z.

11 5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej 99 Wówczas zachodzi również (4) x z. Gdyby bowiem x = z, to na mocy (2) by loby: y x, co wraz z (1) i Wnioskiem z Tw.10, Rozdzia l 2, da loby sprzeczność. Na mocy (war3) z (3) i (4) otrzymujemy: z x co wraz z (1) i (2) daje cykl: x y z x, zabroniony na mocy Wniosku z Tw.10, Rozdzia l Twierdzenie o indukcji pozaskończonej Dla klasy zbiorów x takich, że W (x), gdzie W (x) spe lnia (war1), (war2), oraz dla dowolnej formu ly φ(x) jȩzyka ZFC z przynajmniej jedn a woln a zmienn a x zachodzi twierdzenie: (**) x[w (x) ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(w (x) φ(x)) (jeżeli dla dowolnego zbioru x z tej klasy zachodzi φ(x), o ile φ jest spe lnione dla każdego elementu zbioru x, to φ(x) zachodzi dla wszystkich x z tej klasy). Intuicyjność tego twierdzenia jest widoczna w przypadku, gdy ograniczymy je do klasy (zbioru) liczb naturalnych: (**N) x[x N ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(x N φ(x)). Ograniczymy siȩ do udowodnienia twierdzenia (**) dla jednej postaci formu ly W (x) : x jest liczb a porz adkow a, czyli dla najwiȩkszej klasy zbiorów x takich, że W (x), dla W (x) spe lniaj acego (war1), (war2). Korzystać bȩdziemy w tym dowodzie wy l acznie z Tw.13 i Tw.14 czyli z warunków (war1) i (war2) dla tej specjalnej postaci formu ly W (x). Każdy latwo odtworzy dowód ogólnego twierdzenia (**) w oparciu o te warunki, na podstawie poniższego dowodu. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej: x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(x jest liczb a porz adkow a φ(x)). Dowód: Za lóżmy poprzednik dowodzonej implikacji oraz nie wprost niech a bȩdzie tak a liczb a porz adkow a, że φ(a). Na mocy aksjomatu podzbiorów, skoro prawd a jest: x((x a φ(x)) x a), wiȩc y x(x y (x a φ(x))). Zatem niech b bȩdzie takim zbiorem, że (1) x(x b (x a φ(x))). Wówczas oczywiście: (2) b wtw y(y a φ(y)). Z za lożenia, ponieważ a jest liczb a porz adkow a, wiȩc: y(y a φ(y)) φ(a). Jednakże φ(a), zatem y(y a φ(y)), co na mocy (2) daje: b. Niech wiȩc na mocy aksjomatu regularności, c bȩdzie elementem minimalnym zbioru b. Wówczas z (1) mamy:

12 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych 100 (3) c a oraz (4) φ(c). Ponieważ a jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy (3) oraz Tw.13, c jest również liczb a porz adkow a. Zatem na mocy za lożenia oraz (4), postȩpuj ac analogicznie jak poprzednio dla liczby porz adkowej a, otrzymujemy: (5) y(y c φ(y)). Mamy wiȩc d takie, że (6) d c oraz (7) φ(d). Na mocy (6) oraz Tw.13, d jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug (3),(6) i Tw.14, d a. Ostatecznie na mocy (7) i (1), d b, czyli d c b, sk ad c b, co jednak jest niemożliwe, bo c jest elementem minimalnym zbioru b. 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych Jedn a z ważnych konsekwencji twierdzenia o indukcji pozaskończonej, a wiȩc konsekwencji Tw.13 i Tw.14, jest w lasność spójności relacji na klasie liczb porz adkowych; innymi s lowy, klasa wszystkich liczb porz adkowych jest spójna: Twierdzenie 17: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, z, x = z x z z x. Dowód: Dowodzimy formu ly: x[x jest liczb a porz adkow a z(z jest liczb a porz adkow a (x = z x z z x))], korzystaj ac z twierdzenia o indukcji pozaskończonej, gdzie formu la φ(x) jest postaci: (1) z(z jest liczb a porz adkow a (x = z x z z x)). Wystarczy wiȩc wykazać poprzednik w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej: x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))]. Za lóżmy wiȩc, że x jest liczb a porz adkow a oraz (2) y(y x φ(y)). Mamy wykazać, że φ(x). W tym celu zapiszmy φ(x) z (1) w postaci: (3) z(z jest liczb a porz adkow a ψ(z)), gdzie ψ(z) := x = z x z z x. Lecz (3) jest nastȩpnikiem w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej postaci: (4) z[z jest liczb a porz adkow a ( y(y z ψ(y)) ψ(z))] z(z jest liczb a porz adkow a ψ(z)). Aby zatem uzyskać (3) dowiedźmy poprzednik implikacji (4), tzn. wykazujemy: (5) z[z jest liczb a porz adkow a ( y(y z ψ(y)) ψ(z))]. Za lóżmy zatem, że z jest liczb a porz adkow a oraz (6) y(y z ψ(y)).

13 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych 101 Aby wykazać ψ(z) czyli formu lȩ: x = z x z z x, za lóżmy, że x z. Wówczas, na mocy Tw.2, Rozdzia l 1: (7) x z z x. Niech alternatywa (7) bȩdzie prawdziwa w ten sposób, iż x z jest prawdziwe. Wówczas dla pewnego c mamy (8) c x oraz (9) c z. Z (8) i (2) mamy natychmiast: φ(c). St ad (zob. postać (1)), od l aczaj ac kwantyfikator dla wziȩtej wcześniej liczby porz adkowej z mamy: c = z c z z c. Zatem na mocy (9), c = z lub z c. Niech c = z. Wówczas z (8) otrzymujemy: z x, sk ad konsekwentnie: x z z x. Niech teraz z c. Na mocy (8) oraz Tw.13, c jest liczb a porz adkow a, zatem z x zgodnie z (8) i Tw.14. Konsekwentnie: x z z x. Teraz wykazujemy, że x z z x zak ladaj ac drugi cz lon alternatywy (7). Wówczas dla pewnego d, (10) d z oraz (11) d x. Na mocy (10) i (6) mamy: ψ(d), tzn. x = d x d d x. Z (11), x = d lub x d. Niech x = d. Wówczas z (10), x z, co daje alternatywȩ: x z z x. Niech teraz x d. Ponieważ z jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.13 oraz (10), d jest liczb a porz adkow a. Zatem na mocy Tw.14 oraz (10), x z, co znowu prowadzi do: x z z x. Jest oczywiste, że Tw.17 można wzmocnić do stwierdzenia: dla dowolnych liczb porz adkowych x, z, albo x = z albo x z albo z x, tzn. dok ladnie jeden z cz lonów alternatywy z Tw.17 jest prawdziwy dla dowolnych liczb porz adkowych x, z. Jest jasne, że nie tylko Tw.13 i Tw.14 implikuj a Tw.17, lecz ponadto, na mocy Tw.16 zastosowanego dla predykatu W postaci jest liczb a porz adkow a, Tw.17 implikuje Tw.14. Oznacza to, że koniunkcja Twierdzeń 13, 14 (tzn. aksjomatyczna definicja liczby porz adkowej) jest równoważna koniunkcji Twierdzeń 13, 17. Sk adin ad jest również oczywiste, że dowód Tw.17 w oparciu o Twierdzenia 13, 14 (pośrednio w oparciu o twierdzenie o indukcji pozaskończonej) można prze lożyć na dowód warunku (war3) z Tw.16 w oparciu o warunki (war1), (war2) (pośrednio w oparciu o twierdzenie (**)). Skoro wiȩc warunki (war1), (war2) implikuj a (war3), to stosuj ac te warunki dla fomu ly W (x) postaci: x A, uzyskujemy twierdzenie: dowolny zbiór tranzytywny i przechodni jest zbiorem spójnym, sk ad, na mocy Tw.11 uzyskujemy implikacjȩ: dowolna liczba porz adkowa jest zbiorem spójnym por. Tw.12 i uwagȩ po

14 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 102 pierwszej czȩści jego dowodu. Jedn a z konsekwencji aksjomatu ufundowania jest to, że relacja na mnogości liczb porz adkowych (skoro na klasie wszystkich zbiorów) ma w lasność przeciwzwrotności. Tw.14 wskazuje na w lasność przechodniości. Zatem, zgodnie z Tw.6(1), Rozdzia l 3, relacja, w jakiej s a dwie liczby porz adkowe x, y wówczas, gdy x y x = y, jest stosunkiem o w lasnościach czȩściowego porz adku. Okazuje siȩ, iż ów stosunek jest po prostu relacj a inkluzji: Twierdzenie 18: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y : (x y lub x = y) wtw x y (inaczej: x S(y) x y). Dowód: Niech x, y bȩd a liczbami porz adkowymi. ( ): Za lóżmy, że x y lub x = y. Niech x y. Ponieważ y jest tranzytywny, wiȩc x y. Gdy zaś x = y, to naturalnie x y. ( ): Za lóżmy, że x y oraz nie wprost niech x y oraz x y. Z Tw.17 mamy natychmiast: y x. Ponieważ x jest tranzytywny, wiȩc y x, co wraz z za lożeniem prowadzi do równości: x = y. Sprzeczność. Wniosek: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y, x y wtw (x y x y). Dowód: Niech x, y bȩd a dowolnymi liczbami porz adkowymi. ( ): Za lóżmy, że x y. Wówczas z Tw.18: x y. Oczywiście x y. Gdyby bowiem x = y, to by loby: x x, co jest niemożliwe. ( ): oczywisty na mocy Tw.18. Na podstawie Tw.17 i Tw.18 jasne jest, że relacja inkluzji ograniczona do klasy wszystkich liczb porz adkowych ma w lasność spójności: dla dowolnych liczb porz adkowych x, y : x y lub y x lub x = y. Jak widać, relacja na klasie wszystkich liczb porz adkowych jest liniowo porz adkuj aca. Ponadto, okazuje siȩ, że klasa wszystkich liczb porz adkowych z relacj a inkluzji ma w lasność dobrego uporz adkowania, co bȩdzie pokazane w kolejnym paragrafie. 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) Rozważmy dowoln a formu lȩ φ(x) jȩzyka ZFC, w której x jest zmienn a woln a oraz wszystkie te liczby porz adkowe x, dla których spe lnione jest φ(x). Gdyby istnia l zbiór: A = {x : x jest liczb a porz adkow a φ(x)}, wówczas najmniejszy element w zbiorze czȩściowo uporz adkowanym < A, > nazwalibyśmy zasadnie najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x). W ogólności nie mamy gwarancji istnienia takiego zbioru A dla dowolnej formu ly φ(x) (np. gdy φ(x) ma postać x jest liczb a naturaln a, to zbiór A istnieje, jest nim zbiór N). Jednakże pojȩcie najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) można wys lowić niezależnie od istnienia owego zbioru A, podaj ac stosowne warunki definicyjne dla najmniejszego elementu w zbiorze czȩściowo uporz adkowanym:

15 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 103 Definicja. Niech φ(x) bȩdzie dowoln a formu l a jȩzyka ZFC, w której x jest zmienn a woln a. Mówimy, że liczba porz adkowa x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) wtw φ(x 0 ) y[(y jest liczb a porz adkow a φ(y)) x 0 y]. Twierdzenie 19: Niech x 0 bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a oraz φ(x) formu l a. Nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), (ii) φ(x 0 ) y[(y jest liczb a porz adkow a y x 0 φ(y)) x 0 y], (iii) φ(x 0 ) y(y x 0 φ(y)). Dowód: (i) (ii): Za lóżmy, że x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x). Wówczas naturalnie mamy: φ(x 0 ). Za lóżmy, że y jest liczb a porz adkow a tak a, że y x 0 oraz φ(y). Wówczas z za lożenia, x 0 y i konsekwentnie na mocy Tw.18, x 0 y lub x 0 = y. Ponieważ z za lożenia drugi cz lon alternatywy nie zachodzi, wiȩc x 0 y. (ii) (i): Za lóżmy (ii) oraz niech y jest liczb a porz adkow a tak a, że φ(y). Oczywiście x 0 = y lub x 0 y. Gdy x 0 = y, to naturalnie x 0 y. Gdy zaś x 0 y, to na mocy (ii), x 0 y. Zatem wed lug Tw.18, x 0 y. (ii) (iii): Za lóżmy (ii) oraz nie wprost niech dla pewnego y 0 : y 0 x 0 oraz φ(y 0 ). Skoro y 0 x 0 zaś x 0 jest liczb a porz adkow a, wiȩc y 0 jest również liczb a porz adkow a. Ponieważ x 0 y 0 (x 0 = y 0 implikuje y 0 y 0, co jest niemożliwe), wiȩc na mocy (ii), x 0 y 0. Istnia lby zatem cykl: x 0 y 0, y 0 x 0, co jest niemożliwe. (iii) (ii): Za lóżmy (iii). Weźmy liczbȩ porz adkow a y tak a, że y x 0 oraz φ(y). Gdyby y x 0, to na podstawie (iii) by loby: φ(y). Zatem y x 0. Ostatecznie, na mocy Tw.17, x 0 y. Twierdzenie 20: Dla dowolnej formu ly φ(x) istnieje co najwyżej jedna najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Dowód: Za lóżmy, że x 0, x 1 s a najmniejszymi liczbami porz adkowymi x takimi, że φ(x). Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) otrzymujemy: (1) φ(x 0 ) y(y jest liczb a porz adkow a φ(y) x 0 y) oraz (2) φ(x 1 ) y(y jest liczb a porz adkow a φ(y) x 1 y). Wówczas z (1) mamy: x 0 x 1, z (2) zaś: x 1 x 0. Ostatecznie x 0 = x 1. Fakt, że relacja inkluzji jest na klasie wszystkich liczb porz adkowych relacj a liniowo porz adkuj ac a, oraz poniższe twierdzenie, świadcz a o tym, iż klasa ta jest przez relacjȩ inkluzji dobrze uporz adkowana. Twierdzenie 21: Jeżeli istnieje liczba porz adkowa x, dla której zachodzi φ(x), to istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x).

16 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 104 Dowód: Udowodnimy transpozycjȩ: jeżeli nie istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x), to x(x jest liczb a porz adkow a φ(x)). Za lóżmy wiȩc, że nie istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x), co na mocy Tw.19(i) (iii) oznacza, iż x[x jest liczb a porz adkow a φ(x) y(y x φ(y))], równoważnie: (1) x[(x jest liczb a porz adkow a φ(x)) y(y x φ(y))]. Nastȩpnik dowodzonej implikacji jest, jak widać, również nastȩpnikiem w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej dla formu ly ze zmienn a woln a x postaci: φ(x). Wystarczy wiȩc wykazać nastȩpuj acy poprzednik w tym twierdzeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))]. Za lóżmy nie wprost, że (2) nie zachodzi. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x 0 mamy: (3) y(y x 0 φ(y)) oraz (4) φ(x 0 ). Wtedy z (1) oraz (4) otrzymujemy: y(y x 0 φ(y)). St ad dla pewnego a : a x 0 oraz φ(a) co daje sprzeczność z (3). Jako przyk lad zastosowania pojȩcia najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) sformu lujmy: Twierdzenie 22: Zbiór jest najmniejsz a liczb a porz adkow a (precyzyjnie choć przesadnie: zbiór jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest liczb a porz adkow a). Dowód: Na mocy Tw.8 oraz definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x), gdzie φ(x) ma postać: x jest liczb a porz adkow a. Twierdzenie 23: x(x jest liczb a porz adkow a x x). Dowód: Na podstawie Tw.3 lub na podstawie Tw.22 i Tw.19(i) (ii).

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

166 Wstȩp do statystyki matematycznej

166 Wstȩp do statystyki matematycznej 166 Wstȩp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwi azać nasz zasadniczy problem zwi azany z identyfikacj a cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

4. Decyzje dotycza ce przyznawania świadczeń pomocy materialnej. doktorantów

4. Decyzje dotycza ce przyznawania świadczeń pomocy materialnej. doktorantów ZASADY PRZYZNAWANIA ŚWIADCZEŃ POMOCY MATERIALNEJ DLA DOKTORANTÓW W INSTYTUCIE MATEMATYCZNYM POLSKIEJ AKADEMII NAUK OBOWIA ZUJA CE OD ROKU AKADEMICKIEGO 2013/14 1. PODSTAWA PRAWNA Świadczenia pomocy materialnej

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

w matematyce i jej konsekwencjach

w matematyce i jej konsekwencjach Onieskończoności w matematyce i jej konsekwencjach Ryszard Rȩbowski Wydzia l Nauk Technicznych i Ekonomicznych Państwowej Wyższej Szko ly Zawodowej im. Witelona w Legnicy rebowskir@pwsz-legnica.eu http://www.pwsz.legnica.edu.pl/~rebowskir

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Pawe l G ladki. Problem przetargu.

Pawe l G ladki. Problem przetargu. 1 Problem przertargu Pawe l G ladki Problem przetargu. Co to jest przetarg w potocznym znaczeniu wyjaśniać chyba nie trzeba. W ujȩciu eknomicznym, za przetarg uważamy takie sytuacje, jak negocjacje handlowe

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................

Bardziej szczegółowo

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu;

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; 3.3 Budżet nieruchomości 47 aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; danych o charakterze demograficznym celem ustalenia liczby potencjalnych nabywców, najemców; tendencji na

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń

Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek Matematyka Paulina Barbara Rozwód Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń praca magisterska studia

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

Zadania z podstaw matematyki dla 1 roku informatyki 1

Zadania z podstaw matematyki dla 1 roku informatyki 1 29 września 2008, godzina 17: 13 strona 1 Zadania z podstaw matematyki dla 1 roku informatyki 1 Zadania na rozgrzewk e 1. Zaznacz na rysunku zbiory: (a) { x, y : R 2 (x 2 + y 2 > 1) [(x 2 + y 2 2) ( (x

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

WIELOKRYTERIALNA OPTYMALIZACJA LINIOWA I DYSKRETNA modele preferencji i zastosowania do wspomagania decyzji

WIELOKRYTERIALNA OPTYMALIZACJA LINIOWA I DYSKRETNA modele preferencji i zastosowania do wspomagania decyzji WIELOKRYTERIALNA OPTYMALIZACJA LINIOWA I DYSKRETNA modele preferencji i zastosowania do wspomagania decyzji W lodzimierz Ogryczak Uniwersytet Warszawski Instytut Informatyki Warszawa 1997 4 Pusta strona

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty programowania

Paradygmaty programowania Paradygmaty programowania Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz 15 kwietnia 2014 Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz () Paradygmaty programowania 15 kwietnia 2014 1 / 12 Zadanie 1 Zadanie 1 Rachunek predykatów

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych

1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych 1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych Niech X i Y bȩd a zbiorami Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór X Y = {(x, y) : x X, y Y } Dwuargumentowym dzia laniem na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Problemy z wnioskowaniem opartym na logice

Problemy z wnioskowaniem opartym na logice Problemy z wnioskowaniem opartym na logice Mamy rachunek predykatów pierwszego rzedu do reprezentacji wiedzy. Mamy automatyczne dowodzenie twierdzeń przy użyciu regu ly rezolucji. Mamy również mechanizmy

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

Ł Ą ż ż Ś Ą ż ż Ń Ę ż Ą ż ż Ą ć Ą ż ż Ą Ń ż ż Ę ż ż ż ż ćż ż Ś Ź ż Ź ć ż ż ż ż ż ć ż ż ć ż ć ż ż Ś ż ć ż ż ż ć ż ż ż ż ż ż ż Ź ż ć ż ż ż ć Ź ćż ż ć ż ż ż ż Ż Ń ż ż ż ż Ź ć ż ć ż ć ż ż ż ż ż ć ż ż ż Ź ć

Bardziej szczegółowo

ź ż ć ć Ę ż ż ż ż ż ż ż ć ż ź Ę ć ż ż ż Ę ż ż ż ż ż ż ż ź ź ż ż ć ź ź ż ź ź ć ź ż ź ć ź ź ć ź Ę ź ż ź ż ć Ę ż ż ż ć ż ż ż ź ż ż ż ż ż ż ż ć ć ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ć ć ć ć ć ć Ę ż Ę ż ż

Bardziej szczegółowo

Bazy danych 3. Normalizacja baz danych

Bazy danych 3. Normalizacja baz danych Bazy danych 3. Normalizacja baz danych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011/12 Pierwsza postać normalna Tabela jest w pierwszej postaci normalnej (1PN), jeżeli 1. Tabela posiada klucz.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI

GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI SZCZECIN 2002 Spis treści Przedmowa.................................................. 5 1. Elementy

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Struktury danych 1.1 Listy, stosy i kolejki Lista to uporz adkowany ci ag elementów. Przykładami list s a wektory lub tablice

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

O spl ataniu kwantowym s lów kilka

O spl ataniu kwantowym s lów kilka O spl ataniu kwantowym s lów kilka Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/kbyczuk/index.html 30 styczeń 2006 Rozważania Einsteina,

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Krzysztof Makarski 29 Wymiana Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego wyizolowanego

Bardziej szczegółowo

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

Proces rozproszony 1

Proces rozproszony 1 Proces rozproszony 1 Plan wykładu Celem wykładu jest zapoznanie słuchacza z podstawowymi pojęciami związanymi z przetwarzaniem rozproszonym. Wykład ten jest kontynuacją wykładu poprzedniego, w którym zdefiniowano

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do pakietu STATA

Wprowadzenie do pakietu STATA Wprowadzenie do pakietu Ma lgorzata Kalbarczyk-Stȩclik Uniwersytet Warszawski mkalbarczyk@wne.uw.edu.pl Październik 02, 2014 Plan 1 Podstawowe informacje o kursie Warunki zaliczenia Prezentacje Zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Analiza danych z użyciem programu Gretl

Analiza danych z użyciem programu Gretl Analiza danych z użyciem programu Gretl Gretl Gretl to pakiet ekonometryczny stworzony przez Allina Cottrella z Uniwersytetu Wake Forest w Pó lnocnej Karolinie w Stanach Zjednoczonych Od roku 2000 pakiet

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe w zadaniach

Przestrzenie liniowe w zadaniach Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,

Bardziej szczegółowo

ER RATA do ksi¹ ki "Symfonia C++ Stan dard". wydanie 3. (Zawieraj¹ca tak e czysto kosmetyczne poprawki) Sporz¹dzona 4 paÿdziernika 2009.

ER RATA do ksi¹ ki Symfonia C++ Stan dard. wydanie 3. (Zawieraj¹ca tak e czysto kosmetyczne poprawki) Sporz¹dzona 4 paÿdziernika 2009. ER RATA do ksi¹ ki "Symfonia C++ Stan dard". wydanie 3. (Zawieraj¹ca tak e czysto kosmetyczne poprawki) Sporz¹dzona 4 paÿdziernika 2009. Strona wiersz G - od góry D - od do³u Jest Powinno byæ 1 6 D nadzieje

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Wst ep do sterowania stochastycznego i teorii filtracji

Wst ep do sterowania stochastycznego i teorii filtracji S. Peszat, J. Zabczyk Wstep do sterowania stochastycznego i teorii filtracji 28 października 2008 Spis treści 1 Wst ep..................................................... 1 1.1 Przyk lady..............................................

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo