2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

Transkrypt

1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X jeśli: (i) Dla każdego i I mamy A i ; (ii) A i A j = dla i j, i, j I; (ii) i I A i = X. Jeśli zbiór indeksów I jest zbiorem skończonym (przeliczalnym) to rodzinę {A i } i I nazywamy wtedy rozbiciem skończonym (przeliczalnym) zbioru X. Najprostszymi przykładami rozbicia zbioru X są rodziny: {X} czy też {A, A }, jeśli A i A X. Definicja 2.1 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy algebrą (ciałem) zbiorów (w skrócie algebrą, ciałem) jeśli: (i) A; (ii) A A A A; (iii) A, B A A B A. Przykład 2.2 Przykładami algebry zbiorów są m.in. (a) A = {, X}, A = 2 X ; (b) Jeśli A X i A X to rodzina A = {A, A,, X} jest algebrą; (c) Jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest algebrą. i J A i Bezpośrednio z definicji algebry zbiorów dostajemy następujące własności algebr zbiorów Lemat 2.3 Niech A 2 X będzie algebrą. Wtedy (i) X A; (ii) A, B A A B A; (iii) A, B A A \ B A ;

2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz (iv) Niech n 1. Wtedy A i A, i = 1, 2,..., n n A i, n A i A. Definicja 2.4 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy σ-algebrą (σ-ciałem) zbiorów (w skrócie σ - algebrą, σ - ciałem) jeśli: (i) A; (ii) A A A A; (iii) A i A, i 1 A i A. Jeśli rodzina A 2 X jest σ-algebrą to parę (X, A) nazywamy przestrzenią mierzalną, a elementy A zbiorami mierzalnymi. Przykład 2.5 Przykładami σ-algebry zbiorów są m.in. (a) A = {, X}, A = 2 X ; (b) Każda skończona algebra zbiorów jest σ-algebrą; (c) Jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest σ-algebrą; (d) Niech #(X) =. Wtedy jest σ-algebrą. i J Lemat 2.6 Niech A 2 X σ-algebrą. Wtedy (i) X A; (ii) A, B A A \ B A; (iii) A i A, i = 1, 2,... A i A; A i A = {A X : A IN A IN } (iv) Niech n 1. Wtedy (A i A, i = 1, 2,..., n n A i, n A i A).

3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 2.7 Jeśli {A i } i I jest rodziną algebr (σ-algebr) to jest algebrą (σ-algebrą). Definicja 2.8 Niech C 2 X będzie rodziną podzbiorów X. Oznaczmy i I A i α(c) = {A : C A, A algebra} σ(c) = {A : C A, A σ-algebra}. Algebrę α(c) (σ-algebrę σ(c)) nazywamy algebrą (σ-algebrą) generowaną przez rodzinę C. Uwaga. Z twierdzenia 2.7 wynika, że algebra α(c) (σ-algebra σ(c)) jest najmniejszą algebrą (σ-algebrą) zawierającą C tzn. jeśli F jest algebrą (σ-algebrą) i C F to α(c) F (σ(c) F). Rownież z powyższej definicji otrzymujemy natychmiast: (i) Jeśli C jest algebrą (σ-algebrą) to α(c) = C (σ(c) = C); (ii) α(α(c)) = α(c); (iii) σ(σ(c)) = σ(c); (iv) C 1 C 2 2 X α(c 1 ) α(c 2 ) σ(c 1 ) σ(c 2 ). Poznamy teraz definicję szczególnej σ-algebry. Definicja 2.9 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a O rodziną wszystkich zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Wtedy σ-algebrę generowaną przez rodzinę zbiorów otwartych O nazywamy σ-algebrą borelowską i oznaczamy symbolem B(X). Elementy B(X) nazywamy zbiorami borelowskimi. Z definicji 2.8 i 2.9 wynika, że B(X) = σ(o). Wniosek 2.10 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a D rodziną wszystkich zbiorów domkniętych w tej przestrzeni. Wtedy B(X) = σ(d). Dowód. Zachodzą następujące implikacje: D σ(o) σ(d) σ(σ(o)) = σ(o); O σ(d) σ(o) σ(σ(d)) = σ(d). Zatem σ(o) = σ(d).

4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 2.11 Każdy niepusty otwarty zbiór w IR d jest przeliczalną sumą kul otwartych. Dowód. Niech A IR d będzie zbiorem otwartym. Dla q A Q d oznaczmy n q = inf{n IN : K(q, 1/n) A} Zauważmy, że dla n n q mamy zawieranie K(q, 1/n) A. Wykażemy, że (2.1) A = ( q, 1 ) n K q A Q d n n q Zawieranie " "jest oczywiste. W drugą stronę niech x A. Z otwartości zbioru A istnieje 0 < r < 1 takie, że K(x, r) A. Niech n IN będzie taką liczbą naturalną, że (2.2) Z gęstości Q d w IR d wynika, że (2.3) 1 n + 1 r 3 < 1 n. q A Q d q x < r 3. Stąd K(q, 1/n) K(x, r). Rzeczywiście, niech y K(q, 1/n) tzn. y q < 1/n. Wtedy z (2.2) i nierówności trójkąta otrzymujemy y x y q + q x < 1 n + r 3 2 n r 3 2r 3 + r 3 = r. czyli y K(x, r). Z udowodnionego zawierania K(q, 1/n) K(x, r) oraz z (2.2) i (2.3) otrzymujemy ( x K q, 1 ) K(x, r) A. n Stąd n n q oraz Co kończy dowód (2.1). Twierdzenie 2.12 Niech x K q A Q d m n q ( q, 1 ). m Wtedy C = {K(a, r) : a IR d, r > 0}, K = {A IR d : A-zwarty }. σ(c) = σ(k) = B(IR d ).

5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Dowód. Wykażemy najpierw równość (2.4) σ(c) = B(IR d ). Jest oczywiste, że C B(IR d ). Zatem σ(c) B(IR d ). W drugą stronę. Z twierdzenia 2.11 wynika, że O σ(c). A stąd B(IR d ) σ(c). Co kończy dowód równości (2.4). Przejdziemy teraz do dowodu równości (2.5) σ(k) = B(IR d ). Zawieranie σ(k) B(IR d ) wynika z Wniosku 2.10 i z tego, że zbiór zwarty jest zbiorem domkniętym. W drugą stronę korzystając z tego samego Wniosku wystarczy pokazać, że D σ(k) (D - rodzina wszystkich zbiorów domkniętych w IR d ). Niech F D. Wtedy F = F K[0, n], n=1 gdzie K[0, n] jest kulą domkniętą o środku w 0 i promieniu n. Ponieważ przekrój F K[0, n] jest zbiorem zwartym, wiec F σ(k). Stąd D σ(k) co kończy dowód (2.5). Uwaga. W Twierdzeniu 2.12 zamiast rodziny C kul otwartych można rozważać rodzinę przedziałów otwartych (a, b), a, b IR d albo rodzinę przedziałów domkniętych [a, b], a, b IR d czy też rodzinę przedziałów jednostronnie domkniętych (prawostronnie albo lewostronnie) i teza twierdzenia będzie nadal prawdziwa. 2.2 Klasy monotoniczne i inne rodziny zbiorów Definicja 2.13 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy klasą monotoniczną jeśli spełnia ona warunki: (i) A i A, i 1 oraz A 1 A 2... (ii) A i A, i 1 oraz A 1 A 2... A i A; A i A. Zauważmy, że każda σ-algebra jest klasą monotoniczną. Ponadto z powyższej definicji łatwo wynika, że przekrój dowolnej ilości klas monotonicznych jest klasą monotoniczną. Stąd dla dowolnej rodziny C 2 X możemy określić klasę monotniczną generowaną przez rodzinę C m(c) = {A : C A, A - klasa monotoniczna}. Jest to najmniejsza klasa monotoniczna zawierająca rodzinę C. Podane poniżej własności wynikają łatwo z definicji m(c).

6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz (i) Jeśli C jest klasą monotoniczną to m(c) = C ; (ii) m(m(c)) = m(c); (iii) C 1 C 2 2 X m(c 1 ) m(c 2 ). Stwierdzenie 2.14 Jeśli algebra A 2 X jest klasą monotoniczną to jest również σ- algebrą. Dowód. Trzeba pokazać, że (2.6) A i A, i 1 Ale (2.7) oraz B n = A i = n A i n=1 n+1 A i A. n A i = Stąd, z (2.7) i z definicji klasy monotonicznej mamy co kończy dowód (2.6). A n = n=1 n=1 B n A i = B n+1 A, n 1. B n A, n=1 Twierdzenie 2.15 Jeśli rodzina A 2 X jest algebrą to (2.8) σ(a) = m(a). Dowód. Ponieważ σ(a) jest klasą monotoniczną (zawierającą A), więc σ(a) m(a). Aby udowodnić zawieranie σ(a) m(a) wystarczy na mocy Stwierdzenia 2.14 wykazać, że m(a) jest algebrą. Co też teraz zrobimy. Ponieważ A jest algebrą, więc A m(a). Załóżmy, że A m(a). Udowodnimy, że A m(a). W tym celu określmy rodzinę C = { F m(a) : F m(a) }. Jest oczywiste, że A C. Wykażemy, że C jest klasą monotoniczną. Niech A i C dla i 1 i niech A i A i+1, i 1. Wtedy z definicji C mamy A i m(a) A i m(a) oraz A i+1 A i, i 1.

7 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Z definicji klasy monotonicznej A i m(a) oraz ( ) A i = A i m(a). Zatem A i C. Podobnie, jeśli A i C dla i 1 i A i A i+1, i 1. Wtedy z definicji C mamy A i m(a) A i m(a) oraz A i A i+1, i 1. Znowu z definicji klasy monotonicznej otrzymujemy A i m(a) oraz ( ) A i = A i m(a). Zatem A i C, czyli C jest klasą monotoniczną. Ponieważ A C m(a) więc m(a) m(c) m(a). Mając na uwadze, że C = m(c) (bo C jest klasą monotoniczną) dostajemy C = m(a) co daje, że A m(a). Pozostała nam do wykazania implikacja Dla ustalonego A A określmy Łatwo zauważyć, że (i) A C A ; (ii) C A jest klasą monotoniczną. A, B m(a) A B m(a). C A = { B m(a) : A B m(a) }. Zatem na podstawie podobnego rozumowania jak powyżej dostajemy (2.9) C A = m(a), dla A A. Niech teraz A m(a). Podobnie jak powyżej określmy Zauważmy, że (i) A C A (co wynika z (2.9)); (ii) C A jest klasą monotoniczną. C A = { B m(a) : A B m(a) }.

8 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zatem C A = m(a), dla A m(a) tzn. wykazaliśmy, że gdy A, B m(a) to A B m(a). Wykazaliśmy więc, że m(a) jest algebrą, co kończy dowód twierdzenia. Definicja 2.16 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy π-układem jeśli A, B A A B A. Definicja 2.17 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy λ-układem jeśli (i) X A; (ii) A, B A, A B B \ A A; (iii) A i A, A i A i+1, i 1 A i A Stwierdzenie 2.18 Niepusta rodzina A 2 X jest σ-algebrą wtedy i tylko wtedy, gdy jest π-układem i λ-układem. Dowód. Jeśli A jest σ-algebrą to jest oczywiste, że jest też π-układem i λ-układem. W drugą stronę. Załóżmy, że A jest π-układem i λ-układem. Z definicji λ-układu (punkt (i) i (ii)) wynika, że A jest zamknięta na dopełnienia, a ponieważ A jest też π-układem, wiec jest zamknięta na skończone przekroje. Jest oczywiste, że A. Zatem A jest algebrą. Powtarzając teraz dowód Stwierdzenia 2.14 dostajemy, że A jest σ-algebrą. Korzystając z definicji λ-układu łatwo zauważyć, że przekrój dowolnej ilości λ-układów jest λ-układem. Zatem możemy wprowadzić definicję Definicja 2.19 Niech C 2 X będzie rodziną podzbiorów X. Oznaczmy λ(c) = { A : C A, A λ-układem}. Rodzinę λ(c) nazywamy λ-układem generowanym przez rodzinę C. Jest to najmniejszy λ-układ zawierający rodzinę C. Ponadto mamy (i) Jeśli C jest λ-układem to λ(c) = C ; (ii) λ(λ(c)) = λ(c); (iii) C 1 C 2 2 X λ(c 1 ) λ(c 2 ).

9 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 2.20 Jeśli C 2 X jest π-układem to (2.10) λ(c) = σ(c). Dowoód. Na mocy Stwierdzenia 2.18 każda σ-algebra jest λ-układem, więc λ(c) σ(c). W drugą stronę. Zauważmy, że wystarczy wykazać, że λ(c) jest π-układem, bo wtedy ze Stwierdzenia 2.18 λ(c) jest σ-algebrą, co da zawieranie σ(c) λ(c). Niech F C. Określmy C F = { A λ(c) : A F λ(c) }. Zauważmy, że (a) C C F ; (b) C F jest λ-układem. Rzeczywiście, punkt (a) jest oczywisty, punkt (b) sprawdzamy następująco: (i) X C F, bo X λ(c) X F = F C λ(c). (ii) Niech A, B C F oraz A B. Wtedy A λ(c) A F λ(c), B λ(c) B F λ(c) Ponieważ λ(c) jest λ-układem, więc B \ A λ(c). Ponadto bo A F B F. Zatem B \ A C F. (B \ A) F = B F \ A F λ(c), (iii) Niech A i C F, A i A i+1, i 1. Wtedy A i F λ(c) dla każdego F C oraz A i F A i+1 F dla i 1. Mamy A i λ(c) oraz ( ) A i F = (A i F ) λ(c). Tak więc C F jest λ-układem. Ponieważ C C F λ(c), więc λ(c) λ(c F ) λ(λ(c)) = λ(c). Stąd i z tego, że λ(c F ) = C F dostajemy C F = λ(c). Z dowolności F C mamy, że λ(c) jest zamknięta na przekroje z elementami z C. Niech teraz F λ(c). Określmy Zauważmy, że C F = { A λ(c) : A F λ(c) }.

10 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz (a) C C F (co wynika poprzedniego rozumowania); (b) C F jest λ-układem. Rozumując podobnie jak powyżej dostajemy C F = λ(c) czyli λ(c) jest π-układem i twierdzenie mamy udowodnione. 2.3 Zadania Zad. 1. Niech A 2 X będzie niepustą rodziną podzbiorów X taką, że (i) A; (ii) A A A A; (iii) A, B A A B A. Sprawdzić, czy A jest algebrą. Zad. 2. Niech A 2 X będzie niepustą rodziną podzbiorów X taką, że (i), X A; (ii) A, B A A \ B A. Sprawdzić, czy A jest algebrą. Zad. 3. Niech A 2 X będzie algebrą. Wykazać, że (i) X A; (ii) A, B A A B A; (iii) A, B A A \ B A; (iv) Niech n 1. Wtedy A i A, i = 1, 2,..., n n A i, n A i A. Zad. 4. Wykazać, że jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest algebrą. i J A i Zad. 5. Niech A 2 R będzie dana wzorem A = {(a, b], (c, ) : a b <, c IR}. Wykazać, że { F = i I A i } : #(I) <, A i A, i I

11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz jest algebrą, gdzie sumy mnogościowe występujące w definicji rodziny F są rozłączne. Zad. 6. Niech rodzina F podzbiorów X zawiera zbiór pusty, jest zamknięta na dopełnienia zbiorów oraz jest zamknięta na skończone rozłączne sumy. Czy F musi być algebrą? Zad. 7. Niech A 2 X będzie σ-algebrą. Wykazać, że (i) A jest algebrą; (ii) A i A, i = 1, 2,... A i A; Zad. 8. Wykazać, że (a) Każda skończona algebra zbiorów jest σ-algebrą; (b) Jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest σ-algebrą. i J A i Zad. 9. Niech X = IR. Rozważmy rodzinę zbiorów G n = {F IR : [0, n] F albo F [0, n] = }, n 1. Wykazać, że G n jest σ-algebrą dla każdego n 1. Sprawdzić, czy G n+1 G n dla dowolnego n 1. Wyznaczyć n=1 G n. Zad. 10. Niech A 2 X będzie σ-algebrą (algebrą) i niech Y X będzie niepustym zbiorem. Wykazać, że A Y = { A Y : A A} jest σ-algebrą (algebrą) w Y. Zad. 11. Niech F 2 X będzie niepustą rodziną podzbiorów X i niech A F. Wykazać, że σ(a F) = A σ(f), gdzie A F = {A F : F F}. Zad. 12. Niech A 2 X będzie σ-algebrą taką, że A 2 X i niech F / A. Wykazać, że G = { (A F ) (B F ) : A, B A }. jest σ-algebrą oraz udowodnić równość G = σ(a {F }).

12 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 13. Niech (Y, B) przestrzeń mierzalna oraz niech dane będzie odwzorowanie f : X Y. Wykazać, że rodzina zbiorów f 1 (B) := {f 1 (F ) : F B} jest σ-algebrą w X. Czy jeśli A jest σ-algebrą na X, to f(a) := {f(d) : D A} musi być σ-algebrą w Y? Zad. 14. Niech X = (0, 1] oraz niech rodzina A podzbiorów X składa się ze zbiorów, które są skończonymi i rozłącznymi sumami przedziałów postaci (a, b], gdzie 0 < a b 1. Wykazać, że A jest algebrą w X. Czy jest σ-algebrą? Zad. 15. Niech A 1 A X będzie ciągiem algebr. Wykazać, że A = n=1 jest algebrą. Jeśli algebry zastąpimy σ-algebrami to czy w tezie też otrzymamy σ-algebrę? Rozważyć przykład: Niech X = (0, 1]. Dla każdego n 1 określmy rozbicie X wzorem Niech G n = { A n = i I {( k 1 2 n, k 2 n ] F i A n : k = 1, 2,..., 2 n}. } : #(I) <, F i G n, i I { }. Wykazać, że A n+1 A n dla n 1. Określmy dla n 1 B n = ( 2 n 2 2 n, 2n 1 ] 2 n A n. Obliczyć B = n=1 B n. Sprawdzić, czy B n=1 A n. Zad. 16. Niech A 2 X będzie algebrą. Wykazać, że (a) Algebra A jest σ-algebrą dla każdego ciągu {A n } n 1 A, lim sup n A n A, (b) Algebra A jest σ-algebrą dla każdego ciągu {A n } n 1 A, lim inf n A n A, gdzie lim sup n = k=1 n=k A n oraz lim inf n = k=1 n=k A n. Zad. 17.Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Niech A 2 X będzie rodziną podzbiorów X, które są co najwyżej przeliczalne, albo ich dopełnienie jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Wykazać, że A jest σ-algebrą generowaną przez rodzinę {{x} : x X}. Zad. 18. Niech X będzie zbiorem zawierającym nieskończenie wiele elementów. Niech A 2 X będzie rodziną podzbiorów X, które albo zawierają skończoną ilość elementów, albo ich dopełnienie zawiera skończoną liczbę elementów. Wykazać, że A jest algebrą ale nie jest σ-algebrą. Wyznaczyć σ(a).

13 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 19. Niech F 2 X będzie filtrem tzn. niepustą rodziną podzbiorów X taką, że (i) F; (ii) A, B F A B F; (iii) A F A B B F; Wykazać, że każdy filtr jest zawarty w pewnym filtrze maksymalnym (ze względu na relację " "). Filtry maksymalne nazywamy ultrafiltrami. Zad. 20. Wykazać, że filtr F jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego A X dokładnie jeden ze zbiorów A, A c należy do F. Zad. 21. Niech A 2 X będzie algebrą. Niech {A n } n 1 A. Wykazać, że istnieje ciąg {B n } n 1 A parami rozłączny taki, że A n = n=1 B n. n=1 Zad. 22. Niech X = IR. Określmy rodziny podzbiorów IR: Wykazać, że C 1 = { (a, b) : a, b IR}, C 3 = { (a, b] : a, b IR}, C 5 = { [a, + ) : a IR}, C 7 = { (, b] : b IR}, C 2 = { [a, b) : a, b IR}, C 4 = { [a, b] : a, b IR}, C 6 = { (a, + ) : a IR}, C 8 = { (, b) : b IR}. (1) σ(c 1 ) = σ(c 2 ) = σ(c 3 ) = σ(c 4 ) = σ(c 5 ) = σ(c 6 ) = σ(c 7 ) = σ(c 8 ) = B(IR). Czy zastępując w definicji rodzin od C 1 do C 8 zbiór liczb rzeczywistych IR przez zbiór liczb wymiernych Q równości (1) pozostaną prawdziwe? Zad. 23. Niech X = IR. borelowski. Wykazać, że każdy co najwyżej przeliczalny podzbiór X jest Zad. 24. Niech A i B będą niepustymi podzbiorami X takimi, że A B =. Rozważmy przestrzenie mierzalne (A, A) i (B, B). Przyjmijmy F = A B oraz F = {C D : C A, D B}. Wykazać, że (F, F) jest przestrzenią mierzalną. Zad. 25. Niech IR = [, + ]. Oznaczmy B(IR) = {A F : A B(IR) }, gdzie F {, { }, {+ }, {, + } }. Wykazać, że B(IR) jest σ - algebrą.

14 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 26. Niech X = [0, ), A = B([0, )). Oznaczmy F t = {A A : (t, ) A albo (t, ) A = }, t 0, G t = {A A : [t, ) A albo [t, ) A = }, t 0. Wykazać, że dla każdego t 0 rodziny zbiorów F t i G t są σ - algebrami. Obliczyć oraz G t. F t t>0 t>0 Zad. 27. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech C 2 X będzie rodziną podzbiorów taką, że: (i) C zawiera wszystkie zbiory domknięte; (ii) A C A C; (iii) Jeśli {A n } n 1 jest ciągiem zstępującym zbiorów z C to również n=1 A n C. Wykazać, że B(X) C. Zad. 28. Niech A 2 X będzie σ-algebrą o skończonej ilości elementów. Wykazać, że A jest generowana przez pewne rozbicie X. Zad. 29. Niech A 2 X będzie σ-algebrą taką, że #(A) =. Wykazać, że istnieje ciąg {B n } n 1 A (B n, n 1) parami rozłączny. Zad. 30. Niech A 2 X będzie σ-algebrą. Wykazać, że A IN. Zad. 31. Niech A i, i I będą klasami monotonicznymi. Wykazać, że i I A i jest klasą monotoniczną. Zad. 32. Niech D i, i I będą λ-układami. Wykazać, że i I D i jest λ-układem. Zad. 33. Wykazać, że rodzina D podzbiorów X jest λ-układem wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera X, jest zamknięta na dopełnienia zbiorów oraz jest zamknięta na przeliczalne rozłączne sumy.