Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
|
|
- Antonina Antczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia na A. Wówczas parȩ <A, > nazywamy zbiorem czȩściowo uporz adkowanym. Twierdzenie 1.1: Niech <A, > bȩdzie zbiorem czȩściowo uporz adkowanym oraz B A. Wówczas relacja (B B) jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a na zbiorze B. Dowód: Jest oczywiste, że warunki zwrotności, antysymetrii oraz przechodniości s a spe lnione dla relacji (B B), gdy s a one spe lnione dla relacji (nawet gdy B = ; relacja na zbiorze jest czȩściowo porz adkuj aca). Uwaga: Gdy <A, > jest zbiorem cz. up. oraz B A, to zbiór cz. up. <B, (B B)> nazywamy podzbiorem zbioru cz. up. <A, >. Oznaczamy go w skrócie w postaci: <B, >. Ponadto zamiast pisać <x, y>, piszemy x y. Definicja. Niech < A, > zbiór cz. up. Element a A nazywamy najwiȩkszym (najmniejszym) w <A, >, gdy x A, x a ( x A, a x). Element a A nazywamy maksymalnym (minimalnym) w < A, >, gdy x A(a x a = x) ( x A(x a x = a)). Twierdzenie 1.2: W dowolnym zbiorze cz. up. <A, > istnieje co najwyżej jeden element najwiȩkszy i co najwyżej jeden element najmniejszy. Dowód: Za lóżmy, że a, b A s a elementami najwiȩkszymi w < A, >. Wówczas x A, x a oraz x A, x b. Zatem b a oraz a b, co wobec antysymetrii relacji daje a = b. Analogicznie dla wykazania jedyności elementu najmniejszego. Twierdzenie 1.3: Jeżeli w zbiorze cz. up. <A, > istnieje element najwiȩkszy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym) w <A, >. Dowód: Niech a bȩdzie elementem najwiȩkszym w <A, >. Za lóżmy, że a x dla jakiegoś x A. Ponieważ x a, wiȩc z antysymetrii relacji, a = x co dowodzi, że a jest elementem maksymalnym w < A, >. Za lóżmy, że b jest elementem maksymalnym w <A, >. Z definicji elementu najwiȩkszego mamy: b a, zatem z za lożenia b = a czyli a jest jedynym elementem maksymalnym w <A, >. Analogicznie dla elementu najmniejszego.
2 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane 2 Przyk lad: d e c a b Diagram Hassego dla skończonego zbioru cz. up. Elementy d, e s a elementami maksymalnymi zaś a, b minimalnymi w zbiorze cz. up. <{a, b, c, d, e}, >, gdzie relacja jest określona diagramem w sposób nastȩpuj acy: dla dowolnych różnych elementów x, y tego zbioru, x y wtw z punktu x można przejść do punktu y wzd luż lamanej, kieruj ac siȩ na każdym jej odcinku z do lu do góry. Zatem a c, a e oraz a d. Identycznie dla elementu b (zamiast a). Natomiast (a b). Ponadto (c a) itd. Zak lada siȩ, czego diagram nie uwidacznia, że każdy z elementów a, b, c, d, e jest sam ze sob a w relacji. Znanym przyk ladem relacji czȩściowo porz adkuj acej jest relacja inkluzji określona na zbiorze potȩgowym danego zbioru: Twierdzenie 1.4: Dla dowolnego zbioru U, < P (U), > jest zbiorem czȩściowo uporz adkowanym, w którym U jest elementem najwiȩkszym oraz jest elementem najmniejszym. Dowód: Oczywisty na mocy twierdzeń: dla dowolnych X, Y, Z P (U), X X, (X Y Y X) X = Y, (X Y Y Z) X Z oraz X P (U)(X U X). Innym znanym przyk ladem relacji czȩściowo porz adkuj acej jest relacja wyznaczona na zbiorze ilorazowym danego zbioru wzglȩdem relacji równoważności indukowanej przez dan a relacjȩ zwrotn a i przechodni a, jak nastȩpuje: Twierdzenie 1.5: Dla dowolnej relacji zwrotnej i przechodniej ρ na zbiorze A, ρ ρ jest relacj a równoważności na A. Relacja określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ρ ) nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y A, [x] [y] wtw <x, y> ρ, jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a. Dowód: Niech ρ bȩdzie zwrotna oraz przechodnia na A. Wówczas dla dowolnego x A, <x, x> ρ oraz <x, x> ρ, zatem ρ ρ jest zwrotna. Za lóżmy, że <x, y>, <y, z> ρ ρ dla jakichś x, y, z A. Wówczas <x, y>, <y, z> ρ oraz <y, x>, <z, y> ρ. Zatem z przechodniości relacji ρ mamy: <x, z> ρ oraz <z, x> ρ, czyli <x, z> ρ i ostatecznie <x, z> ρ ρ, co oznacza, że
3 2. Elementy maksymalne, lańcuchy 3 ρ ρ jest przechodnia. W celu wykazania symetrii, za lóżmy, że <x, y> ρ ρ. Wówczas <x, y> ρ oraz <x, y> ρ, zatem <y, x> ρ oraz <y, x> ρ. Ostatecznie, <y, x> ρ ρ, tzn. ρ ρ jest symetryczna. Aby dowieść drugiej czȩści twierdzenia, najpierw wykażmy, że relacja jest dobrze określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ρ ), tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Niech wiȩc [x] = [a] oraz [y] = [b] dla pewnych a, b A. Wykażemy, że na mocy definicji relacji zachodzi: [x] [y] wtw [a] [b]. Za lóżmy wiȩc, że [x] [y]. Wówczas z definicji relacji, <x, y> ρ. Ponieważ z za lożenia, [x] = [a], wiȩc <x, a> ρ ρ, sk ad <x, a> ρ, czyli <a, x> ρ. Z przechodniości relacji ρ, <a, y> ρ. Jednakże również [y] = [b], czyli <y, b> ρ ρ. St ad <y, b> ρ. Zatem z przechodniości ρ otrzymujemy: <a, b> ρ, czyli [a] [b]. Odwrotn a implikacjȩ dowodzimy analogicznie. Rozważmy dowolny element [x] A/(ρ ρ ). Wówczas [x] [x] skoro <x, x> ρ wobec zwrotności relacji ρ. Zatem relacja jest zwrotna. Za lóżmy, że [x] [y] oraz [y] [x]. Wówczas < x, y > ρ oraz < y, x > ρ, czyli <x, y> ρ, zatem <x, y> ρ ρ, a st ad [x] = [y], co dowodzi antysymetrii relacji. W celu wykazania przechodniości relacji za lóżmy, że [x] [y] oraz [y] [z]. Wówczas < x, y > ρ oraz < y, z > ρ, zatem z przechodniości ρ, <x, z> ρ co daje [x] [z]. 2. Elementy maksymalne, lańcuchy Twierdzenie 1.6: Dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element maksymalny. Dowód: Udowodnimy indukcyjnie wyrażenie: (1) Dla każdego n 1, w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. <A, > istnieje element maksymalny. Dla n = 1: oczywiście dowolny zbiór cz. up. jednoelementowy posiada element maksymalny. Weźmy dowolne n 1. Za lożenie indukcyjne: (2) w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. < A, > istnieje element maksymalny. Mamy wykazać: (3) w dowolnym (n + 1)-elementowym zbiorze cz. up. <A, > istnieje element maksymalny. Rozważmy zatem dowolny zbiór cz. up. <A, >, (n + 1)-elementowy. Niech x A. Wówczas <A {x}, > jest zbiorem cz. up. n-elementowym. Na mocy (2), niech a bȩdzie jego elementem maksymalnym. Naturalnie a x. Zachodzi: a x lub (a x). Jeśli a x, to x jest elementem maksymalnym w <A, >. Bowiem gdyby istnia l y A taki, że x y oraz x y, to wobec przechodniości relacji by loby: a y. Ponadto a y, gdyby bowiem a = y, to wobec antysymetrii relacji, a = x, co jest niemożliwe. Zatem wobec maksymalności elementu a w <A {x}, >, by loby: y A {x}, tzn. y = x, sprzeczność.
4 2. Elementy maksymalne, lańcuchy 4 Jeśli zaś nie jest tak, że a x, to oczywiście a jest elementem maksymalnym w <A, >. Definicja. Niech < A, > zbiór cz. up. Elementy x, y A nazywamy porównywalnymi w <A, >, gdy x y lub y x. Zbiór cz. up. <A, >, w którym dowolne dwa elementy s a porównywalne nazywamy lańcuchem. Zbiór cz. up. <A, >, w którym relacja jest spójna nazywamy zbiorem liniowo uporz adkowanym, zaś relacjȩ relacj a liniowo porz adkuj ac a. Twierdzenie 1.7: uporz adkowany. Zbiór cz. up. <A, > jest lańcuchem wtw jest on liniowo Dowód: Warunek spójności: x, y A(x y lub y x lub x = y), jest równoważny warunkowi porównywalności: x, y A(x y lub y x). Przyk lad: Zbiór cz. up. <N, >, gdzie N zbiór liczb naturalnych oraz jest relacj a bycia liczb a mniejsz a lub równ a, jest lańcuchem maj acym element najmniejszy liczbȩ 0, oraz nie maj acym elementu najwiȩkszego. Liniowo uporz adkowany zbiór <N, > ma ponadto nastȩpuj ac a w lasność: dowolny jego niepusty podzbiór posiada element najmniejszy. Twierdzenie 1.8: Jeżeli w lańcuchu <A, > istnieje element maksymalny (minimalny), to jest on elementem najwiȩkszym (najmniejszym). Dowód: Niech a bȩdzie elementem maksymalym w lańcuchu <A, >. Weźmy x A. a, x s a zatem porównywalne, tzn. x a lub a x. Gdy a x, to wobec maksymalności a: a = x, czyli x a wobec zwrotności relacji. Ostatecznie x a, co dowodzi, wobec dowolności wyboru x, że a jest elementem najwiȩkszym w <A, >. Analogicznie dla elementu minimalnego. Wniosek: Dowolny niepusty skończony lańcuch posiada elementy najwiȩkszy i najmniejszy. Dowód: Oczywisty na mocy Twierdzeń 1.6, 1.8 w przypadku stwierdzania istnienia elementu najwiȩkszego. Aby uzasadnić istnienie elementu najmniejszego można pos lużyć siȩ dualn a wersj a Tw.1.6: dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element minimalny, której dowód jest analogiczny do dowodu Tw.1.6. Definicja. Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. oraz niech X A. Element a A nazywamy ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru X w <A, >, gdy dla każdego x X, x a (dla każdego x X, a x). Zbiór wszystkich ograniczeń górnych (dolnych) zbioru X bȩdziemy oznaczać Og(X) (Od(X)), czyli Og(X) = {a A : x X, x a}, Od(X) = {a A : x X, a x}.
5 2. Elementy maksymalne, lańcuchy 5 Przyk lad: Dla zbioru cz. up. < {a, b, c, d, e}, > określonego powyżej diagramem, Og({c, d, e}) =, Od({c, d, e}) = {c, a, b}. Lemat Kuratowskiego-Zorna: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L A istnieje w <A, > ograniczenie górne (tzn. Og( L) ), to w <A, > istnieje element maksymalny. Lemat Kuratowskiego-Zorna (sformu lowanie szczegó lowe): Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L A istnieje w <A, > ograniczenie górne, to dla każdego a A w <A, > istnieje element maksymalny x taki, że a x. Twierdzenie 1.9: równoważne. Oba sformu lowania lematu Kuratowskiego-Zorna s a sobie Dowód: Jest oczywiste, że sformu lowanie szczegó lowe implikuje sformu lowanie pierwsze. Aby dowieść odwrotnej implikacji za lóżmy, że zachodzi pierwsze sformu lowanie lematu oraz że w jakimś ustalonym zbiorze cz. up. <A, > dla dowolnego niepustego lańcucha L A : Og( L). Niech a A. Rozważmy zbiór cz. up. < Og({a}), >, aby zastosować dla niego pierwsze sformu lowanie lematu. Niech wiȩc L Og({a}) bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas L jest lańcuchem w <A, >, bo Og({a}) A. Zatem z za lożenia istnieje ograniczenie górne zbioru L w <A, >. Niech b bȩdzie tym ograniczeniem górnym. Skoro L, wiȩc dla jakiegoś x L mamy: a x (bo L Og({a})) oraz x b, zatem a b, czyli b Og({a}), tzn. b jest ograniczeniem górnym lańcucha L w <Og({a}), >. Wobec dowolności wyboru lańcucha L w <Og({a}), >, stosuj ac pierwsze sformu lowanie lematu dla zbioru cz. up. <Og({a}), > otrzymujemy: w <Og({a}), > istnieje element maksymalny. Niech z bȩdzie tym elementem maksymalnym. Jest oczywiste, że a z. Pozostaje wykazać, że z jest elementem maksymalnym w <A, >. Przypuśćmy że z nie jest elementem maksymalnym w <A, >. Wówczas dla jakiegoś y A, z y oraz z y. Jednakże wtedy a y, tzn. y Og({a}). Zatem z nie by lby maksymalny w <Og({a}), >. Lemat Kuratowskiego-Zorna jest użyteczny w stwierdzaniu istnienia elementów maksymalnych w nieskończonych zbiorach cz. up. Jednakże pracuje on również dla skończonych zbiorów cz. up. Mianowicie można go zastosować do dowodu Tw.1.6. W tym celu należy wykazać prawdziwość poprzednika implikacji pierwszego sformu lowania lematu, tzn. zdania: w dowolnym niepustym skończonym zbiorze cz. up. każdy niepusty lańcuch ma ograniczenie górne. Można tego dokonać natychmiast w oparciu o Wniosek z Tw.1.8. Rozważaj ac bowiem jakiś niepusty lańcuch w skończonym zbiorze cz. up., wobec skończoności tego lańcucha istnieje w nim element najwiȩkszy, zatem jego ograniczenie górne. Naturalnie, użycie tu Wniosku z Tw.1.8 zak lada, że jest on wcześniej uzasadniony nie w oparciu o Tw.1.6 i Tw.1.8, ale inaczej na przyk lad dziȩki prostemu dowodowi indukcyjnemu.
6 3. Kraty zupe lne 6 3. Kraty zupe lne W dalszym ci agu elementy najwiȩkszy oraz najmniejszy danego zbioru cz. up. <A, >, o ile te elementy istniej a, bȩdziemy oznaczać odpowiednio 1 oraz 0. Twierdzenie 1.10: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas (1) Jeżeli w <A, > istnieje element najwiȩkszy 1, to Og(A) = {1}, (2) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najwiȩkszy, to Og(A) =, (3) Jeżeli w <A, > istnieje element najmniejszy 0, to Od(A) = {0}, (4) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najmniejszy, to Od(A) =, (5) Og( ) = Od( ) = A. Dowód: dla (1): Za lóżmy, że 1 jest elementem najwiȩkszym w <A, >. ( ): Niech a Og(A), czyli x A, x a. Zatem a jest elementem najwiȩkszym w <A, >, czyli na mocy Tw.1.2, a = 1, tzn. a {1}. ( ): Ponieważ x A, x 1, wiȩc 1 Og(A). dla (2): Za lóżmy, że w < A, > nie ma elementu najwiȩkszego. Gdyby Og(A), to dla jakiegoś a A by loby a Og(A), zatem x A, x a czyli a by lby elementem najwiȩkszym wbrew za lożeniu. dla (3): Analogicznie jak dla (1). dla (4): Analogicznie jak dla (2). dla (5): Jest oczywiste, że Og( ) A. Aby wykazać odwrotn a inkluzjȩ za lóżmy, że a A. Ponieważ a Og( ) wtw x(x x a) oraz warunek x(x x a) jest prawdziwy, wiȩc a Og( ). Identycznie dla Od( ). Definicja. Niech < A, > bȩdzie zbiorem cz. up. oraz X A. Element najmniejszy w <Og(X), > nazywamy kresem górnym zbioru X w <A, > i oznaczamy: supx (supremum zbioru X). Element najwiȩkszy w < Od(X), > nazywamy kresem dolnym zbioru X w <A, > i oznaczamy: infx (infimum zbioru X). Przyk lad: Dla rozważanego powyżej przyk ladu zbioru cz. up. zadanego diagramem, sup{c, d, e} nie istnieje, zaś inf{c, d, e} = c. Twierdzenie 1.11: Niech < A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas (1) Jeżeli w <A, > istnieje element najwiȩkszy 1, to supa = 1 oraz inf = 1, (2) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najwiȩkszy, to nie istnieje supa oraz nie istnieje inf, (3) Jeżeli w <A, > istnieje element najmniejszy 0, to inf A = 0 oraz sup = 0, (4) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najmniejszy, to nie istnieje inf A oraz nie istnieje sup, (5) Dla dowolnego x A, sup{x} = inf{x} = x, (6) Dla dowolnych x, y A, x y wtw sup{x, y} = y wtw inf{x, y} = x,
7 3. Kraty zupe lne 7 (7) Jeżeli A ma wiȩcej niż jeden element, to dla dowolnego X A, jeżeli istniej a kresy supx, infx w <A, >, to X wtw infx supx. Dowód: dla (1): Na mocy Tw.1.10(1), Og(A) = {1}, zatem elementem najmniejszym w <{1}, >, czyli supa jest element 1. Na mocy Tw.1.10(5), Od( ) = A, zatem najwiȩkszym elementem w <Od( ), >, czyli inf jest element 1. dla (2): Za lóżmy, że w <A, > nie ma elementu najwiȩkszego. Wówczas na mocy Tw.1.10(2), Og(A) =, zatem w < Og(A), > nie ma elementu najmniejszego, bo nie ma tam żadnego elementu. Dlatego supa nie istnieje. Również na mocy Tw.1.10(5), Od( ) = A, zatem w <Od( ), > nie ma elementu najwiȩkszego czyli nie istnieje inf. dla (3): Analogicznie na mocy Tw.1.10(3),(5). dla (4): Analogicznie na mocy Tw.1.10(4),(5). dla (5): Niech x A. Ponieważ x Og({x}) (relacja jest zwrotna) oraz y Og({x}), x y, wiȩc x jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru {x}, zatem x = sup{x}. Analogicznie wykazujemy, że x = inf{x}. dla (6): Niech x, y A. ( ): Za lóżmy, że x y. Ponieważ y y, wiȩc y Og({x, y}). Niech z Og({x, y}). Wówczas y z, zatem y jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru {x, y}, czyli y = sup{x, y}. ( ): Za lóżmy, że y = sup{x, y}. Ponieważ sup{x, y} Og({x, y}), wiȩc x sup{x, y}, st ad x y. Analogicznie dowodzimy drugiej równoważności. dla (7): Niech A ma wiȩcej niż jeden element. Rozważmy X A dla którego istniej a kresy górny i dolny w <A, >. ( ): Za lóżmy, że X. Niech wiȩc a X. Ponieważ infx jest ograniczeniem dolnym zbioru X, wiȩc infx a. Analogicznie: a supx. Zatem z przechodniości relacji uzyskujemy: inf X supx. ( ): Za lóżmy, że infx supx oraz nie wprost, że X =. Wówczas z (2) i (1): infx = 1, oraz z (4) i (3): supx = 0, gdzie 1, 0 s a odpowiednio najwiȩkszym i najmniejszym elementem w <A, >. Z za lożenia mamy wiȩc: 1 0. Oczywiście, 0 1, zatem z antysymetrii relacji uzyskujemy: 0 = 1. Jednakże wówczas, wbrew za lożeniu, A jest zbiorem 1-elementowym, bowiem dla dowolnego a A, 0 a oraz a 0 (skoro 0 = 1), co implikuje a = 0. Definicja. Zbiór cz. up. <A, >, w którym A oraz dla każdego X A istniej a kresy supx, inf X nazywamy krat a zupe ln a. Twierdzenie 1.12: krat a zupe ln a. Dla dowolnego zbioru U, zbiór cz. up. <P (U), > jest Dowód: Niech R P (U). Wykażemy, że R = supr. Naturalnie R P (U), bo skoro R P (U), tzn. A R, A U, wiȩc R U. Ponieważ A R, A R, wiȩc R Og(R). Niech Y Og(R) czyli A R, A Y. Wówczas naturalnie R Y, zatem R jest najmniejszym ograniczeniem
8 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane 8 górnym zbioru R, tzn. R = supr. Gdy R =, to zgodnie z Tw.1.11(1) oraz Tw.1.4, inf(r) = U. Niech R. Wykażemy, że R = inf(r). Naturalnie R P (U), bo dla dowolnego A R, R A, zaś A U. Ponieważ A R, R A, wiȩc R Od(R). Niech Y Od(R), tzn. A R, Y A. Wówczas naturalnie Y R, zatem R jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru R, czyli R = infr. Twierdzenie 1.13: najmniejszy. W każdej kracie zupe lnej istnieje element najwiȩkszy i Dowód: Niech < A, > bȩdzie krat a zupe ln a. Istnieje wiȩc supa. Zatem na mocy Tw.1.11(2) w < A, > istnieje element najwiȩkszy. Ponieważ inf A również istnieje, wiȩc na mocy Tw.1.11(4) istnieje w < A, > element najmniejszy. Okazuje siȩ, że wystarczy stwierdzić istnienie kresów jednego rodzaju dla wszystkich podzbiorów danego zbioru cz. up., aby uznać go za kratȩ zupe ln a: Twierdzenie 1.14: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla każdego X A istnieje w <A, > kres dolny infx, to <A, > jest krat a zupe ln a. Dowód: Za lóżmy, że dla dowolnego X A istnieje inf X. Aby dowieść twierdzenia wystarczy wykazać, że dla każdego X A istnieje supx w <A, >. Rozważmy wiȩc dowolny X A. Wykażemy, że z za lożenia istniej acy w <A, > infog(x) (bo Og(X) A) jest kresem górnym zbioru X w <A, >. Wykażmy najpierw, że infog(x) Og(X) tzn. że x X, x infog(x). Niech wiȩc x X. Wówczas a Og(X), x a, zatem x jest ograniczeniem dolnym zbioru Og(X); wobec tego x inf Og(X), bo inf Og(X) jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru Og(X). Niech teraz y Og(X). Naturalnie inf Og(X) Od(Og(X)), zatem inf Og(X) y, co dowodzi, że inf Og(X) jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X, zatem infog(x) = supx. Analogicznie można dowieść twierdzenia mówi acego o istnieniu kresów górnych, jako warunku wystarczaj acym na to, by zbiór cz. up. by l krat a zupe ln a. 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Niepusty zbiór cz. up. <A, > nazywamy krat a, gdy dla dowolnych x, y A istniej a kresy inf{x, y}, sup{x, y}. Naturalnie każda krata zupe lna jest krat a. Twierdzenie 1.15: Każdy niepusty lańcuch <A, > jest krat a. Dowód: Niech < A, > bȩdzie niepustym lańcuchem. Ponieważ x, y A (x y lub y x), wiȩc na mocy Tw.1.11(6), x, y A(sup{x, y} = y
9 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane 9 oraz inf{x, y} = x) lub (sup{x, y} = x oraz inf{x, y} = y). Przyk lad: <N, >, gdzie N zbiór liczb naturalnych oraz relacja bycia liczb a mniejsz a lub równ a, jest krat a, choć nie jest krat a zupe ln a (nie istnieje w < N, > element najwiȩkszy porównaj Tw.1.13). Przyk lad: Rozważmy na zbiorze N {0} konwers relacji podzielności określony nastȩpuj aco: x, y N {0}, x y wtw k N {0}, y = xk (tzn. x y wtw y jest podzielne przez x). Wówczas <N {0}, > jest krat a, w której dla dowolnych x, y N {0}, inf{x, y} = nwp(x, y) (najwiȩkszy wspólny podzielnik liczb x, y) oraz sup{x, y} = nww(x, y) (najmniejsza wspólna wielokrotność liczb x, y). Twierdzenie 1.16: Niech < A, > bȩdzie krat a. Wówczas dla dowolnego niepustego skończonego zbioru X A istniej a inf X oraz supx. Dowód: Za lóżmy, że <A, > jest krat a. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego n = 1, 2,..., dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje sup{x 1, x 2,..., x n } w <A, >. Dla n = 1: naturalnie dla dowolnego singletonu {x} A istnieje sup{x} (Tw.1.11(5)). Za lóżmy, że dla jakiegoś n, dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje sup{x 1, x 2,..., x n }. Mamy wykazać, że dla dowolnych x 1,..., x n, x n+1 A, istnieje sup{x 1, x 2,..., x n, x n+1 }. Rozważmy wiȩc dowolne x 1, x 2,..., x n, x n+1 A. Z za lożenia istnieje kres sup{x 1, x 2,..., x n }. Wykażemy, że sup{x 1,..., x n, x n+1 } = sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 } (ponieważ <A, > jest krat a, wiȩc sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 } musi istnieć, jeśli tylko istnieje sup{x 1,..., x n }). Oznaczmy a = sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 }. Ponieważ dla każdego i = 1, 2,..., n, x i sup{x 1,..., x n } a oraz x n+1 a, wiȩc a Og({x 1,..., x n, x n+1 }). Za lóżmy teraz, że x Og({x 1,..., x n, x n+1 }). Wówczas x Og({x 1,..., x n }), zatem sup{x 1,..., x n } x. Naturalnie x n+1 x. Zatem x Og({sup{x 1,..., x n }, x n+1 }). St ad a x, co dowodzi, że a = sup{x 1,..., n, x n+1 }. Analogicznie wykazujemy odpowiednik dowodzonego wyrażenia dla kresów dolnych: dla dowolnego n = 1, 2,..., dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje inf{x 1, x 2,..., x n } w <A, >. Wniosek: Każda krata skończona jest krat a zupe ln a. Dowód: Ponieważ każdy podzbiór kraty skończonej jest skończony, wiȩc wobec Tw.1.16 wystarczy wykazać, że w kracie skończonej istniej a sup oraz inf. Niech < A, > bȩdzie krat a skończon a. Wówczas istnieje supa. Zatem na mocy Tw.1.11(2), w < A, > istnieje element najwiȩkszy 1. St ad wed lug Tw.1.11(1), inf = 1, zatem inf istnieje. Ponadto w <A, > istnieje infa.
10 5. Kraty jako algebry 10 Zatem na mocy Tw.1.11(4) w <A, > istnieje element najmniejszy 0. St ad, zgodnie z Tw.1.11(3), sup = 0, zatem sup istnieje. W dalszym ci agu, gdy bȩdzie to potrzebne, kratȩ zdefiniowan a powyżej (jako pewien zbiór czȩściowo uporz adkowany) bȩdziemy nazywać p-krat a. 5. Kraty jako algebry Niech bȩdzie dany niepusty zbiór A. Dla dowolnej liczby naturalnej n, symbolem A n oznacza siȩ zbiór wszystkich n-wyrazowych ci agów elementów zbioru A. Jest to szczególny przypadek notacji, wed lug której dla dowolnych zbiorów A, B, symbolem A B oznacza siȩ zbiór wszystkich funkcji przekszta lcaj acych zbiór B w zbiór A. Ponieważ w interpretacji teoriomnogościowej dowolna liczba naturalna n = {0, 1,..., n 1}, przy czym 0 =, wiȩc A n = A {0,1,...,n 1} jest zbiorem wszystkich funkcji przekszta lcaj acych zbiór {0, 1,..., n 1} w zbiór A, zaś każda taka funkcja jest z definicji ci agiem n-wyrazowym elementów zbioru A. W szczególności, zbiór wszystkich ci agów 0-wyrazowych jest jednoelementowy: A 0 = A = { } (formalnie dowolna funkcja f A B jest relacj a binarn a f B A spe lniaj ac a warunki: x B y A, <x, y > f, x B y, z A (<x, y >, <x, z > f y = z), zatem dla B = istnieje dok ladnie jedna funkcja f przekszta lcaj aca zbiór B w A, mianowicie f = ). Definicja. Dla każdej liczby naturalnej n, dowoln a funkcjȩ o : A n A, nazywamy n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Zbiór A 1 wszystkich 1-wyrazowych ci agów elementów zbioru A utożsamiamy ze zbiorem A (tzn. każdy 1-wyrazowy ci ag, którego jedynym wyrazem jest element zbioru A utożsamiamy z tym elementem). Zatem każda funkcja przekszta lcaj aca zbiór A w zbiór A jest operacj a 1-argumentow a na zbiorze A. Każda operacja 0-argumentowa o na zbiorze A jest naturalnie funkcj a postaci: o : { } A, i jest utożsamiana ze swoj a jedyn a wartości a: o( ), postrzegan a jako wyróżniony element ze zbioru A. Definicja. Ci ag (A, o 1,..., o n ), gdzie A jest niepustym zbiorem oraz o 1,..., o n s a operacjami na zbiorze A (o dowolnej argumentowości) nazywany jest algebr a (uniwersaln a lub abstrakcyjn a). Mówimy, że algebry A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o k ) s a podobne lub tego samego typu, gdy m = k oraz dla każdego i = 1,..., m, τ(o i ) = τ(o i ), gdzie dla dowolnej operacji o na danym zbiorze, τ(o) jest ilości a argumentów operacji o (ci ag (τ(o 1 ),..., τ(o m )) jest nazywany typem algebry A).
11 5. Kraty jako algebry 11 Definicja. Algebrȩ (A,, ) typu (2,2) tak a, że dla dowolnych x, y, z A spe lnione s a równości: (1) x x = x, x x = x, (2) x y = y x, x y = y x, (3) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, (4) x (x y) = x, x (x y) = x, nazywamy krat a (gdy jest to potrzebne, nazywamy j a a-krat a). Twierdzenie 1.17: Jeżeli < A, > jest p-krat a, to algebra (A,, ), w której operacje s a określone nastȩpuj aco: x, y A, x y = inf{x, y}, x y = sup{x, y}, jest a-krat a. Dowód: Wykazujemy że spe lnione s a pierwsze z równości wystȩpuj acych w (1) - (4) (drugie równości dowodzi siȩ analogicznie). Równość (1) jest spe lniona na mocy Tw. 1.11(5). Równość (2) zachodzi na podstawie definicji operacji. Wykazujemy równość (3): inf{x, inf{y, z}} = inf{inf{x, y}, z}. Najpierw dowodzimy, że (*) dla dowolnych x, y, z A : inf{x, inf{y, z}} = inf{x, y, z}. W tym celu oznaczmy: a = inf{x, inf{y, z}} i zauważmy, że a x, a inf{y, z} oraz inf{y, z} y, inf{y, z} z, zatem z przechodniości : a y i a z, czyli a Od({x, y, z}). Niech teraz u Od({x, y, z}). Wówczas u x oraz u inf{y, z}, tzn. u Od({x, inf{y, z}), zatem u a. Ostatecznie, a = inf{x, y, z}. Niech teraz x, y, z A. Wówczas z (*) mamy: inf{inf{x, y}, z} = inf{z, inf{x, y}} = inf{z, x, y} = inf{x, y, z} = inf{x, inf{y, z}}. Wykazujemy równość (4): inf{x, sup{x, y}} = x. Naturalnie x x oraz x sup{x, y}. Gdy u Od({x, sup{x, y}}), to oczywiście u x. Ostatecznie, x = inf{x, sup{x, y}}. Twierdzenie 1.18: Dla dowolnej a-kraty (A,, ) zbiór cz. up. < A, >, gdzie x, y A, x y wtw x y = x, jest p-krat a, w której dla dowolnych x, y A, inf{x, y} = x y, sup{x, y} = x y. Dowód: Niech algebra (A,, ) bȩdzie a-krat a. Zwrotność relacji wynika z równości (1), antysymetria z równości (2). Aby dowieść przechodniości za lóżmy, że x y i y z. Zatem x y = x, y z = y. St ad x z = (x y) z = x (y z) = x y = x, na mocy równości (3), zatem x z. Ponieważ wed lug (1),(2),(3): (x y) x = x y oraz (x y) y = x y, wiȩc x y x oraz x y y. Niech teraz dla jakiegoś u A bȩdzie: u x i u y, tzn. u x = u i u y = u. Wówczas u (x y) = (u x) y = u y = u, zatem u x y. Ostatecznie, x y = inf{x, y}. Zanim wykażemy, że wartość operacji na sekwencji elementów x, y jest kresem górnym zbioru {x, y}, udowodnimy iż w a-kracie (A,, ), dla dowolnych x, y A, (5) x y = x wtw x y = y.
12 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne 12 ( ): Za lóżmy, że x y = x. Wówczas na mocy równości (4): x y = (x y) y = y. Implikacjȩ ( ) dowodzi siȩ analogicznie. Ponieważ wed lug równości (4) zachodzi: x (x y) = x oraz y (x y) = y, wiȩc x x y oraz y x y. Niech teraz element u A bȩdzie taki, że x u i y u. Wówczas z definicji relacji na mocy (5) mamy: x u = u oraz y u = u. Zatem (x y) u = x (y u) = x u = u, dlatego, na mocy (5) i definicji : x y u. Ostatecznie x y = sup{x, y}. W dalszym ci agu nie bȩdziemy odróżniać p-kraty od a-kraty. Albowiem, po pierwsze, dysponuj ac dan a p-krat a < A, >, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy z niej a-kratȩ (A,, ) tak a, że x y = inf{x, y}, x y = sup{x, y}, zaś z tejże a-kraty, na mocy Tw.1.18 otrzymujemy p-kratȩ <A, 1 > tak a, że x 1 y wtw x y = x wtw inf{x, y} = x wtw x y, na mocy Tw.1.11(6), oraz inf 1 {x, y} = x y = inf{x, y}, sup 1 {x, y} = x y = sup{x, y}, tzn. p-krata < A, 1 > jest tożsama z wyjściow a p-krat a < A, >. Po drugie, dysponuj ac dan a a-krat a (A,, ), na mocy Tw.1.18 otrzymujemy z niej p-kratȩ < A, > tak a, że x y wtw x y = x oraz inf{x, y} = x y, sup{x, y} = x y, zaś z tej p-kraty, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy a-kratȩ (A, 1, 1 ) tak a, że x 1 y = inf{x, y} = x y, x 1 y = sup{x, y} = x y, tzn. a-krata (A, 1, 1 ) jest tożsama z wyjściow a a-krat a (A,, ). Relacjȩ, wyjściow a w p-kracie lub definiowan a w a-kracie, nazywamy kratowym porz adkiem w tej kracie. 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne Definicja. Algebrȩ (A,,, 0, 1) typu (2,2,0,0) nazywamy krat a z zerem: 0 i jedynk a: 1, gdy (A,, ) jest krat a oraz dla każdego x A spe lnione s a równości: (6) x 1 = x, x 0 = x. Naturalnie kratȩ z 0 i 1 można traktować jako p-kratȩ z elementami najwiȩkszym: 1 i najmniejszym: 0. Można również rozważać kratȩ z zerem: (A,,, 0), w której zachodzi: x 0 = x, b adź kratȩ z jedynk a: (A,,, 1), w której zachodzi: x 1 = x. Twierdzenie 1.19: W dowolnej kracie z zerem i jedynk a (A,,, 0, 1) spe lnione s a równości: x 1 = 1, x 0 = 0. Dowód: Oczywisty na podstawie równości (6) i (5). Twierdzenie 1.20: W dowolnej kracie (A,, ), dla dowolnych x, y, z A : (x y) (x z) x (y z). Dowód: Naturalnie x y x oraz x y y y z, zatem x y x (y z). Analogicznie, x z x oraz x z z y z, zatem x z x (y z). Ostatecznie wiȩc, (x y) (x z) x (y z).
13 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne 13 Definicja. Krata (A,, ) jest dystrybutywna, gdy dla dowolnych x, y, z A : x (y z) (x y) (x z), tzn. wobec Tw.1.20, gdy spe lniona jest równość: x (y z) = (x y) (x z). Twierdzenie 1.21: W dowolnej kracie dystrybutywnej (A,, ) zachodzi równość: (x y) (x z) = x (y z). Dowód: Z dystrybutywności kraty, (4), (3) i (2) mamy: (x y) (x z) = ((x y) x) ((x y) z) = (x (x y)) (z (x y)) = x ((z x) (z y)) = (x (x z)) (z y) = x (y z). Twierdzenie 1.22: Każdy niepusty lańcuch jest krat a dystrybutywn a. Dowód: Niech < A, > bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas < A, > jest krat a (Tw.1.15). Niech x, y, z A. Wówczas y z lub z y. Niech y z. Wtedy x (y z) = x z (x y) (x z). Gdy z y, to x (y z) = x y (x y) (x z). Przyk lady krat niedystrybutywnych: 1 x y z 0 x (y z) = x, (x y) (x z) = 0, 1 x z y 0 x (y z) = x, (x y) (x z) = y
14 7. Specjalne elementy w kratach Specjalne elementy w kratach Definicja. Niech (A,,, 0) bȩdzie krat a z zerem. Dla dowolnego a A, najwiȩkszy element w zbiorze cz. up. < {x A : a x = 0}, > (gdzie jest kratowym porz adkiem) nazywamy pseudo-uzupe lnieniem (lub -uzupe lnieniem, lub dolnym uzupe lnieniem) elementu a w tej kracie. Niech (A,,, 1) bȩdzie krat a z jedynk a. Dla dowolnego a A, najmniejszy element w zbiorze cz. up. <{x A : a x = 1}, > nazywamy -uzupe lnieniem lub górnym uzupe lnieniem) elementu a w tej kracie. Niech (A,,, 0, 1) bȩdzie krat a z zerem i jedynk a. Dla dowolnego a A element, który jest jednocześnie pseudo-uzupe lnieniem i -uzupe lnieniem elementu a, nazywamy uzupe lnieniem elementu a. Niech (A,, ) bȩdzie krat a. Dla dowolnych a, b A, element najwiȩkszy w zbiorze cz. up. < {x A : a x b}, > nazywamy relatywnym pseudouzupe lnieniem elementu a wzglȩdem b. Twierdzenie 1.23: W dowolnej kracie z zerem, dla dowolnego jej elementu, jego pseudo-uzupe lnienie jest jego relatywnym pseudo-uzupe lnieniem wzglȩdem zera. Dowód: oczywisty. Przyk lady. 1 a b c 0 {x : a x = 0} = {b, c, 0}, zatem pseudo-uzupe lnienie elementu a nie istnieje, {x : a x = 1} = {b, c, 1}, zatem górne uzupe lnienie elementu a nie istnieje, {x : a x c} = {b, c, 0}, zatem relatywne psudo-uzupe lnienie elementu a wzglȩdem c nie istnieje. 1 a d b c 0 {x : a x = 0} = {0, c, d}, zatem pseudo-uzupe lnieniem elementu a jest d, {x : a x = 1} = {1, d, c}, zatem górnym uzupe lnieniem elementu a jest c, ponieważ c d, wiȩc nie istnieje uzupe lnienie elementu a,
15 7. Specjalne elementy w kratach 15 {x : a x c} = {0, c, d}, zatem relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem c jest d. 1 a b 0 {x : a x = 0} = {0, b}, zatem pseudo-uzupe lnieniem elementu a jest b, {x : a x = 1} = {1, b}, zatem -uzupe lnieniem elementu a jest b, b jest wiȩc uzupe lnieniem elementu a, latwo sprawdzić, że uzupe lnieniem elementu b jest a. Twierdzenie 1.24: W dowolnej kracie z jedynk a i zerem, uzupe lnieniem jedynki jest zero, zaś uzupe lnieniem zera jest jedynka. Dowód: Niech 1, 0 bȩd a odpowiednio jedynk a i zerem kraty (A,,, 0, 1). Ponieważ dla dowolnego elementu x A : 1 x = x, wiȩc {x A : 1 x = 0} = {0}, zatem 0 jest pseudo-uzupe lnieniem elementu 1. Ponieważ, wed lug Tw.1.19, dla dowolnego x A, 1 x = 1, wiȩc {x A : 1 x = 1} = A, zatem 0 jest -uzupe lnieniem elementu 1. Ostatecznie 0 jest uzupe lnieniem elementu 1. Analogicznie wykazuje siȩ, że 1 jest uzupe lnieniem elementu 0. Twierdzenie 1.25: W dowolnej kracie (A,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A, jeżeli b jest uzupe lnieniem elementu a oraz istnieje uzupe lnienie elementu b, to jest nim element a. Dowód: Za lóżmy, że a b = 0 i a b = 1 oraz niech c bȩdzie uzupe lnieniem elementu b. Ponieważ c jest -uzupe lnieniem elementu b, wiȩc a c. Skoro zaś jednocześnie c jest -uzupe lnieniem elementu b, wiȩc c a. Ostatecznie, c = a. Uwaga: W ogólności może być tak, że w kracie (A,,, 0, 1) jakiś element b jest uzupe lnieniem pewnego elementu a, lecz nie istnieje uzupe lnienie elementu b. Na przyk lad w kracie na rysunku poniżej choć a jest -uzupe lnieniem elementu b, to jednak nie istnieje pseudo-uzupe lnienienie elementu b i w konsekwencji nie istnieje jego uzupe lnienie. a 1 b 0
16 7. Specjalne elementy w kratach 16 Twierdzenie 1.26: W dowolnej kracie dystrybutywnej z zerem i jedynk a (A,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A : b jest uzupe lnieniem elementu a wtw a b = 0 oraz a b = 1. Dowód: Za lóżmy dystrybutywność kraty. ( ): oczywisty. ( ): Za lóżmy, że a b = 0 oraz a b = 1. Niech x A bȩdzie taki, że a x = 0. Wówczas, x b = 1 (x b) = (a b) (x b) = (a x) b = 0 b = b, zatem x b, czyli b jest pseudo-uzupe lnieniem elementu a. Weźmy teraz pod uwagȩ taki x A, że a x = 1. Wówczas, x b = 0 (x b) = (a b) (x b) = (a x) b = 1 b = b, zatem b x, tzn. b jest -uzupe lnieniem elementu a. Ostatecznie, b jest uzupe lnieniem elementu a. Wniosek: W kracie dystrybutywnej z zerem i jedynk a, dla dowolnych elementów a, b : b jest uzupe lnieniem elementu a wtw a jest uzupe lnieniem elementu b. Dowód: oczywisty na podstawie Tw Twierdzenie 1.27: W dowolnej kracie (A,, ), jeżeli dla pewnego a A istnieje relatywne pseudo-uzupe lnienie a wzglȩdem a, to jest ono elementem najwiȩkszym w tej kracie. Dowód: Za lóżmy, że b jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem a, tzn. elementem najwiȩkszym w zbiorze: {x A : a x a}. Niech x A. Skoro a x a, wiȩc x b. Twierdzenie 1.28: W kracie z jedynk a (A,,, 1) dla dowolnego a A, (i) 1 jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem a wzglȩdem a, (ii) 1 jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem a wzglȩdem 1, (iii) a jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem 1 wzglȩdem a. Dowód: (i) wynika z faktu: a 1 a. (ii) wynika z faktu: {x A : a x 1} = A, Dla (iii) : {x A : 1 x a} = {x A : x a}, zaś a jest elementem najwiȩkszym w tym zbiorze.
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoRozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Liczby kardynalne
Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoZagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc.
Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. 3. Porządki liniowe. Porządki gęste, ciągłe i dobre. dradamkolany,mailto:ynalok64@wp.pl,http://kolany.pl,gg:1797933,tel.(+48)602804128...
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoRozdzia l 7. Liczby naturalne
Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.
ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoWokół pewnego zagadnienia z dziedziny półkrat górnych z jednością *
Przegląd Filozoficzny Nowa Seria R. 27: 2018, Nr 3 (107), ISSN 1230 1493 DOI: 10.24425/pfns.2018.125459 Jacek Hawranek, Jan Zygmunt Wokół pewnego zagadnienia z dziedziny półkrat górnych z jednością * Słowa
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowo