Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat"

Transkrypt

1 Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia na A. Wówczas parȩ <A, > nazywamy zbiorem czȩściowo uporz adkowanym. Twierdzenie 1.1: Niech <A, > bȩdzie zbiorem czȩściowo uporz adkowanym oraz B A. Wówczas relacja (B B) jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a na zbiorze B. Dowód: Jest oczywiste, że warunki zwrotności, antysymetrii oraz przechodniości s a spe lnione dla relacji (B B), gdy s a one spe lnione dla relacji (nawet gdy B = ; relacja na zbiorze jest czȩściowo porz adkuj aca). Uwaga: Gdy <A, > jest zbiorem cz. up. oraz B A, to zbiór cz. up. <B, (B B)> nazywamy podzbiorem zbioru cz. up. <A, >. Oznaczamy go w skrócie w postaci: <B, >. Ponadto zamiast pisać <x, y>, piszemy x y. Definicja. Niech < A, > zbiór cz. up. Element a A nazywamy najwiȩkszym (najmniejszym) w <A, >, gdy x A, x a ( x A, a x). Element a A nazywamy maksymalnym (minimalnym) w < A, >, gdy x A(a x a = x) ( x A(x a x = a)). Twierdzenie 1.2: W dowolnym zbiorze cz. up. <A, > istnieje co najwyżej jeden element najwiȩkszy i co najwyżej jeden element najmniejszy. Dowód: Za lóżmy, że a, b A s a elementami najwiȩkszymi w < A, >. Wówczas x A, x a oraz x A, x b. Zatem b a oraz a b, co wobec antysymetrii relacji daje a = b. Analogicznie dla wykazania jedyności elementu najmniejszego. Twierdzenie 1.3: Jeżeli w zbiorze cz. up. <A, > istnieje element najwiȩkszy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym) w <A, >. Dowód: Niech a bȩdzie elementem najwiȩkszym w <A, >. Za lóżmy, że a x dla jakiegoś x A. Ponieważ x a, wiȩc z antysymetrii relacji, a = x co dowodzi, że a jest elementem maksymalnym w < A, >. Za lóżmy, że b jest elementem maksymalnym w <A, >. Z definicji elementu najwiȩkszego mamy: b a, zatem z za lożenia b = a czyli a jest jedynym elementem maksymalnym w <A, >. Analogicznie dla elementu najmniejszego.

2 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane 2 Przyk lad: d e c a b Diagram Hassego dla skończonego zbioru cz. up. Elementy d, e s a elementami maksymalnymi zaś a, b minimalnymi w zbiorze cz. up. <{a, b, c, d, e}, >, gdzie relacja jest określona diagramem w sposób nastȩpuj acy: dla dowolnych różnych elementów x, y tego zbioru, x y wtw z punktu x można przejść do punktu y wzd luż lamanej, kieruj ac siȩ na każdym jej odcinku z do lu do góry. Zatem a c, a e oraz a d. Identycznie dla elementu b (zamiast a). Natomiast (a b). Ponadto (c a) itd. Zak lada siȩ, czego diagram nie uwidacznia, że każdy z elementów a, b, c, d, e jest sam ze sob a w relacji. Znanym przyk ladem relacji czȩściowo porz adkuj acej jest relacja inkluzji określona na zbiorze potȩgowym danego zbioru: Twierdzenie 1.4: Dla dowolnego zbioru U, < P (U), > jest zbiorem czȩściowo uporz adkowanym, w którym U jest elementem najwiȩkszym oraz jest elementem najmniejszym. Dowód: Oczywisty na mocy twierdzeń: dla dowolnych X, Y, Z P (U), X X, (X Y Y X) X = Y, (X Y Y Z) X Z oraz X P (U)(X U X). Innym znanym przyk ladem relacji czȩściowo porz adkuj acej jest relacja wyznaczona na zbiorze ilorazowym danego zbioru wzglȩdem relacji równoważności indukowanej przez dan a relacjȩ zwrotn a i przechodni a, jak nastȩpuje: Twierdzenie 1.5: Dla dowolnej relacji zwrotnej i przechodniej ρ na zbiorze A, ρ ρ jest relacj a równoważności na A. Relacja określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ρ ) nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y A, [x] [y] wtw <x, y> ρ, jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a. Dowód: Niech ρ bȩdzie zwrotna oraz przechodnia na A. Wówczas dla dowolnego x A, <x, x> ρ oraz <x, x> ρ, zatem ρ ρ jest zwrotna. Za lóżmy, że <x, y>, <y, z> ρ ρ dla jakichś x, y, z A. Wówczas <x, y>, <y, z> ρ oraz <y, x>, <z, y> ρ. Zatem z przechodniości relacji ρ mamy: <x, z> ρ oraz <z, x> ρ, czyli <x, z> ρ i ostatecznie <x, z> ρ ρ, co oznacza, że

3 2. Elementy maksymalne, lańcuchy 3 ρ ρ jest przechodnia. W celu wykazania symetrii, za lóżmy, że <x, y> ρ ρ. Wówczas <x, y> ρ oraz <x, y> ρ, zatem <y, x> ρ oraz <y, x> ρ. Ostatecznie, <y, x> ρ ρ, tzn. ρ ρ jest symetryczna. Aby dowieść drugiej czȩści twierdzenia, najpierw wykażmy, że relacja jest dobrze określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ρ ), tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Niech wiȩc [x] = [a] oraz [y] = [b] dla pewnych a, b A. Wykażemy, że na mocy definicji relacji zachodzi: [x] [y] wtw [a] [b]. Za lóżmy wiȩc, że [x] [y]. Wówczas z definicji relacji, <x, y> ρ. Ponieważ z za lożenia, [x] = [a], wiȩc <x, a> ρ ρ, sk ad <x, a> ρ, czyli <a, x> ρ. Z przechodniości relacji ρ, <a, y> ρ. Jednakże również [y] = [b], czyli <y, b> ρ ρ. St ad <y, b> ρ. Zatem z przechodniości ρ otrzymujemy: <a, b> ρ, czyli [a] [b]. Odwrotn a implikacjȩ dowodzimy analogicznie. Rozważmy dowolny element [x] A/(ρ ρ ). Wówczas [x] [x] skoro <x, x> ρ wobec zwrotności relacji ρ. Zatem relacja jest zwrotna. Za lóżmy, że [x] [y] oraz [y] [x]. Wówczas < x, y > ρ oraz < y, x > ρ, czyli <x, y> ρ, zatem <x, y> ρ ρ, a st ad [x] = [y], co dowodzi antysymetrii relacji. W celu wykazania przechodniości relacji za lóżmy, że [x] [y] oraz [y] [z]. Wówczas < x, y > ρ oraz < y, z > ρ, zatem z przechodniości ρ, <x, z> ρ co daje [x] [z]. 2. Elementy maksymalne, lańcuchy Twierdzenie 1.6: Dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element maksymalny. Dowód: Udowodnimy indukcyjnie wyrażenie: (1) Dla każdego n 1, w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. <A, > istnieje element maksymalny. Dla n = 1: oczywiście dowolny zbiór cz. up. jednoelementowy posiada element maksymalny. Weźmy dowolne n 1. Za lożenie indukcyjne: (2) w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. < A, > istnieje element maksymalny. Mamy wykazać: (3) w dowolnym (n + 1)-elementowym zbiorze cz. up. <A, > istnieje element maksymalny. Rozważmy zatem dowolny zbiór cz. up. <A, >, (n + 1)-elementowy. Niech x A. Wówczas <A {x}, > jest zbiorem cz. up. n-elementowym. Na mocy (2), niech a bȩdzie jego elementem maksymalnym. Naturalnie a x. Zachodzi: a x lub (a x). Jeśli a x, to x jest elementem maksymalnym w <A, >. Bowiem gdyby istnia l y A taki, że x y oraz x y, to wobec przechodniości relacji by loby: a y. Ponadto a y, gdyby bowiem a = y, to wobec antysymetrii relacji, a = x, co jest niemożliwe. Zatem wobec maksymalności elementu a w <A {x}, >, by loby: y A {x}, tzn. y = x, sprzeczność.

4 2. Elementy maksymalne, lańcuchy 4 Jeśli zaś nie jest tak, że a x, to oczywiście a jest elementem maksymalnym w <A, >. Definicja. Niech < A, > zbiór cz. up. Elementy x, y A nazywamy porównywalnymi w <A, >, gdy x y lub y x. Zbiór cz. up. <A, >, w którym dowolne dwa elementy s a porównywalne nazywamy lańcuchem. Zbiór cz. up. <A, >, w którym relacja jest spójna nazywamy zbiorem liniowo uporz adkowanym, zaś relacjȩ relacj a liniowo porz adkuj ac a. Twierdzenie 1.7: uporz adkowany. Zbiór cz. up. <A, > jest lańcuchem wtw jest on liniowo Dowód: Warunek spójności: x, y A(x y lub y x lub x = y), jest równoważny warunkowi porównywalności: x, y A(x y lub y x). Przyk lad: Zbiór cz. up. <N, >, gdzie N zbiór liczb naturalnych oraz jest relacj a bycia liczb a mniejsz a lub równ a, jest lańcuchem maj acym element najmniejszy liczbȩ 0, oraz nie maj acym elementu najwiȩkszego. Liniowo uporz adkowany zbiór <N, > ma ponadto nastȩpuj ac a w lasność: dowolny jego niepusty podzbiór posiada element najmniejszy. Twierdzenie 1.8: Jeżeli w lańcuchu <A, > istnieje element maksymalny (minimalny), to jest on elementem najwiȩkszym (najmniejszym). Dowód: Niech a bȩdzie elementem maksymalym w lańcuchu <A, >. Weźmy x A. a, x s a zatem porównywalne, tzn. x a lub a x. Gdy a x, to wobec maksymalności a: a = x, czyli x a wobec zwrotności relacji. Ostatecznie x a, co dowodzi, wobec dowolności wyboru x, że a jest elementem najwiȩkszym w <A, >. Analogicznie dla elementu minimalnego. Wniosek: Dowolny niepusty skończony lańcuch posiada elementy najwiȩkszy i najmniejszy. Dowód: Oczywisty na mocy Twierdzeń 1.6, 1.8 w przypadku stwierdzania istnienia elementu najwiȩkszego. Aby uzasadnić istnienie elementu najmniejszego można pos lużyć siȩ dualn a wersj a Tw.1.6: dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element minimalny, której dowód jest analogiczny do dowodu Tw.1.6. Definicja. Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. oraz niech X A. Element a A nazywamy ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru X w <A, >, gdy dla każdego x X, x a (dla każdego x X, a x). Zbiór wszystkich ograniczeń górnych (dolnych) zbioru X bȩdziemy oznaczać Og(X) (Od(X)), czyli Og(X) = {a A : x X, x a}, Od(X) = {a A : x X, a x}.

5 2. Elementy maksymalne, lańcuchy 5 Przyk lad: Dla zbioru cz. up. < {a, b, c, d, e}, > określonego powyżej diagramem, Og({c, d, e}) =, Od({c, d, e}) = {c, a, b}. Lemat Kuratowskiego-Zorna: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L A istnieje w <A, > ograniczenie górne (tzn. Og( L) ), to w <A, > istnieje element maksymalny. Lemat Kuratowskiego-Zorna (sformu lowanie szczegó lowe): Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L A istnieje w <A, > ograniczenie górne, to dla każdego a A w <A, > istnieje element maksymalny x taki, że a x. Twierdzenie 1.9: równoważne. Oba sformu lowania lematu Kuratowskiego-Zorna s a sobie Dowód: Jest oczywiste, że sformu lowanie szczegó lowe implikuje sformu lowanie pierwsze. Aby dowieść odwrotnej implikacji za lóżmy, że zachodzi pierwsze sformu lowanie lematu oraz że w jakimś ustalonym zbiorze cz. up. <A, > dla dowolnego niepustego lańcucha L A : Og( L). Niech a A. Rozważmy zbiór cz. up. < Og({a}), >, aby zastosować dla niego pierwsze sformu lowanie lematu. Niech wiȩc L Og({a}) bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas L jest lańcuchem w <A, >, bo Og({a}) A. Zatem z za lożenia istnieje ograniczenie górne zbioru L w <A, >. Niech b bȩdzie tym ograniczeniem górnym. Skoro L, wiȩc dla jakiegoś x L mamy: a x (bo L Og({a})) oraz x b, zatem a b, czyli b Og({a}), tzn. b jest ograniczeniem górnym lańcucha L w <Og({a}), >. Wobec dowolności wyboru lańcucha L w <Og({a}), >, stosuj ac pierwsze sformu lowanie lematu dla zbioru cz. up. <Og({a}), > otrzymujemy: w <Og({a}), > istnieje element maksymalny. Niech z bȩdzie tym elementem maksymalnym. Jest oczywiste, że a z. Pozostaje wykazać, że z jest elementem maksymalnym w <A, >. Przypuśćmy że z nie jest elementem maksymalnym w <A, >. Wówczas dla jakiegoś y A, z y oraz z y. Jednakże wtedy a y, tzn. y Og({a}). Zatem z nie by lby maksymalny w <Og({a}), >. Lemat Kuratowskiego-Zorna jest użyteczny w stwierdzaniu istnienia elementów maksymalnych w nieskończonych zbiorach cz. up. Jednakże pracuje on również dla skończonych zbiorów cz. up. Mianowicie można go zastosować do dowodu Tw.1.6. W tym celu należy wykazać prawdziwość poprzednika implikacji pierwszego sformu lowania lematu, tzn. zdania: w dowolnym niepustym skończonym zbiorze cz. up. każdy niepusty lańcuch ma ograniczenie górne. Można tego dokonać natychmiast w oparciu o Wniosek z Tw.1.8. Rozważaj ac bowiem jakiś niepusty lańcuch w skończonym zbiorze cz. up., wobec skończoności tego lańcucha istnieje w nim element najwiȩkszy, zatem jego ograniczenie górne. Naturalnie, użycie tu Wniosku z Tw.1.8 zak lada, że jest on wcześniej uzasadniony nie w oparciu o Tw.1.6 i Tw.1.8, ale inaczej na przyk lad dziȩki prostemu dowodowi indukcyjnemu.

6 3. Kraty zupe lne 6 3. Kraty zupe lne W dalszym ci agu elementy najwiȩkszy oraz najmniejszy danego zbioru cz. up. <A, >, o ile te elementy istniej a, bȩdziemy oznaczać odpowiednio 1 oraz 0. Twierdzenie 1.10: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas (1) Jeżeli w <A, > istnieje element najwiȩkszy 1, to Og(A) = {1}, (2) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najwiȩkszy, to Og(A) =, (3) Jeżeli w <A, > istnieje element najmniejszy 0, to Od(A) = {0}, (4) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najmniejszy, to Od(A) =, (5) Og( ) = Od( ) = A. Dowód: dla (1): Za lóżmy, że 1 jest elementem najwiȩkszym w <A, >. ( ): Niech a Og(A), czyli x A, x a. Zatem a jest elementem najwiȩkszym w <A, >, czyli na mocy Tw.1.2, a = 1, tzn. a {1}. ( ): Ponieważ x A, x 1, wiȩc 1 Og(A). dla (2): Za lóżmy, że w < A, > nie ma elementu najwiȩkszego. Gdyby Og(A), to dla jakiegoś a A by loby a Og(A), zatem x A, x a czyli a by lby elementem najwiȩkszym wbrew za lożeniu. dla (3): Analogicznie jak dla (1). dla (4): Analogicznie jak dla (2). dla (5): Jest oczywiste, że Og( ) A. Aby wykazać odwrotn a inkluzjȩ za lóżmy, że a A. Ponieważ a Og( ) wtw x(x x a) oraz warunek x(x x a) jest prawdziwy, wiȩc a Og( ). Identycznie dla Od( ). Definicja. Niech < A, > bȩdzie zbiorem cz. up. oraz X A. Element najmniejszy w <Og(X), > nazywamy kresem górnym zbioru X w <A, > i oznaczamy: supx (supremum zbioru X). Element najwiȩkszy w < Od(X), > nazywamy kresem dolnym zbioru X w <A, > i oznaczamy: infx (infimum zbioru X). Przyk lad: Dla rozważanego powyżej przyk ladu zbioru cz. up. zadanego diagramem, sup{c, d, e} nie istnieje, zaś inf{c, d, e} = c. Twierdzenie 1.11: Niech < A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas (1) Jeżeli w <A, > istnieje element najwiȩkszy 1, to supa = 1 oraz inf = 1, (2) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najwiȩkszy, to nie istnieje supa oraz nie istnieje inf, (3) Jeżeli w <A, > istnieje element najmniejszy 0, to inf A = 0 oraz sup = 0, (4) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najmniejszy, to nie istnieje inf A oraz nie istnieje sup, (5) Dla dowolnego x A, sup{x} = inf{x} = x, (6) Dla dowolnych x, y A, x y wtw sup{x, y} = y wtw inf{x, y} = x,

7 3. Kraty zupe lne 7 (7) Jeżeli A ma wiȩcej niż jeden element, to dla dowolnego X A, jeżeli istniej a kresy supx, infx w <A, >, to X wtw infx supx. Dowód: dla (1): Na mocy Tw.1.10(1), Og(A) = {1}, zatem elementem najmniejszym w <{1}, >, czyli supa jest element 1. Na mocy Tw.1.10(5), Od( ) = A, zatem najwiȩkszym elementem w <Od( ), >, czyli inf jest element 1. dla (2): Za lóżmy, że w <A, > nie ma elementu najwiȩkszego. Wówczas na mocy Tw.1.10(2), Og(A) =, zatem w < Og(A), > nie ma elementu najmniejszego, bo nie ma tam żadnego elementu. Dlatego supa nie istnieje. Również na mocy Tw.1.10(5), Od( ) = A, zatem w <Od( ), > nie ma elementu najwiȩkszego czyli nie istnieje inf. dla (3): Analogicznie na mocy Tw.1.10(3),(5). dla (4): Analogicznie na mocy Tw.1.10(4),(5). dla (5): Niech x A. Ponieważ x Og({x}) (relacja jest zwrotna) oraz y Og({x}), x y, wiȩc x jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru {x}, zatem x = sup{x}. Analogicznie wykazujemy, że x = inf{x}. dla (6): Niech x, y A. ( ): Za lóżmy, że x y. Ponieważ y y, wiȩc y Og({x, y}). Niech z Og({x, y}). Wówczas y z, zatem y jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru {x, y}, czyli y = sup{x, y}. ( ): Za lóżmy, że y = sup{x, y}. Ponieważ sup{x, y} Og({x, y}), wiȩc x sup{x, y}, st ad x y. Analogicznie dowodzimy drugiej równoważności. dla (7): Niech A ma wiȩcej niż jeden element. Rozważmy X A dla którego istniej a kresy górny i dolny w <A, >. ( ): Za lóżmy, że X. Niech wiȩc a X. Ponieważ infx jest ograniczeniem dolnym zbioru X, wiȩc infx a. Analogicznie: a supx. Zatem z przechodniości relacji uzyskujemy: inf X supx. ( ): Za lóżmy, że infx supx oraz nie wprost, że X =. Wówczas z (2) i (1): infx = 1, oraz z (4) i (3): supx = 0, gdzie 1, 0 s a odpowiednio najwiȩkszym i najmniejszym elementem w <A, >. Z za lożenia mamy wiȩc: 1 0. Oczywiście, 0 1, zatem z antysymetrii relacji uzyskujemy: 0 = 1. Jednakże wówczas, wbrew za lożeniu, A jest zbiorem 1-elementowym, bowiem dla dowolnego a A, 0 a oraz a 0 (skoro 0 = 1), co implikuje a = 0. Definicja. Zbiór cz. up. <A, >, w którym A oraz dla każdego X A istniej a kresy supx, inf X nazywamy krat a zupe ln a. Twierdzenie 1.12: krat a zupe ln a. Dla dowolnego zbioru U, zbiór cz. up. <P (U), > jest Dowód: Niech R P (U). Wykażemy, że R = supr. Naturalnie R P (U), bo skoro R P (U), tzn. A R, A U, wiȩc R U. Ponieważ A R, A R, wiȩc R Og(R). Niech Y Og(R) czyli A R, A Y. Wówczas naturalnie R Y, zatem R jest najmniejszym ograniczeniem

8 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane 8 górnym zbioru R, tzn. R = supr. Gdy R =, to zgodnie z Tw.1.11(1) oraz Tw.1.4, inf(r) = U. Niech R. Wykażemy, że R = inf(r). Naturalnie R P (U), bo dla dowolnego A R, R A, zaś A U. Ponieważ A R, R A, wiȩc R Od(R). Niech Y Od(R), tzn. A R, Y A. Wówczas naturalnie Y R, zatem R jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru R, czyli R = infr. Twierdzenie 1.13: najmniejszy. W każdej kracie zupe lnej istnieje element najwiȩkszy i Dowód: Niech < A, > bȩdzie krat a zupe ln a. Istnieje wiȩc supa. Zatem na mocy Tw.1.11(2) w < A, > istnieje element najwiȩkszy. Ponieważ inf A również istnieje, wiȩc na mocy Tw.1.11(4) istnieje w < A, > element najmniejszy. Okazuje siȩ, że wystarczy stwierdzić istnienie kresów jednego rodzaju dla wszystkich podzbiorów danego zbioru cz. up., aby uznać go za kratȩ zupe ln a: Twierdzenie 1.14: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla każdego X A istnieje w <A, > kres dolny infx, to <A, > jest krat a zupe ln a. Dowód: Za lóżmy, że dla dowolnego X A istnieje inf X. Aby dowieść twierdzenia wystarczy wykazać, że dla każdego X A istnieje supx w <A, >. Rozważmy wiȩc dowolny X A. Wykażemy, że z za lożenia istniej acy w <A, > infog(x) (bo Og(X) A) jest kresem górnym zbioru X w <A, >. Wykażmy najpierw, że infog(x) Og(X) tzn. że x X, x infog(x). Niech wiȩc x X. Wówczas a Og(X), x a, zatem x jest ograniczeniem dolnym zbioru Og(X); wobec tego x inf Og(X), bo inf Og(X) jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru Og(X). Niech teraz y Og(X). Naturalnie inf Og(X) Od(Og(X)), zatem inf Og(X) y, co dowodzi, że inf Og(X) jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X, zatem infog(x) = supx. Analogicznie można dowieść twierdzenia mówi acego o istnieniu kresów górnych, jako warunku wystarczaj acym na to, by zbiór cz. up. by l krat a zupe ln a. 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Niepusty zbiór cz. up. <A, > nazywamy krat a, gdy dla dowolnych x, y A istniej a kresy inf{x, y}, sup{x, y}. Naturalnie każda krata zupe lna jest krat a. Twierdzenie 1.15: Każdy niepusty lańcuch <A, > jest krat a. Dowód: Niech < A, > bȩdzie niepustym lańcuchem. Ponieważ x, y A (x y lub y x), wiȩc na mocy Tw.1.11(6), x, y A(sup{x, y} = y

9 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane 9 oraz inf{x, y} = x) lub (sup{x, y} = x oraz inf{x, y} = y). Przyk lad: <N, >, gdzie N zbiór liczb naturalnych oraz relacja bycia liczb a mniejsz a lub równ a, jest krat a, choć nie jest krat a zupe ln a (nie istnieje w < N, > element najwiȩkszy porównaj Tw.1.13). Przyk lad: Rozważmy na zbiorze N {0} konwers relacji podzielności określony nastȩpuj aco: x, y N {0}, x y wtw k N {0}, y = xk (tzn. x y wtw y jest podzielne przez x). Wówczas <N {0}, > jest krat a, w której dla dowolnych x, y N {0}, inf{x, y} = nwp(x, y) (najwiȩkszy wspólny podzielnik liczb x, y) oraz sup{x, y} = nww(x, y) (najmniejsza wspólna wielokrotność liczb x, y). Twierdzenie 1.16: Niech < A, > bȩdzie krat a. Wówczas dla dowolnego niepustego skończonego zbioru X A istniej a inf X oraz supx. Dowód: Za lóżmy, że <A, > jest krat a. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego n = 1, 2,..., dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje sup{x 1, x 2,..., x n } w <A, >. Dla n = 1: naturalnie dla dowolnego singletonu {x} A istnieje sup{x} (Tw.1.11(5)). Za lóżmy, że dla jakiegoś n, dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje sup{x 1, x 2,..., x n }. Mamy wykazać, że dla dowolnych x 1,..., x n, x n+1 A, istnieje sup{x 1, x 2,..., x n, x n+1 }. Rozważmy wiȩc dowolne x 1, x 2,..., x n, x n+1 A. Z za lożenia istnieje kres sup{x 1, x 2,..., x n }. Wykażemy, że sup{x 1,..., x n, x n+1 } = sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 } (ponieważ <A, > jest krat a, wiȩc sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 } musi istnieć, jeśli tylko istnieje sup{x 1,..., x n }). Oznaczmy a = sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 }. Ponieważ dla każdego i = 1, 2,..., n, x i sup{x 1,..., x n } a oraz x n+1 a, wiȩc a Og({x 1,..., x n, x n+1 }). Za lóżmy teraz, że x Og({x 1,..., x n, x n+1 }). Wówczas x Og({x 1,..., x n }), zatem sup{x 1,..., x n } x. Naturalnie x n+1 x. Zatem x Og({sup{x 1,..., x n }, x n+1 }). St ad a x, co dowodzi, że a = sup{x 1,..., n, x n+1 }. Analogicznie wykazujemy odpowiednik dowodzonego wyrażenia dla kresów dolnych: dla dowolnego n = 1, 2,..., dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje inf{x 1, x 2,..., x n } w <A, >. Wniosek: Każda krata skończona jest krat a zupe ln a. Dowód: Ponieważ każdy podzbiór kraty skończonej jest skończony, wiȩc wobec Tw.1.16 wystarczy wykazać, że w kracie skończonej istniej a sup oraz inf. Niech < A, > bȩdzie krat a skończon a. Wówczas istnieje supa. Zatem na mocy Tw.1.11(2), w < A, > istnieje element najwiȩkszy 1. St ad wed lug Tw.1.11(1), inf = 1, zatem inf istnieje. Ponadto w <A, > istnieje infa.

10 5. Kraty jako algebry 10 Zatem na mocy Tw.1.11(4) w <A, > istnieje element najmniejszy 0. St ad, zgodnie z Tw.1.11(3), sup = 0, zatem sup istnieje. W dalszym ci agu, gdy bȩdzie to potrzebne, kratȩ zdefiniowan a powyżej (jako pewien zbiór czȩściowo uporz adkowany) bȩdziemy nazywać p-krat a. 5. Kraty jako algebry Niech bȩdzie dany niepusty zbiór A. Dla dowolnej liczby naturalnej n, symbolem A n oznacza siȩ zbiór wszystkich n-wyrazowych ci agów elementów zbioru A. Jest to szczególny przypadek notacji, wed lug której dla dowolnych zbiorów A, B, symbolem A B oznacza siȩ zbiór wszystkich funkcji przekszta lcaj acych zbiór B w zbiór A. Ponieważ w interpretacji teoriomnogościowej dowolna liczba naturalna n = {0, 1,..., n 1}, przy czym 0 =, wiȩc A n = A {0,1,...,n 1} jest zbiorem wszystkich funkcji przekszta lcaj acych zbiór {0, 1,..., n 1} w zbiór A, zaś każda taka funkcja jest z definicji ci agiem n-wyrazowym elementów zbioru A. W szczególności, zbiór wszystkich ci agów 0-wyrazowych jest jednoelementowy: A 0 = A = { } (formalnie dowolna funkcja f A B jest relacj a binarn a f B A spe lniaj ac a warunki: x B y A, <x, y > f, x B y, z A (<x, y >, <x, z > f y = z), zatem dla B = istnieje dok ladnie jedna funkcja f przekszta lcaj aca zbiór B w A, mianowicie f = ). Definicja. Dla każdej liczby naturalnej n, dowoln a funkcjȩ o : A n A, nazywamy n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Zbiór A 1 wszystkich 1-wyrazowych ci agów elementów zbioru A utożsamiamy ze zbiorem A (tzn. każdy 1-wyrazowy ci ag, którego jedynym wyrazem jest element zbioru A utożsamiamy z tym elementem). Zatem każda funkcja przekszta lcaj aca zbiór A w zbiór A jest operacj a 1-argumentow a na zbiorze A. Każda operacja 0-argumentowa o na zbiorze A jest naturalnie funkcj a postaci: o : { } A, i jest utożsamiana ze swoj a jedyn a wartości a: o( ), postrzegan a jako wyróżniony element ze zbioru A. Definicja. Ci ag (A, o 1,..., o n ), gdzie A jest niepustym zbiorem oraz o 1,..., o n s a operacjami na zbiorze A (o dowolnej argumentowości) nazywany jest algebr a (uniwersaln a lub abstrakcyjn a). Mówimy, że algebry A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o k ) s a podobne lub tego samego typu, gdy m = k oraz dla każdego i = 1,..., m, τ(o i ) = τ(o i ), gdzie dla dowolnej operacji o na danym zbiorze, τ(o) jest ilości a argumentów operacji o (ci ag (τ(o 1 ),..., τ(o m )) jest nazywany typem algebry A).

11 5. Kraty jako algebry 11 Definicja. Algebrȩ (A,, ) typu (2,2) tak a, że dla dowolnych x, y, z A spe lnione s a równości: (1) x x = x, x x = x, (2) x y = y x, x y = y x, (3) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, (4) x (x y) = x, x (x y) = x, nazywamy krat a (gdy jest to potrzebne, nazywamy j a a-krat a). Twierdzenie 1.17: Jeżeli < A, > jest p-krat a, to algebra (A,, ), w której operacje s a określone nastȩpuj aco: x, y A, x y = inf{x, y}, x y = sup{x, y}, jest a-krat a. Dowód: Wykazujemy że spe lnione s a pierwsze z równości wystȩpuj acych w (1) - (4) (drugie równości dowodzi siȩ analogicznie). Równość (1) jest spe lniona na mocy Tw. 1.11(5). Równość (2) zachodzi na podstawie definicji operacji. Wykazujemy równość (3): inf{x, inf{y, z}} = inf{inf{x, y}, z}. Najpierw dowodzimy, że (*) dla dowolnych x, y, z A : inf{x, inf{y, z}} = inf{x, y, z}. W tym celu oznaczmy: a = inf{x, inf{y, z}} i zauważmy, że a x, a inf{y, z} oraz inf{y, z} y, inf{y, z} z, zatem z przechodniości : a y i a z, czyli a Od({x, y, z}). Niech teraz u Od({x, y, z}). Wówczas u x oraz u inf{y, z}, tzn. u Od({x, inf{y, z}), zatem u a. Ostatecznie, a = inf{x, y, z}. Niech teraz x, y, z A. Wówczas z (*) mamy: inf{inf{x, y}, z} = inf{z, inf{x, y}} = inf{z, x, y} = inf{x, y, z} = inf{x, inf{y, z}}. Wykazujemy równość (4): inf{x, sup{x, y}} = x. Naturalnie x x oraz x sup{x, y}. Gdy u Od({x, sup{x, y}}), to oczywiście u x. Ostatecznie, x = inf{x, sup{x, y}}. Twierdzenie 1.18: Dla dowolnej a-kraty (A,, ) zbiór cz. up. < A, >, gdzie x, y A, x y wtw x y = x, jest p-krat a, w której dla dowolnych x, y A, inf{x, y} = x y, sup{x, y} = x y. Dowód: Niech algebra (A,, ) bȩdzie a-krat a. Zwrotność relacji wynika z równości (1), antysymetria z równości (2). Aby dowieść przechodniości za lóżmy, że x y i y z. Zatem x y = x, y z = y. St ad x z = (x y) z = x (y z) = x y = x, na mocy równości (3), zatem x z. Ponieważ wed lug (1),(2),(3): (x y) x = x y oraz (x y) y = x y, wiȩc x y x oraz x y y. Niech teraz dla jakiegoś u A bȩdzie: u x i u y, tzn. u x = u i u y = u. Wówczas u (x y) = (u x) y = u y = u, zatem u x y. Ostatecznie, x y = inf{x, y}. Zanim wykażemy, że wartość operacji na sekwencji elementów x, y jest kresem górnym zbioru {x, y}, udowodnimy iż w a-kracie (A,, ), dla dowolnych x, y A, (5) x y = x wtw x y = y.

12 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne 12 ( ): Za lóżmy, że x y = x. Wówczas na mocy równości (4): x y = (x y) y = y. Implikacjȩ ( ) dowodzi siȩ analogicznie. Ponieważ wed lug równości (4) zachodzi: x (x y) = x oraz y (x y) = y, wiȩc x x y oraz y x y. Niech teraz element u A bȩdzie taki, że x u i y u. Wówczas z definicji relacji na mocy (5) mamy: x u = u oraz y u = u. Zatem (x y) u = x (y u) = x u = u, dlatego, na mocy (5) i definicji : x y u. Ostatecznie x y = sup{x, y}. W dalszym ci agu nie bȩdziemy odróżniać p-kraty od a-kraty. Albowiem, po pierwsze, dysponuj ac dan a p-krat a < A, >, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy z niej a-kratȩ (A,, ) tak a, że x y = inf{x, y}, x y = sup{x, y}, zaś z tejże a-kraty, na mocy Tw.1.18 otrzymujemy p-kratȩ <A, 1 > tak a, że x 1 y wtw x y = x wtw inf{x, y} = x wtw x y, na mocy Tw.1.11(6), oraz inf 1 {x, y} = x y = inf{x, y}, sup 1 {x, y} = x y = sup{x, y}, tzn. p-krata < A, 1 > jest tożsama z wyjściow a p-krat a < A, >. Po drugie, dysponuj ac dan a a-krat a (A,, ), na mocy Tw.1.18 otrzymujemy z niej p-kratȩ < A, > tak a, że x y wtw x y = x oraz inf{x, y} = x y, sup{x, y} = x y, zaś z tej p-kraty, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy a-kratȩ (A, 1, 1 ) tak a, że x 1 y = inf{x, y} = x y, x 1 y = sup{x, y} = x y, tzn. a-krata (A, 1, 1 ) jest tożsama z wyjściow a a-krat a (A,, ). Relacjȩ, wyjściow a w p-kracie lub definiowan a w a-kracie, nazywamy kratowym porz adkiem w tej kracie. 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne Definicja. Algebrȩ (A,,, 0, 1) typu (2,2,0,0) nazywamy krat a z zerem: 0 i jedynk a: 1, gdy (A,, ) jest krat a oraz dla każdego x A spe lnione s a równości: (6) x 1 = x, x 0 = x. Naturalnie kratȩ z 0 i 1 można traktować jako p-kratȩ z elementami najwiȩkszym: 1 i najmniejszym: 0. Można również rozważać kratȩ z zerem: (A,,, 0), w której zachodzi: x 0 = x, b adź kratȩ z jedynk a: (A,,, 1), w której zachodzi: x 1 = x. Twierdzenie 1.19: W dowolnej kracie z zerem i jedynk a (A,,, 0, 1) spe lnione s a równości: x 1 = 1, x 0 = 0. Dowód: Oczywisty na podstawie równości (6) i (5). Twierdzenie 1.20: W dowolnej kracie (A,, ), dla dowolnych x, y, z A : (x y) (x z) x (y z). Dowód: Naturalnie x y x oraz x y y y z, zatem x y x (y z). Analogicznie, x z x oraz x z z y z, zatem x z x (y z). Ostatecznie wiȩc, (x y) (x z) x (y z).

13 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne 13 Definicja. Krata (A,, ) jest dystrybutywna, gdy dla dowolnych x, y, z A : x (y z) (x y) (x z), tzn. wobec Tw.1.20, gdy spe lniona jest równość: x (y z) = (x y) (x z). Twierdzenie 1.21: W dowolnej kracie dystrybutywnej (A,, ) zachodzi równość: (x y) (x z) = x (y z). Dowód: Z dystrybutywności kraty, (4), (3) i (2) mamy: (x y) (x z) = ((x y) x) ((x y) z) = (x (x y)) (z (x y)) = x ((z x) (z y)) = (x (x z)) (z y) = x (y z). Twierdzenie 1.22: Każdy niepusty lańcuch jest krat a dystrybutywn a. Dowód: Niech < A, > bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas < A, > jest krat a (Tw.1.15). Niech x, y, z A. Wówczas y z lub z y. Niech y z. Wtedy x (y z) = x z (x y) (x z). Gdy z y, to x (y z) = x y (x y) (x z). Przyk lady krat niedystrybutywnych: 1 x y z 0 x (y z) = x, (x y) (x z) = 0, 1 x z y 0 x (y z) = x, (x y) (x z) = y

14 7. Specjalne elementy w kratach Specjalne elementy w kratach Definicja. Niech (A,,, 0) bȩdzie krat a z zerem. Dla dowolnego a A, najwiȩkszy element w zbiorze cz. up. < {x A : a x = 0}, > (gdzie jest kratowym porz adkiem) nazywamy pseudo-uzupe lnieniem (lub -uzupe lnieniem, lub dolnym uzupe lnieniem) elementu a w tej kracie. Niech (A,,, 1) bȩdzie krat a z jedynk a. Dla dowolnego a A, najmniejszy element w zbiorze cz. up. <{x A : a x = 1}, > nazywamy -uzupe lnieniem lub górnym uzupe lnieniem) elementu a w tej kracie. Niech (A,,, 0, 1) bȩdzie krat a z zerem i jedynk a. Dla dowolnego a A element, który jest jednocześnie pseudo-uzupe lnieniem i -uzupe lnieniem elementu a, nazywamy uzupe lnieniem elementu a. Niech (A,, ) bȩdzie krat a. Dla dowolnych a, b A, element najwiȩkszy w zbiorze cz. up. < {x A : a x b}, > nazywamy relatywnym pseudouzupe lnieniem elementu a wzglȩdem b. Twierdzenie 1.23: W dowolnej kracie z zerem, dla dowolnego jej elementu, jego pseudo-uzupe lnienie jest jego relatywnym pseudo-uzupe lnieniem wzglȩdem zera. Dowód: oczywisty. Przyk lady. 1 a b c 0 {x : a x = 0} = {b, c, 0}, zatem pseudo-uzupe lnienie elementu a nie istnieje, {x : a x = 1} = {b, c, 1}, zatem górne uzupe lnienie elementu a nie istnieje, {x : a x c} = {b, c, 0}, zatem relatywne psudo-uzupe lnienie elementu a wzglȩdem c nie istnieje. 1 a d b c 0 {x : a x = 0} = {0, c, d}, zatem pseudo-uzupe lnieniem elementu a jest d, {x : a x = 1} = {1, d, c}, zatem górnym uzupe lnieniem elementu a jest c, ponieważ c d, wiȩc nie istnieje uzupe lnienie elementu a,

15 7. Specjalne elementy w kratach 15 {x : a x c} = {0, c, d}, zatem relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem c jest d. 1 a b 0 {x : a x = 0} = {0, b}, zatem pseudo-uzupe lnieniem elementu a jest b, {x : a x = 1} = {1, b}, zatem -uzupe lnieniem elementu a jest b, b jest wiȩc uzupe lnieniem elementu a, latwo sprawdzić, że uzupe lnieniem elementu b jest a. Twierdzenie 1.24: W dowolnej kracie z jedynk a i zerem, uzupe lnieniem jedynki jest zero, zaś uzupe lnieniem zera jest jedynka. Dowód: Niech 1, 0 bȩd a odpowiednio jedynk a i zerem kraty (A,,, 0, 1). Ponieważ dla dowolnego elementu x A : 1 x = x, wiȩc {x A : 1 x = 0} = {0}, zatem 0 jest pseudo-uzupe lnieniem elementu 1. Ponieważ, wed lug Tw.1.19, dla dowolnego x A, 1 x = 1, wiȩc {x A : 1 x = 1} = A, zatem 0 jest -uzupe lnieniem elementu 1. Ostatecznie 0 jest uzupe lnieniem elementu 1. Analogicznie wykazuje siȩ, że 1 jest uzupe lnieniem elementu 0. Twierdzenie 1.25: W dowolnej kracie (A,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A, jeżeli b jest uzupe lnieniem elementu a oraz istnieje uzupe lnienie elementu b, to jest nim element a. Dowód: Za lóżmy, że a b = 0 i a b = 1 oraz niech c bȩdzie uzupe lnieniem elementu b. Ponieważ c jest -uzupe lnieniem elementu b, wiȩc a c. Skoro zaś jednocześnie c jest -uzupe lnieniem elementu b, wiȩc c a. Ostatecznie, c = a. Uwaga: W ogólności może być tak, że w kracie (A,,, 0, 1) jakiś element b jest uzupe lnieniem pewnego elementu a, lecz nie istnieje uzupe lnienie elementu b. Na przyk lad w kracie na rysunku poniżej choć a jest -uzupe lnieniem elementu b, to jednak nie istnieje pseudo-uzupe lnienienie elementu b i w konsekwencji nie istnieje jego uzupe lnienie. a 1 b 0

16 7. Specjalne elementy w kratach 16 Twierdzenie 1.26: W dowolnej kracie dystrybutywnej z zerem i jedynk a (A,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A : b jest uzupe lnieniem elementu a wtw a b = 0 oraz a b = 1. Dowód: Za lóżmy dystrybutywność kraty. ( ): oczywisty. ( ): Za lóżmy, że a b = 0 oraz a b = 1. Niech x A bȩdzie taki, że a x = 0. Wówczas, x b = 1 (x b) = (a b) (x b) = (a x) b = 0 b = b, zatem x b, czyli b jest pseudo-uzupe lnieniem elementu a. Weźmy teraz pod uwagȩ taki x A, że a x = 1. Wówczas, x b = 0 (x b) = (a b) (x b) = (a x) b = 1 b = b, zatem b x, tzn. b jest -uzupe lnieniem elementu a. Ostatecznie, b jest uzupe lnieniem elementu a. Wniosek: W kracie dystrybutywnej z zerem i jedynk a, dla dowolnych elementów a, b : b jest uzupe lnieniem elementu a wtw a jest uzupe lnieniem elementu b. Dowód: oczywisty na podstawie Tw Twierdzenie 1.27: W dowolnej kracie (A,, ), jeżeli dla pewnego a A istnieje relatywne pseudo-uzupe lnienie a wzglȩdem a, to jest ono elementem najwiȩkszym w tej kracie. Dowód: Za lóżmy, że b jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem a, tzn. elementem najwiȩkszym w zbiorze: {x A : a x a}. Niech x A. Skoro a x a, wiȩc x b. Twierdzenie 1.28: W kracie z jedynk a (A,,, 1) dla dowolnego a A, (i) 1 jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem a wzglȩdem a, (ii) 1 jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem a wzglȩdem 1, (iii) a jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem 1 wzglȩdem a. Dowód: (i) wynika z faktu: a 1 a. (ii) wynika z faktu: {x A : a x 1} = A, Dla (iii) : {x A : 1 x a} = {x A : x a}, zaś a jest elementem najwiȩkszym w tym zbiorze.

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc.

Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. 3. Porządki liniowe. Porządki gęste, ciągłe i dobre. dradamkolany,mailto:ynalok64@wp.pl,http://kolany.pl,gg:1797933,tel.(+48)602804128...

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,

TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

OSOBNO ANALITYCZNYCH

OSOBNO ANALITYCZNYCH Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna Oznaczenia

Matematyka dyskretna Oznaczenia Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe

Bardziej szczegółowo

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Dziedziny Euklidesowe

Dziedziny Euklidesowe Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest

Bardziej szczegółowo

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Wokół pewnego zagadnienia z dziedziny półkrat górnych z jednością *

Wokół pewnego zagadnienia z dziedziny półkrat górnych z jednością * Przegląd Filozoficzny Nowa Seria R. 27: 2018, Nr 3 (107), ISSN 1230 1493 DOI: 10.24425/pfns.2018.125459 Jacek Hawranek, Jan Zygmunt Wokół pewnego zagadnienia z dziedziny półkrat górnych z jednością * Słowa

Bardziej szczegółowo

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze

0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze 1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo